第一篇：初一數(shù)學(xué)圖形與面積競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案

初一數(shù)學(xué)圖形與面積競(jìng)賽教程含例題練習(xí)及答案

初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 圖形與面積

一、直線圖形的面積

在小學(xué)數(shù)學(xué)中我們學(xué)習(xí)了幾種簡(jiǎn)單圖形的面積計(jì)算方法,數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的面積問題不但具有直觀性,而且變換精巧,妙趣橫生,對(duì)開發(fā)智力、發(fā)展能力非常有益。

圖形的面積是圖形所占平面部分的大小的度量。它有如下兩條性質(zhì): 1.兩個(gè)可以完全重合的圖形的面積相等;2.圖形被分成若干部分時(shí),各部分面積之和等于圖形的面積。

對(duì)圖形面積的計(jì)算,一些主要的面積公式應(yīng)當(dāng)熟記。如: 正方形面積邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng);矩形面積長(zhǎng)×寬;平行四邊形面積底×高;三角形面積底×高÷2;梯形面積(上底+下底)×高÷2。

此外,以下事實(shí)也非常有用,它對(duì)提高解題速度非常有益。1.等腰三角形底邊上的高線平分三角形面積;2.三角形一邊上的中線平分這個(gè)三角形的面積;3.平行四邊形的對(duì)角線平分它的面積;4.等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

解決圖形面積的主要方法有: 1.觀察圖形,分析圖形,找出圖形中所包含的基本圖形;2.對(duì)某些圖形,在保持其面積不變的條件下改變其形狀或位置(叫做等積變形);3.作出適當(dāng)?shù)妮o助線,鋪路搭橋,溝通聯(lián)系;4.把圖形進(jìn)行割補(bǔ)(叫做割補(bǔ)法)。

例1 你會(huì)用幾種不同的方法把一個(gè)三角形的面積平均分成4等份嗎? 解:最容易想到的是將△ABC的底邊4等分, 如左下圖構(gòu)成4個(gè)小三角形,面積都為原來的三 角形面積的。

另外,先將三角形△ABC的面積2等分(如右 上圖),即取BC的中點(diǎn)D,連接AD, 則S△ABDS△ADC,然后再將這兩個(gè)小三角 形分別2等分,分得的4個(gè)小三角形各 自的面積為原來大三角形面積的。還

有許多方法,如下面的三種。請(qǐng)你再想出幾種不同的方法。

例2 右圖中每個(gè)小方格面積都是1cm2,那么六邊形 ABCDEF的面積是多少平方厘米? 分析:解決這類問題常用割補(bǔ)法,把圖形分成幾個(gè)簡(jiǎn)單 的容易求出面積的圖形,分別求出面積。

也可以求出六邊形外空白處的面積,從總面積中減去空 白處的面積,就是六邊形的面積。

解法1:把六邊形分成6塊: △ABC,△AGF,△PEF,△EKD,△CDH和正方形GHKP。用S表示三角形面積,如用S△ABC表示△ABC的面積。

故六邊形ABCDEF的面積等于6+2+1++4+9 說明:當(dāng)某些圖形的面積不容易直接計(jì)算時(shí),可以把這個(gè)圖形分成幾個(gè)部分,計(jì)算各部分的面積,然后相加,也就是說,可以化整為零。

解法2:先求出大正方形MNRQ的面積為6×636(cm2)。

說明:當(dāng)某些圖形的面積不易直接計(jì)算時(shí),可以先求出一個(gè)比它更大的圖形的面積,再減去比原圖形多的那些(個(gè))圖形的面積,也就是說,先多算一點(diǎn),再把多算的部分減去。

解法3:六邊形面積等于

S△ABC+S梯形ACDF-S△DEF6×2×+(3+6)×4×-3×1×6+18-1 說明:“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,從不同的角度去觀察同一個(gè)圖形,會(huì)對(duì)圖形產(chǎn)生不同的認(rèn)識(shí)。一種新的認(rèn)識(shí)的產(chǎn)生往往會(huì)伴隨著一種新的解法。做題時(shí)多想一想,解法就會(huì)多起來,這對(duì)鍛煉我們的觀察能力與思考能力大有益處。

例3 如下圖所示,BD,CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊, △DEF的面積是4cm2,△CED的面積是6cm2。問:四邊形ABEF的面積是多少平方厘米? 解:如下圖,連結(jié)BF。則△BDF與△CFD面積相等, 減去共同的部分△DEF,可得△BEF與△CED面積相等, 等于6cm2。

四邊形ABEF的面積等于

S△ABD-S△DEFS△BDC-S△DEFS△BCE+S△CDE-S△DEF9+6-411(cm2)。

問:兩塊紅色圖形的面積和與兩塊藍(lán)色圖形的面積和, 哪個(gè)大? 分析:只需比較△ACE與△BDF面積的大小。因 為△ACE與△BDF的高相等(都是CD),所以只需比 較兩個(gè)三角形的底AE與BF的大小。

因?yàn)椤鰽CE與△BDF高相等,所以S△ACE>S△BDF。

減去中間空白的小四邊形面積,推知兩塊紅色圖形的面積和大于兩塊藍(lán)色圖形的面積和。

例5 在四邊形ABCD中(見左下圖),線 段BC長(zhǎng)6cm,∠ABC為直角,∠BCD為135°, 而且點(diǎn)A到邊CD的垂線段AE的長(zhǎng)為12cm,線 段ED的長(zhǎng)為5cm,求四邊形ABCD的面積。

解:延長(zhǎng)AB,DC相交于F(見右上圖), 則∠BCF45°,∠FBC90°,從而∠BFC45°。因?yàn)椤螧FC∠BCF,所以BFBC6(cm)。

在Rt△AEF中,∠AFE45°,所以∠FAE90°-45°45°,從而EFAE12(cm)。

故S四邊形ABCDS△ADF-S△BCF102-1884(cm2)。

說明:如果一個(gè)圖形的面積不易直接求出來,可根據(jù)圖形的特征和題設(shè)條件的特點(diǎn),添補(bǔ)適當(dāng)?shù)膱D形,使它成為一個(gè)新的易求出面積的圖形,然

后利用新圖形面積減去所添補(bǔ)圖形的面積,求出原圖形面積。這種利用“補(bǔ)形法”求圖形面積的問題在國(guó)內(nèi)外初中、小學(xué) 數(shù)學(xué)競(jìng)賽中已屢見不鮮。

例6 正六邊形ABCDEF的面積是6cm2,M,N,P分別是所 在邊的中點(diǎn)(如上圖)。

問:三角形MNP的面積是多少平方厘米? 解法1:如左下圖,將正六邊形分成6個(gè)面積為正 1cm2的正三角形,將另外三個(gè)面積為1cm2的正三角形分

別拼在邊BC,DE,AF外面,得到一個(gè)大的正三角形XYZ,其面積是9cm2。

這時(shí),M,N,P分別是邊ZX,YZ,Xy的中點(diǎn),推知

解法2:如右上圖,將正六邊形分成6個(gè)面積為1cm2的正三角形,再取它們各邊的中點(diǎn)將每個(gè)正三角形分為4個(gè)面積為的小正三角形。于是正六邊形ABCDEF被分成了24個(gè)面積為的小正三角形。因?yàn)椤鱉NP由9個(gè)面積為的小正三角形所組成,所以S△MNP×92.25(cm2)

二、圓與組合圖形

以上我們討論了有關(guān)直線圖形面積計(jì)算的種種方法?，F(xiàn)在我們繼續(xù)討論涉及圓的面積計(jì)算。

1.圓的周長(zhǎng)與面積

計(jì)算圓的周長(zhǎng)與面積,有的直接利用公式計(jì)算,有的需要經(jīng)過觀察分析后靈活運(yùn)用公式計(jì)算。主要公式有:(1)圓的周長(zhǎng)π×直徑2π×半徑,即Cπd2πr;(2)中心角為n°的弧的長(zhǎng)度n×π×(半徑)÷180,即1(3)圓的面積π×(半徑)2,即Sπr2;(4)中心角為n°的扇形面積n×π×(半徑)2÷360,即

例7 右圖是三個(gè)半圓(單位:cm),其陰影部分 的周長(zhǎng)是多少? 解:由圖可知,陰影部分是由三個(gè)直徑不同的半 圓周所圍成,所以其周長(zhǎng)為

說明:實(shí)際上,該圖形中兩個(gè)小半圓的直徑之和等于大半圓的直徑,因而它們的周長(zhǎng)也正好等于大半圓的半圓周。

推而廣之,若n個(gè)小圓的直徑之和等于大圓的直徑,即:d1+d2+d3+…+dnD, 那么這些小圓的周長(zhǎng)之和也等于大圓的周長(zhǎng),即 πd1+πd2+πd3+…+πdnπ(d1+d2+d3+…+dn)πD。

例8 某開發(fā)區(qū)的大標(biāo)語牌上,要畫出如下圖所示(圖形陰影部分)的三種標(biāo)點(diǎn)符號(hào):句號(hào)、逗號(hào)、問號(hào)。已知大圓半徑為R,小圓半徑為r,且R2r。若均勻用料,則哪一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的油漆用得多?哪一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)的油漆用得少? 分析:在均勻用料的情形下,油漆用量多少問題可轉(zhuǎn)化為陰影部分的面積大小問題。現(xiàn)在涉及到的基本圖形是圓,弄清陰影部分如何由大小圓分割、組合而成,是解該題的關(guān)鍵點(diǎn)和突破口。

解:因?yàn)镾句號(hào)S大圓-S小圓πR2-πr2π(2r)2-πr23πr2

說明:留意我們的日常生活,不同于課本的“非常規(guī)”問題隨處可見,如何把“非常規(guī)”問題轉(zhuǎn)化為或近似地轉(zhuǎn)化為“常規(guī)”數(shù)學(xué)問題,需要細(xì)心觀察、積極思考,考察轉(zhuǎn)化的可能性和轉(zhuǎn)化的途徑。像上例那樣,認(rèn)真分析圖形的特征和課本圖形的基本關(guān)系,進(jìn)一步探討能否由基本圖形分割而成、組合而成。

2.圓與組合圖形

在日常生活中,除了經(jīng)常遇到直線型(如矩形、正方形、三角形、梯形等)以及曲線型(如圓、扇形等)的面積外,還經(jīng)常遇到不同形狀圖形疊加而成的組合圖形的面積問題。組合圖形的面積計(jì)算,可以根據(jù)幾何圖形的特征,通過分割、割補(bǔ)、平移、翻折、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等方法,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單,變組合圖形為基本圖形的加減組合。

例9 下圖中,ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,分別以AB, BC,CD,DA為直徑畫半圓。求這四個(gè)半圓弧所圍成的陰影 部分的面積。

解:圖中陰影部分是由四個(gè)半圓的重疊部分構(gòu)成的,這 四個(gè)半圓的直徑圍成一個(gè)正方形。顯然,這四個(gè)半圓的面積 之和大于正方形的面積,兩者的差就是陰影部分的面積。因 此,我們就得到以下的算式:

說明:此例除了用上面的解法外,還可以采用列方程解應(yīng)用題的方法來解。

如題圖,設(shè)x和y分別表示相應(yīng)部分的面積,由圖看出

例10 如左下圖所示,平行四邊形的 長(zhǎng)邊是6cm,短邊是3cm,高是2.6cm, 求圖中陰影部分的面積。

分析:本題的圖形比較復(fù)雜,我們可 以先計(jì)算陰影部分的一半(見右上圖)。我們的目標(biāo)是把圖形分解成若干基本圖形 的組合或疊合。本題中的基本圖形就是大、小兩種扇形,以及平行四邊形。仔細(xì)觀察

后得出結(jié)論: 右上圖中的陰影部分等于

說明:求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積,要設(shè)法找出它與規(guī)則圖形面積的關(guān)系,化不規(guī)則為規(guī)則。

例11 求右圖中陰影部分的面積(單位:cm)。

分析與解:本題可以采用一般方法,也就是分別計(jì) 算兩塊陰影部分面積,再加起來,但不如整體考慮好。我們可以運(yùn)用翻折的方法,將左上角一塊陰影部分(弓 形)翻折到半圓的右上角(以下圖中虛線為折痕),把 兩塊陰影部分合在一起,組成一個(gè)梯形(如右圖所示), 這樣計(jì)算就很容易。

本題也可看做將左上角的弓形繞圓心旋轉(zhuǎn)90°,到達(dá)右上角,得到同樣的一個(gè)梯形。

說明:當(dāng)某些圖形的面積不易直接計(jì)算時(shí),可以把這個(gè)圖形的各個(gè)部分適當(dāng)拼接成一個(gè)易于直接計(jì)算的圖形。也就是說,可以化零為整。上述解法運(yùn)用翻折(或旋轉(zhuǎn))的方法達(dá)到了化零為整的目的。

例12 已知右圖中正方形的面積是12cm2,求圖中里外兩個(gè) 圓的面積。

分析:計(jì)算圓面積,要知道半徑。先考慮內(nèi)圓面積。內(nèi)圓 的直徑與正方形的邊長(zhǎng)相等,但正方形的邊長(zhǎng)是未知的。根據(jù) 已知正方形的面積是12cm2,可以推出內(nèi)圓直徑的平方為12cm2, 再求內(nèi)圓面積就不難了。

外圓的直徑是正方形的對(duì)角線,設(shè)外圓半徑為R,則正方形面積等于由一條對(duì)角線分成的兩個(gè)等腰直角三角形的面積之和。再由正方形面積2R×R÷2×22R2,2R212,便可求出外圓面積。解:設(shè)內(nèi)圓半徑為r,由正方形面積為12cm2,正方形邊長(zhǎng)為2r,得(2r)212,r23。

內(nèi)圓面積為πr23.14×39.42(cm2)。

正方形面積2個(gè)等腰直角三角形面積, 得R26,外圓面積為πR23.14×618.84(cm2)。練習(xí)6 1.如右圖所示,正方形的面積是50cm2,三角形ABC兩條直 角邊中,長(zhǎng)邊是短邊的2.5倍,求三角形ABC的面積。2.如右下圖所示,長(zhǎng)方形ABCD中,AB24cm,BC36cm,E 是BC的中點(diǎn),F,G分別是AB,CD的4等分點(diǎn),H為AD上任意 一點(diǎn)。求陰影部分面積。

3.在右圖的4×7的方格紙板上畫有如陰 影所示的“6”字,陰影邊緣是線段或圓孤。問:陰影面積占紙板面積的幾分之幾? 4.在右下圖中,六邊形ABCDEF的面積是 54,AP2PF,CQ2BQ,求陰影四邊形CEPQ的 面積。

5.在右圖中,涂陰影部分的小正六角星形 面積是16cm2。問:大正六角星形面積是多少平方厘米? 6.一個(gè)周長(zhǎng)是56cm的大長(zhǎng)方形,按右面 圖1與圖2所示那樣,劃分為4個(gè)小長(zhǎng)方形。在 圖1中小長(zhǎng)方形面積的比是A∶B1∶2,B∶C 1∶2。而在圖2中相應(yīng)的比例是A'∶B'1∶3, B'∶C'1∶3。又知,長(zhǎng)方形D'的寬減去D的寬 所得到的差,與D'的長(zhǎng)減去D的長(zhǎng)所得到的差之 比為1∶3。求大長(zhǎng)方形的面積。

7.有兩張正方形紙,它們的邊長(zhǎng)都是整厘米數(shù),大的一張的面積比小的一張多44cm2。大、小正方形紙的邊長(zhǎng)分別是少? 8.用面積為1,2,3,4的4張長(zhǎng)方形紙片拼成如右圖所示的 一個(gè)大長(zhǎng)方形。問:圖中陰影部分面積是多少? 練習(xí)6答案: 1.10cm2 解:畫兩條輔助線如左下圖。根據(jù)條件可知,正方形面積是長(zhǎng) 方形ABCD面積的2.5倍。從而ABCD的面積是50÷2.5=20(cm2)。

所以△ABC的面積是20÷210(cm2)2.324cm2。

解:連結(jié)BH?！鰾EH的面積為

把△BHF和△DHG結(jié)合起來考慮, 這兩個(gè)三角形的底BF,DG相等,且都等于

長(zhǎng)方形寬的,它們的高AH與DH之和正好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng),所以這兩個(gè)三角形的面積

之和是×× 24×36108。

圖中陰影部分的面積為 216+108324(cm2)。

非陰影共6個(gè), 也有6個(gè),剛好拼成6個(gè)小正方形。因此陰影部分有28-6-319(個(gè))小正方形。

4.31。

解:如右圖,將正六邊形ABCDEF等分為54個(gè)小正三角 形。根據(jù)平行四邊形對(duì)角線平分平行四邊形面積,采用數(shù)小三 角形的辦法來計(jì)算面積。

S△PEF=3,S△CDE=9,S四邊形ABQp=11。

上述三塊面積之和為 3+9+1123。

因此,陰影四邊形CEPQ面積為54-2331。5.48cm2。

解:如下頁右上圖,陰影部分小正六角星形可分成12個(gè)與三角形OPN全等(能完全重疊在一起)的小三角形。三角形OPN的面積是。正三角形OPM面積是由3個(gè)與三角形OPN全等的三角形組成。所以,正三角形 OPM的面積等于

由于大正六角星形由12個(gè)與正三角形OPM全等的三角形組成,所以大正六角星形的面積是4×1248(cm2)。

6.160cm2。

解:設(shè)大長(zhǎng)方形的寬為xcm,則長(zhǎng)為(28-x)cm。因?yàn)镈寬,D′寬,D長(zhǎng) ,D′長(zhǎng), 所以D′寬-D寬,D′長(zhǎng)-D長(zhǎng)。

由題設(shè)可知

28-820,從而大長(zhǎng)方形的面積為8×20160(cm2)。7.12cm,10cm。

解:把兩張正方形紙重疊在一起,且把右邊多 出的一塊拼到上面,成為一個(gè)長(zhǎng)方形,如右圖。

這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是44cm2,它的長(zhǎng)正好是兩

個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的和,它的寬正好是兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的差。因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)的和與它們的差是同奇或同偶,而44又只能分解成下面的三種形式: 44=1×44=2×22=4×11，所以,兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的厘米數(shù)的和與差只能是22與2。于是,兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是(22+2)÷2=12(cm), 12-2=10(cm)。

解:大長(zhǎng)方形面積為1+2+3+410。如右圖那樣延長(zhǎng)RA和SB。矩形ABPR面積是上部陰影三角形面積的2倍。矩形ABSQ面積是下部陰影三角形面積的2倍。所以矩形RQSP的面積是陰影部分面積的2倍。

第二篇：初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

一、選擇題

1．已知a?***020012001b、c的大小關(guān)系是()b?c?，，則a、***120022002

A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．c>b>a

A．一組B．二組C．三組D．四組 6．方程x2－y2=105的正整數(shù)解有()．

二、填空題

b?cc?a中有個(gè)是負(fù)數(shù)． 7．3個(gè)有理數(shù)a、b、c兩兩不等，則a?bb?cc?aa?b

8．a(chǎn)、b是整數(shù)，且滿足a?b?ab?2，則ab=．

9．一個(gè)自然數(shù)與3的和是5的倍數(shù)，與3的差是6的倍數(shù)，這樣的自然數(shù)中最小的是_________．

10．設(shè)x、y、z是整數(shù)數(shù)位上的不同數(shù)字．那么算式

x

?xyxxx

???

所能得到的盡可能大的三位數(shù)的和數(shù)是

11．甲、乙同在一百米起跑線處，甲留在原地未動(dòng)，乙則以每秒7米的速度跑向百米終點(diǎn)，5秒后甲聽到乙的叫聲，看到乙跌倒在地，已知聲音的傳播速度是每秒340米，這時(shí)乙已經(jīng)跑了_____．米（精確到個(gè)位）

12．五位數(shù)abcde是9的倍數(shù)，其中abcd是4的倍數(shù)，則abcde的最小值是

三、解答題

13．x，y是滿足條件2x?3y?a的整數(shù)（a是整數(shù)），證明必存在一整數(shù)b，使x，y能表示為x??a?3b，y?a?2b的形式．

14．一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)．

15．某甲于上午9時(shí)15分鐘由碼頭劃船出游，計(jì)算最遲于12時(shí)返回原碼頭，已知河水的流速為1．4千米／小時(shí)，劃船時(shí)，船在靜水中的速度可達(dá)3千米／小時(shí)，如果甲每劃30分鐘就需要休息15分鐘，并且船在劃行中不改變方向，只能在某次休息之后往回劃，問甲最多能劃離碼頭多遠(yuǎn)．

答案

一、選擇題

1．由于a?19991999?1999?1001?1999?1?1 200020002000?100120002000

200020002000?100120001 b????1?200120012001?100120012001

200120012001?100120011 c????1?200220022002?100120022002

111，所以ab>a，選D 因?yàn)??200020012002

6．D

二、填空題 a?bb?cc?a=1 ７．因?yàn)??b?cc?aa?b

a?bb?cc?a中必有一個(gè)是正數(shù)，不妨設(shè)a?b所以?0 b?cc?aa?bb?c

有兩種情況：①a>b>c②a

①當(dāng)a>b>c時(shí)，b?cc?a均為負(fù)數(shù)；②當(dāng)a

a?bb?cc?a中恰有兩個(gè)是負(fù)數(shù)。所以b?cc?aa?b

8．∵a、b是整數(shù)，所以a?b與ab非負(fù)整數(shù)，由a?b?ab?2得：

a?b?0，ab?2①

或a?b?1，ab?1②或a?b?2，ab?0③ 2，另一個(gè)為 ±1，此時(shí)a?b是奇數(shù)若①，由ab?2，只能a、b中有一個(gè)為 ±

與a?b?0矛盾，故①不成立． 1，此時(shí)a?b是偶數(shù)與a?b?1矛盾，故若②，由ab?1，只能a、b同為±

②也不成立．因此只能是③，此時(shí)ab?0，有ab=0

9．27

10．由于和數(shù)是三位數(shù)，則x不可能取9，否則和數(shù)會(huì)是四位數(shù)，因此x的最大值是8，為了得到最大和，y應(yīng)當(dāng)取9，這樣，題設(shè)的算式就變成888

?8

994

所以所能得到的盡可能大的三位數(shù)的和數(shù)是994

11．設(shè)乙跑了x米，則在x秒時(shí)乙發(fā)出叫聲，聲音傳到甲處用了1x秒，兩段時(shí)間7340535xxx???34?5，之和等于5，所以?米 ?1?73407340340

12．要abcde最小，必須abcd也最小，且被4整除，所以abcd是1000．補(bǔ)上末位數(shù)字e變?yōu)槲逦粩?shù)，又要是9的倍數(shù)，所以這個(gè)五位數(shù)數(shù)字和應(yīng)是9的倍數(shù)，則補(bǔ)上末位數(shù)字e是8，所以abcde的最小值是10008．

三、解答題

13．∵2x+3y=a

a?3ya?y??y，22

∵x，y是整數(shù)．

a?y∴ 也是整數(shù)． 2

a?3y令b?，則y?a?2b． 2

a?3ya?3(a?2b)??3b?a，這時(shí)，x?22

2x?3y?2(3b?a)?3(a?2b)?6b?2a?3a?6b?a ∴x?

這說明整數(shù)b能使x=-a+3b，y=a－2b滿足方程2x+3y=a．

14．設(shè)此自然數(shù)為x，依題意可得

2??x?45?m①(m，n為自然數(shù))?2??x?44?n②

②－①可得n2?m2?89，n2?x?44?m2?45?44?m2，∴n>m

(n?m)(n?m)?89

但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是n?m?1，n?m?89．

解之，得n=45．代入(2)得x?452?44?1981．故所求的自然數(shù)是1981．

15．甲劃船的全部時(shí)間為2小時(shí)45分鐘，他每劃行30分鐘，休息15分鐘，周期為45分鐘，所以甲一共可分為4個(gè)30分鐘劃行時(shí)間段，中間有3個(gè)15分鐘休息．如果甲開始向下游劃，那么他只能用1個(gè)30分鐘的時(shí)間段向下游劃，否則將無法返回，這時(shí)他離開碼頭的距離為：(3?1.4)?0.5?1.4?0.25?2.55（千米）．

而返回用3個(gè)30分鐘的時(shí)間段所走的距離為

(3?1.4)?1.5?1.4?0.5?1.7（千米）

由此可見，甲如果開始向下游劃，那么到12點(diǎn)時(shí)他將無法返回出發(fā)地．如果甲 開始向上游劃，那么他可以用3個(gè)時(shí)間段向上游劃，這時(shí)他最遠(yuǎn)離開碼頭的距離為

(3?1.4)?1.5?1.4?0.5?1.7（千米）

并用最后一個(gè)時(shí)間段，完全可以返回碼頭．

第三篇：數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽新手教程--分工與合作

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽新手教程(2)--分工與合作

引用：

------------------

有些同學(xué)覺得，參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的目的就是為了提高一下自己的數(shù)學(xué)水平，或是

別的水平，我不以為然。既然參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，其目的就應(yīng)該是，而且是強(qiáng)烈的目的，去

拿一等獎(jiǎng)。

------------------

我們應(yīng)該如何分工？傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)答案是----數(shù)學(xué)，編程，寫作。

但是對(duì)于每一個(gè)參加過數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的同學(xué)來說，感悟各不相同，所以答案也各不相同。下

面就是我的一家之言，有經(jīng)驗(yàn)的朋友也可以一起討論一下。

分工不用那么明確。但有個(gè)前提是大家關(guān)系很好。不然的話，很容易產(chǎn)生矛盾。提醒一點(diǎn)，在搞競(jìng)賽的那幾天，睡不好覺，心情急躁，很容易與搭檔們發(fā)生沖突。分工太明確了，會(huì)讓

人產(chǎn)生依賴思想，不愿去動(dòng)腦子。假如寫手只是實(shí)現(xiàn)一個(gè)打字員的功能，把數(shù)模高手的思想

表達(dá)出來，那是不夠的，寫手要有自己的思想，能夠檢查對(duì)方的錯(cuò)誤，能夠提出自己的思想。

按我的想法，理想的分工是這樣的。數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽小組中的每一個(gè)人，都能勝任其它人的工

作，就算小組只剩下她（他）一個(gè)人，也照樣能夠搞定數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。在競(jìng)賽中的分工，只

是為了提高工作的效率，做出更好的結(jié)果，并不是由于能力不適合做別的工作。

我一直都這么認(rèn)為，只有能夠獨(dú)當(dāng)一面的人，才能更好的與他人合作。其實(shí)想想也應(yīng)該是這

樣的，在以后的學(xué)習(xí)、工作、研究中，數(shù)學(xué)能力、編程能力、論文寫作能力，哪一項(xiàng)是可以

缺少的呢？

當(dāng)然，現(xiàn)實(shí)并非如此。我們很難找到三個(gè)這樣的人湊到一起。所以，湊合著用吧，我給一點(diǎn)

兒建議。三個(gè)人中，一定要有一個(gè)人腦子比較活，善于思考問題，這個(gè)人，嗯，免強(qiáng)歸于數(shù)

學(xué)方面吧；一定要有一個(gè)人會(huì)編程序，能夠?qū)崿F(xiàn)一些算法。這就夠了，另外需要有一個(gè)論文

寫的比較好，不過寫不好也沒關(guān)系，也可以學(xué)嘛，多看一看別人的優(yōu)秀論文，多用幾次Word，Visio就成了。(強(qiáng)烈推薦一篇論文《Word在論文寫作中的技巧》，這篇文章我這兒有，不過怎么讓大家看到呢？待我想想，網(wǎng)上應(yīng)該能搜到吧)。

說到看論文啊，我真是覺得，優(yōu)秀的論文就像《九陰真經(jīng)》一樣，看了之后會(huì)讓你功力大增的。大家一定要多看，特別是想在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中取得好成績(jī)的朋友?？催^論文之后，明白的不僅僅是論文要怎么寫，也在同時(shí)學(xué)到了作者的思考方式。我建議，有決心的朋友不如背

幾篇優(yōu)秀論文。

常常有人問，搞數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是不是需要我學(xué)習(xí)很多知識(shí)啊？比如《圖論》、《概率論》、《神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)》、《組合數(shù)學(xué)》、《小波分析》、《泛函》、《最優(yōu)化》.....我的回答是，一門都不用，甚至連高等數(shù)學(xué)都可以不學(xué)，有我么多時(shí)間去學(xué)這么多課程，還

不如把時(shí)間拿來去看懂別人的論文呢。很多優(yōu)秀的論文，其高明之處并不是用了多少數(shù)學(xué)知

識(shí)，而是思維比較全面、帖合實(shí)際、能解決問題或是有所創(chuàng)新。有時(shí)候，在論文中可能碰見

一些沒有學(xué)過的知識(shí)，怎么辦？現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用唄，在優(yōu)秀論文中用過的數(shù)學(xué)知識(shí)就是最有可能在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中用到的，你當(dāng)然有必要去翻一翻啦。

有些同學(xué)覺得，參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的目的就是為了提高一下自己的數(shù)學(xué)水平，或是別的水平，我不以為然。既然參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，其目的就應(yīng)該是，而且是強(qiáng)烈的目的，去拿一等獎(jiǎng)

。這樣，會(huì)取得好成績(jī)的。

分工就說到這兒，下面講合作。合作真的很難，哈哈，我也沒心得。上次合作做數(shù)模，我差

點(diǎn)兒被氣爆了，可能是我耐性不夠吧。我只能說一句話----以大局為重。我想，如果合作者

中有一個(gè)是小mm，肯定就不一樣了吧，希望大家合作愉快！

第四篇：初一數(shù)學(xué)命題、定理與證明練習(xí)

智立方教育初一數(shù)學(xué)“命題、定理與證明”練習(xí)

1、判斷下列語句是不是命題

（1）延長(zhǎng)線段AB（不是）

（2）兩條直線相交，只有一交點(diǎn)（是）

（3）畫線段AB的中點(diǎn)（不是）

（4）若|x|=2，則x=2（是）

（5）角平分線是一條射線（是）

2、選擇題

（1）下列語句不是命題的是（C）

A、兩點(diǎn)之間，線段最短B、不平行的兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)

C、x與y的和等于0嗎？D、對(duì)頂角不相等。

（2）下列命題中真命題是（C）

A、兩個(gè)銳角之和為鈍角B、兩個(gè)銳角之和為銳角

C、鈍角大于它的補(bǔ)角D、銳角小于它的余角

（3）命題：①對(duì)頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對(duì)頂角；④同位角相等。其中假命題有（B）

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

3、分別指出下列各命題的題設(shè)和結(jié)論。

（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c

（2）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

（1）題設(shè)：a∥b，b∥c結(jié)論：a∥c

（2）題設(shè)：兩條直線被第三條直線所截的同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

結(jié)論：這兩條直線平行。

4、分別把下列命題寫成“如果??，那么??”的形式。

（1）兩點(diǎn)確定一條直線；

（2）等角的補(bǔ)角相等；

（3）內(nèi)錯(cuò)角相等。E

C（1）如果有兩個(gè)定點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)有且只有一條直線 D（2）如果兩個(gè)角分別是兩個(gè)等角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等。

（3）如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等。

5、已知：如圖AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求證：BE∥CF

證明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴∠ABC=∠BCD=90°（垂直定義）

∵∠1=∠2（已知）

∴∠EBC=∠BCF（等式性質(zhì)）∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

6、已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角。求證：∠ACD=∠B。

證明：∵AC⊥BC（已知）

A D∴∠ACB=90°（垂直定義）

∴∠BCD是∠DCA的余角

∵∠BCD是∠B的余角（已知）∴∠ACD=∠B（余角定義，同角的余角相等）；

7、已知，如圖，BCE、AFE是直線，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求證：AD∥BE。

D

證明：∵AB∥CD（已知）∴∠4=∠BAE（兩直線平行同位角相等）∵∠3=∠4（已知）

∴∠3=∠BAE（等量代換）∵∠1=∠2（已知）C E

∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式性質(zhì)）即∠BAE=∠CAD∴∠3=∠CAD（等量代換）

∴AD∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

8、已知，如圖，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°。F

求證：AE∥FD。

B

證明：∵AB∥CD

D

∴∠AGD+∠FDC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠EAB+∠FDC=180°（已知）∴∠AGD=∠EAB（同角的補(bǔ)角相等）∴AE∥FD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

9、已知：如圖，DC∥AB，∠1+∠A=90°。

求證：AD⊥DB。證明：∵DC∥AB（已知）

B

∴∠A+∠ADC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即∠A+∠ADB+∠1=180°∵∠1+∠A=90°（已知）∴∠ADB=90°（等式性質(zhì)）∴AD⊥DB（垂直定義）

10、如圖，已知AC∥DE，∠1=∠2。求證：AB∥CD。

證明：∵AC∥DE（已知）

∴∠2=∠ACD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠ACD（等量代換）

∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

11、已知，如圖，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D。求證：BE⊥DE。

B

C

EB

D、證明：作EF∥AB∵AB∥CD B

∴∠B=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠1=∠B（已知）

∴∠1=∠3（等量代換）

D∵AB∥EF，AB∥（已作，已知）

∴EF∥CD（平行于同一直線的兩直線平行）∴∠4=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠2=∠D（已知）∴∠2=∠4（等量代換）

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角定義）∴∠3+∠4=90°（等量代換、等式性質(zhì)）即∠BED=90°

∴BE⊥ED（垂直定義）

12、求證：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線互相平行。已知：AB∥CD，EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線。求證：EG∥FR。

B 證明：∵AB∥CD（已知）

1∴∠BEF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）G

∵EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線（已知）F

∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC（角平分線定義）∴2∠1=2∠2（等量代換）∴∠1=∠2（等式性質(zhì)）

∴EG∥FR（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

13、如圖，點(diǎn)E在DF上，點(diǎn)B在AC上，∠1=∠2，∠C=∠D． 試說明：∠A=∠F．

考點(diǎn)：平行線的判定與性質(zhì)． 專題：證明題．

分析：先根據(jù)對(duì)頂角相等結(jié)合∠1=∠2推出∠3=∠4，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明BD∥CE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠5=∠C，從而推出∠5=∠D，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行證明AC∥DF，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可得證．

解答：∴∠3=∠4，∴BD∥CE，∴∠5=∠C，∵∠C=∠D，∴∠5=∠D，∴AC∥DF，∴∠A=∠F．

證明：如圖，∵∠1=∠3，∠2=∠4，∠1=∠2，

第五篇：歷屆1-16希望杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽初一及詳細(xì)答案~~

點(diǎn)點(diǎn)文化

希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第一試試題...........................................................1 希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第二試試題...........................................................4 希望杯第二屆（1991年）初中一年級(jí)第一試試題..........................................................11 希望杯第二屆（1991年）初中一年級(jí)第二試試題.........................................................17 希望杯第三屆（1992年）初中一年級(jí)第一試試題.........................................................21 希望杯第三屆（1992年）初中一年級(jí)第二試試題.........................................................25 希望杯第四屆（1993年）初中一年級(jí)第一試試題.........................................................35 希望杯第四屆（1993年）初中一年級(jí)第二試試題.........................................................43 希望杯第五屆（1994年）初中一年級(jí)第一試試題.........................................................51 希望杯第五屆（1994年）初中一年級(jí)第二試試題........................................................57 希望杯第六屆（1995年）初中一年級(jí)第一試試題.........................................................61 希望杯第六屆（1995年）初中一年級(jí)第二試試題.........................................................67 希望杯第七屆（1996年）初中一年級(jí)第一試試題.........................................................77 希望杯第七屆（1996年）初中一年級(jí)第二試試題.........................................................83 希望杯第八屆（1997年）初中一年級(jí)第一試試題.........................................................84 希望杯第八屆（1997年）初中一年級(jí)第二試試題.........................................................91 希望杯第九屆（1998年）初中一年級(jí)第一試試題.........................................................98 希望杯第九屆（1998年）初中一年級(jí)第二試試題.......................................................107 希望杯第十屆（1999年）初中一年級(jí)第二試試題........................................................115 希望杯第十屆（1999年）初中一年級(jí)第一試試題.......................................................123 希望杯第十一屆（2000年）初中一年級(jí)第一試試題...................................................126 希望杯第十一屆（2000年）初中一年級(jí)第二試試題...................................................132 希望杯第十二屆（2001年）初中一年級(jí)第一試試題...................................................135 希望杯第十二屆（2001年）初中一年級(jí)第二試試題...................................................138 希望杯第十三屆（2002年）初中一年級(jí)第一試試題...................................................143 希望杯第十三屆（2001年）初中一年級(jí)第二試試題...................................................146 希望杯第十四屆（2003年）初中一年級(jí)第一試試題...................................................150 希望杯第十四屆（2003年）初中一年級(jí)第二試試題...................................................153 希望杯第十五屆（2004年）初中一年級(jí)第一試試題...................................................158 希望杯第十五屆（2004年）初中一年級(jí)第二試試題...................................................161

希望杯第十六屆（2005年）初中一年紀(jì)第一次試卷

希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第一試試題

二、填空題（每題1分，共10分）

點(diǎn)點(diǎn)文化

111516??(?22)?4? ______． 1.0.0125?3??(?87.5)?5716152．198919902－198919892=______．

(2?1)(22?1)(24?1)(28?1)(216?1)3.=________.232?14.關(guān)于x的方程1?xx?2??1的解是_________.485．1－2＋3－4+5－6+7－8+?+4999－5000=______．

24時(shí),代數(shù)式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____． 125722711(a?b)?(b?a?0.16)?(a?b)的值是7．當(dāng)a=－0.2，b=0.04時(shí)，代數(shù)式737246.當(dāng)x=-______.8．含鹽30%的鹽水有60千克，放在秤上蒸發(fā)，當(dāng)鹽水變?yōu)楹}40%時(shí)，秤得鹽水的重是______克．

10．現(xiàn)在4點(diǎn)5分，再過______分鐘，分針和時(shí)針第一次重合．

答案與提示

二、填空題

提示：

點(diǎn)點(diǎn)文化

2．19891990－19891989

=(19891990+19891989)3(19891990－19891989)=(19891990+19891989)31=39783979． 3．由于(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)=2－1． ***2248

162

481624

162

22(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4 5．1－2+3－4+5－6+7－8+?+4999－5000 =(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+?+(4999－5000)

=－2500．

6．(3x－5x+6x－1)－(x－2x+x－2)+(－2x+3x+1)=5x+2 32

323

點(diǎn)點(diǎn)文化

7．注意到：

當(dāng)a=－0.2，b=0.04時(shí)，a－b=(－0.2)－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0． 2

8．食鹽30%的鹽水60千克中含鹽60330%（千克）設(shè)蒸發(fā)變成含鹽為40%的水重x克，即0.001x千克，此時(shí)，60330%=(0.001x)340% 解得：x=45000（克）． 分針針夾角為120°即

希望杯第一屆（1990年）初中一年級(jí)第二試試題

一、選擇題（每題1分，共5分）

以下每個(gè)題目里給出的A，B，C，D四個(gè)結(jié)論中有且僅有一個(gè)是正確的．請(qǐng)你在括號(hào)填

點(diǎn)點(diǎn)文化

上你認(rèn)為是正確的那個(gè)結(jié)論的英文字母代號(hào)．

1．某工廠去年的生產(chǎn)總值比前年增長(zhǎng)a%，則前年比去年少的百分?jǐn)?shù)是()A．a(chǎn)%． B．(1+a)%． C.a?1a D.100a100?a2．甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍(lán)墨水，從甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時(shí)()A．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少． B．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多． C．甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同． D．甲杯中混入的藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定． 3.已知數(shù)x=100,則()A．x是完全平方數(shù)．B．(x－50)是完全平方數(shù)． C．(x－25)是完全平方數(shù)．D．(x+50)是完全平方數(shù)．

4．觀察圖1中的數(shù)軸：用字母a，b，c依次表示點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的數(shù),則大小關(guān)系是()

111，的abb?ac

A.111111111111??;B.<<;C.<<;D.<<.abb?accb?aabcabb?ab?aabc5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一組整數(shù)解，這個(gè)方程的不同的整數(shù)解共有()A．2組． B．6組．C．12組． D．16組．

二、填空題（每題1分，共5分）

1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．

2．對(duì)于任意有理數(shù)x，y，定義一種運(yùn)算*，規(guī)定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知數(shù)，等式右邊是通常的加、減、乘運(yùn)算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），點(diǎn)點(diǎn)文化

則m的數(shù)值是______．

3．新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個(gè)房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個(gè)門，但不知道每把鑰匙是開哪一個(gè)門的鑰匙，現(xiàn)在要打開所有關(guān)閉著的20個(gè)房間，他最多要試開______次．

4．當(dāng)m=______時(shí)，二元二次六項(xiàng)式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解為兩個(gè)關(guān)于x，y的二元一次三項(xiàng)式的乘積．

5．三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某個(gè)自然數(shù)的平方．

三、解答題（寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共15分）

1．兩輛汽車從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿同一方向同速直線行駛，每車最多只能帶24桶汽油，途中不能用別的油，每桶油可使一輛車前進(jìn)60公里，兩車都必須返回出發(fā)地點(diǎn)，但是可以不同時(shí)返回，兩車相互可借用對(duì)方的油．為了使其中一輛車盡可能地遠(yuǎn)離出發(fā)地點(diǎn)，另一輛車應(yīng)當(dāng)在離出發(fā)地點(diǎn)多少公里的地方返回？離出發(fā)地點(diǎn)最遠(yuǎn)的那輛車一共行駛了多少公里？

2．如圖2，紙上畫了四個(gè)大小一樣的圓，圓心分別是A，B，C，D，直線m通過A，B，直線n通過C，D，用S表示一個(gè)圓的面積，如果四個(gè)圓在紙上蓋住的總面積是5(S－1)，直線m，n之間被圓蓋住的面積是8，陰影部分的面積S1，S2，S3滿足關(guān)系式S3=

11S1=S2,求S． 33

11153.求方程???的正整數(shù)解.xyz6

點(diǎn)點(diǎn)文化

答案與提示

一、選擇題

1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 提示：

1．設(shè)前年的生產(chǎn)總值是m，則去年的生產(chǎn)總值是

前年比去年少

這個(gè)產(chǎn)值差占去年的應(yīng)選D．

2．從甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：

再?gòu)囊冶钩鯽毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是∵①=②∴選C．

① ②

∴x－25=(10+5)可知應(yīng)當(dāng)選C．

n+2

2點(diǎn)點(diǎn)文化

4．由所給出的數(shù)軸表示（如圖3）： 可以看出

∴①＜②＜③，∴選C．

5．方程2x2+5xy+3y2=30可以變形為(2x+3y)(x+y)=1222325 ∵x，y是整數(shù)，∴2x+3y，x+y也是整數(shù)． 由下面的表

可以知道共有16個(gè)二元一次方程組，每組的解都是整數(shù)，所以有16組整數(shù)組，應(yīng)選D．

二、填空題

提示：

1．原方程可以變形為|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0． 2．由題設(shè)的等式x*y=ax+by-cxy 及x*m=x(m≠0)得a20+bm-c202m=0，點(diǎn)點(diǎn)文化

∴bm=0． ∵m≠0，∴b=0． ∴等式改為x*y=ax-cxy． ∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．

∴題設(shè)的等式即x*y=5x-xy．

在這個(gè)等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4． 3．∵打開所有關(guān)閉著的20個(gè)房間，∴最多要試開

4．利用“十字相乘法”分解二次三項(xiàng)式的知識(shí)，可以判定給出的二元二次六項(xiàng)式 6x+mxy-4y-x+17y-15 中劃波浪線的三項(xiàng)應(yīng)當(dāng)這樣分解： 3x-5 2x +3 現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作

然后根據(jù)-4y2，17y這兩項(xiàng)式，即可斷定是：

由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x+5xy-4y-x+17y-15就是原六項(xiàng)式，所以m=5． 5．設(shè)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)是a-1，a，a+1，則它們的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，顯然，這個(gè)和被3除時(shí)必得余數(shù)2．

另一方面，自然數(shù)被3除時(shí)，余數(shù)只能是0或1或2，于是它們可以表示成 3b，3b+1，3b+2（b是自然數(shù)）中的一個(gè)，但是它們的平方(3b)=9b

(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)=9b+12b+4 222

22222

點(diǎn)點(diǎn)文化

=(9b2+12b+3)+1 被3除時(shí)，余數(shù)要么是0，要么是1，不能是2，所以三個(gè)連續(xù)自然數(shù)平方和不是某個(gè)自然數(shù)的平方．

三、解答題

1．設(shè)兩輛汽車一為甲一為乙，并且甲用了x升汽油時(shí)即回返，留下返程需的x桶汽油，將多余的(24-2x)桶汽油給乙．讓乙繼續(xù)前行，這時(shí)，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依題意，應(yīng)當(dāng)有48-3x≤24，∴x≥8．

甲、乙分手后，乙繼續(xù)前行的路程是

這個(gè)結(jié)果中的代數(shù)式30(48-4x)表明，當(dāng)x的值愈小時(shí)，代數(shù)式的值愈大，因?yàn)閤≥8，所以當(dāng)x=8時(shí)，得最大值30(48-428)=480（公里），因此，乙車行駛的路程一共是2(6028+480)=1920（公里）． 2．由題設(shè)可得

即2S-5S3=8??②

∴x，y，z都＞1，點(diǎn)點(diǎn)文化

因此，當(dāng)1＜x≤y≤z時(shí)，解

(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四組．

由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15組解．

希望杯第二屆（1991年）初中一年級(jí)第一試試題

一、選擇題（每題1分，共15分）

以下每個(gè)題目的A，B，C，D四個(gè)結(jié)論中，僅有一個(gè)是正確的，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)填上正確的那個(gè)結(jié)論的英文字母代號(hào)．

1．?dāng)?shù)1是()

D．最小有理數(shù)． A．最小整數(shù)． B．最小正數(shù)．C．最小自然數(shù)．

點(diǎn)點(diǎn)文化

2．若a＞b，則()A.11?;B．-a＜-b．C．|a|＞|b|． abD．a(chǎn)＞b．

223．a(chǎn)為有理數(shù)，則一定成立的關(guān)系式是()A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7． 4．圖中表示陰影部分面積的代數(shù)式是()A．a(chǎn)d+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．a(chǎn)d+c(b-d)．D．a(chǎn)b-cd． 5．以下的運(yùn)算的結(jié)果中，最大的一個(gè)數(shù)是()

1;246811C.(-13579)3;D.(-13579)÷

24682468A．(-13579)+0.2468;B.(-13579)+6．3.141637.5944+3.14163(-5.5944)的值是()A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692． 7.如果四個(gè)數(shù)的和的1是8,其中三個(gè)數(shù)分別是-6,11,12,則笫四個(gè)數(shù)是()4A．16． B．15． C．14． D．13．

11且小于-的是()3411436 A.-;B.-;C.-;D.-.2013161739.方程甲:(x-4)=3x與方程乙:x-4=4x同解,其根據(jù)是()48.下列分?jǐn)?shù)中,大于-A.甲方程的兩邊都加上了同一個(gè)整式x．B.甲方程的兩邊都乘以C.甲方程的兩邊都乘以10．如圖: O是原點(diǎn),則

4x;343;D.甲方程的兩邊都乘以.34，數(shù)軸上標(biāo)出了有理數(shù)a，b，c的位置,其中111，的大小關(guān)系是()abc111111111111 A.??;B.>>;C.>>;D.>>.abcbcabaccabx5?11.方程的根是()22.23.7

點(diǎn)點(diǎn)文化

A．27． B．28． C．29． D．30． 12.當(dāng)x=

4x?2y1,y=-2時(shí),代數(shù)式的值是()

xy2A．-6． B．-2． C．2． D．6．

13．在-4，-1，-2.5，-0.01與-15這五個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)與絕對(duì)值最大的那個(gè)數(shù)的乘積是()A．225． 14.不等式1?B．0.15．C．0.0001．

D．1．

xxxx????x的解集是()248161A．x＜16． B．x＞16．C．x＜1． D.x>-.1615．濃度為p%的鹽水m公斤與濃度為q%的鹽水n公斤混合后的溶液濃度是()

(mp?nq)p?q(mp?nq)%;D.(mp?nq)%%;B.%.A.;C.p?q2m?n

二、填空題（每題1分，共15分）

1． 計(jì)算：(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=______．

1=_______.6(?63)?363． 計(jì)算：=__________.1622． 計(jì)算：-3÷6324． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 計(jì)算:111111?????=_________.2612203042n6．n為正整數(shù)，1990-1991的末四位數(shù)字由千位、百位、十位、個(gè)位、依次排列組成的四位數(shù)是8009．則n的最小值等于______．

7.計(jì)算：??8.計(jì)算：?191919??1919??????=_______.9191919191????1[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.5

點(diǎn)點(diǎn)文化

?1?9.在(-2),(-3),????2?555?1?,???中,最大的那個(gè)數(shù)是________.?3?510．不超過(-1.7)2的最大整數(shù)是______． 11.解方程2x?110x?12x?1???1,x?_____.3124355?355??????113?113?12.求值:=_________.355??????113?13．一個(gè)質(zhì)數(shù)是兩位數(shù)，它的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7，則這個(gè)質(zhì)數(shù)是______． 14.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的負(fù)倒數(shù)是

1,則這個(gè)數(shù)是_______.1915．如圖11，a，b，c，d，e，f均為有理數(shù)．圖中各行，各列、兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)ab?cd?ef之和都相等,則=____.a?b?c?d?e?f答案與提示

一、選擇題

1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D 提示：

1．整數(shù)無最小數(shù)，排除A；正數(shù)無最小數(shù)，排除B；有理數(shù)無最小數(shù)，排除D．1是最小自然數(shù)．選C．

有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有2＜(-3)，排除D；事實(shí)上，a＞b必有-a＜-b．選B．

3．若a=0，730=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事實(shí)上因?yàn)?＞0，必有7+a＞0+a=a．選B．

4．把圖形補(bǔ)成一個(gè)大矩形，則陰影部分面積等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．選C．

22點(diǎn)點(diǎn)文化

5．運(yùn)算結(jié)果對(duì)負(fù)數(shù)來說絕對(duì)值越小其值越大。

6．3.141637.5944+3.14163(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=233.1416 =6.2832．選B．

為32．第四個(gè)數(shù)數(shù)=32-(-6+11+12)=15．選B．

新方程x-4=4x與原方程同解．選C．

13．-4，-1，-2.5，-0.01與-15中最大的數(shù)是-0.01，絕對(duì)值最大的數(shù)是-15，(-0.01)3(-15)=0.15．選B．

15．設(shè)混合溶液濃度為x，則m3p%+n3q%=(m+n)x．

二、填空題 提示：

1．(-1)+(-1)-(-1)3(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1．

點(diǎn)點(diǎn)文化

4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019．

6．1990n的末四位數(shù)字應(yīng)為1991+8009的末四位數(shù)字．即為0000，即1990n末位至少要4個(gè)0，所以n的最小值為4．

(-1993)]=-1991．

10．(-1.7)2=2.89，不超過2.89的最大整數(shù)為2．

去分母得

4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12． 8x-4-10x-1=6x+3-12． 8x-10x-6x=3-12+4+1．

點(diǎn)點(diǎn)文化

13．十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大7的兩位數(shù)有70，81，92，個(gè)位數(shù)比十位數(shù)大7的兩位數(shù)有18，29，其中只有29是質(zhì)數(shù)．

b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)之和等于9．易求得a=4，e=1，c=5，f=0．

希望杯第二屆（1991年）初中一年級(jí)第二試試題

二、填空題（每題1分，共10分）

1． 絕對(duì)值大于13并且小于15.9的所有整數(shù)的乘積等于______．

mm?900?2132112． 單項(xiàng)式xyz與3xy2z7?17是同類項(xiàng),則m=________.4190091=_________.199019912?19901989?19901991114． 現(xiàn)在弟弟的年齡是哥哥年齡的,而9年前弟弟的年齡只是哥哥的,則哥哥現(xiàn)在253． 化簡(jiǎn):

點(diǎn)點(diǎn)文化 的年趟齡是_____.5． 某同學(xué)上學(xué)時(shí)步行，放學(xué)回家乘車往返全程共用了1.5小時(shí)，若他上學(xué)、下學(xué)都乘車．則只需0.5小時(shí)．若他上學(xué)、下學(xué)都步行，則往返全程要用______小時(shí)．

6． 四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的倒數(shù)之和是2

219,則這四個(gè)正整數(shù)兩兩乘積之和等于______． 20.7．1.2345+0.7655+2.46930.7655=______．

8.在計(jì)算一個(gè)正整數(shù)乘以3.57的運(yùn)算時(shí),某同學(xué)誤將3.57錯(cuò)寫為3.57,結(jié)果與正確答案相差14,則正確的乘積是_______.9．某班學(xué)生人數(shù)不超過50人．元旦上午全班學(xué)生的.21去參加歌詠比賽, 全班學(xué)生的94去玩乒乓球,而其余學(xué)生都去看電影,則看電影的學(xué)生有________人.10．游泳者在河中逆流而上．于橋A下面將水壺遺失被水沖走．繼續(xù)前游20分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水壺．在橋A下游距橋A 2公里的橋B下面追到了水壺．那么該河水流的速度是每小時(shí)______公里．

三、解答題（每題5分，共10分，要求：寫出完整的推理、計(jì)算過程，語言力求簡(jiǎn)明，字跡與繪圖力求清晰、工整）

1.有一百名小運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)服的號(hào)碼恰是從1到100這一百個(gè)自然數(shù)，問從這100名運(yùn)動(dòng)員中至少要選出多少人，才能使在被選出的人中必有兩人，他們運(yùn)動(dòng)服的號(hào)碼數(shù)相差9？請(qǐng)說明你的理由．

2．少年科技組制成一臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過程是：輸入第一個(gè)整數(shù)x1，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)x2后則顯示|x1-x2|的結(jié)果，此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對(duì)值的運(yùn)算，現(xiàn)小明將從1到1991這一千九百九十一個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為p．試求出p的最大值，并說明理由．

二、填空題 提示：

點(diǎn)點(diǎn)文化

1．絕對(duì)值大于13而小于15.9的所有整數(shù)是-15，-14，14，15，其乘積為(-14)(-15)(14)(15)=44100．

3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1．

則分母199019912-19901989319901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1)．

5．設(shè)步行速度為x，乘車速度為y，學(xué)校到家路程為s，則

6．設(shè)所求的四個(gè)連續(xù)整數(shù)分別為a，a+1，∴a=2不合題設(shè)條件．

和為334+335+336+435+436+536=119．

7．令x=1.2345，y=0.7655，則2xy=2.46930.7655，1.23452+0.76552+2.4693

點(diǎn)點(diǎn)文化

0.7655=(x+y)2=(1.2345+0.7655)2=22=4

9．顯然全班人數(shù)被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人數(shù)小于50，可見全班總計(jì)36人，看電影的同學(xué)為36-8-9=19．

10．設(shè)該河水速每小時(shí)x公里．游泳者每小時(shí)

解得x=3．即該河水速每小時(shí)3公里．

三、解答題

1．若選出54個(gè)人，他們的號(hào)碼是1，2，?，8，9，19，20，?，26，27，37，38?，44，45，55，56，?，62，63，73，74，?，80，81，91，92?，98，99．的時(shí)候，任兩個(gè)人號(hào)碼數(shù)之差均不等于9．

可見，所選的人數(shù)必≥55才有可能．

我們證明，至少要選出55人時(shí)一定存在兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員號(hào)碼之差恰是9．

被選出的55人有55個(gè)不同號(hào)碼數(shù)，由于55=639+1，所以其中必有7個(gè)號(hào)碼數(shù)被9除余數(shù)是相同的．但由1—100這一百個(gè)自然數(shù)中，被9除余數(shù)相同的數(shù)最多為12個(gè)數(shù)．因此7個(gè)數(shù)中一定有兩個(gè)是“大小相鄰”的，它們的差等于9．

點(diǎn)點(diǎn)文化

所以至少要選出55名小運(yùn)動(dòng)員，才能使其中必有兩人運(yùn)動(dòng)服的號(hào)碼數(shù)相差9． 2．由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù)．當(dāng)x1≥0，x2≥0時(shí)，|x1-x2|不超過x1，x2中最大的數(shù)．對(duì)x1≥0，x2≥0，x3≥0，則||x1-x2|-x3|不超過x1，x2，x3中最大的數(shù)．小明輸入這1991個(gè)數(shù)設(shè)次序是x1，x2，?，x1991，相當(dāng)于計(jì)算：||?||x1-x2|-x3|??-x1990|-x1991|=P．因此P的值≤1991．

另外從運(yùn)算奇偶性分析，x1，x2為整數(shù)．

|x1-x2|與x1+x2奇偶性相同．因此P與x1+x2+?+x1991的奇偶性相同．

但x1+x2+?+x1991=1+2+?1991=偶數(shù)．于是斷定P≤1990．我們證明P可以取到1990． 對(duì)1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．

|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，對(duì)k=0，1，2，?均成立．因此，1-1988可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為0．而后||1989-1990|-1991|=1990．

所以P的最大值為1990．

希望杯第三屆（1992年）初中一年級(jí)第一試試題

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.有理數(shù)-1a一定不是()A．正整數(shù)． B．負(fù)整數(shù)．C．負(fù)分?jǐn)?shù)． D．0．

2．下面給出的四對(duì)單項(xiàng)式中，是同類項(xiàng)的一對(duì)是()A.121321xy與-3x2z;B.3.22m2n3與nm;C.0.2a2b與0.2ab2;D.11abc與ab.31119923．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3． 4．兩個(gè)10次多項(xiàng)式的和是()A．20次多項(xiàng)式．B．10次多項(xiàng)式．C．100次多項(xiàng)式．D．不高于10次的多項(xiàng)式． 5．若a+1＜0，則在下列每組四個(gè)數(shù)中，按從小到大的順序排列的一組是()A．a(chǎn)，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a． 6．a(chǎn)=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，則()A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a(chǎn)＞b＞c． D．b＞c＞a．

7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中結(jié)果是正數(shù)的是()

點(diǎn)點(diǎn)文化

A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)． 8．從2a+5b減去4a-4b的一半，應(yīng)當(dāng)?shù)玫?)A．4a-b． B．b-a．C．a(chǎn)-9b． D．7b．

9．a(chǎn)，b，c，m都是有理數(shù)，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b與c()A．互為相反數(shù)． B．互為倒數(shù)． C．互為負(fù)倒數(shù)． D．相等．

10．張梅寫出了五個(gè)有理數(shù)，前三個(gè)有理數(shù)的平均值為15，后兩個(gè)有理數(shù)的平均值是10，那么張梅寫出的五個(gè)有理數(shù)的平均值是()A.5;B.811;C.12;D.13.32二、填空題（每題1分，共10分）

1． 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______． 2．(?2)?5?(?8)?(?12)=_________________.(?3)?4?(?***.[(?1)?(?1)?(?1)?(?1)]=_________________.124.若P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b，則代入到代數(shù)式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化簡(jiǎn)后，是______．

19905.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)]}=_______________.22222233a2b36.六個(gè)單項(xiàng)式15a,xy,ab,0.11m,-abc,-的數(shù)字系數(shù)之和等于342_____________.7．小華寫出四個(gè)有理數(shù)，其中每三數(shù)之和分別為2，17，-1，-3，那么小華寫出的四個(gè)有理數(shù)的乘積等于______．

8．一種小麥磨成面粉后，重量要減少15%，為了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麥．

9.滿足2?x2x?1?的x值中,絕對(duì)值不超過11的那些整數(shù)之和等于______． 23 10．在下圖所示的每個(gè)小方格中都填入一個(gè)整數(shù)：

并且任意三個(gè)相鄰格子中所填數(shù)之和都等于5,則

答案與提示

一、選擇題

x?y?z=__________.xyz1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D 9．A 10．D 提示：

點(diǎn)點(diǎn)文化

故選D．

2．依同類項(xiàng)的定義，選B． 3．(x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1，選C．

1010224．多項(xiàng)式x+x與-x+x之和為x+x是個(gè)次數(shù)低于10次的多項(xiàng)式，因此排除了A、B、C，選D．

5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序應(yīng)是a＜-1＜1＜-a，選A．

6．易見a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，選B．

7．因?yàn)閍＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0．a(chǎn)b+a＜0，ab-b＜0．所以應(yīng)有(a-b)(ab+a)＞0成立，選A．

=2a+5b-2a+2b=7b，選D．

9．因?yàn)閍+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互為相反數(shù)，選A． 10．前三個(gè)數(shù)之和=1533，后兩個(gè)數(shù)之和=1032．

所以五個(gè)有理數(shù)的平均數(shù)為

二、填空題

提示：

1．前12個(gè)數(shù)，每四個(gè)一組，每組之和都是0．所以總和為14+15=29．

點(diǎn)點(diǎn)文化

4．因?yàn)镻-[Q-2P-(-P-Q)] =P-Q+2P+(-P-Q)=P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q)以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，2222原式=2(P-Q)=2[(a+3ab+b)-(a-3ab+b)] =2(6ab)=12ab．

6．六個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)依次為：

7．小華寫四個(gè)有理數(shù)之和為

分別減去每三數(shù)之和后可得這四個(gè)有理數(shù)依次為3，-12，6，8．所以，這四個(gè)有理數(shù)的乘積=33(-12)3638=-1728．

8．設(shè)需要x公斤小麥，根據(jù)題意，得

解方程，得x=5000． 答：需要5000公斤小麥．

點(diǎn)點(diǎn)文化

去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)去括號(hào)，得6+3x≥4x-2 移項(xiàng)，得3x-4x≥-2-6 合并同類項(xiàng)-x≥-8 于是x≤8．

其中絕對(duì)值不超過11的整數(shù)之和為(-9)+(-10)+(-11)=-30． 10．容易斷定與x相鄰的兩個(gè)數(shù)分別為9與2，即

因?yàn)?+x+2=5，則x=-6，依任意三個(gè)相鄰格子中所填數(shù)之和都等于5，分別確定出每個(gè)格子中所填之?dāng)?shù)如下：

斷定y=-6，z=9．所以

希望杯第三屆（1992年）初中一年級(jí)第二試試題

一、選擇題（每題1分，共10分）

1．若8.047=521.077119823，則0.8047等于()A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.00521077119823． 2．若一個(gè)數(shù)的立方小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是()A．正數(shù)． B．負(fù)數(shù)．C．奇數(shù)． D．偶數(shù)．

3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，則下列關(guān)系式中正確的是()A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a(chǎn)＞b＞-a＞-b． 4．在1992個(gè)自然數(shù)：1，2，3，?，1991，1992的每一個(gè)數(shù)前面任意添上“+”號(hào)或“-”號(hào)，則其代數(shù)和一定是()A．奇數(shù)． B．偶數(shù)．C．負(fù)整數(shù)．

33D．非負(fù)整數(shù)．

點(diǎn)點(diǎn)文化

5．某同學(xué)求出1991個(gè)有理數(shù)的平均數(shù)后，粗心地把這個(gè)平均數(shù)和原來的1991個(gè)有理數(shù)混在一起，成為1992個(gè)有理數(shù)，而忘掉哪個(gè)是平均數(shù)了．如果這1992個(gè)有理數(shù)的平均數(shù)恰為1992．則原來的1991個(gè)有理數(shù)的平均數(shù)是

()A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5．

6．四個(gè)互不相等的正數(shù)a，b，c，d中，a最大,d最小,且,則a+d與b+c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)+d＜b+c． B．a(chǎn)+d＞b+c．C．a(chǎn)+d=b+c． D．不確定的．

?x?1992y?p7.已知p為偶數(shù),q為奇數(shù),方程組?的解是整數(shù),那么()

1993x?3y?q?A.x是奇數(shù)，y是偶數(shù)．B．x是偶數(shù)，y是奇數(shù)． C．x是偶數(shù)，y是偶數(shù)．D．x是奇數(shù)，y是奇數(shù)． 8．若x-y=2，x2+y2=4，則x1992+y1992的值是()A．4． B．19922．C．21992． D．41992．

9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的數(shù)，并且3x-2y=1，那么代數(shù)式10x+y可以取到()不同的值．

A．1個(gè)． B．2個(gè)．C．3個(gè)．

D．多于3個(gè)的．

10．某中學(xué)科技樓窗戶設(shè)計(jì)如圖15所示．如果每個(gè)符號(hào)（窗戶形狀）代表一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)碼，每橫行三個(gè)符號(hào)自左至右看成一個(gè)三位數(shù)．這四層組成四個(gè)三位數(shù)，它們是837，571，206，439．則按照?qǐng)D15中所示的規(guī)律寫出1992應(yīng)是圖16中的()

二、填空題（每題1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六個(gè)有理數(shù),關(guān)且

a1b1c1d1e1?,?,?,?,?,則b2c3d4e5f6f=_____.a

點(diǎn)點(diǎn)文化

2．若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和等于1992．則這三個(gè)偶數(shù)中最大的一個(gè)與最小的一個(gè)的平方差等于______．

3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，則(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______． 4．三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，a+b,a的形式,又可表示為0,則a199

2b,b, 的形式,a+b1993=________.5．海灘上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了這堆核桃的個(gè)數(shù)的去,第二天吃掉的核桃數(shù)再加上3個(gè)就是第一天所剩核桃數(shù)的____個(gè).2,又扔掉4個(gè)到大海中55,那么這堆核桃至少剩下86．已知不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰是1，2，3．那么a的取值范圍是______． 7．a(chǎn)，b，c是三個(gè)不同的自然數(shù)，兩兩互質(zhì)．已知它們?nèi)我鈨蓚€(gè)之和都能被第三個(gè)整除．則a3+b3+c3=______．

8．若a=1990，b=1991，c=1992，則a2+b2+c2-ab-bc-ca=______． 9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這個(gè)10個(gè)自然數(shù)填到圖17中10個(gè)格子里，每個(gè)格子中只填一個(gè)數(shù)，使得田字形的4個(gè)格子中所填數(shù)字之和都等于p．則p的最大值是______．

10．購(gòu)買五種教學(xué)用具A1，A2，A3，A4，A5的件數(shù)和用錢總數(shù)列成下表：

那么，購(gòu)買每種教具各一件共需______元．

三、解答題（每題5分，共10分）

1．將分別寫有數(shù)碼1，2，3，4，5，6，7，8，9的九張正方形卡片排成一排，發(fā)現(xiàn)恰

點(diǎn)點(diǎn)文化

是一個(gè)能被11整除的最大的九位數(shù)．請(qǐng)你寫出這九張卡片的排列順序，并簡(jiǎn)述推理過程．

2．一個(gè)自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個(gè)新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個(gè)“希望數(shù)”．

(1)請(qǐng)你舉例說明：“希望數(shù)”一定存在．

(2)請(qǐng)你證明：如果a，b都是“希望數(shù)”，則ab一定是729的倍數(shù)．

答案與提示

一、選擇題

1．A 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 提示：

所以將8.047=512.077119823的小數(shù)點(diǎn)向前移三位得0.512077119823，即為0.8047的值，選A．

2．設(shè)該數(shù)為a，由題意-a為a的相反數(shù)，且有a＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因?yàn)閍2+1＞0，所以a＜0,即該數(shù)一定是負(fù)數(shù)，選B．

3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在數(shù)軸上直觀表示出來，b到原點(diǎn)的距離大于a到原點(diǎn)的距離，如圖18所示．所以-b＞a＞-a＞b，選A．

4．由于兩個(gè)整數(shù)a，b前面任意添加“+”號(hào)或“-”號(hào)，其代數(shù)和的奇偶性不變．這個(gè)性質(zhì)對(duì)n個(gè)整數(shù)也是正確的．因此，1，2，3?，1991，1992，的每一個(gè)數(shù)前面任意添上“+”號(hào)或“-”號(hào)，其代數(shù)和的奇偶性與(-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶數(shù)，所以選B．

5．原來1991個(gè)數(shù)的平均數(shù)為m，則這個(gè)1991個(gè)數(shù)總和為m31991．當(dāng)m混入以后，那1992個(gè)數(shù)之和為m31991+m,其平均數(shù)是1992，∴m=1992，選C．

33點(diǎn)點(diǎn)文化

6．在四個(gè)互不相等的正數(shù)a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．

所以a+b＞b+c，成立，選B． 7．由方程組

以及p為偶數(shù)，q為奇數(shù)，其解x，y又是整數(shù)． 由①可知x為偶數(shù)，由②可知y是奇數(shù)，選B． 8．由x-y=2 ①平方得x-2xy+y=4 又已知x2+y2=4 ③

所以x，y中至少有一個(gè)為0，但x+y=4．因此，x，y中只能有一個(gè)為0，另一個(gè)為2或-2．無論哪種情況，都有

x199

22222②

+y1992=01992+(±2)1992=21992，選C．

9．設(shè)10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得

由于x，y取0—9的整數(shù)，10x+y=a的a值取非負(fù)整數(shù)．由(*)式知，要a為非負(fù)整數(shù)，23x必為奇數(shù)，從而x必取奇數(shù)1，3，5，7，9．

三個(gè)奇數(shù)值，y相應(yīng)地取1，4，7這三個(gè)值．這時(shí)，a=10x+y可以取到三個(gè)不同的值11，點(diǎn)點(diǎn)文化

34和57，選C．

二、填空題

提示：

與666，所以最大的一個(gè)偶數(shù)與最小的一個(gè)偶數(shù)的平方差等于 666-662=(666+662)(666-662)=132834=5312．

3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分組、湊項(xiàng)表示為含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，為此有

(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)=x+y+2xy-2xy=(x+y)-2(xy-xy)=1000-2(-496)=1992．

4．由于三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，3322

222

點(diǎn)點(diǎn)文化

下，只能是b=1．于是a=-1． 所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)

1993

=1+1=2．

5．設(shè)這堆核桃共x個(gè)．依題意

我們以m表示這堆核桃所剩的數(shù)目（正整數(shù)），即

目標(biāo)是求m的最小正整數(shù)值．

可知，必須20|x即x=20，40，60，80，??

m為正整數(shù)，可見這堆核桃至少剩下6個(gè)．

由于x取整數(shù)解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．

可被第三個(gè)整除，應(yīng)有b|a+c．

∴b≥2，但b|2，只能是b=2．

點(diǎn)點(diǎn)文化

于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36． 8．因?yàn)閍=1990，b=1991，c=1992，所以 a2+b2+c2-ab-bc-ca

9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入這10個(gè)格子中，按田字格4個(gè)數(shù)之和均等于p，其總和為3p，其中居中2個(gè)格子所填之?dāng)?shù)設(shè)為x與y，則x、y均被加了兩次，所以這3個(gè)田字形所填數(shù)的總和為 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y．

要p最大，必須x，y最大，由于x+y≤10+11=21． 所以3p=65+x+y≤65+21=86．

所以p取最大整數(shù)值應(yīng)為28．

事實(shí)上，如圖19所示可以填入這10個(gè)數(shù)使得p=28成立． 所以p的最大值是28．

10．設(shè)A1，A2，A3，A4，A5的單價(jià)分別為x1，x2，x3，x4，x5元． 則依題意列得關(guān)系式如下：

③32-④式得

x1+x2+x3+x4+x5=231992-2984=1000．

點(diǎn)點(diǎn)文化

所以購(gòu)買每種教具各一件共需1000元．

三、解答題

1．解①（邏輯推理解）

我們知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位數(shù)是987654321．但這個(gè)數(shù)不是11倍的數(shù)，所以應(yīng)適當(dāng)調(diào)整，尋求能被11整除的最大的由這九個(gè)數(shù)碼組成的九位數(shù)．

設(shè)奇位數(shù)字之和為x，偶位數(shù)字之和為y． 則x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 由被11整除的判別法知 x-y=0，11，22，33或44．

但x+y與x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇數(shù)，所以x-y也只能取奇數(shù)值11或33． 于是有

但所排九位數(shù)偶位數(shù)字和最小為1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合題意，應(yīng)該排除，由此只能取x=28，y=17．

987654321的奇位數(shù)字和為25，偶位數(shù)字和為20，所以必須調(diào)整數(shù)字，使奇位和增3，偶位和減3才行。為此調(diào)整最后四位數(shù)碼，排成987652413即為所求．

解②（觀察計(jì)算法）

987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位數(shù)．但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少數(shù)字2，多數(shù)字6．于是我們由987654316開始，每次減去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九個(gè)數(shù)字組成的九位數(shù)為止．其過程是

987654316→987654305→987654294→987654283 →987654272→987654261→987654250→987654239 →987654228→987654217→987654206→987654195

點(diǎn)點(diǎn)文化

→987654184→??→987652435→987652424 →987652413．

這其間要減去173次11，最后得出一個(gè)恰由九個(gè)數(shù)碼組成的九位數(shù)987652413，為所求，其最大性是顯見的，這個(gè)方法雖然操作173次，但算量不繁，尚屬解決本題的一種可行途徑，有一位參賽學(xué)生用到了此法，所以我們整理出來供大家參考．

2．(1)答：由于428571=33142857，所以428571是一個(gè)“希望數(shù)”．

說明：一個(gè)自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個(gè)新的自然數(shù)b．如果a恰是b的3倍，我們稱a是一個(gè)“希望數(shù)”．這實(shí)際上給出了“希望數(shù)”的定義?？疾靺①悓W(xué)生閱讀理解定義的能力，并能舉例說明被定義的對(duì)象存在．在一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)中找不到“希望數(shù)”．而在四位數(shù)中很容易找到實(shí)例．

如：3105=331035，所以3105是個(gè)“希望數(shù)”； 或：7425=332475，所以7425是個(gè)“希望數(shù)”； 或：857142=33285714，所以857142是個(gè)“希望數(shù)”； 以下我們?cè)倭信e幾個(gè)同學(xué)們舉的例子供參考，如： 37124568=3312374856 43721586=3314573862 692307=33230769 461538=33153846 705213=33235071 8579142=332859714 594712368=33198237456 37421568=3312473856 341172=33113724．

可見37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望數(shù)，事實(shí)上用3105是希望數(shù)，可知31053105也是“希望數(shù)”，只要這樣排下去，可以排出無窮多個(gè)“希望數(shù)”．因此，“希望數(shù)”有無窮多個(gè)．

點(diǎn)點(diǎn)文化

(2)由a為“希望數(shù)”，依“希望數(shù)”定義知，存在一個(gè)由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p，使得a=3p并且a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和．

由a=3p和a為3的倍數(shù)．

因此a被9整除．

于是a是27的倍數(shù)．

這樣就證明了，“希望數(shù)”一定能被27整除． 現(xiàn)已知a，b都是“希望數(shù)”，所以a，b都是27的倍數(shù)． 即a=27n1，b=27n2（n1，n2為正整數(shù)）． 所以ab=(27n1)(27n2)=(27327)(n13n2)=729n1n2．

所以ab一定是729的倍數(shù)．

希望杯第四屆（1993年）初中一年級(jí)第一試試題

一、選擇題:（每題1分，共15分）

1．若a是有理數(shù),則m?12345????一定不是()aaaaaA．正整數(shù)． B．負(fù)整數(shù)．C．負(fù)分?jǐn)?shù)． D．零． 2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于()A．-1995． B．1991．C．1995． D．1993．

點(diǎn)點(diǎn)文化

3．若a＜b，則(a-b)|a-b|等于()A．(a-b)． B．b-a．C．a(chǎn)-b． D．-(a-b)． 4.若n是正整數(shù),并且有理數(shù)a,b滿足a+22

222

1=0,則必有()b3n2n?12n?1??1? A.a+??=0;B.a2n+???b??b?n2n2n?1?1??1?=0;C.a+??=0;D.a2n+1+???b??b?=0.5.如果有理數(shù)a,b滿足11?=0,則下列說法中不正確的一個(gè)是()abA． a與b的和是0． B．a(chǎn)與b的差是正數(shù)． C．a(chǎn)與b的積是負(fù)數(shù)． D．a(chǎn)除以b，得到的商是-1． 6.甲的6張卡片上分別寫有-4,-1,-2.5,-0.01,-3-5,-1,0.1,-0.001,-8,-12

3,-15,乙的6張卡片上分別寫有41a,則乙的卡片上的最小數(shù)a與甲的卡片上的最大數(shù)b的 比2b的值等于()A．1250． B．0．C．0.1． D．800．

7．a(chǎn)是有理數(shù)，則在下列說法中正確的一個(gè)是

()

D．(a-1993)+0.001是正數(shù)．

2A．-a是負(fù)數(shù)． B．a(chǎn)是正數(shù)．C．-|a|是負(fù)數(shù)．

***01900?? 的值等于()***09300191 A.-3;B.-;C.-1;.D.-.3138.-9．在下列條件中，能使ab＜b成立的是()A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0． 10.若a=???3.14??2.14??1.14??3.12?2.12,b=,c=??????(?1.12),則a,b,c的大小3.13?2.131.13??????D．c＞b＞a． 關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞c． B．a(chǎn)＞c＞b．C．b＞c＞a．

11．有理數(shù)a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，則 A.()11?;B.-a<-b;C.丨a丨>丨b丨;D.a2>b4.ab12．M表示a與b的和的平方，N表示a與b的平方的和，則當(dāng)a=7，b=-5時(shí)，M-N的值為()A．-28．

B．70．C．42． D．0．

點(diǎn)點(diǎn)文化

13.有理數(shù)111，8恰是下列三個(gè)方程的根: 252x?110x?12x?1???1,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),3124xz1?1?2z?(z?1)?(z?1),則?的值為()??yx2?2?3A.-***;B.-;C.;D..80554022014．圖22是中國(guó)古代著名的“楊輝三角形”的示意圖．圖中填入的所有數(shù)的總和等于()A．126． B．127．C．128．

D．129．

15．在自然數(shù)：1，2，3，4，5，?中，前15個(gè)質(zhì)數(shù)之和的負(fù)倒數(shù)等于()A.-1111;B.-;C.-;D.-.328329337340

二、填空題（每題1分，共15分）

1．若a＞0，在-a與a之間恰有1993個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是______．

2．如果相鄰的兩個(gè)正整數(shù)的平方差等于999，則這兩個(gè)正整數(shù)的積等于______． 3.(?1)(?2)?(?3)(?4)?(?5)(?6)?(?7)(?8)=_________.(?1)(?2)?(?2)(?3)?(?3)(?4)?(?4)(?5)4．一輛公共汽車由起點(diǎn)站到終點(diǎn)站（這兩站在內(nèi)）共途經(jīng)8個(gè)車站。已知前6個(gè)車站共上車100人，除終點(diǎn)站外前面各站共下車80人，則從前6站上車而在終點(diǎn)站下車的乘客共有______．

5．(32-22)2+(42-32)2+(52-42)2+(62-52)2=______．

6．在多項(xiàng)式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n為正整數(shù)）中，恰有兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，則m2n=______．

7．若a，b，c，d為整數(shù)，(a+b)(c+d)=1993，則a+b+c+d=______．

21?1?1?1???8.方程???x?1??1??1??1?1993的根是x=____________.2?2?2?2???

點(diǎn)點(diǎn)文化

9.(-1)÷???19??9393??????=______.931919????10．甲、乙兩個(gè)火車站相距189公里，一列快車和一列慢車分別從甲、乙兩個(gè)車站同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過1.5小時(shí)，兩車相遇，又相距21公里，若快車比慢車每小時(shí)多行12公里，則慢車每小時(shí)行______公里．

b211．在等式y(tǒng)=kx+b中，當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)x=3時(shí),y=3,則=______.k12.滿足不等式2?x2x?1?的所有非負(fù)整數(shù)的乘積等于_______.2313.有理數(shù)a,b,c,d使abcdabcd

=-1,則

aa?bb?cc?dd的最大值是_______.14．△ABC是等邊三角形，表示其邊長(zhǎng)的代數(shù)式均已在

?x2?y2圖23中標(biāo)出,則?22?x?2y?27??1=_________.?4015．有人問一位老師：他教的班有多少學(xué)生．老師說：“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一的學(xué)生在學(xué)音樂，七分之一的學(xué)生在念外語，還剩不足六位學(xué)生正在操場(chǎng)踢足球．”則這個(gè)“特長(zhǎng)班”共有學(xué)生______人．

答案與提示

一、選擇題

1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 1 4．B 15．A 提示：

若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B．

點(diǎn)點(diǎn)文化

= =1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995，選C． 3．因a＜b所以a-b＜0，此時(shí)|a-b|=b-a．

所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，選D． 的是B．

7．當(dāng)a=0，顯然A，B，C，均不正確，應(yīng)排除，所以選D．事確上，對(duì)任意有理數(shù)a，都有(a-1993)≥0，所以(a-1993)+0.001＞0是正數(shù)．

229．b=1＞0，a=2＞0，ab=231=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab＞0＞b，排除B；a=0，b＜0，ab=0＞b排除D，因此選擇C．

10．容易看出a，b，c均為負(fù)數(shù)，我們看|a|，點(diǎn)點(diǎn)文化

11．由(a-b)3＜0，得出a-b＜0．即a＜b． ∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，選C． 12．M=(a+b)2，N=a+b2．

M-N=(a+b)2-(a+b2)=a2+2ab+b2-a-b2=a2+2ab-a．

14．第1行只有1=20，第2行1+1=2=21，第3行1+2+1=4=2，第4行1+3+3+1=8=2，第5行1+4+6+4+1=16=24，第6行1+5+10+10+5+1=32=25 第7行1+6+15+20+15+6+1=64=2．

圖中填入所有數(shù)之和為1+2+4+8+16+32+64=127，選B．

二、填空題

23點(diǎn)點(diǎn)文化

提示：

1．在-a與a之間的整數(shù)為2n+1個(gè)．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997． 2．相鄰的兩個(gè)正整數(shù)設(shè)為n與n+1，則由(n+1)2-n2=2n+1=999得n=499，n+1=500． 相鄰的兩個(gè)正整數(shù)的積為4993500=249500．

4．設(shè)第1站到第7站上車的乘客依次為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7．第2站到第8站下車的乘客依次為b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8顯然應(yīng)有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8．

已知a1+a2+a3+a4+a5+a6=100，b2+b3+b4+b5+b6+b7=80．

表明從前6站上車而在終點(diǎn)站下車的乘客共20人． 5．原式=52+72+92+112=276．

6．若1993uv與uv為同類項(xiàng)．只能m=0且n=0．與已知條件不合，所以只能3xy與-4xn-1y2m-4為同類項(xiàng)．于是得m=n-1，n=2m-4．解得m=5，n=6，所以mn=30．

7．由于1993是質(zhì)數(shù)，a2+b2，c2+d2是1993的約數(shù)，只能a2+b2=1，c2+d2=1993，或a2+b2=1993，c+d=1，所以a+b+c+d=1+1993=1994． 222222mn3m2n

mn

點(diǎn)點(diǎn)文化

所有非負(fù)整數(shù)解的積=0．

14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形邊長(zhǎng)為14+6=20． 由3y+2=20，解得y=6，所以

15．設(shè)這個(gè)班共有學(xué)生x人．在操場(chǎng)踢足球的學(xué)生共a人，依條件，x，a都是自然數(shù)，且1≤a＜6．

根據(jù)題意列方程如下：合并同類項(xiàng)，移項(xiàng)得因?yàn)閍，x均為自然數(shù)，(3，28)=1所以3|a．

但a只能取1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)，所以a=3．因此x=28．

點(diǎn)點(diǎn)文化

答：這個(gè)班共有28名學(xué)生．

希望杯第四屆（1993年）初中一年級(jí)第二試試題

一、1.選擇題:（每題1分，共10分）

1111???的值是()0.10.010.0010.0001A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909． 2．一滴墨水灑在一個(gè)數(shù)軸上，根據(jù)圖24中標(biāo)出的數(shù)值，可以判定墨跡蓋住的整數(shù)個(gè)數(shù)是()A．285． B．286．C．287．

2D．288．

23．a(chǎn)，b都是有理數(shù)，代數(shù)式a+b，a-b，(a-b)，(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值為正的共有()A．3個(gè)． B．4個(gè)．C．5個(gè)．

D．6個(gè)．

4．a(chǎn)，b，c在數(shù)軸上的位置如圖25所示,則下列代數(shù)式中其值為正的一個(gè)是()1???11?a?(a?c)A.?;B.???(c?a);C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).?b???bc?

5．1993+9319的末位數(shù)字是()A．2． B．4． C．6． D．8．

6．今天是4月18日，是星期日，從今天算起第19933天之后的那一天是 A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一．

7．n為正整數(shù)，302被n(n+1)除所得商數(shù)q及余數(shù)r都是正值．則r的最大值與最小值的和是

()()A．148． B．247．C．93． D．122．

點(diǎn)點(diǎn)文化

8．絕對(duì)值小于100的所有被3除余1的整數(shù)之和等于 A．0． B．-32．C．33． D．-33．

9．x是正數(shù)，表示不超過x的質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，如<5.1>=3．即不超過5.1的質(zhì)數(shù)有2，3，5共3個(gè)．那么<<19>+<93>+<4>3<1>3<8>>的值是()A．12． B．11．C．10． D．9．

10．如圖26是一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形．兩個(gè)陰影圖形都是一對(duì)長(zhǎng)為c的底邊在矩形對(duì)邊上的平行四邊形．則矩形中未涂陰影部分的面積為()A.ab-(a+b)c．B．a(chǎn)b-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．

二、填空題（每題1分，共10分）

1．在1993.4與它的負(fù)倒數(shù)之間共有a個(gè)整數(shù)．在1993.4與它的相反數(shù)之間共有b個(gè)整數(shù),在-()1與它的絕對(duì)值之間共有c個(gè)整數(shù),則a+b+c=_________.1993.42．設(shè)a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，則(b÷a)÷(c÷d)=______．

3．兩個(gè)同樣的大小的正方體形狀的積木．每個(gè)正方形上相對(duì)的兩個(gè)面上寫的數(shù)之和都v 等于-1，現(xiàn)將兩個(gè)正方體并列放置．看得見的五個(gè)面上的數(shù)字如圖27所示，則看不見的七個(gè)面上的數(shù)的和等于______．

?7??7??7??7??7??7??7??7??7??1???1???1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6???7??8??9?4．計(jì)算:

?9??9??9??9??9??9??9??1???1???1???1???1???1???1???1??2??3??4??5??6??7? =__________.5.abcde是一個(gè)五位自然數(shù),其中a,b,c,d，e為阿拉伯?dāng)?shù)碼，且a＜b＜c＜d，則|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．

點(diǎn)點(diǎn)文化

6．連續(xù)的1993個(gè)自然數(shù)之和恰是一個(gè)完全平方數(shù)．則這1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)的最小值是______．

7．某次競(jìng)賽滿分為100分，有六個(gè)學(xué)生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他們六個(gè)人的平均分為91分，第六名的得分是65分．則第三名的得分至少是______分．

1993199228.計(jì)算:=________.2219931991?19931993?29．若a，b，c，d為非負(fù)整數(shù)．且(a+b)(c+d)=1993．則a+b+c+d=______． 10．有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)去林中采蘑菇．平均每個(gè)采得蘑菇的個(gè)數(shù)約是一個(gè)十位數(shù)字為3的兩位數(shù),又知甲采的數(shù)量是乙的蘑菇,則丁采蘑菇______ 個(gè).三、解答題（在試卷背面寫出推理、運(yùn)算的過程及最后結(jié)果．每題5分，共10分）1． 如圖28，十三個(gè)邊長(zhǎng)為正整數(shù)的正方形紙片恰好拼成一個(gè)大矩形（其中有三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)已標(biāo)出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．

2．你能找到三個(gè)整數(shù)a，b，c，使得關(guān)系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立嗎？如果能找到，請(qǐng)舉一例，如果找不到，請(qǐng)說明理由．

答案與提示

一、選擇題

1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．A 8．D 9．B 10．C 提示：

=10-100-1000-10000=-11090．選C．

2．在-109.2與-11.9之間最小整數(shù)是-109，最大整數(shù)是-12．共計(jì)包含(-12)-(-109)+1=98個(gè)整數(shù)．在10.5與199.5之間包含最小整數(shù)是11，最大整數(shù)是199．共計(jì)包含199-11+1=189個(gè)整數(shù)．因此墨水共蓋住98+189=287個(gè)整數(shù)．選C．

43,乙采的數(shù)量是丙的倍,丁比甲多采了3個(gè)52點(diǎn)點(diǎn)文化

3．當(dāng)a=b=0時(shí)，a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2取值為0，而當(dāng)a=-1，b=1時(shí)a3b+1=0．因此對(duì)任意有理數(shù)a，b其值為正的只有ab+1，a+b+0.1，2a+3b+1，共3個(gè)選A．

ac(1-bc)＜0，所以選A． 5．19=19934323+

122

4，93=9319434+

3所以1993與191的末位數(shù)相同是9、9319與933末位數(shù)字相同是7．因此1993+9310末位數(shù)字是9+7=16的末位數(shù)字6，選C．

6．19933=(28437+5)3=(28437)3+33(28737)235+3(28737)352+125．

所以19933被7除的余數(shù)與125被7除的余數(shù)相同，125=737+6．所以19933被7除余數(shù)為6．從4月18日星期日數(shù)起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此19933-6恰是星期六，再往后數(shù)6天，19933天是星期五．而19933天之后的那一天應(yīng)是星期六，選B．

7．n(n+1)為偶數(shù)．設(shè)302被n(n+1)除商q余r，則302=n(n+1)q+r知，r為偶數(shù)．顯然B、C均應(yīng)排除．由除數(shù)n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，210，240，272這些值，計(jì)算得相應(yīng)的余數(shù)中最小的正值為2，最大正值為146．所以r的正的最小值與最大值的和是148．選A．

8．即求-100與100之間被3除余1的整數(shù)之和，在0到100之間被3除余1的整數(shù)是1，4，7，?91，94，97共計(jì)33個(gè)．在-100到0之間被3除余1的整數(shù)是-98，-95，-92，-89，?-8，-5，-2．共33個(gè)其總和為-33．選D．

9．<19>為不超過19的質(zhì)數(shù)，有2，3，5，7，11，13，17，19共8個(gè)．<93>為不超過93的質(zhì)數(shù)，共24個(gè)，易知<1>=0．所以<<19>+<93>+<4>3<1>3<8>>=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11，選B．

10．解①大矩形面積為ab，兩個(gè)陰影平行四邊形面積分別為ac與bc．重疊部分面積為c2，所以未涂陰影部分面積為ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c)，選C．

解②將陰影部分等積變形如圖29，兩個(gè)陰影平行四邊形面積及二者重疊部分面積(c)

2點(diǎn)點(diǎn)文化

均未改變．易見，未涂陰影部分面積為空白矩形的面積，是(a-c)(b-c)，選C．

二、填空題

提示：

1994個(gè)整數(shù)，a=1994。在1993.4與它的相反數(shù)-1993.4之間有231993+1=3987個(gè)整數(shù)，3987=1=5982．

3．由于正方體上相對(duì)兩個(gè)面上寫的數(shù)之和都等于-1．所以每個(gè)正方體六個(gè)面上寫的數(shù)之和等于-3．兩個(gè)正方體共十二面上寫的數(shù)之總和等于-6．而五個(gè)看得見的面上的數(shù)之和是1+2+3+4+5=15．因此，看不見的七個(gè)面上所寫數(shù)的和等于

(-6)-15=-21．

點(diǎn)點(diǎn)文化

5．若a＜b＜c＜d≤e時(shí)

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．當(dāng)e=9，a=1時(shí)取最大值為8．

若a＜b＜c＜d，且d＞e時(shí)．

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．當(dāng)d=9，a=1，e=0時(shí)，取最大值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17．

6．設(shè)這連續(xù)的1993個(gè)自然數(shù)為

x-996，x-995，?，x-1，x，x+1，x+2，?，x+995，x+996．顯然．x-996≥1，即x≥997．這1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和設(shè)為σ．

則σ=1993x，要求σ為完全平方數(shù)，而1993又是質(zhì)數(shù)，x的最小值為1993．此時(shí)，1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)x+996=1993+996=2989，即當(dāng)σ為完全平方數(shù)時(shí)，1993個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最大的那個(gè)數(shù)的最小值是2989．

7．設(shè)六個(gè)人的成績(jī)依次為x1，x2，x3，x4，x5，x6．則65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．

∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481．

要使x3最小，必須x1，x2盡可能大，x4，x5盡可能接近x3，所以當(dāng)x1=100，x2=99，x4=x3-1，x5=x3-2時(shí)，x3取最小值，即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481．

3x3=481-100-99+3=285．x3=95． 答：第三名的得分至少是95分．

9．因?yàn)?993是質(zhì)數(shù)，a2+b2與c2+d2都是正整數(shù)，所以a2+b2與c2+d2分別取值1與1993（參

點(diǎn)點(diǎn)文化

見第一試填空第7題解答）．為確定起見；，不妨設(shè)a2+b2=1，c2+d2=1993．

(1)a+b=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．(2)c2+d2=1993．

若c≤31，d≤31，則c2+d2≤23312=23961=1922＜1993．所以c，d中至少有一個(gè)大于31．又由于442=1936＜1993，故設(shè)c為c，d中較大的一個(gè)，則32≤c≤44．

我們依次取c=44，43，42，41，?，33，32試算如下： 2

2其中1933-c2的結(jié)果中，只有144=122為完全平方數(shù)，即432+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43．因此，c+d=55．

所以a+b+c+d=1+55=66．

一個(gè)近似為首位的是3的兩位整數(shù)．因此，由近似數(shù)的表示有

23.5?≤x≤31.5?

點(diǎn)點(diǎn)文化

因x是整數(shù)，x只能從24，25，26，27，28，29，30，31中選取．

因此只能有x=30，即丙采30個(gè)蘑菇．

此時(shí)，乙采45個(gè)蘑菇，甲采36個(gè)蘑菇，因此丁采39個(gè)蘑菇．

舍五入，約為38是個(gè)十位數(shù)是3的兩位數(shù)．

三、解答題

1．如圖30已有三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，y，z，我們通過x，y，z表示其余正方形的邊長(zhǎng)依次填在每個(gè)正方形中，它們是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x，及5x-2y+z．因矩形對(duì)邊相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z 化簡(jiǎn)上述的兩個(gè)方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y． 因?yàn)?8與49互質(zhì)，所以x、y的最小自然數(shù)解是x=49，y=18，此時(shí)z=38．

以x=49，y=18，z=38代入矩形長(zhǎng)、寬的表達(dá)式11x+3y及8x+8y-3z，得長(zhǎng)、寬分別為593和422．此時(shí)得最小面積值是5933422=250246．

2．答：找不到滿足條件的三個(gè)整數(shù)理由如下：

如果存在整數(shù)a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立． 因?yàn)?388是偶數(shù)，則左邊四個(gè)因子中至少有一個(gè)是偶數(shù)． 不妨設(shè)a+b+c為偶數(shù),則a-b+c=(a+b+c)-2b為偶數(shù)． 同理a+b-c=(a+b+c)-2c為偶數(shù)．b+c-a=(a+b+c)-2a為偶數(shù)．

因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾． 故不存在三個(gè)整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388．