第一篇：三角形中角平分線形成的角的三個小結論

三角形中角平分線形成的角的三個小結論

湖北省黃石市下陸中學802班 成昌力（14歲）指導教師：陳 勇

學習三角形角平分線的知識時,我發現了三個有趣的結論，讓大家一起來看看吧！例1 如圖1，已知△ABC的∠B和∠C的平分線BD、CE相交于點O，求證：∠BOC= 90°+∠A。

解：∵BD平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABD=2∠DBC 同理：∠ACB=2∠ACE=2∠ECB.在△BOC中，∠BOC+∠DBC+∠ECB= 180°，∴∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)

∵在△ABC中, ∠A+∠ABC+∠ACB= 180°, ∴∠ABC+∠ACB =180°-∠A ∴2∠DBC+2∠ECB =180°-∠A

∴∠DBC+∠ECB =90°-∠A

∴∠BOC=180°-(90°-∠A)

即∠BOC= 90°+∠A。

結論1：在一個三角形中，任意兩個內角的角平分線相交形成的鈍角等于90°加上第三個角的一半。

例2 如圖2，已知BO平分∠EBC，CO平分∠FCB，BO、CO相交于點O，探究∠BOC與∠A的關系。

解：∵BO平分∠EBC

∴∠EBC=2∠CBO=2∠EBO 同理：∠FCB=2∠BCO=2∠FCO 又∵∠ABC+∠EBC=180°

∴∠ABC=180°-∠EBC=180°-2∠CBO 同理：∠ACB=180°-∠FCB=180°-2∠BCO ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠A+180°-2∠CBO+180°-2∠BCO =180°

∴∠CBO+∠BCO= 90°+∠A

又∠BOC+∠CBO+∠BCO =180° ∴∠BOC =180°-(∠CBO+∠BCO)

=180°-(90°+∠A)

=90°-∠A

結論2：三角形兩個外角的角平分線相交形成的角等于90°減去第三個外角對應的內角的一半。

例3 如圖3，已知△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD，BE、CE相交于點E，探究∠E與∠A的關系。

解：∵BE平分∠ABC ∴∠ABC=2∠ABE=2∠EBC 同理：∠ACD=2∠ACE=2∠ECD 又∵∠ACB+∠ACD=180°

∴∠ACB=180°-∠ACD=180°-2∠ACE 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠A+2∠EBC+180°-2∠ACE=180°

∴∠ACE-∠EBC=∠A。①

在△BEC中，∠EBC +∠BCE+∠E=180° ∴∠EBC +∠ACB+∠ACE+∠E =180° 即∠EBC +180°-2∠ACE +∠ACE+∠E =180° ∴∠ACE-∠EBC=∠E.②

由①和②得：∠E=∠A。

結論3：三角形的一個內角的角平分線與另一個內角的鄰補角的角平分線相交形成的角等于三角形中的第三個內角的一半。

第二篇：全等三角形證明題(含角平分線)

全等三角形證明題匯編

1．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分?DAB,若AB>AD,DC=BC.求證：?B??D?180?.圖2－

12．如圖:已知在?ABC中，AC=BC,?ACB?90?,BD平分?ABC.DE⊥AB。求證：AB＝BC＋CD.圖2－2

3．如圖，在?ABC中，?C?2?B,?1??2,試證明AB=AC+CD.圖2－3

4．如圖，已知在?ABC中，AD平分?BAC，AB+BD=AC.求?B︰?C的值

5．如圖，在?ACB中，D是BC的中點，過D點的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥GF交AB于點E，連結EG.求證：BG=CF.請你判斷BE＋CF與EF的大小關系，并證明你的結論.B

圖

3－1 C

G

圖3－2

6．如圖所示，AB?AD,BC?DE,?1??2,求證：(1)AC?AE;(2)?2??CAE.1題

7．如圖所示，CE?AB,BF?AC,BF交CE于D,且BD=CD,求證：點D在?BACB

CA2題

8．如圖所示，已知?1??2,AC?BD.說出?ABC??BAD成立的理由.AB

3題

9．如圖所示，在?ABC中，AB=AC,AD和BE是高，它們相交于點H，且AE=BE.求證：AH=2BD.4題

10．如圖，?ABC和?ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點M,BD交AC于點N，求證：（1）BD=CE；（2）BD?CE.D6題當?ABC繞A點沿順時針方向旋轉到（1）（2）（3）位置時，上述結論是否成立？請說明。

E

EC

C

B

A3

11．如圖所示，已知正方形ABCD中，M為CD的中點，E為MC上一點，且?BAE?2?DAM.求證：AE=BC＋CE.ME

8題

第三篇：《角平分線》測試題

《角平分線》測試題

時間：60分鐘

滿分：100分

一、填空題（每小題3分，共30分）

1．已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分線交于點O，則∠AOC的度數為

.2．角平分線上的點到_________________距離相等；到一個角的兩邊距離相等的點都在_____________．

3．∠AOB的平分線上一點M，M到

OA的距離為1.5

cm，則M到OB的距離為_________.4．如圖，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_________.5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，且DE=3

cm，BD=5

cm，則BC=_____cm.第7題

第6題

第4題

第5題

6．如圖，CD為Rt△ABC斜邊上的高，∠BAC的平分線分別交CD、CB于點E、F，FG⊥AB，垂足為G，則CF______FG，CE________CF.7．如圖，已知AB、CD相交于點E，∠AEC及∠AED的平分線所在的直線為PQ與MN，則直線MN與PQ的關系是_________.8．三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到________________相等．

9．點O是△ABC內一點，且點O到三邊的距離相等，∠A=60°，則∠BOC的度數為_____________．

10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，則D到AB的距離為.二、選擇題（每小題3分，共30分）

11．三角形中到三邊距離相等的點是（）

A、三條邊的垂直平分線的交點

B、三條高的交點

C、三條中線的交點

D、三條角平分線的交點

12．如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結論錯誤的是（）

A、PD＝PE

B、OD＝OE

C、∠DPO＝∠EPO

D、PD＝OD

13．如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A、1處

B、2處

C、3處　　　D、4處

14．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長為（）

A、4㎝

B、6㎝

C、10㎝

D、不能確定

第12題

第13題

第14題

15．如圖，MP⊥NP，MQ為△MNP的角平分線，MT＝MP，連接TQ，則下列結論中不正確的是（）

A、TQ＝PQ　　B、∠MQT＝∠MQP　　C、∠QTN＝90°　　D、∠NQT＝∠MQT

第15題

第16題

第17題

16．如圖在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3

cm，那么AE+DE等于（）

A．2

cm

B．3

cm

C．4

cm

D．5

cm

17．如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點D，則對于下列結論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分線上．其中正確的是（）

A．①

B．②

C．①和②

D．①②③

第18題

18．如圖，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于點O，則下列結論正確的是（）

A．OA=OC

B．點O到AB、CD的距離相等

C．∠BDA=∠BDC

D．點O到CB、CD的距離相等

19．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（）

A．2cm，2cm，2cm；

B．

3cm，3cm，3cm；

C．

4cm，4cm，4cm；

D．

2cm，3cm，5cm

20．兩個三角形有兩個角對應相等，正確說法是（）

A．兩個三角形全等

B．如果還有一角相等，兩三角形就全等

C．兩個三角形一定不全等

D．如果一對等角的角平分線相等，兩三角形全等

三、解答與證明（共30分）

21．（6分）如圖，已知OE、OD分別平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度數.22．（6分）如圖，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，求證：D到AB、AC的距離相等.23．（7分）如圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若BD=CD．求證：AD平分∠BAC.24．（7分）如圖，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求證：AE平分∠FAC.25．（7分）如圖，已知AB=AC，AD=AE，DB與CE相交于O.(1)若DB⊥AC于D，CE⊥AB于E，試判斷OE與OD的大小關系.并證明你的結論.(2)若沒有第（1）中的條件，是否有這樣的結論?試說明理由.26．（7分）如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB.

第四篇：角平分線教案設計

1.3角平分線的性質

一、教材分析：本節課主要探究角平分線的性質與判定，而角平分線的性質對學生后期的三角形的全等起到很重要的作用，學生可以利用角平分線的性質和判定探索問題中的線段的數量關系與三角形全等的證明，實現承上啟下的作用。

二、學情分析：學生剛剛經歷了三角形的全等證明，對證明線段的長度關系有了探索的方向，本節課主要通過動手實踐，摸索角平分線的性質與判定，再利用三角形全等的證明來求證角平分線的性質與判定，進而了解和掌握角平分線的性質與判定。

三、教學目標：

?知識技能：了解角平分線的畫法，了解和掌握角平分線的性質，理解角平分線的判定。

?數學思考：經歷角平分線的作法的實踐活動，理解角平分線的性質和角平分線的判定。

?問題解決：作角平分線，運用角平分線的性質與判定解決實際應用中的全等證明。

④情感態度：在合作探究中體驗數學知識來源于生活，在學習過中中體驗成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，培養嚴謹的科學態度。

四、教學重點與難點：?教學重點：理解如何作角的平分線（尺規作圖），角平分線的性質及運用。

?教學難點：作角平分線中注意為什么要大于線段長的一半，由角平分線的性質得出角平分線的判定。

五、課時安排：1課時。

六、教學方法：合作探究法、引導法。

七、教學過程：

（一）：交流預習：預習教材P28-29的內容，展示收獲。（教師巡視，師友相互交流，將自己的收獲與師傅或學友分享）

（二）互助探究：探究?角平分線的畫法。

教師用課件展示思考1（教材P48）：師友利用預習的知識加以說明，兩組師友展示畫法并說明：

（教師在師傅的講解時突出強調為什么要大于DE）探究?角平分線上的點到角兩邊的距離的關系。教師展示課件教材思考2（P28）

師友互助，展示結果并講解：

（教師補充：這題我們先應確定已知條件是什么，求證是什么。）已知：點C在?AOB的角平分線上，,求證：CD=CE.證明：?OC平分?AOB，??DOC??EOC,?CD?OA,CE?OB,??CDO??CEO?90?, 在?DOC與?EOC中，?DOC??EOC(已求)?CDO??CEO(已求)OC?OC（公共邊）

??DOC??EOC（AAS）

?CD?CE

師友共同總結這一結論：

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

此時讓師友總結證明幾何命題的步驟：

1、明確命題中的已知和求證；

2、根據題意畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；

3、經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程。

探究?角平分線的判定。

公路

鐵路

教師展示課件教材思考3（P49）師友共同探討，教師巡視，加以引導。展示師友比較優秀的做法并總結：

S

角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

教師引導學生找出已知條件和求證，并讓師友合作探討，給出證明。選取一組師友的結果并展示：

已知：如圖，QD?OA,QE?OB,點D、E為垂足，QD?QE,求證：

點Q在?AOB的平分線上。

證明：?QD?OA,QE?OB（已知）

??QDO??QEO?90?(垂直的定義)在Rt?QDO與Rt?QEO中，QO?QO（公共邊）

QD?QE（已知）

?Rt?QDO?Rt?QEO(HL)??QOD??QOE

?點Q在?AOB的平分線上。

教師引導師友總結：

在角的內部到角兩邊相等的點在角的角平分線上。（突出強調數學符號形式）數學符號語言表示為：

?QD?OA,QE?OB，QD?QE

? 點Q在?AOB的平分線上

（三）分層提高：教師利用課件展示練習：

如圖，已知?ABC的外角?CBD的角平分線和?BCE的角平分線相交于點F，求證：點F在?DAE的角平分線上。

學友在師傅的指導下，師友共同完成本題，教師巡堂，幫助有困難的師友，然后展示較好的作業。師友作業展示如下：

證明：過F作FG?AE交AE于點G,FH?AD交AD于點H，FM?BC交BC于點M，?F在?BCE的平分線上，FG?AE，FM?BC，?FG?FM

又?F在?CBD的平分線上，FH?AD，FM?BC，?FM?FH ?FG?FH

?點F在?DAE的角平分線上。

（四）總結歸納：本節課你有哪些收獲？你還有什么困惑？通過本次

（五）課的學習，你會勾畫知識框圖嗎？你還想學習什么內容？（師友共同完成，學友回答，師傅可作補充）

（六）鞏固反饋：（師友合作探討交流）如圖，?ABC的角平分線BM,CN相交于點P，求證：點P到三邊AB,BC,AC的距離相等。

（請兩組師友加以證明，完成過程）

證明：過點P作PD?AB于D,PE?DC于E，PF?AC于F，?BM是?ABC的角平分線，點P在BM上

?PD?PE(角平分線上的點到角的兩邊的距離相等)同理：PE?PF

?PD?PE?PF

即點P到三邊AB,BC,AC的距離相等。

八、布置作業：?教材P30 ?<能力>本節同步

? 自編一道證明題，與師傅（或學友）分享

九、板書設計：

12.3角平分線的性質

1、角平分線的畫法

展示角平分線的畫法

2、角平分線的性質

借助角平分線畫法證明

3、角平分線的判定

利用性質證明

4、課堂小結

十、教學后記：本節課在設計上主要是以學生的學為主線，用學代教的方式完成學習要求，以師友互助的方式讓學生在交流與探討的過程中掌握新的知識，運用新的知識，實現高效課堂。

第五篇：角平分線教案設計

10.5角平分線的性質

一、教材分析：本節課主要探究角平分線的性質與判定，而角平分線的性質對學生后期的三角形的全等起到很重要的作用，學生可以利用角平分線的性質和判定探索問題中的線段的數量關系與三角形全等的證明，實現承上啟下的作用。

二、學情分析：學生剛剛經歷了三角形的全等證明，對證明線段的長度關系有了探索的方向，本節課主要通過動手實踐，摸索角平分線的性質與判定，再利用三角形全等的證明來求證角平分線的性質與判定，進而了解和掌握角平分線的性質與判定。

三、教學目標：?知識技能：了解角平分線的畫法，了解和掌握角平分線的性質，理解角平分線的判定。

?數學思考：經歷角平分線的作法的實踐活動，理解角平分線的性質和角平分線的判定。

?問題解決：作角平分線，運用角平分線的性質與判定解決實際應用中的全等證明。

④情感態度：在合作探究中體驗數學知識來源于生活，在學習過中中體驗成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，培養嚴謹的科學態度。

三、教學重點與難點：?教學重點：理解如何作角的平分線（尺規作圖），角平分線的性質及運用。

?教學難點：作角平分線中注意為什么要大于線段長的一半，由角平分線的性質得出角平分線的判定。

四、課時安排：1課時。

五、教學方法：合作探究法、引導法。

六、教學過程：

（一）：交流預習：預習教材P125--126的內容，展示收獲。（教師巡視，師友相互交流，將自己的收獲與師傅或學友分享）

（二）互助探究： 教師展示課件教材思考

師友互助，展示結果并講解：

（教師補充：這題我們先應確定已知條件是什么，求證是什么。）已知：點C在?AOB的角平分線上，,求證：CD=CE.證明：?OC平分?AOB，??DOC??EOC,?CD?OA,CE?OB,??CDO??CEO?90?, 在?DOC與?EOC中，?DOC??EOC(已求)?CDO??CEO(已求)OC?OC（公共邊）

??DOC??EOC（AAS）

?CD?CE

師友共同總結這一結論：

角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。此時讓師友總結證明幾何命題的步驟：

1、明確命題中的已知和求證；

2、根據題意畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；

3、經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程。探究?角平分線的判定。教師展示課件教材思考

師友共同探討，教師巡視，加以引導。展示師友比較優秀的做法并總結：

角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

教師引導學生找出已知條件和求證，并讓師友合作探討，給出證明。選取一組師友的結果并展示：

已知：如圖，QD?OA,QE?OB,點D、E為垂足，QD?QE,求證：

點Q在?AOB的平分線上。

證明：?QD?OA,QE?OB（已知）

??QDO??QEO?90?(垂直的定義)在Rt?QDO與Rt?QEO中，QO?QO（公共邊）

QD?QE（已知）

?Rt?QDO?Rt?QEO(HL)??QOD??QOE

?點Q在?AOB的平分線上。

教師引導師友總結： 在角的內部到角兩邊相等的點在角的角平分線上。（突出強調數學符號形式）數學符號語言表示為：

?QD?OA,QE?OB，QD?QE

? 點Q在?AOB的平分線上

（三）分層提高：教師利用課件展示練習：

如圖，已知?ABC的外角?CBD的角平分線和?BCE的角平分線相交于點F，求證：點F在?DAE的角平分線上。

學友在師傅的指導下，師友共同完成本題，教師巡堂，幫助有困難的師友，然后展示較好的作業。師友作業展示如下：

證明：過F作FG?AE交AE于點G,FH?AD交AD于點H，FM?BC交BC于點M，?F在?BCE的平分線上，FG?AE，FM?BC，?FG?FM

又?F在?CBD的平分線上，FH?AD，FM?BC，?FM?FH ?FG?FH

?點F在?DAE的角平分線上。

（四）總結歸納：本節課你有哪些收獲？你還有什么困惑？通過本次課的學習，你會勾畫知識框圖嗎？你還想學習什么內容？（師友共同完成，學友回答，師傅可作補充）

（五）鞏固反饋：（師友合作探討交流）如圖，?ABC的角平分線BM,CN相交于點P，求證：點P到三邊AB,BC,AC的距離相等。

七、布置作業：教材P127 八 板書設計：

10.5角平分線的性質

1、角平分線的性質

借助角平分線畫法證明

2、角平分線的判定

利用性質證明

3、課堂小結

九、教學后記：本節課在設計上主要是以學生的學為主線，用學代教的方式完成學習要求，以師友互助的方式讓學生在交流與探討的過程中掌握新的知識，運用新的知識，實現高效課堂。