第一篇：綜合法

2.2．1直接證明與間接證明⑴-------綜合法

【學習目標】

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法之一：綜合法。

【重點難點】

1.結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；

2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

3.根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法。

【教學過程】

【復習】1兩類基本的證明方法:和。

2直接證明的兩種方法

【新課導學】

知識點一綜合法的應用

問題：已知a,b?0,求證：a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc。

思考過程：首先，分析待證不等式的特點。不等式的右端是，左端是。據此，只要，就能使得不等式左、右兩端具有相同的形式。

其次，尋找轉化的依據及證明中要用的其他知識。本例應用了就能實現轉化，是證明的依據。

最后，給出具體證明。

這樣，從已知條件、重要不等式x2?y2?2xy和不等式的基本性質，通過推理的出結論成立。

證明：

新知1.綜合法定義

一般地,利用,經過一系列的推理論證,最后導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫綜合法。

2.綜合法的要點：

3.綜合法的證明過程用框圖可表示。

【講解例題】

例1在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形。

分析：這是一道三角、幾何和數列的綜合題。首先把已知條件進行語言轉換，即和；接著把隱含條件顯性化，即將A,B,C為三角形內角明確表示為。然后再尋找條件與結論的聯系，利用把邊和角聯系起來，建立邊和角之間的關系，進而判斷三角形的形狀。

反思：解決數學問題時,往往要先作語言的轉換,如把文字語言轉換成符號語言,或把符號語言轉換成圖形語言等,還要通過細致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來。

課堂練習：

1.求證：對于任意角?，cos4??sin4??cos2?

2.《全優課堂》75頁基礎訓練

課堂小結：

1.綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???（可知），直到最后的結論是Q.由

因導果，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件。

綜合法是中學數學證明中最常用的方法，運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題。

2.綜合法證明問題，證明步驟嚴謹，逐層遞進，步步為營，條理清晰，形式簡潔，宜于表達推理的思維軌跡。

3.綜合法解題的步驟：⑴分析條件，選擇方向；⑵轉化條件，組織過程；⑶適當調整，回顧反思。

如何找到“切入點”和有效的推理途徑是有效利用綜合法證明問題的“瓶頸”。

作業：

第二篇：綜合法和分析法

課題綜合法與分析法課時 1課時課型 新授課 使用說明及學法指導

1.先精讀教材P60-P64內容，用紅色筆進行勾畫，再針對導學案的問題，二次閱讀教材部分內容，并回答，時間為15分鐘.2.找出自己的疑惑和需要討論的問題準備課上討論和質疑.3.必須記住的內容：綜合法和分析法證明不等式.學習目標

1.理解并掌握綜合法與分析法;2.會利用綜合法和分析法證明不等式

3.高效學習，通過對典型案例的探究，激發學習數學激情.學習重點

會用分析法證明問題；了解分析法的思考過程.學習難點

根據問題的特點，選擇適當的證明方法.一．預習自學

1.常用直接證明方法有和

2.綜合法：一般的，利用已知條件和某些數學、、等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種方法叫綜合法.綜合法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“已知→可知1→可知2→…結論”.3.分析法：一般的，從要證明的結論出發，逐步尋求使成立的條件，直至最后，把證明的結論歸結為判定一個為止，這種證明方法叫做分析法，分析法的思維過程的全貌可概括為下面形式：“結論→需知1→需知2→…已知”.?.如果a,b?R, 那么a2?b2?2ab.當且僅當時, 等號成立.?.如果a,b?R?,那么a?b?當且僅當時, 等號成立.?.如果a

2?b?c

a,b,c?R?, 那么

3?

當且僅當時, 等

號成立.40.如果a,b,c?R?, 那么

ba?ab?、c?aa

b

?bc

?

二、合作交流

1.若a，b，c是不全相等的實數，求證：a

2?b2

?c2

?ab?bc?ca． 證明：∵a，b，c?R，∴a2

?b2

≥2ab，b2

?c2

≥2bc，c2

?a2

≥2ac

變式訓練

已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

2.用分析法證明 求證:3?6?21.達標檢測

1.下列說法不正確的是（）

Ａ.綜合法是由因導果的順推證法Ｂ.分析法是執果索因的逆推證法

Ｃ.綜合法與分析法都是直接證法Ｄ.綜合法與分析法在同一題的證明中不可能同時采用

2．分析法是()

A．執果索因的逆推法B．執因導果的順推法 C．因果分別互推的兩頭湊法D．逆命題的證明方法 3.以下數列不是等差數列的是（）

Ａ．Ｂ．π?2，π?5，π?8

Ｃ．Ｄ．20，40，60 4.若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，則P、Q的大小關系是()

A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值確定 5.已知

a,b

是不相等的正數，x?

y?,y，則

x的大小關系

是.6.用分析法證明（:15??（2）

7.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：（1a

?1)（1b

?1)（1c

?1)?8

8.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a

?

11b

?

c

?9

變式.已知a,b,c是兩兩不相等的正實數，b?c?a

a?c?b

b?c

a

?

b

?

a?c

?3

綜合法與分析法各有何特點？

【思考·提示】 分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件．分析法與綜合法各有其特點，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡單的一種．平時我們常用分析法探索解題思路，然后用綜合法書寫步驟．

第三篇：綜合法分析法

綜合法分析法

學習目標：

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.高考題：1.（2012安徽理19）

（Ⅰ）設x?1,y?1,證明x?y?111???xy;xyxy，logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.（Ⅱ）1?a?b?c，證明

2、（2010全國卷1文數）（10）設a?log32,b?ln2,c?5?2則

（A）a?b?c（B）b?c?a(C)c?a?b(D)c?b?a 1教材分析：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

通過本節的學習，學生積極參加課堂教學，順利地完成了教學任務，達到了預期的教學目的。但由于學生的基礎較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學過程中，要特別注意學生的實際水平，讓學生提前預習，以保證課堂教學進度。通過本節的學習，使學生了解直接證明的基本方法----綜合法，了解綜合法的思考過程、特點；培養學生的數學計算能力，分析能力，邏輯推理能力。本節的教學應該是比較成功的。

考點預測：1.高考題多以選擇題和填空為主，是高考常考內容；

2.主要考察綜合法。

授課過程：

一、復習準備：

1.提問：基本不等式的形式？

2.討論：如何證明基本不等式a?b(a?0,b?0).2（討論 → 板演 → 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）

二、講授新課：

教學例題：

綜合法證題

例

1、已知a，b，c都是正數，且a，b，c成等比數列，求證：a2?b2?c2?(a?b?c)

2證明：左－右=2（ab+bc－ac）

∵a，b，c成等比數列，∴b2?ac

a?c?a?c 又∵a，b，c都是正數，所以0?b?ac≤2

∴a?c?b

∴2(ab?bc?ac)?2(ab?bc?b2)?2b(a?c?b)?0

∴a2?b2?c2?(a?b?c)2

?abba例

2、已知a,b?R,求證ab?ab.本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法

進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關于

a,b對稱，不妨設a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不

等式得證。

2）商值比較法：設a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不

等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差

（或作商）、變形、判斷符號。

例

3、若實數x?1，求證：3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x2?3x4?1?x2?x4?2x?2x2?2x

3=2(x4?x3?x?1)

=2(x?1)2(x2?x?1)13=2(x?1)2[(x?)2?].2

413?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0, 24

13∴2(x?1)2[(x?)2?]?0, 24

∴3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.分析法證題

例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞

a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)

2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2

＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞

(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

例

2、已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)

分析一:用分析法

證法一:(1)當ac+bd≤0時,(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d

2即證2abcd≤b2c2+a2d2

即證0≤(bc-ad)2

因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,綜合(1)、(2)可知:分析二:用綜合法

證

二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+

分析三:用比較法 證法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 法

∴(a2?b2)(c2?d2)≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤(a2?b2)(c2?d2)例

3、設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。

(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

22由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a-ab+b)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證.課堂小結

分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???，直到所有的已知P都成立；

比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.1、a,b,c?R?,求證

a?b?c)

2、設a, b, c是的△ABC三邊，S是三角形的面積，求證：c2?a2?b2?4ab?.略證：正弦、余弦定理代入得：?2abcosC?4ab?sinC，?即證：2?cosC?C，即：C?cosC?2，即證：sin(C?)?1（成6

立）.新學案31頁6、7,33頁3、4.作業：教材P52 練習2、3題.

第四篇：綜合法和分析法

《綜合法和分析法（1）》導學案

編寫人：馬培文

審核人：杜運鐸

編寫時間：2016-02-24 【學習目標】

結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。【重點難點】

1.結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法； 2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程。

3.根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法。【學法指導】

① 課前閱讀課文（預習教材P85～P89，找出疑惑之處）② 思考導學案中的探究問題，并提出你的觀點。

【知識鏈接】

復習1

兩類基本的證明方法:

和

。復習2

直接證明的兩中方法:

和

。知識點一

綜合法的應用 問題

已知a,b?0, 求證

a(b2?c2)?b(c2?a2)?4abc。

新知

一般地,利用

,經過一系列的推理論證,最后導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫綜合法。反思

框圖表示

因導果。

【典型例題】

例

1111變式

已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證

(?1)(?1)(?1)?8。

abc

要點

順推證法；由已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：

111???9 abc

小結

用綜合法證明不等式時要注意應用重要不等式和不等式性質,要注意公式應用的條件和等號成立的條件,這是一種由因索果的證明。

例2

在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形。

變式

設在四面體P?ABC中,?ABC?90?,PA?PB?PC,D是AC的中點.求證

PD垂直于?ABC所在的平面。

小結

解決數學問題時,往往要先作語言的轉換,如把文字語言轉換成符號語言,或把符號語言轉換成圖形語言等,還要通過細致的分析,把其中的隱含條件明確表示出來。

【基礎達標】

A1.求證

對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?。

B2.A,B為銳角，且tanA?tanB?3tanAtanB?3，求證

A?B?60?.（提示：算tan(A?B)）。

【歸納小結】

綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合

法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題。【知識拓展】

綜合法是中學數學證明中最常用的方法,它是從已知到未知,從題設到結論的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷出發,經過一系列的中間推理,最后導出所要求證的命題,綜合法是一種由因索果的證明方法。【當堂檢測】

1.已知x,y?R,則“xy?1”是“x2?y2?1”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.如果a1,a2,???a8為各項都大于零的等差數列，公差d?0，則（）

A．a1a8?a4a5

B．a1a8?a4a5

C．a1?a8?a4?a5

D．a1a8?a4a5

3..設P?1111???，則（）log211log311log411log511A．0?P?1

B．1?P?2

C．2?P?3

D．3?P?4

3314.若關于x的不等式(k2?2k?)x?(k2?2k?)1?x的解集為(,??)，則k的222范圍是。

a?b,y?a?b，則x,y的大小關系是5.已知a,b是不相等的正數，x?2____。

【能力提升】

b?c?aa?c?ba?b?c1.已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

???3。

abc

2.在△ABC中，證明

cos2Acos2B11???。2222

【學習反思】

① 基礎知識 ＿＿＿。

② 學習方法＿＿＿。

③ 情感認知 ＿＿。

高二數學選修2-2

abab＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

第五篇：直接證明(綜合法)

2.2.1直接證明（綜合法）

一、復習準備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：11??4”，試請此結論推廣猜想.a1a2111???9.abc

先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？

二、講授新課：

1.教學例題：

例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.b?c?aa?c?ba?b?c???3 abc

練習：已知?ABC的3個頂點的坐標分別為A(5,?2),B(1,2),C(10,3)，求證：?ABC為直角三角形。

例3． 求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.例4．已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD..求證：PC⊥BD.2.練習：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBAtanB?A?B?60?.② 已知a?b?c, 求證：

3.小結：

114??.a?bb?ca?c2