第一篇：三垂線定理說課

三垂線定理說課

一 關于教材分析方面

高一《立體幾何》中的“三垂線定理”是安排在“直線與平面的垂直的判定與性質”后進行學習的。它是線面垂直性質的延伸。利用三垂線定理及其逆定理，可把判斷空間兩直線的垂直問題轉化為判斷平面上兩直線的垂直問題：也可以把判斷平面上兩直線的垂直問題，轉化為判斷空間兩直線的垂直問題，它是證明空間兩直線垂直的主要依據，在立體幾何中有核心定理的作用。根據教學大綱的要求和加強對學生的素質教育，培養學生基本能力的需要，結合學生的實際情況，我認為本節課的教學目標有三個：

1理解和掌握三垂線定理及其逆定理的內容、證明和應用。

2、通過對定理的學習，培養學生觀察、猜想和論證數學問題的能力。

3、培養學生邏輯推理證明的能力和相互轉化的思想。

本節課的教學重點為定理的理解和應用。針對學生剛學立體幾何空間想象能力不夠強，識圖和分析問題的能力較弱的實際情況，我確定本節課的教學難點為如何在具體圖形中找出適合三垂線定理（或逆定理）的直線和平面。

二 關于教法和學法方面

為使學生深刻理解定理，靈活應用定理，并培養學生的數學基本能力，我根據教與學的實際情況，確定了以學生為主體，教師主導為原則，以“形成命題 證明命題 剖析命題 應用命題”為主線組織教學。用提問法創設情景，激發學生的思維積極性，通過觀察、猜想、歸納總結、邏輯論證等手段，講練結合的方式，幫助學生掌握教材的重點。通過從模型到圖形，從簡單到復雜，從具體到抽象的方法，引導學生觀察分析圖形，剖析定理，抓住主要矛盾，總結出定理應用規律和方法，幫助學生突破教學難點。達到靈活應用定理的目的，具體的措施將體現于教學的全過程之中。

三 關于教學過程

為了達到上述各項教學目標，我是按下面的程序，有目的地實施教學的：

1.復習提問。因為平面的垂線、平面的斜線及射影是三垂線定理的基礎，直線與平面垂直的判定與性質又是證明三垂線定理的基本方法，因此我用提問的形式讓學生溫故知新，作好新課的鋪墊。

2.有意設疑，引入新課。為了喚起學生學習的興趣，把學生的注意力集中起來，調動學生的思維積極性，我通過提出問題，創設情景，引導學生觀察、猜想，發現新的知識，培養學生的探索能力。主要分下面幾個步驟進行：

(1).設問：根據直線和平面垂直的定義，我們知道，平面內的任意一條直線都和平面的垂線垂直。我們想一想，平面內的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？

(2).學生思考后，我再引導學生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如圖），使直尺與三角板的斜邊垂直，引導學生猜想發現規律。

經過實驗，發現直尺與三角板在平面內的直角邊垂直時便與

斜邊垂直。

(3).設問：如果直尺在平面內移動到其它位置，那么直尺與三角板的斜邊是否仍垂直呢？學生 根據

“兩異面直線所成的角”的定理很快得到了垂直的結論。

(4)我再啟發學生把猜想、實驗后得到的結論總結出來，表達成數學命題：

平面內的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直，那么就和平面的這條斜線垂直（板書）

3.（1）證明命題。通過對猜想得到的命題的論證，加深學生對命題內容的認識，使學生的思維提高到演繹推理的水平上來。我通過啟發學生進行思考討論后再進行歸納小結，幫助學生理清證明的基本思路，培養學生相互轉化的數學思想。具體體現為思路：要證線線垂直 線面垂直 線線垂直（平面外一直線與平面內兩條相交直線都垂直），具體證明過程由學生自己完成。

（2）.利用命題變換，培養學生思維的靈活性，進一步深化對定理的學習和理解。我把命題中的已知條件“斜線的射影”與結論中的“斜線”相對換，得到新的命題：

平面內的一條直線如果和平面的斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直（板書）通過對比啟發，學生輕而易舉地掌握了新命題的內容和證明。

（3）.利用列表對比教學法，強化對三垂線定理及其逆定理內容的理解和記憶。

4.剖析命題

為了加深對定理的理解，為靈活應用定理奠定基礎，幫助學生化解難點，我通過設問的方式啟發學生積極思維，經學生討論后再總結，揭示定理的應用方法：

（1）.三垂線定理及其逆定理的內容反映了“四線一面”的相互關系，當平面的垂線和斜線確定后，斜線在平面的射影也可確定，如果在平面內能找到一條直線，它與斜線的射影垂直（或與斜線垂直），那么它就與斜線垂直（或與斜線射影垂直）。

（2）.通過教具演示、圖形分析、設問啟發后，我再對靈活應用定理的程序進行總結，使學生對應用定理有章可循，便于操作，提高學生應用定理的自覺性和

效率。大部分學生對程序：“一找垂、面，二找斜線，三定射影，四證直線”理解深刻，掌握牢固，具體內容為：

二找斜線：接著確定平面的斜線：

一找垂面：即先確定平面及平面的垂線：

三定射影：由上面的垂足和斜足確定斜線的射影；

四證直線：即在平面內證明某一條直線與平面的斜線或斜線的射影垂直。（板書）

5應用命題

為了培養學生靈活應用定理的能力，幫助學生掌握重點，化解難點，我精選了兩條有層次的、由易到難的例題，通過引導學生觀察，分析后，我用設問的方法，深入淺出地引導學生尋找證題的基本思路，確定適應定理的“四線一面”，然后，由學生板書解答后，我再較正學生的證明過程，進一步培養學生的書面語言表達能力和邏輯推理能力。

6課堂小結并布置作業。

為了培養學生思維的完整性，我利用提問的方式引導學生進行課堂小結，進一步加深學生對重點內容的掌握和規律問題的認識，再布置有代表性的課外作業幫助學生鞏固教材的重點。

四 教學效果

本節課采用教師為主導學生為主體的啟發式教學方式，學生反映較好，定理記得牢，理解深刻，應用靈活，不僅讓學生學習了新的知識，而且培養了能力。從學生的課后作業看，書寫規范，推理正確，取得較好的教學效果，圓滿完成本節課的教學任務。

（注：本說課稿獲2002年揭陽市高中數學說課稿評比二等獎）

第二篇：三垂線定理說課搞

三垂線定理說課稿

一、教材分析 1.教材的地位與作用

本節課是學生在已掌握了空間兩條直線的位置關系、直線與平面垂直的位置關系等知識基礎上,進一步研究空間的兩條直線的垂直關系,為今后繼續研究直線與平面的位置關系,空間兩個平面的位置關系打下堅實的知識基礎.因此,本節課的內容是至關重要的,它對知識起到了承上啟下的作用.2.教學目標的確定及依據

全日制《立體幾何》全一冊教參及教學大綱明確指出:高中里開設立體幾何這門課程,目的是要使學生系統地掌握空間圖形的基本性質,從而掌握一些簡單幾何體的畫法,表面積、體積公式,進一步發展他們的邏輯推理能力和空間想象能力,以及應用這些知識去分析問題、解決問題的能力.教學原則明確強調要將思想教育內容滲透到數學教學中,使學生在獲得知識和培養能力的同時,在思想教育方面也應受到良好的熏陶.依據教學目的和原則,以及學生的學習現狀,我制定了本節課將要完成的教育目標: a.知識目標:使學生初步掌握三垂線定理及其應用;b.能力目標:培養學生的空間想象能力和邏輯推理能力;3.重點、難點的確定及依據

學生對三垂線定理的學習普遍感到困難的是一時分不清定理中的各條直線間的關系.為此,在教學過程中要把握住斜線和它在平面上的射影必定同時垂直于平面內的某條直線這一事實作為重點講解的突破口

重點：三垂線定理的證明；

難點：建立空間三線垂直的思維模型，掌握空間問題向平面問題轉化的方法。

二、學情分析

1.學生現狀的分析及對策

雖然高一學生學過平面幾何,已經具備了一定的幾何知識,在立體幾何學習中已經掌握了空間兩條直線的位置關系,直線與平面垂直的判定與性質,斜線的性質等基礎知識,但是學生所具有的空間想象能力畢竟是初步的,另外學生的基礎又參差不齊,為此,在教學中要照顧全局,注重提高差生的學習興趣,耐心講解,耐心輔導.三、教學方法和手段 1.教學方法的采用

根據本節的教學內容及教學目標,以及學生的認知規

律,我采用啟發、引導、探索式相結合的教學方法,啟發、引導學生積極思考,勇于探索,使學生的心理達到一種“欲罷不能”的興奮狀 態,從而產生濃厚的學習興趣,發揮學生的主觀能動性,體現學生的主體作用.四、教學過程： 1.復習,導入新課

通過復習提問前面所學知識,給學生創設一個確定空間兩條直線垂直的方法有哪些的問題情境,學生回答:兩條相交或異面的直線成直角,直線與平面垂直的性質等均可說明兩條直線垂直.今天我們要學習一種新的方法,進而引出新課——三垂線定理.5.2講授概念，形成新知

通過畫圖介紹正射影、斜線、斜足、斜線段等與三垂線定理有關的概念，強調斜線與斜線段、射影與射影線段的區別。

問題：找出圖1中平面AC的正射影、斜線、斜足、斜線段。設計說明：作為描述性的概念，易為學生接受，但要強調關健字詞。通過具體例子的應用準確把握這些概念，也為后續內容奠定基礎。復習舊知，揭示課題

在立體圖形的性質討論或計算中，常常要遇到判定兩條直線垂直的問題或求點到直線距離的問題。這些問題可通過線面垂直的討論或用平移轉化為平面內問題的方法來解決，但這樣做比較煩瑣，是否能 找出直接判定空間兩直線垂直的方法呢？ 例、在立方體ABCD-A1B1C1D1中，1）找出平面AC的斜線BD1在平面AC內的射影；

2）直線BD11和直線AC的位置關系如何？

3）直線BD1和直線AC所成的角 是多少度？

設計說明：通過對答案的分析討論，以及回憶斜線、射影、直線與直線的位置關系，揭示這節課要學的內容與已學知識之間的內在聯系，為發現定理打下基礎。

觀察圖1，并回答“若平面內的一條直線(AC)和這個平面的一條斜線的射影(BD)垂直時，它是否與這條斜線(BD1)也垂直呢？”引出三垂線定理的內容。

設計說明：通過對具體問題的提問，引導學生通過觀察猜想結論，并思考解決的辦法，通過討論用已有知識解決的繁瑣性，自然引出新方法-三垂線定理。

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么這也和這條斜線垂直。

設計說明：引導學生自己根據圖形，寫出已知、求證。把學生分成兩組，規定用幾何、向量兩種方法完成證明。通過對這兩種方法的對比，得出選用向量方法證明的簡單性，突出這節課的重點是概念教學。練習：判斷上述命題是否正確，并說明理由。

1）如果一條直線和斜線在平面上的射影垂直，那么這條直線和斜線垂直；

2）如果平面內的一條直線和斜線在此平面上的射影不垂直，那么它和斜線不垂直；

3）如果一條直線和平面的斜線及斜線在此平面上的射影垂直，那么這條直線在此平面內。

設計說明：通過典型的練習，使學生從不同的圖形、不同的角度去考察三垂線定理，突出對象的本質要素——平面的垂線，從而正確理解三垂線定理，熟練掌握三垂線定理的各種變式及應用的關鍵，這 對強化遷移，進一步培養學生的空間想象能力及邏輯思維能力是十分有利的。5.4小結

概括與三垂線定理有關的概念及三垂線定理的內容。

設計說明：根據內容特點，采用目標式小結，通過細化目標，使新知識內化到學生的知識結構中，也為本課點睛。

為了便于學生掌握本節課的知識點,并突出重點,培養學生的邏輯推理能力和書寫表達的規范化,特把定理的證明和例題的證明過程,作為本節的板書內容.附:板書設計 1.11 三垂線定理

1.三垂線定理: 3.例題:(內容、證明略)(內容、證明略)

第三篇：三垂線定理及其逆定理的練習課教案

三垂線定理及其逆定理的練習課教案

教學目標

1．進一步理解、記憶并應用三垂線定理及其逆定理；

2．理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的證明及其初步應用；（課本第122頁第3題）

3．理解正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直及其應用； 4．了解課本第33頁第11題． 教學重點和難點

教學的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理并應用它們來解有關的題．教學的難點是在講公式cosθ1·cosθ2＝cosθ應用時比較θ2與θ的大小．

教學設計過程

師：上一節課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應用了這兩個定理來解一些有關的題．今天我們要進一步應用這兩個定理來解一些有關的題，先看例1．

例1 如圖1，AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α內，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，設∠BAC＝θ．求證：

cosθ1·cosθ2＝cosθ．

師：這是要證明三個角θ，θ2和θ的余弦的關系，θ已經在直角△ABB′中，我們能否先作出兩個直角三角形分別使θ2和θ是這兩個直角三角形中的銳角．

11生：作B′D⊥AC于D，連BD，則BD⊥AC于D．這時θ2是直角△B′DA中的一個銳角，θ是直角△ABD中的一個銳角．

師：剛才的表述是應用三垂線定理及其逆定理時常常使用的“套話”，我們一定要很好理解并能熟練地應用．現在已經知道θ

1、θ2和θ分別在三個直角三角形中，根據三角函數中的余弦的定義分別寫出這三個角的余弦，再來證明這公式．

師：這個公式的證明是利用余弦的定義把它們轉化成鄰邊與斜邊的比，為此要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應用了三垂線定理．當然也可用它的逆定理．

這個公式是在課本第121頁總復習參考題中的第3題．我們為什么要提前講這個公式呢？講這個公式的目的是為了用這個公式，因為在解許多有關題時都要用到這公式．那我們要問在什么條件下可用這個公式？

生：因為θ1是斜線AB與平面α所成的角，所以只有當圖形中出現斜線與平面所成的角時，才有可能考慮用這公式．

師：為了在使用這個公式時方便、易記，我們規定θ1表示斜線與平面所成的角，θ2是平面內過斜足的一條射線與斜線射影所成的角，θ是這條射線與斜線所成的角．下面我們來研究一下這個公式的應用．

應用這個公式可解決兩類問題．

第一是求值．即已知這公式中的兩個角，即可求出第三個角或其余弦值． 例如：

θ＝60°，這時θ2＜θ；

當θ1＝45°，θ2＝135°時，cosθ＝cos45°·cos135°＝

第二是比較θ2與θ的大小．因為我們已經規定θ1是斜線與平面所成的角，一定有0°＜θ1＜90°，它的大小不變，為了比較θ2與θ的大小，下面分三種情況進行討論．

（1）θ2＝90°，因為θ2＝90°，所以cosθ2＝0，因此cosθ＝cosθ1·cosθ2＝0，故θ＝90°．當θ＝90°時，我們也可以證明θ＝90°．

2一條直線如果和斜線的射影垂直，那么它就和斜線垂直．這就是三垂線定理．

一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直．這就是三垂線定理的逆定理．

所以，我們可以這樣說，這個公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況．

現在我們來研究在θ2是銳角時，θ2與θ的大小．（2）0°＜θ2＜90°．

師：在這個條件下，我們怎樣來比較θ2與θ的大小？

生：因為0°＜θ1＜90°，所以0＜cosθ1＜1，又因為0°＜θ2＜90°，所以0＜cosθ2＜1．又因為cosθ＝cosθ1·cosθ2，所以0＜cosθ1＜1，而且cosθ＝cosθ1·cosθ2＜cosθ2，在銳角條件下，余弦函數值大的它所對應的角小．所以θ2＜θ．

師：現在我們來討論當θ是鈍角時，θ2與θ的大小．

2（3）90°＜θ2＜180°．

在這個條件下，我們不再用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ做理論上的證明來比較θ2與θ的大小，而是一起來看模型（或圖形）．

我們假設θ2的鄰補角為θ′2，θ的鄰補角為θ′，即θ＋θ′2＝180°，θ＋θ′＝180°．在模型（或圖形）中我們可以看出當θ2是鈍角時，θ也是鈍角，所以它們的兩個鄰補角θ′2和θ′都是銳角，由對第二種情況的討論我們

2知道θ′2＜θ′．由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由θ2＝180°－θ′2，θ＝180°－θ′，可得θ2＞θ．

根據以上討論現在小結如下：

當θ2＝90°時，θ＝θ2＝90°，它們都是直角． 當0°＜θ2＜90°時，θ2＜θ，它們都是銳角； 當90°＜θ2＜180°時，θ2＞θ，它們都是鈍角．

關于公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的應用，今后還要隨著課程的進展而反復提到．現在我們來看例2．

例2 如圖2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：

（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G為正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．

師：我們先來證明第（1）問．要證直線與平面垂直即要證什么？ 生：要證A1C與平面C1DB內兩條相交的直線垂直． 師：我們先證A1C為什么與DB垂直？

生：連AC，對平面ABCD來說，A1A是垂線，A1C是斜線，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因為AC⊥DB（正方形的性質），所以 A1C⊥DB．（三垂線定理）

同理可證A1C⊥BC1． 因為A1C⊥平面C1DB（直線與平面垂直的判定理）

（在證A1C⊥BC1時，根據情況可詳、可略，如果學生對應用三垂線定理還不太熟悉，則可讓學生把這證明過程再敘述一遍，因為這時是對平面B1BCC1來說，A1B1是垂線，A1C是斜線，B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影，由B1C⊥BC1，得A1C⊥BC1）

師：現在來證第（2）問，垂足G為什么是正△C1DB的中心？

生：因為A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．

師：現在來證第（3）問，我們注意看正方體的對角面A1ACC1，在這對角面內有沒有相似三角形？

生：在正方體的對角面A1ACC1內，由平面幾何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．

師：例2是在正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直引申而來，而例2也是一個基本的題型，對于以后證有關綜合題型時很有用．所以對例2的證明思路和有關結論，盡可能的理解、記住．現在我們來看例3．

例3 如圖3，已知：Rt△ABC在平面α內，PC⊥平面α于C，D為斜邊AB的中點，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：

（1）P，D兩點間的距離；（2）P點到斜邊AB的距離．

師：現在先來解第（1）問，求P，D兩點間的距離．

師：現在我們來解第（2）問，求P點到AB邊的距離．

生：作PE⊥AB于E，連CE則CE⊥AB．（三垂線定理的逆定理）PE就是P點到AB邊的距離．

師：要求PE就要先求CE，CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角形的三邊如何求它斜邊上的高呢？

生：可用等積式CE·AB＝AC·CB，即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角邊的乘積．

師：這個等積式是怎樣證明的？

生：有兩種證法．因CE·AB是Rt△ABC面積的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面積的二倍，所以它們相等；也可用△BCE∽△ABC，對應邊成比例推出這個等積式．

師：這個等積式很有用，根據這個等積式，我們可以由直角三角形的三邊求出斜邊上的高，這個等積式以后在求有關距離問題時會常常用到，所以要理解、記住、會用．現在就利用這等積式先求CE，再求PE．

師：通過這一題我們要區分兩種不同的距離概念及求法；在求點到直線距離時，經常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時會利用上述的等積式來求斜邊上的高．現在我們來看例4．

例4 如圖4，已知：∠BAC在平面α內，PO α，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．

求證：∠BAO＝∠CAO．

（這個例題就是課本第32頁習題四中的第11題．這個題也可以放在講完課本第30頁例1以后講．不論在講課本第30頁例1，還是在講這個例時，都應先用模型作演示，使學生在觀察模型后，得出相關的結論，然后再進行理論上的證明，這樣使學生對問題理解得具體、實在，因而效果也較好）

師：當我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結論．即斜線PA在平面α上的射線是∠BAC的角平分線所在的直線，現在想一想可以有幾種證法？

生：作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，連PD，PE，則PD⊥AB，PE⊥AC． 所以Rt△PAD≌Rt△PAE，因此PD＝PE，故OD＝OE，所以∠BAO＝∠CAO． 師：今天我們講了公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．能否用這公式來證明這題．（利用這公式來證明這個題，完全是由學生想到的，當然如果有的班學生成績較差，思路不活，也可做些必要的提示）

生：因為∠PAO是斜線與平面α所成的角，所以可以考慮用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ．∠PAO相當于θ1；∠PAB＝∠PAC它們都相當于θ，由公式可得θ2＝θ′2，即∠BAO＝∠CAO．

師：今天我們是應用三垂線定理及其逆定理來解這四個例題．例

1、例

2、例4是三個基本題．對這三個題一定要會證、記住、會用．關于這三個題的應用，以后還會在講課過程中反復出現．在高考題中也曾用到．

作業

課本第33頁第13題． 補充題

1．已知：∠BSC＝90°，直線SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．［45°］

2．已知：AB是平面α的一斜線，B為斜足，AB＝a．直線AB與平面α所成的角等于θ，AB在平面α內的射影A1B與平面α內過B

3．已知：P為Rt△ABC所在平面外一點，∠ACB＝90°，P到直角頂點C的距離等于24，P到平面ABC的距離等于12，P到AC

4．已知：∠BAC在平面α內，PA是平面α的斜線，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：

（1）PD的長；

課堂教學設計說明

1．如前所述，在學習過三垂線定理及其逆定理以后，教學要達到第二個“高潮”．也就是說要學生在這一學科的學習上攀登上第二個高峰．攀登第二個高峰要比攀登第一個高峰（求異面直線所成的角）要困難得多．因為題型較雜，知識面較廣，思路較活．這都給學習造成很大的困難．但是，也正是這種困難才能激發起學生的學習興趣和積極性．所以我不論是在北京師大二附中還是在北京九十二中教學時都安排了一節新課，三節到四節練習課，采用精講多練的方法，使學生見到的題型更多，解題的思路更活．使他們比較容易地登上新的高峰，從而使以后的學習較為順利．

2．在解每一個例題時，如何靈活地應用三垂線定理及其逆定理是我們講課的重點，也是時刻要把握住的中心環節．特別是一個空間圖形有多個平面時，首先要找出“基準平面”，也就是說對于哪一個平面來用三垂線定理或其逆定理，在“基準平面”找出后，再找出“第一垂線”，也就是垂直“基準平面”的直線，然后斜線、射影也就迎刃而解了．

3．在講練習課時，要講的例題很多，但一定要講下述四個基本題：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求證：BC⊥平面PAC．

（2）課本第122頁第3題．（3）課本第33頁第11題．

（4）正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直． 因為上述四個基本題和與之對應的基本圖形常常包含于某些綜合題和與之對應的綜合圖形之中，并且往往起著決定性作用．因此，在我們解一些綜合題時，通過觀察和分析，如果發現存在上述情況，就可以將它們化歸為上述基本題和與之對應的基本圖形去解．這是在解立體幾何題時又一重要的化歸思想——“綜合圖形基本化”．（請參看《數學通報》1998年第2期《化歸方法與立體幾何教學》）

這四個基本題都是應用三垂線定理與其逆定理解題典型．對這四個基本題和與之對應的基本圖形，一定要讓學生會證、理解、掌握、記住．這樣才有可能應用它們來解綜合題，這四個基本題是四個臺階，是向上攀登必不可缺的臺階． 4．為了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ來比較θ2與θ的大小，特選三題供老師們選用．

（1）二面角α-AB-β的平面角是銳角，C是α內一點（它不在棱上），點D是C在β內的射影，點E是棱AB上任一點，∠CEB為銳角，求證：∠BEC＞∠DEB．

（提示：∠CED相當于θ1，∠DEB相當于θ2，∠CEB相當于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是兩個銳角，BC在平面α內，AA′⊥平面α于A′，A′ BC上，求證：∠BAC＜∠BA′C．

（提示：∠ABA′相當于θ1，∠A′BC相當于θ2，∠ABC相當于θ，因為∠ABC為銳角，所以∠A′BC也為銳角，故 θ＞θ2）

AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．試比較這兩個三角形的內角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因為∠ABC是鈍角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是銳角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）

第四篇：三垂線定理2（小編推薦）

三垂線定理

教師：各位評委老師好,非常高興有這樣一個機會和大家一起學習！教師：下面我們開始上課，今天我們來學校立體幾何中的三垂線定理。教師：首先我們來回憶一下前面學習的幾個知識點。教師：⑴直線與平面垂直的定義是什么？

教師：很好！如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直。其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的平面，交點叫做垂足。

教師：⑵如何判斷直線與平面垂直？

教師：對！如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

教師：⑶什么叫平面的斜線，以及斜線在平面內的射影是如何定義的？

教師：如果一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，那么這條直線叫做這個平面的斜線。斜線和平面的交點叫做斜線的斜足。過斜線上任意一點像平面引垂線，垂足為o，則直線oA就是斜線在平面內的射影。

教師：由剛才的復習我們知道，平面的垂線垂直于平面內的每一條直線，平面的斜線顯然不垂直于平面內的任意一條直線。那么請同學們思考？在平面內能否做出斜線的垂線。

教師：好，我看同學們已經做出來了，通過作圖我們發現，平面的斜線在平面內有垂線(我們把它叫做直線a)，而且不只一條，也就是平面內所有與直線a平行的直線都是斜線的垂線。

教師：請同學們看黑板上的圖形并思考，那么請同學們思考我們在平面內找斜線的垂線時，能否找到即與斜線的射影垂直又與斜線垂直的直線。換句話說如果平面內的直線a與平面的斜線PA的射影oA垂直時，直線a是否垂直于平面的斜線PA。同學們說能，你們是怎么的出的結論呢，猜測，但是光是猜測并不能說明問題，下面我們就來證明這個結論。（已知：PO,PA分別是平面?的垂線和斜線，OA是PA在平面?內的射影，a??，且a?OA 求證：a?PA；）

（這個圖的字母錯了，O和A反了）

教師：通過剛才的證明我們就找到了判定平面的一條斜線與平面的斜線垂直的方法：只要它與斜線的射影垂直即可。那以后如果讓我們在平面內做斜線的垂線，只需做斜線射影的垂線即可。在立體幾何中我們把他叫做三垂線定理。

教師板書：

三垂線定理平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直當且僅當它和這條斜線的射影垂直。

（逐字逐句地閱讀定理，同時圈點重要字眼）

這就是立體幾何中重要的三垂線定理，它實質是平面內的直線與平面的斜線垂直的判定定理（即由線面垂直推出了線線垂直）。它集中反映了平面內的一條直線、平面的斜線、以及斜線在平面內的射影這三者的關系

三垂線定理是立體幾何知識中的一個重要定理，不僅在于它給了我們一個證明線線垂直的重要方法，而且他也為研究計算空間角，空間距離，奠定了基礎。

教師：請同學們判斷，三垂線定理的逆命題是否正確？ 教師板書逆命題，學生證明。

教師：好！通過證明我們知道他的逆命題也是正確的，我們稱之為，三垂線定理的逆定理。三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

第五篇：三垂線定理及逆定理-高中數學知識口訣

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三垂線定理及逆定理

上海市同洲模范學校宋立峰

三垂線定理及逆定理

面內直線面外點，過點引出兩直線； 斜線斜足定射影，斜垂射影必共面。面內直線垂射影，該直線就垂斜線。面內直線垂斜線，垂直射影來作伴。

三垂線定理

影垂不怕線斜(形影不離)

即:垂直射影垂斜線

三垂線定理逆定理

斜垂影隨其身(影隨其身)

即:垂直斜線垂射影

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