第一篇：02直接證明--綜合法

2.2.1 直接證明--綜合法（2）

課型：習題課

教學目標：

知識與技能：結合教學實例，了解直接證明的兩種基本方法之一：綜合法

過程與方法：通過教學實例，了解綜合法的思考過程、特點

情感態度與價值觀：體會數學證明的特點，感受邏輯證明在數學以及日常生活中的作用，養成之有理、論證有據的習慣

重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.教學方法：探究、精講

學習方法：自主、合作探究學習法

教學過程：

【自主學習】

學習內容：

1.直接證明是指。

2.綜合法是指

3．綜合法是一種的方法，推理過程是?… ?

4.綜合法可用框圖表示為：

例題分析：

例1：△ABC在平面?外，AB???P,BC???Q,AC???R,求證：P,Q,R三點共線（圖見課本P37）

例2;在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.例3：在三角形ABC中，設?a,?b,求

a2?b2sin(A?B)?練習1：在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，證明 2sinCcS?ABC?12ab??a?b? 222

【拓展延伸】：設數列『an』前n項和為Sn，且(3?m)Sn?2man?m?3(n?N?)，其中m為常數且m??3（1）求證：『an』是等比數列

（2）若數列『an』的公比為q?f(m)，數列『bn』滿足b1?a1,bn?求證：『1』為等差數列 bn3f(bn?1),(n?N?,n?2)。2

【小結】

進一步熟悉綜合法的思想及特點，會用綜合法證明數學問題。

【作業】：

1：課本P44習題2.2A組中的第2題

2：已知數列『an』滿足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an，證明數列『an?1?an』是等比數列

3：在數列『an』中，a1?1,an?1?2an?2n

（1）設bn?an。證明：數列『bn』是等比數列 2n?1

求數列『an』的前n項和Sn

教學反思：

第二篇：直接證明(綜合法)

2.2.1直接證明（綜合法）

一、復習準備：

1.已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，則

2.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：11??4”，試請此結論推廣猜想.a1a2111???9.abc

先完成證明 → 討論：證明過程有什么特點？

二、講授新課：

1.教學例題：

例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2)+ b(c2 + a2)+ c(a2 + b2)> 6abc.練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證

例2：在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數列，a、b、c成等比數列.求證：為△ABC等邊三角形.b?c?aa?c?ba?b?c???3 abc

練習：已知?ABC的3個頂點的坐標分別為A(5,?2),B(1,2),C(10,3)，求證：?ABC為直角三角形。

例3． 求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?.例4．已知：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD..求證：PC⊥BD.2.練習：

① A,B

為銳角，且tanA?tanBAtanB?A?B?60?.② 已知a?b?c, 求證：

3.小結：

114??.a?bb?ca?c2

第三篇：高中數學直接證明-綜合法

高二數學選修2-2導學案姓名：班級：

編制人：審核：時間：

2.2 直接證明與間接證明

第1課時綜合法

學習目標：了解綜合法的思維過程和特點，掌握綜合法的解題步驟；

會用綜合法證明一些簡單的命題。

在數學證明中，我們經常從已知條件和某些數學定義、公理、定理等出發，通過推理推導出所要的結論。

例:已知a>0,b>0, 求證a(b?c)?b(c?a)?4abc.利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等, 經過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立,這種證明方法叫＿＿＿。

用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論.則綜合法用框圖表示為

:

合作探究：

例1 在△ＡＢＣ中，三個內角Ａ、Ｂ、Ｃ對應的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數列，a、b、c成等比數列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形．

222

2例2 求證：對于任意角?，cos??sin??cos2?.鞏固、提高：

1.已知tan??sin??a,tan??sin??b,求證(a?b)?16ab.2.設實數a，b，c成等比數列，非零實數x，y分別為a與b，b與c的等差中項，試證 2224

4ac??2.xy

小結： 綜合法是從已知的P出發，得到一系列的結論Q1,Q2,???，直到最后的結論是Q.運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題.配餐練習：

1.已知1?tan??1，求證3sin2???4cos2?, 2?tan?

2.已知sin?是sin?,cos?的等差中項，sin?是sin?,cos?的等比中項.求證： cos4??4sin4??3.3.設數列{an}中，a1?1，Sn?1?4an?2(n?N)，設bn?an?1?2an，求證：{bn} 是等比數列.*

第四篇：_直接證明--綜合法與分析法

教學反思：通過本節的學習，學生積極參加課堂教學，順利地完成了教學任務，達到了預期的教學目的。但由于學生的基礎較差，知識遺忘嚴重，在一定程度上影響了教學進度，使課堂上進度比較緊張。所以在以后的教學過程中，要特別注意學生的實際水平，讓學生提前預習，以保證課堂教學進度。

直接證明--綜合法與分析法

1．教學目標：

知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和

綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析

問題和解決問題的能力；

情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

2．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

3．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

4．教具準備：與教材內容相關的資料。

5．教學設想：分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學過程:

學生探究過程：

合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的，數學中的兩大基本證明方法-------直接證明與間接證明。

若要證明下列問題：

已知a,b>0,求證a(b?c)?b(c?a)?4abc

教師活動：給出以上問題，讓學生思考應該如何證明，引導學生應用不等式證明。教師最后歸結證明方法。

學生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法

1.綜合法

綜合法：利用某些已經證明過的不等式（例如算術平均數與幾何平均數定理）和不等式用綜合法證明不等式的邏輯關系是： 222

2?P?Q1??(Q1?Q2)??Q2?Q3??.....??Qn?Q?

綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公例

1、在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.教師——引導

學生——小組討論

討論：若題設中去掉x?1這一限制條件，要求證的結論如何變換？

2.分析法

證明數學命題時，還經常從要證的結論 Q 出發，反推回去，尋求保證 Q 成立的條件，明尸 2 成立，再去尋求尸 2 成立的充分條件尸 3 件、定理、定義、公理等）為止．乞，再去尋求尸 1 成立的充分條件尸 2 ；為了證 ? ? 直到找到一個明顯成立的條件（已知條即使 Q 成立的充分條件尸 1 ．為了證明尸 1 成立，分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么用分析法證明不等式的邏輯關系是：

?Q?P1??(P1?P2).....?(Pn?1?Pn)??Pn?P?

分析法的思維特點是：分析法的書寫格式：

要證明命題B為真，只需要證明命題B1為真，從而有??

這只需要證明命題B2為真，從而又有??

??

這只需要證明命題A而已知A為真，故命題B例

3、求證3?7?2

學生——自主解決

例4 已知?,??k???

2(k?Z)，且

sin??cos??2sin?①

sin?cos??sin2?②1?tan2?1?tan2?求證：。?221?tan?2(1?tan?)

教師——引導

學生——小組合作交流

練習：課本89頁1,2,3

課后作業：第84頁1，2,3

板書設計

第五篇：2.2.1直接證明--綜合法與分析法

課題：直接證明--綜合法與分析法

1．教學目標：

知識與技能：結合已經學過的數學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；

情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。

2．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點

3．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點

4．教具準備：與教材內容相關的資料。

5．教學設想：分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。

6．教學過程:

學生探究過程：證明的方法

（1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

（2）、例1．設a、b是兩個正實數，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2．

證明：(用分析法思路書寫)

要證 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需證a2-2ab+b2＞0成立，即需證(a-b)2＞0成立。

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。(以下用綜合法思路書寫)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證

24223(1?x?x)?(1?x?x).x?1例

2、若實數，求證：

證明：采用差值比較法：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)

2=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x

=2(x?x?x?1)=2(x?1)(x?x?1)432224242

3132(x?1)2[(x?)2?].24 =

13?x?1,從而(x?1)2?0,且(x?)2??0,2

4132(x?1)2[(x?)2?]?0,24223(1?x?x)?(1?x?x).24∴ ∴

abba例

3、已知a,b?R,求證ab?ab.?

本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。

證明：1)差值比較法：注意到要證的不等式關于a,b對稱，不妨設a?b?0.?a?b?0

?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，從而原不等式得證。

2）商值比較法：設a?b?0,aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不等式得證。

注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。

討論：若題設中去掉x?1這一限制條件，要求證的結論如何變換？

鞏固練習：第81頁練習1, 2, 3 ,4課后作業：第84頁1，2,3教學反思：本節課學習了分析法和綜合法的思考過程、特點.“變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。