第一篇：數學文化欣賞

對數學的認識

（一）概念：數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。

（二）數學發展劃分為以下五個時期：數學萌芽期（公元前600年以前）；初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；變量數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；現代數學時期（20世紀40年代以來）。

（三）數學與其它學科的關系。數學是一種語言，是一種科學的共同語言，可用來描述宇宙。任一門科學只有使用了數學，才成為一門科學，否則就是不完善與不成熟的。宇宙和人類社會就是用數學語言寫成的一本大書。數學是打開科學大門的鑰匙，凡是有意義的科學理論與實踐成就，無一例外地借助于數學的力量。數學是一種思維的工具，自然哲學認為任何事物都是量和質的統一體，數學就是研究量的科學。數學是一門創造性藝術。美是藝術的一種追求，美也是數學中一種公認的評價標準。

（四）數學史上一共爆發了三次數學危機：

第一次：無理數的發現。畢達哥拉斯學派認為自然界的任何數都可以由整數或整數之比表示，但其學派成員發現了直角邊長均為１的直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約），該悖論觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了第一次數學危機產生。

第二次：無窮小是零嗎？ 在微積分蓬勃發展時一位哲理學家指出應用無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此引發了第二次數學危機。

第三次：悖論的出現。在19世紀，集合概念已經滲透到眾多的數學分支，并且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑，史稱第三次數學危機。

（五）數學是美麗的。其代表有A.完美數，它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和（即因子函數），恰好等于它本身。B.素數質數又稱素數。指在一個大于1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。換句話說，只有兩個因數（1和自己）的自然數即為素數。素數與素數對的分布規律：N和2N之間至少有一個素數。兩個奇數之和是偶數,素數除去2以外都是奇數。C.無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環。無理數的發現引發了第一次數學危機的產生。D．黃金分割。黃金分割又稱黃金律因數，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1

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數學悖論

悖論是一種認識矛盾，它既包括邏輯矛盾、語義矛盾，也包括思想方法上的矛盾。數學悖論作為悖論的一種，主要發生在數學研究中。按照悖論的廣義定義，所謂數學悖論，是指數學領域中既有數學規范中發生的無法解決的認識矛盾，這種認識矛盾可以在新的數學規范中得到解決。起源可以一直追溯到古希臘和我國先秦時代。

三個悖論引發的三次數學危機。第一次：無理數的發現。畢達哥拉斯學派認為自然界的任何數都可以由整數或整數之比表示，但其學派成員發現了直角邊長均為１的直角三角形的斜邊不能表示成整數或整數之比（不可通約），該悖論觸犯了畢氏學派的根本信條，導致了第一次數學危機產生。第二次：無窮小是零嗎？ 在微積分蓬勃發展時一位哲理學家指出應用無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此引發了第二次數學危機。第三次：悖論的出現。在19世紀，集合概念已經滲透到眾多的數學分支，并且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑，羅素提出的關于“集合論”的悖論，它導致了數學史上第三次危機。羅素把集合論悖論用數學語號稱天衣無縫、絕對嚴密的精確數學居然在基礎問題上就明顯地自相矛盾。

數學悖論、數學危機對數學的起推動作用。數學悖論往往導致數學危機產生，而悖論提出的正是讓數學家無法回避的問題。正如希爾伯特在《論無限》一文中所指出的那樣：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。人們試想：在數學這個號稱可靠性和真理性的模范里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至于數學思考也失靈的話，那么應該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現逼迫數學家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過程中，各種理論應運而生了：第一次數學危機促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數學危機促成了分析基礎理論的完善與集合論的創立；第三次數學危機促成了數理邏輯的發展與一批現代數學的產生。數學由此獲得了蓬勃發展。關閉

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數學史上的三大危機

數學的發展史中曾發生過三大危機，危機的發生促使了數學本生的發展，因此我們應該辨證地看待這三大危機。

第一次危機發生在古希臘，畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數。該學派的希伯索斯根據畢達哥拉斯定理通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現沖擊了傳統的數學，這就是第一次數學危機。最后，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。第一次危機的產生最大的意義導致了無理數地產生。

第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地--微積分。牛頓在推導一些力學和幾何學的公式及應用時發現這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎么能用它做除數？如果不是零，又怎么能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？

19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。認為把無窮小量作為確定的量，是說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量本質上它是變量，且是以零為極限的量，柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而第二次數學危機基本解決。

第三次數學危機發生在1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。其中之一是 “理發師悖論”，就是一位理發師給不給自己理發的人理發。那么理發師該不該給自己理發呢？羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。

解決這場危機的辦法之一是回避悖論。首先德國數學家策梅羅提出七條公理，在七條公理上建立起來的集合論系統避開了羅素悖論，使現代數學得以發展。

數學的發展史中曾發生過三大危機，危機的發生促使了數學本生的發展，因此我們應該辨證地看待這三大危機。

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數學與其它學科的關系

1、數學是一種語言，是一種科學的共同語言，若沒有數學語言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永遠是無法理解的。任何一門科學只有使用了數學，才成其為一門科學，否則就是不完善與不成熟的。、2、數學與物理：數學是打開科學大門的鑰匙。忽視數學必將傷害所有的知識，因為忽視數學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。幾千年來，凡是有意義的科學理論與實踐成就，無一例外地借助于數學的力量。例如，沒有微積分就談不上力學和現代科學技術，沒有麥克斯威爾方程就沒有電波理論，倫琴因發現X射線于1901成為諾貝爾的第一位獲獎人，記者問他需要什么時，他回答：“第一是數學，第二是數學，第三還是數學。”

3、數學與哲學：自然哲學認為：任何事物都是量和質的統一體，數學就是研究量的科學，它不斷地發現、總結和積累了很多人類對量的方面的規律，這些都是人們認識世界的有力工具。這里舉兩個例子：一個是自然科學的，一個是社會科學的。我們企圖找到一個不經手術就可以準確確定人體內的器官位置、密度和三維形狀的方法，可惜借助X射線只能繪出二維信息圖。這個問題難倒了工程師很多年，后來遇到數學家的工作，即Rａｄｏｎ變換，考爾麥克把X射線從許多不同角度照射人體，再運用計算機進行數學變換，導致CT數據透視儀的誕生。現這一方法進一步推廣到核磁共振領域，使圖像分辨率更高。從本質上說，這兩項技術只不過是，先大量測量一維的物理量，再用數學技巧來重構三維圖像而已。另一例子：現代經濟學家使數學進入了經濟學領域，構建了平衡模型，可以預言自由市場的經濟行為，這方面的工作使阿洛獲得了諾貝爾經濟學獎，他的哈佛大學的同事看了這篇得獎論文說，這些應用在數學中是很基本的，很多哈佛大學一年級學生就可以完成。可見掌握數學工具后，在其它領域中進行應用，并不是一件困難的事，而且有時甚至是一個很大的成就。

4、數學與藝術：數學是一門藝術，一門創造性藝術。美是藝術的一種追求，美也是數學中一種公認的評價標準。數學的美體現在和諧性、對稱性、簡潔性，這三性上。數學家不斷地追求美好的新概念、新方法、新結論，因此數學是創造性藝術。人們掌握了數學，可以陶冶人的美感，培養理性的審美能力，一個人數學造詣越深，越是擁有一種直覺力，這種直覺力實際就是理性的洞察力、由美感驅動的選擇力，最終成為創造美好新世界的驅動力。

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數學美

數學是理性思維和想象的結合，它的發展建立于社會的需求，所以就有了數學美。主要有：統一性、對稱性、簡單性。

統一性：統一性反映的是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。數學對象的統一性通常表現為數學概念、規律、方法的統一,數學理論的統一,數學和其它科學的統一。（1）數學概念、規律、方法的統一。數學概念、數學定理、數學公式、數學法則也是互相聯系的，在一定條件下可處于一個統一體之中。例如，運算、變換、函數分別是代數、幾何、分析這三個數學分支中的重要概念,在集合論中,便可統一于映射的概念。在數學方法上，數學中的公理化方法,使零散的數學知識用邏輯的鏈條串聯起來,形成完整的知識體系,在本質上體現了部分和整體之間的美。（2）數學理論的統一。數學理論的統一性主要表現在它的整體性趨勢，在數學的高度統一性上給人一美的啟迪。（3）數學和其它科學的統一。數學和其它科學的相互滲透，導致了科學數學化。一門科學只有當它成功的運用數學時,才算達到了真正完善的地步。力學的數學化使牛頓建立了經典力學體系。科學的數學化使物理學與數學趨于統一。化學的數學化加速了化學這門實驗性很強的學科向理論科學和精確科學過渡......而且數學方法進入了社會科學領域,日益顯示出它的效用。

對稱性：對稱性反映的是審美對象形態或結構的均衡性、勻稱性或變化的周期性、節律性。數學的對稱美,實質上是自然物的和諧性在量和量的關系上最直觀的表現。從數學美來講,對稱包括狹義對稱、常義對稱與泛對稱等。狹義對稱可分為代數對稱與幾何對稱，常義對稱包括同構、同態、映射等，泛對稱包括數學對象的系統性、守恒性、等價性和勻稱等。

簡單性：簡單、明快才能給人以和諧之感,繁雜晦澀就談不上和諧一致。數學美的簡單性，并非指數學對象本身簡單、淺顯,而是指數學對象由盡可能少的要素通過盡可能簡捷、經濟的方式組成,并且蘊含著豐富和深刻的內容。數學的簡單美,主要表現在數學的邏輯結構、數學的方法和表達形式的簡單性。（1）數學結構的簡單美。著名的皮亞諾算術公理系統,就是邏輯結構簡單美的一個典范。（2）數學方法的簡單美。簡單性是數學方法美的重要標志。數學中所謂美的問題是指一個難于解決的問題,所謂美的解答則是指一個困難、復雜問題的簡單回答希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法就是數學方法簡單美的一個范例。（3）數學形式的簡單美。數學形態美，是數學美的外部表現形態，是數學定理和數學公式的外在結構中呈現出來的美。如，愛因斯坦用E=mc2 揭示了自然界的質量和能量的轉換關系；這里F=ma、E=mc2就外在形式而論，都是非常簡潔的，不失為數學形態美的范例。

數學美的表現形式主要在語言美和簡潔美兩方面。

（一）語言美 ：數學有著自身特有的語言--數學語言，包括數的語言和形的語言。

數的語言（符號語言）：關于“∏”，《九章算術》說：“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”；面對“√2”這一差點被無理的行為淹沒的無理數，我們一直難以忘懷那位因發現“邊長為1的正方形，其對角線長不能表示成整數之比”這一“數學悖論”而被拋進大海的希帕索斯。還有sin?、∞ 等等，無不將數的完美與精致表現得淋漓盡致。

形的語言（視角語言）：從形的角度來看--對稱性（“中心對稱”、“軸對稱”演繹了多少遙相呼應的纏綿故事）；比例性（美麗的“黃金分割法”分出的又豈止身材的絕妙配置？）；和新穎性（一個接一個數學“悖論”的出現，保持了數學乃至所有自然科學的新鮮與活力）等等。

（二）簡潔美 ：本質上終究是簡單性。只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。歐拉給出的公式：V－E+F=2，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？

第二篇：數學文化欣賞論文

主題：數學文化

數字的神奇

姓名：楊晨 學院：經管-土管院 班級：土規1102 學號：2011306200619

摘要：在現實世界中，大到宇宙星系，小至生物微粒及人類所處事宜都散發著數學的氣息。而數字作為數學的重要組成部分，伴著人類的發展直至今日。經過無數學者對數字的研究與探索，發現了數字獨有的魅力。

關鍵字：數學 數字 走馬燈數 黃金分割率 神奇

正文：

數字，美妙且神奇，不僅吸引了眾多科學家、文學家、藝術家們，讓他們大為感嘆，投身其中，還有眾多對數字有著獨特感覺的普通人，他們認為“8”代表著“發”，意味著發財致富，“6”則代表六六大順。或許，僅是這樣并不足以看出它對人們的吸引力究竟有多大，但是，以下的例子卻足以調足你的胃口，引發你的好奇，讓你贊嘆它的美妙，驚嘆它的神奇。

神奇的數----142857 142857,又名走馬燈數。它發現于埃及金字塔內，它是一組神奇數字，它證明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6個數字，依順序輪值一次，到了第7天，它們就放假，由999999去代班，數字越加越大，每超過一星期輪回，每個數字需要分身一次，你不需要計算機，只要知道它的分身方法，就可以知道繼續累加的答案。

142857×1＝142857（原數字）142857×2＝285714（輪值）142857×3＝428571（輪值）142857×4＝571428（輪值）142857×5＝714285（輪值）142857×6＝857142（輪值）

142857×7＝999999（放假由9代班）

142857×8＝1142856（7分身，即分為頭一個數字1與尾數6，數列內少了7）142857×9＝1285713（4分身）142857×10＝1428570（1分身）142857×11＝1571427（8分身）142857×12＝1714284（5分身）142857×13＝1857141（2分身）

142857×14＝1999998（9也需要分身變大）繼續算下去??

以上各數的單數和都是“9”。而且，同樣的數字，只是調換了位置，反復的出現。如果把它乘與7，我們會驚人的發現是 999999，然后，142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99，挑三段 1+8 4+5 2+7 都等于9 若我們把142857再乘于142857，結果是142857x142857=20408122449 再把20408122449分解兩組數字，20408和122449，而他們的和正是142857。

黃金分割率

15世紀末期，法蘭圖教會的傳教士路卡·巴喬里(LUCAPACIOLI)發現金字塔之所以能屹立數千年不倒，且形狀優美，原因在于其高度與基座每邊的結構比例為“5：8”。因為有感于這個神秘比值的奧妙與價值，而使用了黃金一詞，將描述此比例法的書籍命名為“黃金分割”。

數百年來，一些學者專家陸續發現，包括建筑結構、力學工程、音樂藝術，甚至于很多大自然的事物，都與“5：8”比例近似的0．382和0．618這兩個神秘數字有關：

5／(5＋8)＝0．3846 8／(5＋8)＝0．6154 而由于0．382與0．618這兩個神秘數字相加正好等于1，所以，將“0．382”及“0．618”的比率稱之為“黃金分割率”或“黃金切割率”。

其實,黃金分割比在未發現之前，在客觀世界中就存在的，只是當人們揭示了這一奧秘之后，才對它有了明確的認識。當人們根據這個法則再來觀察自然界時，就驚奇的發現原來在自然界的許多優美的事物中的能看到它，如植物的葉片、花朵，雪花，五角星??許多動物、昆蟲的身體結構中，特別是人體中更是有著豐富的黃金比的關系。當人們認識了這一自然法則之后，就被廣泛地應用于人類的生活之中。此后，在我們的生活環境中，就隨處可見了，如建處門窗、櫥柜、書桌；我們常接觸的書本、報紙、雜志；現代的電影銀幕。電視屏幕，以及許多家用器物都是近似這個數比關系構成的。它特別表現藝術中，在美術史上曾經把它作為經典法則來應用。有許多美術家運用它創造了不少不朽的名著。

你從電視中見過碧水輕流的安大略湖畔的加拿大名城多倫多嗎?這個高樓大廈鱗次櫛比的現 代化城市中，最醒目的建筑就是高聳的多倫多電視塔，它器宇軒昂，直沖云霄。有趣的是嵌 在塔中上部的扁圓的空中樓閣，恰好位于塔身全長的0.618倍處，即在塔高的黃金分割點上。它使瘦削的電視塔顯得和諧、典雅、別具一格。多倫多電視塔被稱為“高塔之王”，這個 奇妙的“0.618”起了決定性作用。與此類似，舉世聞名的法蘭西國土上的“高塔之祖”——埃菲爾鐵塔，它的第二層平臺正好坐落在塔高的黃金分割點上，給鐵塔增添了無窮的魅力。

氣勢雄偉的建筑物少不了“0.618”，藝術上更是如此。舞臺上，演員既不是站在正中間，也 不會站在臺邊上，而是站在舞臺全長的0.618倍處，站在這一點上，觀眾看上去才愜意。我們所熟悉的米洛斯的“維納斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼達等一些名垂千古的 雕像中，都可以找到“黃金比值”——0.618，因而作品達到了美的奇境。

達·芬奇的《蒙娜麗莎》、拉斐爾筆下溫和俊秀的圣母像，都有意無意地用上了這個比值。因為人體的很多部位，都遵循著黃金分割比例。人們公認的最完美的臉型——“鵝蛋”形，臉寬與臉長的比值約為0.618，如果計算一下翩翩欲仙的芭蕾演員的優美身段，可以得知，他們的腿長與身 長的比值也大約是0.618，組成了人體的美。

總而言之，黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，也被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。

兩個簡單的例子、幾頁紙的文字是無法言說數字的奧妙，數學的神奇的。這些并不是巧合，這是人類智慧的結晶，更是人類對美的追求，不僅是對表象的美的追求，更是對學術中美的熱愛。數學很美，數字很神奇，是不可置否的。然而它與我們的學習、生活又是那樣密切，難道這些還不足以成為我們熱愛它的理由嗎？

參考書目及網站：

《數學文化欣賞》鄒庭榮編著 《數學中的美》吳振奎 《數學發展史》普羅克魯斯

黃金分割http://baike.baidu.com/view/52401.htm 142857 http://baike.baidu.com/view/812117.htm

第三篇：數學文化與欣賞教案

第一章 數學文化概論

教學目的：使學生了解數學文化的定義、數學文化課的開設方法、數學文化課的學習方法、數學文化課的考核方式等等。

教學重點：數學文化課與一般數學課的區別

教學難點：數學文化課程中如何處理好數學和文化的關系 教學課時：2節

教學方法：課件教學與講解相配合 教學過程：

序言

一、“數學文化”一詞的使用

二、什么是“數學文化”

三、“數學文化”課的開設

四、“數學文化”課的上法

五、“數學文化”課的考核2

一、“數學文化”一詞的使用?該詞使用已有二、三十年;?在中國，較早使用的是1990年鄧東皋、孫小禮等人編寫的《數學與文化》及齊民友寫的《數學與文化》;?近七、八年這個詞用得多起來。?這個詞的使用頻率近年大大增加，說明它是有生命力的，說明許多人為著某種需要更愿意從文化這一角度來關注數學，更愿意強調數學的文化價值。2 第二章 數學文化與數學教育

教學目的：使學生了解數學教育的功能、數學素養的內容、數學教育與數學教學的區別、數學文化的發展歷程等等。

教學重點：數學素養的內容、數學文化的發展歷程 教學難點：數學教育與數學教學的區別

教學課時：2節

教學方法：課件教學與講解相配合 教學過程：

數學文化與數學教育

“數學不僅是一種方法、一門藝術或一種語言，數學更主要的是一門有著豐富內容的知識體系，其內容對自然科學家、社會科學家、哲學家、邏輯學家和藝術家十分有用，同時影響著政治家和神學家的學說；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想；有時甚至可能以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著現代歷史的進程。”——M·克萊因

一、數學教學與數學教育

1、數學教學：初中數學的學習內容是“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與綜合應用”四個學習領域。課程內容的學習，強調學生的數學活動，發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念，以及應用意識與推理能力。中學數學教學是“通過知識的教學培養能力，發展和完善學生的素質，使學生的聰明日益長進”。

2、數學教育：（1）以動態的觀點認識數學知識的發生和發展；（2）數學研究的對象是客觀世界，重在突出數學的應用性；（3）不僅僅是得到數學知識和技術，重要的是得到對事物進行認識、推理、判斷、運用的能力，以及認識客觀世界的情感、態度與價值觀。（4）使學習者的認知心理和非認知心理得到健全發展的過程。

二、學生眼中的數學教育老師眼中的數學與學生眼中的數學是有區別的，學生眼中的數學并不是我們理解的數學，要想使學生學好數學，必須走進學生的心中，理解學生的思維，應該站在學生的角度去進行教學設計，這樣才有可能使我們的教學切合學生的實際。只有以學定教，才有高的教學效率！第三章 數學發展簡史

教學目的：使學生了解數學文化的發展分段。教學重點：數學發展簡史

教學難點：數學教育與數學教學的區別

教學課時：2節

教學方法：課件教學與講解相配合 教學過程：

數學發展簡史數學發展史大致可以分為四個階段。

一、數學起源時期

二、初等數學時期

三、近代數學時期

四、現代數學時期

一、數學起源時期（遠古——公元前5世紀）這一時期：建立自然數的概念；認識簡單的幾何圖形；算術與幾何尚未分開。數學起源于四個“河谷文明”地域?非洲的尼羅河；?西亞的底格里斯河與幼發拉底河；?中南亞的印度河與恒河；?東亞的黃河與長江

二、初等數學時期（前6世紀——公元16世紀）也稱常量數學時期，這期間逐漸形成了初等數學的主要分支：算術、幾何、代數、三角。該時期的基本成果，構成現在中學數學的主要內容。這一時期又分為三個階段：古希臘；東方；歐洲文藝復興。1．古希臘（前6世紀——公元6世紀）畢達哥拉斯歐幾里得阿基米德——————“萬物皆數”幾何《原本》面積、體積阿波羅尼奧斯——《圓錐曲線論》托勒密丟番圖————三角學不定方程

2．東方（公元2世紀——15世紀）1）中國西漢（前2世紀）——《周髀算經》、《九章算術》魏晉南北朝（公元3世紀——5世紀）——劉徽、祖沖之出入相補原理，割圓術，算?

四、現代數學時期（19世紀20年代——）?????? 進一步劃分為三個階段：年）；年）；現代數學醞釀階段（1820——1870現代數學形成階段（1870——1950現代數學繁榮階段（1950——現在）。這一時期雖然還不到二百年的時間，內容卻非常豐富，遠遠超過了過去所有數學的總和。鑒于本課程的性質，對于這一時期的數學內容，我們只作簡略的介紹。

第四章 數學的美

教學目的：使學生了解數學的對稱美、數學的簡潔美、數學的和諧美。教學重點：數學的嚴謹與數學的美的辯證統一 教學難點：數學文化課程中如何欣賞數學的美

教學課時：4節

教學方法：課件教學與講解相配合 教學過程：

1.數學問題的簡潔一個好的數學問題為了突出其本質的因素，必然是簡潔的。而一個問題提得越簡潔、越清晰易懂，也就越容易引起人們的興趣。凡是經久不衰。引人入勝的數學問題，如三大尺規作圖問題（用直尺和圓規求解倍立方、三等分任意角和化圓為方問題）、梅森關于素數的猜想、七橋問題、哥德巴赫猜想等都是以極其簡明而深刻的表述方式吸引著人們的注意，多么像引人垂涎欲滴的美麗果實，在誘使人們向它們伸出手來！而一旦把手伸出便欲罷不能。

2.數學語言的簡潔數學語言是精煉的語言。例如，c2?a2?b2把直角三角形三邊的關系表達淋漓盡致。在歐拉公式eix=cosx+isinx中令x=?得ei?+1=0 把五個重要的常數 0，1，i,e,?簡單而巧妙地結合在一起；愛因斯坦（Einstein）用 E=mc2 就能把茫茫宇宙中的質能互換這樣深奧復雜的關系如此簡單地揭示出來。多面體的歐拉公式V + F –E = 2V－－凸多面體的頂點數，F 凸多面體的面數，E 凸多面體的棱數。3.數學概念的簡潔數學概念是數學語言的精髓。不少數學概念已歷經滄桑，內涵不斷發生著深刻的變化，每一次變化都使這個概念更加清晰、準確、簡潔。懷特（White）說“數學可以定義為相繼用簡單的概念來代替復雜的概念。”以函數概念為例，從1673年萊布尼茲（Leibniz）給出的“函數就像曲線上的點的坐標那樣隨點的變化而變動的量”定義。到1821年柯西（Cauchy）給出的“對于x的每個值，如果y有完全確定的值與之對應，則y叫做x的函數”的定義，再到近代的“設A、B是非空的集合，f是A到B的一個對應法則，則A到B的映射f：A →B稱為A到B上的函數”的定義，其間經歷了三百年，一次比一次深刻。4.數學證明的簡潔馬丁.伽德納（Martin Cardner）指出：“數學的真諦在于不斷尋求越來越簡單的方法證明定理和解答問題。”簡潔的證明，看上去思路自然，條理清楚。顯示出數學證明不容辯駁的邏輯力量，給人帶來美的享受。因此，追求簡潔也是數學家重要的研究課題。英國數學家阿蒂亞（Atiyah）說“數學的目的就是用簡單而基本的詞匯盡可能多地解釋世界。。。如果我們積累起來的經驗要一代一代傳下去的話，我們就必須不斷地努力把它們加以簡化和統一。”

對一個結果的證明如果很繁瑣、冗長，人們讀起來就會感到累贅且不得要領，甚至不知道是對還是錯。例如美國數學家布蘭吉（Louis de Brange）花了30多年的時間于1984年證明了比貝伯（Bieberbach）于1916年提出的一個猜想（關于單葉函數系數界的一個猜想），這是20世紀的一個重要的數學成就。但是在數學界遭到了冷遇，原因之一是他的證明太長，整整寫了350頁。后來，他到了前蘇聯，在前蘇聯數學家的幫助下，將證明簡化成12頁，這個結果才得到了承認與好評。

第五章 數學的神秘

教學目的：使學生了解數學的三次危機 教學重點：數學危機形成的原因

教學難點：數學危機的解決過程與數學發展的關系

教學課時：2節

教學方法：課件教學與講解相配合 教學過程：

一、“有無限個房間”的Hilbert旅館1 2 3 4 ┅↓↓↓↓┅↓2 3 4 5 ┅空出了1號房間1.“客滿”后又來1位客人（“客滿”）k ┅┅k+1 ┅3

2.客滿后又來了一個旅游團，旅游團中有無窮個客人1 2 3 4 ┅↓↓↓↓┅2 4 6 8 ┅空下了奇數號房間k ┅↓┅2k ┅4

?4.[思]該旅館客滿后又來了無窮個旅游團，每個團中都有無窮個客人，還能否安排？?“無窮大！任何一個其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個其他觀點都不曾如此有效地激勵人類的智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清……”----Hilbert7

2.）“有限”時成立的許多命題，對“無限”不再成立（1）實數加法的結合律在“有限”的情況下，加法結合律成立:(a+b)+c= a+(b+c)，?a，b，c11

當初的伽利略悖論，就是因為沒有看到“無限”的這一個特點而產生的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …n …?????????????21 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 …n…[ 該兩集合：有一一對應，于是推出兩集合的元素個數相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個數不相等。這就形成悖論。]9

第四篇：數學文化欣賞-淺談個人選修《數學欣賞》感想[模版]

淺談個人選修《數學欣賞》感想

淺印象里提起數學一詞，對于我個人來說，數學就是一堆堆死板無活力的公式，像是一個個嚴肅的戰士，需要各種證明來計算我們課本或者卷紙上的問題。幼稚園時候，數學就是數數，簡單的計算，簡單到用手指頭就能計算出結果；小學時候，數學就是不停的計算雞鴨鵝狗籠子里多少只腳的問題；初中時候，問題變得多元化，但是從此開始了更沒有什么趣味的代數和幾何，不停的計算來證明，得分。唯一的一點趣味也無了蹤影；高中時候，數學變成了高數，每天腦子里的正余弦定理，一切依舊沒了趣味；大學時候，學的依舊叫高數，只是名字由高中數學變成了高等數學，依舊對數學提不起興趣。無意中選修了這門選修課，卻讓我收獲了另一種看法，一改以往的印象，其實數學是需要欣賞的，數學有它自己的文化和趣味，并不是一門枯燥反反復復的計算。

關于數學我這樣理解：數學，用公式的話來解釋它就是研究數量.結構.變化及空間模型等概念的一門學科。透過抽象化和邏輯推理的使用。由計數.計算.量度和對物體形狀及運動的現象中產生。數學家們拓展這些概念，為了公事新的猜想以及從何時選定的公式及定義中建立起嚴謹推導出的真理。

雖然說，數學存在著各種邏輯與抽象的問題，但是，這些都掩蓋不住數學的沒，數學的美不在于表面，而在于它的內在，數學的表面枯燥乏味，但是它的內在卻是充滿了樂趣。數學的美吸引了許許多多的人們來探索，人們喜歡數學，探索數學，其實就是被數學的美吸引。愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”他還認為，只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。物理學家愛因期坦的這種美學理論，在數學界，也被多數人所認同。樸素，簡單，是其外在形式。只有既樸實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。歐拉給出的公式：v－ｅ＋ｆ＝２，堪稱“簡單美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數ｖ、棱數ｅ、面數ｆ，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？

數學的發展無須社會的推動，其真理性無須實踐的檢驗，當然，數學的進步也無須人類文化的哺育。于是，西方的數學界有“經驗主義的復興”。懷特(L.A.White)的數學文化論力圖把數學回歸到文化層面。克萊因(M.Kline)的《古今數學思想》、《西方文化中的數學》、《數學:確定性的喪失》相繼問世，力圖營造數學文化的人文色彩。國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數學與文化》，匯集了一些數學名家的有關論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。稍后出版的有齊民友的《數學與文化》，主要從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化價值，特別指出了數學思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著《數學文化學》，特點是用社會建構主義的哲學觀，強調“數學共同體”產生的文化效應。以上的著作以及許多的論文，都力圖把數學從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來，重點是分析數學文明史，充分揭示數學的文化內涵，肯定數學作為文化存在的價值。

課上我們看了個視頻，名字記不住了，但是確實很吸引我們，讓我們感受到數學確實很重要，我們在不斷的實踐，無論哪個國家。這是人類的探索。

我們國家是一個數學大國，也是一個數學古國，早在2000多年前，我們的祖先就有“周三經一”的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國家到了17世紀才有這樣的概念，陳景潤關于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震驚。實際上，我們每一個人，天天都在跟數字打交道。一個人不識字完全可以生活，但是若不識數，就很難生活了，現代科技進步，對數學的要求越來越高，所以我覺得“數學文化”這門課程為我們剖析“數學”這門神秘而又與我們息息相關的科學，對我們來說是獲益匪淺的。聽講了幾次課后，我覺得我收獲蠻多，在老師的帶領下，我們在數學的王國里漫游著，學習著，就像參觀景點一般瀏覽了數學世界的奧秘，數學，起源于人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解了如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變量概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。可見數學的發展是一步步發現深化和完善的，我們如同探險者，不斷的推翻錯誤的觀點和公式，然后用新的公式代替，最后期待實現真理的目的。數學的神秘和有趣是無盡的，是人們追求的，是人們在高科技現代化所需要的文明產物，可以說上到科學研究，下到吃穿住行沒有一個可以完全脫離數學而存在的。它是支撐我們這個多元多彩世界的重要部分，沒有它就沒有這個豐富的世界。所以通過這門選修課，確實讓我對數學有了更深的了解，我不能用以往的印象理解數學，誤解數學的美。感謝老師以及數學，讓我意識到數學有它獨特的美，我們要用欣賞的眼光去看待數學，因為它不僅是一種解決問題的方法，也是一種美麗的文化。

第五篇：文學藝術中的數學文化欣賞

文學藝術中的數學文化欣賞

摘要：簡述了文學藝術與數學之間的密切聯系，著重介紹了文學中的數學，數字詩及回文詩，通過淺顯易懂的語言文字將數學與文學藝術之間的關系做以淺層次的說明。關鍵詞：文學藝術與數學；數字詩；回文詩

大文豪如是說—

雨果說：“數學到了最后階段就遇到想象，在圓錐曲線、對數、概率、微積分中，想象成了計算的系數，于是數學也成了詩。”

福樓拜說：“越往前走，藝術越要科學化，同時科學也要藝術化，兩者從山麓分手，又在山頂會和。”

中國著名的科學家錢學森認為現代科學可以分為六大部門：自然科學、社會科學、數學科學、系統科學、思維科學、人體科學。文學藝術也可分為六大部門：小說雜文、詩詞歌賦、建筑園林、書畫造型、音樂、綜合。這兩大體系的部門應緊密攜手，才會有大的進展。完全脫離數學的文學藝術如同少了筋骨，而沒有了文學藝術這個舞臺，數學也必然少了許多風采。

下面我就介紹一下經典文學中的數字和數學詩以及回文詩。

一．經典文學中的數字

中國文化源遠流長，積淀十分深厚。古圣和先賢給我們留下了豐富的文化遺產。詩、詞、曲、賦、傳奇、小說、散文，名句佳作如林。值得注意的是，它們中間往往嵌著數字。詩詞中的數字又似點睛之筆，猶如夜空中的星辰熠熠奪目。

“掌上千秋史，胸中百萬兵”的毛澤東，不僅是偉大的政治家、軍事家，而且是偉大的詩人。他一生中寫過近百首氣勢磅礴、流韻千古的詩詞，他的詩詞概括了中國半個世紀的革命歲月，體現了偉人的心路歷程，是革命現實主義和革命浪漫主義相結合的典范。在中國，毛主席的詩詞可謂是無人不知，無人不曉，但很少有人注意到毛主席在詩中最喜歡用的卻是一個“萬”字。在公開發表的37首詩詞中竟然出現了25次之多。一個“萬”字，盡顯了毛主席廣闊的胸懷、經天緯地的雄才大略、敢于拼搏的革命精神。“萬”字正是毛主席詩詞中一顆閃耀的明珠。

沁園春 長沙“看萬山紅遍、萬類霜天競自由、糞土當年萬戶侯” 西江月 井岡山“敵軍圍困萬千重”

采桑子 重陽“寥廓江天萬里霜”

減字木蘭花 廣昌路上“十萬工農下吉安”

蝶戀花 從汀州向長沙“百萬工農齊踴躍”

漁家傲 反第一次大圍剿“萬木霜天紅爛漫，二十萬軍重入贛” 十六字令三首“萬馬戰猶酣”

七律 長征“萬水千山只等閑”

念奴嬌 昆侖“飛起玉龍三百萬”

清平樂 六盤山“屈指行程二萬”

沁園春 雪“萬里雪飄”

七律 人民解放軍占領南京“百萬雄師過大江”

浣溪沙 和柳亞子先生“萬方樂奏有于闐”

水調歌頭 游泳“萬里長江橫渡”

蝶戀花 答李淑一“萬里長空且為忠魂舞”

七律二首 送瘟神“萬戶蕭疏鬼唱歌、坐地日行八萬里、春風楊柳萬千條” 七律 答友人“紅霞萬朵百重衣”

七律 和郭沫若同志“玉宇澄清萬里埃”

七律 冬云“萬花紛謝一時稀”

滿江紅 和郭沫若同志“一萬年太久 只爭朝夕”

唐詩宋詞千古流傳，是中華民族的瑰寶，不僅在中國，而且在日本、韓國、東南亞以至于歐美地區都具有重大的影響。而這些詩詞中的數字常常起著關鍵作用，出神入化，令人遐想無窮。下面介紹一組著名的詩句供學習欣賞。

草 白居易“離離原上草，一歲一枯榮”

杜少府之任蜀州 王勃“城闕輔三秦，風煙望五津”

春望 杜甫“烽火連三月，家書抵萬金”

黃鶴樓 崔顥“黃鶴一去不復返，白云千載空悠悠”

過零丁洋 文天祥“辛苦遭逢起一經，干戈寥落四周星”

江南春絕句 杜牧“南朝四百八十寺，多少樓臺煙雨中”

出塞 王昌齡“黃河遠上白云間，一片孤城萬仞山”

渭城曲 王維“勸君更盡一杯酒，西出陽關無故人”

浪淘沙 劉禹錫“九曲黃河萬里沙，浪淘風簸自天涯”

春日 朱熹“等閑識得東風面，萬紫千紅總是春”

游園不值 葉紹翁“春色滿園關不住，一枝紅杏出墻來”

江雪 柳宗元“千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅”

登鸛雀樓 王之渙“欲窮千里目，更上一層樓”

望廬山瀑布 李白“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”

下江陵 李白“千里江陵一日還輕舟已過萬重山”

蜀相 杜甫“三顧頻煩天下計，兩朝開濟老臣心”

酬樂天揚州初逢席上見贈 劉禹錫“沉舟側畔千帆過，病樹前頭萬木春”

絕句 杜甫“兩只黃鸝鳴翠柳，一行白鷺上青天。

窗含西嶺千秋雪，門泊東吳萬里船。”

二．數學詩及回文詩

著名作家秦牧在其名著《藝海拾貝》中有“詩與數學”一節，他認為數字入詩，別具韻味，充滿智慧，“情趣橫溢，詩意盎然”，給人以美的享受。

在人們的傳說中，與數相關的故事有很多，卓文君的“數字情書”可謂是千古佳話。

漢代蜀中才子司馬相如，赴長安趕考，踏入仕途，后官拜中郎將之職。地位變化了，漸漸地產生了休妻的念頭，想拋棄結發之妻卓文君，所以五年不曾有書信回家。妻子卓文君忠于愛情，朝思暮想，翹首望長安。忽一日，有人從京中送來一封信，卓文君驚喜交加，展開看來，信中只有十三個數字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬。文君冰雪聰明，馬上明白了司馬相如的含意。信中無“億”，那就是“無意”于我嘍。悟知丈夫已變心，她十分悲憤，馬上寫了一首句句嵌有數字的情書交給來人。信中寫道：

一別之后，二地懸念，只說是三四月，又誰知五六年。七弦琴無心彈，八行書不可傳，九連環從中折斷，十里長亭眼欲穿，百思想，千系念，萬般無奈把郎怨。萬語千言說不完，百無聊賴十倚欄，重九登高望孤雁，八月中秋月圓人不園，七月半燒香秉燭問蒼天，六伏天人人搖扇我心寒，五月石榴如火，偏遇陣陣冷雨澆花端，四月枇杷未黃我欲對鏡心意亂，三月桃花隨水轉，飄零零，二月風箏線兒斷。噫！郎啊郎，巴不得下一世你為女來我為男！

司馬相如接到書信，被她的九曲回腸感動，自感羞愧難當，于是頓生悔改之心。他親自回鄉將妻子接到任上，夫妻相敬如賓，白頭偕老。

文君的情書，用正序和逆綴的方法展列了從一至萬和從萬至一的數字，讓人感到生動、新穎，獨具美感。一首詩挽救了一個即將破裂的家庭，真乃千古絕唱。

中國古代關于數字詩的佳作很多。詩中充滿的智慧令人贊嘆不已。當“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬”這十三個數字被詩人巧妙的運用到詩中，表現出了很強的藝術感染力，使全詩妙趣橫生，平添了許多藝術魅力。下面介紹一些精彩詩作：

五言絕句朱紹雍

一去二三里，煙村四五家，樓臺六七座，八九十枝花。

巧妙運用十個數字，描繪出一幅旅途光景，展示出一幅樸實自然的鄉村風俗畫。

詠雪 鄭板橋

一片兩片三四片，五六七八九十片，千片萬片無數片，飛入蘆花皆不見。

前三句平淡無奇，如稚童數數，但最后一句奇峰突起，令人耳目一新，只見大雪與蘆花融為一體，大地白茫茫一片真干凈。

無題 陳秋舫

一帆一槳一扁舟，一個漁翁一吊鉤，一俯一仰一場笑，一江明月一江秋。

此詩呈現了一幅漁翁在秋月下蕩舟獨釣，怡然自得的生動畫面。

清代女詩人何佩玉善寫數字詩，她寫過一首“一”字詩。詩中出現了十個“一”，但令讀者沒有感到絲毫重復。

無題

一帆一漿一點磯，一抹斜陽一鳥飛，一山一水一中寺，一林黃葉一僧掃。

這首詩描繪出的是深秋時節，僧人夜歸山林晚景圖。

天童山中月夜獨坐 易順鼎

青山無一塵，青天無一云，天上惟一月，山中惟一人。

僅僅四個“一”字，山中月夜獨坐的一幅水墨畫已躍然紙上了。

在說完這些生動有趣的數字詩后，我再來說說妙趣橫生的回文詩。

回文詩是一種按一定法則將字詞排列成文，回環往復卻能誦讀的詩。這種詩形式變化無窮，十分活潑，能上下顛倒讀，順讀，倒讀，斜讀，循著一定的數學規律去讀，都是一首優美的詩篇。

蘇軾曾有一首回文詩，水平很高：

題金山寺

潮隨暗浪雪山傾，遠浦漁舟釣月明。

橋對寺門松徑小，巷當泉眼石波清。

迢迢遠樹江天曉，藹藹紅霞晚日晴。

遙望四山云接水，碧峰千點數鷗輕。

把這首七絕由后向前讀，就有了與原詩意境相同的另一首優美七絕

輕鷗數點千峰碧，水接云山四望遙。

晴日晚霞紅藹藹，曉天江樹遠迢迢。

清波石眼泉當巷，小徑松門寺對橋。

明月釣舟漁浦遠，傾山雪浪暗隨潮。

[1]清朝康熙年間的浙江才女吳絳雪（1650-1674）的詠四季詩更是回文詩中的精品。

詠四季詩

鶯啼綠柳弄春情曉明月，香蓮碧水動風涼夏日長。

秋江楚雁宿沙洲線水流，烘爐黑炭炙寒風御隆冬。

十字一行，也稱十字轆轱回文詩。這一首可以讀成春夏秋冬四首季節詩。

春

春情鶯啼綠柳弄，柳弄春情曉月明。

明月曉情春弄柳，情春弄柳綠啼鶯。

這首詩形式奇特，字句凝練，別具一格。換一種斷句方法，又成一首五言詩。

鶯啼綠柳弄，春情曉明月。

明月曉情春，弄柳綠啼鶯。

夏

香蓮碧水動風涼，水動風涼夏日長。

長日夏涼風動水，涼風動水碧蓮香。

這首詩十分奇妙，桃花源向路橋，雁蕩山維摩洞，陽朔蓮花巖都用了這首詩。

秋、冬兩首的形式與春夏相同，一句詩又可分成四句，這也只有中國詩詞有如此的神奇之處。

這首詠四季詩，我們還可將它變為古風，成為一首贊美家鄉四季美景的田園詩歌：

鶯啼綠柳弄，春情曉月明。

香蓮碧水動，風涼夏日長。

秋江楚雁宿，沙洲線水流。

烘爐黑炭炙，寒風御隆冬。

如果改變標點位置，還可變為下列形式：

鶯啼綠，柳弄春情曉明月。

香蓮碧，水動風涼夏日長。

秋江楚，雁宿沙洲線水流。

烘爐黑，炭炙寒風御隆冬。

這些詩十分奇特，讀之成韻，回環往復，令人蕩氣回腸，是中華文學中的奇葩。通過以上的介紹，我們對文學與數學之間的聯系有了進一步的理解。

文學與數學的同一性來源于兩種基本思維方式—藝術思維與科學思維的同一性。文學史一感覺經驗的形式傳達人類理性思維的成果，而數學則是以理性思維的形式描述人類的感覺經驗。文學是“以美啟真”，數學則是“以真啟美”。雖然方向不同，實質則為統一。文學藝術與數學貌似兩條路上跑的車，實則具有千絲萬縷的關系。

參考文獻：

[1]葛斌華 梁超 武修文 《數學文化漫談》 經濟科學出版社