第一篇：高中數學教案

我是來自理科組的數學老師周桂宇，今天我要進行說課的課題是高中數學必修一第一章第三節第一課時《函數單調性與最大（小）值》。首先我們先初步了解下高一數學整體的情況，從量上看，高一數學任務很重，高一上學期我們將要學，必修一全部內容，必修四第一章，高一下學期學必修四剩下內容，必修五全部內容，必修二其中幾章；從質上看，好多同學才一接觸到高一數學就覺得很難，難度并不在于知識點的深度和綜合能力，而在于從初中相對具體形象的數學學習一下進入高中抽象的，與生活似乎關系不大的學習，很多同學表現出非常大不適應。因此，如果覺得高一數學“難”，復習的重點，應當放在分析為什么自己覺得學習過的知識點“難”上。

難點一：抽象函數

F（x）規則的含義雖然看起來簡單，但如果理解不深刻，對于后面的解題有很大的影響。

難點二：三角函數

這一部分的重點是一定要從初中銳角三角函數的定義中跳出來。題目做到一定程度，其實很容易發現，高一考察的三角恒等只有不多的幾種題型，在課程與復習中，我們也會注重給學生總結三角恒等變形的“統一論”，把握住降次，輔助角和萬能公式這些關鍵方法，一般的三角恒等迎刃而解。關鍵是，一定要多做題。

難點三：向量部分 ,這部分其實是這學期最簡單的部分。簡單的原因是，以前從來沒有學過，初次接觸，考試不會太難。這部分的復習也最為輕松——圍繞向量的幾何表示，代數表示和坐標表示理解向量的各種運算法則。

難點四：綜合題型 壓軸題基本上，都是以函數一章作為最核心的知識載體，中間摻雜向量和三角的運算。解決這樣的題目，方法幾乎是固定的，那就是首先利用抽象函數性質，將帶有f的條件化為不帶有f的條件，然后利用三角與向量的運算化簡或證明。非壓軸題出題方法可能更自由，但是綜合性往往沒有太強，仍然屬于各個板塊內的綜合。

對于本次課我將從教材分析；教學目標分析；教法、學法；教學過程；教學評價五個方面來陳述我對本節課的設計方案。懇請在座的專家評委批評指正

一、教材分析

函數的單調性是函數的重要性質．從知識的網絡結構上看，函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性等內容的基礎，在研究各種具體函數的性質和應用、解決各種問題中都有著廣泛的應用．函數單調性概念的建立過程中蘊涵諸多數學思想方法，對于進一步探索、研究函數的其他性質有很強的啟發與示范作用．

根據函數單調性在整個教材內容中的地位與作用，本節課教學應實現如下教學目標： 知識與技能 使學生理解函數單調性的概念，初步掌握判別函數單調性的方法； 過程與方法 引導學生通過觀察、歸納、抽象、概括，自主建構單調增函數、單調減函數等概念；能運用函數單調性概念解決簡單的問題；使學生領會數形結合的數學思想方法，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力．

情感態度與價值觀 在函數單調性的學習過程中，使學生體驗數學的科學價值和應用價值，培養學生善于觀察、勇于探索的良好習慣和嚴謹的科學態度． 根據上述教學目標，本節課的教學重點是函數單調性的概念形成和初步運用．雖然高一學生已經有一定的抽象思維能力，但函數單調性概念對他們來說還是比較抽象的．因此，本節課的學習難點是函數單調性的概念形成．

二、教法學法

為了實現本節課的教學目標，在教法上我采取了：

1、通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性．

2、在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念．

3、在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達．

在學法上我重視了：

1、讓學生利用圖形直觀啟迪思維，并通過正、反例的構造，來完成從感性認識到理性思維的質的飛躍．

2、讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納、總結、運用，培養學生發現問題、研究問題和分析解決問題的能力．

三、教學過程

函數單調性的概念產生和形成是本節課的難點，為了突破這一難點，在教學設計上采用了下列四個環節．

（一）創設情境，提出問題

（問題情境）（播放中央電視臺天氣預報的音樂）．如圖為某地區2006年元旦這一天24小時內的氣溫變化圖，觀察這張氣溫變化圖：

[教師活動]引導學生觀察圖象，提出問題：

問題1：說出氣溫在哪些時段內是逐步升高的或下降的？

問題2：怎樣用數學語言刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？

[設計意圖]問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生興趣的開始．這里，通過兩個問題，引發學生的進一步學習的好奇心．

（二）探究發現 建構概念

[學生活動]對于問題1，學生容易給出答案．問題2對學生來說較為抽象，不易回答．

[教師活動]為了引導學生解決問題2，先讓學生觀察圖象，通過具體情形，例如，“t1=8時，f(t1)=1，t2=10時，f(t2)= 4”這一情形進行描述．引導學生回答：對于自變量8<10，對應的函數值有1<4.舉幾個例子表述一下.然后給出一個鋪墊性的問題：結合圖象，請你用自己的語言，描述“在區間［4，14］上，氣溫隨時間增大而升高”這一特征．

在學生對于單調增函數的特征有一定直觀認識時，進一步提出：

問題3:對于任意的t1、t2∈[4，16]時，當t1< t2時，是否都有f(t1)

[學生活動]通過觀察圖象、進行實驗（計算機）、正反對比，發現數量關系，由具體到抽象，由模糊到清晰逐步歸納、概括、抽象出單調增函數概念的本質屬性，并嘗試用符號語言進行初步的表述．

[教師活動]為了獲得單調增函數概念，對于不同學生的表述進行分析、歸類，引導學生得出關鍵詞“區間內”、“任意”、“當

時，都有 ”．告訴他們“把滿足這些條件的函數稱之為單調增函數”，之后由他們集體給出單調增函數概念的數學表述．提出：

問題4： 類比單調增函數概念，你能給出單調減函數的概念嗎？ 最后完成單調性和單調區間概念的整體表述．

2．對于給定圖象的函數，借助于圖象，我們可以直觀地判定函數的單調性，也能找到單調區間．而對于一般的函數，我們怎樣去判定函數的單調性呢？

[教師活動]問題6：證明

[學生活動]步驟：取值

在區間（0，+ ∞）上是單調減函數．

作差變形

定號

判斷．

[設計意圖]有效的數學學習過程，不能單純的模仿與記憶，數學思想的領悟和學習過程更是如此．利用學生自己提出的問題，讓學生在解題過程中親身經歷和實踐體驗，師生互動學習，生生合作交流，共同探究．

（四）回顧反思深化概念

[教師活動]給出一組題：

1、定義在R上的單調函數f(x)滿足f(2)>f(1)，那么函數f(x)是R上的單調增函數還是單調減函數？

2、若定義在R上的單調減函數f(x)滿足f(1+a)

[學生活動]學生互相討論，探求問題的解答和問題的解決過程，并通過問題，歸納總結本節課的內容和方法.[設計意圖]通過學生的主體參與，使學生深切體會到本節課的主要內容和思想方法，從而實現對函數單調性認識的再次深化.[教師活動]作業布置：

（1）閱讀課本P34－35例2

四、教學評價

學生學習的結果評價當然重要，但是更重要的是學生學習的過程評價．教師應當高度重視學生學習過程中的參與度、自信心、團隊精神、合作意識、獨立思考習慣的養成、數學發現的能力，以及學習的興趣和成就感．學生熟悉的問題情境可以激發學生的學習興趣，問題串的設計可以讓更多的學生主動參與，師生對話可以實現師生合作，適度的研討可以促進生生交流以及團隊精神，知識的生成和問題的解決可以讓學生感受到成功的喜悅，縝密的思考可以培養學生獨立思考的習慣．讓學生在教師評價、學生評價以及自我評價的過程中體驗知識的積累、探索能力的長進和思維品質的提高，為學生的可持續發展打下基礎

第二篇：高中數學教案

高中數學教案:不等式的證明

教學目標

1。掌握分析法證明不等式；

2。理解分析法實質——執果索因；

3。提高證明不等式證法靈活性.教學重點 分析法

教學難點 分析法實質的理解

教學方法 啟發引導式

教學活動

（一）導入新課

（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評。

（學生活動）回答和思考教師提出的問題。

［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？ ［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法。（板書課題）

設計意圖：復習已學證明不等式的方法。指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節課學習內容：用分析法證明不等式。

（二）新課講授

【嘗試探索、建立新知】

（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評。幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系。投影分析法證明不等式的概念。

（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知。

[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式。

［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？bet365備用器

［問題2］當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時，說明了什么呢？

［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

［點評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立。就是分析法的邏輯關系。

[投影]分析法證明不等式的概念。（見課本）

設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發學生積極思考、研究。建立新的知識；分析法證明不等式。培養學習創新意識。

【例題示范、學會應用】

（教師活動）教師板書或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題。

（學生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證。

例1 求證

[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法。

證明：（見課本）

[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難。此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數學問題的一種重要思維方法，事實上，有些

綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優越性正體現在此。

例2 已知：，求證：（用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？ ［投影］證法一：因為，所以、去分母，化為，就是。由已知 成立，所以求證的不等式成立。

證法二：欲證，因為 只需證，即證，即證

因為 成立，所以 成立。（證法二正確，證法一錯誤。錯誤的原因是：雖然是從結論出發，但不是逐步逆戰結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤。）[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：

（結論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）

分析法是“執果索因”，它與綜合法的證明過程（由因導果）恰恰相反。②用分析法證明時要注意書寫格式。分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是： 要證命題B為真，只需證明 為真，從而有??

這只需證明 為真，從而又有?? ??

這只需證明A為真。

而已知A為真，故命題B必為真。要理解上述格式中蘊含的邏輯關系。

[投影] 例3 證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大。

［分析］設未知數，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為，則周長為 的圓的半徑為，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為，截面積為，所以本題只需證明：

證明：（見課本）

設計意圖：理解分析法與綜合法的內在聯系，說明分析法在證明不等式中的重要地位。掌 握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系。靈活掌握分析法的應用，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力?！菊n堂練習】bet365備用bd

（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正。點評練習中存在的問題。（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演?！咀帜弧烤毩?。求證

2。求證：

設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調節課堂教學。【分析歸納、小結解法】

（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法。（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記。

1。分析法是證明不等式的一種常用基本方法。當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的。

2。用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質逆找充分條件，注意分析法的證題格式。

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法。

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識。（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記。

本節課主要學習了用分析法證明不等式。應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧： 通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等。在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質。另外還要適當掌握指數、對數的性質、三角公式在逆推中的靈活運用。理解分析法和綜合法是對立統一的兩個方面。有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程。

設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識。

（四）布置作業

1。課本作業：P17 4、5。

2。思考題：若，求證

3。研究性題：已知函數，若、，且 證明

設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題。

（五）課后點評

教學過程是不斷發現問題、解決問題的思維過程。本節課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發現問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決。一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節課的教學任務?？傊竟澱n的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態。本節課練中有講，講中有練，講練結合。在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化。教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括。在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法。

在安排本節課教學內容時，按認識規律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內容，讓學生形成有序的知識結構。作業答案： 思考題：

。因為，故，所以 成立。研究性題：令，則：，故原不等式等價于

由已知有。所以上式等價于，即。所以又等價于。因為，上式成立，所以原不等式成立。

不等式的實際解釋

題目：不等式： 是正數，且，則?？梢越o出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質則濃度增加，即個單位溶液中含有 個單位的溶質，其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。分析與解

1。先看問題中的不等式，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。

我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。

設地板面積為平方米，窗戶面積為平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的平方米，住宅的采光條件變好了，即有

2。是正數，不等式 可以推出，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

3。電阻串并聯。電阻值為、的電阻，串聯電阻為，并聯電阻為，串聯電阻變大，并聯電阻變小，因此有不等式，即

說明 許多數學結論是由實際問題抽象為數學問題后，通過數學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數學結論還原為實際解釋也是一種數學運用，值得大家關注。

第三篇：高中數學教案

高中數學教案

高中數學教案1

1.教學目標

(1)知識目標: 1.在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程;

2.會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據條件寫出圓的方程.

(2)能力目標: 1.進一步培養學生用解析法研究幾何問題的能力;

2.使學生加深對數形結合思想和待定系數法的理解;

3.增強學生用數學的意識.

(3)情感目標:培養學生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數學美的過程中激發學生的學習興趣.

2.教學重點.難點

(1)教學重點:圓的標準方程的求法及其應用.

(2)教學難點:會根據不同的已知條件,利用待定系數法求圓的標準方程以及選擇恰

當的坐標系解決與圓有關的實際問題.

3.教學過程

(一)創設情境(啟迪思維)

問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛入這個隧道?

[引導] 畫圖建系

[學生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進行提示性復習)

解:以某一截面半圓的圓心為坐標原點,半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)

將x=2.7代入,得 .

即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛入這個隧道。

(二)深入探究(獲得新知)

問題二:1.根據問題一的探究能不能得到圓心在原點,半徑為 的圓的方程?

答:x2 y2=r2

2.如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢?

[學生活動] 探究圓的方程。

[教師預設] 方法一:坐標法

如圖,設m(x,y)是圓上任意一點,根據定義點m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}

由兩點間的距離公式,點m適合的條件可表示為 ①

把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

方法二:圖形變換法

方法三:向量平移法

(三)應用舉例(鞏固提高)

i.直接應用(內化新知)

問題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習1)

(1)圓心在原點,半徑為3;

(2)圓心在 ,半徑為 ;

(3)經過點 ,圓心在點 .

2.根據圓的方程寫出圓心和半徑

(1) ; (2) .

ii.靈活應用(提升能力)

問題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程.

[教師引導]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓.

2.已知圓的方程為 ,求過圓上一點 的切線方程.

[學生活動]探究方法

[教師預設]

方法一:待定系數法(利用幾何關系求斜率-垂直)

方法二:待定系數法(利用代數關系求斜率-聯立方程)

方法三:軌跡法(利用勾股定理列關系式) [多媒體課件演示]

方法四:軌跡法(利用向量垂直列關系式)

3.你能歸納出具有一般性的結論嗎?

已知圓的方程是 ,經過圓上一點 的切線的方程是: .

iii.實際應用(回歸自然)

問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱 的長度(精確到0.01m).

[多媒體課件演示創設實際問題情境]

(四)反饋訓練(形成方法)

問題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程.

2.已知點a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程.

3.求圓x2 y2=13過點(-2,3)的切線方程.

4.已知圓的方程為 ,求過點 的切線方程.

高中數學教案2

教學目標

(1)了解算法的含義，體會算法思想。

(2)會用自然語言和數學語言描述簡單具體問題的算法;

(3)學習有條理地、清晰地表達解決問題的步驟，培養邏輯思維能力與表達能力。

教學重難點

重點：算法的含義、解二元一次方程組的算法設計。

難點：把自然語言轉化為算法語言。

情境導入

電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手，他百發百中，最難打的位置對他來說也是輕而易舉，是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手、作為一名狙擊手，要想成功地完成一次狙擊任務，一般要按步驟完成以下幾步：

第一步：觀察、等待目標出現(用望遠鏡或瞄準鏡);

第二步：瞄準目標;

第三步：計算(或估測)風速、距離、空氣濕度、空氣密度;

第四步：根據第三步的結果修正彈著點;

第五步：開槍;

第六步：迅速轉移(或隱蔽)

以上這種完成狙擊任務的方法、步驟在數學上我們叫算法。

課堂探究

預習提升

1、定義：算法可以理解為由基本運算及規定的運算順序所構成的完整的解題步驟，或者看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題。

2、描述方式

自然語言、數學語言、形式語言(算法語言)、框圖。

3、算法的要求

(1)寫出的算法，必須能解決一類問題，且能重復使用;

(2)算法過程要能一步一步執行，每一步執行的操作，必須確切，不能含混不清，而且經過有限步后能得出結果。

4、算法的特征

(1)有限性：一個算法應包括有限的操作步驟，能在執行有窮的操作步驟之后結束。

(2)確定性：算法的計算規則及相應的計算步驟必須是唯一確定的。

(3)可行性：算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內完成的基本操作，并能得到確定的結果。

(4)順序性：算法從初始步驟開始，分為若干個明確的步驟，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后續，且除了最后一步外，每一個步驟只有一個確定的后續。

(5)不唯一性：解決同一問題的算法可以是不唯一的

課堂典例講練

命題方向1對算法意義的理解

例1、下列敘述中，

①植樹需要運苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;

②按順序進行下列運算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;

③從青島乘動車到濟南，再從濟南乘飛機到倫敦觀看奧運會開幕式;

④3x>x+1;

⑤求所有能被3整除的正數，即3，6，9，12。

能稱為算法的個數為()

A、2

B、3

C、4

D、5

【解析】根據算法的含義和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④，3x>x+1不是一個明確的步驟，不符合明確性;⑤的步驟是無窮的，與算法的有限性矛盾。

【答案】B

[規律總結]

1、正確理解算法的概念及其特點是解決問題的關鍵、

2、針對判斷語句是否是算法的問題，要看它的步驟是否是明確的和有效的，而且能在有限步驟之內解決這一問題、

【變式訓練】下列對算法的理解不正確的是________

①一個算法應包含有限的步驟，而不能是無限的

②算法可以理解為由基本運算及規定的運算順序構成的完整的解題步驟

③算法中的每一步都應當有效地執行，并得到確定的結果

④一個問題只能設計出一個算法

【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;

由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;

由算法的每一步都是確定的，且每一步都應有確定的結果故③正確;

由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確。

【答案】④

命題方向2解方程(組)的算法

例2、給出求解方程組的一個算法。

[思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質的差別，為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現，我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組，再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組、

[規范解答]方法一：算法如下：

第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11

即方程組可化為

第二步，解方程③，可得y=-1，④

第三步，將④代入①，可得2x-1=7，x=4

第四步，輸出4，-1

方法二：算法如下：

第一步，由①式可以得到y=7-2x，⑤

第二步，把y=7-2x代入②，得x=4

第三步，把x=4代入⑤，得y=-1

第四步，輸出4，-1

[規律總結]1、本題用了2種方法求解，對于問題的求解過程，我們既要強調對“通法、通解”的理解，又要強調對所學知識的靈活運用。

2、設計算法時，經常遇到解方程(組)的問題，一般是按照數學上解方程(組)的方法進行設計，但應注意全面考慮方程解的情況，即先確定方程(組)是否有解，有解時有幾個解，然后根據求解步驟設計算法步驟。

【變式訓練】

【解】算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③

S2，解③得x=;

S3，②-①×2得5y=3;④

S4，解④得y=;

命題方向3篩選問題的算法設計

例3、設計一個算法，對任意3個整數a、b、c，求出其中的最小值、

[思路分析]比較a，b比較m與c―→最小數

[規范解答]算法步驟如下：

1、比較a與b的大小，若a

2、比較m與c的大小，若m

[規律總結]求最小(大)數就是從中篩選出最小(大)的一個，篩選過程中的每一步都是比較兩個數的大小，保證了篩選的可行性，這種方法可以推廣到從多個不同數中篩選出滿足要求的一個。

【變式訓練】在下列數字序列中，寫出搜索89的算法：

21,3,0,9,15,72,89,91,93

[解析]1、先找到序列中的第一個數m，m=21;

2、將m與89比較，是否相等，如果相等，則搜索到89;

3、如果m與89不相等，則往下執行;

4、繼續將序列中的其他數賦給m，重復第2步，直到搜索到89。

命題方向4非數值性問題的算法

例4、一個人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數量不少于羚羊的數量，狼就會吃掉羚羊。

(1)設計安全渡河的算法;

(2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?

高中數學教案3

教學目標：

1。通過生活中優化問題的學習，體會導數在解決實際問題中的作用，促進

學生全面認識數學的科學價值、應用價值和文化價值。

2。通過實際問題的研究，促進學生分析問題、解決問題以及數學建模能力的提高。

教學重點：

如何建立實際問題的目標函數是教學的重點與難點。

教學過程：

一、問題情境

問題1把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長寬各為多少時面積最大？

問題2把長為100cm的鐵絲分成兩段，各圍成正方形，怎樣分法，能使兩個正方形面積之各最小？

問題3做一個容積為256L的方底無蓋水箱，它的高為多少時材料最?。?/p>

二、新課引入

導數在實際生活中有著廣泛的應用，利用導數求最值的方法，可以求出實際生活中的某些最值問題。

1。幾何方面的應用（面積和體積等的最值）。

2。物理方面的應用（功和功率等最值）。

3。經濟學方面的應用（利潤方面最值）。

三、知識建構

例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？

說明1解應用題一般有四個要點步驟：設——列——解——答。

說明2用導數法求函數的最值，與求函數極值方法類似，加一步與幾個極

值及端點值比較即可。

例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應怎樣選取，才

能使所用的材料最??？

變式當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應怎樣選取，才能使所用材料最省？

說明1這種在定義域內僅有一個極值的函數稱單峰函數。

說明2用導數法求單峰函數最值，可以對一般的求法加以簡化，其步驟為：

S1列：列出函數關系式。

S2求：求函數的導數。

S3述：說明函數在定義域內僅有一個極大（小）值，從而斷定為函數的最大（小）值，必要時作答。

例3在如圖所示的電路中，已知電源的內阻為，電動勢為。外電阻為

多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

說明求最值要注意驗證等號成立的條件，也就是說取得這樣的值時對應的自變量必須有解。

例4強度分別為a，b的兩個光源A，B，它們間的距離為d，試問：在連接這兩個光源的線段AB上，何處照度最??？試就a＝8，b＝1，d＝3時回答上述問題（照度與光的強度成正比，與光源的距離的平方成反比）。

例5在經濟學中，生產單位產品的成本稱為成本函數，記為；出售單位產品的收益稱為收益函數，記為；稱為利潤函數，記為。

（1）設，生產多少單位產品時，邊際成本最低？

（2）設，產品的單價，怎樣的定價可使利潤最大？

四、課堂練習

1。將正數a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應分成____和___。

2。在半徑為R的圓內，作內接等腰三角形，當底邊上高為 時，它的面積最大。

3。有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起做成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形邊長應為多少？

4。一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l＝AB＋BC＋CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b。

五、回顧反思

（1）解有關函數最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關系，找出適當的函數關系式，并確定函數的定義區間；所得結果要符合問題的實際意義。

（2）根據問題的實際意義來判斷函數最值時，如果函數在此區間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較。

（3）相當多有關最值的實際問題用導數方法解決較簡單。

六、課外作業

課本第38頁第1，2，3，4題。

高中數學教案4

教學目標：

1．了解復數的幾何意義，會用復平面內的點和向量來表示復數；了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．

2．通過建立復平面上的點與復數的一一對應關系，自主探索復數加減法的幾何意義．

教學重點：

復數的幾何意義，復數加減法的幾何意義．

教學難點：

復數加減法的幾何意義．

教學過程：

一 、問題情境

我們知道，實數與數軸上的點是一一對應的，實數可以用數軸上的點來表示．那么，復數是否也能用點來表示呢？

二、學生活動

問題1 任何一個復數a＋bi都可以由一個有序實數對（a，b）惟一確定，而有序實數對（a，b）與平面直角坐標系中的點是一一對應的，那么我們怎樣用平面上的點來表示復數呢？

問題2平面直角坐標系中的點A與以原點O為起點，A為終點的向量是一一對應的，那么復數能用平面向量表示嗎？

問題3 任何一個實數都有絕對值，它表示數軸上與這個實數對應的點到原點的距離．任何一個向量都有模，它表示向量的長度，那么相應的，我們可以給出復數的模（絕對值）的概念嗎？它又有什么幾何意義呢？

問題4 復數可以用復平面的向量來表示，那么，復數的加減法有什么幾何意義呢？它能像向量加減法一樣，用作圖的方法得到嗎？兩個復數差的模有什么幾何意義？

三、建構數學

1．復數的幾何意義：在平面直角坐標系中，以復數a＋bi的實部a為橫坐標，虛部b為縱坐標就確定了點Z（a，b），我們可以用點Z（a，b）來表示復數a＋bi，這就是復數的幾何意義．

2．復平面：建立了直角坐標系來表示復數的平面．其中x軸為實軸，y軸為虛軸．實軸上的點都表示實數，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數．

3．因為復平面上的點Z（a，b）與以原點O為起點、Z為終點的向量一一對應，所以我們也可以用向量來表示復數z＝a＋bi，這也是復數的幾何意義．

6．復數加減法的幾何意義可由向量加減法的平行四邊形法則得到，兩個復數差的模就是復平面內與這兩個復數對應的兩點間的距離．同時，復數加減法的法則與平面向量加減法的坐標形式也是完全一致的．

四、數學應用

例1 在復平面內，分別用點和向量表示下列復數4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．

練習課本P123練習第3，4題（口答）．

思考

1．復平面內，表示一對共軛虛數的兩個點具有怎樣的位置關系？

2．如果復平面內表示兩個虛數的點關于原點對稱，那么它們的實部和虛部分別滿足什么關系？

3．“a＝0”是“復數a＋bi（a，b∈R）是純虛數”的__________條件．

4．“a＝0”是“復數a＋bi（a，b∈R）所對應的點在虛軸上”的_____條件．

例2 已知復數z＝（m2＋m－6）＋（m2＋m－2）i在復平面內所對應的點位于第二象限，求實數m允許的取值范圍．

例3 已知復數z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，試比較它們模的大小．

思考 任意兩個復數都可以比較大小嗎？

例4 設z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．

變式：課本P124習題3．3第6題．

五、要點歸納與方法小結

本節課學習了以下內容：

1．復數的幾何意義．

2．復數加減法的幾何意義．

3．數形結合的思想方法．

高中數學教案5

一、教學目標：

掌握向量的概念、坐標表示、運算性質，做到融會貫通，能應用向量的有關性質解決諸如平面幾何、解析幾何等的問題。

二、教學重點：

向量的性質及相關知識的綜合應用。

三、教學過程：

（一）主要知識：

1、掌握向量的概念、坐標表示、運算性質，做到融會貫通，能應用向量的有關性質解決諸如平面幾何、解析幾何等的問題。

（二）例題分析：略

四、小結：

1、進一步熟練有關向量的運算和證明；能運用解三角形的知識解決有關應用問題，

2、滲透數學建模的思想，切實培養分析和解決問題的能力。

五、作業：

略

高中數學教案6

一、自我介紹

我姓x，是你們的數學老師，因為是數學老師所以在自我介紹的時候喜歡給出自己的數字特征，也是希望通過這些方式能拓寬與大家交流的平臺，希望能與大家在課堂中相識，在生活中相知，不僅能成為你們知識的傳授者，方法的指引者，更希望成為你們情感上的依賴者。

二、相信大家對于高中學習都充滿著好奇，和初中相比，高中課程與初中課程有很大的不同。今天這節課我們不急于上新課，我想和大家聊一聊數學，一起來思考為什么要學習數學及如何學好數學這兩個問題。

(一)為什么要學習數學

相信高一的第一節課是各位科任老師各顯神通的時候，通過各種有趣的方式來突出每門課的重要性，作為數學老師我表達上不如文科老師迂回婉轉和風趣幽默，我們更喜歡用數字說明問題。大家知道北大最的院系是什么系嗎?早在蔡元培先生任北大校長時，就列數學系為北大第一系，這種傳統一直保持到現在。為什么數學系在高校中有如此重要的地位?課本主編寄語是這樣描述的：數學是有用的，數學有助于提高能力。

數學家華羅庚在《人民日報》精彩描述了數學在“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”等方面無處不有重要貢獻。

問題1：大家知道海王星是怎么發現的，冥王星又是怎么被請出十大行星行列的?

海王星的發現是在數學計算過程中發現的，天文望遠鏡的觀測只是驗證了人們的推論。

18，法國人布瓦德在計算天王星的運動軌道時，發現理論計算值同觀測資料發生了一系列誤差。這使許多天文學家紛紛致力這個問題的研究，進而發現天王星的脫軌與一個未知的引力的存在相關。也就是說有一個未知的天體作用于天王星。1846年9月23日。柏林天文臺收到來自法國巴黎的一封快信。發信人就是勒威耶。信中，勒威耶預告了一顆以往沒有發現的新星：在摩羯座8星東約5度的地方，有一顆8等小星，每天退行69角秒。當夜，柏林天文臺的加勒把巨大的天文望遠鏡對準摩羯座，果真在那里發現了一顆新的8等星。又過了-天，再次找到了這顆8等星，它的位置比前一天后退了70角秒。這與勒威耶預告的相差甚微。全世界都震動了。人們依照勒威耶的建議，按天文學慣例，用神話里的名字把這顆星命名為“海王星”。

1930年美國天文學家湯博發現冥王星，當時錯估了冥王星的質量，以為冥王星比地球還大，所以命名為大行星。然而，經過近30年的進一步觀測和計算，發現它的直徑只有2300公里，比月球還要小，等到冥王星的大小被確認，“冥王星是大行星”早已被寫入教科書，以后也就將錯就錯了。經過多年的爭論，國際天文學聯合會通過投票表決做出最終決定，取消冥王星的行星資格。8月24日據國際天文學聯合會宣布，冥王星將被排除在行星行列之外，從而太陽系行星的數量將由九顆減為八顆。事實上，位居太陽系九大行星末席70多年的冥王星，自發現之日起地位就備受爭議。

馬克思說：“一種科學只有在成功運用數學時，才算達到了真正完善的地步。”正因為數學是日常生活和進一步學習必不可少的基礎和工具，一切科學到了最后都歸結為數學問題。

其實在我們的周圍有很多事情都是可以用數學可以來解決的，無非很多人都沒有用數學的眼光來看待。

問題2：徒認為上帝是萬能的。你們認為呢?如何來證明你的結論呢?(讓同學發言)

我的觀點：上帝不是萬能的。為什么呢?仔細聽我講來。

證明：(反證法)假如上帝是萬能的

那么他能夠制作出一塊無論什么力量都搬不動的石頭

根據假設，既然上帝是萬能的，那么他一定能夠搬的動他自己制造的那石頭

這與“無論什么力量都搬不動的石頭”相矛盾

所以假設不成立

所以上帝不是萬能的。問題3：抓鬮對個人來說公平嗎?5張票中有一張獎票，那么先抽還是后抽對個人還說公平嗎?

當然，我們學習的數學只是數學學科體系中很基礎，很小的一部分?，F在課本上學的未必能直接應用于生活，主要是為以后學習更高層次的理科打好基礎，同時，也為了掌握一些數學的思考方法以及分析問題解決問題的思維方式。哲學家培根說過：“讀詩使人靈秀，讀歷史使人明智，學邏輯使人周密，學哲學使人善辯，學數學使人聰明…”，也有人形象地稱數學是思維的體操。下面我們通過具體的例子來體驗一下某些數學思想方法和思維方式。

故事一：據說國際象棋是古印度的一位宰相發明的。國王很欣賞他的這項發明，問他的宰相要什么賞賜。聰明的宰相說，“我所要的從一粒谷子(沒錯，是1粒，不是1兩或1斤)開始。在這個有64格的棋盤上，第一格里放1粒谷子，第二格里放2粒，第三格里放4粒，即每下一格粒數加倍，……如此下去，一直放滿到棋盤上的64格。這就是我所要的賞賜?！眹跤X得宰相要的實在不多，就叫人按宰相的要求賞賜。但后來發現即使把全國所有的谷子抬來也遠遠不夠。

人們通常憑借自己掌握的數學知識耍些小聰明，使問題妙不可言。

數學游戲：兩人相繼輪流往長方形桌子上放同樣大小的硬幣，硬幣一定要平放在桌面上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，放最后一顆的硬幣的人算贏。應該先放還是后放才有必勝的把握。

數學思想：退到最簡單、最特殊的`地方。

故事二：聰明的渡邊：20世紀40年代末，手寫工具突破性進展-圓珠筆問世，它以價廉、方便、書寫流利在社會上廣泛流傳，但寫到20萬字時就會因圓珠磨小而漏油，影響了銷售。工程師們從圓珠質量入手，從改進油墨性能入手進行改良，但收效甚微。于是廠家打出廣告：解決此問題獲獎金50萬元。當時山地制筆廠的青年工人渡邊看到女兒把圓珠筆用到快漏油時就德育不用這一現象中受到啟發，很好地解決了這一問題，你認為他會怎么做呢?

渡邊的成功之處就在于思維角度新，從問題的側面輕巧取勝。也正體現了數學學習中經常用到的發散式思維。在數學學習中，既要有集中式思維又要有發散式思維。集中式思維是一種常用思維渠道，即為對問題的歸納，聯系思維方式，表現為對解題方法的模仿和繼承;而發散式思維即對問題開拓、創新，表現為對問題舉一反三，觸類旁通。在解決具體問題中，我們應該將兩種思維方式相結合。

學數學有利于培養人的思維品質：結構意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、優化意識、反思意識，盡管數學在培養學生的這些思維品質方面和其他學科存在著交集，但數學在其中的地位是無法被代替的?？傊?，學習數學可以使人思考問題更合乎邏輯，更有條理，更嚴密精確，更深入簡潔，更善于創造……

(二)如何學好數學

高中數學的內容多，抽象性、理論性強，高中很注重自學能力的培養的，高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你，在高中一定要注重自學能力的培養，誰的自學能力強，那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將來你發展的前途。同時要注意以下幾點：

第一：對數學學科特點有清楚的認識

主編寄語里是這樣描述數學的特征的：數學是自然的。數學的概念、方法、思想都是人類長期實踐中自然發展形成的，以數域的發展為例，從自然數到有理數到實數再到復數，都是由自然的認知沖突引起的。因此，在學習過程中我們有必要了解知識產生的背景，它的形成過程以及它的應用，讓數學顯得合情合理，渾然天成。數學中沒有含糊不清的詞，對錯分明，凡事都要講個為什么，只要按照數學規則去學去想就能融會貫通，但是如果不把來龍去脈想清楚而是“想當然”的話，那就學不下去了。

第二：要改變一個觀念。

有人會說自己的基礎不好。那我問下什么是基礎?今天所學的知識就是明天的基礎。明天學習的知識就是后天的基礎。所以要學好每一天的內容，那么你打的基礎就是最扎實的了。所以現在你們是在同一個起跑線上的，無所謂基礎好不好。過去的幾年里我分別帶過五十一中和一中的學生，兩邊學生的課堂感覺差不多，應該說接受能力不相上下，有的時候我會選擇在五十一中開公開課，因為課堂氣氛活躍、輕松，但是成績差異卻是很大，原因在于我們同學外課自主時間的投入太少，學習習慣不太好。

第三：學數學要摸索自己的學習方法

學習、掌握并能靈活應用數學的途徑有千萬條，每個人都可以有與眾不同的數學學習方法。做習題、用數學解決各種問題是必需的，理解、學會證明、領會思想、掌握方法也是必需的。此外，還要發揮問題的作用，學會提問，熱心幫助別人解決問題，用自己的問題和別人的問題帶動自己的學習。同時，注意前后知識的銜接，類比地學、聯系地學，既要從概念中看到它的具體背景，又要在具體的例子中想到它蘊含的一般概念。

第四：養成良好的學習習慣(與一中學生相比較)

㈠課前預習。怎樣預習呢?就是自己在上課之前把內容先看一邊，把自己不懂的地方做個記號或者打個問號，以至于上課的時候重點聽，這樣才能夠很快提高自己的水平。但是預習不是很隨便的把課本看一邊，預習有個目標，那就是通過預習可以把書本后面的練習題可以自己獨立的完成。一中的同學預習就已經有好幾個層次了，先是課本，再是精編，再是高考題典，上課對于他們來說是第一輪高考復習。

㈡上課認真聽講。上課的時候準備課本，一只筆，一本草稿。做不做筆記你們自己決定，不過我不大提倡數學課做筆記的。不過有一點，有些知識點比較重要，課本上又沒有的，我要求你們把它寫在課本上的相應的空白地方。還有如果你覺得某個例題比較新或者比較重要，也可以把它記在書本的相應位置上，這樣以后復習起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢?課堂上你可以自己演算還有做課堂練習。

㈢關于作業。絕對不允許有抄作業的情況發生。如果我發現有誰抄作業，那么既然他這樣喜歡抄，我就要你把當天的作業多抄幾遍給我。那有人會問，碰到不會做的題目怎么辦?有兩個辦法：一、向同學請教，請教做題目的思路，而不是整個過程和答案。同學之間也要相互幫助，如果你讓他抄襲你的作業這樣不是幫助他而是害他，這個道理大家應該明白吧。我非常提倡同學之間的相互討論問題的，這樣才能夠相互促進提高。二、向老師請教，要養成多想多問的習慣。我的辦公室在二樓二號，歡迎大家前來交流

㈣準備一本筆記本，作為自己的問題集。把平時自己不懂的和不大理解的還有易錯的記錄下來，并且要及時的消化，不懂的地方問老師。這是一個很好的辦法，到考試的時候就可以有重點、有針對性的自己復習了。我高中的時候就是采用這樣的方法把數學成績提高。

好的開始是成功的一半，新的學期開始了，請大家調整好自己的思想，找到學習的原動力。播種一種思想，收獲一種行為;播種一種行為，收獲一種習慣;播種一種習慣，收獲一種性格;播種一種性格，收獲一種命運。愿每位同學都有個好的開始。

高中數學教案7

教學目標：

1、理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念；

2、理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法；

3、理解切線概念實際背景，培養學生解決實際問題的能力和培養學生轉化

問題的能力及數形結合思想。

教學重點：

理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。

教學難點：

用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。

教學過程：

一、問題情境

1、問題情境。

如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？

如果將點P附近的曲線放大，那么就會發現，曲線在點P附近看上去有點像是直線。

如果將點P附近的曲線再放大，那么就會發現，曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上，如果繼續放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的直線，該直線是經過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。

因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點P附近，曲線可以看出直線（即在很小的范圍內以直代曲）。

2、探究活動。

如圖所示，直線l1，l2為經過曲線上一點P的兩條直線，

（1）試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線；

（2）在點P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的直線l3嗎？

（3）在點P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？

二、建構數學

切線定義： 如圖，設Q為曲線C上不同于P的一點，直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。

思考：如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？

三、數學運用

例1 試求在點（2，4）處的切線斜率。

解法一 分析：設P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），

則割線PQ的斜率為：

當Q沿曲線逼近點P時，割線PQ逼近點P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；

當Q點橫坐標無限趨近于P點橫坐標時，即xQ無限趨近于2時，kPQ無限趨近于常數4。

從而曲線f（x）＝x2在點（2，4）處的切線斜率為4。

解法二 設P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為：

當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數4，從而曲線f（x）＝x2，在點（2，4）處的切線斜率為4。

練習試求在x＝1處的切線斜率。

解：設P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為：

當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。

小結 求曲線上一點處的切線斜率的一般步驟：

（1）找到定點P的坐標，設出動點Q的坐標；

（2）求出割線PQ的斜率；

（3）當時，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。

思考 如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？

解 設

所以，當無限趨近于0時，無限趨近于點處的切線的斜率。

變式訓練

1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；

2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；

3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。

課堂練習

已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。

四、回顧小結

1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線，則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映（局部以直代曲）。

2、根據定義，利用割線逼近切線的方法， 可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。

五、課外作業

高中數學教案8

一.教材分析：

集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現代數學的一個重要的基礎，一方面，許多重要的數學分支，都建立在集合理論的基礎上。另一方面，集合論及其所反映的數學思想，在越來越廣泛的領域種得到應用。

二.目標分析：

教學重點.難點

重點：集合的含義與表示方法.

難點：表示法的恰當選擇.

教學目標

l.知識與技能

(1)通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系;

(2)知道常用數集及其專用記號; (3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性;

(4)會用集合語言表示有關數學對象;

2.過程與方法

(1)讓學生經歷從集合實例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.

(2)讓學生歸納整理本節所學知識.

3.情感.態度與價值觀

使學生感受到學習集合的必要性，增強學習的積極性.

三.教法分析

1.教學方法：學生通過閱讀教材，自主學習.思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節課的教學目標.2.教學手段：在教學中使用投影儀來輔助教學.

四.過程分析

(一)創設情景，揭示課題

1.教師首先提出問題：(1)介紹自己的家庭、原來就讀的學校、現在的班級。

(2)問題：像“家庭”、“學校”、“班級”等，有什么共同特征?

引導學生互相交流.與此同時，教師對學生的活動給予評價.

2.活動：(1)列舉生活中的集合的例子;(2)分析、概括各實例的共同特征

由此引出這節要學的內容。

設計意圖:既激發了學生濃厚的學習興趣，又為新知作好鋪墊

(二)研探新知，建構概念

1.教師利用多媒體設備向學生投影出下面7個實例：

(1)1—20以內的所有質數;(2)我國古代的四大發明;

(3)所有的安理會常任理事國; (4)所有的正方形;

(5)海南省在20xx年9月之前建成的所有立交橋;

(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點;

(7)國興中學20xx年9月入學的高一學生的全體.

2.教師組織學生分組討論：這7個實例的共同特征是什么?

3.每個小組選出——位同學發表本組的討論結果，在此基礎上，師生共同概括出7個實例的特征，并給出集合的含義.一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.

4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，?表示，元素常用小寫字母a,b,c,d?表示.

設計意圖:通過實例讓學生感受集合的概念，激發學習的興趣，培養學生樂于求索的精神

(三)質疑答辯，發展思維

1.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，思考：集合中元素有什么特點?并注意個別輔導，解答學生疑難.使學生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.

2.教師組織引導學生思考以下問題：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

(1)大于3小于11的偶數;(2)我國的小河流.讓學生充分發表自己的建解.

3.讓學生自己舉出一些能夠構成集合的例子以及不能構成集合的例子，并說明理由.教師對學生的學習活動給予及時的評價.

4.教師提出問題，讓學生思考

b是(1)如果用A表示高—(3)班全體學生組成的集合，用a表示高一(3)班的一位同學，

高一(4)班的一位同學，那么a,b與集合A分別有什么關系?由此引導學生得出元素與集合的關系有兩種：屬于和不屬于.

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a?A.

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.

(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關系分別是什么?請用數學符號分別表示.

(3)讓學生完成教材第6頁練習第1題.

5.教師引導學生回憶數集擴充過程，然后閱讀教材中的相交內容，寫出常用數集的記號.并讓學生完成習題1.1A組第1題.

6.教師引導學生閱讀教材中的相關內容，并思考.討論下列問題：

(1)要表示一個集合共有幾種方式?

(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自的特點?適用的對象是什么?

(3)如何根據問題選擇適當的集合表示法?

使學生弄清楚三種表示方式的優缺點和體會它們存在的必要性和適用對象。

設計意圖:明確集合元素的三大特性，使學生弄清楚三種表示方式的優缺點，從而突破難點。

(四)鞏固深化，反饋矯正

教師投影學習：

(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9}; (2)用例舉法表示集合A?{x?N|1?x?8}

(3)試選擇適當的方法表示下列集合：教材第6頁練習第2題.

設計意圖:使學生及時鞏固所學新知，體會三種表示方式存在的必要性和適用對象

(五)歸納小結，布置作業

小結：在師生互動中，讓學生了解或體會下例問題：

1.本節課我們學習了哪些知識內容? 2.你認為學習集合有什么意義?

3.選擇集合的表示法時應注意些什么?

設計意圖:通過回顧，對概念的發生與發展過程有清晰的認識，回顧集合元素的三大特性及集合的三種表示方式。

作業：1.課后書面作業：第13頁習題1.1A組第4題.

2.元素與集合的關系有多少種?如何表示?類似地集合與集合間的關系又有多少種

呢?如何表示?請同學們通過預習教材.

五.板書分析

高中數學教案9

各位評委、各位專家，大家好！今天，我說課的內容是人民教育出版社全日制普通高級中學教科書(必修)《數學》第一章第五節“一元二次不等式解法”。

下面從教材分析、教學目標分析、教學重難點分析、教法與學法、課堂設計、效果評價六方面進行說課。

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發展，又是本章集合知識的運用與鞏固，也為下一章函數的定義域和值域教學作鋪墊，起著鏈條的作用。同時，這部分內容較好地反映了方程、不等式、函數知識的內在聯系和相互轉化，蘊含著歸納、轉化、數形結合等豐富的數學思想方法，能較好地培養學生的觀察能力、概括能力、探究能力及創新意識。

（二）教學內容

本節內容分2課時學習。本課時通過二次函數的圖象探索一元二次不等式的解集。通過復習“三個一次”的關系，即一次函數與一元一次方程、一元一次不等式的關系；以舊帶新尋找“三個二次”的關系，即二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的關系；采用“畫、看、說、用”的思維模式，得出一元二次不等式的解集，品味數學中的和諧美，體驗成功的樂趣。

二、教學目標分析

根據教學大綱的要求、本節教材的特點和高一學生的認知規律，本節課的教學目標確定為：

知識目標——理解“三個二次”的關系；掌握看圖象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

能力目標——通過看圖象找解集，培養學生“從形到數”的轉化能力，“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概括能力。

情感目標——創設問題情景，激發學生觀察、分析、探求的學習激情、強化學生參與意識及主體作用。

三、重難點分析

一元二次不等式是高中數學中最基本的不等式之一，是解決許多數學問題的重要工具。本節課的重點確定為：一元二次不等式的解法。

要把握這個重點。關鍵在于理解并掌握利用二次函數的圖象確定一元二次不等式解集的方法——圖象法，其本質就是要能利用數形結合的思想方法認識方程的解，不等式的解集與函數圖象上對應點的橫坐標的內在聯系。由于初中沒有專門研究過這類問題，高一學生比較陌生，要真正掌握有一定的難度。因此，本節課的難點確定為：“三個二次”的關系。要突破這個難點，讓學生歸納“三個一次”的關系作鋪墊。

四、教法與學法分析

（一）學法指導

教學矛盾的主要方面是學生的學。學是中心，會學是目的。因此在教學中要不斷指導學生學會學習。本節課主要是教給學生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤鉆研”的研討式學習方法，這樣做增加了學生自主參與，合作交流的機會，教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方法，使學生真正成了教學的主體；只有這樣做，才能使學生“學”有新“思”，“思”有新“得”，“練”有新“獲”，學生也才會逐步感受到數學的美，會產生一種成功感，從而提高學生學習數學的興趣；也只有這樣做，課堂教學才富有時代特色，才能適應素質教育下培養“創新型”人才的需要。

（二）教法分析

本節課設計的指導思想是：現代認知心理學——建構主義學習理論。

建構主義學習理論認為：應把學習看成是學生主動的建構活動，學生應與一定的知識背景即情景相聯系，在實際情景下進行學習，可以使學生利用已有知識與經驗同化和索引出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情景中。

本節課采用“誘思引探教學法”。把問題作為出發點，指導學生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式的解法。

五、課堂設計

本節課的教學設計充分體現以學生發展為本，培養學生的觀察、概括和探究能力，遵循學生的認知規律，體現理論聯系實際、循序漸進和因材施教的教學原則，通過問題情境的創設，激發興趣，使學生在問題解決的探索過程中，由學會走向會學，由被動答題走向主動探究。

（一）創設情景，引出“三個一次”的關系

本節課開始，先讓學生解一元二次方程x2-x-6=0，如果我把“=”改成“”則變成一元二次不等式x2-x-60讓學生解，學生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問開始”，這樣直奔主題，目的在于構造懸念，激活學生的思維興趣。

為此，我設計了以下幾個問題：

1、請同學們解以下方程和不等式：

①2x-7=0；②2x-70；③2x-70

學生回答，我板書。

2、我指出：2x-70和2x-70的解實際上只需利用不等式基本性質就容易得到。

3、接著我提出：我們能否利用不等式的基本性質來解一元二次不等式呢？學生可能感到很困惑。

4、為此，我引入一次函數y=2x-7，借助動畫從圖象上直觀認識方程和不等式的解，得出以下三組重要關系：

①2x-7=0的解恰是函數y=2x-7的圖象與x軸

交點的橫坐標。

②2x-70的解集正是函數y=2x-7的圖象

在x軸的上方的點的橫坐標的集合。

③2x-70的解集正是函數y=2x-7的圖象

在x軸的下方的點的橫坐標的集合。

三組關系的得出，實際上讓學生找到了利用“一次函數的圖象”來解一元一次方程和一元一次不等式的方法。讓學生看到了解決一元二次不等式的希望，大大激發了學生解決新問題的興趣。此時，學生很自然聯想到利用函數y=x2-x-6的圖象來求不等式x2-x-60的解集。

（二）比舊悟新，引出“三個二次”的關系

為此我引導學生作出函數y=x2-x-6的圖象，按照“看一看 說一說 問一問”的思路進行探究。

看函數y=x2-x-6的圖象并說出：

①方程x2-x-6=0的解是

x=-2或x=3 ；

②不等式x2-x-60的解集是

{x|x-2,或x3}；

③不等式x2-x-60的解集是

{x|-23}。

此時，學生已經沖出了困惑，找到了利用二次函數的圖象來解一元二次不等式的方法。

學生沉浸在成功的喜悅中,不妨趁熱打鐵問一問:如果把函數y=x2-x-6變為y=ax2+bx+c(a0)，那么圖象與x軸的位置關系又怎樣呢？(學生回答：△0時，圖象與x軸有兩個交點；△=0時，圖象與x軸只有一個交點；△0時，圖象與x輛沒有交點。)請同學們討論：ax2+bx+c0與ax2+bx+c0的解集與函數y=ax2+bx+c的圖象有怎樣的關系？

（三）歸納提煉，得出“三個二次”的關系

1、引導學生根據圖象與x軸的相對位置關系，寫出相關不等式的解集。

2、此時提出：若a0時，怎樣求解不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0？(經討論之后，有的學生得出：將二次項系數由負化正，轉化為上述模式求解，教師應予以強調；也有的學生提出畫出相應的二次函數圖象，根據圖象寫出解集，教師應給予肯定。)

（四）應用新知，熟練掌握一元二次不等式的解集

借助二次函數的圖象，得到一元二次不等式的解集，學生形成了感性認識，為鞏固所學知識，我們一起來完成以下例題：

例1、解不等式2x2－3x－20

解：因為Δ0，方程2x2－3x－2=0的解是

x1= ，x2=2

所以，不等式的解集是

{ x| x ，或x2}

例1的解決達到了兩個目的：一是鞏固了一元二次不等式解集的應用；二是規范了一元二次不等式的解題格式。

下面我們接著學習課本例2。

例2 解不等式－3x2+6x2

課本例2的出現恰當好處，一方面突出了“對于二次項系數是負數(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次項系數化為正數，再求解”；另一方面，學生對此例的解答極易出現寫錯解集(如出現“或”與“且”的錯誤)。

通過例1、例2的解決，學生與我一起總結了解一元二次不等式的一般步驟：一化正—二算△—三求根—四寫解集。

例3 解不等式4x2－4x+10

例4 解不等式－x2+2x－30

分別突出了“△=0”、“△0”對不等式解集的影響。這兩例由學生練習，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予熱情表揚。

4道例題，具有典型性、層次性和學生的可接受性。為了避免學生學后“一團亂麻”、“一盤散沙”的局面,我和學生一起總結。

（五）總結

解一元二次不等式的“四部曲”：

(1)把二次項的系數化為正數

(2)計算判別式Δ

(3)解對應的一元二次方程

(4)根據一元二次方程的根，結合圖像(或口訣)，寫出不等式的解集。概括為：一化正→二算Δ→三求根→四寫解集

（六）作業布置

為了使所有學生鞏固所學知識，我布置了“必做題”；又為學有余力者留有自由發展的空間，我布置了“探究題”。

（1）必做題：習題1.5的1、3題

（2）探究題：①若a、b不同時為零，記ax2+bx+c=0的解集為P，ax2+bx+c0的解集為M，ax2+bx+c0的解集為N，那么P∪M∪N=______________；②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R，求實數k的取值范圍。

（七）板書設計

一元二次不等式解法（1）

五、教學效果評價

本節課立足課本，著力挖掘，設計合理，層次分明。以“三個一次關系→三個二次關系→一元二次不等式解法”為主線，以“從形到數，從具體到抽象，從特殊到一般”為靈魂，以“畫、看、說、用”為特色，把握重點，突破難點。在教學思想上既注重知識形成過程的教學，還特別突出學生學習方法的指導，探究能力的訓練，創新精神的培養，引導學生發現數學的美，體驗求知的樂趣。

高中數學教案10

教學目標

1．了解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．

（1）明確映射是特殊的對應即由集合 ，集合 和對應法則f三者構成的一個整體，知道映射的特殊之處在于必須是多對一和一對一的對應；

（2）能準確使用數學符號表示映射， 把握映射與一一映射的區別；

（3）會求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法．

2．在概念形成過程中，培養學生的觀察，比較和歸納的能力．

3．通過映射概念的學習，逐步提高學生對知識的探究能力．

教學建議

教材分析

（1）知識結構

映射是一種特殊的對應，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數也是特殊的映射，它們之間的關系可以通過下圖表示出來，如圖：

由此我們可從集合的包含關系中幫助我們把握相關概念間的區別與聯系．

（2）重點，難點分析

本節的教學重點和難點是映射和一一映射概念的形成與認識．

①映射的概念是比較抽象的概念，它是在初中所學對應的基礎上發展而來．教學中應特別強調對應集合 B中的唯一這點要求的理解；

映射是學生在初中所學的對應的基礎上學習的，對應本身就是由三部分構成的整體，包括集 合A和集合B及對應法則f，由于法則的不同，對應可分為一對一，多對一，一對多和多對多． 其中只有一對一和多對一的能構成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應，所以滿足一對一和多對一的對應就能體現出“任一對唯一”．

②而一一映射又在映射的基礎上增加新的要求，決定了它在學習中是比較困難的．

教法建議

（1）在映射概念引入時，可先從學生熟悉的對應入手， 選擇一些具體的生活例子，然后再舉一些數學例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學生認真觀察，比較，再引導學生發現其中一對一和多對一的對應是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學生的認識從感性認識到理性認識．

（2）在剛開始學習映射時，為了能讓學生看清映射的構成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用語言描述，這樣的表示方法讓學生可以比較直觀的認識映射，而后再選擇用抽象的數學符號表示映射，比如：

（3）對于學生層次較高的學?？梢栽诮o出定義后讓學生根據自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學生從中發現映射的特點，并用自己的語言描述出來，最后教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對于學生層次較低的學校，則可以由教師給出一些例子讓學生觀察，教師引導學生發現映射的特點，一起概括．最后再讓學生舉例，并逐步增加要求向一一映射靠攏，引出一一映射概念．

（4）關于求象和原象的問題，應在計算的過程中總結方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過方程組解的不同情況(有唯一解，無解或有無數解)加深對映射的認識．

（5）在教學方法上可以采用啟發，討論的形式，讓學生在實例中去觀察，比較，啟發學生尋找共性，共同討論映射的特點，共同舉例，計算，最后進行小結，教師要起到點撥和深化的作用．

教學設計方案

2.1映射

教學目標(1)了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．

(2)在概念形成過程中，培養學生的觀察，分析對比，歸納的能力．

(3)通過映射概念的學習，逐步提高學生的探究能力．

教學重點難點：:映射概念的形成與認識．

教學用具：實物投影儀

教學方法：啟發討論式

教學過程：

一、引入

在初中，我們已經初步探討了函數的定義并研究了幾類簡單的常見函數．在高中，將利用前面集合有關知識，利用映射的觀點給出函數的定義．那么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細的概念．

二、新課

在前一章集合的初步知識中，我們學習了元素與集合及集合與集合之間的關系，而映射是重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應關系．這要先從我們熟悉的對應說起(用投影儀打出一些對應關系，共6個)

我們今天要研究的是一類特殊的對應，特殊在什么地方呢?

提問1：在這些對應中有哪些是讓A中元素就對應B中唯一一個元素?

讓學生仔細觀察后由學生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細說明理由進行討論．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合條件的(用投影儀將這幾個集中在一起)

提問2：能用自己的語言描述一下這幾個對應的共性嗎？

經過師生共同推敲，將映射的定義引出．(主體內容由學生完成，教師做必要的補充)

高中數學教案11

（一）教學具準備

直尺，投影儀．

（二）教學目標

1．掌握，的定義域、值域、最值、單調區間．

2．會求含有、的三角式的定義域．

（三）教學過程

1．設置情境

研究函數就是要討論一些性質，，是函數，我們當然也要探討它的一些屬性．本節課，我們就來研究正弦函數、余弦函數的最基本的兩條性質．

2．探索研究

師：同學們回想一下，研究一個函數常要研究它的哪些性質？

生：定義域、值域，單調性、奇偶性、等等．

師：很好，今天我們就來探索，兩條最基本的性質定義域、值域．（板書課題正、余弦函數的定義域、值域．）

師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像．

師：請同學思考以下幾個問題：

（1）正弦、余弦函數的定義域是什么？

（2）正弦、余弦函數的值域是什么？

（3）他們最值情況如何？

（4）他們的正負值區間如何分？

（5）的解集如何？

師生一起歸納得出：

（1）正弦函數、余弦函數的定義域都是．

（2）正弦函數、余弦函數的值域都是即，，稱為正弦函數、余弦函數的有界性．

（3）取最大值、最小值情況：

正弦函數，當時，函數值取最大值1，當時，（）函數值取最小值－1．

余弦函數，當，（）時，函數值取最大值1，當，（）時，函數值取最小值－1．

（4）正負值區間：

（）

（5）零點：（）

（）

3．例題分析

【例1】求下列函數的定義域、值域：

（1）；（2）；（3）．

解：（1），

（2）由（）

又∵，∴

∴定義域為（），值域為．

（3）由（），又由

∴

∴定義域為（），值域為．

指出：求值域應注意用到或有界性的條件．

【例2】求下列函數的最大值，并求出最大值時的集合：

（1），；（2），；

（3）（4）．

解：（1）當，即（）時，取得最大值

∴函數的最大值為2，取最大值時的集合為．

（2）當時，即（）時，取得最大值．

∴函數的最大值為1，取最大值時的集合為．

（3）若，，此時函數為常數函數．

若時，∴時，即（）時，函數取最大值，

∴時函數的最大值為，取最大值時的集合為．

（4）若，則當時，函數取得最大值．

若，則，此時函數為常數函數．

若，當時，函數取得最大值．

∴當時，函數取得最大值，取得最大值時的集合為；當時，函數取得最大值，取得最大值時的集合為，當時，函數無最大值．

指出：對于含參數的最大值或最小值問題，要對或的系數進行討論．

思考：此例若改為求最小值，結果如何？

【例3】要使下列各式有意義應滿足什么條件？

（1）；（2）．

解：（1）由，

∴當時，式子有意義．

（2）由，即

∴當時，式子有意義．

4．演練反饋（投影）

（1）函數，的簡圖是（）

（2）函數的最大值和最小值分別為（）

A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4

（3）函數的最小值是（）

A．B．－2 C．D．

（4）如果與同時有意義，則的取值范圍應為（）

A．B．C．D．或

（5）與都是增函數的區間是（）

A．，B．，

C．，D．，

（6）函數的定義域________，值域________，時的集合為_________．

參考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D

6．；；

5．總結提煉

（1），的定義域均為．

（2）、的值域都是

（3）有界性：

（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無限集．

（5）正負敬意及零點，從圖上一目了然．

（6）單調區間也可以從圖上看出．

（四）板書設計

1．定義域

2．值域

3．最值

4．正負區間

5．零點

例1

例2

例3

課堂練習

課后思考題：求函數的最大值和最小值及取最值時的集合

提示：

高中數學教案12

=

=425a0b0=425.

點評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負指數冪的定義把負指數化成正指數，另一個方法是采用分式的基本性質把負指數化成正指數。

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+2-3-2+2=0.

點評：考慮根號里面的數是一個完全平方數，千萬注意方根的性質的運用。

例3已知，n∈正整數集，求(x+1+x2)n的值。

活動：學生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應先化簡，然后再求值，要有預見性，與具有對稱性，它們的積是常數1，為我們解題提供了思路，教師引導學生考慮問題的思路，必要時給予提示。

= 。

這時應看到1+x2=，

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。

解：將代入1+x2，得1+x2=，

所以(x+1+x2)n=

=

= =5.

點評：運用整體思想和完全平方公式是解決本題的關鍵，要深刻理解這種做法。

知能訓練

課本習題2.1A組3.

利用投影儀投射下列補充練習：

1、化簡：的結果是（）

A. B.

C. D.

解析：根據本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數的規律性，我們可以進行適當的變形。

因為，所以原式的分子分母同乘以。

依次類推，所以。

答案：A

2、計算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3、計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。

解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。

本題可以繼續向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習。

4、設a>0，，則(x+1+x2)n的值為__________.

解析：1+x2= 。

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，

將代入1+x2，得1+x2= 。

所以(x+1+x2)n=

= =a.

答案：a

拓展提升

參照我們說明無理數指數冪的意義的過程，請你說明無理數指數冪的意義。

活動：教師引導學生回顧無理數指數冪的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結果。

解：3=1.732 050 80…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表。

3的過剩近似值

的過剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585

1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183

1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342

1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849

1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2

1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923

1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838

1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045

… … … …

我們把用2作底數，3的不足近似值作指數的各個冪排成從小到大的一列數

21.7,21.72,21.731,21.731 9，…，

同樣把用2作底數，3的過剩近似值作指數的各個冪排成從大到小的一列數：

21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數的冪2α會越來越趨近于同一個數，我們把這個數記為，

即21.7<21.73<21.731<21.731 9<…< <…<21.732 1<21.733<21.74<21.8.

也就是說是一個實數，=3.321 997 …也可以這樣解釋：

當3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時，23的近似值從大于的方向逼近；

當3的不足近似值從小于3的方向逼近3時，23的近似值從小于的方向逼近。

所以就是一串有理指數冪21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指數冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述規律變化的結果，即≈3.321 997.

課堂小結

（1）無理指數冪的意義。

一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。

（2）實數指數冪的運算性質：

對任意的實數r，s，均有下面的運算性質：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

（3）逼近的思想，體會無限接近的含義。

作業

課本習題2.1 B組2.

設計感想

無理數指數是指數概念的又一次擴充，教學中要讓學生通過多媒體的演示，理解無理數指數冪的意義，教學中也可以讓學生自己通過實際情況去探索，自己得出結論，加深對概念的理解，本堂課內容較為抽象，又不能進行推理，只能通過多媒體的教學手段，讓學生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習，提高學生理解問題、分析問題的能力。

備課資料

【備用習題】

1、以下各式中成立且結果為最簡根式的是（）

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

C.a2bb3aab3=8a7b15

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2、對于a>0，r，s∈Q，以下運算中正確的是（）

A.ar?as=ars B.(ar)s=ars

C.abr=ar?bs D.arbs=(ab)r+s

答案：B

3、式子x-2x-1=x-2x-1成立當且僅當（）

A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2

解析：方法一：

要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.

若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立。

故選D.

方法二：

對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立。

對B，x-1<0時式子不成立。

對C，x<1時x-1無意義。

對D正確。

答案：D

4、化簡b-(2b-1)(1

解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1

5、計算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5，

兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1.

∴32+5+32-5=1.

高中數學教案13

教學目的：掌握圓的標準方程，并能解決與之有關的問題

教學重點：圓的標準方程及有關運用

教學難點：標準方程的靈活運用

教學過程：

一、導入新課，探究標準方程

二、掌握知識，鞏固練習

練習：⒈說出下列圓的方程

⑴圓心（3，-2）半徑為5⑵圓心（0，3）半徑為3

⒉指出下列圓的圓心和半徑

⑴（x-2）2+(y+3)2=3

⑵x2+y2=2

⑶x2+y2-6x+4y+12=0

⒊判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關系

⒋圓心為（1，3），并與3x-4y-7=0相切，求這個圓的方程

三、引伸提高，講解例題

例1、圓心在y=-2x上，過p(2，-1)且與x-y=1相切求圓的方程（突出待定系數的數學方法）

練習：1、某圓過(-2，1)、(2，3)，圓心在x軸上，求其方程。

2、某圓過A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圓的方程。

例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。

例3、點M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求過M的圓的切線方程(一題多解，訓練思維)

四、小結練習P771，2，3，4

五、作業P811，2，3，4

高中數學教案14

1.1．1 任意角

教學目標

（一） 知識與技能目標

理解任意角的概念(包括正角、負角、零角) 與區間角的概念.

（二） 過程與能力目標

會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合；掌握區間角的集合的書寫．

（三） 情感與態度目標

1． 提高學生的推理能力；

2．培養學生應用意識． 教學重點

任意角概念的理解；區間角的集合的書寫． 教學難點

終邊相同角的集合的表示；區間角的集合的書寫．

教學過程

一、引入：

1．回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．

二、新課：

1．角的有關概念：

①角的定義：

角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形．

②角的名稱：

③角的分類： A

正角：按逆時針方向旋轉形成的角 零角：射線沒有任何旋轉形成的角

負角：按順時針方向旋轉形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”；

⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；

⑶角的概念經過推廣后，已包括正角、負角和零角．

⑤練習：請說出角α、β、γ各是多少度?

2．象限角的概念：

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．

例1．在直角坐標系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角．

⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角．

3．探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角α終邊相同的角，連同α在內，可構成一個集合S＝{ β | β = α +

k·360° ，

k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個周角的和． 注意： ⑴ k∈Z

⑵ α是任一角；

⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差

360°的整數倍；

⑷ 角α + k·720°與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角．

例2．在0°到360°范圍內，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．

⑴－120°；

⑵640°；

⑶－950°12’．

答：⑴240°,第三象限角；

⑵280°,第四象限角；

⑶129°48’,第二象限角；

例4．寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．

例5．寫出終邊在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素β寫出來．

4．課堂小結

①角的定義；

②角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉形成的角 零角：射線沒有任何旋轉形成的角

負角：按順時針方向旋轉形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法．

5．課后作業：

①閱讀教材P2-P5；

②教材P5練習第1-5題；

③教材P.9習題1.1第1、2、3題 思考題：已知α角是第三象限角，則2α，

解：??角屬于第三象限，

? k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)

因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)

故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角． 又k·180°+90°＜

各是第幾象限角？

＜k·180°+135°(k∈Z) ．

＜n·360°+135°(n∈Z) ，

當k為偶數時，令k=2n(n∈Z)，則n·360°+90°＜此時，

屬于第二象限角

＜n·360°+315°(n∈Z) ，

當k為奇數時，令k=2n+1 (n∈Z)，則n·360°+270°＜此時，

屬于第四象限角

因此

屬于第二或第四象限角．

1.1.2弧度制

（一）

教學目標

（二） 知識與技能目標

理解弧度的意義；了解角的集合與實數集R之間的可建立起一一對應的關系；熟記特殊角的弧度數．

（三） 過程與能力目標

能正確地進行弧度與角度之間的換算，能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，并能運用公式解決一些實際問題

（四） 情感與態度目標

通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進，培養學生求異創新的精神；通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美． 教學重點

弧度的概念．弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明． 教學難點

“角度制”與“弧度制”的區別與聯系．

教學過程

一、復習角度制：

初中所學的角度制是怎樣規定角的度量的? 規定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制．

二、新課：

1．引 入：

由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進制的,運用起來不太方便.在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？

2．定 義

我們規定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實際運算中，常常將rad單位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圓心角?所對應的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關嗎？

（2）引導學生完成P6的探究并歸納： 弧度制的性質：

①半圓所對的圓心角為

②整圓所對的圓心角為

③正角的弧度數是一個正數．

④負角的弧度數是一個負數．

⑤零角的弧度數是零．

⑥角α的弧度數的絕對值|α|= .

4．角度與弧度之間的轉換：

①將角度化為弧度：

②將弧度化為角度：

5．常規寫法：

① 用弧度數表示角時,常常把弧度數寫成多少π 的形式, 不必寫成小數．

② 弧度與角度不能混用．

弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數)的絕對值與半徑的積．

例1．把67°30’化成弧度．

例2．把? rad化成度．

例3．計算：

(1)sin4

(2)tan1.5．

8．課后作業：

①閱讀教材P6 –P8；

②教材P9練習第1、2、3、6題；

③教材P10面7、8題及B2、3題．

高中數學教案15

三維目標：

1、知識與技能：正確理解隨機抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機數表法的一般步驟;

2、過程與方法：

(1)能夠從現實生活或其他學科中提出具有一定價值的統計問題;

(2)在解決統計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣的方法從總體中抽取樣本。

3、情感態度與價值觀：通過對現實生活和其他學科中統計問題的提出，體會數學知識與現實世界及各學科知識之間的聯系，認識數學的重要性。

4、重點與難點：正確理解簡單隨機抽樣的概念，掌握抽簽法及隨機數法的步驟，并能靈活應用相關知識從總體中抽取樣本。

教學方法：

講練結合法

教學用具：

多媒體

課時安排：

1課時

教學過程：

一、問題情境

假設你作為一名食品衛生工作人員，要對某食品店內的一批小包裝餅干進行衛生達標檢驗，你準備怎樣做?顯然，你只能從中抽取一定數量的餅干作為檢驗的樣本。(為什么?)那么，應當怎樣獲取樣本呢?

二、探究新知

1、統計的有關概念：總體：在統計學中,所有考察對象的全體叫做總體、個體：每一個考察的對象叫做個體、樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本、樣本容量：樣本中個體的數目叫做樣本的容量、統計的基本思想：用樣本去估計總體、

2、簡單隨機抽樣的概念一般地，設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機樣本。

下列抽樣的方式是否屬于簡單隨機抽樣?為什么?

(1)從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本。

(2)箱子里共有100個零件，從中選出10個零件進行質量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進行質量檢驗后，再把它放回箱子。

(3)從8臺電腦中，不放回地隨機抽取2臺進行質量檢查(假設8臺電腦已編好號，對編號隨機抽取)

3、常用的簡單隨機抽樣方法有：

(1)抽簽法的定義。一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本。

思考?你認為抽簽法有什么優點和缺點：當總體中的個體數很多時，用抽簽法方便嗎?例1、若已知高一(6)班總共有57人，現要抽取8位同學出來做游戲，請設計一個抽取的方法，要使得每位同學被抽到的機會相等。

分析：可以把57位同學的學號分別寫在大小，質地都相同的紙片上，折疊或揉成小球，把紙片集中在一起并充分攪拌后，在從中個抽出8張紙片，再選出紙片上的學號對應的同學即可、基本步驟：第一步：將總體的所有N個個體從1至N編號;第二步：準備N個號簽分別標上這些編號，將號簽放在容器中攪拌均勻后每次抽取一個號簽，不放回地連續取n次;第三步：將取出的n個號簽上的號碼所對應的n個個體作為樣本。

(2)隨機數法的定義：利用隨機數表、隨機數骰子或計算機產生的隨機數進行抽樣，叫隨機數表法，這里僅介紹隨機數表法。怎樣利用隨機數表產生樣本呢?下面通過例子來說明，假設我們要考察某公司生產的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現從800袋牛奶中抽取60袋進行檢驗，利用隨機數表抽取樣本時，可以按照下面的步驟進行。第一步，先將800袋牛奶編號，可以編為000，001，799。

第二步，在隨機數表中任選一個數，例如選出第8行第7列的數7(為了便于說明，下面摘取了附表1的第6行至第10行)。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，從選定的數7開始向右讀(讀數的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一個三位數785，由于785<799，說明號碼785在總體內，將它取出;

繼續向右讀，得到916，由于916>799，將它去掉，按照這種方法繼續向右讀，又取出567，199，507，依次下去，直到樣本的60個號碼全部取出，這樣我們就得到一個容量為60的樣本。

三、課堂練習

四、課堂小結

1、簡單隨機抽樣的概念一般地，設一個總體的個體數為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣。

2、簡單隨機抽樣的方法：抽簽法隨機數表法

五、課后作業

P57練習1、2

六、板書設計

1、統計的有關概念

2、簡單隨機抽樣的概念

3、常用的簡單隨機抽樣方法有：(1)抽簽法(2)隨機數表法

4、課堂練習

第四篇：高中數學教案全集

高中數學教案全集

第三章教案090801

戴亨釗

張青春

一、考綱要求： 1.事件與概率

（1）了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區別。

（2）了解兩個互斥事件的概率加法公式。2.古典概型

（1）理解古典概型及其概率計算公式。

（2）會計算一些隨機事件所包含的基本事件數及事件發生的概率。3.隨機數與幾何概型

（1）了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率。（2）了解幾何概型的意義。

二、命題趨勢

由于概率統計知識與實際生活密切相關，預計在以后的高考題中將越來越受重視，除以傳統的選擇題，填空題出現外，解答題也會出現。在實際應用于求概率等問題，主要考查學生的動手能力，分析能力及對基礎知識的運用能力。

高考中本章試題難度不大，但考試遇到新題時大多數同學覺得很困難，所以，平時應該把常見的各種題型都練習到，各種類型的解法都掌握住，考試時以不變應萬變。

（1）以中低難度為主，在復習中主要以基礎知識的內容為主，不應做偏題，難題。（2）把古典概型和幾何概型作為復習的重點。

（3）應注意培養自身利用概率知識對實際問題進行分析的能力。

三、基礎知識，點式突破 知識點1 隨機現象（1）隨機現象 ① 必然現象：在一定條件下必然發生的現象。如“地球每天繞太陽轉動”為必然現象。② 隨機現象：在一定條件下多次觀察同一現象，每次觀察到的結果不一定相同。如“某射擊運動員每一次射擊命中的環數”為隨機現象。

（2）實驗及實驗結果

為了探索隨機現象的規律性，需要對隨機現象進行觀察，我們把觀察隨機現象或為了某種目的而進行的實驗統稱為實驗。把觀察結果或實驗結果稱為實驗結果。

（3）隨機試驗

條件每實現一次，叫做進行一次實驗，如果實驗結果事先無法確定，并且可以重復進行，這種實驗就叫做隨機實驗。如“從盛有3個排球，2個足球的框子里任取一球，取得排球的事件中，取出一球（不管是排球還是足球）就是一次實驗。若把5個球全部取出，則做了5次試驗。

知識點2

事件與基本事件空間

（1）必然事件：我們把在條件S下，一定會發的事件，叫做相對于條件S的必然事件。簡稱必然事件。

比如，“導體通電時發熱”，“拋一石塊，下落”等都是必然事件。

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫做相對于條S的不可能事件，簡稱不可能事件。必然“在標準大氣壓下溫度低于0冰融化”，在常溫常壓下，鐵融化“等都是不可能事件。

（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件，簡稱確定事件。（4）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件的隨機事件，簡稱隨機事件。比如：“李強射擊一次，不中靶”，“擲一枚銀幣出現反面”都是隨機事件。

注意：要搞清楚隨機現象和隨機事件之間的關系。隨機現象是隨機事件產生的原因，隨機事件是隨機現象的可能結果，是隨機現象的反映。

（5）事件及其表示方法：確定事件和隨機事件稱為事件，一般用大寫字母A,B,C表示。（6）基本事件：在試驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用他們來表示，這樣的事件稱為基本事件。

（7）基本事件空間：所有基本事件構成的集合稱為基本事件空間，基本事件空間常用?表示 知識點3 頻率與概率 1.頻率與概率

（1）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例fn(A)=率

（2）概率及其記法：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。

（3）頻率與概率的區別與聯系 ① 頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定。做同樣次數的重復試驗得到事件的頻率會不同。

② 概率是一個確定的數，與每次試驗無關。是用來度量事件發生可能性大小的量。③ 頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率。2隨機事件的概率P(A)的范圍

對于任何事件的概率的范圍是：0≤P（A）≤1 其中不可能事件的概率是P（A）=0，必然事件的概率是P（A）=1 不可能事件與必然事件是一般事件的特殊情況 知識點4 概率的加法公式（1）互斥事件 ① 定義：不可能同時發生的兩個事件即事件A發生，事件B不發生；事件B發生，事件A不發生叫做互斥事件（或稱不相容事件）

② 從集合角度看，記事件A為集合A，事件B為集合B,若事件A與事件B是互斥事件，則集合A與集合B 交集為空集。

③ 推廣：如果事件A1,A2，An中任何兩個都互斥，就稱事件A1,A2，An彼此互斥。從集合角度看n個事件彼此互斥是指各個事件所含結果的集合彼此互斥，（2）對立事件 ① 定義：不能同時發生且必有一個發生的兩個事件叫做互為對立事件，事件A的對立事件記作

nA為事件A出現的概nA

② 從集合的角度看，A和A所含結果組成的集合是全集中互為補集的兩個集合，這時A和

?????A的交集是不可能事件，A和A的并集是必然事件，即A?A= ?, A?A??

（3）互斥事件與對立事件的區別與聯系 ① 兩個對立事件一定是互斥事件，反之兩個互斥事件不一定是對立事件。② 兩個事件對立是兩個事件互斥的充分非必要條件 ③ 兩個事件互斥是兩個事件對立的必要非充分條件。（4）事件的并（或和）① 定義：由事件A和B至少有一個發生（即A發生或B發生或A,B都發生，稱為事件A與B的并（或和）記作C?A?B

② 事件A與事件B的并集等于事件B與事件A的并集，即A?B=B?A ③ 并事件有三層含義：事件A發生，事件B不發生；事件B發生，事件A不發生；事件A與事件B都發生。

④ 事件A與B的并集A?B可推廣如下：“A1?A2???An”表示這樣一個事件：在同一實驗中：A1,A2,?,An中至少有一個發生，即表示A1?A2???An發生。

（5）互斥事件的概率加法公式 ?

如果事件A,B互斥，那么A?B發生（即A，B中至少有一個發生）的概率等于事件A,B分別發生的概率的和，即P（A?B）=P(A)+P(B)

① 一般地，如果事件A1,A2,?,An兩兩互斥（彼此互斥）那么時事件“A1?A2???An”發生（是指A1,A2,?,An至少有一個發生）的概率，等于這n個事件發生的概率和，即P(A1?A2???An)=P(A1)?P(A2)??P(An)

② 對立事件的概率公式

若事件A與B互為對立事件，則A?B為必然事件，所以P（A?B）=1，又 P（A?B）=P(A)+P(B)，所以P(A)=1-P(B)[說明] a.公式使用的前提必須是對立事件，否則不能使用此公式。

b.當一事件的概率不易直接求，但其對立事件的概率易求時，可運用此公式，即使用間接法求概率。

（6）概率的一般加法公式 ①交（積）事件

若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B交事件(或稱積事件)，記作A?B(或AB)a.用集合形式表示；

b.事件A與事件B的交事件等于事件B與事件A的交事件，即A?B=B?A ②概率的一般加法公式

設A,B是?的兩個事件，則P(A?B)?P(A)?P(A)?P(A?B)知識點5

古典概型 1.基本事件及其特點（1）基本事件的定義

實驗結果是有限個，且每個事件都是隨機事件的事件，稱為基本事件。

注意： ①基本事件是實驗中不能再分的最簡單的隨機事件，其他事件可以用他們來表示；

②所以的基本事件都有有限個； ③每個基本事件的發生都是等可能的

（2）基本事件的特點 ① 任何兩個基本事件是互斥的 ② 任何事件都可以表示成基本事件的和 2.古典概型（1）古典概型的定義

我們把具有：①實驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現的可能性相等。以上兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型。

（2）古典概型是一種特殊的概率模型，其特征是： ① 有限性，在一次試驗中，可能出現的結果只有有限個，即只有有限個不同的基本條件。② 等可能性，每個基本事件發生的可能性是均等的 [說明]

一個實驗是否為古典概型，在于這個實驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性。并不是所有的實驗都是古典概型。

（3）古典概率模型的概率求法

如果一次實驗中的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發生的概率都是如果某個事件A包含了其中的m個等可能的基本事件，那么事件A發生的概率為P(A)=

1，nm n知識點6

幾何概型（1）幾何概型的概念

事件A理解為區域?的某一子區域A，A的概率只與子區域A的幾何度量（長度，面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無關。滿足以上條件的實驗稱為幾何概型。

注意：①古典概型適用于所有實驗結果是有限個且結果是等可能出現的情況，而幾何概型則適用于實驗結果是無窮多的情形。

③ 幾何概型的特征：每個實驗結果有無限多個，且全體結果可以用一個有度量的幾何區域來表示；每次試驗結果的各種結果是等可能的

（2）幾何概型的概率計算公式

在幾何概型中，事件A的概率定義為：P(A)=

?A??，其中??表示區域?的幾何度量，?A表示子區域A的幾何度量。

（3）古典概型與幾何概型的區別

古典概型與幾何概型要求基本事件發生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求事件有無限多個。

四

例題分析

【例題1 】

（1）單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A、B、C、D四個選項中選擇一個正確答案，如果考生掌握了考查內容，他可以選擇唯一正確的答案，假設考生不會做，他隨機選擇一個答案，問他答對的概率是多少？

（2）國家安全機關監聽錄音機記錄了兩個間諜的談話，發現30min長的磁帶上，從開始30s處起，有10s長的一段內容含兩間諜犯罪的信息，后來發現，這段談話的一部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵，使從此處起往后的所有內容都被擦掉了，那么由于按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？

【分析】（1）中考生隨機地選擇一個答案是指選擇A、B、C、D的可能性是相等的，且實驗的可能結果只有4；選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，基本事件共有4，是有限個，故該實驗是古典概型，基本事件個數為4個，答對只有一種結果，即m=1,n=4，可利用古典概率公式

m，求出事件的n概率。

（2）中工作人員在0min到30min之間的時間段內任一時刻按錯鍵的可能性是相等的，且按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內容結束的時間長度有關，故該實驗是幾何概型。工作人員在0s-30s內任一時刻按錯鍵，則含有犯罪內容的談話會被全部擦掉，若在30s-40s內任一時刻按錯鍵，則含有犯罪內容的談話被部分擦掉，所以所求事件占的長度為40s，即2?min，而整個長度為30min，可利用幾何概型的概率公式P(A)= A，求得事件的概率。3??答對所包含的基本事件的個數1==0.25； 44【解析】（1）有古典概型的概率計算公式得： P(答對)=（2）設事件A“按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉”，事件A發生就是在0min到

2min32?時間段內按錯鍵，所以?A=min，??=30min，P(A)= A=

3??23= 1

45301 45【答】（1）考生答對的概率為0.25；(2)按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率為【例題2】（1）向假設的三個相鄰的軍火庫投擲一顆炸彈，炸中第一個軍火庫的概率為0.025，炸中其余兩個軍火庫的概率為0.1，只要炸中其中一個，另外兩個也要發生爆炸，求軍火庫發生爆炸的概率。

（2）甲乙兩人各射擊一次，命中率各為0.8和0.5，兩人同時命中的概率為0.4，求甲乙兩人至少有一人命中的概率。

【分析】（1）中投擲的一顆炸彈，只要炸中了其中的一個軍火庫，其余也要發生爆炸，所以“軍火庫發生爆炸”這一事件，就是炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件之和，且它們彼此互斥，由于是三個彼此互斥事件的并的概率，可利用公P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)求得（2）中至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中這兩事件的并事件，但“甲命中”和“乙命中”可能會同時發生不是互斥事件，由于是求兩個不互斥事件的概率，可利用一般的概率加法公式P(A?B)?P(A)?P(A)?P(A?B)求得

【解析】（1）設以A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件，于是

P（A）=0.025,P(B)=P(C)=0.1.設D表示軍火庫爆炸，則有D=A?B?C，由于A、B、C彼此互斥，?P(D)= P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225(2)設事件A為“甲命中”，事件B為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A?B，所以P(A?B)?P(A)?P(A)?P(A?B)=0.8+0.5-0.4=0.9 【答】（1）甲乙兩人至少有一人命中的概率0.225（2）甲乙兩人至少有一人命中的概率0.9 【例題3 】

同時拋擲兩個骰子（各個面上分別標有數1，2，3，4，5，6）求向上的數之積為偶數的概率。

【分析】

每擲一個骰子都有6種情況，同時擲兩個骰子總的結果數為n=6×6,由于每個結果出現的可能性都相等，所以是古典概型。關鍵是求“向上的數之積為偶數”這一事件所包含的結果數m，然后利用P(A)= m，即可求得概率，向上的數之積為偶數的情況比較多，可以先考慮其對立事件，n即向上的數之積為奇數，向上的數之積為奇數的基本事件有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9個，即m=9 【解析】基本事件空間?(x,y)1?x?6,1?y?6,x?N?,y?N??共包含36個基本事件，設“向上的數之積為偶數”為事件A，則A為“向上的數之積為奇數”，A=｛（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）｝共包含9個事件，根據古典概型的概

?1391?,由對立事件的性質知，1-P(A)=1-=

443643【答】向上的數之積為偶數的概率為

4??率公式可得P(A)??【小結】

在求等可能事件的概率時，一定要先根據事件的個數是否有限，判斷該試驗是古典概型還是幾何概型。①對于古典概型試驗概率的計算，關鍵是分清楚基本事件的個數n與事件A中包含的結果數m，有時需用列舉法把基本事件一一列舉出來，在利用公式P(A)=

m求出事件的概率，這是一n個比較直觀的好方法，但列舉時必須按某一順序做到不重復，不遺漏；②對于幾何概型試驗概率的計算，關鍵是求得事件A所占的區域和整個區域的幾何度量，然后代入公式即可求解。幾何概型常用來解決與長度、面積、體積有關的問題。③互斥事件的概率加法公式僅適用于彼此互斥的事件的和（并）事件的概率求解，因此在應用公式之前，應先判斷各個事件彼此是否互斥，若不互斥，則需要用一般概率加法公式。④利用對立事件概率公式解題

第五篇：高中數學教案14

第十四教時

教材： 蘇大《教學與測試》P13-16第七、第八課

目的： 通過教學復習含絕對值不等式與一元二次不等式的解法，逐步形成教熟練的技巧。過程：

一、復習：1.含絕對值不等式式的解法：（1）利用法則；

（2）討論，打開絕對值符號

2．一元二次不等式的解法：利用法則（圖形法）

二、處理蘇大《教學與測試》第七課 — 含絕對值的不等式

《課課練》P13 第10題：

設A=???(a?1)2(a?1)2??

?xx???B={x|2≤x≤3a+1}是否存在實數a的值，分別使得：(1)A

?22?∩B=A ?

解：∵?(a?1)2(a?1)2(a?1)2

2?x?2?2∴ 2a≤x≤a2+1

∴ A={x|2a≤x≤a2+1}

(1)若A∩B=A則A?B∴ 2≤2a≤a2+1≤3a+1? 1≤a≤3

(2)若A∪B=A則B?A

∴當B=?時 2>3a+1? a<

當B??時 2a≤2≤3a+1≤a2+1無解

∴ a<

三、處理《教學與測試》第八課 — 一元二次不等式的解法

《課課練》 P19 “例題推薦”3

關于x的不等式x2?kx?k

x2?x?3?3對一切實數x恒成立，求實數k的取值范圍。

解：∵ x2?x+3>0恒成立∴ 原不等式可轉化為不等式組：

???2x2??k?3?x?9?k?0

??k?3?x?9?k?0由題意上述兩不等式解集為實數

?4x2?

(2)A∪B=A

2??9?k?7???1??k?3??8?9?k??0?∴ ??5?4?k?7 ?25?4?k?5?4???????k?3?169?k?0??2

即為所求。

四、作業：《教學與測試》第七、第八課中余下部分。