第一篇：數學中有哪些經典的反直覺結論？

數學中有哪些經典的反直覺結論？

數學中反直覺的結論大多與無窮有關，19世紀德國數學家康托(Cantor，1845-1918)創立集合論，引入了集合的勢(Cardinality)這個概念，為分析無窮提供了強有力的數學工具，并由此得出了一系列與直覺極不相符的結論。例如：

1、奇數的個數和自然數的個數一樣多。（可數集的勢）

2、自然數的個數和有理數的個數一樣多。

3、一個有限線段上包含的點的個數與整個直線包含點的個數一樣多。

4、一條直線上點的個數和整個平面上點的個數一樣多。

5、一個平面上包含的點的個數和整個空間中包含的點的個數一樣多。Cantor三分集上述結論和我們的直覺大相徑庭，但是都可以利用集合等勢的方法來證明，即在兩個集合之間尋找一個一一映射，如果能夠找到，則說明兩個集合包含的元素是一樣多的，利用這種方法，數學家們成功的證明了上述結論。康托(Cantor, 1845-1918)也正因上述結論是如此地違反直覺，因此在理論剛被提出的時候遭到了大家的一致反對，甚至康托自己的老師克羅內克(Kroneker, 1823-1891)也帶頭對他進行了毫不留情的攻擊，最終竟使得康托精神失常，住進了精神病院。不可否認克羅內克是19世紀德國非常偉大的數學家，在代數數論領域貢獻頗豐，并且是近代直覺主義的先驅，但這件事情卻淪為數學史上的一樁丑聞。當然，這也從側面反映出這一理論是多么的“反直覺”。

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IvanZhu 科學達人 01-19 16:35 108贊

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這個問題很有趣。比這個問題本身更有趣的是，找到這個問題的答案的方法。有一個論壇，叫做“民科吧”。顧名思義，“民間科學家”吧。為什么要提到民科呢？很簡單：民科為什么是民科？因為民科們“搞研究”憑的是直覺，而不是邏輯和實驗。那么，如果有一個結論是反直覺的，民科看到了呢？這不對啊！這跟俺的直覺是反著的啊！這肯定是錯的啊！然后就是各種，全世界的數學家都是傻X，眾人皆醉我獨醒，待我出山，幫中國拿一個諾貝爾數學獎~“”上述文字摘自民科吧。對于沒有經歷過高等數學教育的人來說，微積分是十分反直覺的。其中最關鍵的部分在于，微積分中的“無窮小”，有時候被當做一個0，有時候又不被當做一個0。然而這個問題早在百年前，微積分公理化的時候就已經解決了，民科們不好好學習，也沒辦法。“”以上摘自民科吧調和級數發散，可以說是一個著名的反直覺結論了。1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +......+ 1/n,當n = 無窮大 的時候，這個和是多少？如果不作思考，直覺上往往會覺得，我們加上去的數越來越小了啊，而且小到后面都小得不行了，那肯定是收斂的啊，不可能發散。但是歐拉已經證明了，這個級數是發散的，意思就是說，級數的和是無窮大。越加越小，結果加到頭，居然無窮大！證明也很簡單：這其實已經是十分簡潔明了的證明了，但是遺憾的是，有數位民科堅定表示，這個反直覺，所以肯定是錯的，然后搞出來一大堆亂七八糟漏洞百出的所謂“證明”。如果你有興趣，可以去民科吧逛一逛，看看有多少人反對各種結論。一個理論被民科反對，那八成是“反直覺”的。相對論和量子力學反直覺，被民科批評的最多。不過如果你理科知識不夠扎實，逛的時候還請記住一句話，“這里人說的話我一個標點都不能信”然而有什么用呢？幸而人類文明不仰仗這幫不學無術之輩。

38評論

艾伯史密斯

科學問答達人 01-21 22:58 69贊

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答：費馬大定理、分球定理、超窮數理論、哥德爾不完備定理、各維度的點可以一一對應、地圖定理、圓周率的BBP公式和虛數等等，都是數學中比較反直覺的結論。以下，意義作解釋。一：費馬大定理我們知道勾股數有無限個，勾三股四弦五，就是最簡單的勾股數。由此我們猜想：當次數n大于2時會怎么樣？費馬大定理指出：這樣的形式，當指數n大于2時，不存在整數解。這簡直就是反直覺啊，憑什么n=2時有無數個，大于2卻一個都沒有！事實是這樣的，該定理歷經358年才被證明。利用費馬大定理，可以得到一些有趣的證明，比如證明3次根號2為無理數：這個證明簡直就是大炮打蚊子，但卻很美妙。二：分球定理數學中，有一條極其基本的公理，叫做選擇公理，許多數學內容都要基于這條定理才得以成立。在1924年，數學家斯特·巴拿赫和阿爾弗萊德·塔斯基根據選擇公理，得到一個奇怪的推論——分球定理。該定理指出，一個三維實心球分成有限份，然后可以根據旋轉和平移，組成和原來完全相同的兩個實心球。沒錯，每一個和原來的一模一樣。分球定理太違反直覺，但它就是選擇公理的嚴格推論，而且不容置疑的，除非你拋棄選擇公理，但數學家會為此付出更大的代價。三：無窮大也有等級大小在二十世紀以前，數學家們遇到無窮大都避而讓之，認為要么哪里出了問題，要么結果是沒有意義的。直到1895年，康托爾建立超窮數理論，人們才得知無窮大也是有等級的，比如實數個數的無窮，就比整數個數的無窮的等級高。這也太違反直覺了，我們從來不把無窮大當作數，但是無窮大在超窮數理論中，卻存在不同的等級。四：“可證”和“真”不是等價的1931年，奧地利數學家哥德爾，提出一條震驚學術界的定理——哥德爾不完備定理。該定理指出，我們目前的數學系統中，必定存在不能被證明也不能被證偽的定理。該定理一出，就粉碎了數學家幾千年的夢想——即建立完善的數學系統，從一些基本的公理出發，推導出一切數學的定理和公式。可哥德爾不完備定理指出：該系統不存在，因為其中一定存在，我們不能證明也不能證偽的“東西”，也就是數學系統不可能是完備的，至少它的完備性和相容性不能同時得到滿足。五：一維可以和二維甚至更高維度一一對應按照我們的常識，二維比一維等級高，三維比四維等級高，比如線是一維的，所以線不能一一對應于面積。但事實并非如此，康托爾證明了一維是可以一一對應高維的，也就是說一條線上的點，可以和一塊面積甚至體積的點一一對應，或者說他們包含的點一樣多。說到一一對應，就離不開函數，那么這樣從低維到高維的函數存在嗎？答案是肯定的！在1890年，意大利數學家皮亞諾，就發明了一個函數，使得函數在實軸[0,1]上的取值，可以一一對應于單位正方形上的所有點，這條曲線叫做皮亞諾曲線。這個性質的發現，暗示著人類對維度的主觀認識，很可能是存在缺陷的。六：地圖定理該定理是這樣的，比如我們在國內，拿著中國地圖，那么在該地圖上，一定存在一個點，使得圖上的點，和該點所在的真實地理位置精確一致，這么一個點我們絕對能找到。該定理還可以擴展，說地球上一定存在一個對稱的點，在任何時刻，它們的溫度和氣壓一定精確相等，注意，這里說的“一定”并不是概率上的“一定”，而是定理保證的絕對性。當然，有人會說這個定理無法用于實際。但利用這個定理，我們知道在一個公園的任意地方，標示一張地圖的話，我們一定能在圖上找到“當前所在位置”。七：獨立計算圓周率的任何一位我們計算圓周率的公式有很多，很長一段時間里，我們都認為要計算圓周的1000位，必須把前面999位計算出來。可是在1995年，數學家就發現了一個神奇的公式，該公式可計算圓周率的任何一位數字，而不需要知道前面的數字。比如計算第10億位的數字，我們不需要知道10億位之前的任何一位，該公式可以直接給出第10億位的數。該公式簡稱BBP公式。

八：負數可以開根號小時候老師告訴我們“負負得正”，可是到了高中，老師又突然把虛數單位“i”扔給我們，告訴我們“i^2=-1”，這簡直就是反直覺啊！為何這個數的平方會是負數。對于虛數“i”也是存在幾何意義的。數學中，反直覺的定理非常多，到底是我們的數學，本來就是違背真實世界的呢？還是我們的常識，本來就存在認知缺陷？不同的人有不同的答案。不過，我們可以確信的一點是，數學是追求相容的，一套數學系統，只要它在定義范圍內相容或者完備，那么這套數學系統，就有它存在的意義，不管是否和我們常識相悖。

第二篇：直覺思維在數學教學中的應用

直覺思維在數學教學中的應用

數學思維按照思維過程中是否遵循一定的邏輯規則可劃分為分析思維和直覺思維。分析思維，就是邏輯思維，它主要是以邏輯規則對事物按部就班地認識，對其過程主體有清晰的意識。在中學數學中，由于數學知識的嚴謹性，抽象性和系統性，常常掩蓋了直覺思維的存在和作用，因而在目前教學中往往偏重于演繹推理的訓練，過分強調形式論證的嚴密邏輯性，而忽視了直覺思維的突發性理解與頓悟作用。在新課程標準深入課堂的今天，加強學生直覺思維能力的培養是非常有必要的。本文擬從以下三個方面談談個人的看法。

一、數學直覺思維的涵義及其特性

數學直覺思維是人腦對教學對象，結構以及關系的敏銳的想象和迅速的判斷。所謂判斷就是人腦對于數學對象及其規律性關系的迅速認識、直接的理解、綜合的判斷，也就是數學的洞察力，有時也稱為數學直覺判斷。

根據數學直覺思維的涵義，它具有下列特性：（1）直接性。數學直覺思維是直接反映數學對象、結構以及關系的思維活動，這種思維活動表現為對認識對象的直接領悟或洞察，這是數學直覺思維的本質屬性。（2）或然性。由于數學直覺思維是一種跳躍的思維，是在邏輯依據不充分的前提下做出判斷，因而直覺思維的結果可能正確，也可能不正確，這一特性稱為數學直覺思維的或然性。（3）不可解釋性。由于直覺思維是在一剎那時間內完成的，許多中間環節被略去了，思維者對其過程沒有清晰的意識，所以要對它的過程進行分析研究和追憶，往往是十分困難的，只有當得出結果并轉換成邏輯語言時才能為別人所理解。

邏輯思維在數學中雖然據著主導的地位，但直覺思維是思維中最活躍，最積極，最具有創造性的成分。邏輯思維與直覺思維形成了辨證的互補關系。直覺思維為邏輯思維提供了動力并指引方向，而邏輯思維則對直覺思維做出檢驗與反饋，是直覺思維的深入和精化。

二、數學直覺思維的重要地位和作用

(一)數學直覺思維是學習數學與創造數學必不可少的思維形式

彭加勒認為：“邏輯是證明的工具，直覺是發現的工具”，“沒有直覺，數學家只能按語法書寫而毫無思想”。愛因斯坦說：“我相信直覺與靈感，真正可貴的因素是直覺”，“看來，直覺是頭等重要的”。數學家們對直覺思維在數學研究和數學發現中的作用都給予高度評價。因此，數學直覺思維是學習數學與創造數學必不可少的思維形式。

(二)數學直覺思維有利于提高學生的思維品質，可以提高解題效率

直覺思維要求一定的依據，但又不苛求有充分的依據。這既符合學生的思維習慣，又不至于過早篩掉可能有用的信息。在數學解題中，不但要運用邏輯進行分析，而且還應在分析問題特征的同時，運用數學直覺思維判斷思路，直覺解題方向，并迅速洞察問題實質，可獲得事半功倍的效果。

三、數學直覺思維能力培養的途徑

（一）鼓勵大膽猜想，養成善于猜想的數學思維習慣

猜想是一種合情合理，屬于綜合程度較高的帶有一定直覺性的高級認識過程，牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現”，對于數學研究或者發現性學習來說，猜想方法是一種重要的基本思維方法。正如G．波利亞所說：“在您證明一個數學定理之前，您必須猜想這個定理證明的主導思想”。數學猜想是證明的前提，“數學事實首先是被猜想，然后是被證實”，猜想是數學發現的動力。數學理論上的重大突破，常常起源于主意深刻的猜想。比如目前的數學“王冠”上的顆顆“明珠”，就是一個個的猜想：哥德巴赫猜想、黎曼猜想、費馬猜想等。

(二)鼓勵標新立異培養直覺思維

有突出創造智能的人，總想突破常人思維的局限，熱衷于求異思維，標新立異。在傳統的中學數學教學過程中，基本上注意力放在由學生準確地再現學過的知識上面，常常對有天賦的學生的獨到之見評價不高，卻給死記硬背的答案以高分。而前者有時雖不能給出清晰的思維過程，但結果正確，而后者缺乏創造力。因此在教學過程中要創設寬松的研討環境培養學生獨立思考，善于思考的習慣，鼓勵學生敢于發表自己的想法，哪怕錯了也沒關系，對有天賦的學生的獨到之見要給予高度評價以激發他們的積極性。

(三)加強觀察力的訓練，培養學生洞察問題實質的能力

在平時的教學中，應結合教材內容，提供素材，讓學生進行認真仔細的觀察、分析、有意識地進行訓練，在觀察中，特別要注意培養抽象、概括、洞察問題實質的能力。

第三篇：淺論數學直覺思維及培養

中學數學教學大綱(試驗修訂本)將培養學生的三大能力之一“邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只是去掉兩個字，概念的內涵卻更加豐富，人們在教育的實踐中實現了認識上的轉變。在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是直覺思維能力的培養由于長期得不到重視，學生在學習的過程中對數學的本質容易造成誤解，認為數學是枯燥乏味的；同時對數學的學習也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多的注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。

一、數學直覺概念的界定

簡單的說，數學直覺是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。

對于直覺作以下說明：

(1)直覺與直觀、直感的區別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：“這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂'直覺'……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。”

(2)直覺與邏輯的關系

從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側重角度來看，此話不無道理，但側重并不等于完全，數學邏輯中是否會有直覺成分?數學直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數學也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現象與世界運行的秩序直覺的體現，再以數學的形式將思考的理性過程格式化。數學最初的概念都是基于直覺，數學在一定程度上就是在問題解決中得到發展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數學問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。

一個數學證明可以分解為許多基本運算或許多“演繹推理元素”，一個成功的數學證明是這些基本運算或“演繹推理元素”的一個成功的組合，仿佛是一條從出發點到目的地的通道，一個個基本運算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個個路段，當一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構成一條通道。事實上，出發不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復寫出一個成功的數學證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數學推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓練產生的一種直覺。

在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴格化、程序化。學生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學生的內在潛能沒有被激發出來，學習的興趣沒有被調動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，“約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣”，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

二、直覺思維的主要特點

直覺思維具有自由性、靈活性、自發性、偶然性、不可靠性等特點，從培養直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：

(1)簡約性

直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質”。

(2)創造性

現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

伊恩．斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”，許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分了環狀結構更是一個直覺思維的成功典范。

(3)自信力

學生對數學產生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。

高斯在小學時就能解決問題“1+2+　…… +99+100＝?”，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。而現在的中學生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。

三、直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”數學直覺是可以通過訓練提高的。

(!)扎實的基礎是產生直覺的源泉

直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。”阿達瑪曾風趣的說：“難道一只猴了也能應機遇而打印成整部美國憲法嗎?”

(2)滲透數學的哲學觀點及審美觀念

直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建鄰的把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。

美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數學對稱的角度考慮，大膽的提出了反物質的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質疑，他曾經說，如果一個物理方程在數學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

(3)重視解題教學

教學中選擇適當的題目類型，有利于培養，考察學生的直覺思維。

例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。

(4)設置直覺思維的意境和動機誘導

這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

“跟著感覺走”是教師經常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學中明確的提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征；重視數學思維方法的教學，諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺觀念與思維能力的發展大有稗益。

四、結束語

直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，伊思．斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

第四篇：數學直覺思維的培養

數學直覺思維的培養

定西師范高等專科學校 03級數學(1)班 xxx 743000

【摘要】 在數學發展史上,許多數學家都十分重視直覺思維的作用.“邏輯用于證明，直覺用于發明。” 偉大的數學家彭加勒的這一名言對于數學創造活動中直覺思維的作用論述是十分精辟的.一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。” 本文主要闡述了本人對數學直覺思維的認識，以及培養數學直覺思維的重要性和必要性，進一步闡述了如何培養的問題。

【關鍵詞】 直覺思維 邏輯思維 創新 猜想 數型結合

我們在注重邏輯思維能力培養的同時，還應該注重觀察力、直覺力、想象力的培養。特別是直覺思維能力的培養，由于長期直覺思維得不到重視，學生在學習的過程中認為數學是枯燥乏味的，對數學的學習缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數學學習的興趣。過多地注重邏輯思維能力的培養，不利于思維能力的整體發展。培養直覺思維能力是社會發展的需要，是適應新時期社會對人才的需求。思·斯圖加特說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西”。許多重大的發現都是基于直覺。歐幾里得幾何學的五個公設都是基于直覺，基于直覺，歐幾里得幾何學的五個公設夢幻般建立起了歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上迸發了構造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法。現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經驗，過多的注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。因此培養學生的直覺思維是必要的。

一、對數學直覺思維的認識

1.扎實的基礎是產生直覺的源泉,直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。”偉大的數學家、物理學家和天文學家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發明。”前蘇聯科學家凱德洛夫更明確地說：“沒有任何一個創造性行為能離開直覺活動。”直覺思維就是指人們不受邏輯規則約束直接領悟事物本質的一種思維方式。直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式。

2．數學直覺思維的表現形式是以人們已有的知識、經驗和技能為基礎，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測之后對所研究的事物作出一種比較迅速的直接的綜合判斷，它不受固定的邏輯約束，以潛邏輯的形式進行。關于數學直覺思維的研究，目前比較統一的看法是認為存在著兩種不同的表現形式，即數學直覺和數學靈感。這兩者的共同點是它們都能以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，能在一瞬間迅速解決有關數學問題。

3．數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自由性、直觀性、自發性、不可靠性等特點。迪瓦多內說：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠‘直覺’。”在教育過程中，教師如果把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗。《中國青年報》曾報道，“約30％的初中生學習了平面幾何推理之后，喪失了對數學學習的興趣”，這種現象應該引起數學教育者的重視與反思。

直觀性：數學直覺思維活動在時間上表現為快速性，即它有時是在一剎那間完成的；在過程上表現為跳躍性；在形式上表現為簡約性，簡約美體現了數學的本質。直覺思維是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化。

創造性：直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發散的，使人的認知結構向外擴展，因而具有反常規律的獨創性。許多重大的發現都基于數學直覺。

自信力: 數學直覺思維能力的提高有利于增強學生的自信力。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。從馬斯洛的需要層次來看，它使學生的自我價值得以充分實現，也就是最高層次的需要得以實現，比起其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。布魯納認為學習的最好刺激是對教學材料的興趣。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力。高斯在小學時就能解決問題“1＋2＋?? ＋99＋100＝?”，這是基于他對數的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產生了不可磨滅的影響。

數學直覺思維還有利于提高學生的思維品質。直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發散”、“放射”的感覺，一計不成又生一計。因此，加強直覺思維能力的訓練，對克服思維的單向性，提高思維品質是有利的。

二、數學直覺思維的培養

一個人的數學思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”對于一個專業的數學工作者來說，他所具有的數學直覺顯然已不再是一種樸素意義上的原始直覺，而是一種精致化了的直覺，也即是通過多年的學習和研究才逐漸養成的。

扎實的基礎是產生直覺的源泉。迪瓦多內一語道破了直覺的產生過程：“我以為獲得‘直覺’的過程，必須經歷一個純形式表面理解的時期，然后逐步將理解提高、深化”。“直覺”不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故地憑空臆想，成功孕育于1%的靈感和99%的血汗中。阿提雅說：“一旦你真正感到弄懂了一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東西的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗．對此你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。”

在課堂教學中，數學直覺思維的培養和發展是情感教育下的產物之一，把知情融為一體，使認知和情感彼此促進，和諧發展，互相促進。敏銳的觀察力是直覺思維的起步器；‘一葉落而知天下秋’的聯想習慣、科學美的鑒賞力是直覺思維的助跑器；強有利的語言表達能力是直覺思維的載體。美國心理學家布魯納認為，應該做更多的工作去發展學生的直覺思維。直覺思維能力可以通過多方聯想，學會從整體考察問題，注意挖掘問題內部的本質聯系，借助對稱、和諧等數學美感，養成解題后進行反思的習慣等途徑加以培養。1．注重整體洞察，培養學生的整體直覺思維和觀察能力。直覺思維不同于邏輯思維，直覺思維是綜合的而不是分析的，它依賴于對事物全面和本質的理解，側重于整體上把握對象而不拘泥于細節的邏輯分析，它重視元素之間的聯系、系統的整體結構，從整體上把握研究的內容和方向。觀察是信息輸入的通道，是思維探索的大門。沒有觀察就沒有發現，更不能有創造。中學數學教學中圖形的識別，規律的發現以及理解能力、記憶能力、抽象能力、想象能力和運算能力等都離不開觀察。在觀察之前，要給學生提出明確而又具體的目的、任務和要求。指導學生從整體上觀察研究對象的特征，比如對于三角問題指導學生從角、函數名和形式進行觀察，注意幫助學生養成自問和反思的習慣，努力培養學生濃厚的觀察興趣。

2．重視解題教學，注重培養學生數形結合思維。華羅庚說過：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微。”通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺，對培養學生的幾何直覺思維大有幫助。教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出，制定相應的活動策略。重視數學思維方法的教學，諸如：換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，通過方法論的分析使數學中的發明、創造活動成為“可以理解的”、“可以學到手的”和“可以加以推廣應用的”，以思想方法的分析去帶動具體知識內容的教學．例如:設a,b,c為三角形ABC的三邊長,求證:ab?c?a?bc?a?b?ca?b?c?3

分析:用證明不等式的一般方法證明結論較為繁瑣,由左邊諸分母的形式,可以聯想到構造三角形ABC的內切圓,利用上圖就可以將左邊化簡,于是原不等式可證.3．注重引導學生進行合理猜想，培養歸納直覺思維。在數學解題中，運用歸納直覺，是值得重視的。在我們的數學教學中，培養學生進行猜想，是激發學生學習興趣，發展學生直覺思維，掌握探求知識方法的必要手段。為了啟發學生進行猜想，我們還可以創設使學生積極思維，引發猜想的意境，可以提出“怎么發現這一定理的？”“解這題的方法是如何想到的？”諸如此類的問題，組織學生進行猜想、探索，還可以編制一些變換結論，引發學生猜想的愿望，猜想的積極性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。比如：探討平面內n條直線最多能把平面分成幾個部分？

從一條直線開始，尋找規律（如圖1）． 從圖1到圖2，我們發現圖中多了一個交點，平面被多分成2個部分，即為2+2個部分；

圖1 從圖2到圖3，我們發現圖中多了2 個交點，而平面被多分成3個部分，即 為（2+2）+3=7個部分；

依次類推，每多m個交點，則平面被多分成m+1分．因此，可以得到，圖圖2 圖3 個

4圖5 部

n(n+1)2 一般地，n條直線最多可分平面為2+2+3+4+5+?+n=1+1+2+3+4+5+?+n=1+ 個部分．

4．注重滲透數學的哲學觀點，加強在其它學科中應用的意識，提高信息處理能力。直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于高屋建瓴地把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等特點。例如(a+b)2=a2+2ab+b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。而函數y=x+(1/x)的單調性充分體現了對立統一的辯證關系。有意識地應用于其它學科，尤其是應用學科。例如，已知a+b=1，a>0，b>0求(1/a)+(1/b)的最小值．運用物理學科的知識去解釋，即串聯電路的電阻值為1，將其改裝為并聯電路，使得并聯電路電阻值最大，由并聯電阻的阻值總比任一支路的電阻值小，從而使得基本不等式“深入人心”。使學生在豁然開朗中提高直覺思維能力。

5.設置直覺思維的意境和動機誘導, 注意誘發學生的靈感.靈感是一種直覺思維。它大體是指由于長期實踐，不斷積累經驗和知識而突然產生的富有創造性的思路。它是認識上質的飛躍。靈感的發生往往伴隨著突破和創新。在教學中，教師應及時捕捉和誘發學生學習中出現的靈感，對于學生別出心裁的想法，違反常規的解答，標新立異的構思，哪怕只有一點點的新意，都應及時給予肯定。同時，還應當應用數形結合、變換角度、類比形式等方法去誘導學生的數學直覺和靈感，促使學生能直接越過邏輯推理而尋找到解決問題的突破口。有這樣 道題:把3/7,6/13,4/9,12/25用”>”號排列起來.對與這道題,學生通常都是先通分再比較的,但由于公分母太大,解答非常麻煩,為此我們可以讓學生回頭觀察題目(*/*,*/*,*/*,*/*),然后再想一想,可以輕松的比較這些數的大小.倒過的數字引發學生瞬間的靈感.三.總結

思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，伊思．斯圖爾特曾經說過這樣一句話，“數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。

參考書目：

［1］張奠宙主編《數學教育研究引導》江蘇教育出版社

［2］郭思樂 喻緯著《數學思維教育論》 上海教育出版社 [3] 李玉琪主編 《中學數學教學與實踐研究》 高等教育出版社

［4］唐紹友 《試論數學教學與情感教育》《數學教學通訊》2002.3 [5] 趙振威 《中學數學教材教法》 華東師范大學出版社

［6］史保懷 《直覺思維在解題中的運用》 2000.5

第五篇：新GRE數學常用結論總結

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新GRE數學常用結論總結

下面為大家整理了新GRE數學常用結論：條件及獨立事件概率。

新GRE數學常用結論條件概率：考慮的是事件A已發生的條件下事件B發生的概率

定義：設A，B是兩個事件，且P(A)>0,稱 P(B|A)=P(A*B)/P(A)....................公式3 為事件A已發生的條件下事件B發生的概率 理解：就是P(A與B的交集)/P(A集合)理解: “事件A已發生的條件下事件B發生的概率”，很明顯，說這句話的時候，A，B都發生了，求的是A，B同時發生的情況占A發生時的比例，就是A與B同時發生與A發生的概率比。新GRE考試數學常用結論全概率公式

某一個事件A的發生總是在一定的其它條件下如B,C,D發生的,也就是說A的概率其實就是在,B,C,D發生的條件下A發生的概率之和.A在B發生時有一個條件概率,在C發生時有一個條件概率,在D發生時有一個條件概率,如果B,C,D包括了A發生的所有的條件.那么,A的概率不就是這幾個條件概率之和么.P(A)=P(A|B)+P(A|C)+P(A|D)獨立事件與概率

兩個事件獨立也就是說，A，B的發生與否互不影響，A是A，B是B，用公式表示就是P(A|B)=P(A)所以說兩個事件同時發生的概率就是： 三立教育ap.sljy.com

P(A U B)=P(A)×P(B)................公式4 小編為大家整理了讀懂新GRE數學題目的重要性，供大家參考，同時祝大家取得好的GRE數學成績。