第一篇：證明等比等差數(shù)列

1．已知數(shù)列滿足a1=1，an＋1=2an＋1(n∈N*)(1)求證數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求{an}的通項公式．

2.已知數(shù)列{an}中，a13?5，an?2?1an?1(n?2,n?N)?，數(shù)列{bn}滿足

bn?1(n?N?)an?1；

（1）求證：數(shù)列（2）求數(shù)列

{bn}是等差數(shù)列；

{an}的通項公式

na?1,a?2a?2??3.在數(shù)列an中，1 n?1n（1）設(shè)bn?an,n?1證明2?bn?是等差數(shù)列;（2）求數(shù)列?an?的通項公式。

4.設(shè)數(shù)列

{lgan}是等差數(shù)列；{an}的前n項和為Sn,a1?10,an?1?9Sn?10。

求證：

5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+2Sn·Sn－1=0(n≥2),a1=1/2.（1）求證：{1/Sn}是等差數(shù)列；（2）求an表達(dá)式；

第二篇：等比等差數(shù)列高考題集

等差等比數(shù)列高考題集

1.已知{an}為等差數(shù)列，a1?a3?a5?105,a2?a4?a6?99,則a20?

2.等比數(shù)列{an}中，已知a1?2,a4?16.（1）求{an}的通項公式；（2）若a3,a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn.3.{an}為等差數(shù)列，且a7?2a4??1,a3?0,則公差d?

4.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1,S3,S2成等差數(shù)列。

（1）求{an}的公比q；（2）若a1?a3?3,求Sn；

5.設(shè)Sn是等差數(shù)列的前n項和。已知a2?3,a6?11,則S7?

6.等比數(shù)列{an}的公比為q?0,已知a2?1,an?2?an?1?6an,則{an}的前4項和S4?

7.等差數(shù)列{an}中，a3?7,a5?a2?6,則a6?

8.若數(shù)列{an}滿足：a1?1,an?1?2an(n?N*),則a5?_____;前8項和S8?________.9.等比數(shù)列{an}的公比q?S1，前n項和為Sn，則4? a42

10.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4,S8?S4,S12?S8,S16?S12成等差數(shù)列。類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,則T4,_____, 16成等比數(shù)列。

11.等差數(shù)列{an}滿足：a3?7,a5?a7?26.{an}的前n項和為Sn.(1)求an及Sn；（2）令bTT12n?1(n?N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.2?1an

12.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，8a2?a5?0,則S5?_______ S2

13.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S9?72,則a2?a4?a9?______

14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6?S3?12,則{an}的通項an?____

15.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比是正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.已知

a1?1,b1?3,a3?b3?17,T3?S3?12,求{an}，{bn}的通項公式。

16.數(shù)列{an}的通項an?n(cos

(1)求Sn；（2）令bn?22n?n??sin2),其前n項和為Sn.33S3n求數(shù)列{bn}的前n項和Tn nn?4

17.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn?2n2?2n,數(shù)列{bn}的前n項和Tn?2?bn.2（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；（2）設(shè)cn?an?bn,證明：當(dāng)且僅當(dāng)

n?3時，cn?1?cn

*18.對于數(shù)列{un}，若存在常數(shù)M?0,對于任意的n?N,恒有

|un?1?un|?|un?un?1|???|u2?u1|?M,則稱數(shù)列{un}為B?數(shù)列。

（1）首項為1，公比為?1的等比數(shù)列是否為B?數(shù)列？請說明理由； 2

（2）設(shè)Sn是數(shù)列{xn}的前n項和.給出下列兩組論斷：A組：?數(shù)列{xn}是B?數(shù)列，?數(shù)列{xn}不是B?數(shù)列；B組：?數(shù)列{Sn}是B?數(shù)列，④數(shù)列{Sn}不是B?數(shù)列。請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

（3）若數(shù)列是B?數(shù)列，證明：數(shù)列{an}也是B?數(shù)列。

19.已知數(shù)列{an}滿足a1?1,a2?2,an?2?2an?an?1,n?N*.2

（1）令bn?an?1?an,證明：{bn}是等比數(shù)列；（2）求{an}的通項公式；

20.設(shè){an}是首項大于0的等比數(shù)列，則“a1?a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的__條件。

21.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n?N，點(n,Sn)均在函數(shù)*

y?bx?r(b?0且b?1,b,r均為常數(shù))的圖象上。

（1）求r的值；（2）當(dāng)b?2時，記bn?n?1(n?N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.4an

3或?3 3或?1 322.已知等差數(shù)列1,a,b,等比數(shù)列3,a?2,b?5,則該等差數(shù)列的公差為：

?2an?1,n為偶數(shù)?223.已知數(shù)列{an}滿足：a1?0,an??n?1(n?2,3,4,?).?2an?1,n為奇數(shù)，?22?

(1)求a5,a6,a7的值；（2)設(shè)bn?a2n?1

2n,試求數(shù)列{bn}的通項公式；

（3）對于任意的正整數(shù)n,試討論an與an?1的大小關(guān)系.24.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2?a4?6,則S5?___

25.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4?8,S8?10,則a11?a12?a13?a14?_______

26.正數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且存在正數(shù)t,使得對于任意的正整數(shù)n,都有N?Snt?an成立.若lim?t,則t的取值范圍是______

n???a2n

11)an?(n?N*).nn27.已知數(shù)列{an}滿足：a1?1,an?1?(1?

（1）設(shè)bn?an,求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）若對任意給定的正整數(shù)m,使得不等式n

an?t?2m(n?N*)成立的所有n中的最小值為m?2,求實數(shù)t的取值范圍。

28.設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足a1?112,2nan?1?(n?1)an,且bn?ln(1?an)?an,n?N*.22

*（1）求a2,a3,a4并求{an}的通項公式；（2）對一切n?N,證明：a2 ?n成立；an?2bn

2（3）記數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別是An,Bn,證明：2Bn?An?4.29.數(shù)列{an}滿足下列條件：a1?1,且對于任意的正整數(shù)n,恒有a2n?nan,則a2100的值為?

30.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn和通項an滿足Sn?

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若數(shù)列{bn}滿足bn?nan,求證：b1?b2???bn?1(1?an).23.4

31.已知在公比為實數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3?4,且a4,a5?4,a6成等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求2an?1的最大Sn

值。

32.已知數(shù)列{an}滿足：Sn?1?an(n?N*),其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和。

（1）試求{an}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足：bn?n(n?N*),試求bn的前n項an和Tn；（3）設(shè)cn?111?,數(shù)列{cn}的前n項和為Pn，求證：Pn?2n?.21?an1?an?1

33.已知{an}是等差數(shù)列。Sn是其前n項和，a5?19,S5?55,則過點P(3,a3),Q(4,a4)的直線的斜率是_______

34.已知函數(shù)f(x)?2x?1,g(x)?x,.x?R,數(shù)列{an}，{bn}滿足條件：a1?1,an?f(bn)?g(bn?1),n?N*.2n

(1)求證：數(shù)列{bn?1}為等比數(shù)列；（2）令cn?,Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，an?an?1

2009成立的n的最小值。2010

1?2a,0?a?,nn?2若a?3,則a35.數(shù)列{an}滿足：an?1??12010?_____ 15?2an?1,?an?1,2?求使Tn?

36.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S1?13,S4?10,S5?15,則a4的最大值為_____

37.已知數(shù)列{an}滿足a1?an?11*,an?(n?2,n?N)。n4(?1)an?1?2

（1）求證：數(shù)列{(2n?1)?1,數(shù)（2）設(shè)cn?ansin?(?1)n}(n?N*)是等比數(shù)列；2an

*列{cn}的前n項和Tn,求證：對任意的n?N,Tn?4.7

?2x?1x?0,38.已知函數(shù)f(x)??把函數(shù)g(x)?f(x)?x的零點按從小到大的順?f(x?1)?1x?0,序排列成一個數(shù)列，則該數(shù)列的通項公式為（）

A.an?

C.an?n?1(n?N)*n(n?1)(n?N*)B.an?n(n?1)(n?N*)2D.an?2n?2(n?N*)

39.各項均不為零的數(shù)列{an}，首項a1?1,且對任意n?N均有*6an?1?an?1an?2an?0,bn?1.an

（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）若數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明：n?2時，80n1kn?kn0(n?1)Tn?(n?1)Cn（n?1?k）Cn???Cn?12?nCn?1????12?12.3

第三篇：如何證明等差數(shù)列

如何證明等差數(shù)列

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

1三個數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數(shù)列

等差：an-(an-1)=常數(shù)(n≥2)

等比：an/(an-1=常數(shù)(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我們推測數(shù)列{an}的通項公式為an=5n-4

下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來證明：

1)容易驗證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測均成立

2)假設(shè)當(dāng)n≤k時，推測是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

則Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由題意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1時，推測仍成立。

在新的數(shù)列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d為原數(shù)列公差)

20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項公式，故它為一等差數(shù)列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差為3/4An除以2的n次方為首項為1/2公差為3/4的等差數(shù)列

那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a2+(a+b)2=(a+2b)2

所以a2+a2+2ab+b2=a2+4ab+4b2

化簡得a2=2ab+3b2

兩邊同時除以b2

解得a/b=3即a=3b

所以三邊可以寫為3b，3b+b。3b+2b

所以三邊之比為3：4：5

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

第四篇：等差數(shù)列證明[推薦]

設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若對于所有的正整數(shù)n，都有Sn=n(a1+an)/2,求證：｛an｝是等差數(shù)列

解：證法一：令d=a2－a1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an=a1+（n－1）d（n∈N*）①當(dāng)n=1時，上述等式為恒等式a1=a1，當(dāng)n=2時，a1+（2－1）d=a1+（a2－a1）=a2，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N，k≥2）時命題成立，即ak=a1+（k－1）d 由題設(shè)，有Sk?

k(a1?ak)(k?1)(a1?ak?1),Sk?1?，22

(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)

?+ak+1

又Sk+1=Sk+ak+1，所以

將ak=a1+（k－1）d代入上式，得（k+1）（a1+ak+1）=2ka1+k（k－1）d+2ak+1 整理得（k－1）ak+1=（k－1）a1+k（k－1）d ∵k≥2，∴ak+1=a1+［（k+1）－1］d.即n=k+1時等式成立.由①和②，等式對所有的自然數(shù)n成立，從而{an}是等差數(shù)列.證法二：當(dāng)n≥2時，由題設(shè)，Sn?1?

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an),Sn?

所以an?Sn?Sn?1?

n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)

? 22

(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)

?同理有an?1?

從而an?1?an?

(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)

?n(a1?an)?

整理得：an+1－an=an－an－1，對任意n≥2成立.從而{an}是等差數(shù)列.評述：本題考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)歸納法及推理論證能力，教材中是由等差數(shù)列的通項公式推出數(shù)列的求和公式，本題逆向思維，由數(shù)列的求和公式去推數(shù)列的通項公式，有一定的難度.考生失誤的主要原因是知道用數(shù)學(xué)歸納法證，卻不知用數(shù)學(xué)歸納法證什么，這里需要把數(shù)列成等差數(shù)列這一文字語言，轉(zhuǎn)化為數(shù)列通項公式是an=a1+（n－1）d這一數(shù)學(xué)符號語言.證法二需要一定的技巧.

第五篇：數(shù)列—等差、等比的證明

等差、等比數(shù)列的證明

1．?dāng)?shù)列{a327

?n}的前n項和為Sn?2n?2

n（n?N）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：an?log2bn，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．

2．已知數(shù)列{a?

n}的前n項和為Sn?4an?3(n?N)，證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1?1，Sn?1?4an?2（n?N?）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列??an?

?2n??

為等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：數(shù)列{an?1?2an}為等比數(shù)列．

4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：

Sn?2a2n?n?4n（n?N?），證明：數(shù)列{an?2n?1}為等比數(shù)列．

5．（2008北京文20）數(shù)列?an?滿足：a1?1，a??)a?

n?1?(n2?nn，（n?N）?是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；

（Ⅱ）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列? 若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

6．設(shè)函數(shù)f?x??x2?m，m?R，定義數(shù)列{an}如下：

a1?0，an?1?f(an)（n?N?）．（Ⅰ）當(dāng)m?1時，求a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使a2,a3,a4構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列? 若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

6．（2008湖北21）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1??，a2

n?1?

an?n?4，bnn?(?1)(an?3n?21)，其中?為實數(shù)，n?N?．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，證明你的結(jié)論．

7．（2010安徽20）設(shè)數(shù)列{an}中的每一項都不為0． 證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是： 對任何n?N?，都有

111n

a?a??????

a． 1a22a3anan?11an?1

8．（2011北京文、理20）

若數(shù)列An:a1,a2,???,an(n?2)滿足

ak?1?ak?1(k?1,2,???,n?1)，則稱An為E數(shù)列．

（Ⅰ）寫出一個E數(shù)列A5滿足a1?a3?0；（Ⅱ）若a1?12，n?2000，證明：

E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an?2011．