第一篇：數(shù)列等比性質(zhì)分析2013福建

數(shù)列等比性質(zhì)分析2013福建

9．D5[2013·福建卷] 已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n

*

－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N)，則以下結(jié)論一定正確的是()

mA．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為q

2mB．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q

2C．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm

mD．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm

9．C [解析] 取an＝1，q＝1，則bn＝m，cn＝1，排除A，取a1＝1，q＝－1，m取正偶

cn＋1amn＋1·amn＋2·…·amn＋mmmm數(shù)，則bn＝0，排除B，＝＝q·q·…·q,sdo4(共cnam（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n－1）＋m

m個))＝qm，故選C.2

第二篇：數(shù)列—等差、等比的證明

等差、等比數(shù)列的證明

1．?dāng)?shù)列{a327

?n}的前n項和為Sn?2n?2

n（n?N）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：an?log2bn，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．

2．已知數(shù)列{a?

n}的前n項和為Sn?4an?3(n?N)，證明：數(shù)列{an}是等比數(shù)列．

3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1?1，Sn?1?4an?2（n?N?）．

（Ⅰ）證明：數(shù)列??an?

?2n??

為等差數(shù)列；（Ⅱ）證明：數(shù)列{an?1?2an}為等比數(shù)列．

4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：

Sn?2a2n?n?4n（n?N?），證明：數(shù)列{an?2n?1}為等比數(shù)列．

5．（2008北京文20）數(shù)列?an?滿足：a1?1，a??)a?

n?1?(n2?nn，（n?N）?是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a2??1時，求?及a3的值；

（Ⅱ）數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列? 若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；

6．設(shè)函數(shù)f?x??x2?m，m?R，定義數(shù)列{an}如下：

a1?0，an?1?f(an)（n?N?）．（Ⅰ）當(dāng)m?1時，求a2,a3,a4的值；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使a2,a3,a4構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列? 若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

6．（2008湖北21）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1??，a2

n?1?

an?n?4，bnn?(?1)(an?3n?21)，其中?為實數(shù)，n?N?．

（Ⅰ）證明：數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，證明你的結(jié)論．

7．（2010安徽20）設(shè)數(shù)列{an}中的每一項都不為0． 證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是： 對任何n?N?，都有

111n

a?a??????

a． 1a22a3anan?11an?1

8．（2011北京文、理20）

若數(shù)列An:a1,a2,???,an(n?2)滿足

ak?1?ak?1(k?1,2,???,n?1)，則稱An為E數(shù)列．

（Ⅰ）寫出一個E數(shù)列A5滿足a1?a3?0；（Ⅱ）若a1?12，n?2000，證明：

E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an?2011．

第三篇：邊等比三角形的一些性質(zhì)

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邊等比三角形的一些性質(zhì)

作者：楊永德

來源：《文理導(dǎo)航》2013年第29期

【摘 要】本文主要證明了邊等比三角形的一些性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】證明；性質(zhì)

我們把三邊長成等差數(shù)列的三角形叫做邊等差三角形；三邊長成等比數(shù)列的三角形叫做邊等比三角形。

本文主要證明邊等比三角形的一些性質(zhì)（等式和不等式）作為中學(xué)生學(xué)習(xí)三角形的一個補(bǔ)充和借鑒。

（作者單位：青海省海北州第二高級中學(xué)）

第四篇：數(shù)列等比證明二項式定理錯項求和2011四川

數(shù)列二項式定理錯項求和2011四川

011年高考四川卷理科20)(本小題共12分)

設(shè)d為非零實數(shù)，an = 1122n-1 n-1nn* [Cn d+2Cnd+…+(n—1)Cnd+nCnd](n∈N).n

(I)寫出a1,a2,a3并判斷{an}是否為等比數(shù)列.若是，給出證明；若不是，說明理由；(II)設(shè)bn=ndan(n∈N)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

解析：（1）*

a1?d

a2?d(d?1)

a3?d(d?1)2

01223n?1nan?Cnd?Cnd?Cnd???Cnd?d(1?d)n?1

an?1?d(1?d)n

an?1?d?1an

因為d為常數(shù)，所以{an}是以d為首項，d?1為公比的等比數(shù)列。

bn?nd2(1?d)n?1

（2）Sn?d2(1?d)0?2d2(1?d)1?3d2(1?d)2????nd2(1?d)n?1

?d2[(1?d)0?2(1?d)1?3(1?d)2????n(1?d)n?1](1)(1?d)Sn?d2[(1?d)1?2(1?d)2?3(1?d)3????n(1?d)n](2)

1?(1?(1?d)n)?d2n(1?d)n?d?(d2n?d)(1?d)n（2）?（1）?dSn??d[1?(1?d)2

?Sn?1?(dn?1)(1?d)n

第五篇：第2課數(shù)列的性質(zhì)（模版）

第2課數(shù)列的性質(zhì)

(時間：90分鐘滿分：100分)

題型示例

三個互不相等的實數(shù)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)，又可成為等比數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，求這三個數(shù).分析三個數(shù)適當(dāng)排列，不同的排列方法有6種，但這里不必分成6種，因為若以三個數(shù)中哪一個

數(shù)為等比中項，則只有三種情況，因此對于分類討論問題，恰當(dāng)?shù)姆诸愂墙夂脝栴}的關(guān)鍵.解由已知，可設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d,則a-d+a+a+d=6,∴a=2,這三個數(shù)可表示為2-d,2,2+d,(1)若2-d為等比中項，則有(2-d)2=2(2+d),解之得d=6或d=0(舍去).此時三個數(shù)為：-4,2,8.(2)若2+d是等比中項，則有(2+d)2=2(2-d),解之得d=-6或d=0(舍去)，此時三個數(shù)為：8，2，-4.(3)若2為等比中項，則22=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去).綜上可求得此三數(shù)為-4,2,8.點(diǎn)評此題給我們的啟示是：數(shù)學(xué)解題既要精煉又要全面.一、選擇題(8×3′＝24′)

1．下列各命題中，真命題是()

A．若｛an｝成等差數(shù)列，則｛|an|｝也成等差數(shù)列

B．若｛|an|｝成等差數(shù)列，則｛an｝也成等差數(shù)列

C．若存在自然數(shù)n,使得2an+1=an+an+2，則｛an｝一定是等差數(shù)列

D．若｛an｝是等差數(shù)列，對任何自然數(shù)n都有2an+1=an+an+

22．從{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任選3個不同的數(shù)使它們成等差數(shù)列，則這樣的等差數(shù)列最多有

()

A.20個B.40個C.60個D.80個

3．若正數(shù)a、b、c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x>1時，logax、logbx、logcx()

A.依次成等差數(shù)列B.依次成等比數(shù)列

C.各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D.各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列

4．已知數(shù)列{an}，如果a1,a2-a1，a3-a2，…，an-an-1，…是首項為1，公比為1的等比數(shù)列，則an等于(n

3∈N)（）3131)B.(1?n?1)A.(1?2233n

2121(1?)D.(1?n?1)3333n

15．等差數(shù)列{an}的公差為,S100=145,則a1+a3+a5+…+a99的值為()

2145A.60B.85C.D.75 2

6．已知數(shù)列前n項和Sn=2n-1(n∈N*)，則此數(shù)列奇數(shù)項的前n項和為()

11A.(2n?1?1)B.(2n?1?2)33

11C.(22n?1)D.(22n?2)33

7．正項等比數(shù)列｛an｝的首項a1=2-5，其前11項的幾何平均數(shù)為25,若前11項中抽取一項后的幾何平均

數(shù)仍是25,則抽去一項的項數(shù)為()

A.6B.7C.9D.11 C.1(a1?a2)2

8．已知x、y為正實數(shù)，且x，a1,a2,y成等差數(shù)列，x,b1,b2,y成等比數(shù)列，則的取值范圍是b1b

2()

A.RB.(0,4?C.［4,+??D.(-∞,0］∪［4,+∞)

二、填空題(4×3′＝12′)

9．等差數(shù)列｛an｝最初五項之和與其次五項之和的比為3∶4(n∈N*),則首項a1與公差d的比為.10．已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn(n∈N)，若a3=3S2+2,a4=3S3+2,則公比q的值是11．12-22+32-42+52-62+…+992-100212．若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為146，且所有項的和為390,則這個數(shù)

列有項.三、解答題(3×10′＋12′＋10′＝52′)

13．已知數(shù)列{an}的首項a1=a(a是常數(shù)且a≠-1),an=2an-1+1(n∈N*,n≥2).(1){an}是否是等差數(shù)列？若是，求出{an}的通項公式；若不是，說明理由;

(2)設(shè)bn=an+c(n∈N*,c是常數(shù))，若{bn}是等比數(shù)列，求實數(shù)c的值，并求出{bn}的通項公式.14．設(shè)實數(shù)a≠0,且函數(shù)f(x)=a(x2+1)-(2x+

(1)求a的值;

(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=f(n),令bn=

列.1)有最小值-1.aa2?a4???a2n,n=1，2,3…，證明數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)n

3n217n?15．若數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=-(n∈N*)，求數(shù)列｛|an|｝的前n項和Tn.2

216．在某兩個正數(shù)之間插入一個數(shù)a,則三數(shù)成等差數(shù)列，若插入二個數(shù)b,c,則四數(shù)成等

比數(shù)列.(1)求證:2a≥b+c;

(2)求證:(a+1)2≥(b+1)(c+1).1171317．已知數(shù)列{an}的通項公式an=n2?n?(n∈N*)4126

1(1)是否存在等于的項?為什么? 2

(2)此數(shù)列是否有相等的連續(xù)兩項?若有，它們分別是哪兩項;若沒有，說明理由;

(3)此數(shù)列是否有值最小的項?為什么?

四、思考與討論(12′)

18．在xOy平面上有點(diǎn)P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…，Pn(an,bn)，…，對每個自然數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)

ay=2000()x(0

(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；

(2)若對每個自然數(shù)n，以bn、bn+

1、bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；

(3)設(shè)cn=lgbn(n∈N)．若a取(2)中確定的范圍的最小整數(shù)，問數(shù)列{cn}前多少項的和最大?試說明理由．

參考答案

1．DA錯，例如數(shù)列-3,-1,1，這樣B也錯，C應(yīng)是對任意自然數(shù)n;D正是等差中項的性質(zhì).2．B由等差數(shù)列的概念知an-1+an+1=2an,所選的三個數(shù)只要首末兩數(shù)之和為偶數(shù)，則該三數(shù)即可構(gòu)成等差數(shù)列.因此，把所給的10個數(shù)分為1,3,5,7,9;2,4,6,8,10兩組,分別任取兩數(shù)，另一數(shù)自然確定，共有22A5=5×4×2=40個.故選B.3．Cb2=ac?2lgb?lga?lgc?2lgblgalgc211?????.lgxlgxlgxlogbxlogaxlogcx

11?()n=3(1?1)． 4．Aan=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)= n1231?

35．AS100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=145,又(a2+a4+…+a100)-(a1+a3+a5+…+a99)=50d

??S奇?S偶?145則?解得S奇=a1+a3+a5+…+a99=60.S?S?25?偶?奇

1?(1?4n)12n???(2?1).6．Can=2，奇數(shù)項構(gòu)成公比為4的等比數(shù)列.∴Sn1?43n-

17．A(a11

1·q11+2+…+1011)=25?q55=2110?q=4.=25?qx=2100?x=50.1x1010抽取一項后，(a1·q)

抽出的項的q的指數(shù)為5，故是第6項.2(a1?a2)2(x?y)2(2xy)4xy8．C????4.b1b2xyxyxy

9．13∶1a1?a2???a55a3a3a1?2d3?????a1∶d=13∶1.a6?a7???a105a8a8a1?7d

4①

② ?a3?3S2?210．4? a?3S?23?4

②-①:a4-a3＝3（33－32）＝3a3，∴a4=4a3.11．-5050兩項結(jié)合，利用平方差公式.?a1?a2?a3?3412．13?，∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2，?an?an?1?an?2?146

∴34+146=3(a1+an),a1+an=60．∴390=n·60，∴n=13.213．解（1）∵a1=a(a≠-1),a2=2a+1,a3=2a2+1=2(2a+1)+1=4a+3,a1+a3=5a+3,2a2=4a+2.∵a≠-1,∴5a+3≠4a+2,即a1+a3≠2a2,故{an}不是等差數(shù)列.2(2)由{bn}是等比數(shù)列，得b1b3=b2

2,即(a+c)(4a+3+c)=(2a+1+c),化簡得a-c-ac+1=0,即(a+1)(1-c)=0.∵a≠-1,∴c=1,∴b1=a+1,q=

∴bn=b1qn-1=(a+1)·2n-1.14．(1)解∵f(x)=a(x-b2=2.b1122)+a-有最小值-1.aa

12∴a>0,且f()=a-=-1.∴a=1或a=-2(舍)，∴a=1.aa

(2)證明由(1)知f(x)=x2-2x,∴Sn=n2-2n.∴n=1時，a1=S1=-1；n≥2時，an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-［(n-1)2-2(n-1)］=2n-3.且a1=-1滿足上式.∴an=2n-3,即｛an｝是首項為-1,公差為2的等差數(shù)列.∴bn=1241n(a2?a2n)1n(1?4n?3)(a+a+…+a2n)=·=·=2n-1.nnn22

∴bn+1-bn＝［2(n+1)-1］-(2n-1)=2.∴｛bn｝是等差數(shù)列.15．解n≥2時，an=Sn-Sn-1=10-3n..n=1時，a1=S1＝7滿足上式，∴對n∈N*，an=10-3n.令10-3n>0,則n<10,∴a1>0,a2>0，a3>0,a4<0，… 3

?3n217n??(n?3)??22∴T（n）＝?2.?3n?17n?24(n?4)?2?2

?m?n?2a① ?216．證明(1)設(shè)原兩數(shù)為m,n(m,n>0),則?mc?b ② ?2③ ?nb?c

由①知a>0,由②，③知b,c>0, b2c2

?∴=m+n=2a?2abc=b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)(2bc-bc)=(b+c)bc,∴2a≥b+c.cb

m?n(2)由①得a=≥mn=?a2≥bc 2

?a2?bc?a2+2a≥bc+b+c?(a+1)2≥bc+b+c+1=(b+1)(c+1).??2a?b?c

17．解(1)若數(shù)列中有等于11171312的項，則有an=n2-n+=,3n-17n+20=0 246212

51解得n=4或n=又n∈N則n=4,故數(shù)列的第4項等于.32

1113171317(2)an=n2-n+,an+1=(n+1)2-(n+1)+.46461212

若數(shù)列中有連續(xù)兩項相等，則121713113717n-n+=(n+1)2-(n+1)+解得n=.464631212

由于n∈N,故不存在相等的連續(xù)兩項.(3)an=117223(n-)+,故當(dāng)n=3時an取最小值.46144

點(diǎn)評本題反映了數(shù)列的通項公式是關(guān)于項與它的序號的關(guān)系的式子，因此可運(yùn)用方程思想，通過通項公式求出數(shù)列的各項或某一項所對應(yīng)的項數(shù).另外，運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)理解數(shù)列，其通項公式亦可視為定義域為正整數(shù)集的函數(shù)解析式，于是可運(yùn)用有關(guān)函數(shù)知識解決一些數(shù)列問題.18．解(1)由題意，可知an=11(n+n+1)=n+.22

1aan?2∴bn=2000()an=2000()． 1010

ax)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)，∴對每個正整數(shù)n，有bn>bn+1>bn+2． 10

aa∴以bn、bn+

1、bn+2為邊能構(gòu)成三角形的充要條件是bn+1+bn+2>bn，即+()2>1.1010(2)∵函數(shù)y=2000（解得a<-5(1+5)或a>5(-1).∵0

7n?(3)易知a=7，則bn=2000()2.10

于是cn=lgbn=3+lg2+(n+11)lg0.7，且為遞減數(shù)列． 2

由,解得n≤20.8∴n=20.因此，{cn}的前20項和最大．