第一篇：線段的垂直平分線教案一

線段的垂直平分線

教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1．經(jīng)歷探索、猜測(cè)過(guò)程，能夠運(yùn)用公理和所學(xué)過(guò)的定理證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理．

2．能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線．(二)思維訓(xùn)練要求

1．經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力． 2．體驗(yàn)解決問(wèn)題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神． 3．學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果．(三)情感與價(jià)值觀要求

1．能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲．

2．在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心． 教學(xué)重點(diǎn)

1．能夠證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論． 2．能夠利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線． 教學(xué)難點(diǎn)

寫出線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題． 教學(xué)方法

探索——交流——合作法 教具準(zhǔn)備 多媒體演示 教學(xué)過(guò)程

Ⅰ．創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入新課 教師用多媒體演示：

如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？

其中“到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”三次閃爍，強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)字在題中有很重要的作用． [生]碼頭應(yīng)建在線段AB的垂直平分線與在A，B一側(cè)的河岸邊的交點(diǎn)上．

[師]你為什么要這樣做呢？

[生]我們?cè)谄吣昙?jí)時(shí)研究過(guò)線段的性質(zhì)，線段是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對(duì)稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過(guò)程中線段重合說(shuō)明了線段垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．所以在這個(gè)問(wèn)題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成．

[師]這位同學(xué)分析得很詳細(xì)，我們?cè)谜奂埖姆椒ǖ玫剑壕€段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．你能用公理或?qū)W過(guò)的定理證明這一結(jié)論嗎？

教師演示線段垂直平分線的性質(zhì)：

定理

線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等． 同時(shí)，教師板演本節(jié)的題目： §1．3．1 線段的垂直平分線(一)Ⅱ．講述新課

[師]我們從折紙的過(guò)程中得到了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，大家知道這是不夠的，還必須利用公理及已學(xué)過(guò)的定理推理、證明它．現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們自己思考證明的思路和方法，并嘗試寫出證明過(guò)程．遇到困難，請(qǐng)同學(xué)們大膽提出來(lái)，我會(huì)給你啟示．

[生]我有一個(gè)問(wèn)題，要證“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”，可線段垂直平分線上的點(diǎn)有無(wú)數(shù)多個(gè)，需一個(gè)一個(gè)依次證明嗎？何況不可能呢．

[師]誰(shuí)有辦法來(lái)解決此問(wèn)題呢？

[生]我覺(jué)得一個(gè)圖形上每一點(diǎn)都具有某種性質(zhì)，只需在圖形上任取一點(diǎn)作代表．

[師]我覺(jué)得這位同學(xué)的做法很好．我們只需在線段垂直平分線上任取一點(diǎn)代表即可，因?yàn)榫€段垂直平分線上的點(diǎn)都具有相同的性質(zhì)． [師生共析] 已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的點(diǎn)．

求證：PA＝PB．

分析：要想證明PA＝PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三角形是否全等． 證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．

教師用多媒體完整演示證明過(guò)程．同時(shí)，用多媒體呈現(xiàn)： 想一想

你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？

[生]這個(gè)命題不是“如果??那么??”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果??那么??”的形式，逆命題就容易寫出．

[師]誰(shuí)來(lái)分析原命題的條件和結(jié)論呢？注意表述時(shí)要流暢，完整． [生]原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”．結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”．

[師]有了這位同學(xué)的精彩分析，逆命題就很容易寫出來(lái)．

[生]如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

[師]誰(shuí)能把它描述得更簡(jiǎn)捷？

[生]到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上． [師]當(dāng)我們寫出逆命題時(shí)，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明．請(qǐng)同學(xué)們自行在練習(xí)冊(cè)上完成． [生A]證法一：

已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA＝PB． 求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC＝BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

[生B]證法二：取AB的中點(diǎn)C，過(guò)PC作直線．

∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB． ∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

[生C]證法三：過(guò)P點(diǎn)作∠APB的角平分線．

∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等)． 又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°． ∴P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上．

[生D]證法四：過(guò)P作線段AB的垂直平分線PC．

∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P在AB的垂直平分線上．

[生]前三個(gè)同學(xué)的證明是正確的，而第四個(gè)同學(xué)的證明我有點(diǎn)弄不懂． [師]先請(qǐng)同學(xué)們看兩個(gè)圖．如圖(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如圖(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．這說(shuō)明一般情況下：過(guò)P作AB的垂直平分線“是不可能實(shí)現(xiàn)的，所以第四個(gè)同學(xué)的證法是錯(cuò)誤的．

[師]從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理．

我們?cè)谜奂埖姆椒ㄕ鄢鲞^(guò)線段的垂直平分線．現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，能否用尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢？

教師多媒體演示： 做一做

用尺規(guī)作線段的垂直平分線．

[師]要作出線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的判定定理，到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，那么我們必須找到兩個(gè)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這樣才能確定已知線段的垂直平分線．

下面我們一同來(lái)寫出已知、求作、作法，體會(huì)作法中每一步的依據(jù)． [師生共析] 已知：線段AB(如圖)．

求作：線段AB的垂直平分線．

作法：1．分別以點(diǎn)A和B為圓心，以大于交于點(diǎn)C和D．

2．作直線CD．

直線CD就是線段AB的垂直平分線．

[師]根據(jù)上面作法中的步驟，請(qǐng)你說(shuō)明CD為什么是AB的垂直平分線嗎？請(qǐng)與同伴進(jìn)行交流．

[生]從作法的第一步可知 AC＝BC，AD＝BD．

∴C、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)． ∴CD就是線段AB的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線)．

[師]我們?cè)每潭瘸哒揖€段的中點(diǎn)，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的作法時(shí)，一旦垂直平分線作出，線段與線段垂直平分線的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法作線段的中點(diǎn)．

Ⅲ．隨堂練習(xí)課本P25

1．如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上的一點(diǎn)．如果EC＝7cm，那么ED＝________cm；如果∠ECD＝60°，那么∠EDC＝________．

1AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相2

解：∵AB是線段CD的垂直平分線，∴EC＝ED．又∵EC＝7cm，∴ED＝7cm．

∴∠EDC＝∠ECD＝60°．

2．已知直線l和l上一點(diǎn)P，利用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P． 已知：直線l和l上一點(diǎn)P．

求作：PC⊥l．

作法：1．以點(diǎn)P為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，直線l相交于點(diǎn)A和B． 2．作線段AB的垂直平分線PC． 直線PC就是所求的垂線． Ⅳ．課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課我們先推理證明了線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，并學(xué)會(huì)用尺規(guī)作線段的垂直平分線．

Ⅴ．課后作業(yè)習(xí)題1．6第1、3題 Ⅵ．活動(dòng)與探究

(1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長(zhǎng)線于M，∠A＝40°，求∠NMB的大??；

(2)如果將(1)中的∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的大小．(3)你發(fā)現(xiàn)了什么樣的規(guī)律？試證明之；

(4)將(1)中的∠A改為鈍角，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)是否需要修改． [過(guò)程]由(1)、(2)不難認(rèn)識(shí)到∠BMN的大小是∠A的一半，但也容易認(rèn)為點(diǎn)M一定在BC的延長(zhǎng)線上，通過(guò)(4)也就是讓△ABC保持AB＝AC的前提下發(fā)生變化，認(rèn)識(shí)就會(huì)更全面、更準(zhǔn)確了．

[結(jié)果](1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB(等邊對(duì)等角)． ∴∠B＝11(180°－∠A)＝×(180°－40°)＝70°． 22∵∠BNM＝90°，∴∠M＝90°－∠B＝90°－70°＝20°〔如圖(1)〕．(2)如圖(2)，同(1)求得∠BMN＝35°．(3)如圖(3)，∠NMB的大小為∠A的一半． 證明：設(shè)∠A＝α．

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等邊對(duì)等角)． ∴∠B＝1(180°－α)． 211(180°－α)＝α，22∵∠BNM＝90°，∴∠BMN＝90°－∠B＝90°－即∠BMN等于頂角的一半．

(4)完整的敘述上述規(guī)律為：等腰三角形一腰上的垂直平分線與底邊或底邊的延長(zhǎng)線相交，所成的銳角等于頂角的一半．

板書設(shè)計(jì)

§1．3．1 線段的垂直平分線(一)

一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理．

二、線段垂直平分線的判定定理．

三、用尺規(guī)作線段的垂直平分線．

第二篇：線段的垂直平分線教案

線段的垂直平分線教案

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m線段的垂直平分線

教學(xué)內(nèi)容:

線段的垂直平分線

教學(xué)目的:、使學(xué)生理解線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理,掌握這兩個(gè)定理的關(guān)系并會(huì)用這兩個(gè)定理解決有關(guān)幾何問(wèn)題。

2、了解線段垂直平分線的軌跡問(wèn)題。

3、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)作思維、形象思維和抽象思維能力。

教學(xué)重點(diǎn):

線段的垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理的引入證明及運(yùn)用。

教學(xué)難點(diǎn):

線段的垂直平分線性質(zhì)定理及逆定理的關(guān)系。

教學(xué)關(guān)鍵:、垂直平分線上所有的點(diǎn)和線段兩端點(diǎn)的距離相等。

2、到線段兩端點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)都在這條線段的垂直平分線上。

教具:投影儀及投影膠片。

教學(xué)過(guò)程:

一、提問(wèn)、角平分線的性質(zhì)定理及逆定理是什么?

2、怎樣做一條線段的垂直平分線?

二、新課、請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n堂練習(xí)本上做線段AB的垂直平分線EF。

2、在EF上任取一點(diǎn)P,連結(jié)PA、PB量出PA=?,PB=?引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)值有什么關(guān)系?

通過(guò)學(xué)生的觀察、分析得出結(jié)果PA=PB,再取一點(diǎn)P'試一試仍然有P'A=P'B,引導(dǎo)學(xué)生猜想EF上的所有點(diǎn)和點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離都相等,再請(qǐng)同學(xué)把這一結(jié)論敘述成命題。

定理:線段的垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

這個(gè)命題,是我們通過(guò)作圖、觀察、猜想得到的,還得在理論上加以證明是真命題才能做為定理。

已知:如圖,直線EF⊥AB,垂足為c,且Ac=cB,點(diǎn)P在EF上

求證:PA=PB

如何證明PA=PB學(xué)生分析得出只要證RTΔPcA≌RTΔPcB

證明:∵Pc⊥AB

∴∠PcA=∠PcB

在ΔPcA和ΔPcB中

∴ΔPcA≌ΔPcB

即:PA=PB。

反過(guò)來(lái),如果PA=PB,P1A=P1B,點(diǎn)P,P1在什么線上?

過(guò)P,P1做直線EF交AB于c,可證明ΔPAP1≌PBP1

∴EF是等腰三角型ΔPAB的頂角平分線

∴EF是AB的垂直平分線

∴P,P1在AB的垂直平分線上,于是得出上述定理的逆定理。

逆定理:和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上。

根據(jù)上述定理和逆定理可以知道:直線mN可以看作和兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合。

線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

三、舉例

例:已知,如圖ΔABc中,邊AB,Bc的垂直平分線相交于點(diǎn)P,求證:PA=PB=Pc。

證明:∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上

∴PA=PB

同理PB=Pc

∴PA=PB=Pc

由例題PA=Pc知點(diǎn)P在Ac的垂直平分線上,所以三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)P,這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

四、小結(jié)

正確的運(yùn)用這兩個(gè)定理的關(guān)鍵是區(qū)別它們的條件與結(jié)論,加強(qiáng)證明前的分析,找出證明的途徑。定理的作用是可證明兩條線段相等或點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

五、練習(xí)與作業(yè)

練習(xí):第87頁(yè)1、2

作業(yè):第95頁(yè)2、3、4

《教案設(shè)計(jì)說(shuō)明》

線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理,都是幾何中的重要定理,也是一條重要軌跡。在幾何證明、計(jì)算、作圖中都有重要應(yīng)用。我講授這節(jié)課是線段垂直平分線的第一節(jié)課,主要完成定理的引出、證明和初步的運(yùn)用。

在設(shè)計(jì)教案時(shí),我結(jié)合教材內(nèi)容,對(duì)如何導(dǎo)入新課,引出定理以及證明進(jìn)行了探索。在導(dǎo)入新課這一環(huán)節(jié)上我先讓學(xué)生做一條線段AB的垂直平分線EF,在EF上取一點(diǎn)P,讓學(xué)生量出PA、PB的長(zhǎng)度,引導(dǎo)學(xué)生觀察、討論每個(gè)人量得的這兩個(gè)長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系:得到什么結(jié)論?學(xué)生回答:PA=PB。然后再讓學(xué)生取一點(diǎn)試一試,這兩個(gè)長(zhǎng)度也相等,由此引導(dǎo)學(xué)生猜想到線段垂直平分線的性質(zhì)定理。在這一過(guò)程中讓學(xué)生主動(dòng)積極的參與到教學(xué)中來(lái),使學(xué)生通過(guò)作圖、觀察、量一量再得出結(jié)論。從而把知識(shí)的形成過(guò)程轉(zhuǎn)化為學(xué)生親自參與、發(fā)現(xiàn)、探索的過(guò)程。在教學(xué)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生分析性質(zhì)定理的題設(shè)與結(jié)論,畫圖寫出已知、求證,通過(guò)分析由學(xué)生得出證明性質(zhì)定理的方法,這個(gè)過(guò)程既是探索過(guò)程也是調(diào)動(dòng)學(xué)生動(dòng)腦思考的過(guò)程,只有學(xué)生動(dòng)腦思考了,才能真正理解線段垂直平分線的性質(zhì)定理,以及證明方法。在此基礎(chǔ)上再提出如果有兩點(diǎn)到線段的兩端點(diǎn)的距離相等,這樣的點(diǎn)應(yīng)在什么樣的直線上?由條件得出這樣的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,從而引出性質(zhì)定理的逆定理,由上述兩個(gè)定理使學(xué)生再進(jìn)一步知道線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離的所有點(diǎn)的集合。這樣可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)理論于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)踐的道理,也能提高他們學(xué)習(xí)的積極性,加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。在講解例題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的線段垂直平分線的性質(zhì)定理以及逆定理來(lái)證,避免用三角形全等來(lái)證。最后總結(jié)點(diǎn)P是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。為了使學(xué)生當(dāng)堂掌握兩個(gè)定理的靈活運(yùn)用,讓學(xué)生做87頁(yè)的兩個(gè)練習(xí),以達(dá)到鞏固知識(shí)的目的。

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第三篇：線段的垂直平分線的性質(zhì)教案

13．1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)第1課時(shí) 線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

11．掌握線段垂直平分線的性質(zhì)．(重點(diǎn))

2．探索并總結(jié)出線段垂直平分線的性質(zhì)，能運(yùn)用其性質(zhì)解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題．(難點(diǎn))

一、情境導(dǎo)入

如圖所示，有一塊三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周長(zhǎng)為17m，你能幫測(cè)量人員計(jì)算BC的長(zhǎng)嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：線段垂直平分線的性質(zhì)

【類型一】 應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長(zhǎng)為35cm，則BC的長(zhǎng)為()

A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cm

解析：∵△DBC的周長(zhǎng)＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故選C.方法總結(jié)：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng)．

【類型二】 線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合運(yùn)用

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可．

證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法總結(jié)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，利用它可以證明線段相等．

【類型三】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運(yùn)用

如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.(1)找出圖中相等的線段；

(2)OE，OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說(shuō)明它們的大小有什么關(guān)系．

解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；

(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；

(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵．

探究點(diǎn)二：線段垂直平分線的判定

如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說(shuō)明AD與EF的關(guān)系．

解析：先利用角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.方法總結(jié)：當(dāng)一條直線上有兩點(diǎn)都在同一線段的垂直平分線上時(shí)，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時(shí)常需利用此性質(zhì)進(jìn)行線段相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化．

三、板書設(shè)計(jì)

線段的垂直平分線

1．線段的垂直平分線的作法．

2．線段的垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理．

3．三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)．

本節(jié)課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學(xué)方法，從而有效地增強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，提高了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與感悟，因此本節(jié)課的教學(xué)效果較好，學(xué)生對(duì)所學(xué)的新知識(shí)掌握較好，達(dá)到了教學(xué)的目的．不足之處是少數(shù)學(xué)生對(duì)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理理解不透徹，還需在今后的教學(xué)和作業(yè)中進(jìn)一步進(jìn)行鞏固和提高．

第四篇：線段的垂直平分線(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章

三角形的證明 3．線段的垂直平分線(一)

一、學(xué)生知識(shí)狀況分析

學(xué)生對(duì)于掌握定理以及定理的證明并不存在多大得困難，這是因?yàn)樵谄吣昙?jí)學(xué)習(xí)《生活中的軸對(duì)稱》中學(xué)生已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)。

二、教學(xué)任務(wù)分析

在七年級(jí)學(xué)生已經(jīng)對(duì)線段的垂直平分線有了初步的認(rèn)識(shí)，本節(jié)課將進(jìn)一步深入探索線段垂直平分線的性質(zhì)和判定。同時(shí)，滲透證明一個(gè)圖形上的每個(gè)點(diǎn)都具有某種性質(zhì)的方法：只需在圖形上任取一點(diǎn)作為代表。本節(jié)課目標(biāo)位：

1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定里和判定定理．

2．經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力．豐富對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)。3.通過(guò)小組活動(dòng)，學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)是運(yùn)用幾何符號(hào)語(yǔ)言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題。難點(diǎn)是垂直平分線的性質(zhì)定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用。

三、教學(xué)過(guò)程分析

本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明；第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定；第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用

；第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

教師用多媒體演示：

如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置? 其中“到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”，要強(qiáng)調(diào)這幾個(gè)字在題中有很重要的作用．

線段是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，其中線段的垂直平分線就是它的對(duì)稱軸．我們用折紙的方法，根據(jù)折疊過(guò)程中線段重合說(shuō)明了線段垂直平分線的一個(gè)性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．所以在這個(gè)問(wèn)題中，要求在“A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等”利用此性質(zhì)就能完成．

進(jìn)一步提問(wèn)：“你能用公理或?qū)W過(guò)的定理證明這一結(jié)論嗎?” 第二環(huán)節(jié)：性質(zhì)探索與證明

教師鼓勵(lì)學(xué)生思考，想辦法來(lái)解決此問(wèn)題。

通過(guò)討論和思考，引導(dǎo)學(xué)生分析并寫出已知、求證的內(nèi)容。

已知：如圖，直線MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的點(diǎn)． 求證：PA=PB．

分析：要想證明PA=PB，可以考慮包含這兩條線段的兩個(gè)三角形是否全等． 證明：∵M(jìn)N⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)．

； ∴PA=PB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)． 教師用多媒體完整演示證明過(guò)程．

第三環(huán)節(jié)：逆向思維，探索判定

你能寫出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎? 這個(gè)命題不是“如果……那么……”的形式，要寫出它的逆命題，需分析原命題的條件和結(jié)論，將原命題寫成“如果……那么……”的形式，逆命題就容易寫出．鼓勵(lì)學(xué)生找出原命題的條件和結(jié)論。

原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”．結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”． 此時(shí)，逆命題就很容易寫出來(lái)．“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．”

寫出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假．如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明． 引導(dǎo)學(xué)生分析證明過(guò)程，有如下四種證法：

證法一：

已知：線段AB，點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB． 求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

證明：過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)． ∴AC=BC，即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

證法二：取AB的中點(diǎn)C，過(guò)PC作直線． ∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．

ACNBPMPACB∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB ∴P點(diǎn)在AB的垂直平分線上．

P證法三：過(guò)P點(diǎn)作∠APB的角平分線． ∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等)． 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上． 證法四：過(guò)P作線段AB的垂直平分線PC． ∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴P在AB的垂直平分線上．

A12CBP12ACB從同學(xué)們的推理證明過(guò)程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理． 第四環(huán)節(jié)：鞏固應(yīng)用

在做完性質(zhì)定理和判定定理的證明以后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)：（1）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合。

（2）到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．因此只需做出這樣的兩個(gè)點(diǎn)即可做出線段的垂直平分線。

例題：

已知：如圖 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 OB = OC.[來(lái) 求證：直線 AO 垂直平分線段BC。． 證明：∵ AB = AC，∴ 點(diǎn) A 在線段 BC 的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）.同理，點(diǎn) O 在線段 BC 的垂直平分線上.∴ 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的思路和方法并給出完整的證明過(guò)程。第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)課本P23；習(xí)題1.7：第1、2題 第六環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)你有哪些新的收獲？還有哪些困惑？ 第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)

習(xí)題l.7 第3、4題

四、教學(xué)反思

在這一節(jié)中，我們作為老師要善于引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法，注意數(shù)學(xué)壓想方法的強(qiáng)化和滲透．

第五篇：線段垂直平分線教學(xué)反思

《線段的垂直平分線》教學(xué)反思

一、構(gòu)建嶄新的交互環(huán)境，師生互動(dòng)性更強(qiáng)

本節(jié)課我采用了電子白板授課，改變了以往PPT課件授課模式，PPT課件的程序是預(yù)先設(shè)定好的，伴隨著一步步的點(diǎn)擊，投影出幻燈片，教師與學(xué)生的交互性很受局限。通過(guò)使用交互式電子白板，教師操作課件可以直接在觸屏上進(jìn)行，例如：在電子白板上演示用尺規(guī)作線段的垂直平分線等，避免了在講臺(tái)與黑板之間來(lái)回走動(dòng)過(guò)程中分散學(xué)生注意力。白板教學(xué)環(huán)境下加強(qiáng)了集體共同參與的學(xué)習(xí)過(guò)程，師生之間的交流更直接，例如：探究新知2中方法的多樣性可以讓學(xué)生在電子白板上盡情的展示自己的方法，而不會(huì)出現(xiàn)黑板不夠用的狀況。電子白板的使用，可以真正實(shí)現(xiàn)人與人之間的交流，而不是人與課件之間的交流。同時(shí)，白板課件每個(gè)頁(yè)面中的素材都可以根據(jù)學(xué)生的具體情況來(lái)靈活處理。

二、建立符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在進(jìn)行創(chuàng)設(shè)情境中，我沒(méi)有采用課本上的形式，而是改用七年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)的建水電站問(wèn)題，即將水電站建在何處到在河同一側(cè)的兩個(gè)村莊的距離之和最短？在學(xué)生回憶并解決后將問(wèn)題變?yōu)椤敖ㄔ诤翁幍絻蓚€(gè)村莊的距離相等？”，這樣的設(shè)計(jì)避免了死板的套入教學(xué)內(nèi)容，不但符合學(xué)生的元認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還可以極大的調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生快速融入到教學(xué)之中，而且題目設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的縱向遷移，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、內(nèi)化，形成自我知識(shí)體系，教學(xué)實(shí)踐證明效果顯著。

三、充分發(fā)揮教師在教學(xué)中的的主導(dǎo)性

在這一節(jié)中，所介紹的定理實(shí)際是在七年級(jí)曾經(jīng)探索過(guò)的命題，如線段垂直平分線的性質(zhì)定理，當(dāng)時(shí)采用的方法是折紙法，作為探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)展，我們作為老師要善于引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題出發(fā)，根據(jù)觀察、實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，先得出猜想，然后再進(jìn)行證明，要求學(xué)生掌握證明的基本要求和方法，注意數(shù)學(xué)思想方法的強(qiáng)化和滲透，例如：歸納法、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論在教學(xué)中的應(yīng)用。

四、創(chuàng)新性的使用教材

線段垂直平分線性質(zhì)定理的證明，我沒(méi)有直接采用課本中的方法，而是在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)引入分類思想，從兩個(gè)方面進(jìn)行證明：(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB 上，即點(diǎn)P與垂足重合時(shí)，顯然點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，因此有PA=PB；(2)當(dāng)點(diǎn)P不在線段AB上，同教材中的證明，分兩種情況考慮這個(gè)定理的證明。還有在逆定理的說(shuō)理過(guò)程中，課本上沒(méi)有給出證明，我也引入了分類思想，分兩種情況證明：(1)如果點(diǎn)P滿足PA=PB，且在線段AB上，那么，點(diǎn)P顯然是線段AB的中點(diǎn)，而線段的中點(diǎn)自然在線段的垂直平分線上．(2)如果點(diǎn)P不在線段AB上，且滿足PA=PB。讓學(xué)生探究和展示方法，體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。

五、實(shí)際教學(xué)效果：

在實(shí)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生有較好的參與意識(shí) 和求知欲望，同時(shí)能夠跟隨著老師的提問(wèn)而不斷的進(jìn)行更深入的思考。在探究2的方法的多樣性上，學(xué)生能積極探究，在電子白板上盡情展現(xiàn)自己的成果；在尺規(guī)作圖上，學(xué)生能積極自主探究，并通過(guò)電子白板演示，提高學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)手、動(dòng)腦的綜合能力。通過(guò)鞏固達(dá)標(biāo)訓(xùn)練，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，從而實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的目標(biāo)，教學(xué)效果良好。

《線段的垂直平分線》教學(xué)反思

古交十一中

秦 云 峰

2013年9月