第一篇：直線運動倒立擺控制系統(tǒng)的研究兩周匯報2

直線運動倒立擺控制系統(tǒng)的研究兩周匯報

工作進展：

通過這兩周的學習，我自己解決了上周自己提出的三個問題，并且舉一反三，從實例中提高了自我分析能力，現(xiàn)匯報自己的學習進展如下：

二級倒立擺控制系統(tǒng)的被控對象由：小車，下擺，上擺組成。同時我舉一反三明白了其系統(tǒng)的機械部分由小車，上擺，下擺，導軌，皮帶輪，傳動皮帶等構(gòu)成，還有其電氣部分由：電機，晶體管，直流動功率放大器，傳感器以及保護電路組成。

二級倒立擺控制系統(tǒng)的控制方法有：狀態(tài)反饋控制、FUZZY控制、應(yīng)用REF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法相結(jié)合的控制方法、用前向或遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)并結(jié)合最優(yōu)控制、模糊控制算法、魯棒最優(yōu)控制，通過以上算法能夠保證對該系統(tǒng)被控對象的控制。

存在的問題：

1、倒立擺的主要控制規(guī)律有哪些。

2、二級倒立擺控制系統(tǒng)的組成框圖是怎么的。

3、最常見的三種控制方法：采用LQR最優(yōu)控制器控制、采

用變結(jié)構(gòu)控制其控制和采用模糊控制器進行控制。那么他們?nèi)呦啾戎碌膬?yōu)缺點有哪些。

姓名：莊金鑫

時間：2014.3.30

第二篇：基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

姓 名：

學 號： 教 師：

專 業(yè)：

二〇〇九年十二月二十九日

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

目 錄

第一章 緒論...................................................................................................................1 第二章 倒立擺系統(tǒng)建模...............................................................................................2 2.1 狀態(tài)空間表達式...............................................................................................2 2.1.1 數(shù)學模型建立.........................................................................................2 2.1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式.................................................................3 2.1.3 系統(tǒng)的約旦標準型.................................................................................4 2.1.4 系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn).......................................................................................5 第三章 倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解...................................................................7 3.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣...................................................................................................7 3.2 系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的解...................................................................7 第四章 倒立擺系統(tǒng)的能控性和能觀性.......................................................................8 4.1 倒立擺系統(tǒng)的能控性.......................................................................................8 4.2 倒立擺系統(tǒng)的能控標準型...............................................................................8 4.2.1 能控標準Ⅰ型.........................................................................................8 4.2.2 能控標準Ⅱ型.........................................................................................9 4.3 倒立擺系統(tǒng)的能觀性.....................................................................................10 4.4 倒立擺系統(tǒng)的能觀標準型.............................................................................10 4.4.1能觀標準Ⅰ型..........................................................................................10 4.4.2 能觀標準Ⅱ型.......................................................................................11 第五章 倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性與李亞普諾夫方法.....................................................12 第六章 倒立擺系統(tǒng)的綜合.........................................................................................13 6.1 系統(tǒng)性能指標的確定.....................................................................................13 6.2 系統(tǒng)極點配置.................................................................................................13 6.3 狀態(tài)觀測器.....................................................................................................14 6.3.1 全維狀態(tài)觀測器...................................................................................14 6.3.2 降維觀測器...........................................................................................15 6.4 利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋.....................................................................18 第七章 倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案及控制器設(shè)計.................................................20 參考文獻...........................................................................................................................21

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

第一章 緒論

倒立擺作為一個高階次、多變量、非線性和強禍合的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，一直是控制領(lǐng)域研究的熱點問題。它廣泛應(yīng)用于控制理論研究、航空航天控制、機器人、雜技頂桿表演等領(lǐng)域，在自動化領(lǐng)域中具有重要的理論價值和實踐價值。這些物理裝置與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)，深刻揭示了自然界一種基本規(guī)律，即一個自然不穩(wěn)定的被控對象，通過控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。

倒立擺的研究具有重要的工程應(yīng)用價值。如機器人問題，機器人行走類似倒立擺系統(tǒng)，盡管第一臺機器人在美國問世以來己有三十多年的歷史，但機器人的關(guān)鍵技術(shù)至今仍未很好解決。再如太空應(yīng)用中，倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定與空間飛行器控制和各類伺服云臺的穩(wěn)定有很大相似性，它也是日常生活中所見到的任何重心在上、支點在下的控制問題的抽象，因此，倒立擺機理的研究又具有重要的工程應(yīng)用背景，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。倒立擺的控制方法，在軍工、航天和機器人領(lǐng)域有廣泛的用途，對處理一般工業(yè)過程亦有指導性作用。

倒立擺常見類型有：（1）直線型倒立擺，（2）環(huán)型倒立擺，（3）旋轉(zhuǎn)式倒立擺，（4）復(fù)合倒立擺系列。由于時間水平有限，本文僅針對一階直線型倒立擺進行現(xiàn)代控制分析。圖1.1為一級倒立擺裝置簡圖。

擺桿滑軌小車皮帶電機

圖1.1 一級倒立擺裝置簡圖

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

第二章 倒立擺系統(tǒng)建模

2.1 狀態(tài)空間表達式

2.1.1 數(shù)學模型建立

倒立擺系統(tǒng)由質(zhì)量為M的小車和質(zhì)量為m，長度為L的的連桿即擺構(gòu)成。連桿的一端與小車通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)自由連接，即該關(guān)節(jié)無驅(qū)動力矩。該機械系統(tǒng)目的是操作小車的驅(qū)動力F，使得擺穩(wěn)定在倒立點上，即連桿不倒下，即不超過預(yù)先定義好的一個垂直偏離角度范圍。圖2.1為倒立擺系統(tǒng)圖，小車位移為x，擺的角度為?。

在系統(tǒng)數(shù)學模型中，首先假設(shè)：（1）擺桿為勻質(zhì)剛體；（2）忽略擺桿與支點間的摩擦；（3）忽略小車與導軌的摩擦。

YLΘoFMmgX 圖2.1 倒立擺系統(tǒng)圖

??0擺桿質(zhì)心的絕對位移為 H?x?lsin? 系統(tǒng)的初始狀態(tài) ??0，?根據(jù)牛頓第二運動定律，對系統(tǒng)整體水平方向受力分析，求得方程d2xd2F(t)?M2?m2(x?lsin?)

(2-1)dtdt對擺桿O點取力矩平衡，得到方程

27.5°d2HM0?m2cos??mglsin??0

(2-2)dt2

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

方程（1）（2）是非線性方程，由于控制的目的是保持倒立擺直立，在施加的外力條件下，假定?很小，接近于零是合理的。則sin???，cos??1。在以上假設(shè)條件下，對方程線性化處理后，得到倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型為：

??

(2-3)???m???ml?F(t)?Mxx??

(2-4)??l?gl???x2.1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式

在用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)是，系統(tǒng)的動態(tài)特性是用狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組描述的。它能反映系統(tǒng)的全部獨立變量的變化，從而能同時確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運動狀態(tài)，而且還可以方便的處理初始條件[1]。

?)T為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量，輸入為：u?F(t)，輸出?,?,?取(x1,x2,x3,x4)T?(x,xy?x，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

?0?1???x????0?x2????x?3??0????4???x?0?10mg0?M00(m?M)g0Ml0??0???x1???1?0??????x2??M??u

1??x3??0???????x?1?0??4??????Ml??x1???xy??1,0,0,0??2?

?x3????x4?為便于計算，假設(shè)小車的質(zhì)量M=1kg，擺桿質(zhì)量m=0.2kg，擺桿長度為l=0.5m，g=10m/s2則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

??Ax?bu

y?cxx

?0?0?其中A??0??0100?2000240??0????0?1??，b?，c??1,0,0,0?

?0?1????0???2?倒立擺系統(tǒng)的原始模擬結(jié)構(gòu)圖如圖2.2所示。

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

u+x?x1-2?x2x?1?y22-x?4x4x?33+??x24 圖2.2 倒立擺系統(tǒng)的原始模擬結(jié)構(gòu)圖

2.1.3 系統(tǒng)的約旦標準型

根據(jù)系統(tǒng)的特征方程?I?A?0，得到?2(?2?24)?0，解得特征值為

?1??2?0，?3?4.899，?4??4.899。

對應(yīng)于?T1?0，由(?1I?A)P1?0，解得特征向量P1??1000?。對應(yīng)于?2?0，由(?2I?A)P2??P1，解得特征向量P??0100?T2。對應(yīng)于?3?4.8，9由9(?3I?A)P3?0，解得特征P??14.899?12?58.788?T3。

對應(yīng)于?4??4.8，9由9(?4I?A)P4?0，解得特征PT4??1?4.899?1258.788?。

由特征向量組成的變換矩陣

??1011?00.08330?T??014.899?4.899??100.0833????1，T?1??0??00?12?12??00?0.0417?0.0085?

?00?58.78858.788????00?0.04170.0085??4

量量 向向

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

?0?0?1約旦標準型矩陣??TAT???0??0變換后的相關(guān)矩陣為

100??000? ?04.8990?00?4.899?T?1b??00.8330.017?0.017?，cT??1011?

T2.1.4 系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn)

0??0??s?10????0s20??1? 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W(s)?C(SI?A)?1b??1000???00s?1??0?????00?24s???2?W(s)?14? s2s2(s2?24)?1W(s)?145150.0170.017 ??????22222ss(s?24)6s6(s?26)(s?26)6ss?4.898s?4.898用矢量矩陣形式表示為

?1??0?x?????x2???0?x?3??0????4??0?x1??x1??0??????000??x2??1??u ??04.8990?x3?1??????00?4.899??x4??1?00?x1???x2??y??0.833000.017?0.017? ?x3????x4?倒立擺并聯(lián)型模擬結(jié)構(gòu)圖如圖2.3所示

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?2x?x2?1x?x10.08334.489u++?3x?x30.017+++y-4.489++x4??4x-0.017

圖 2.3 倒立擺并聯(lián)型模擬結(jié)構(gòu)圖

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第三章 倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解

3.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

根據(jù)約旦標準型矩陣，求得

?1?0At?1?e??(t)?T?T??0??0011??1??14.899?4.899??00?12?12??0??0?58.78858.788??0t00??1??100??00e4.899t0??0??00e?4.899t??000.08330??100.0833?0?0.0417?0.0085??0?0.04170.0085??1?0???0??0? t0.0833?0.0417e4.899t?0.0417e?4.899t0.0833t?0.0085e4.899t?0.0085e?4.899t??1?0.2043e4.899t?0.2043e?4.899t0.0833?0.0416e4.899t?0.0416e?4.899t??00.5e4.899t?0.5e?4.899t0.102e4.899t?0.102e?4.899t??02.451e4.899t?2.451e?4.899t0.5e4.899t?0.5e?4.899t?3.2 系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的解

初始時刻為t0?0，初始狀態(tài)x(0)?0，輸入u(t)?1(t)，根據(jù)

x(t)??(t)x(0)???(t??)bu(?)d?

0t?1?t0???0?0??0?t??0.0833?0.0417e4.899(t??)?0.0417e?4.899(t??)0.0833(t??)?0.0085e4.899(t??)?0.0085e?4.899(t??)??0????1?0.2043e4.899(t??)?0.2043e?4.899(t??)0.0833?0.0416e4.899(t??)?0.0416e?4.899(t??)??1?d?4.899(t??)?4.899(t??)4.899(t??)?4.899(t??)???000.5e?0.5e0.102e?0.102e?4.899(t??)?4.899(t??)4.899(t??)?4.899(t??)???2?02.451e?2.451e0.5e?0.5e????t???0.1666(t??)?0.017e4.899(t??)?0.017e?4.899(t??)???4.899(t??)?4.899(t??)t0.833?0.0832e?0.0832e?d????0?? ?0.204e4.899(t??)?0.204e?4.899(t??)??4.899(t??)?4.899(t??)???e?e???2.04t2?0.00347e4.899t?0.00347e?4.899t???4.899t?4.899t0.816?0.0169e?0.0169e????? ?0.0416e4.899t?0.0416e?4.899t??4.899t?4.899t???0.204e?0.204e??7

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第四章 倒立擺系統(tǒng)的能控性和能觀性

在現(xiàn)代控制理論中，能控性和能觀性是兩個很重要的概念，是卡爾曼在1960年首先提出來，它是最優(yōu)控制和最優(yōu)估計的設(shè)計基礎(chǔ)。

4.1 倒立擺系統(tǒng)的能控性

對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，如果存在個分段連續(xù)的輸入u(t)，能在有限時間區(qū)間??t0,tf??。使系統(tǒng)由某一初始狀態(tài)x(t0)，轉(zhuǎn)移到指定的任一終端狀態(tài)x(tf)。則稱此系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。系統(tǒng)的能控性完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及控制作用的施加點。

判斷該倒立擺系統(tǒng)能控性有如下幾種方法：

（1）根據(jù)圖2.2倒立擺系統(tǒng)的原始模擬結(jié)構(gòu)圖，可以看出該系統(tǒng)是完全能控的。

（2）由系統(tǒng)約旦標準型矩陣，可以看出輸入矩陣b中相應(yīng)于約旦塊的最后一行元素不為零，故該系統(tǒng)是能控的。

（3）根據(jù)能控判別矩陣M??bAbA2b04??01??1040?，A3b????0?20?48????20?480??rank(M)=n=4，故系統(tǒng)是完全能控的。

4.2 倒立擺系統(tǒng)的能控標準型

倒立擺系統(tǒng)屬于單輸入單輸出系統(tǒng)，在能控判別證中只有唯一的一組線性無關(guān)量，因此系統(tǒng)的能控標準型是唯一的。

4.2.1 能控標準Ⅰ型

進行非奇異變化x?Tc1x，將原狀態(tài)空間表達式化成

??Ax?bu y?Cxx

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?1?aAbb??3?a2??a101a3a2001a30??0? ?0?1?Tc1??A3bA2b系統(tǒng)特征方程為?4?24?2?0，即a0?0，a1?0，a2??24，a3?0

010??10?4???04011??0Tc1????480?20???240???0?480?2???0?2400100???20010????0??0?2000? ????000?20???1??000?2?0?0.0250???0.05??0?0.050?0.025? Tc1?1???00?0.50???000?0.5???0?0 A?Tc1?1ATc1???0??01001000240??0????0?0 b?Tc1?1b??? c?cTc1???20010?

?0?1????0??1?s2?20當然也可根據(jù)系統(tǒng)輸入輸出傳遞函數(shù)W(s)?4，直接寫出A和c。

s?24s24.2.2 能控標準Ⅱ型

進行非奇異變化x?Tc2x，將原狀態(tài)空間表達式化成

??Ax?bu，y?Cx xTc2?M??bAbA2b04??01??10403? Ab????0?20?48????20?480??1.200.1??0??1.200.10? Tc2?1???0?0.050?0.025????0.050?0.0250??9

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?0??1??TAT??1Ac1c1?0??0001000????000? b???? c??cTc2??0001? ??1024????010?????20?4.3 倒立擺系統(tǒng)的能觀性

對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，對任意給定的輸入u(t)，在有限觀測時間tf?t0，使得根據(jù)??t0,tf??期間的輸出y(t)，能唯一的確定系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)x(t0)，則稱狀態(tài)x(t0)是可觀測的。

（1）根據(jù)圖2.2倒立擺系統(tǒng)的原始模擬結(jié)構(gòu)圖，可以看出該系統(tǒng)是完全能觀的。（2）由系統(tǒng)約旦標準型矩陣，可以看出輸出入矩陣c中相應(yīng)于每個約旦塊開頭的一列元素不為零，故該系統(tǒng)是能觀的。

?C??1???CA0（3）根據(jù)能控矩陣N??2????CA??0?3???CA??0能觀的。

000??100?，rank(N)=n=4，故系統(tǒng)是完全

0?20??00?2?4.4 倒立擺系統(tǒng)的能觀標準型

4.4.1能觀標準Ⅰ型

進行非奇異變化x?T01x，將原狀態(tài)空間表達式化成

? ????bu??Axx?? y?Cx?C??1???CA0T01?N??2????CA??0?3???CA??0000??100?

0?20??00?2?10

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

?1?0?1T01???0??0000??100? ?0?0.50?00?0.5?1001000240???20????0??0? c??cT01??1000?

b?T01?1b???1?1????0?0???0?0?1??A?T01AT01??0??04.4.2 能觀標準Ⅱ型

進行非奇異變化x?T02x，將原狀態(tài)空間表達式化成

? ????bu??Axx?? y?Cx?1a3?01T02???00??00a2a310a1??cA3??0?240?2??????a2??cA2???240?20?? ?????a3cA0100??????11??000c?????0?1?1??A?T02AT02??0??0001000???20????00??0? c??cT01??0001?

b?T01?1b???1?024????10?0??注釋：因為狀態(tài)空間表達式能觀標準Ⅰ型與能控標準Ⅱ型對偶，能觀標準Ⅱ型分別與與能控標準Ⅰ型相對偶，依據(jù)對偶原理A1?A2T,b1?c2T,c1?b2T，可以直接寫出系統(tǒng)的能關(guān)標準型。

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第五章 倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性與李亞普諾夫方法

倒立擺系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)而與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動無關(guān)。

李亞普諾夫第一法關(guān)于線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)為：線性定常系統(tǒng)?:(A,b,c)

??Ax?bu

y?cxx，平衡狀態(tài)xe?0漸進穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的所有特征值具有負實部。

倒立擺系統(tǒng)的特征方程?I?A?0，?2(?2?24)?0，解得特征值為?1??2?0，?3?4.899，?4??4.899，故該系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸進穩(wěn)定的。

s2?20系統(tǒng)輸入輸出傳遞函數(shù)為W(s)?C(SI?A)b?4，傳遞函數(shù)的極點為

s?24s2?1s1?s2?0，s3?4.899，s4??4.899，并不是都位于s平面的左半平面，故該系統(tǒng)輸出不是漸進穩(wěn)定的。

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第六章 倒立擺系統(tǒng)的綜合

6.1 系統(tǒng)性能指標的確定

本文中的倒立擺系統(tǒng)是四階的高階系統(tǒng)，忽略某些留數(shù)很小的或離虛軸很遠的極點所對應(yīng)的瞬態(tài)分量，可以用一個二階的低階系統(tǒng)來近似。各瞬態(tài)響應(yīng)分量衰竭快慢取決于對應(yīng)的閉環(huán)極點距離s平面虛軸的遠近，其中最靠近虛軸的閉環(huán)極點對系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導作用，稱為閉環(huán)主導極點。若其他非主導極點的實部比主導極點的實部大5倍以上，則主導極點對應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減到進入穩(wěn)態(tài)（即△=±2%或△=±5%）所需要的調(diào)整時間比其他非主導極點所需時間慢5倍以上[2]。

???配置二階系統(tǒng)的性能指標，超調(diào)量Mp?e1??2?100%?15%，得出阻尼比??0.2727。0???0.8時，對應(yīng)于穩(wěn)態(tài)允許誤差范圍△=±2%，調(diào)整時間計算公式ts?4?2s，算出無阻尼固有頻率?n?7.334rad/s。故二階主導極點為??nS1,2????n??n1??n2??2?j7.056，遠離這兩個主導極點配置系統(tǒng)的另外兩個極點S3??15，S4??18。

6.2 系統(tǒng)極點配置

由極點S1,2??2?j7.056，S3??15，S4??18，?22系統(tǒng)的期望特征多項式為f(?)?(??2??n???n)(???3)(???4)

??4?37?3?455.788?2?2855??14522.76

倒立擺系統(tǒng)的能控標準Ⅰ型為

?0?0???x?0??01001000240??0????0??0?x?b ???10???0??1?13

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

y???20010?x

由于該系統(tǒng)完全能控，故可實現(xiàn)狀態(tài)反饋配置極點，加入狀態(tài)反饋矩陣K??k0k1k2k3?，系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式為

f(?)?det[?I?(A?bK)]

??4?(?k3)?3?(?24?k2)?2?(?k1)??(?k0)

比較f(??)和f(?)的各項對應(yīng)系數(shù)，可解得

k0??14522.76,k1??2855,k2??479.788,k3??37，K???14522.76?2855?479.788?37? 反變換到x狀態(tài)

?1?0K?KT01?1???14522.76?2855?479.788?37???0??0000??100?

0?0.50??00?0.5????14522.76?2855?239.894?18.5?

6.3 狀態(tài)觀測器

6.3.1 全維狀態(tài)觀測器

本文中倒立擺系統(tǒng)是完全能觀的，可以構(gòu)造狀態(tài)觀測器 系統(tǒng)的能觀Ⅱ型為

?0?1???x?0??0001000???20????00??0?

y??0001?x

x?u024??1????10??0?引入反饋陣G??g1g2g3g4?T，得到觀測器特征多項式為

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

g1???00???1?0g2?f(?)?det[?I?(A?Gc)]?det??0?1?24?g3????00?1??g4???4?g4?3?(24?g3)?2?g2??g1

比較f(??)和f(?)的各項對應(yīng)系數(shù)，可解得

G??14522.762855?431.788?37?

T

反變換到x狀態(tài)，?0?240?2??14522.76???68450????????240?202855?516?????? G?T02G???0100???431.788??4.2298???????1000?3721.549??????全維觀測器方程為

???(A?Gc)x??bu?Gy x?68450?516????4.2298???21.549?0?0???0??0100?200024100?2000240??0???68450??????0??1???516???xu?y 1??0??4.2298??????0???2??21.549?0??0???68450??????0??1???516????)xu?(y?y?????104.2298?????0???2??21.549?倒立擺系統(tǒng)的全維狀態(tài)觀測器如圖6.1所示。

6.3.2 降維觀測器

?0?1?T??0??0001000011??0??0?-1?0T??00???0??1100001000??0? 1??0?15

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

?0?0?1A?TAT???0??1?0?0?1?b?Tb??0??***000??0??0??01??0??0??0100?2000240??0??0??11??0??0??0001000011??0?2??0??00??0?024??0??1001000??0? ?0?0?0??0??1??????0??1??0? ?1??0???2??????0???2??0?001000011??0???0001? 0??0??0?1c?cT??1000???0??0引入G??g1g2Tg3?得到觀測器特征多項式為

f(?)?det???I?(A11?GA21)??

???g1??det?g2?g?3?20???3?g1?2?(?24?2g2)??24g1?2g3?1?= 24???配置觀測器極點為-15，-15，-15，期望的觀測器特征多項式為

3f(??)?（?+15）??3?45?2?675??3375

比較f(?)和f?(?)各相應(yīng)項系數(shù)，得

g1?45,g2?349.5,g3??2227.5，即觀測器為

G??45349.5?2227.5?

T觀測器方程為

??1?(A11?GA12)w??[(A11?GA12)G?(A12?GA22)]y?(B1?GB2)u w?1?w??Gy x?20???45?2720??1???1???349.501?w????17950?y??0?u w???????2227.5240??108630???2???????

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

u（A,b,C）y??y-68450++-516??1x??1x?2x+++??2x??3x?-24.2298++-221.549??3x24+++??4x??4x

圖 6.1 倒立擺系統(tǒng)的全維狀態(tài)觀測器

?45??1?w???349.5?y x????2227.5???整個狀態(tài)量x的估計值為

?1?45y??w????????????x1???w?Gy???w2?349.5y? x????2227.5y?x4??x4??w3???y??原系統(tǒng)的狀態(tài)估計為

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

?0????1??Txx?0??000100001?1?45y??y?1??w???????w?45y0??w2?349.5y??1? ???????0w?3?2227.5yw2?349.5y????????w?0??y???3?2227.5y?系統(tǒng)降維觀測器如圖6.2所示。

u(A,b,c)y?4x90-4517950272045+++-349.5+?-2++349.5?1x-699108625.5++2227.5++++?-45++?2x2227.5++?-+?3x4455圖 6.2 倒立擺系統(tǒng)的降維狀態(tài)觀測器

6.4 利用狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋

根據(jù)全維觀測器方程

?68450?516????x??4.2298???21.549狀態(tài)反饋陣

100?2000240??0???68450??????0??1???516???xu?y 1??0??4.2298??????0???2??21.549?K???14522.76?2855?239.894?18.5?

可以得出全維觀測器閉環(huán)系統(tǒng)圖如圖6.3所示。

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

u（A,b,C）y-68450+++++-516??1x??1x?2x??2x??3x4.2298?+24+??3x-2-2+++21.549??4x??4x圖 6.3 閉環(huán)系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

第七章 倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案及控制器設(shè)計

針對第二章倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程式，通過確定最優(yōu)控制量u(t)??Kx(t)的矩陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，同時使線性二次型最優(yōu)控制指標（式6-1）達到最小。

J?1tfT1TT[xQ(t)x?uQ(t)u]dt?x(tf)Q0x(tf)(6-1)12?t202式中，Q1(t)為n?n維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣；Q2(t)為r?r維正定的控制加權(quán)矩陣；Q0(t)為n?n維半正定的終端加權(quán)矩陣。Q1(t)和Q2(t)是用來衡量狀態(tài)變量和輸入向量的權(quán)重。

針對倒立擺系統(tǒng)的平衡問題，可引入全狀態(tài)反饋。當給系統(tǒng)施加階躍輸入時，找出滿足系統(tǒng)性能的反饋增益矩陣K，使在其作用下將系統(tǒng)由初始狀態(tài)驅(qū)動到零平橫狀態(tài)。如果系統(tǒng)受到外界干擾而偏離零狀態(tài)，施加最優(yōu)控制u?使得系統(tǒng)回到零狀態(tài)附近并同時滿足J達到最小，其中u?由公式6-2解得。

u???Q2?1(t)BT(t)P(t)x(t)??K(t)x(t)(6-2)求解黎卡提（Riccati）矩陣方程（式6-3）的就可獲得P的值以及最有反饋矩陣K值即式6-4。

??-PA-ATP?PBQ-1BTP-Q(6-3)P21K?R?1BTP(6-4)當tf趨向無窮時，P(t)趨近于一個常值矩陣，P?t??0，因此，上式給出的Riccati方程就簡化為?PA?AT?PBR?1BTP?Q?0。

?20

基于倒立擺的現(xiàn)代控制模型建立及分析

參考文獻

[1] 劉豹，唐萬生．.現(xiàn)代控制理論．北京：機械工業(yè)出版社，2009．9～10.[2] 吳振順，張健成．.控制理論基礎(chǔ)與應(yīng)用．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2007．59～63.

第三篇：基才Matlab的倒立擺系統(tǒng)實時模糊控制研究

基才Matlab的倒立擺系統(tǒng)實時模糊控制研究

徐 雄，石曙東(湖北師范學院 計算機科學系，湖北 黃石 435002)1 引言

倒 立擺系統(tǒng)是一種是非最小相位系統(tǒng)，它具有非線性、多變量和不穩(wěn)定的特點，因而成為控制理論教學和科研的典型對象，以往主要通過軟件仿真或在精密倒立擺上實 現(xiàn)各種控制算法，而對倒立擺硬件系統(tǒng)開發(fā)的相關(guān)報道卻甚少。目前，國內(nèi)各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生產(chǎn)的系統(tǒng)，由于采用高 精度的零部件，因此，硬件成本較高；其軟件大多采用VC等可視化編程軟件來開發(fā)，研發(fā)周期長，并且不提供源代碼，缺乏可讀性和再利用性。本文介紹一種倒立擺系統(tǒng)的軟硬件開發(fā)，其硬件系統(tǒng)具有低成本、高可靠性和穩(wěn)定性等優(yōu)點；其軟件系統(tǒng)在Matlab環(huán)境下編程和實時控制，源代碼完全開放，而且可調(diào)用豐富的Matlab工具箱函數(shù)，非常適用于教學和科研上的再學習和開發(fā)。倒立擺系統(tǒng)的硬件設(shè)計

一 級水平倒立擺硬件系統(tǒng)框圖如圖1所示，多級水平倒立擺也相類似，區(qū)別之處只是擺桿不同。倒立擺系統(tǒng)由導軌、力矩電機、滑塊與擺桿、皮帶等部件組成。擺桿連 接滑塊，滑塊由皮帶拖動在導軌上滑行。滑塊離中心點的水平位移和擺桿的角度分別由旋轉(zhuǎn)編碼器1和2檢測，通過旋轉(zhuǎn)編碼器信息采集卡轉(zhuǎn)換后對應(yīng)于θ和x的計 數(shù)值。在導軌的兩側(cè)各有一個限位開關(guān)(常閉)，當滑塊滑行到兩側(cè)時，將碰到限位開關(guān)并使其斷開，用來判斷滑塊的位置是否超出限定范圍以及是否立即停止電機 運行。限位開關(guān)的通斷信號由數(shù)據(jù)采集卡I／O采集，控制電壓通過數(shù)據(jù)采集卡D／A輸出，經(jīng)過力矩電機控制器轉(zhuǎn)換后作用于電機。硬件系統(tǒng)組成部件說明如表1 所列。

2.1 力矩電機控制器設(shè)計

數(shù) 據(jù)采集卡D／A輸出電壓一般為0 V～+5 V或0 V～+10 V，而力矩電機的伺服驅(qū)動電壓為-24 V～+24 V，因此需要設(shè)計一個控制器，將數(shù)據(jù)采集卡的輸出電壓按比例轉(zhuǎn)換成力矩電機控制所需的伺服電壓。力矩電機控制器采用不帶MPU的分立元件反饋方法設(shè)計，以 提高可靠性。當電機帶動小車運動到兩端碰到限位開關(guān)時，施加在電機上的電壓必須馬上變成0 V，電機立即停止轉(zhuǎn)動，但力矩電機的堵轉(zhuǎn)電流非常大，會擊穿達林頓管，因此在設(shè)計力矩電機控制器時，應(yīng)考慮碰到限位開關(guān)時要立即切斷電機的達林頓輸出電 路，使電機端的電壓箝位于0 V。

2.2 旋轉(zhuǎn)編碼器接口設(shè)計

擺 桿的角度(θ)是倒立擺控制所需的最主要的反饋檢測信號，而小車的位置(x)只起到輔調(diào)節(jié)作用，要求精度不高。因此，擺桿角度檢測采用日本NEMI-COM公司生產(chǎn)的高精度旋轉(zhuǎn)編碼器，而小車位置檢測所用旋轉(zhuǎn)編碼器則自制，由旋轉(zhuǎn)編碼盤加上帶槽光耦檢測電路實現(xiàn)。旋轉(zhuǎn)編碼器的典型輸出為兩個相位差 90°的方波信號(A和B)以及零位脈沖信號Z。其中，Z脈沖信號標志旋轉(zhuǎn)編碼盤轉(zhuǎn)過的圈數(shù)(每圈360°)，A、B兩相信號脈沖數(shù)標志轉(zhuǎn)編碼盤轉(zhuǎn)過的角 度，A、B之間的相位關(guān)系為碼盤的轉(zhuǎn)向，即當A相超前B相90°時，標志碼盤正轉(zhuǎn)；當B相超前A相90°時，標志碼盤反轉(zhuǎn)。

旋 轉(zhuǎn)編碼器接口電路將A、B、Z脈沖信號轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)碼盤轉(zhuǎn)過角度的計數(shù)值，一般采用單片機來實現(xiàn)。從光電編碼器接口電路要求高速度、高精度和計算機接口等方 面考慮，本系統(tǒng)設(shè)計的旋轉(zhuǎn)編碼器接口應(yīng)為插在計算機PCI插槽上的PCI板卡，計數(shù)電路采用高速CPLD器件EPM7128實現(xiàn)，采用抗干擾二倍頻方法設(shè) 計，PCI接口器件采用PLX公司的PCI9052。自制旋轉(zhuǎn)編碼器及接口電路框圖如圖2所示，左邊虛線框內(nèi)是自制的旋轉(zhuǎn)編碼器電路，調(diào)整好帶槽光耦01 和02之間的距離，轉(zhuǎn)動帶齒光碼盤，A、B就會產(chǎn)生相位差為90°的脈沖信號。倒立擺軟件系統(tǒng)設(shè)計

倒 立擺軟件系統(tǒng)一般都是在Windows操作系統(tǒng)中采用Turbo C、Visual C++、C++Builder等可視化編程軟件開發(fā)，雖然實時性比較好，但控制算法實現(xiàn)難度較高，開發(fā)周期長并且缺乏靈活性。筆者提出以計算、繪圖和仿真 功能強大的Matlab軟件作為控制算法的開發(fā)環(huán)境，用Visual C++開發(fā)MEX接口生成的動態(tài)鏈接庫(DLL)作為Matlab與PCI數(shù)據(jù)采集卡和旋轉(zhuǎn)編碼器信號采集卡進行通信的中介，編制M文件實現(xiàn)模糊控制算 法，具有編程簡單、工具箱函數(shù)調(diào)用和數(shù)據(jù)分析方便等優(yōu)點。

3.1 Matlab環(huán)境下實現(xiàn)實時控制

用Matlab 對系統(tǒng)進行實時控制有兩種可選擇的方法，編制M文件或利用Simulink，這兩種方法也可以交互使用。另外，也可以采用Matlab與第三方軟件相互調(diào) 用的方法實現(xiàn)實時控制。直接采用M文件編程簡單易學，但運行速度較慢；使用Simulink和Real-Time Workshop進行實時控制，控制參數(shù)修改方便，運行速度快，在仿真和調(diào)試完成后，可生成C代碼并移植到硬件直接使用，快速實現(xiàn)控制系統(tǒng)。Matlab 環(huán)境下這兩種方法的數(shù)據(jù)交換過程如圖3所示，其中，上部是編制M文件實現(xiàn)實時控制的數(shù)據(jù)交換過程。

Matlab 只帶有知名公司板卡產(chǎn)品的驅(qū)動程序，如果采用國內(nèi)公司或者用戶自行設(shè)計的板卡，則需要自行編寫設(shè)計驅(qū)動程序并采用Matlab訪問硬件的接口程序。M文件 下沒有直接訪問硬件的函數(shù)，因此需要使用Matlab提供的MEX接口函數(shù)來開發(fā)硬件驅(qū)動，生成動態(tài)鏈接庫(DLL)。如果利用Simulink模塊實時 控制，則需要編制訪問硬件的S-Function接口，利用此函數(shù)可以編寫實現(xiàn)自身功能的Simulink模塊。還可以采用S-Function編寫 Mat-lab不帶驅(qū)動的硬件板卡的驅(qū)動程序。

3.2 變量組合的模糊控制器設(shè)計

單 級倒立擺是一個兩輸入單輸出的多變量系統(tǒng)，控制目標是擺桿的角度θ和滑塊的水平位移X皆為0或者在0點附近動態(tài)調(diào)整，若要控制這兩個量，就必須引入其變化 率作為反饋量。因此，模糊控制器的輸入量為擺桿的角度θ、角速度ω、滑塊的水平位移X以及水平速度V，而輸出為力矩電機的控制電壓U。通 過線性變換，將擺的角度θ的電壓值映射到論域[-6,6]，角速度ω的論域和角度θ相同。θ和ω采用7級分割，分別為NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB、用鐘形隸屬度函數(shù)。同理，將滑塊的水平位移X映射至論域[-1，1]，模糊分割為3級，分別是NM、ZE、PM，使用三角形隸屬度函數(shù)。水平速度V論域為[-1，1]，模糊分割為2級，分別是N、P，使用三角形隸屬度函數(shù)。輸出的控制電壓u論域為[-6,6]，分割成7級，分別為NB、NM、NS、ZE、PS、PM、PB。在進行模糊推理運算時，采用Mamdani最大-最小合成運算，而輸出的解模糊運算則采用重心法。

對 于多變量模糊控制系統(tǒng)，由于可能的控制規(guī)則數(shù)目是輸入變量數(shù)的指數(shù)，因此，如何有效地減少多變量模糊控制系統(tǒng)中控制規(guī)則的數(shù)目，對理論分析和工程應(yīng)用都有 著非常重要的意義。為了減少規(guī)則的數(shù)量，本文根據(jù)擺桿的角度θ和滑塊的水平位移x分別設(shè)置模糊控制規(guī)則庫，而最終的控制信號就是分別調(diào)用這兩個規(guī)則庫所得 到的控制信號的組合。具體地，第i條規(guī)則就是：

其中，如果根據(jù)擺桿的角度和角速度來確定控制信號，那么，I1=θ而I2=ω；如果根據(jù)水平位移x和速度v確定控制信號，那么，I1=x而I2=v。具體的模糊控制規(guī)則分別如表2和表3所示，推理采用max-min合成運算，解模糊則采用重心法。

在實際控制中，這兩個規(guī)則庫是交替使用的，從而在保證擺桿不倒的前提下，使滑塊向中心位置靠攏。具體做法：每三個采樣周期的前兩個周期采用角度控制規(guī)則 庫，第三個周期則同時采用兩個規(guī)則庫進行模糊推理計算，并將得到的兩個控制量按下式加權(quán)計算出最終的控制量U。

其中，Uθ和Ux分別為通過角度控制規(guī)則庫和位移控制規(guī)則庫推理計算得到的控制量，加權(quán)系數(shù)可根據(jù)不同要求進行調(diào)整。

倒 立擺系統(tǒng)的控制算法分兩部分：擺桿自動起擺控制和穩(wěn)定在垂直小角度范圍內(nèi)控制，一般以擺桿偏離垂直站立角度±12°為界限，在±12°范圍內(nèi)采用模糊控制 算法使其穩(wěn)定在垂直站立狀態(tài)，超出這個范圍則啟動自動起擺控制算法，再次使其穩(wěn)定在垂直站立狀態(tài)。為了提高倒立擺系統(tǒng)的抗干擾性能，擺桿在±12°范圍內(nèi) 擺動時使用的模糊規(guī)則庫可進一步細分，以確定合適的控制電壓。

實驗結(jié)果

單 級倒立擺控制系統(tǒng)的采樣周期一般不大于20 ms。本系統(tǒng)模糊控制器的采樣周期為15 ms，即每隔15 ms采樣一次θ、ω、x和v的值，并給出控制信號U。圖4和圖5分別給出了前20 s內(nèi)擺桿的角度電壓曲線和前100 s內(nèi)滑塊的位移電壓曲線。在倒立擺處于豎直倒立狀態(tài)時加入不同的擾動信號，本控制系統(tǒng)表現(xiàn)出良好的抗干擾性能。圖6和圖7分別為加入幅值0.5的階躍擾動 和幅值0.5頻率為0.5 Hz的方波擾動后的擺桿角度波形圖。擾動是通過將程序代碼加在輸出控制電壓值上來實現(xiàn)的，輸出控制電壓范圍為0～+10 V。由圖可以看出，在Matlab環(huán)境下應(yīng)用組合變量模糊控制策略對倒立擺系統(tǒng)的實時控制取得了很好的效果。在實際運行時，Matlab環(huán)境下的模糊控制 器使倒立擺系統(tǒng)保持穩(wěn)定時間可以長達幾個小時，并且具有魯棒性，受外界干擾時可自動調(diào)整至穩(wěn)定狀態(tài)。

結(jié)束語

本文給出了一種低成本、高可靠性和穩(wěn)定性的倒立擺硬件系統(tǒng)的解決方案以及在Matlab環(huán)境下控制軟件的實現(xiàn)方法。在硬件方面，與其他同類倒立擺系統(tǒng)相比 較，本系統(tǒng)在保證性能的前提下大大降低了成本、實用性強；而且在軟件方面，控制軟件在Matlab環(huán)境下開發(fā)，利用簡單的Matlab語言編程，對教學和 科學研究十分有益。實驗結(jié)果表明，在Matlab環(huán)境下進行復(fù)雜非線性系統(tǒng)的實時控制是可行的。使用Matlab進行實時控制系統(tǒng)的開發(fā)，可大大簡化系統(tǒng) 建模和控制算法的實現(xiàn)，利用Real-Time Workshop生成的C代碼可直接移植到硬件或其他軟件上，有效地縮短軟件的開發(fā)時間。