第一篇：函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)解讀
九江學(xué)院理學(xué)院
《數(shù)學(xué)分析》教案
§ 5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)
一． 凸性的定義及判定：
1． 凸性的定義：由直觀引入.強(qiáng)調(diào)曲線彎曲方向與上升方向的區(qū)別.定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù).若對?x1,x2?I 和??(0,1)恒有
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)
則稱曲線 y?f(x)在區(qū)間I的凸函數(shù), 反之, 如果總有
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)
則稱曲線 y?f(x)在區(qū)間I的凹函數(shù).若在上式中, 當(dāng)x1?x2時, 有嚴(yán)格不等號成立, 則稱曲線y?f(x)在區(qū)間[a,b]上是嚴(yán)格凸(或嚴(yán)格凹)的.引理 y?f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)的充要條件是:對I上任意三點(diǎn): x1?x2?x3 , 總有
f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x2)?x2?x1x3?x2定理6.13 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo), 則下面條件等價(jià):(i)
為I上凸函數(shù)
(ii)
為I上的增函數(shù)(iii)對I上的任意兩點(diǎn)x1,x2 有
f(x2)?f(x1)?f?(x1)(x2?x1)
2． 利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸向: Th 6.14 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 則在(a,b)內(nèi)
⑴ f??(x)?0, ? f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格上凸;⑵ f??(x)?0, ? f(x)在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格下凸.證法一(用Taylor公式)對?x1,x2?(a,b), 設(shè)x0?
x1?x2, 把f(x)在點(diǎn) 2九江學(xué)院理學(xué)院
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x0展開成具Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式, 有
f(x1)?f(x0)?f?(x0)(x1?x0)?f??(?1)(x1?x0)2, 2f??(?2)(x2?x0)2.2 f(x2)?f(x0)?f?(x0)(x2?x0)?其中 ?1 和 ?2在 x1 與 x2 之間.注意到 x1?x0??(x2?x0), 就有
f(x1)?f(x2)?2f(x0)?1f??(?1)(x1?x0)2?f??(?2)(x2?x0)2, 2??于是, 若有f??(x)?0, ? 上式中????0, ? f(x1)?f(x2)?2f(x0), 即 f(x)嚴(yán)格上凸.若有f??(x)?0, ? 上式中????0, ? f(x1)?f(x2)?2f(x0), 即f(x)嚴(yán)格下凸.證法二(利用Lagrange中值定理.)若f??(x)?0, 則有f?(x)↗↗.不妨設(shè) x1?x2, 并設(shè) x0?x1?x2, 分別在區(qū)間[x1,x0]和[x0,x2]上應(yīng)用2Lagrange中值定理, 有
??1?(x1,x0), ? f(x0)?f(x1)?f?(?1)(x0?x1), ??2?(x0,x2), ? f(x2)?f(x0)?f?(?2)(x2?x0).有x1??1?x0??2?x2, ? f?(?1)?f?(?2), 又由 x0?x1?x2?x0?0，?
f?(?1)(x0?x1) ?x1?x2??，f(x)嚴(yán)格下凸.?2?九江學(xué)院理學(xué)院 《數(shù)學(xué)分析》教案 3． 凸區(qū)間的分離: f??(x)的正、負(fù)值區(qū)間分別對應(yīng)函數(shù)f(x)的下凸和上凸區(qū)間.二.曲線的拐點(diǎn): 拐點(diǎn)的定義.例1 確定函數(shù)f(x)?xe?x的上凸、下凸區(qū)間和拐點(diǎn).解 f的定義域?yàn)??? , ??)，f?(x)?e?x(1?2x2), f??(x)?2x(2x2?3)e?x.令f??(x)?0, 解得 x1??2223 , x2?0 , x3?23.2在區(qū)間(?? , ?3333),(? , 0),(0 ,),(, ??)內(nèi)f?? 的符號依次為 222233??333?2?32????? , ? , ? , ?，? ?.拐點(diǎn)為: ???2 , ?2e? ,(0 , 0), ? 2 , 2e?.????倘若注意到本題中的f(x)是奇函數(shù), 可使解答更為簡捷.Jensen不等式及其應(yīng)用: Jensen不等式: 設(shè)函數(shù)f(x)為區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù), 則對任意 xi?[a,b], ?i?0,i?1,?,??i?1, 有Jensen不等式: i?1nf(??ixi)???if(xi)，i?1i?1nn且等號當(dāng)且僅當(dāng)x1?x2???xn時成立.1n證 令x0??xk, 把f(xk)表為點(diǎn)x0處具二階Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式，仿nk?1前述定理的證明，注意?(xk?1nk?x0)?0, 即得所證.九江學(xué)院理學(xué)院 《數(shù)學(xué)分析》教案 例2 證明: 對?x,y?R, 有不等式 ex?y2?1x(e?ey).2例3 證明均值不等式: 對?a1,a2,?,an?R?, 有均值不等式 a?a2???an? na1a2?an ? 1.111n????a1a2ann證 先證不等式 na1a2?an ? a1?a2???an.n 取f(x)?lnx.f(x)在(0 , ??)內(nèi)嚴(yán)格上凸, 由Jensen不等式, 有 1n1n?1n??1n?lnn?xk??lnxk??f(xk)?f??xk??ln??xk?.nk?1nk?1k?1?nk?1??nk?1?由f(x)↗↗ ? na1a2?an ? na1?a2???an.n對111，?,?R?用上述已證結(jié)果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 證明: 對?x1,x2,?,xn?R, 有不等式 22x1?x2???xnx12?x2???xn ?.(平方根平均值) nn222例5 設(shè)x?y?z?6，證明 x?y?z?12.2解 取f(x)?x, 應(yīng)用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求證 sinA?sinB?sinC?33.2解 考慮函數(shù)f(x)?sinx, 0?x??.f????sinx? 0 , 0?x ?.? sinx在 區(qū)間(0 , ?)內(nèi)凹, 由Jensen不等式, 有 九江學(xué)院理學(xué)院 《數(shù)學(xué)分析》教案 sinA?sinB?sinCf(A)?f(B)?f(C)?3?A?B?C?.? ??f???sin?33332??? sinA?sinB?sinC?33.2例7 已知a,b,c?R?, a?b?c?1.求證 33a?7?33b?7?33c?7?6.解 考慮函數(shù)f(x)?3x, f(x)在(0 , ??)內(nèi)嚴(yán)格上凸.由Jensen不等式, 有 3a?7?33b?7?33c?7f(3a?7)?f(3b?7)?f(3c?7)?? ?f?3?3a?7?3b?7?3c?7???f(a?b?c?7)?f(8)?38?2.? 3?? 33a?7?33b?7?33c?7?6.例8 已知 ??0 , ??0 , ?3??3?2.求證 ????2.? 解 函數(shù)f(x)?x在(0 , ??)內(nèi)嚴(yán)格下凸.由Jensen不等式, 有 33332(???)3??????????f(?)?f(?)?????1, ? ???f?????2282?2??2?(???)3?8 , ? ????2.? 證明設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么若在(a,b)內(nèi)f“(x)>0，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。 設(shè)x1和x2是[a,b]內(nèi)任意兩點(diǎn)，且x1 對f'(x)在區(qū)間[x0-θ2h,x0+θ1h]上再利用拉格朗日中值公式，得 [f'(x0+θ1h)-f'(x0-θ2h)]h=f”(ξ)(θ1+θ2)h^2，其中x0-θ2h<ξ 因?yàn)閒"(ξ)>0，所以f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)>0，即[f(x0+h)+f(x0-h)]/2>f(x0)，亦即 [f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]，所以f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。 f(x)<=1/2f(x1)+1/2f(x2),x=(x1+x2)/2,注意到1/2=x2-x/x2-x1=x-x1/x2-x1,那么代入 f(x)<=(x2-x)/(x2-x1)f(x1)+(x-x1)/(x2-x1)f(x2),等價(jià)于f(x)(x2-x1)<=(x2-x)f(x1)+(x-x1)f(x2) （1） 那個二階條件是充要條件，必要性證明，假設(shè)是凹的，（1）式改寫成，f(x)-f(x1)/x-x1<=f(x2)-f(x)/x2-x,其中x1 充分性證明，由于f''(x)>=0,f'(x)單調(diào)增（廣義的），這里要用拉格朗日定理了 f(x)-f(x1)/x-x1=f'(a),其中x1 顯然與凹定義等價(jià) 證畢 解讀運(yùn)營商半年報(bào)：結(jié)構(gòu)性改變迎來拐點(diǎn) 三大運(yùn)營商8月下旬陸續(xù)交出的半年財(cái)報(bào)，可用“意料之中”四字形容。 根據(jù)三家運(yùn)營商公布的2012年上半年財(cái)報(bào)，中國電信(微博)經(jīng)營收入1380.12億元，同比增長14.8%；扣除移動終端銷售收入后，經(jīng)營收入1265.8億元，同比增長11.2%；股東應(yīng)占利潤88.14億元，同比下降8.3%。 中國移動(微博)實(shí)現(xiàn)營收2665億元，同比增長6.6%，凈利潤622億元，同比增長1.5%。中國聯(lián)通(微博)實(shí)現(xiàn)營收1216.9億元，同比增長20%。實(shí)現(xiàn)凈利潤34.3億元，同比增長31.9%。 從行業(yè)利潤歸屬看，中國移動仍牢牢占據(jù)八成以上份額，一家短信貓獨(dú)大的競爭格局并未改變。電信和聯(lián)通的3G優(yōu)勢，并未給營收帶來爆發(fā)式增長。 整體而言，目前中國移動市場2G用戶仍是主流，也是利潤高地，但2G用戶向3G遷移趨勢明顯，電信和聯(lián)通能否抓住3G窗口期實(shí)現(xiàn)真正三分天下，還待觀察。電信、聯(lián)通3G高速增長 中國電信和中國聯(lián)通的3G增速維持在高位。 中國電信3G用戶凈增1467萬戶，用戶總量達(dá)到5096萬戶。新增用戶中3G占84%，中國電信董事長王曉初認(rèn)為這一數(shù)字下半年會繼續(xù)上升。3G用戶ARPU值74元。 中國聯(lián)通累計(jì)凈增3G用戶1751.1萬，3G用戶總數(shù)達(dá)到5753萬戶。3G用戶的ARPU和手機(jī)用戶月戶均數(shù)據(jù)流量分別為91.8元。3G服務(wù)收入同比實(shí)現(xiàn)翻番，達(dá)到269億元。目前中國近1.8億的3G用戶總量，三家運(yùn)營商用戶數(shù)占比基本實(shí)現(xiàn)1：1：1，格局均衡。但從10億移動用戶角度而言，中國移動的市場份額接近7成，競爭態(tài)勢并未顯著改變。王曉初認(rèn)為，2G向3G遷移的大勢方興未艾，近9億2G用戶都已成為3G業(yè)務(wù)的潛在用戶群。 流量井噴 移動互聯(lián)網(wǎng)時代的到來，倒逼運(yùn)營商從傳統(tǒng)的話務(wù)量經(jīng)營向數(shù)據(jù)流量經(jīng)營轉(zhuǎn)型。從三家財(cái)報(bào)看，流量經(jīng)營已步入正軌。 中國電信上半年移動數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)收入達(dá)到192.67億元，同比增長46.7%，移動數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)占收比達(dá)到45.3%。3G用戶戶均流量達(dá)到111M。 中國移動數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)上半年收入達(dá)到760億元，同比增長17.3%，占運(yùn)營收入比重上升至28.5%。在數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)中，無線上網(wǎng)業(yè)務(wù)收入達(dá)到292億元，同比增長51.6%，占運(yùn)營收入比重達(dá)到11%。 中國聯(lián)通移動非語音業(yè)務(wù)收入對移動服務(wù)收入的貢獻(xiàn)達(dá)到52.3%。移動服務(wù)收入達(dá)到604.8億元，同比增長23.4%。3G用戶戶均流量138.3MB。 總體看，電信和聯(lián)通移動非話收入已經(jīng)超過或接近總收入的一半，中國移動雖然話音收入基數(shù)龐大，但非話收入份額也接近30%。從全球主流運(yùn)營商轉(zhuǎn)型指標(biāo)看，這一數(shù)字已經(jīng)標(biāo)志著轉(zhuǎn)型的成功。 中國移動董事長奚國華在董事長報(bào)告書中表示，傳統(tǒng)電信行業(yè)和移動互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域兩個層面的競爭正在不斷發(fā)生變化，移動通信普及率不斷提高，傳統(tǒng)移動通信市場增長空間日益縮小，對客戶價(jià)值的爭奪將更為激烈。 分析師預(yù)測，全行業(yè)收入結(jié)構(gòu)正在迎來拐點(diǎn)，2012年三大運(yùn)營商全年財(cái)報(bào)這一特征會更加清晰。 功函數(shù):是體現(xiàn)電子傳輸能力的一個重要物理量,電子在深度為χ的勢阱內(nèi),要使費(fèi)米面上的電子逃離金屬,至少使之獲得W=X-E F的能量,W稱為脫出功又稱為功函數(shù);脫出功越小,電子脫離金屬越容易。另外,半導(dǎo)體的費(fèi)米能級隨摻雜和溫度而改變,因此,半導(dǎo)體的功函數(shù)不是常數(shù)。 功函測量方法:光電子發(fā)射閾值法、開爾文探針法和熱陰極發(fā)射阻擋電勢法、熱電子發(fā)射法、場發(fā)射法、光電子發(fā)射法以及電子束(或離子束減速電勢(retarding potential法、掃描低能電子探針法等。 紫外光電譜(UPS測量功函數(shù) 1.測量所需儀器和條件 儀器:ESCALAB250多功能表面分析系統(tǒng)。 技術(shù)參數(shù):基本真空為3×10-8Pa, UPS譜測量用Hel(21.22eV,樣品加-3.5 V偏壓;另外,測量前樣品經(jīng)Ar+離子濺射清洗, Ar+離子能量為2keV,束流密度為0.5μA/mm2。運(yùn)用此方法一般除ITO靶材外, 其它樣品都是純金屬標(biāo)樣。 2.原理 功函數(shù):φ=hv+ E Cutoff-E Fermi 3.測量誤差標(biāo)定 E Fermi標(biāo)定:費(fèi)米邊微分 E Cutoff標(biāo)定:一是取截止邊的中點(diǎn), 另一種是由截止邊擬合的直線與基線的交點(diǎn)。 4.注意事項(xiàng) 測試樣品與樣品托(接地要接觸良好,特別是所測試樣的表面與樣品托之間不能存在電阻。 用Fowler-Nordheim(F-N公式測定ITO功函數(shù) 1.器件制備 雙邊注入型單載流子器件ITO/TPD(NPB/Cu 原料:較高遷移率的空穴傳輸材料TPD和NPB作有機(jī)層,功函數(shù)較高且比較穩(wěn)定的Cu作電極,形成了雙邊空穴注入的器件。 制備過程:IT0玻璃襯底經(jīng)有機(jī)溶劑和去離子水超聲清洗并烘干后,立即置于鐘罩內(nèi)抽真空,在1×10-3 Pa的真空下依次蒸鍍有機(jī)層(TPD或NPB和金屬電極Cu。 2.功函測量方法 運(yùn)用Fowle~Nordheim(F-N公式變換,消除了載流子有效質(zhì)量和器件厚度因素的影響,提高了測量的精度,可以簡單準(zhǔn)確地測定了ITO的功函數(shù)。 其中TPD和NPB的電離勢IP值分別為5.37eV、5.46 eV。 α:ln(J/V2-1/V的關(guān)系圖,然后用直線模擬出了高場下的線性關(guān)系,α代表直線的斜率。 3.ITO功函測量值 測得值分別為4.85 eV、4.88 eV;ITO薄膜表面功函數(shù)一般是4.5eV左右,如果功函數(shù)提高到5.0eV或者更大,那么可進(jìn)一步提高空穴的注入率。 新型功函數(shù)測量系統(tǒng) 1.1測量方法 采用接觸勢差法 1.2系統(tǒng)組成及原理 系統(tǒng)組成:信號發(fā)生單元、振動單元和檢測單元組成。 工作原理:信號發(fā)生單元輸出低頻正弦信號使參比電極振動, 調(diào)節(jié)振動單元偏壓使檢測單元輸出信號為零, 通過計(jì)算加載偏壓和標(biāo)準(zhǔn)參比電極的偏差可得樣品功函數(shù)值。 1.3功函計(jì)算 樣品與參比電極通過導(dǎo)線連接相接觸,兩者的費(fèi)米能級不同, 因此樣品與參比電極間將會存在勢差CPD。 CPD=(φc-φs/e 樣品與參比電極之間距離為d0,音頻震蕩線圈使參比電極發(fā)生微小振動,兩者之間距離為: D(t = d0+d1sin(wt 構(gòu)成的電容發(fā)生變化: 振蕩信號I(t: 其中U=V-CPD,而且U不是時間的函數(shù),調(diào)節(jié)加載偏壓V使振蕩信號為零時,即i(t=0時,得到如下: 可得樣品的功函φs。超高真空下電子束阻擋勢技術(shù) 2.1主要目的 主要用作測量固體表面的功函的聯(lián)系變化,一般用作功函數(shù)的相對測量;但是當(dāng)用一個功函數(shù)穩(wěn)定且已知的標(biāo)準(zhǔn)品作為參考,也可以測量樣品的絕對功函。 2.2原理 在樣品與電子槍的直熱式陰極之間加一電壓U R,組成一個熱電子發(fā)射二機(jī)管。當(dāng)U R為負(fù)值(樣品相對于陰極為負(fù), 使樣品和直熱式陰極之間的空間中存在一減速場(又稱阻擋勢,并如果我們假定陰極發(fā)射出的電子初速度均為零, 則阻擋勢壘的作用使電子不能到達(dá)樣品,此時二極管的電流為零。只有當(dāng)U R達(dá)到如下條件: eU R ≥φs-φc⑴ 其中φs、φc分別為樣品和陰極的功函數(shù)。樣品上可以收集到陰極的熱電子發(fā)射電流, 得到相應(yīng)的的二極管伏一安特性圖。考慮陰極發(fā)射熱電子的初速度分布, 伏一安特性圖中電流從零到飽和之間有一個電流逐漸上升的過渡區(qū)域, 通常是以該段曲線的拐點(diǎn)所對應(yīng)的U作為滿足⑴功函數(shù)的實(shí)驗(yàn)量度。 2.3接觸電勢差 如果樣品的功函數(shù)變化了Δφs,陰極則由于處在高溫, 氣體分子在其表面的吸附幾乎可以忽略, 故其功函數(shù)在測量過程中可以認(rèn)為是不變的, 于是二極管I-U R曲線的拐點(diǎn)位置將從原來的(φs-φc/e已移到(φs+Δφs-φc/e, 如上圖所示, 即拐點(diǎn)移動的電位變化相應(yīng)于樣品的功函數(shù)變化。 I-U R曲線的拐點(diǎn)容易引入誤差,特別是電流上升較慢時,一般采用伏安特性曲線的一次微商的峰點(diǎn)和二次微商的零點(diǎn)確定接觸電勢差,此時結(jié)果比較準(zhǔn)確。 2.4絕對功函測量 用一個功函數(shù)穩(wěn)定且已知的標(biāo)準(zhǔn)品作為參考,即可測量樣品的絕對功函。半導(dǎo)體材料功函數(shù) 3.1功函數(shù)影響機(jī)理 功函數(shù)的大小表示電子逸出半導(dǎo)體需要能量的最小值,也反映對電子束縛能力的強(qiáng)弱;其通過影響光電子器件載流子注入,從而影響器件的性能;對于N型半導(dǎo)體器件,選擇功函數(shù)小的金屬,對于P型半導(dǎo)體,選擇功函數(shù)大的金屬,這樣能夠降低金屬和半導(dǎo)體界面的肖特基勢壘高度,有利于載流子的注入。 3.2外加電場對功函的影響 在受外電場作用時,由于能帶在表面發(fā)生彎曲,電子勢能發(fā)生變化,從而影響半導(dǎo)體的功函數(shù);當(dāng)外加電場是背向半導(dǎo)體表面時,表面勢Vs<0,表面能帶向上彎曲,形成電子勢壘,電子從體內(nèi)逸出體外,需要提高勢能,而使功函數(shù)增加;如果外加電場是指向半導(dǎo)體表面,表面勢Vs>0,則半導(dǎo)體的功函數(shù)減少,ΔW =-qVs,當(dāng)Vs<0時,ΔW>0,表現(xiàn)為增加;當(dāng)Vs>0時,ΔW<0,表現(xiàn)為減少。 3.3功函數(shù)的測定方法 功函數(shù)測量主要有光電子發(fā)射閾值法、開爾文探針法和熱陰極發(fā)射阻擋電勢法等。功函數(shù)測量主要是采用紫外光電子能譜(UPS法和開爾文(Kelvin探針方法。另外,兩種方法都是在真空中測量功函數(shù),對環(huán)境的要求較嚴(yán)格。 UPS法可以測量局部的功函數(shù),即功函數(shù)的區(qū)域分布情況,用UPS在超高真空條件下測量功函數(shù),沒有外界環(huán)境干擾,表面狀態(tài)非常穩(wěn)定,得到的測量值比較可靠,特別是離子濺射清洗后,沒有表面吸附,測得的是樣品的真實(shí)功函數(shù)。 開爾文探針法已經(jīng)有定型的測量儀器,可在超高真空中不同溫度下測量,其優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確度較高,缺點(diǎn)是相對測量,準(zhǔn)確度取決于參考電極。 Kelvin探針原理上與UPS不同,所以通常情況下測出的結(jié)果比UPS測量的結(jié)果稍高。 一種新的功函數(shù)的測量法 4.1方法 利用二次電子低能峰上升沿和功函數(shù)有關(guān)原理來測量功函數(shù);測量所用設(shè)備為俄歇能譜儀,特別是具有電子束掃描功能時,還能具有一定的空間分辨率。 4.2原理 當(dāng)樣品表面受到入射電子轟擊時,樣品上將產(chǎn)生二次電子,圖中表示出了二次電子分別在樣品空間(左邊部分和分析器空間(右邊部分的動能分布曲線;Va為樣品和分析器之間加的直流電位,又稱為樣品偏壓。實(shí)驗(yàn)中測到的二次電子能量分布曲線為電子在分析器空間的 動能分布,圖中右邊曲線所示,該曲線和能量軸的交點(diǎn)為具有E0動能的電子是那種電子, 它們具有的能量正好能克服數(shù)值為φs的樣品表面勢壘,在樣品空間,它們的動能為零。 4.3功函數(shù)測定方法 當(dāng)由于某種原因?qū)е聵悠返墓瘮?shù)發(fā)生變化時,如φs變小則二次電子的功能分布曲線如虛線所示,其移動量剛好和功函數(shù)的改變量相等。此時可從分析器測得的上升沿位移得到知樣品功函數(shù)的變化,對比已知功函數(shù)的樣品和待測功函數(shù)樣品的上升沿的差別,即可獲得待測樣品的功函。 光電子能譜方法測量固體的功函數(shù) 5.1光電子能譜(ESCA法的優(yōu)點(diǎn) 對于待測狀態(tài)的樣品,樣品表面的組成情況可以通過ESCA方法進(jìn)行檢測,一般情況下,即使表面有0.01單層的沾污物,也可通過ESCA檢測出來;在對功函數(shù)的測量中,樣品表面的組成可以通過ESCA方法來精確監(jiān)控,這樣可以得到樣品在具體表面狀況下的功函數(shù)的精確值。 5.2功函數(shù)的測量原理 測量樣品功函數(shù)時,樣品和譜儀同時接地,此時它們的費(fèi)米能級在同一水平上,如果樣品的功函數(shù)大于電子能量分析器材料的功函數(shù),則二次電子分布曲線的起始點(diǎn)所對應(yīng)的能量值,就等于樣品真空能級與分析器材料的真空能級之間的能量差,也等于它們之間的功函差;另外,分析器件材料的功函數(shù)可以通過標(biāo)準(zhǔn)譜線精確測量,通過相應(yīng)的計(jì)算即可得到樣品的功函數(shù)。 5.3功函數(shù)的測定 在實(shí)際功函數(shù)的測定中,為了抑制樣品室中其它雜散電子的干擾,提高樣品表面發(fā)射的二次電子的探測效率,通常在樣品表面加載負(fù)偏置電壓,下圖為加負(fù)偏置電壓后樣品和譜儀分析器的能級位置。 根據(jù)以下公式： 上式中V為所加的偏置電壓，φs和φsp分別為樣品和譜儀分析材料的功函數(shù)，E k 為光電子在 樣品室的動能，E k 為光電子進(jìn)入分析器以后的動能，而譜儀測量的二次電子的起始點(diǎn) E k 為 零，可得到如下結(jié)論： ' ' 其中V數(shù)值電壓表讀數(shù)，φsp由標(biāo)準(zhǔn)譜線定出，測出 E k 即可得到樣品的功函數(shù)。功函數(shù)測量儀器 1.開爾文探針掃描系統(tǒng) 開爾文探針系統(tǒng)(Kelvin Probe 原產(chǎn)國：英國 開爾文探針(Kelvin Probe是一種非接觸無損震蕩電容裝置，用于測量導(dǎo)體材料的功函數(shù)(Work Function或半導(dǎo)體、絕緣表面的表面勢(Surface Potential。材料表面的功函數(shù)通常由 最上層的 1-3 層原子或分子決定，所以開爾文探針是一種最靈敏的表面分析技術(shù)。開爾文探針系統(tǒng)包括： 單點(diǎn)開爾文探針(大氣環(huán)境及氣氛控制環(huán)境；掃描開爾 文探針(大 氣環(huán)境及氣氛控制環(huán)境； 超高真空(UHV開爾文探針； 濕度控制的腐蝕開爾文探針。ASKP 系統(tǒng)是一款高端掃描開爾文探針系統(tǒng)，它是在 SKP 基礎(chǔ)之上包括了彩色相機(jī)/TFT 顯示器、2 毫米和 50 微米探針、外部數(shù)字示波鏡等配置。2.表面功函數(shù)測試儀 公司：彩融上海特種光源 表面功函數(shù)測試儀主要用于測量 ITO 玻璃等半導(dǎo)體材料的表面功函數(shù)；主要有樣 品測試臺、功函數(shù)測試儀主機(jī)、示波器三部分組成。 一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) ．二元函數(shù)的定義：設(shè) D 是平面上的一個點(diǎn)集，如果對于每個點(diǎn) P（x，y）∈ D，變量 按照 一定法則總有確定的值與它對應(yīng)，則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)（或點(diǎn) P 的函數(shù)），記為 （或），點(diǎn)集 D 為該函數(shù)的定義域，x、y 為自 為該函數(shù)值域。由此變量，為因變量，數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如 面。 ㈡二元函數(shù)的極限 ⒈設(shè)函數(shù) f（x,y）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式，都有 的一切點(diǎn) 是球心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半球 成立，則稱常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng) 或 , 這里 時的極限，記作 。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。⒉注意：二重極限存在是指 都無限接近A。因此，如果條定直線或定曲線趨于 沿任意路徑趨于，函數(shù) 沿某一特殊路徑，例如沿著一時，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們也不能由此判定函數(shù)的極限存在。 ㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 ．定義：設(shè)函數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且 。如果 連續(xù)。如果函，則稱函數(shù) f（x，y）在點(diǎn) 數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù) f（x，y）在 D 內(nèi)連續(xù)，或者稱 f（x，y）是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。2 ．性質(zhì) ⑴一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的； ⑵在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D 上取兩個不同的函數(shù)值，則它在 D 上取得介于這兩 個值之間的任何值至少一次； ⑷在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D 上一致連續(xù)。 二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分 ㈠偏導(dǎo)數(shù) ⒈偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 存在，則稱此極限為 處對 的偏導(dǎo)數(shù)，記作，當(dāng) 固定 在而 在處有增量，如果函數(shù) 或 類似，函數(shù) 在點(diǎn) 在點(diǎn) 處對 的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作 際中求，或。在實(shí)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個自變量在變動，另一個自變量是看作固定的，所以求 時只要將暫時看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)；求 時，則只要將 暫時看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意：對于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 分 之商，而偏導(dǎo)數(shù)的記 與自變量微號是一個整體符號，不能看作分母與分子之商。⒉偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè) 過 做平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面，則導(dǎo)數(shù) 上的方程為 為曲面 上的一點(diǎn)，即偏導(dǎo)數(shù) 對 軸的 斜率。同樣，偏導(dǎo)數(shù) 截得的曲線在點(diǎn) 的切線 處，就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對 軸的斜率。 在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，都是，⒊高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)，那么在 D 內(nèi) 的函數(shù)，如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對變量求導(dǎo)次序的不同有以下四個二階偏導(dǎo)數(shù)： ,。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。 定理：如果函數(shù) 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。（即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)。）㈡全微分 ⒈全微分定義：如果函數(shù) 可表示為 賴于、而僅與、有關(guān)，在點(diǎn) 可微分，而 稱 在點(diǎn) 的全增量，其中 A、B 不依，則稱函數(shù) 為函數(shù) 在點(diǎn) 的全微分，記作，即。如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微分，那么稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分。定理 1（必要條件）：如果函數(shù) 函數(shù)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 的全微分為 在點(diǎn) 可微分，則該必定存在，且函數(shù) 。定理2（充分條件）：如果函數(shù)續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 連以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。習(xí)慣上將自變量的增量、分別記作、；并分別稱為自變量的微分，則函數(shù) 的全微分可表示為 分等于它的兩個偏微分之和 這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。 三、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ㈠復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù) 函數(shù) 在對應(yīng)點(diǎn) 在點(diǎn) 可導(dǎo)，且 及 都在點(diǎn) 可導(dǎo)。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。此定理可推廣到中間變量多余兩個的情況，例如，，則，其中 稱為全導(dǎo)數(shù)。上述定理還可推廣 到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。㈡復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) : 設(shè) 則 是 可微，函數(shù)，對，并且，的復(fù)合函數(shù)。如果 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 復(fù)合函數(shù) 對 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且 ㈢全微分形式的不變性 : 設(shè)函數(shù) 則有全微分 果、又是，如 的函數(shù)、具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且這兩個函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合 函數(shù) 的全微分為 由此可見，無論 是自變量、的函數(shù)或中間變量、的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性。 四、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 ㈠、一個方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 ：設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，內(nèi)恒能 唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿，則方程 在點(diǎn) 的某一鄰域 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具 足條件，并有 隱函數(shù)存在定理 2 ：設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，一鄰域 內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，則方程 在點(diǎn) 的某 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)，并有 ㈡、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 ：設(shè) 某一鄰域內(nèi)、在點(diǎn) 的具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且，偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）： 在點(diǎn) 點(diǎn) 不等于零，則方程組，在的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它們滿足條件，并有，，五、方向?qū)?shù)、梯度 ㈠、方向?qū)?shù) 1、定義：設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域 內(nèi)有定義，自點(diǎn) P 引射線。設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設(shè) 為 上的另一點(diǎn)，且 。我們考慮函數(shù)的增量 的比 與 和 兩點(diǎn)間的距離 值。當(dāng) 沿著 趨于 時，如果這個比的極限存在，則稱這極限為函數(shù) 在點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)，記作，即。、定理：如果函數(shù) 在點(diǎn) 是可微分的，那么函數(shù)，在該點(diǎn)沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在，且有 其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。上述定義也可推廣到三元函數(shù) 著方向（設(shè)方向 的方向角為，其中，它在空間一點(diǎn) 沿）的方向?qū)?shù)可以定義為，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)為 ㈡、梯度、定義(二元函數(shù)的情形)：設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)量，這個向量稱為函數(shù)，即，在點(diǎn) 在平面區(qū)域 D，都可定出一個向的梯度，記作，由梯度的定義可知，梯度的模為： 當(dāng) 不為零時，x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 2、與方向?qū)?shù)的關(guān)系：如果設(shè) 是與方向 同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式可知： 由此可知，就是梯度在 上的投影，當(dāng)方向 與梯度的方向一致時，有，從而 有最大值。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù) 在該點(diǎn)增長最快的方向，因此，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。※上述所講的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。設(shè)函數(shù) 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)，這個向量稱為函數(shù) 六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應(yīng)用 ㈠、二元函數(shù)的泰勒公式 定理：設(shè) 的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到 階 在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連，都可定出一個向量 在點(diǎn) 的梯度，即 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有 一般地，記號 表示 設(shè)，則上式可表示為 ⑴，公式⑴稱為二元函數(shù) 在點(diǎn)的n階泰勒公式，而的表達(dá)式為拉格朗日型余項(xiàng)。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，則⑴式成為 n 階麥克勞林 ㈡、多元函數(shù)的極值 定理 1（必要條件）：設(shè)函數(shù) 數(shù)，且在點(diǎn) 在點(diǎn)（,）具有偏導(dǎo)(,)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零： 定理 2（充分條件）: 設(shè)函數(shù) 內(nèi)連續(xù)且 有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在（,）處是否取得極值的條件如下：，令 (,，在點(diǎn)（,）的某鄰域⑴ AC->0 時具有極值，且當(dāng) A<0 時有極大值，當(dāng) A>0 時有極小值； ⑵ AC-<0 時沒有極值； ⑶ AC-=0 時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。㈢、幾何應(yīng)用、空間曲線的切線和法平面： ⑴設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應(yīng)于 的一點(diǎn)，這里假設(shè) 解析幾何中有，假設(shè)三個函數(shù)都可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn) M 處的切線方程為 均不為零。如果有個別為零，則應(yīng)按空間關(guān)直線的對稱式方程來理解。切線的方向向量成為曲線的切向量。向量 就是曲線 在點(diǎn) M 處的一個切向量。 ⑵通過點(diǎn) M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn) M 處的法平面，它是通過點(diǎn) 而與 T 為法向量的平面，因此方程為。 ⑶若空間曲線 的方程以 為： 的形式給出 , 則切線方程，其中分母中帶下標(biāo) 0 的行列式表示 行列式在點(diǎn) 的值；曲線在點(diǎn) 處的法平面方程為 的值；曲線在點(diǎn) 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線 ⑴若曲面方程為 M 處的 切平面的方程為： ；，是曲面上一點(diǎn)，則曲面在點(diǎn) 法線方程為： ⑵若曲面方程為，則切平面方程為 或 ；而法線方程為第二篇：二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)凹凸性證明
第三篇：解讀運(yùn)營商半年報(bào)：結(jié)構(gòu)性改變迎來拐點(diǎn)
第四篇：功函數(shù)總結(jié)解讀
第五篇：一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀
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