第一篇：直線一級倒立擺課程設計論文

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目錄

一、倒立擺的介紹....................................................................................................................2

1、簡介..............................................................................................................................2

2、分類..............................................................................................................................2

二、直線一級倒立擺的組成....................................................................................................4

1、電控箱..............................................................................................................................5

2、交流伺服電機及其工作原理.........................................................................................5

3、編碼器及其工作原理..................................................................................................6

4、控制卡..........................................................................................................................7

三、倒立擺的建模....................................................................................................................7

四、倒立擺系統控制器的設計..............................................................................................11

1、頻率響應分析............................................................................................................11

2、頻率響應設計與仿真................................................................................................13

五、設計總結..........................................................................................................................22

六、參考資料..........................................................................................................................23

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一、倒立擺的介紹

1、簡介

倒立擺是機器人技術、控制理論、計算機控制等多個領域、多種技術的有機結合，其被控系統本身又是一個絕對不穩定、高階次、多變量、強耦合的非線性系統，可以作為一個典型的控制對象對其進行研究。最初研究開始于二十世紀50 年代，麻省理工學院（MIT）的控制論專家根據火箭發射助推器原理設計出一級倒立擺實驗設備。近年來，新的控制方法不斷出現，人們試圖通過倒立擺這樣一個典型的控制對象，檢驗新的控制方法是否有較強的處理多變量、非線性和絕對不穩定系統的能力，從而從中找出最優秀的控制方法。倒立擺系統作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構建一個良好的實驗平臺，以用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案，促進了控制系統新理論、新思想的發展。由于控制理論的廣泛應用，由此系統研究產生的方法和技術將在半導體及精密儀器加工、機器人控制技術、人工智能、導彈攔截控制系統、航空對接控制技術、火箭發射中的垂直度控制、衛星飛行中的姿態控制和一般工業應用等方面具有廣闊的利用開發前景。平面倒立擺可以比較真實的模擬火箭的飛行控制和步行機器人的穩定控制等方面的研究。

2、分類

倒立擺已經由原來的直線一級倒立擺擴展出很多種類，典型的有直線倒立擺，環形倒立擺，平面倒立擺和復合倒立擺等，倒立擺系統是在運動模塊上裝有倒立擺裝置，由于在相同的運動模塊上可以裝載不同的倒立擺裝置，倒立擺的種類由此而豐富很多，按倒立擺的結構來分，有以下類型的倒立擺：

直線倒立擺系列

直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個可以沿導軌滑動的小車，并且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關節。

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環形倒立擺系列

環形倒立擺是在圓周運動模塊上裝有擺體組件，圓周運動模塊有一個自 由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運動，在運動手臂末端裝有擺體組件，根據擺體組件的級數和串連或并聯的方式，可以組成很多形式的倒立擺。

平面倒立擺系列

平面倒立擺是在可以做平面運動的運動模塊上裝有擺桿組件，平面運動

模塊主要有兩類：一類是XY運動平臺，另一類是兩自由度 SCARA 機械臂；擺體組件也有一級、二級、三級和四級很多種。

復合倒立擺系列

復合倒立擺為一類新型倒立擺，由運動本體和擺桿組件組成，其運動本 體可以很方便的調整成三種模式，一是2)中所述的環形倒立擺，還可以把本體翻轉 90 度，連桿豎直向下和豎直向上組成托擺和頂擺兩種形式的倒立擺。按倒立擺的級數來分：有一級倒立擺、兩級倒立擺、三級倒立擺和四級倒立擺，一

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級倒立擺常用于控制理論的基礎實驗，多級倒立擺常用于控制算法的研究，倒立擺的級數越高，其控制難度更大，目前，可以實現的倒立擺控制最高為四級倒立擺。

二、直線一級倒立擺系統的組成

直線一級倒立擺是最基礎和最簡單的倒立擺，也是這次創新實踐課程的主要研究對象，它由由直線運動模塊和一級擺體組件組成，是最常見的擺之一，如圖1所示：

圖1 倒立擺實物圖

系統圖組成圖如下：

圖2 一級直線倒立擺系統組成圖示

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倒立擺的工作方式為小車由電機通過同步帶驅動，在滑桿上來回運動，保持擺桿平衡，電機編碼器和角編碼器向運動卡反饋小車位置和擺桿位置（線位移和角位移）

1、電控箱

電控箱內安裝有如下部件： 交流伺服驅動器 I/O接口板 開關電源

開關、指示燈等電氣元件

2、交流伺服電機及其工作原理

交流伺服電動機的定子繞組和單相異步電動機相似，它的定子上裝有兩個在空間相差 90 °電角度的繞組，即勵磁繞組和控制繞組。運行時勵磁繞組始終加上一定的交流勵磁電壓，控制繞組上則加大小或相位隨信號變化的控制電壓。轉子的結構形式籠型轉子和空心杯型轉子兩種。籠型轉子的結構與一般籠型異步電動機的轉子相同，但轉子做的細長，轉子導體用高電阻率的材料作成。其目的是為了減小轉子的轉動慣量，增加啟動轉矩對輸入信號的快速反應和克服自轉現象。空心杯形轉子交流伺服電動機的定子分為外定子和內定子兩部分。外定子的結構與籠型交流伺服電動機的定子相同，鐵心槽內放有兩相繞組。空心杯形轉子由導電的非磁性材料（如鋁）做成薄壁筒形，放在內、外定子之間。杯子底部固定于轉軸上，杯臂薄而輕，厚度一般在 0.2 — 0.8mm，因而轉動慣量小，動作快且靈敏。交流伺服電動機的工作原理和單相異步電動機相似，LL 是有固定電壓勵磁的勵磁繞組，L K是有伺服放大器供電的控制繞組，兩相繞組在空間相差 90 ° 電角度。如果 IL 與 Ik 的相位差為 90 °，而兩相繞組的磁動勢幅值又相等，這種狀態稱為對稱狀態。與單相異步電動機一樣，這時在氣隙中產生的合成磁場為一旋轉磁場，其轉速稱為同步轉速。旋轉磁場與轉子導體相對切割，在轉子中產生感應電流。轉子電流與旋轉磁場相互作用產生轉矩，使轉子旋轉。如果改變加在控制繞組上的電流的大小或相位差，就破壞了對稱狀態，使旋轉磁場減弱，電動機的轉速下降。電機的工作狀態越不對稱，總電磁轉矩就越小，當除去控制繞組上信號電壓以后，電動機立即停止轉動。這是交流伺服電動機在運行上與普通異步電動機的區別。

交流伺服電機有以下三種轉速控制方式：

（1）幅值控制 控制電流與勵磁電流的相位差保持 90 ° 不變，改變控制電壓的大小。

（2）相位控制 控制電壓與勵磁電壓的大小，保持額定值不變，改變控制電壓的相位。

（3）幅值 — 相位控制 同時改變控制電壓幅值和相位。交流伺服電動機轉軸的轉向隨控制電壓相位的反相而改變。

下圖為交流伺服電動機原理圖：

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圖3 交流伺服電動機原理圖

3、編碼器及其工作原理

旋轉編碼器是一種角位移傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應式三種，其中光電式脈沖編碼器是閉環控制系統中最常用的位置傳感器。

圖4 光電編碼器原理示意圖

旋轉編碼器有增量編碼器和絕對編碼器兩種，圖 2-1 為光電式增量編碼器示 意圖，它由發光元件、光電碼盤、光敏元件和信號處理電路組成。當碼盤隨工作 軸一起轉動時，光源透過光電碼盤上的光欄板形成忽明忽暗的光信號，光敏元件 把光信號轉換成電信號，然后通過信號處理電路的整形、放大、分頻、記數、譯 碼后輸出。為了測量出轉向，使光欄板的兩個狹縫比碼盤兩個狹縫距

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離小 1/4 節 距，這樣兩個光敏元件的輸出信號就相差π/2 相位，將輸出信號送入鑒向電路，即可判斷碼盤的旋轉方向。

光電式增量編碼器的測量精度取決于它所能分辨的最小角度α(分辨角、分 辨率)，而這與碼盤圓周內所分狹縫的線數有關。

3600 a=

n其中 n——編碼器線數。由于光電式脈沖編碼盤每轉過一個分辨角就發出一個脈沖信號，因此，根據脈沖數目可得出工作軸的回轉角度，由傳動比換算出直線位移距離；根據脈沖頻 率可得工作軸的轉速；根據光欄板上兩條狹縫中信號的相位先后，可判斷光電碼 盤的正、反轉。絕對編碼器通過與位數相對應的發光二極管和光敏二極管對輸出的二進制 碼來檢測旋轉角度。

角度換算：

對于線數為 n 的編碼器，設信號采集卡倍頻數為 m，則有角度換算關系為：

式中 f ——為編碼器軸轉角；

N ——編碼器讀數 對于電機編碼器，在倒立擺使用中需要把編碼器讀數轉化為小車的水平位置，以下轉換關系：

式中 l ——小車位移；

f ——同步帶輪直徑

4、控制卡

倒立擺使用了由固高科技提供的控制卡，該控制卡的特點是輸出類型可以是模擬量或者脈沖量，它還采用了PID濾波器，外加速度和加速度前饋。通過調節，設置合適的參數，可提高控制系統的速度和精度。

三、倒立擺的建模

由于狀態反饋要求被控系統是一個線性系統，而倒立擺系統本身是一個非線性的系統，因此用狀態反饋來控制倒立擺系統首先要將這個非線性系統近似成為一個線性系統。

可用牛頓力學方法來建模：在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成的系統，如圖2所示：

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圖2直線一級倒立擺模型

我們不妨做以下假設：

M 小車質量；m 擺桿質量；b 小車摩擦系數；l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度；I 擺桿慣量；F 加在小車上的力；x 小車位置；φ 擺桿與垂直向上方向的夾角；θ擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）

下圖是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作 力的水平和垂直方向的分量。注意：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，因而矢量方向定義如圖3示，圖示方向為矢量正方向。

圖3及擺桿受力分析

分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：

d2 n?m2(x?lsin?)（3-1）

dt8

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即：

???ml?cos??ml?sin?

n?mx（3-2）把這個等式代入式(3-1)中，就得到系統的第一個運動方程：

...2??bx?ml?cos??ml?2sin??F

(M?m)?（3-3）x為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：

d2 p?mg?m2(lcos?)

dt....(3-4)p?mg??ml?sin??ml?2cos?...(3-5)力矩平衡方程如下：

?plsin??Nlcos??l?(3-6)注意：此方程中力矩的方向，由于θ =π +φ,cosφ =-cosθ,sinφ =-sinθ，故等式 前面有負號。

合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程：

??cos?(3-7)(I?ml)??mglsin???mlx2....設θ =π +φ（φ是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設φ與1（單位是弧dθ

2度）相比很小，即φ<<1，則可以進行近似處理：

d?cos???1,sin????,()2?0

dt(3-8)用，來代表被控對象的輸入力F，線性化后兩個運動方程如下：

???u ??bx??ml?(M?m)?x(3-9)???mgl??mlx??(I?ml2)?(3-10)注意：推導傳遞函數時假設初始條件為0。

由于輸出為角度φ，求解方程組的第一個方程，可以得到：

(I?ml2)g?2]?(s)

x(s)?[mls

(3-11)或

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mls

2（3-12）?X(S)(I?ml2)s2?mgl?(s)如果令v = x，則有： ?(s)?ml

V(s)(I?ml2)s2?mgl（3-13）

把上式代入方程組的第二個方程，得到：

(M+m)[(l?ml2)g(ml-s]?(s)s+b[l?ml22)ml+gs2]?(s)s-ml?(s)s2=U(s)整理后得到傳遞函數：

ml?(s)s2U(s)?qs4?b(I?ml2)(M?m)mglbmgl qs3?qs2?qs其中

q?[(M?m)(I?ml2)?(ml)2] 設系統狀態空間方程為：

.x?AX?Bu y?CX?Du

由(9)方程為：

(I?ml2)?..?mgl??mlx?? 對于質量均勻分布的擺桿有： I?13ml2

于是可以得到：

(122..3ml?ml)??mgl??mlx??(3-18)化簡得到：

?..?3g4l??34l??x 實際系統的模型參數如下: M 小車質量 1.096 Kg m 擺桿質量 0.109 Kg b 小車摩擦系數 0.1N/m/sec l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.2 5m I 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m 把上述參數代入，可以得到系統的實際模型。

（3-14）（3-15）（3-16）

（3-17）

（3-19）自動化07級2班

擺桿角度和小車位移的傳遞函數：

mls2

（3-20）?22X(S)(I?ml)s?mgl?(s)擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數為：

G(s)??(s)X(S)?0.02725（3-21）20.0102125S?0.26705可以看出，系統的狀態完全可控性矩陣的秩等于系統的狀態變量維數，系統的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統輸出向量y的維數，所以系統可控，因此可以對系統進行控制器的設計，使系統穩定。

四、倒立擺系統控制器的設計

系統對正弦輸入信號的響應，稱為頻率響應。在頻率響應方法中，我們在一定范圍內改變輸入信號的頻率，研究其產生的響應。

頻率響應可以采用以下三種比較方便的方法進行分析，一種為伯德圖或對數 坐標圖，伯德圖采用兩幅分離的圖來表示，一幅表示幅值和頻率的關系，一幅表 示相角和頻率的關系；一種是極坐標圖，極坐標圖表示的是當ω從0變化到無窮 大時，向量 G(jω)G(jω)的軌跡，極坐標圖也常稱為奈奎斯特圖，奈奎斯特穩 定判據使我們有可能根據系統的開環頻率響應特性信息，研究線性閉環系統的絕 的穩定性和相對穩定性。

1、頻率響應分析

原系統的開環傳遞函數為：

G(s)??(s)X(S)?0.02725（4-1）

0.0102125S2?0.26705

其中輸入為小車的加速度V(s)，輸出為擺桿的角度Φ(s)。在MATLAB下繪制系統的Bode圖和奈奎斯特圖。繪制Bode圖的命令為： Bode(sys)繪制奈魁斯特圖的命令為： Nyquist(sys)在MATLAB中鍵入以下命令： clear;num=[0.02725];den=[0.0102125 0-0.2

z=roots(num);

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p=roots(den);

subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)得到如圖4示的結果： z = Empty matrix: 0-by-1 p = 5.1136-5.1136

圖6 原系統Bodel圖和Nyquist圖

可以得到，系統沒有零點，但存在兩個極點，其中一個極點位于右半s平面，根據奈奎斯特穩定判據，閉環系統穩定的充分必要條件是：當ω從-∞到變+∞ 化時，開環傳遞函數G(jω)沿逆時針方向包圍-1點 p圈，其中 p為開環傳遞函數

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在右半S平面內的極點數。對于直線一級倒立擺，由圖 3-21我們可以看出，開 環傳遞函數在 S 右半平面有一個極點，因此G(jω)需要沿逆時針方向包圍-1 點一圈。可以看出，系統的奈奎斯特圖并沒有逆時針繞-1點一圈，因此系統不穩定，需要設計控制器來鎮定系統。

2、頻率響應設計及仿真

直線一級倒立擺的頻率響應設計可以表示為如下問題： 考慮一個單位負反饋系統，其開環傳遞函數為： G(s)??(s)X(S)?0.02725(4-2)

0.0102125S2?0.26705設計控制器G(s)，使得系統的靜態位置誤差常數為 10，相位裕量為50°，增益裕量等于或大于10分貝。

根據要求，控制器設計如下：

1)選擇控制器，上面我們已經得到了系統的Bode圖，可以看出，給系統 增加一個超前校正就可以滿足設計要求，設超前校正裝置為：

1s?Ts?1T(4-3)GC(s)?Kc??K1?Ts?1s??Tc已校正系統具有開環傳遞函數Gc(s)G(s)。設

0.02725?K G1(s)?KG(s)?(4-4)

0.0102125s2?0.26705式中

K=Keα。

2)根據穩態誤差要求計算增益K，1(s?)0.02725T? Kp?limGC(s)G(s)?limK(4-5)2s?0s?010.0102125s?0.26705(s?)?Tc可以得到：

K=98 于是有：

0.02725?98 G1(s)? 20.0102125s?0.26705(4-6)3)在MATLAB中畫出G(s)的Bode圖： clear;num1=[2.6705];den1=[0.0102125 0-0.26705];bode(num1,den1)

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可以獲得圖7的結果：

圖7 加入增益后的Bode圖 輸入：nyquist(num1,den1)可以獲得圖8：

圖8 增加增益后的Nyquist圖

4）可以看出，系統的相位裕量為0°，根據設計要求，系統的相位裕量為50°，因此需要增加的相位裕量為50°，增加超前校正裝置會改變 Bode 的幅曲線，這時增益交界頻率會向右移動，必須對增益交界頻率增加所造成的G1(jω)的相位滯后增量進行補償，因此，假設需要的最大相位超前量φm近似等于

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55°。因為

Sinβ=1-α/1+α 計算可以得到：α =0.0994 5)確定了衰減系統，就可以確定超前校正裝置的轉角頻率ω =1/T和ω＝1/(αT)，可以看出，最大相位超前角φm 發生在兩個轉角頻率的幾何中m心上，即ω，在ω點上，由于包含(Ts+1)/(αTs+1)項，所以幅值的變化為：

1?j?T 1?j??T??1??1?1?j???T1?j1

(4-7)于是 G1(jω)=-10.0261分貝對應于ω = 28.5rad/s，我們選擇此頻率作為新的 增益交界頻率ωc，這一頻率相應于ω,即: 1/T=8.8735 1/Tα=90.3965 6)于是校正裝置確定為：

(4-8)Kc=985.9155 7)增加校正后系統的根軌跡和奈魁斯特圖如下：

（進入MATLAB Simulink 實時控制工具箱“Googol Education Products”打 開“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Frequency Response Experiments”中的“Frequency Response Control M Files”）輸入： clear;num=98*[0.02725];den=[0.0102125 0-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)

z=roots(num);p=roots(den);

za=[z;-8.9854];pa=[p;-90.3965];

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k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);figure subplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)figure sysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;impulse(sysc,t)可以得到，如圖9Bode圖和圖10Nyquist圖所示：

圖9 Bode圖

圖10 Nyquistl圖

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圖11利用頻率響應方法校正后系統的單位階躍響應圖（一階控制器）

從 Bode 圖中可以看出,系統具有要求的相角裕度和幅值裕度，從奈魁斯 特圖中可以看出，曲線繞-1點逆時針一圈，因此校正后的系統穩定。

利用頻率響應方法校正后系統的單位階躍響應圖可以看出，系統在遇到干擾后，在1秒內可以達到新的平衡，但是超調 量比較大。

8)打開“L1dofFreq.mdl”，在 MATLAB Simulink 下對系統進行仿真（本 例和以下的例子都不再仔細說明每步的操作方法，詳細的步驟請參見前一章 內容）.（進入MATLAB Simulink 實時控制工具箱“Googol Education Products”打 開“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Frequency Response Experiments ”中的“ Frequency Response Control Simulink”）

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圖12 系統仿真圖

圖13 環節參數設計圖

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可以獲得圖14的結果：

圖14 增加超前校正后的單位階躍響應圖

9)可以看出，系統存在一定的穩態誤差，為使系統獲得快速響應特性，又 可以得到良好的靜態精度，我們采用滯后－超前校正（通過應用滯后－超前 校正，低頻增益增大，穩態精度提高，又可以增加系統的帶寬和穩定性裕量），設滯后－超前控制器為：

11)(s?)T1T2 Gc(s)?K

?1(s?)(s?)T1?T2(s?(4-9)10)設計滯后-超前控制器。設控制器為： Gc(s)?Kc(31)可以得到靜態誤差系數:

Kp?limGc(s)G(s)?lim1465?s?0s?01(s?T)(s?T12)1?(s?T)(s?1?T21)?1191.3445?s?8.7099s?2?

s?106.0284s?0.1988s?8.1164s?20.02725???100.6s?121.3221s?0.19880.0102125s2?0.26705

比超前校正提高了很多，因為－2 零點和－0.1988 極點比較接近，所以對相 角裕度影響等不是很大，滯后-超前校正后的系統Bode圖和奈魁斯特圖如下

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所示： 輸入： clear;num=98*[0.02725];den=[0.0102125 0-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)

z=roots(num);p=roots(den);

za=[z;-8.9854;-2];pa=[p;-90.3965;-0.1988];k=985.9155;sys=zpk(za,pa,k);

figure subplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)

figure sysc=sys/(1+sys);t=0:0.005:5;impulse(sysc,t)可以獲得圖15和圖16所示的結果：

圖15增加一階控制器后系統 Bode圖

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圖16增加一階控制器后的 Nyquist圖

利用頻率響應方法校正后的 Bode 圖和 Nyquist圖（二階控制器）

進入MATLAB Simulink 實時控制工具箱“Googol Education Products”打

開“Inverted PendulumLinear Inverted PendulumLinear 1-Stage IP Experiment Frequency Response Experiments ”中的“ Frequency Response Control Simulink”）設“Controller2”圖17所示：

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圖17 系統參數設置 可獲得圖18的結果：

圖18 增加二階控制器后的單位階躍響應圖

可以很明顯的看出，系統的穩態誤差較少。

五、設計總結

倒立擺控制系統是一個復雜的、不穩定的系統，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對于倒立擺的研究有很深的意義。倒立擺系統的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性問題的能力。

通過本次創新實踐，我了解了倒立擺系統的特點，學會了直線一級倒立擺的建模過程。本次實踐用的是機理建模，即對倒立擺系統用牛頓定律進行力學分析，建立運動方程。直線一級倒立擺建模的關鍵是弄清楚分析對象。通過對不同對象的分析而建立的方程組要進行線性化處理后才進行拉普拉斯變換，這樣才能用經典控制理論對系統模型進行分析，并設計控制器。

我們小組的設計是采用的是頻率響應法。頻率響應法是用MATLAB對控制過程的傳遞方程進行頻率分析。用MATLAB程序繪制出系統的波特圖和奈奎斯特圖，這樣就能分析控制過程的穩定性，并計算出穩定裕度。用頻率響應法設計控制器首先要確定設計指標，包括穩態誤差，相位裕度，幅值裕度。之后選擇控制器模型，本次設計采用的是超前校正。設計方法是先根據穩度誤差確定增益，通過對新傳遞函數的分析確定最大超前相角，通過控制器模型及以上參數確定轉角頻率。

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這樣控制器的理論參數就能計算出來。通過MATLAB分析驗證控制器的控制效果。

在這次設計當中，最大的體會是理論與實踐是有差別的。在理論上建好模仍需通過不斷的實驗微調控制器參數，才能實現一個比較完美的控制器，達到穩定快速控制的目的。還有就是對各種建模方法的深刻體會。現實中的很多問題都是通過建模之后，再運用已有的理論知識以及大量的實驗、測試來解決的。可以說建模理論的出現，對人類解決各種復雜的問題（包括自動控制問題）有里程碑式的作用。

六、參考資料

《自動控制原理》——————華南理工大學出版社 《現代控制理論》（第3版）——————機械工業出版社 《倒立擺與自動控制原理實驗》——————固高科技

以及大量網上關于直線一級倒立擺控制器的設計資料，在此不作羅列。

第二篇：直線一級倒立擺創新實踐

直線一級倒立擺創新實踐

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一、倒立擺系統的介紹.........................................................1、倒立擺系統簡介........................................................2、倒立擺分類............................................................二、倒立擺系統建模過程.......................................................三、交流伺服電機、編碼器的工作原理...........................................1、交流伺服電機工作原理..................................................2.編碼器工作原理........................................................四、倒立擺系統控制器的設計過程...............................................1、控制器設計要求........................................................2、控制器設計方法......................................................3、建立系統模型........................................................5、MATLAB仿真圖.......................................................五、心得體會................................................................一、倒立擺系統的介紹

1、倒立擺系統簡介

倒立擺控制系統是一個復雜的、不穩定的、非線性系統，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性問題的能力。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發射中的垂直度控制和衛星飛行中的姿態控制等。

2、倒立擺分類

倒立擺已經由原來的直線一級倒立擺擴展出很多種類,典型的有直線倒立擺，環形倒立擺，平面倒立擺和復合倒立擺等，倒立擺系統是在運動模塊上裝有倒立擺裝置，由于在相同的運動模塊上可以裝載不同的倒立擺裝置，倒立擺的種類由此而豐富很多，倒立擺結構來分，有以下類型的倒立擺：

1）直線倒立擺系列

直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導軌水平運動，在小車上裝載不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個可以沿導軌滑動的小車，并且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關節。

2）環形倒立擺系列

環形倒立擺是圓周運動模塊上裝有擺體組件，圓周運動模塊有一個自由度，可以圍繞齒輪中心做圓周運動，在運動手臂末端裝有擺體組件，根據擺體組件的級數和串連或并聯的方式，可以組成很多形式的倒立擺。

3）平面倒立擺系列

平面倒立擺是在可以做平面運動的運動模塊上裝有擺桿組件，平面運動模塊主要有兩類：一類是XY運動平臺，另一類是兩自由度SCARA機械臂擺體組件也有一級、二級、三級和四級很多種。

注意：在實際倒立擺系統中檢測和執行裝置的正負方向已經完全確定，因而 矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。

分析小車水平方向所受的合力（假設初始條件為0），可以得到以下方程：由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：

即：

把這個等式代入式(3-1)中，就得到系統的第一個運動方程：

為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：

力矩平衡方程如下：

注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去 P 和 N，得到第二個運動方程：

設q=p+F，假設f《1（弧度），則可以進行近似處理：

2）利用三相電源的任意線電壓；

3）采用移相網絡

4）在激磁相中串聯電容器

1.1交流伺服電機的優良性能 控制精度高

步進電機的步距角一般為1．8。(兩相)或0．72。(五相)，而交流伺服電機的精度取決于電機編碼器的精度。以伺服電機為例，其編碼器為l6位，驅動器每接收2 =65 536個脈沖，電機轉一圈，其脈沖當量為360‘／65 536=0，0055 ；并實現了位置的閉環控制．從根本上克服了步進電機的失步問題。

矩頻特性好

步進電機的輸出力矩隨轉速的升高而下降，且在較高轉速時會急劇下降，其工作轉速一般在每分鐘幾十轉到幾百轉。而交流伺服電機在其額定轉速(一般為2000r／min或3000r／rain)以內為恒轉矩輸出，在額定轉速以E為恒功率輸出。

具有過載能力

以松下交流伺服電機為 加速性能好

步進電機空載時從靜止加速到每分鐘幾百轉，需要200—400ms：交流伺服電機的加速性能較好．

2.編碼器工作原理

旋轉編碼器是一種角位移傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應式三種，其中光電式脈沖編碼器是閉環控制系統中最常用的位置傳感器。

光電編碼器原理示意圖

旋轉編碼器有增量編碼器和絕對編碼器兩種，圖 2-1 為光電式增量編碼器示 意圖，它由發光元件、光電碼盤、光敏元件和信號處理電路組成。當碼盤隨工作 軸一起轉動時，光源透過光電碼盤上的光欄板形成忽明忽暗的光信號，光敏元件 把光信號轉換成電信號，然后通過信號處理電路的整形、放大、分頻、記數、譯 碼后輸出。為了測量出轉向，使光欄板的兩個狹縫比碼盤兩個狹縫距離小 1/4 節 距，這樣兩個光敏元件的輸出信號就相差π/2 相位，將輸出

9101112

9)選擇上圖中上方的“Normal”為“External”：

Here

10)將文件保存為“ EncoderTest ”，點擊菜單“ SimulationSimulation Parameters”設置參數：

41516

3)在MATLAB中畫出G1（s）Bode圖

4）可以看出，系統的相位裕量為0°，根據設計要求，系統的相位裕量為50°，因此需要增加的相位裕量為50°，增加超前校正裝置會改變Bode圖的幅值曲線，這時增益交界頻率會向右移動，必須對增益交界頻率增加所造成的G1（jw）相位滯后增量進行補償，因此，假設需要的最大相位超前量近似等于55°。

5）確定了衰減系統，就可以確定超前校正裝置的轉角頻率，所以幅值變化為

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第三篇：倒立擺課程設計

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摘 要

倒立擺系統作為一個具有絕對不穩定、高階次、多變量、強禍合 的典型的非線性系統，是檢驗新的控制理論和方法的理想模型，所以 本文選擇倒立擺系統作為研究對象具有重要的理論意義和應用價值。相對于其他研究倒立擺系統的控制方法，Backstepping方法最大的優點是不必對’系統進行線性化，可以直接對系統進行遞推性的控制器設計，保留了被控對象中有用的非線性項，使得控制設計更接近實際情況，而且所設計的控制器具有很強的魯棒性。

本文主要利用Backstepping方法設計了直線型一級倒立擺系統控制器并基于MATLAB/Simulink對系統進行了離線仿真。本文所作的主要工作或要達到的主要目的是:(一)建立直線型一級倒立擺系統的數學模型，并利用Backstepping方法設計了該倒立擺系統的控制器，然后對閉環系統進行了數值仿真并與其他方法進行了數值仿真分析比較。與當前的倒立擺研究成果相比，具有研究方法新穎、控制效果好的特點。

(二)本文利用所設計的非線性控制器在MATLAB/Simulink環境下對系統進行了離線仿真分析，并與固高公司提供的算法進行了仿真效果比較。

關鍵詞:倒立擺系統，Backstepping, MATLAB/Simulink，實時控制

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目 錄

1.倒立擺系統的簡介........................................1 1.1倒立擺系統的研究背景..........................................1 1.2倒立擺系統的研究歷史、現狀及發展趨勢..........................2 1.3倒立擺的主要控制方法..........................................4 2.一級倒立擺數學模型......................................6 2.1一級倒立擺系統的組成..........................................6 2.2一級倒立擺系統數學模型的建立..................................7 3.系統控制器的設計和閉環系統的數值仿真....................9 4.直線型一級倒立擺系統的Simulink模型和離線仿真............12 4.1基于線性控制器對線性系統的離線仿真..........................12 4.2基于線性控制器對非線性系統的離線仿真........................15 4.3基于非線性控制器對非線性系統的離線仿真......................16

5.模型的優點.............................................18 6.結論和展望.............................................19 7.參考文獻...............................................20

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1.倒立擺系統的簡介

1.1倒立擺系統的研究背景

在控制理論的研究及其應用的發展過程中，當一種新的理論產生，它的正確性及實際應用中的可行性都需要一個按其理論設計的控制器去控制一個典型對象來驗證，而倒立擺就是這樣一個被控制對象。倒立擺是一個多變量、快速、非線性、強藕合、不穩定的系統，通過對它引入一個適當的控制方法使之成為一個穩定系統，來檢驗控制方法對不穩定性、非線性和快速性系統的處理能力，而且在倒立擺的控制過程中，它能有效地反映諸如可鎮定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤性能等許多自動控制領域中的關鍵問題。因此受到世界各國許多科學家的重視，從而用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，成為最具有挑戰性的課題之一。對倒立擺系統的研究不僅僅在其結構簡單、原理清晰、易于實現等特點，而且作為典型的多變量系統，可采用實驗來研究控制理論中許多方面的問題。諸如模型的建立、狀態反饋、觀測器理論、快速控制理論以及濾波理論等都可以用于這類系統。因此，倒立擺實驗模型對現代控制理論的教學來說，自然成為一個相當理想的實驗模型，而且也可以作為數控技術應用的典型的對象;另一方面對系統的研究也比較有實用價值，從日常生活中所見到的任何重心在上、支點在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺的穩定，都和倒立擺的控制有很大的相似性，故對其的穩定控制在實際中有很多應用，如海上鉆井平臺的穩定控制、衛星發射架的穩定控制、火箭姿態控制、飛機安全著陸、機器人雙足行走機構、化工過程控制等都屬這類問題。因此對倒立擺機理的研究具有重要的理論和實際意義，成為控制理論中經久不衰的研究課題。

除此之外，由于倒立擺系統的高階次、不穩定、多變量、非線性、強耦合等特性，許多現代控制理論的研究人員一直將它們視為研究對象，用它們來描述線性控制領域中不穩定系統的穩定性和非線性控制領域中的變結構控制、無源性控制、自由行走、非線性觀測器、摩擦補償、非線性模型降階等控制思想，并且不斷從中發掘出新的控制理論和控制方法，相關的成果在航空航天和機器人學方面獲得了廣闊的應用。可見，對倒立擺系統進行研究既具有意義深遠的理論價值，又具有重要的工程背景和實際意義。

倒立擺系統有著很強的工程背景，主要體現在:(l)機器人的站立與行走類似于雙倒立擺系統，盡管第一臺機器人在美國問世至今已有三十年的歷史，機器人的關鍵技術—機器人的行走控制至今仍未能很好解決。

(2)在火箭等飛行器的飛行過程中為了保持其正確的姿態要不斷進行實時控 1

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制。

(3)通信衛星在預先計算好的軌道和確定的位置上運行的同時要保持其穩定的姿態使衛星天線一直指向地球使它的太陽能電池板一直指向太陽。

(4)偵察衛星中攝像機的輕微抖動會對攝像的圖像質量產生很大的影響，為了提高攝像的質量必須能自動地保持伺服云臺的穩定消除震動。

(5)為防一止單級火箭在拐彎時斷裂而誕生的柔性火箭(多級火箭)其飛行姿態的控制也可以用多級倒立擺系統進行研究。

由于控制理論的廣泛應用，由此系統研究產生的方法和技術將在半導體及精密儀器加工、機器人控制技術、人工智能、導彈攔截控制系統、航空對接控制技術、火箭發射中的垂直度控制、雙足機器人火箭飛行控制、伺服云臺穩定、衛星飛行中的姿態控制和一般工業應用等方面具有廣闊的利用開發前景。因此對倒立擺控制機理的研究具有重要的理論和實踐意義。

倒立擺系統大概可以歸納為如下幾類:平行式倒立擺、平面擺、柔性擺、懸掛式倒立擺和球平衡式倒擺系統。倒立擺的級數可以是一級、二級、三級乃至多級，倒立擺的運動軌道既可以是水平的，也可以是傾斜的。1.2倒立擺系統的研究歷史、現狀及發展趨勢

自從20世紀50年代倒立擺系統成為控制實驗室的經典工具以來，關于倒立擺控制的論述可以分為2個主要的方面: 1)理論方面:依靠計算機仿真對控制方法的可行性進行驗證;2)實驗方面:調查引起計算機仿真結果和實時控制之間性能差異的物理不確定性。

在理論方面，1986年，Chung和Litt對單級倒立擺系統的動態進行了辨識，并分別設計了自適應自整定反饋控制器和PD反饋控制器來保持倒立擺在垂直向上方向的穩定。1989年，Anderson和Grantham，運用函數最小化和Lyapunov穩定方法成功產生了一個優化反饋控制器。1992年，Renders和Soudak通過相平面分析，得到了一個線性控制器。1995年，任章等應用振蕩控制理論，通過在倒立擺支撐點的垂直方向上加入一個零均值的高頻振蕩信號，改善了倒立擺系統本身的穩定性。1998年，蔣國飛等將Q學習算法和BP神經網絡有效結合，實現了狀態未離散化的倒立擺的無模型學習控制。2001年，單波等利用基于神經網絡的預測控制算法對倒立擺的控制進行了仿真。在兩級倒立擺方面，Sabba(1983)把系統穩定尺度作為一個無限維不等式，從而避免了方法。1996年，翁正新等利用帶觀測器的H?狀態反饋控制器對二級倒立擺系統進行了仿真控制。1997年，翁正新等利用同樣的方法對傾斜導軌上的二級倒立擺進行了仿真控制。

Sinha和Joseph2000年，劉妹琴等用進化RBF神經網絡控制二級倒立擺。1994年，2

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利用Lyapunov?Floquet變換得到了三級倒立擺系統的計算機仿真模型(有3個控制輸入)。2001年，李洪興領導的模糊系統和模糊信息研究中心利用變論域自適應模糊控制的思想在國際上首次實現了四軸倒立擺的仿真;同年，肖軍等提出一種基于三維模糊組合變量的控制方法，仿真結果證明了該方法的有效性。在數學模型方面，Larcombe(1991 ,1992)得到了在二維坐標中的簡單多級倒立擺系統的運動方程。1992年，Larcombe和Torsneyt2發現了簡單多級倒立擺系統平衡狀態的辨識方程。隨后，Larcombe(1993)把符號算法應用于二級倒立擺系統的開環線性化動態方程，并且計算了系統的特征方程和開環極點。2001年，史曉霞等建立了二級倒立擺的數學模型，同年，張葛祥等建立了三級倒立擺的數學模型，并分析了系統的可控制性和可觀測性，給出了智能控制算法的思路。

在實驗方面，單級倒立擺系統的實驗最早出現在Roberge(1960)的論文中。1963年，Higdon 和Cannon提出了平行倒立擺的問題。Koenigsberg和Fredrick(1970)則使用了基于觀測器的輸出反饋控制器和狀態反饋調節器。Mori等((1976)設計了一個組合控制器，既可以擺起倒立擺，還可以維持它在垂直向上方向上的平衡。1992年，Simth和Blackburn利用高頻垂直振蕩獲得穩定的倒置狀態，同年，Ostertag和Carvalho?Ostertag開發了一個帶摩擦力補償的穩定模糊控制器。Wei等(1995)利用bang?bang非線性控制器擺起了倒立擺并穩定在垂直向上方向。1996年，張乃堯等實現了倒立擺的雙閉環模糊控制。1998年，王佳斌用網絡控制倒立擺。對于二級倒立擺，Loscuttof(1972)認為只有全階觀測器才能實現它的穩定;但Furuta等((1975)證明了這種結論的錯誤性，并在1978年利用一個線性函數觀測器穩定了同一系統。1980年，Furuta等控制了傾斜導軌上的同一系統，并能保持小車的正確定位。Zu?ren等在1984年運用部分狀態和線性函數觀測器結構，在模擬計算機上應用了同一算法，1987年他

Der Linden和們使用離散二次性能指標修改T這一控制器。1993年，Van Lambrechts在運用戈理論設計倒立擺的控制器時考慮了干摩擦。Yamakita等(1993)運用學習控制方法成功擺起了二級倒立擺系統，而且在1994年他們運用這相同的控制方法使倒立擺在4種平衡狀態中互相切換。1995年，程福雁等利用參變量模糊控制對二級倒立擺進行實時控制，取得了較好的效果。1999年，李巖等運用基于PD控制的專家智能控制并實現了二級倒立擺的穩定控制。2000年，林紅等利用最優反饋調節器使其在倒立位置保持平衡，并在鋸齒波信號的作用下有規律地移動，直至無限遠處。在三級倒立擺方面，Furuta(1984)和Meier等(1990)分別利用帶函數觀測器和降階觀測器的LQR方法設計了反饋控制器。1999年，李德毅利用云控制方法有效地實現了單電機控制的一、二、三級倒立擺的多種不同動平衡姿態，并給出了詳細試驗結果;同年，張飛舟等采用相平面 3

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分析法并結合人的控制經驗，實現了一、二、三級倒立擺的擬人智能控制。2000年，楊亞煒等利用擬人智能控制成功實現了在傾斜導軌上三級倒立擺的穩定，并可以控制三級倒立擺沿水平或傾斜導軌自由行走。

多年來，人們對倒立擺的研究越來越感興趣，倒立擺的種類也由簡單的單級倒立擺發展為多種形式的倒置系統。目前研究的大部分均為二維空間即平面內擺動的擺，另外近年來還出現了球擺、柔性擺、傾斜軌道式倒立擺、旋轉式倒立擺等。

國際上每年都有成百篇關于倒立擺控制研究的論文發表，其中大部分是建立在計算機基礎上的仿真研究。而且主要是以一級倒立擺作為被控對象進行仿真，用二級倒立擺和平行倒立擺來仿真的文章則很少，而用三級倒立擺乃至多級倒立擺進行仿真研究的更是罕見。三級倒立擺的控制作為控制界的經典難題一直為人們所關注，也一直是研究的熱點。目前，只有很少一部分學者在對實際物理擺進行設計、實驗和控制研究。1.3倒立擺的主要控制方法

經過幾十年的發展，對倒立擺這樣的一個典型被控對象的研究，無論在理論上和方法上都在不斷的更新。各種控制理論和方法都可以通過倒立擺控制系統得以充分實踐并且可以促成相互間的有機結合。目前倒立擺的控制方法主要可分為以下幾類:(I)線性理論控制方法

將倒立擺系統的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統在平衡點附近的線性化模型;然后，再利用各種線性系統控制器設計方法得到期望的控制器PID ,控制狀態反饋控制、LQR控制算法，這類方法對一二級的倒立擺(線性化后誤差較小模型較簡單)控制時可以得到較好的控制效果，但對于像非線性較強模型較復雜的多變量系統(三四級以及多級倒立擺)，線性系統設計方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進行合理的設計。

(2)變結構控制和自適應控制方法

變結構控制是一種非連續控制，可將控制對象從任意位置控制到滑動曲面上仍然保持系統的穩定性和魯棒性，但是系統存在顫抖。變結構控制和自適應控制在理論上有較好的控制效果，但由于控制方法復雜，成本也高，不易在快速變化的系統上實時實現。

(3)智能控制方法

在倒立擺系統中用到的智能控制方法主要有神經網絡控制、模糊控制、擬人智能控制、仿人智能控制和云模型控制。

神經網絡控制一一神經網絡能夠任意充分地逼近復雜的非線性關系，能夠學 4

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習與適應嚴重不確定性系統的動態特性，所有定量或定性的信息都等勢分布貯存于網絡內的各種神經元，故有很強的魯棒性和容錯性，但是神經網絡控制方法存在的主要問題是缺乏一種專門適合于控制問題的動態神經網絡，而且多層網絡的層數隱層神經元的數量激發函數類型的選擇缺乏指導性原則等。

模糊控制一一經典的模糊控制器利用模糊集合理論，將專家知識或操作人員經驗形成的語言規則直接轉化為自動控制策略(通常是專家模糊規則查詢標)，其設計不依靠對象精確的數學模型而是利用其語言知識模型進行設計和修正控制算法，常規的模糊控制器的設計方法有很大的局限性，首先難以建立一組比較完善的多維模糊控制規則，即使能湊成這樣一組不完整的粗糙的模糊控制規則其控制效果也是難以保證的，但是模糊控制結合其他控制方法就可能產生比較理想的效果，例如北京師范大學己經采用模糊自適應控制理論成功的研制了三級倒立擺裝置并對四級倒立擺系統做了仿真結果，接著還成功研制了四級倒立擺裝置且穩定

效果良好。但是基于這些模糊控制、神經網絡控制等智能控制理論所設計的系統往往需要龐大的知識庫和相應的推理機，不利于實現實時控制，這又阻礙了智能控制理論的發展。

擬人智能控制一一它的核心是“廣義歸約”和“擬人歸約”是人工智能中的一種問題求解方法，這種方法是將等求解的復雜問題分解成復雜程度較低的若干問題集合，再將這些集合分解成更簡單的集合，依此類推最終得到一個本原問題集合，即可以直接求解的問題。另一核心概念是擬人其含義是在控制規律形成過程中直接利用人的控制經驗直覺以及推理分析。

仿人智能控制一一它的基本思想是通過對人運動控制的宏觀結構和手動控制行為的綜合模仿，把人在控制中的動覺智能模型化，提出了仿人智能控制方法研究結果表明仿人智能控制方法解決復雜強非線性系統的控制具有很強的實用性。

云模型控制一一利用云模型實現對倒立擺的控制，用云模型構成語言值，用語言值構成規則，形成一種定性的推理機制，這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數學模型，僅僅依據人的經驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經驗，通過語盲一原子和云模型轉換到語言控制規則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題。

(4)魯棒控制方法

雖然目前對倒立擺系統的控制策略有如此之多，而且有許多控制策略都對倒立擺進行了穩定控制，但大多數都沒考慮倒立擺系統本身的大量不確定因素和外界干擾。

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(5)Backstepping方法

PV及其它是一種新的研究非線性系統的控制思想和方法，它是由Kokotovic 合作者在上世紀90年代提出的，但目前用此方法研究倒立擺系統的成果還不多見。Backstepping是一種構造性方法，它利用系統的結構特性遞推地構造出整個系統的Lapunov函數，所以系統Lapunov函數和控制器的設計過程有較強的系統性、靈活性和結構性，而且保留系統中有用的非線性項，加上可以控制相對階為n的非線性系統，消除了經典無源設計中相對階為1的限制正因為這些優點，后來中外學者把它廣泛地用在非線性系統的狀態反饋控制、輸出跟蹤控制、自適應控制、魯棒控制等領域的研究.2.一級倒立擺數學模型

2.1一級倒立擺系統的組成

一級倒立擺控制系統主要由以下4部分組成: 1.在有限長的軌道L上作直線運動的小車;2.與小車鉸接在一起，并能在包含L的平面內繞O點轉動的擺;3.驅動小車的直流力矩電機和轉輪、鋼絲等傳動部分;4.使擺穩定在垂直向上的平衡位置，且使小車穩定在軌道中心毛的控制器。

一級倒立擺的結構簡圖如圖1.1所示。

圖1.1倒立擺系統的結構圖

倒立擺系統主要由計算機、A/D , D/A、電機、電位計以及一些機械部件組成。計算機作為數字控制器實現對系統的實時控制，同時也為操作者提供人機界

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面，完成系統的監督管理功能，如實時畫面，數據采集;A/D , D/A板插在計算機內，完成模/數、數/模轉換;放大器用于電壓和功率放大。電機是系統的執行元件;電位計是系統的測量元件，它分別檢測了小車相對于軌道中心點的相對位置、小車的速度，擺和鉛垂線的角度偏移、角速度。倒立擺系統的整套機械部件分別安裝在一塊臺架上，底板上固定著導軌支架、電機底座等裝置。通過導軌支架安裝好小車滑行的導軌，小車用電機和轉輪通過傳動鋼絲實現運動。2.2一級倒立擺系統數學模型的建立

在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線型一級倒立擺系統抽象成小車 和勻質擺桿組成的系統，如圖所示:

圖1.2.1 一級倒立擺系統的力學示意圖

將擺桿視為剛體，則一級倒立擺系統的參數為:小車質量M，擺桿質量m，擺桿重心到鉸鏈的長度l，重力加速度g，小車位置x，擺桿角度?，作用在小車上的驅動力F。當小車在水平方向運動時，若忽略摩擦力矩的非線性，對小車和擺桿進行水平和垂直方向受力分析，如圖:

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圖1.2.2 小車和擺桿的受力分析圖

其中N和P為小車和擺桿間的相互作用力水平和垂直方向上的分量。分析小車水平方向上的合力，由牛頓運動定律可得:

由擺桿水平方向的受力分析可得:

即:

把式子(3.3)代入(3.1)式中，就得系統的第一個運動方程:

對擺桿垂直方向上的合力進行分析并由力矩平衡方程可得:

合并這兩個方程，約去P和N，得到第二個運動方程:

為了后面設計的方便我們對得到的兩個方程進行化簡和處理可得一級倒立擺系統的數學模型如下:

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在這里可以將倒立擺系統(3.8)看作是由小車和擺兩部分組成的具有兩個子系統的組合系統。倒立擺的擺系統控制具有高度非線性，同時考慮到實際設備長度的約束，我們必須限制小車系統的位移。以前大部分研究工作都是通過對倒立擺數學模型中的非線性項進行近似或忽略，從而簡化控制器的設計。我們采用基于 Lapunov能量反饋的方法對倒立擺進行起擺控制，這實際上是利用正反饋不斷增大擺的能量。針對擺系統，采用Backstepping方法設計非線性控制器，但此時得到的控制器不能實現對小車位移的控制;因此我們結合線性控制理論的極點配置方法獲得對小車位移和速度控制的部分控制器;兩者結合則得到整個倒立擺系統的一個非線性穩擺控制器。

3.系統控制器的設計和閉環系統的數值仿真

針對直線型一級倒立擺系統的控制器設計方法很多，包括狀態反饋控制、LQR最優控制、模糊控制和PID控制等方法，同時各種方法的相互結合使用來設計倒立擺系統己經稱為研究熱點。

針對上面的直線型一級倒立擺系統（x..1??,x2??,x3?x,x4?x），選取M?2.0kg，m?8.0kg，1?0.5m，g?9.8m/s2。我們先考慮擺子系統的動態模型:

step1令:z1?x1,x2看作是系統: 的虛擬控制。現在我們的控制目的就是設計虛擬反饋控制;x2??1(x1)去鎮定z1為此，構造Lapun函數v2..1(z1)?(1/z12，)則有v1(z1)?z1z1?z1x2。取?1(x1)??k1z,1k?1為可設計常數，并引入誤差變量0z2?x2??1(x1)，則有:

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故若z2?0，則v1(z1)??k1z12?0，即z1子系統(3.10)被鎮定，下面鎮定:z2

step 2對應一個二階系統:

此時真正的控制u出現。這一步主要是鎮定z2 構造Lapunov函數V1(z1,z2)?(1/2)z12?(1/2)z2，則

令

其中k2?0為設計常數，由(3.1 5)求得系統的控制輸入:

2?0，即z1,z2子系統(3.13)被鎮定，所以代入式(3.14)，則V(z1,z2)??k1z12?k2z2.進而:z1?0，反推之后可得x1,x2?0，即可得系統(3.9)在控制(3.16)z2?0，作用下被鎮定。而把z1?x1,z2?x2??1(x1)?x2?k1x1代入(3.17)可得系統(3.9)的控制輸入:

其中的k1,k2?0為可設計常數，可以根據實際系統的具體要求進行設計，這一點也是Backstepping方法的特點和優點之一。當取k1?k2?100，k1k2?1?150時相

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應的控制器:

我們先對上面得到的非線性系統(3.8)作近似線性化。考慮擺桿在平衡點(??0)附近擺動微小，對非線性系統(3.8)進行局部線性化，即令cos???,sin???做近似處理后，就得到倒立擺的線性狀態方程

.式中X?[xT.1,x2,x3,x4]?[?,?,x,x]T,u?F，輸出y?[?,x]T

其中I?(1/3)ml2

用Matlab中的place函數得到反饋矩陣:

截取K3,K4部分為x3,x4的系數，則可得

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兩者結合可得:

該控制器可以控制擺桿保持平衡的同時，跟蹤小車的位置。注意:上述F的參數可以進一步調試。對整個倒立擺做數值仿真結果如下:

圖3-4小車和擺桿的狀態響應曲線

4.直線型一級倒立擺系統的Simulink模型和離線仿真

4.1基于線性控制器對線性系統的離線仿真 在上面所設計的直線型一級倒立擺的線性控制器

該控制器的設計采用的是Backstepping方法，類似于極點配置法，設計的目的是使系統滿足工程師提出的瞬態和穩態性能指標。我們利用Simulink搭建該控制器模型如圖4-1 12

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圖4-1 線性控制器的Simulink模型

其次構建直線型一級倒立擺系統的線性系統的Simulink模型為

圖4-2 線性系統的Simulink框圖

最后對控制器模塊和線性模型模塊進行封裝，再連接起來就是倒立擺系統的閉環系統模型，如下圖4-3。

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圖4-3 倒立擺閉環系統的Simulink框圖

這樣我們就在MATLAB的Simulink環境下，搭建出狀態反饋控制系統仿真試驗研究平臺，通過示波器可以在線觀察系統的狀態變化，進而可以對倒立擺閉環系統進行實驗仿真分析了。

圖4-4 倒立擺閉環系統的Simulink仿真曲線

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4.2基于線性控制器對非線性系統的離線仿真

首先用Simulink搭建的倒立擺系統的非線性系統模型為：

圖4-5 倒立擺系統的非線性系統模型

利用4-7建好的線性控制器模塊和上面建好的非線性系統模型進行封裝，再連接起來就是倒立擺系統的閉環系統模型，如下圖4-6。

圖4-6 整體閉環系統Simulink框圖

最后模型建立好后，我們就可以對倒立擺閉環系統進行離線仿真。如下圖4-7。

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圖4-7 倒立擺閉環系統的Simulink仿真曲線

從圖4-4和圖4-7可以看出，所設計的線性控制器對線性化系統控制效果比對非線性系統的好，這說明線性控制器對非線性倒立擺系統的控制較差，而且實驗表明非線性控制器對系統的抗干擾能力和魯棒性強。4.3基于非線性控制器對非線性系統的離線仿真 先建立非線性控制器的Simulink框圖

圖4-8 非線性控制器的Simulink框圖

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圖4-9 非線性部分的Simulink框圖

對非線性控制器模塊進行封裝，再與非線性系統模型模塊連接起來就是倒立擺系統的閉環系統模型，如下圖4-10。

圖4-10 閉環系統的Simulink框圖

最后模型建立好后，我們就可以對倒立擺系統進行離線仿真。如下圖4-11。

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圖4-11 倒立擺閉環系統的Simulink仿真曲線

可以看出非線性控制器的控制效果很好，時間越長穩定性越好，內有抖動性，但收斂時間稍微有點長，但它的控制效果好，特別是對外界的抗干擾能力等。

5.模型的優缺點

該控制算法與其他算法相比，優缺點主要有以下幾點:（1）與固高公司提供的LQR最優控制算法相比，在穩定時間幾乎一樣，由于本文給出的算法里面含有可調參數，只要合適的調節參數，就可以使得穩定時間大大縮短，但這樣也會存在使控制量過大，出現系統抖動問題。另一方面本文給出的算法在抗干擾能力方面要強于LQR最優控制算法，見最后一章的分析。

（2）與精確線性化方法對比，該方法收斂速度即穩定時間要比精確線性化 方法快，而且精確線性化方法對原系統進行了線性化，故理論上與實際的系統模 型有一定的誤差。而本文設計的控制算法保留了系統的非線性項，控制效果好，但同時也增加了控制器的能量，響應時間會受到影響。

(3)與模糊邏輯控制理論相比，該方法收斂速度明顯要快，而且調節時間短，穩態性能指標也比較好。

（4）變結構控制理論設計的控制算法使得系統的抖動厲害，而本文給出的算法抖動性小，而且時間越長控制效果越好。

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(5)本文只采用一種控制設計方法，當然與那些多種控制方法結合使用的設 計方法相比存在一定的不足。把模糊控制和神經網絡控制結合控制的效果很好，在穩定性、抗干擾性方面優勢都很大。事實證明:模糊神經網絡的BP算法比一般神經網絡的BP算法快得多，在受干擾情況下，小車擺桿的恢復迅速。

6.結論和展望

倒立擺控制系統作為檢驗控制理論的試金石，對于控制理論研究方面發揮著 越來越重要的作用，值得進一步的研究和開發。本文主要利用Backstepping方法設計了直線型一級倒立擺系統控制器并基于MATLAB/Simulinkk對系統進行了離線仿真。本文所作的主要工作或要達到的主要目的是:(一)建立直線型一級倒立擺系統的數學模型，并利用Backstepping方法設 計了該倒立擺系統的控制器，然后對閉環系統進行了數值仿真并與其他方法進行 了數值仿真分析比較。與當前的倒立擺研究成果相比，具有研究方法新穎、控制 效果好的特點。

(二)本文利用所設計的非線性控制器在MATLAB/Simulink環境下對系統進 行了離線仿真分析，并與固高公司提供的算法進行了仿真效果比較。

倒立擺系統的種類有很多，本文只是在直線型一級倒立擺中進行了研究和分析，隨著控制理論研究的深入，必將會出現更多新的控制方法，而且新的控制方 法的綜合使用也將是研究的熱點，那么就需要更復雜的系統進行檢驗，需要對更 復雜的倒立擺系統進行研究;同時MATLAB/Simulink的廣泛應用，必將帶來控制理論和控制實驗方面的進一步深入和豐富。

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7.參考文獻

[1]俞立.現代控制理論【M】.北京:清華大學出版社，2007.4 [2]中國科學技術人學編.固高擺系統與自動控制實驗【Z】.2002 [3]謝克明.現代控制理論基礎【M】.北京:北京工業大學出版社，2003 [4]鄧麗霞.基于Backstepping和MATLAB/Simulink的直線型一級倒立擺系統的控制器設計與實時控制研究【J】,2008 [5]徐若冰.基于極點配置的倒立擺控制器設計【J】,2007 [6] Albertalsidori.非線性控制系統(第二版)【M】.比京:電子工業出版社，2005 [7]宋兆基，徐流美.MATLAB6.5在科學計算中的應用【M】.北京:清華大學出版社.2005 [8]周黨偉，錢富才.直線倒立擺的穩定控制研究【J】.西安理工大學碩士學位論文

第四篇：一級直線倒立擺系統模糊控制器設計---實驗指導書

一級直線倒立擺系統 模糊控制器設計

實驗指導書

目 錄 實驗要求..............................................................................................................................................3 1.1 實驗準備...........................................................................................................................................3 1.2 評分規則...........................................................................................................................................3 1.3 實驗報告內容...................................................................................................................................3 1.4 安全注意事項...................................................................................................................................3 2 倒立擺實驗平臺介紹..........................................................................................................................4 2.1 硬件組成...........................................................................................................................................4 2.2 軟件結構...........................................................................................................................................4 3 倒立擺數學建模（預習內容）............................................................................................................6 4 模糊控制實驗.......................................................................................................................................8 4.1 模糊控制器設計（預習內容）.......................................................................................................8 4.2 模糊控制器仿真..............................................................................................................................12 4.3 模糊控制器實時控制實驗..............................................................................................................12 5 附錄：控制理論中常用的MATLAB 函數.......................................................................................13 6 參考文獻............................................................................................................................................14 1 實驗要求

1.1 實驗準備

實驗準備是順利完成實驗內容的必要條件。實驗準備的主要內容包括如下的幾個方面：（1）復習實驗所涉及的MATLAB 軟件和模糊控制理論知識；（2）熟悉實驗的內容和步驟；

（3）根據實驗要求，作必要的理論分析與推導。

1.2 評分規則

實驗滿分為100 分，其中實驗考勤及實驗態度占15%，實驗預習占25%，實驗報告占60%（其中技術內容占50%，報告書寫占10%）。

（1）實驗考勤與實驗態度

實驗考勤和實驗態度主要針對課內的學時進行考核。（2）實驗預習報告

實驗預習內容分為兩大部分，即倒立擺數學建模和模糊控制的預習內容。（3）實驗報告的技術內容

實驗報告的技術內容主要包括實驗數據的記錄與分析和實驗思考題的解答。（4）實驗報告書寫

實驗報告書寫水平主要考慮文字表達水平（要求層次分明、表述清晰、簡潔明了）和規范程度（如圖是否有坐標、單位和標題、公式書寫及編號是否規范等）。實驗報告的書寫不僅體現了作者的文字功底，而且反映了作者的治學態度。

提示1：報告正文原則上不超過10 頁。

提示2：一旦發現抄襲行為，抄襲者和被抄襲者均按作弊處理。

1.3 實驗報告內容

實驗報告包含以下的內容。可根據實驗的具體情況和要求進行適當調整。（1）理論分析的主要步驟；（2）仿真和硬件實物調試結果及分析（包括Matlab 程序或仿真模型，實物調試框圖）；（3）回答思考題；

（4）總結實驗心得及對實驗的意見或建議。

1.4 安全注意事項

（1）實驗之前一定要做好預習。

（2）為了避免設備失控時造成人身傷害，操作時人員應該與設備保持安全距離，不要站在擺的兩端。

（3）實驗前，確保倒立擺放置平穩；要檢查擺桿的可能擺動范圍，確保不會發生碰撞。（4）如果發生異常，馬上關閉電控箱電源。

（5）系統運行時禁止將手或身體的其他部位伸入小車運行軌道之間。倒立擺實驗平臺介紹

倒立擺是一個典型的不穩定系統，同時又具有多變量、非線性、強耦合的特性，是自動控制理論中的典型被控對象。它深刻揭示了自然界一種基本規律，即一個自然不穩定的被控對象，運用控制手段可使之具有一定的穩定性和良好的性能。許多抽象的控制概念如控制系 3 統的穩定性、可控性、系統收斂速度和系統抗干擾能力等，都可以通過倒立擺系統直觀的表現出來。

本實驗以固高科技公司的單級直線倒立擺為研究對象。倒立擺實驗平臺分為硬件和軟件兩大部分。

2.1 硬件組成

倒立擺硬件系統由倒立擺本體、計算機（含運動控制卡）、電控箱（包括交流伺服機驅動器、運動控制卡的接口板、直流電源等）三大部分組成。倒立擺系統的本體由被控對象（小車和擺桿）、傳感器（角度傳感器）和執行機構（松下伺服電機及其傳動裝置）組成。（1）被控對象

倒立擺的被控對象為擺桿和小車。擺桿通過鉸鏈連接在小車上，并可以圍繞連接軸自由旋轉。通過給小車施加適當的力可以將擺桿直立起來并保持穩定的狀態。（2）傳感器

倒立擺系統中的傳感器為光電編碼盤。旋轉編碼器是一種角位移傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應式三種，本系統用到的就是光電式增量編碼器。

光電式增量編碼器由發光元件、光電碼盤、光敏元件和信號處理電路組成。當碼盤隨工作軸一起轉動時，光源透過光電碼盤上的光欄板形成忽明忽暗的光信號，光敏元件把光信號轉換成電信號，然后通過信號處理電路的整形、放大、分頻、記數、譯碼后輸出。光電式增量編碼器的測量精度取決于它所能分辨的最小角度α，而這與碼盤圓周內所分狹縫的線數有關： α=360°/ n，其中n 編碼器線數。對于電機編碼器，在倒立擺使用中需要把編碼器讀數轉化為小車的水平位置。

（3）執行機構

倒立擺系統的執行機構為松下伺服電機和與之連接的皮帶輪。電機的轉矩和速度通過皮帶輪傳送到小車上，從而帶動小車的運動。電機的驅動由與其配套的伺服驅動器提供。

電機的控制是通過固高公司的GT 系列運動控制器實現的。該控制器可以同步控制四個運動軸，實現多軸協調運動。運動控制器以計算機為主機，提供標準的ISA 總線或PCI 總線接口，并且可以提供RS232 串行通訊和PC104 通訊接口。運動控制器同時具有A/D 信號采集功能，從而能夠將光電編碼盤的信號傳遞到計算機。

倒立擺系統中的計算機、運動控制卡、伺服驅動器、倒立擺本體（包含擺桿、小車、伺服電機、光電碼盤）幾大部分組成了一個閉環系統。

光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡，而光電碼盤2 將擺桿的位置、速度信號反饋回控制卡。計算機從運動控制卡中讀取實時數據，確定控制決策（小車向哪個方向移動、移動速度、加速度等），并由運動控制卡來實現該控制決策，產生相應的控制量，使電機轉動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。

2.2 軟件結構

倒立擺實驗以MathWorks 公司的MATLAB/Simulink 軟件及其實時工具箱（Real-TimeWorkshop[3]，簡稱RTW）為軟件平臺，實現倒立擺控制器的純軟件仿真和硬件環（Hardware-in-the-Loop）仿真實驗（實物調試）。

MATLAB/Simulink 是目前最為廣泛使用的控制系統分析與控制器設計的軟件。

MATLAB 主要是以語句的形式實現仿真的功能，比較簡潔，執行速度比較快；Simulink是以方框圖的方式構建模型進行仿真，形象直觀，簡單易學。關于如何使用MATLAB/ Simulink 進行控制系統的分析，請參考相關參考資料。附錄給出了控制系統設計過程中常用到的指令。

MATLAB/Simulink 主要是通過純軟件的方式實現系統的仿真。這種仿真方式比較便捷，4 但由于一個系統的數學模型與真實的系統總存在一定的差異，特別是復雜的系統，所以純軟件的仿真（以下簡稱“軟仿真”）往往精度不高。

近年來，硬件在環仿真逐步成為控制系統設計與仿真的主流，其在航空航天控制和汽車控制領域運用得尤為廣泛。硬件在環仿真（又稱半實物仿真）是將軟件和硬件以實時的方式連接在一起進行仿真實驗，不僅實現方便，而且可靠性高。以倒立擺硬件在環仿真為例，控制器的算法由Simulink 軟件模塊實現，而被控對象（倒立擺小車和擺桿）、傳感器（編碼盤）、執行機構（電機及其驅動）等是真實的硬件。MATLAB/Simulink 仿真軟件與硬件之間的連接是通過以RTW 實時工具箱為核心的軟件組和它們所支持的數據采集卡等硬件實現的。RTW 將MATLAB/Simulink 中的軟件根據硬件系統的特點編譯成可執行文件。該文件運行在獨立的另一臺計算機、數字信號處理器或同一計算機CPU 優先級最高的區域，實時地將指令發送給數據采集卡，同時又將數據采集卡采集到的傳感器的信息反饋給MATLAB/Simulink 的軟模型。

硬件在環仿真有多種實現方式。本實驗采用Real-Time Windows Target[4]的方式，即目標機（運行實時可執行文件的機器）和監控機（運行MATLAB/Simulink 軟件實行監

控的機器）為同一計算機的方式。MATLAB/Simulink 運行在Windows 操作系統中，而編譯的可執行文件運行在CPU 優先級最高的區域。數據采集卡為固高公司的GT-400-SV 運動卡。該卡不僅實現傳感器信號的采集功能，而且能夠依據倒立擺控制信號的要求，計算驅動電機需要的輸入信號，經過功率箱放大，驅動伺服機。硬件在環實驗與傳統的軟仿真實驗相比，需要對Simulink 模型進行編譯（Build）和連接（Connect）操作。

在Simulink 窗口中的“GT-400-SV Block Library”中有 “GetPos”模塊對應角度傳感器的信號，“GT400-SV Initialization”模塊實現運動采集卡的初始化等等，如圖1 所示。

圖1 GT-400-SV Block Library中倒立擺系統模塊 倒立擺數學建模與模糊控制（預習內容）?

3.1 倒立擺系統建模

被控對象模型的建立是控制器設計的基礎。建立模型的方法有兩大類，即基于物理原理的方式和基于辨識的方式。本章將基于牛頓力學原理建立倒立擺的微分方程。由于倒立擺是一個非線性系統，因此當我們采用線性方法進行控制器設計時，需要將非線性的模型在其工作點附近進行線性化，從而推導出倒立擺的傳遞函數和狀態空間方程。(具體可檢索相關網上數據庫資料以及后面相關參考資料)在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和勻質桿組成 5 的系統，如圖2所示：

圖 2.1 一級直線倒立擺模型

設：M—小車質量；m—擺桿質量；b—小車摩擦系數；l—擺桿轉動軸心到桿質心的長度；I—擺桿慣量；F—加在小車上的力；x—小車位置；?——擺桿與垂直向上方向的夾角。參考相關參考資料可得到以小車加速度作為輸入的系統狀態方程為：

?0????x?0?????x??????0??????????????0?

1?(I?ml2)bI(M?m)?Mml20?mlbI(M?m)?Mml20??0???x???2m2gl2I?ml?0????2??I(M?m)?Mml???xI(M?m)?Mml2?????????u01?0????????mgl(M?m)ml?????0??2?I(M?m)?Mml2I(M?m)?Mml???0?x?????x??1000??x???0?u y????????????0010?????0?????????已知 M 小車質量 1.096 Kg ；m 擺桿質量 0.109 Kg；b 小車摩擦系數 0.1N/m/sec；l 擺桿轉動軸心到桿質心的長度 0.2 5m；I 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m，并以小車加速度作為輸入的系統狀態方程可化為：

???0?x?????x0??? ????0????????0?????100000029.40??x??0??x???1?0???????u? 1?????0???????0???????3??x?????x??1000??x???0?u? y????????????0010?????0????????? 6 對于系統 X?AX?Bu y?CX?Du

n?1B,AB,...,AB是線性無關的，或n×n 系統狀態完全可控的條件為：當且僅當向量組.維矩陣??B,AB,...,An?1B??的秩為n。

2n?1系統的輸出可控性的條件為：當且僅當矩陣??CB,CAB,CAB,...,CAB,D??的秩等于輸出向量y 的維數。

應用以上原理對系統進行能控能觀分析，系統的狀態完全可控性矩陣的秩等于系統的狀態變量維數，系統的輸出完全可控性矩陣的秩等于系統輸出向量 y 的維數，所以系統可控，因此可以對系統進行控制器的設計，使系統穩定。

后面實驗中就以上述模型為基礎進行控制器設計、仿真和實物調試。

3.2 模糊控制基礎知識

模糊控制器可以通過matlab軟件編程來實現的，實現模糊控制的一般步驟如下：(1)確定模糊控制器的輸入變量和輸出變量(即控制量)；

(2)模糊化，選擇模糊控制器的輸入變量及輸出變量的論域，量化域，并確定模糊控制器的參數(如量化因子等)；

(3)設計模糊控制器的控制規則，確定模糊推理規則；(4)清晰化（去模糊化）

參考相關參考資料熟練掌握模糊控制器設計過程。模糊控制實驗

在控制理論中，智能控制已經扮演著越來越重要的角色。本實驗研究倒立擺模糊控制器的設計與實驗驗證問題。

1）模糊控制器設計（fis文件建立）

（1）進入matlab，輸入fuzzy，調出模糊控制器編輯窗口；

（2）建立模糊控制器；（窗口菜單file,edit,view可調用相應命令）

其中file菜單下有new fis,新建fis文件；

import,導入fis文件； export，導出fis文件。

注意：fis文件是模糊控制器的核心，simulink中Fuzzy control模塊必須和fis文件相關聯才能正常工作。

edit菜單下有add variable,增加輸入輸出維數；

move：移除相應的輸入，輸出； rules：輸入相應控制規則。

點擊圖中的input和output模塊可設計相應輸入、輸出變量的隸屬度函數、模糊集合、論域等等。本次實驗中采用默認的三角函數，輸入輸出范圍均為（-3，3），劃分為7個模糊集合，具體過程如下圖所示。其中：E，EC，U的模糊隸屬度函數定義如下圖（可采用不同的隸屬度函數）。

控制規則如下：

If(E is NB)and(EC is NB)then(U is NB)If(E is NB)and(EC is NM)then(U is NB)If(E is NB)and(EC is NS)then(U is NB)If(E is NB)and(EC is ZE)then(U is NM)If(E is NB)and(EC is PS)then(U is NM)If(E is NB)and(EC is PM)then(U is NS)If(E is NB)and(EC is PB)then(U is ZE)If(E is NM)and(EC is NB)then(U is NB)If(E is NM)and(EC is NM)then(U is NB)If(E is NM)and(EC is NS)then(U is NM)If(E is NM)and(EC is ZE)then(U is NM)If(E is NM)and(EC is PS)then(U is NS)If(E is NM)and(EC is PM)then(U is ZE)If(E is NM)and(EC is PB)then(U is PS)If(E is NS)and(EC is NB)then(U is NB)If(E is NS)and(EC is NM)then(U is NM)If(E is NS)and(EC is NS)then(U is NM)If(E is NS)and(EC is ZE)then(U is NS)If(E is NS)and(EC is PS)then(U is ZE)If(E is NS)and(EC is PM)then(U is PS)If(E is NS)and(EC is PB)then(U is PM)If(E is ZE)and(EC is NB)then(U is NM)If(E is ZE)and(EC is NM)then(U is NS)If(E is ZE)and(EC is NS)then(U is NS)If(E is ZE)and(EC is ZE)then(U is ZE)If(E is ZE)and(EC is PS)then(U is PS)If(E is ZE)and(EC is PM)then(U is PM)If(E is ZE)and(EC is PB)then(U is PM)If(E is PS)and(EC is NB)then(U is NM)If(E is PS)and(EC is NM)then(U is ZE)If(E is PS)and(EC is NS)then(U is ZE)If(E is PS)and(EC is ZE)then(U is PS)If(E is PS)and(EC is PS)then(U is PM)If(E is PS)and(EC is PM)then(U is PM)If(E is PS)and(EC is PB)then(U is PB)If(E is PM)and(EC is NB)then(U is NS)If(E is PM)and(EC is NM)then(U is PS)If(E is PM)and(EC is NS)then(U is PS)If(E is PM)and(EC is ZE)then(U is PM)If(E is PM)and(EC is PS)then(U is PM)If(E is PM)and(EC is PM)then(U is PB)If(E is PM)and(EC is PB)then(U is PB)If(E is PB)and(EC is NB)then(U is ZE)If(E is PB)and(EC is NM)then(U is PM)If(E is PB)and(EC is NS)then(U is PM)If(E is PB)and(EC is ZE)then(U is PM)If(E is PB)and(EC is PS)then(U is PB)If(E is PB)and(EC is PM)then(U is PB)If(E is PB)and(EC is PB)then(U is PB)（3）保存為RFUZZY.fis文件；（窗口菜單可調用相應命令）（4）點擊export選項輸出到 workspace，命名為RFUZZY。2）模糊控制器仿真

在simulink環境下建立如下仿真模型。

框圖中雙擊Fuzzy logic controller模塊，輸入上面編輯fis文件名RFUZZY。

模糊控制器的輸出到倒立擺系統的時候反向，原因是E本來是零點和系統的輸出差值，而這里模糊控制器的輸入直接是系統的輸出，所以控制應該反向。中間的融合矩陣K為[0.9-0.41 0 0;0 0 1-1.78]，三個量化因子分別為25，4，10。點擊仿真運行按鈕可得到系統輸出。注意：需要改兩處設置

1、融合矩陣Multiplication Matriz(K*U)；

2、Fuzzy logic controller模塊設置為：不使用布爾變量。要求雙擊系統框圖模型，修改狀態方程不同的初始條件[0.01*A 0 0 0]，[0 0.01*A 0 0]，[0 0 0.01*A 0]，[0 0 0 0.01*A]，其中A為實驗組數。

記錄下數據，雙擊SCOPE模塊，屏幕截圖，并通過windows中畫圖軟件保存為相應文件，書寫報告用。

3）模糊控制器實時控制實驗

給出實物控制模塊如下圖（見文件realtime1）。

把仿真設計驗證好的模糊控制器加入上面的仿真模型得到下圖的實物調試模塊。注：實物調試模塊搭建好后，請老師檢查在進行實物控制。

點擊編譯程序，完成后點擊使計算機和倒立擺建立連接；

點擊運行程序，提起倒立擺的擺桿到豎直向上的位置，在程序進入自動控制后松開。用手機記錄下倒立擺實時運行的照片，書寫報告用。

同時對量化因子進行調試，獲取盡可能好的結果，把優化結果記錄下來。

附錄：控制理論中常用的MATLAB 函數

函數名稱 功能描述[9] Bandwidth 計算單輸入單輸出系統的帶寬 Bode 計算并繪制波德響應圖

c2d 把連續時間模型轉化為離散時間模型 d2c 把離散時間模型轉化為連續時間模型 d2d 對離散時間模型重新采樣 damp 計算自然頻率和阻尼系數 dcgain 計算低頻（直流）增益

esort 通過實部對連續系統的極點進行排序 feedback 計算反饋閉環系統的模型 freqresp 估計選定頻率的頻率響應 gensig 產生輸入信號

impulse 計算并繪制脈沖響應

initial 計算并繪制給定初始狀態下的響應 logspace 產生呈對數分布的頻率的向量 lsim 仿真任意輸入下線性時不變系統的響應

ltiview 打開LTI Viewer 的圖形界面進行線性系統的響應分析 margin 計算幅值和相角裕度

ngrid 對尼科爾斯（Nichols）圖添加網格 nichols 繪制尼科爾斯圖 nyquist 繪制奈奎斯特圖 parallel 系統并聯

pole 計算線性時不變模型的極點

pzmap 繪制線性時不變模型的零極點分布圖 rlocus 計算并繪制根軌跡 roots 計算多項式的根 series 系統串聯

sgrid,zgrid 為根軌跡圖或者零極點圖添加s/z平面網格 sisotool 單輸入單輸出系統設計工具箱 size 顯示輸入/輸出/數組的維數 step 計算階躍響應 tf 創建傳遞函數

zero 計算線性時不變模型的零點 zpk 構造零極點模型

fuzzy 調用模糊控制工具箱 參考文獻

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第五篇：倒立擺專題

洛陽理工學院畢業設計（論文）

第1章：緒論

1.1 倒立擺的發展歷史及現狀

控制理論教學領域，開展各種理論教學、控制實驗、驗證新理論的正確性的理想實驗平臺就是倒立擺控制系統。對倒立擺系統的研究能有效的反映控制中的許多典型問題，同時兼具多變性、強非線性和自然不穩定性等優點，通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性問題。倒立擺系統作為一個實驗裝置，形象直觀、結構簡單、構件組成參數和形狀易于改變、成本低廉，且控制效果可以通過其穩定性直觀地體現,也可以通過擺桿角度、小車位移和穩定時間直接度量其實驗效果,直觀顯著。因而從誕生之日就受到國內外學者的廣泛研究。

倒立擺系統的最初研究始于二十世紀50年代末，麻省理工學院的控制論專家根據火箭發射助推器的原理設計出一級倒立擺實驗設備。1966年Schaefer和Cannon應用Bang Bang控制理論將一個曲軸穩定于倒置位置，在60年代后期作為一個典型的不穩定嚴重非線性證例提出了倒立擺的概念，并用其檢驗控制方法對不穩定、非線性和快速性系統的控制能力受到世界各國許多科學家的重視。而后人們又參照雙足機器人控制問題研制出二級倒立擺控制設備，從而提高了檢驗控制理論或方法的能力，也拓寬了控制理論或方法的檢驗范圍。對倒立擺研究較多的是美國、日本等發達國家，如Kawamoto-Sh.等討論了有關倒立擺的非線性控制的問題以及倒立擺的模糊控制的穩定性問題為其后的倒立擺模糊控制研究開辟了道路，美國國家航空和宇航局Torres-Pornales,Wilfredo等人研究了從倒立擺的建模、系統分析到非線性控制器設計的一系列問題，比較深入的研究了倒立擺的非線性控制問題并進行了實物仿真;科羅拉多州大學的Hauser.J正在從事基于哈密爾頓函數的倒立擺控制問題的研究;日本東京大學的Sugihara.Tomorniehi等研究了倒立擺的實時控制問題及其在機器人控制中的應用問題。此外，還有如德國宇航中心的Schreiber等研究了倒立擺的零空間運動控制問題，分析了倒立擺的零空間運動特性與其穩定性之間的聯系。

國內研究倒立擺系統的控制問題起步雖晚，但成果也還是挺多較早的，如尹征琦等于1985年采用模擬調節器，實現了對倒立擺系統的穩定控制;梁任秋等于1987年討論了設計小車一二階倒立擺系統數學控制器的一般方法;任章、徐建民于1995年利用振蕩器控制原理，提出了在倒立擺的支撐點的垂直方向上加入一零均值的高頻震蕩信號以改善倒立擺系統的穩定性。同年，程福雁先生等研究了使用參變量模糊控制對倒立擺進行實時控制的問題。北京理工大學的蔣國飛、吳滄浦等實現了狀態未離散化的倒立擺的無模型學習控制。仿真表明該方法不僅能成功解決確定和隨機倒立擺模型的平衡控制具有很好的學習效果。

90年代以來,由于數學基礎理論、控制理論和計算機技術的發展,不斷地有新的控制理論和控制思想問世,使得倒立擺控制系統的研究和應用更加廣泛和深入,把這些理論應用在實際的實物控制和分析中己經成為當前控制理論研究和應用的核心問題。人們為了檢驗新的控制方法是否具有良好的處理多變量、非線性和絕對不穩定型的能力,不斷提升倒立擺系統的復雜性和難度,如增加擺桿的級數,加大擺桿的長度,改變擺的形狀和放置的形式等。2002年8月,北京師范大學教授李洪興領導的復雜系統智能控制實驗室,首次成功實現了直線運動四級倒立擺實物系統控制,2003年10月,他們采用高維變論域自適應控制理論,在世界

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上第一個成功地實現了平面運動三級倒立擺實物系統控制。但是多年來小車一多級擺系統的控制研究主要集中在擺倒立點的穩定控制方面,同時也只是針對在水平軌道上的研究,而對于在傾斜軌道上的倒立擺的研究,還不多見。然而對于擺的擺起倒立穩定控制,由于小車多級擺擺起倒立穩定的高難性,目前國際上罕見小車二級擺以上實際系統的擺起倒立成功的例子。在小車二級擺擺起倒立控制的研究中,一般采用了混雜控制轉換的方法,即將控制過程分為擺起和倒立穩擺兩個階段。在擺起階段,采取基于能量的控制(K.J.Astrom,K.Furuta,W.spong),通過不斷增加兩擺桿的能量,直至達到倒立穩擺的位置。這樣的方法對于小車單擺系統擺起倒立十分有效。然而,由于能量是一個標量,基于能量正反饋的方法在擺起過程中,無法兼顧和有效控制欠驅動多擺桿之間的相對運動,存在著擺桿與擺桿之間相對運動難以協調控制的問題。其它的采用直接數字求解動態方程獲得理想軌跡,然后將其與實時參數比較形成閉環控制的方法,以及部分反饋線性化等方法,但這些方法都同樣存在對擺桿之間相對運動難以協調控制的問題。捷克學者J.Rubl,在研究直線小車二級擺的擺起倒立過程中,運用了數字方法、最優控制與分段線性化結合的綜合控制方法,解決了水平軌道上小車二級擺擺起倒立控制的實物實現問題。重慶大學李祖樞教授等人利用仿人智能控制方法分別成功地實現了在水平軌道上和在傾斜軌道上小車二級擺的擺起倒立穩定實時控制,而小車三級擺的擺起倒立穩定控制,由于控制難度更大,國際上尚無成功的先例。近年來在結合模糊控制與神經網絡等方面也取得了很多成果。

總之，倒立擺系統是一種能夠有效檢驗控制理論和控制算法的實驗設備。目前應用于倒立擺系統的算法主要有以下幾類:經典控制(LMI，PDI)、現代控制(LQR 最優控制法，極點配置法)、變結構倒立擺系統最初研究開始于二十世紀 50 年代，麻省理工學院的控制論專家們根據火箭發射的原理設計出了一級倒立擺實驗裝置；發展到今天，倒立擺系統已經由原來的一級直線倒立擺衍生出了異常豐富的類別。按照倒立擺擺桿的數目可以分為一級倒立擺、二級倒立擺、三級倒立擺、四級倒立擺等，且控制難度也隨著擺桿的級數增加而變大；按照倒立擺系統結構的不同，可以分為：直線倒立擺系統、旋轉倒立擺系統、平面倒立擺系統、復合倒立擺系統等；按照倒立擺擺桿的不同還可以分為剛性倒立擺和柔性倒立擺。在檢驗不同的控制方法對各種復雜的、不穩定的、非線性系統的控制效果中得到廣泛的應用，并且越來越受到世界各國科研工作者的重視

2.該課題的意義：

隨著實際工程控制系統的研究發展的需要，對于理論方面的研究迫切需要一 個平臺去檢驗新理論的正確性和在實際中的可行性，倒立擺系統作為一個具有絕 對不穩定、高階次、多變量、強藕合的典型的非線性系統，是檢驗控制理論和方 法的理想模型，所以本文選擇倒立擺系統作為研究對象具有重要的理論意義和應 用價值。相對于其他研究倒立擺系統的控制方法，Backstepping方法最大的優點是不必對系統進行線性化，可以直接對系統進行遞推性的控制器設計，保留了被控象中有用的非線性項，使得控制設計更接近實際情況，而且所設計的控制器具有很強的魯棒性。而且國內外用此方法研究倒立擺系統的成果還不多見，因而具有很大的理論研究價值;由于當前國內外對于倒立擺系統的研究大都仍只局限于理論分析或計算機軟件的數值仿真而缺少實際的實驗檢驗分析，而MATLABSim-ulink就是提供了進行仿真實驗的良好平臺，它利用自帶的模塊建立系統模型，然后進行仿真，形象直觀，非常有利于研究者進行分析和總結，同

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時可以利用MATLAB-RTW實時工具箱構建實時控制平臺，把設計好的控制器建立的Simulink仿真樟型連接在實時內核中運行，驅動外部硬件設備，實現對倒立擺系統的實時控制，倒立擺的控制模型與直立行走機器人的平衡控制、兩輪小車的自平衡控制、導彈攔截控制、火箭發射時的垂直控制、衛星飛行中的姿態控制和航空對接控制等涉及平衡和角度的控制問題非常相似，所以在機器人、航天、軍工等領域和一般的工業過程中都有著廣泛的應用。倒立擺系統作為研究控制理論的一種典型的實驗裝置，具有較為簡單的結構、可以有效地檢驗眾多控制方法的有效性、參數和模型易于改變、相對低廉的成本等優點，研究控制理論的很多科研人員一直將它們視為主要的研究對象，用它們來描述線性控制領域中不穩定系統的穩定性以及在非線性控制領域中的無源性控制、變結構控制、非線性觀測器、自由行走、非線性模型降階、摩擦補償等控制思想，且從中不斷開發出新的控制方法和控制理論，所以倒立擺系統是研究智能控制方法較為理想的實驗裝置。倒立擺系統自身是一個典型的多變量、非線性、高階次、強耦合和絕對不穩定系統，許多抽象的控制概念如系統的可控性、穩定性、系統的抗干擾能力和系統的收斂速度等，都可以由倒立擺系統直觀地展示出來。此外，通過倒立擺系統還可以研究非線性觀測器、變結構控制、目標定位控制、摩擦補償和混合系統等。不僅如此，倒立擺系統也是進行控制理論教學的理想平臺。傳統的教學中，實驗只是作為理論教學延伸，往往是理論知識的比重大于實驗，即使有實驗課程也只是學生完全按照實驗指導書上的指導去完成實驗，整個實驗過程中學生們完全是消極的被動的接收知識，甚至學生對實驗方法、內容完全沒有興趣。很顯然，這種實驗教學方法難以培養學生綜合素質和實踐能力。所以必須在實驗環節的內容和形式上進行改革與創新，以培養學生的創新意識和實踐動手能力。因此，進行設計性、開放性的綜合實驗具有極其重要的現實意義。若在控制理論的教學中，如果構建一個高效的合理的倒立擺系統實驗平臺，就可以在深入理解控制理論知識的同時，還可以讓學生們對硬件回路仿真技術的開發流程有一定的了解，并掌握基于 MATLAB 的實時仿真操作，這樣就可以從理論和實踐上提高學生對控制理論的興趣和認識。將倒立擺系統研究應用于高校的控制理論教學和實驗早已在歐美等教育發達地區流行多年。因此，倒立擺控制策略的研究在我國高校的控制理論教學和實驗中具有廣闊的前景。較理想的控制效果，能夠快速穩定并且有很強的抗干擾能力。

3.本論文的主要工作：

本論文是對一級倒立擺系統的LQR控制器設計。驗證算法采用實驗室的倒立擺裝置。用 Matlab 中的 Simulink 搭接仿真的實驗原理圖，編寫恰當的模糊規則，通過對隸屬度曲線以及參數的適當調整，得到理想的仿真曲線。最后，通過倒立擺實驗裝置來驗證所設計的模糊控制算法的可行性。具體內容如下：

第一章是緒論部分，主要概括介紹了倒立擺控制系統研究的發展歷史及現狀，本課題研究的背景和意義，本文主要研究的內容及章節安排以及本文的創新點。初步了解目前倒立擺的研究現狀以及研究熱點,論述了控制理論在倒立擺系 統運用的不斷發展和完善,智能控制器越來越受到專家學者的關注。

第二章是預備知識，主要概述了本文主要用到的倒立擺裝置，Matlab仿真平臺簡介及應用。

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第三章詳細介紹了一級倒立擺控制系統的工作原理、兩輪小車的硬件設計。包括自平衡小車的組成模塊及工作原理、各模塊硬件設計。

第四章介紹了MATLAB/Simulink建模原理，利用本文設計的非線性控制器在 MATLAB環境下對系統進行了離線仿真分析、能控性分析、能觀性分析，基于卡爾曼濾波器的LQR控制器設計。對單級倒立擺進行了詳細的受力分析,建立倒立擺系統的數學模型,并對倒立擺系統進行定性分析。證明了倒立擺系統是開環不穩定的,但在平衡點是能觀的和能控的,可以對系統進行控制器的設計,使系統穩定。

第五章介紹了基于MATLAB的倒立擺實時控制系統，利用所設計的非線性控 制器對實際的硬件系統進行了控制實驗，并和固高公司提供的控制器對系統的控 制效果進行了對比，然后利用所設計的非線性控制器對倒立擺系統進行了實時控 制開發的研究。

第二章：倒立擺簡介： 1.倒立擺簡介：

倒立擺系統是非線性、強藕合、多變量和自然不穩定的系統。在控制過程中，它能有效的反映諸如可鎮定性、魯棒性、隨動性以及跟蹤等許多控制中的關鍵問 題，是檢驗各種控制理論的理想模型。迄今，人們己經利用古典控制理論、現代 控制理論以及各種智能控制理論實現了多種倒立擺系統的控制。因此，對倒立擺 系統的研究無論在理論上還是在實際上均有很大的意義。

倒立擺系統包含倒立擺本體、電控箱及由計算機和運動控制卡組成的控制平臺三大部分，組成了一個閉環系統。其中電控箱內主要有以下部件:(1)交流伺服驅動器(2)1/0接口板(3)開關電源

控制平臺主要部分組成:(1)與IBM PC/AI機兼容的PC機，帶PCI/SCI總線插槽(2)GT400-SV-PCI運動控制卡

(3)GT400-SV-PCI運動控制卡用戶接口軟件

電機通過同步帶驅動小車在滑桿上來回運動，以保持擺桿平衡。其工作原理 框圖如圖3-1所示，以直線一級倒立擺為例。電機編碼器和角碼器向運動控制卡反

饋小車和擺桿位置，小車的位移可以根據光電碼盤1的反饋通過換算獲得，速度信

號可以通過對位移的差分得到，并同時反饋給伺服驅動器和運動控制卡;擺桿的 角度由光電碼盤2測量得到，而角速度信號可以通過對角度的差分得到，并同時反

饋給控制卡和伺服驅動器。計算機從運動控制卡中讀取實時數據，確定控制決策(小車向哪個方向移動，移動速度，加速度等)，并由運動控制卡來實現控制決 策，產生相應的控制量，使電機轉動，帶動小車運動，保持擺桿平衡。

硬件部分包括計算機、運動控制卡、電控箱、伺服系統、倒立擺本體和旋轉光電編碼器、位移傳感器等幾大部分，它們構成一

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個閉環

系統。伺服電機通過同步皮帶與小車相連接，并帶動小車同步運動，以此來控制小

車在水平軌道上做直線運動。勻質剛體擺桿與小車相連，由小車的水平移動來控制擺桿 的穩定豎直倒立。旋轉光電編碼器是一種角位移傳感器，其輸出的檢測信號是數字信號，因此可以直接進入計算機進行處理，而不需放大和轉換等過程，使用非常方便。可以用

它準確的測出倒立擺擺桿的偏轉角度。將旋轉光電編碼器、位移傳感器、以及狀態反饋

信息輸入運動控制器，而運動控制卡中采集的這些信息經一定的控制算法會得出控制信

息并將被輸入伺服電機。通過這樣一個閉環系統就能達到倒立擺的穩定控制。其中計算

機從運動控制卡實時讀取數據，計算并確定控制決策，即根據倒立擺的實時狀態不斷地

調用相應的函數程序如速度、加速度等，經過電控箱內的轉換電路產生相應的控制量，由此驅動伺服電機轉動的

倒立擺系統由機械部分和電路部分組成。機械部分包括底座、框架、滑軌、齒 輪帶、輪、電機、小車和擺體等。電路部分由測量電位器、C805lF020單片機(A/D 轉換器、D/A轉換器)、計算機、信號放大與功率放大、電機等組成。計算機作為數

字控制器實現對系統的實時控制,同時也為操作者提供人一機界面,完成對系統的

監督管理功能:如實時畫圖、數據采集等。C8051F020單片機(A/D轉換器、D/A 轉換器)完成模數、數模的轉換,放大器用于電壓和功率放大。電動機是系統的執 行元件和速度反饋元件,電位器是倒立擺角度的反饋測量元件。一級倒立擺系統的

整套機械部件分別安裝在兩塊底板上,底板上固定著導軌支架、電機底座、滾動軸

承等,通過導軌支架安裝好小車滑行導軌,小車用電機和滾動軸承通過傳動皮帶實

現運動,小車連接著角位移電位器。單級倒立擺原理結構圖如圖1.1所示。倒立擺是一個數字式的閉環控制系統,其工作原理:小車在電動機的拖動下沿 固定的直線軌道進行運動,相應的產生了小車的直線位移和倒立擺的轉角。小車位

移通過電動機電位器測得,角位移由安裝在倒立擺軸上的電位器測得。角位移經過

刀D轉換送到計算機經過計算機內部的實時控制程序運算產生控制指令。該控制指

令經D/A變換、再經功率放大,然后輸出給電動機,產生相應的控制作用,從而實

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東北大學碩士學位論文第1章緒論 現對小車位移和倒立擺角位移的控制。)))))))}}}(臼臼

圖1.1單級倒立擺原理結構圖

Fig.1.1ThePrineiPleofsingleinvertedPendulumstrueturedrawing 倒立擺控制系統是一個復雜的、不穩定的、非線性系統,是進行控制理論教學 及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統的研究能有效的反映控制中的

許多典型問題:如非線性問題、魯棒性問題、鎮定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。

通過對倒立擺的控制,用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩定性

問題的能力。同時,其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業過程領域中都有

著廣泛的用途,如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發射中的垂直度控制和衛星

飛行中的姿態控制等,且對于揭示定性定量轉換規律和策略具有普遍意義

2.MATLAB簡介及應用：

第三章 兩輪小車硬件設計（1、自平衡小車的組成模塊及工作原理

2、各模塊硬件設計）第四章 一級倒立擺的數學建模（1、一級倒立擺的數學建模

系統的建模就是用形式化模型或者抽象的表示方法，對事物本身和外部的 某些因素進行描述。科學家們通過大量的觀察和實驗，建立了抽象的表示方法

和定律，這些方法和定律是對現實世界中一些已被證明正確的假設加以形式化。

例如：愛因斯坦的相對論和牛頓萬有引力定律等等。實物系統的建模找出了所

要建模系統的基本性質，人們可以在模型上進行試驗推理、研究和設計，從而

獲得控制實物系統的方法。系統建模幫助人們不斷地加深對事物現象的認識，并且啟發人們去進行可以獲得滿意結果的實驗。因此，系統建模是研究系統的

前提條件和十分有效地手段。

系統建模是對系統進行仿真、分析、設計、控制和優化的基礎。在建模過 程中，要想模型能包含實際系統的全部信息，是難以現實的。這是因為模型中

存在著過多的實體，實體之間又存在相互關聯。因此，包含實際系統的全部信

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息的模型難以獲得，也難以處理。對于建立好的模型，通常存在著兩個相互矛

盾的因素：簡單化和精確性。為了使模型盡可能的精確和簡單，建模者通常要

決定忽略那些次要的因素，忽略次要因素的前提是：忽略這些因素以后不會顯

著地改變整個模型行為，相反能夠使模型更加簡單化

建立系統數學模型的方法一般有兩種：第一種是機理建模，根據現實對象 的特性，分析其存在的因果關系，找出反映現實對象內部的規律，所建立的模

型一般都具有明確的物理意義或者現實意義。第二種是實驗建模，將現實對象

看作一個“黑箱”，由于內部的規律并不能直接的得到，必須分析現實對象的輸

入數據和輸出數據，用統計學方法分析。根據分析得出的結論，按先前規定的

標準來選出一個實驗數據最符合的模型。這種方法也稱為系統辯識。倒立擺系

統的形狀較為規則，是一個絕對不穩定的系統，用實驗建模方法獲取其數學模

型有一定的困難。故在下面的論文中采用機理建模對一級倒立擺系統建模。

在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線型一級倒立擺系統抽象成小車 和勻質擺桿組成的系統，如圖所示:

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圖3-2一級倒立擺系統的力學示意圖 系統中小車和擺桿的受力分析圖如圖 2.2 所示。其中，N 和 P 為小車與擺桿相 互作用力的水平和垂直方向的分量。

將擺桿視為剛體，則一級倒立擺系統的參數為:小車質量M，擺桿質量m，擺 桿重心到鉸鏈的長度l，重力加速度g，小車位置x，擺桿角度9，作用在小車上 的驅動力F。當小車在水平方向運動時，若忽略摩擦力矩的非線性，對小車和擺 桿進行水平和垂直方向受力分析，如圖:

1、運用牛頓力學分析方法建立了一級倒立擺系統的數學模型。并對倒立擺系統進

行定性分析。證明了倒立擺系統是開環不穩定的,但在平衡點是能觀的和能控的,可以

對系統進行控制器的設計,使系統穩定。

2、通過建立模糊規則,研究倒立擺系統的模糊控制算法。本文把擺桿的角度和角 速度作為輸入量,單獨組成一個角度控制器;把小車的位置和速度作為輸入量,組成另

一個位置控制器。從而實現“擺體不倒,小車停住”的總體控制目標。

3、倒立擺模糊控制仿真。本文利用Simulink建立倒立擺系統模型,實現了倒立擺

模糊控制系統的仿真。仿真結果表明:模糊控制器不僅可以使擺桿穩定,還可以使小車

穩定在特定位置。

由于倒立擺系統存在不確定性、耦合性等特性,在數學上完全準確的描述它

幾乎是不可能的。為簡化系統,解決實際系統中的控制問題,我們在建模時要忽

略了一些次要因素,如空氣阻力、伺服電機的靜摩擦力、系統連接處的松弛程度、洛陽理工學院畢業設計（論文）

擺桿連接處質量分布不均勻、傳送帶的彈性、傳動齒輪的間隙等,并將小車抽象

為質點,認為擺桿是勻質剛體,從而將二級直線倒立擺簡化成小車和擺桿組成的

系統,建立一個較為精確地倒立擺系統的數學模型。

目前,對倒立擺系統建模一般采用兩種方法:牛頓力學分析方法,歐拉—拉

格朗日原理(Lagrange方程)[41]。建立被控對象的數學模型常采用牛頓力學的方法，建立倒立擺系統的數學模型先分析小車和各個擺體的受力情況,然后列出小車和

各個擺體在X方向和Y方向的運動方程以及各擺體相對各個轉軸處的轉動力矩平衡

式。再通過求解各擺體運動方程和各個轉軸處的轉動力矩平衡方程得到倒立擺系

統的數學模型。可見,采用牛頓運動定律建模,需要解算大量的微分方程組,而

且要考慮到質點組受到的約束條件,建模將更加復雜

倒立擺系統的數學建模一般有牛頓歐拉法和拉格朗日法兩種。對于結構相對簡單的

一級直線倒立擺可以使用牛頓歐拉法，先對小車和擺桿進行受力分析，并分別求出他們 的運動方程。將線性化后的兩個運動方程進行拉普拉斯變換。最后整理后可以得到系統 的狀態空間方程 [1-9]。但在對二級、三級以上的倒立擺進行數學建模時，這種方法就顯

得有些復雜。牛頓運動定律來求解質點組的運動問題時，計算量會比較大。在許多實際 的運算中，求解微分方程組會遇到較大的困難。有時，還需要確定各質點間的位移、相

互作用力、速度、加速度等關系來解決質點組中存在約束情況，聯立求解這些方程組就 更為困難 [10-13]。為了簡化倒立擺系統的數學建模過程，本章采用了分析力學中的拉格朗 日方程推導直線倒立擺的數學模型，并對該系統的可控性進行了分析。

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2、能空性分析

3、能觀性分析

4、基于卡爾曼濾波器的LQR控制器設計）

第五章 基于MATLAB的仿真（1、基于MATLAB的倒立擺模型

于在教學和工程實驗領域廣泛應用的 MATLAB/Simulink平臺，MATLAB 實時控

制軟件實驗平臺，使得實驗和先進算法研究變得無比輕松。在不需要熟練掌握其他編程

語言的基礎上就能做控制理論實驗，只需要把精力集中在控制算法研究上而不需要接觸

艱深的硬件接口。現在，在此平臺上可以把系統的建模、仿真和實時控制，用戶的建模

和仿真結果不需要太多修改就可以直接在同一平臺上針對實際物理設備進行控制實驗 驗證。

MATLAB 實時控制軟件的特點：實控軟件采用了 MATLAB/Simulink 的實時工具箱

RTW（Real-Time Workshop）實現控制任務，運行在 Windows 操作系統基礎上，專用的

實時內核代替 Windows 操作系統接管了實時控制任務。內核任務執行的最小周期是

1ms，大大地提高了系統控制的實時性，完全可以滿足 Windows 下較高的實時性控制要

求而不用擔心 Windows 本身的實時性問題。

2、控制器設計及實時仿真）