第一篇：2012高中數學教案 1.1.2 余弦定理

課題:1．1．2余弦定理

授課類型：新授課

【教學目標】

1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。

【教學重、難點】

重點：余弦定理的發現和證明過程及其基本應用；

難點：勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用。

【教學過程】

[創設情景]C如圖1．1-4，在?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和?C，求邊

(圖1．1-4)

[探索研究]

聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發現因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A

?????????????????如圖1．1-5，設CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc

???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2????

從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)

同理可證a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a

2cosA?a2?c2?b2

cosB?b2?a2?c2

cosC?[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

【典例分析】

例1．在?ABC

中，已知a

?cB?600，求b及A

⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB

=2?2?2?cos450

=12?2?1)

=8

∴b?

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2?c2?a21⑵解法一：∵

cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵

sinA?sinB2.4?1.4?

3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評述：解法二應注意確定A的取值范圍。

【變式訓練1】

．在△ABC中，若(a?c)(a?c)?b(b?c)，則?A?

解： a?c?b?bc,b?c?a??bc,cosA??2222221,A?1200 2

例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形

（見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）

例3.例2.在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x?2x?2?0的兩根，2

2cos?A?B??1。

（1）求角C的度數；

（2）求AB的長；

（3）求△ABC的面積。

解：(1)cosC?cos[???A?B?]

2??cos?A?B???1?C?1200 2（2）因為a，b是方程x?23x?2?0的兩根，所以??a?b?2?ab?2

?AB2?b2?a2?2abcos1200 ??

a?b??ab?10?AB?（3）S?ABC?21 absinC?22

評析：在余弦定理的應用中，注意與一元二次方程中韋達定理的應用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點。

【變式訓練2】

在△ABC

中，A?1200,c?b,a?S?ABC?b,c。

解：S?ABC?

21bcsinA?bc?4, 222a?b?c?2bccosA,?b

所以b?1,c?

4【課堂演練】 ?c，而5c?b

1．邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

A．90B．120C．135D．1500000

52?82?721?,??600,1800?600?1200為所求 解： 設中間角為?，則cos??2?5?82

答案：B

2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形 D.銳角或鈍角三角形

解：長為6的邊所對角最大，設它為?，則cos??

?0????90?

答案：A

3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）A.16?25?361??0 2?4?58518B.373C.D.48

2解：設頂角為C，因為l?5c,∴a?b?2c，a2?b2?c24c2?4c2?c27?? 由余弦定理得：cosC?2ab2?2c?2c8

答案：D

4.在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若(a2?c2?b2)tanB?3ac，則角B的值為（）A.? 62 2 B.??5?C.或636 D.?2?或33(a2+c2?

b2)cosBcosB解：由(a?

c?b)tanB?3ac得即cosB== 2ac2sinB2sinB

?sinB=

答案：D?2?又B為△ABC的內角，所以B為或 3313，則最大角的余弦是（）14

1111A．?B．?C．?D．?5867

1222解： c?a?b?2abcosC?9,c?3，B為最大角，cosB?? 75．在△ABC中，若a?7,b?8,cosC?

答案：C

6.在?ABC中，bcosA?acosB，則三角形為（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解：由余弦定理可將原等式化為

b2?c2?a2a2?c2?b2

?a?b? 2bc2ac

即2b2?2a2，?a?b

答案：C

[課堂小結]

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

作業：第11頁[習題1.1]A組第3（1），4（1）題。

第二篇：1.1.2《余弦定理》新授課范文

投入時間重在理解加緊訓練探究方法收獲成功

高一年級數學導學案（必修五）

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第三篇：1.1.2余弦定理教學設計

人教版數學必修5§1.1.2余弦定理的教學設計

一、教學目標解析

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

3、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同方法，從而培養學生的發散思維。

4、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。

二、教學問題診斷分析

1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題： ①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；

②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。

2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

三、教學支持條件分析

為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果

按通常的運算規則，是近似值時用約等號。

四、教學過程設計

1、教學基本流程：

①從一道生活中的實際問題的解決引入問題，如何用已知的兩條邊及其所夾的角來表示第三條邊。

②余弦定理的證明：啟發學生從不同的角度得到余弦定理的證明，或引導學生自己探索獲得定理的證明。

③應用余弦定理解斜三角形。

2、教學情景：

①創設情境，提出問題

問題1：現有卷尺和測角儀兩種工具，請你設

計合理的方案，來測量學校生物島邊界上兩點的最

大距離（如圖1所示，圖中AB的長度）。

【設計意圖】：來源于生活中的問題能激發學

生的學習興趣，提高學習積極性。讓學生進一步體

會到數學來源于生活，數學服務于生活。

師生活動：教師可以采取小組合作的形式，讓學生設計方案嘗

試解決。

學生1—方案1：如果卷尺足夠長的話，可以在島對岸小路上取

C一點C（如圖2），用卷尺量出AC和BC的長，用

測角儀測出∠ACB的大小，那么△ABC的大小就

可以確定了。感覺似乎在△ABC中已知AC、BC的長及夾角C的大小，可以求AB的長了。

其他學生有異議，若卷尺沒有足夠長呢？

學生2—方案2：在島對岸可以取C、D 兩點

（如圖3），用卷尺量出CD的長，再用測角儀測出

圖中∠

1、∠

2、∠

3、∠4的大小。在△ACD中，已知∠ACD、∠ADC及CD，可以用正弦定理求AC，同理在△

BCD中，用正弦定理求出BC。那么在△ABC中，已知AC、BC及∠ACB，似乎可以求AB的長了。

教師：兩種方案歸根到底都是已知三角形兩邊及夾角，求第三邊的問題。能否也象正弦定理那樣，尋找它們之間的某種定量關系？

【設計意圖】給學生足夠的空間和展示的平臺，充分發揮學生的主體地位。②求異探新，證明定理

問題2：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b2。

【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

學生3：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。

在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;

在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;

c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?

2=a?b?2abcos(?1??2)

?a?b?2abcosC2222222222

AD圖

4學生4：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

則：c?AD?BD

22222?b?CD?(a?CD)

?a?b?2a?CD

?a?b?2abcosC22222A圖

5學生5：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c=（bsinC）+（a-bcosC）= a+b-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

教師總結：以上的證明都是把斜三角形轉化為兩個直角三角形，化一般為特殊，再利用勾股定理來證明。并且進一步指出以上的證明還不嚴密，還要分∠C為鈍角或直角時，同樣都可以得出以上結論，這也正是本節課的重點—余弦定理。

【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有2 22 2 22 22 2

2其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

學生6：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???22?（c）?（a?b）

?2?2???a?b?2a?b

?2?2?2??即c?a?b?2a?b?cosC

?c?a?b?2abcosC222A

圖6

教師：以上的證明避免了討論∠C是銳角、鈍角或直角，思路簡潔明了，過程簡單，體現了向量工具的作用。又向量可以用坐標表示，AB長度又可以聯系到平面內兩點間的距離公式，你會有什么啟發？

【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC =

b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB22?(acosC?b)?(asinC)

2222 ?a?b?2abcosC

【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空間的深度和廣度。

③運用定理，解決問題

讓學生觀察余弦定理及推論的構成形式，思考用余弦定理及推論可以解決那些類型的三角形問題。

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。

④小結

本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。

【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

⑤作業

第1題：用正弦定理證明余弦定理。

【設計意圖】：繼續要求學生擴寬思路，用正弦定理把余弦定理中的邊都轉化成角，然后利用三角公式進行推導證明。而這種把邊轉化為角、或把角轉化為邊的思想正是我們解決三角形問題中的一種非常重要的思想方法。

第2題：在△ABC

中，已知a?b?B?45?，求角A和C和邊c。

【設計意圖】：本題可以通過正弦定理和余弦定理來求解，讓學生體會兩種定理在解三角形問題上的利弊。運用正弦定理求角可能會漏解，運用余弦定理求角不會漏解，但是計算可能較繁瑣。

第四篇：(第一課時)1.1.2余弦定理

高二數學必修5導學案1.1.2 余弦定理(一)2012年8月10日

1.1.2余弦定理

（一）課前預習學案

一、預習目標：

1.了解向量知識應用，掌握余弦定理推導過程

2.在已有知識的基礎上，探究發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系—余弦定理。

二、預習內容：

1.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.形式一：

a2＝______，b2＝_____，c2＝______.形式二：

cosA＝_______，cosB＝_____，cosC＝_____.特別地：

在余弦定理中，令C＝90°，這時，cosC＝0，所以c2＝a2＋b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.課內探究學案

一、學習目標

1.掌握余弦定理的內容及余弦定理的證明方法； 2.掌握余弦定理，能初步運用余弦定理解一些斜三角形； 3.能夠運用余弦定理解決某些與測量和幾何有關的實際問題。

二、學習過程 ［例1］ 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝5，求A和sinB 的值。

變式訓練一：

1．在ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知A=?,a=3,b=1，則c=（）

(A)1(B)2(C)－1(D)3

2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形 D.銳角或鈍角三角形 3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）

A.5

B.3

C.3D.7

4．在△ABC中，若a?7,b?8,cosC?

14，則最大角的余弦是（）A．?1B．?1C．?1D．?15

678

［例2］已知△ABC中，a＝8，b＝7，B＝60°，求c及S△ABC.c= 3或

5變式訓練二：

在△ABC中，若a?7,b?3,c?8，請判斷三角形的形狀并求其面積6√3

【當堂檢測】

1．在?ABC中，已知b?3，c?3，B?30?，則a?___________．3或6

2.a=4,b=3,∠C=60°,求 c=.√13

3．在△ABC中，若(a?c)(a?c)?b(b?c)，則?A?1200

4．若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段能組成（）三角形。A.銳角B.鈍角C.直角D.等腰

課后練習與提高

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()

A2B4C7D 92、在△ABC中，若a=+1,b=3-1,c=,則△ABC的最大角的度數為（）

A 1200

B 900

C 60

D 15003、在△ABC中，a:b:c=1::2,則A：B：C=（）

A 1：2：3B 2：3：1C 1：3：2D 3：1：2

★

4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a2

5、三角形ABC的頂點為A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求cosA的值。2√365/3656、在△ABC中，若A=60o，AC=16，且此三角形的面積為2203，求邊BC的長。497、已知△ABC中，AB=4，AC=23，AD為BC邊上的中線，且∠BAD=30o

。求BC的長。2√21

A

C

第7題圖

B

反思：

第五篇：高中數學必修五1.1.2余弦定理

1．1．2余弦定理蘄春三中劉芳

1.1.2余弦定理

蘄春三中劉芳

（一）教學目標

1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一。

（二）教學重、難點

重點：余弦定理的發現和證明過程及其基本應用；

難點：勾股定理在余弦定理的發現和證明過程中的作用。

（三）學法與教學用具

學法：首先研究把已知兩邊及其夾角判定三角形全等的方法進行量化，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題，利用向量的數量積比較容易地證明了余弦定理。從而利用余弦定理的第二種形式由已知三角形的三邊確定三角形的角 教學用具：投影儀、計算器

（四）教學設想

[復習回顧]

1、正弦定理；abc???2RsinAsinBsinC2、可以解決兩類有關三角形的問題：

（1）已知兩角和任一邊。

（2）已知兩邊和一邊的對角。

[提出問題]

聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發現因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A ?????????????????如圖1．1-5，設CB?a，CA?b，AB?c，那么c?a?b，則bc

???????c?c?a?ba?b???????ab?b??2a??bCa??2a??2?a?b?2a?b?2????

從而c2?a2?b2?2abcosC(圖1．1-5)

同理可證a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

7的余弦的積的兩倍。即a2?b2?c2?2bccosA

b2?a2?c2?2accosB

c2?a2?b2?2abcosC

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？

（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

b2?c2?a

2cosA?2bca2?c2?b2

cosB?b2?a2?c2

cosC?[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？

（由學生總結）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時c2?a2?b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

[例題分析]

題型一 已知兩邊及夾角解三角形

例1．在?ABC

中，已知a

?cB?600，求b及A

⑴解：∵b2?a2?c2?2accosB

=2?2?2?cos450

=12?2?1)

=8

∴b?

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

b2?c2?a22221⑵解法一：∵

cosA?,∴A?600.asin450,解法二：∵

sinA?sinB2.4?1.4?

3.8,2?1.8?3.6,∴a＜c，即00＜A＜900,∴A?600.評述：解法二應注意確定A的取值范圍。

題型二 已知三邊解三角形

例2．在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形

（見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）

解：由余弦定理的推論得： b2?c2?a2

cosA?

87.82?161.72?134.62 ??0.5543,A?56020?； c2?a2?b2

cosB?

134.62?161.72?87.82 ?2?134.6?161.7?0.8398,B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

??90047.題型三 正、余弦定理的應用比較

例3.在△ABC中，已知 b=3，3。B=300，求角A，角C和邊a。

思考：求某角時，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理，兩種方法 有什么利弊呢？

[補充練習]

1、在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求角A（答案：A=1200）

2、在△ABC中，已知(b+c):(c+a):(a+b)=4:5:6,求△ABC的最大內角。（答案：A=1200）

[課堂小結]

（1）利用余弦定理解三角形

①．已知三邊求三角；

②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

（2）余弦定理與三角形的形狀

（五）作業設計

①課后閱讀：課本第9頁[探究與發現]

②課時作業：第10頁[習題1.1]A組第3，4題。

③《名師一號》相關題目。