第一篇：全國2008年4月自考離散數學試題

全國2008年4月自考離散數學試題

課程代碼：02324

一、單項選擇題(本大題共15小題，每小題1分，共15分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1.設P：天下大雨,Q：他在室內運動,命題“除非天下大雨，否則他不在室內運動”可符合化為（）

A.?P∧QB.?P→Q C.?P→?QD.P→?Q

2.下列命題聯結詞集合中，是最小聯結詞組的是（）

A.{?，}B.{?，∨，∧} C.{?，∧}D.{∧，→}

3.下列命題為假命題的是（）

A.如果2是偶數，那么一個公式的析取范式惟一

B.如果2是偶數，那么一個公式的析取范式不惟一

C.如果2是奇數，那么一個公式的析取范式惟一

D.如果2是奇數，那么一個公式的析取范式不惟一

4.謂詞公式 x(P(x)∨yR(y))→Q(x))中變元x是（）

A.自由變元B.約束變元

C.既不是自由變元也不是約束變元D.既是自由變元也是約束變元

5.若個體域為整數減，下列公式中值為真的是（）

A.xy(x+y=0)B.y x(x+y=0)C.x y(x+y=0)D.?xy(x+y=0)

6.下列命題中不正確的是（）

A.x∈{x}-{{x}}B.{x}?{x}-{{x}}

C.A={x}∪x,則x∈A且x?AD.A-B=??A=B

7.設P={x|(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x},則下列選項正確的是（A.P?QB.P?Q C.Q?PD.Q=P

8.下列表達式中不成立的是（）

A.A∪(B?C)=(A∪B)?(A∪C)B.A∩(B?C)=(A∩B)?(A∩C)C.(A?B)×C=(A×C)?(B×C)D.(A-B)×C=(A×C)-(B×C)9.半群、群及獨異點的關系是（）

A.{群}?{獨異點}?{半群}B.{獨異點}?{半群}?{群} C.{獨異點}?{群}?{半群}D.{半群}?{群}?{獨異點} 10.下列集合對所給的二元運算封閉的是（）

A.正整數集上的減法運算

B.在正實數的集R+上規定為ab=ab-a-b a,b∈R+ C.正整數集Z+上的二元運算為xy=min(x,y)x,y∈Z+ D.全體n×n實可逆矩陣集合Rn×n上的矩陣加法

11.設集合A={1，2，3}，下列關系R中不是等價關系的是（）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}

B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}）

C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}

D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>} 12.下列函數中為雙射的是（）

A.f：Z→Z,f(j)=j(mod)B.f：N→N,f(j)= C.f：Z→N,f(j)=|2j|+1D.f：R→R,f(r)=2r-15

13.設集合A={a,b, c}上的關系如下，具有傳遞性的是（）

A.R={,,,}B.R={,} C.R={,,,}D.R={}

14.含有5個結點，3條邊的不同構的簡單圖有（）

A.2個B.3個

C.4個D.5個

15.設D的結點數大于1，D=是強連通圖，當且僅當（）

A.D中至少有一條通路B.D中至少有一條回路

C.D中有通過每個結點至少一次的通路D.D中有通過每個結點至少一次的回路

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16.設A={1,2,3}，B={3,4,5}，則A?A=___________，A?B=___________。

17.設A={1,2,3,4,5}，R?A×A，R={<1,2>，<3,4>,<2,2>}，則R的自反閉包r(R)=__________。

對稱閉包t(R)=__________。

18.設P、Q為兩個命題，德摩根律可表示為_____________，吸收律可表示為____________。

19.對于公式 x(P(x)∨Q(x))，其中P(x)∶x=1,Q(x)∶x=2,當論域為{1,2}時，其真值為_____________ ,當論域為{0,1,2}時，其真值為_____________。

20.設f∶R→R,f(x)=x+3,g∶R→R,g(x)=2x+1,則復合函數 ,。

21.3個結點可構成_________個不同構的簡單無向圖，可構成________個不同構的簡單有向圖。

22.無向圖G=如左所示，則G的最大度

Δ(G)=_____________，G的最小度δ(G)=_____________。

23.設圖G,V={v1,v2,v3,v4},若G的鄰接矩陣，則deg-(v1)=_ ________, deg+(v4)=____________。

24.格L是分配格，當且僅當L既不含有與_______同構的子格，也不含有與______同格的子格。

25.給定集合A={1,2,3,4,5}，在集合A上定義兩種關系：R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}, S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}，則。

三、計算題（本大題共5小題，第26、27題各5分，第28、29題各6分，第30題8分，共30分）

26.設A={a,b,c,d}，A上的等價關系R={,,,}∪IA，畫出R的關系圖，并求出A中各元素的等價類。

27.構造命題公式?（P∨Q）（?P∧Q）的真值表。

28.求下列公式的主析取范式和主合取范式：P→（（Q→P）∧（?P∧Q））

29.設A={a, b, c, d, e}，R為A上的關系，R={，，, , ,, }∪IA，試畫的哈斯圖，并求A中的最大元，最小元，極大元，極小元。

30.給定圖G如圖所示，（1）G中長度為4的路有幾條？其中有幾條回路？（2）寫出G的可達矩陣。

四、證明題（本大題共3小題，第31、32題各6分，第33題8分，共20分）

31.設（L，≤）是格，試證明： a, b, c ∈L, 有a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）；

a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）。

32.設R是A上的自反和傳遞關系，如下定義A上的關系T，使得 x, y∈A，∈T ∈R∧(y, x)∈R。

證明T是A上的等價關系。

33.設有G=, V的結點數|V|=n，稱該圖為n階圖，若從結點vi到vj存在路，證明從vi到vj必存在長度小于等于n-1的一條路。

五、應用題（本大題共2小題，第34題7分，第35題8分，共15分）

34.構造下面推理的證明。

每個喜歡步行的人都不喜歡坐汽車，每個人或者喜歡坐汽車或者喜歡騎自行車。有的人不喜歡騎自行車，因而有的人不喜歡步行。

35.今要將6人分成3組（每組2個人）去完成3項任務。已知每個人至少與其余5個人中的3個人能相互合作。

（1）能否使得每組的2個人都能相互合作？

（2）你能給出幾種不同的分組方案？

《離散數學》試題及答案3

一、填空題設集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 則A?(B)＝ __________________________.2.設有限集合A, |A| = n, 則 |?(A×A)| = __________________________.3.設集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 則從A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中雙射的是__________________________.4.已知命題公式G＝?(P?Q)∧R，則G的主析取范式是_______________________________

__________________________________________________________.5.設G是完全二叉樹，G有7個點，其中4個葉點，則G的總度數為__________，分枝點數為________________.6 設A、B為兩個集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 則從A?B＝_________________________;A?B＝_________________________;A－B＝ _____________________.7.設R是集合A上的等價關系，則R所具有的關系的三個特性是______________________, ________________________, _______________________________.8.設命題公式G＝?(P?(Q?R))，則使公式G為真的解釋有__________________________，_____________________________, __________________________.9.設集合A＝{1,2,3,4}, A上的關系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 則R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________,R12 =________________________.10.設有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 則| |?(A?B)| = _____________________________.11 設A,B,R是三個集合，其中R是實數集，A = {x |-1≤x≤1, x?R}, B = {x | 0≤x < 2, x?R},則A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ ,.13.設集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，則R以集合形式(列舉法)記為___________ _______________________________________________________.14.設一階邏輯公式G = xP(x)?xQ(x)，則G的前束范式是__________________________ _____.15.設G是具有8個頂點的樹，則G中增加_________條邊才能把G變成完全圖。

16.設謂詞的定義域為{a, b},將表達式xR(x)→xS(x)中量詞消除，寫成與之對應的命題公式是__________________________________________________________________________.17.設集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的二元關系R＝{(1,1),(1,2),(2,3)}, S＝{(1,3),(2,3),(3,2)}。則R?S＝_____________________________________________________, R2＝______________________________________________________.二、選擇題 設集合A={2,{a},3,4}，B = {{a},3,4,1}，E為全集，則下列命題正確的是()。

(A){2}?A(B){a}?A(C)??{{a}}?B?E(D){{a},1,3,4}?B.設集合A={1,2,3},A上的關系R＝{(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}，則R不具備().(A)自反性(B)傳遞性(C)對稱性(D)反對稱性 設半序集(A,≤)關系≤的哈斯圖如下所示，若A的子集B = {2,3,4,5},則元素6為B的()。

(A)下界(B)上界(C)最小上界(D)以上答案都不對下列語句中，()是命題。

(A)請把門關上(B)地球外的星球上也有人

(C)x + 5 > 6(D)下午有會嗎？ 設I是如下一個解釋：D＝{a,b}, 則在解釋I下取真值為1的公式是().(A)xyP(x,y)(B)xyP(x,y)(C)xP(x,x)(D)xyP(x,y).6.若供選擇答案中的數值表示一個簡單圖中各個頂點的度，能畫出圖的是().(A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5)(C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6).7.設G、H是一階邏輯公式，P是一個謂詞，G＝xP(x), H＝xP(x),則一階邏輯公式G?H是().(A)恒真的(B)恒假的(C)可滿足的(D)前束范式.設命題公式G＝?(P?Q)，H＝P?(Q??P)，則G與H的關系是()。

(A)G?H(B)H?G(C)G＝H(D)以上都不是.9 設A, B為集合，當()時A－B＝B.(A)A＝B(B)A?B(C)B?A(D)A＝B＝?.設集合A = {1,2,3,4}, A上的關系R＝{(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)}, 則R具有()。

(A)自反性(B)傳遞性(C)對稱性(D)以上答案都不對下列關于集合的表示中正確的為()。

(A){a}?{a,b,c}(B){a}?{a,b,c}(C)??{a,b,c}(D){a,b}?{a,b,c} 12 命題xG(x)取真值1的充分必要條件是().(A)對任意x，G(x)都取真值1.(B)有一個x0，使G(x0)取真值1.(C)有某些x，使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不對.13.設G是連通平面圖，有5個頂點，6個面，則G的邊數是().(A)9條(B)5條(C)6條(D)11條.14.設G是5個頂點的完全圖，則從G中刪去()條邊可以得到樹.(A)6(B)5(C)10(D)4.15.設圖G的相鄰矩陣為，則G的頂點數與邊數分別為().(A)4, 5(B)5, 6(C)4, 10(D)5, 8.三、計算證明題

1.設集合A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R為整除關系。

(1)畫出半序集(A,R)的哈斯圖；

(2)寫出A的子集B = {3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；

(3)寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元。

2.設集合A＝{1, 2, 3, 4}，A上的關系R＝{(x,y)| x, y?A 且 x ? y}, 求

(1)畫出R的關系圖；

(2)寫出R的關系矩陣.3.設R是實數集合，?,?,?是R上的三個映射，?(x)= x+3, ?(x)= 2x, ?(x)＝ x/4,試求復合映射???，???, ???, ???，?????.4.設I是如下一個解釋：D = {2, 3}, abf(2)f(3)P(2, 2)P(2, 3)P(3, 2)P(3, 3)32320011

試求(1)P(a, f(a))∧P(b, f(b));(2)xy P(y, x).5.設集合A＝{1, 2, 4, 6, 8, 12}，R為A上整除關系。

(1)畫出半序集(A,R)的哈斯圖；

(2)寫出A的最大元，最小元，極大元，極小元；

(3)寫出A的子集B = {4, 6, 8, 12}的上界，下界，最小上界，最大下界.6.設命題公式G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R)), 求G的主析取范式。

7.(9分)設一階邏輯公式：G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)，把G化成前束范式.9.設R是集合A = {a, b, c, d}.R是A上的二元關系, R = {(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)},(1)求出r(R), s(R), t(R)；

(2)畫出r(R), s(R), t(R)的關系圖.11.通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等價：

(1)G =(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

(2)H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))

13.設R和S是集合A＝{a, b, c, d}上的關系，其中R＝{(a, a),(a, c),(b, c),(c, d)}, S＝{(a, b),(b, c),(b, d),(d, d)}.(1)試寫出R和S的關系矩陣；

(2)計算R?S, R∪S, R－1, S－1?R－1.四、證明題

1.利用形式演繹法證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊涵Q∨S。

2.設A,B為任意集合，證明：(A-B)-C = A-(B∪C).3.(本題10分)利用形式演繹法證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D。

4.(本題10分)A, B為兩個任意集合，求證：

A－(A∩B)=(A∪B)－B.參考答案

一、填空題

1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.2..3.?1= {(a,1),(b,1)}, ?2= {(a,2),(b,2)},?3= {(a,1),(b,2)}, ?4= {(a,2),(b,1)};?3, ?4.4.(P∧?Q∧R).5.12, 3.6.{4}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}.7.自反性；對稱性；傳遞性.8.(1, 0, 0),(1, 0, 1),(1, 1, 0).9.{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}.10.2m?n.11.{x |-1≤x < 0, x?R};{x | 1 < x < 2, x?R};{x | 0≤x≤1, x?12.12;6.13.{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.14.x(?P(x)∨Q(x)).15.21.16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)).17.{(1, 3),(2, 2)};{(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.二、選擇題

1.C.2.D.3.B.4.B.5.D.6.C.7.C.8.A.9.D.10.B.11.B.13.A.14.A.15.D

三、計算證明題

1.(1)

(2)B無上界，也無最小上界。下界1, 3;最大下界是3.(3)A無最大元，最小元是1，極大元8, 12, 90+;極小元是1.2.R = {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.(1)

(2)

3.(1)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝2x+3＝2x+3.(2)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝(x+3)+3＝x+6,(3)???＝?(?(x))＝?(x)+3＝x/4+3,(4)???＝?(?(x))＝?(x)/4＝2x/4 = x/2，(5)?????＝??(???)＝???+3＝2x/4+3＝x/2+3.4.(1)P(a, f(a))∧P(b, f(b))= P(3, f(3))∧P(2, f(2))= P(3, 2)∧P(2, 3)= 1∧0 = 0.(2)xy P(y, x)= x(P(2, x)∨P(3, x))

R}.6 =(P(2, 2)∨P(3, 2))∧(P(2, 3)∨P(3, 3))=(0∨1)∧(0∨1)= 1∧1 = 1.5.(1)

(2)無最大元，最小元1，極大元8, 12;極小元是1.(3)B無上界，無最小上界。下界1, 2;最大下界2.6.G = ?(P→Q)∨(Q∧(?P→R))= ?(?P∨Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧(P∨R))=(P∧?Q)∨(Q∧P)∨(Q∧R)

=(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?=(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)= m3∨m4∨m5∨m6∨m7 = ?(3, 4, 5, 6, 7).7.G =(xP(x)∨yQ(y))→xR(x)= ?(xP(x)∨yQ(y))∨xR(x)=(?xP(x)∧?yQ(y))∨xR(x)=(x?P(x)∧y?Q(y))∨zR(z)= xyz((?P(x)∧?Q(y))∨R(z))

9.(1)r(R)＝R∪IA＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)＝R∪R－1＝{(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}，t(R)＝R∪R2∪R3∪R4＝{(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}；

(2)關系圖:

11.G＝(P∧Q)∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝m6∨m7∨m3 ＝?(3, 6, 7)

H =(P∨(Q∧R))∧(Q∨(?P∧R))＝(P∧Q)∨(Q∧R))∨(?P∧Q∧R)

＝(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)＝(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)＝m6∨m3∨m7 ＝?(3, 6, 7)

G,H的主析取范式相同，所以G = H.13.(1)

P∧Q∧R)7

(2)R?S＝{(a, b),(c, d)}，R∪S＝{(a, a),(a, b),(a, c),(b, c),(b, d),(c, d),(d, d)}, R－1＝{(a, a),(c, a),(c, b),(d, c)}, S－1?R－1＝{(b, a),(d, c)}.四 證明題

1.證明：{P→Q, R→S, P∨R}蘊涵Q∨S(1)P∨RP

(2)?R→PQ(1)(3)P→QP

(4)?R→QQ(2)(3)(5)?Q→RQ(4)(6)R→SP

(7)?Q→SQ(5)(6)(8)Q∨SQ(7)

2.證明：(A-B)-C =(A∩~B)∩~C = A∩(~B∩~C)= A∩~(B∪C)= A-(B∪C)

3.證明：{?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D(1)AD(附加)(2)?A∨BP(3)BQ(1)(2)(4)?C→?BP(5)B→CQ(4)(6)CQ(3)(5)(7)C→DP(8)DQ(6)(7)(9)A→DD(1)(8)

所以 {?A∨B, ?C→?B, C→D}蘊涵A→D.4.證明：A－(A∩B)= A∩~(A∩B)＝A∩(~A∪~B)

＝(A∩~A)∪(A∩~B)＝?∪(A∩~B)＝(A∩~B)＝A－B

而(A∪B)－B =(A∪B)∩~B

=(A∩~B)∪(B∩~B)=(A∩~B)∪?

= A－B

所以：A－(A∩B)=(A∪B)－B.8

1.離散數學試題及答案2 離散數學試題

一.多重選擇填空題

(本題包括16個空格，每個空格3分，共48分。每道小題都可能有一個以上的正確選項，須選出所有的正確選項，不答不得分，多選、少選或選錯都將按比例扣分。)1．命題公式(P∧(P→Q))→Q是_____式。

(1)重言(2)矛盾(3)可滿足(4)非永真的可滿足 2．給定解釋I=(D,)=(整數集，{f(x,y):f(x,y)=x-y；g(x,y):g(x,y)=x+y；P(x,y):x

(1)100(2)99(3)2048(4)1024(5)512 4．集合Ａ={x|x是整數，<30}，Ｂ={x|x是質數，x<20}，C={1,3,5}，則① =_____;② =_____;③ =_____;④ =_____。(1){1,2,3,5}(2)(3){0}(4){1,3,5,7,11,13,17,19}(5){1,3,5,7}(6){7,11,13,17,19} 5．設A、B、C是集合，下列四個命題中，_____在任何情況下都是正確的。(1)若A B且B∈C，則A∈C(2)若A B且B∈C，則A C(3)若A∈B且B C，則A C(4)若A∈B且B C，則A∈C 6．設集合Ａ={a,b,c,d,e,f,g}，Ａ的一個劃分 ={{a,b},{c,d,e},{f,g}}，則 所對應的等價關系有_____個二元組。

(1)14(2)15(3)16(4)17(5)8(6)49(7)512 7．S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，≤是S上的整除關系。S的子集Ｂ＝{2,4,6｝，則在(S，≤)中，Ｂ的最大元是_____；Ｂ的最小元是_____；Ｂ的上確界是_____；Ｂ的下確界是_____。

(1)不存在的(2)36(3)24(4)12(5)6(6)1(7)2 8．設有有限布爾代數(B,+,*,’,0,1)，則 =_____能成立。(1)1(2)2(3)3(4)4(5)5(6)8(7)9 9．G={0,1,2,?,n}，n∈N，定義 為模n加法，即x y=(x+y)mod n，則代數系統(G，)_____。

(1)是半群但不是群(2)是無限群(3)是循環群(4)是變換群(5)是交換群

10．n個結點、m條邊的無向連通圖是樹當且僅當m=_____。(1)n+1(2)n(3)n-1(4)2n-1 二請給出命題公式 的主析取范式。(10分)三假設下列陳述都是正確的：(1)學生會的每個成員都是學生并且是班干部；

(2)有些成員是女生。問是否有成員是女班干部？請將上述陳述和你的結論符號化，并給出你的結論的形式證明。(10分)四設R和S是集合Ｘ上的等價關系,則S∩R必是等價關系。(10分)

參考答案

一、1.1、3 2.4 3.4 4.1；4；2；2 5.4 6.4 7.1；7；4；7 8.2、4、6 9.3、4 10.3

二、分析：求給定命題公式的主析取范式與主合取范式，通常有兩種方法——列表法和等值演算法。(1)列表法

列出給定公式的真值表，其真值為真的賦值所對應的極小項的析取，即為此公式的主析取范式。(2)等值演算法 在等值演算中，首先將公式中的蘊涵聯結詞和等價聯結詞化去，使整個公式化歸為析取范式，然后刪去其中所有的永假合取項，再將析取式中重復出現的合取項合并和合并合取項中相同的命題變元，最后對合取項添加沒有出現的命題變元，就是合取 ,經過化簡整理，即可得到主析取范式。解：（1）列表法 設

000011111 001010100 010010100 011110100 100001000 101000010 110000010 111100111 根據真值表中 真值為1的賦值所對應的極小項的析取，即為 的主析取范式。由表可知

（2）等值演算

三、解：有成員是女班干部。

將命題符號化，個體域為全總個體域。

：x是學生會的成員。：x是學生 ：x是班干部 ：x是女性 前提：，結論： 證明： ① P ② ES①，e為額外變元 ③ P ④ T③ ⑤ T② ⑥ T② ⑦ T④⑤⑥ ⑧ T② ⑨ T⑤⑦⑧ ⑩ EG⑨

離散數學試題及答案1

離散數學考試試題（A卷及答案）

一、（10分）某項工作需要派A、B、C和D 4個人中的2個人去完成，按下面3個條件，有幾種派法？如何派？

(1)若A去，則C和D中要去1個人；

(2)B和C不能都去；

(3)若C去，則D留下。

解 設A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。則根據題意應有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必須同時成立。因此

(A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D)

?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D))?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D)

∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D)

∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D)

?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F

?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D)?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D)?T

故有三種派法：B∧D，A∧C，A∧D。

二、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：某學術會議的每個成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。

解：論域：所有人的集合。()： 是專家；()： 是工人；()： 是青年人；則推理化形式為：

(()∧())，()(()∧())下面給出證明：

(1)()P

(2)(c)T(1)，ES(3)(()∧())P

(4)(c)∧(c)T(3)，US(5)(c)T(4)，I

(6)(c)∧(c)T(2)(5)，I

11(7)(()∧())T(6)，EG

三、（10分）設A、B和C是三個集合，則A?B??(B?A)。

證明：A?B?x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧x?A)?x(x?A∨x∈B)∧x(x∈B∧x?A)??x(x∈A∧x?B)∧?x(x?B∨x∈A)??x(x∈A∧x?B)∨?x(x∈A∨x?B)??(x(x∈A∧x?B)∧x(x∈A∨x?B))??(x(x∈A∧x?B)∧x(x∈B→x∈A))??(B?A)。

四、（15分）設A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>}

s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>}

R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>}

R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2

t(R)＝ Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。

五、（10分）R是非空集合A上的二元關系，若R是對稱的，則r(R)和t(R)是對稱的。

證明 對任意的x、y∈A，若xr(R)y，則由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R與IA對稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是對稱的。

下證對任意正整數n，Rn對稱。

因R對稱，則有xR2y?z(xRz∧zRy)?z(zRx∧yRz)?yR2x，所以R2對稱。若 對稱，則x y?z(x z∧zRy)?z(z x∧yRz)?y x，所以 對稱。因此，對任意正整數n，對稱。

對任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是對稱的。

六、（10分）若f：A→B是雙射，則f－1：B→A是雙射。

證明 因為f：A→B是雙射，則f－1是B到A的函數。下證f－1是雙射。

對任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，從而f－1(y)＝x，所以f－1是滿射。

對任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，則f(x)＝y1，f(x)＝y2。因為f：A→B是函數，則y1＝y2。所以f－1是單射。

綜上可得，f－1：B→A是雙射。

七、（10分）設是一個半群，如果S是有限集，則必存在a∈S，使得a*a＝a。

證明 因為是一個半群，對任意的b∈S，由*的封閉性可知，b2＝b*b∈S，b3＝b2*b∈S，?，bn∈S，?。

因為S是有限集，所以必存在j＞i，使得 ＝。令p＝j－i，則 ＝ *。所以對q≥i，有 ＝ *。

因為p≥1，所以總可找到k≥1，使得kp≥i。對于 ∈S，有 ＝ * ＝ *(*)＝?＝ *。

令a＝，則a∈S且a*a＝a。

八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個面的次數至少為l(l≥3)，則G的邊數m與結點數n有如下關系：

m≤(n－2)。

證明 設G有r個面，則2m＝ ≥lr。由歐拉公式得，n－m＋r＝2。于是，m≤(n－2)。

（2）設平面圖G＝是自對偶圖，則| E|＝2(|V|－1)。

證明 設G*＝是連通平面圖G＝的對偶圖，則G*? G，于是|F|＝|V*| 12 ＝|V|，將其代入歐拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。

離散數學考試試題（B卷及答案）

一、（10分）證明(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)S∨R

證明 因為S∨R??R?S，所以，即要證(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)?R?S。

(1)?R 附加前提

(2)P?R P

(3)?P T(1)(2)，I(4)P∨Q P

(5)Q T(3)(4)，I(6)Q?S P(7)S T(5)(6)，I(8)?R?S CP(9)S∨R T(8)，E

二、（15分）根據推理理論證明：每個考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。

設P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個體域：人的集合，則命題可符號化為：x(P(x)?(A(x)∨B(x)))，x(A(x)?Q(x))，?x(P(x)?Q(x))x(P(x)∧B(x))。

(1)?x(P(x)?Q(x))P

(2)?x(?P(x)∨Q(x))T(1)，E(3)x(P(x)∧?Q(x))T(2)，E(4)P(a)∧?Q(a)T(3)，ES(5)P(a)T(4)，I(6)?Q(a)T(4)，I

(7)x(P(x)?(A(x)∨B(x))P

(8)P(a)?(A(a)∨B(a))T(7)，US(9)A(a)∨B(a)T(8)(5)，I(10)x(A(x)?Q(x))P

(11)A(a)?Q(a)T(10)，US(12)?A(a)T(11)(6)，I(13)B(a)T(12)(9)，I

(14)P(a)∧B(a)T(5)(13)，I(15)x(P(x)∧B(x))T(14)，EG

三、（10分）某班有25名學生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網球，還有2人會打這三種球。而6個會打網球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數。

解 設A、B、C分別表示會打排球、網球和籃球的學生集合。則：

|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。

因為|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，＝25－20＝5。故，不會 13 打這三種球的共5人。

四、（10分）設A1、A2和A3是全集U的子集，則形如 Ai?(Ai?為Ai或)的集合稱為由A1、A2和A3產生的小項。試證由A1、A2和A3所產生的所有非空小項的集合構成全集U的一個劃分。

證明 小項共8個，設有r個非空小項s1、s2、?、sr(r≤8)。

對任意的a∈U，則a∈Ai或a∈，兩者必有一個成立，取Ai?為包含元素a的Ai或，則a∈ Ai?，即有a∈ si，于是U? si。又顯然有 si?U，所以U＝ si。

任取兩個非空小項sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個Ai和 分別出現在sp和sq中，于是sp∩sq＝?。

綜上可知，{s1，s2，?，sr}是U的一個劃分。

五、（15分）設R是A上的二元關系，則：R是傳遞的?R*R?R。

證明(5)若R是傳遞的，則∈R*R?z(xRz∧zSy)?xRc∧cSy，由R是傳遞的得xRy，即有∈R，所以R*R?R。

反之，若R*R?R，則對任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則∈R*R，于是有∈R，即有xRy，所以R是傳遞的。

六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結點數、邊數和面數。

證明 對G的邊數m作歸納法。

當m＝0時，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時n＝1，r＝1，結論自然成立。

假設對邊數小于m的連通平面圖結論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數為m的情況。

設e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G?，并設其結點數、邊數和面數分別為n?、m?和r?。對e分為下列情況來討論：

若e為割邊，則G?有兩個連通分支G1和G2。Gi的結點數、邊數和面數分別為ni、mi和ri。顯然n1＋n2＝n?＝n，m1＋m2＝m?＝m－1，r1＋r2＝r?＋1＝r＋1。由歸納假設有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。

若e不為割邊，則n?＝n，m?＝m－1，r?＝r－1，由歸納假設有n?－m?＋r?＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。

由數學歸納法知，結論成立。

七、（10分）設函數g：A→B，f：B→C，則：

(1)fog是A到C的函數；

(2)對任意的x∈A，有fog(x)＝f(g(x))。

證明(1)對任意的x∈A，因為g：A→B是函數，則存在y∈B使∈g。對于y∈B，因f：B→C是函數，則存在z∈C使∈f。根據復合關系的定義，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fog。所以Dfog＝A。

對任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得、∈fog＝g*f，則存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。因為g：A→B是函數，則t1＝t2。又因f：B→C是函數，則y1＝y2。所以A中的每個元素對應C中惟一的元素。

綜上可知，fog是A到C的函數。

(2)對任意的x∈A，由g：A→B是函數，有∈g且g(x)∈B，又由f：B→C是函數，得∈f，于是∈g*f＝fog。又因fog是A到C的函數，則可寫為fog(x)＝f(g(x))。

八、（15分）設是的子群，定義R＝{|a、b∈G且a－1*b∈H}，則R是G中的一個等價關系，且[a]R＝aH。

證明 對于任意a∈G，必有a－1∈G使得a－1*a＝e∈H，所以∈R。

若∈R，則a－1*b∈H。因為H是G的子群，故(a－1*b)－1＝b－1*a∈H。所以∈R。

若∈R，∈R，則a－1*b∈H，b－1*c∈H。因為H是G的子群，所以(a－1*b)*(b－1*c)＝a－1*c∈H，故∈R。

綜上可得，R是G中的一個等價關系。

對于任意的b∈[a]R，有∈R，a－1*b∈H，則存在h∈H使得a－1*b＝h，b＝a*h，于是b∈aH，[a]R?aH。對任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a－1*b＝h∈H，∈R，故aH?[a]R。所以，[a]R＝aH。

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一、填空 20%（每小題2分）

1．設（N：自然數集，E???+ 正偶數）則。

2．A，B，C表示三個集合，文圖中陰影部分的集合表達式為。

3．設P，Q 的真值為0，R，S的真值為1，則的真值=。

4．公式 的主合取范式為。

5．若解釋I的論域D僅包含一個元素，則 在I下真值為。

6．設A={1，2，3，4}，A上關系圖為

則 R2 =。

7．設A={a，b，c，d}，其上偏序關系R的哈斯圖為

則 R=。

8．圖 的補圖為。

9．設A={a，b，c，d}，A上二元運算如下：

* a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c

那么代數系統的幺元是，有逆元的元素為，它們的逆元分別為。

10．下圖所示的偏序集中，是格的為。

二、選擇 20%（每小題 2分）

1、下列是真命題的有（）

A． ； B． ；

C． ； D．。

2、下列集合中相等的有（）

A．{4，3} ；B．{，3，4}；C．{4，3，3}；D． {3，4}。

3、設A={1，2，3}，則A上的二元關系有（）個。

A． 23 ； B． 32 ； C． ； D．。

4、設R，S是集合A上的關系，則下列說法正確的是（）

A．若R，S 是自反的，則 是自反的；

B．若R，S 是反自反的，則 是反自反的；

C．若R，S 是對稱的，則 是對稱的；

D．若R，S 是傳遞的，則 是傳遞的。

5、設A={1，2，3，4}，P（A）（A的冪集）上規定二元系如下

則P（A）/ R=（）

A．A ；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；

D．{{ }，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}

6、設A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}則A上包含關系“ ”的哈斯圖為（）

7、下列函數是雙射的為（）

A．f : I E , f(x)= 2x ； B．f : N N N, f(n)= ；

C．f : R I , f(x)= [x] ； D．f :I N, f(x)= | x |。

（注：I—整數集，E—偶數集，N—自然數集，R—實數集）

8、圖 中 從v1到v3長度為3 的通路有（）條。

A． 0； B． 1； C． 2； D． 3。

9、下圖中既不是Eular圖，也不是Hamilton圖的圖是（）

10、在一棵樹中有7片樹葉，3個3度結點，其余都是4度結點則該樹有（）個4度結點。

A．1； B．2； C．3； D．4。

三、證明 26%

1、R是集合X上的一個自反關系，求證：R是對稱和傳遞的，當且僅當 < a, b> 和在R中有<.b , c>在R中。（8分）

2、f和g都是群到< G2, *>的同態映射，證明是的一個子群。其中C=(8分)

3、G=(|V| = v，|E|=e)是每一個面至少由k（k 3）條邊圍成的連通平面圖，則，由此證明彼得森圖（Peterson）圖是非平面圖。（11分）

四、邏輯推演 16%

用CP規則證明下題（每小題 8分）

1、2、五、計算 18%

1、設集合A={a，b，c，d}上的關系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩陣運算求出R的傳遞閉包t(R)。（9分）

2、如下圖所示的賦權圖表示某七個城市 及預先算出它們之間的一些直接通信線路造價，試給出一個設計方案，使得各城市之間能夠通信而且總造價最小。（9分）

試卷一答案：

一、填空 20%（每小題2分）

1、{0，1，2，3，4，6}；

2、；

3、1；

4、； 5、1；

6、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }；

7、{,,,,} IA ；

8、9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；

10、c;

二、選擇 20%（每小題 2分）

題目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C D B、C C A D C A D B A

三、證明 26%

1、證：

“ ” 若 由R對稱性知，由R傳遞性得

“ ” 若，有 任意，因 若 所以R是對稱的。

若，則 即R是傳遞的。

2、證，有，又

★ ★

★ < C , ★> 是 < G1 , ★>的子群。

3、證：

①設G有r個面，則，即。而 故 即得。（8分）

②彼得森圖為，這樣 不成立，所以彼得森圖非平面圖。（3分）

二、邏輯推演 16%

1、證明：

① P（附加前提）

② T①I ③ P

④ T②③I ⑤ T④I ⑥ T⑤I ⑦ P

⑧ T⑥⑦I ⑨ CP

2、證明

① P（附加前提）

② US①

③ P ④ US③

⑤ T②④I ⑥ UG⑤

⑦ CP

三、計算 18%

1、解：，t(R)={ , , < a , c> , , , < b ,b > , < b , c.> , < b , d > , < c , d > }

2、解： 用庫斯克（Kruskal）算法求產生的最優樹。算法略。結果如圖：

樹權C(T)=23+1+4+9+3+17=57即為總造價。

第二篇：全國2006年4月高等教育自學考試離散數學試題

全國2006年4月高等教育自學考試

離散數學試題

課程代碼：02324

一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．下列命題公式為重言式的是（）A．p→(p∨q)C．q∧┐q 2．下列語句中不是命題的只有（）．．A．這個語句是假的。C．飛碟來自地球外的星球。

B．1+1=1.0

D．凡石頭都可練成金。B．(p∨┐p)→q D．p→┐q 3．設p：我很累，q：我去學習，命題：“除非我很累，否則我就去學習”的符號化正確的是

（）

A．┐p∧q C．┐p→┐q 4．下列等價式正確的是（）A．┐(?x)A?(?x)┐A B．(?x)(?y)A?(?x)(?y)A C．┐(?x)A?(?x)┐A

D．(?x)(A(x)?B(x))?(?x)A(x)?(?x)B(x)

5．在公式(?x)(?y)(P(x,y)?Q(z))?(?y)P(y,z)中變元y是（）A．自由變元 B．約束變元

C．既是自由變元，又是約束變元 D．既不是自由變元，又不是約束變元

6．設A={1，2，3}，A上二元關系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，則S是（）A．自反關系 C．對稱關系

B．反自反關系 D．傳遞關系 B．┐p→q D．p→┐q 7．設集合X為人的全體，在X上定義關系R、S為R={|a，b∈X∧a是b的母親}，那么關系{|a，b∈x∧ a是b的祖母}的表達式為（）A．R?S C．S?R

B．R-1?S D．R?S-1

8．設A是正整數集，R={(x，y)|x，y∈A∧x+3y=12}，則R∩({2，3，4，6}×{2，3，4，6})=（）A． O /

B．{<3，3>} C．{<3，3>，<6，2>} D．{<3，3>，<6，2>，<9，1>} 9．下列式子不正確的是（）A．(A-B)-C=(A-C)-B C．(A-B)-C=(A-C)-(B-C)10．下列命題正確的是（）A．{l，2}?{{1，2}，{l，2，3}，1} B．{1，2}?{1，{l，2}，{l，2，3}，2} C．{1，2}?{{1}，{2}，{1，2}} D．{1，2}∈{1，2，{2}，{l，2，3}} 11．在下列代數系統中，不是環的只有（）

A．，其中R為實數集，+為實數加法，a*b=a+2b。

D．，其中Mn(R)為實數集n×n階矩陣結合，+，*是矩陣加法和乘法。12．下列整數集對于整除關系都構成偏序集，而能構成格的是（）A．{l，2，3，4，5} C．{2，3，7}

B．{1，2，3，6，12} D．{l，2，3，7}

B．(A-B)-C=A-(B∪C)D．A-(B∪C)=(A-B)∪ C

13．結點數為奇數且所有結點的度數也為奇數的連通圖必定是（）A．歐拉圖 C．非平面圖

B．漢密爾頓圖 D．不存在的

14．無向圖G是歐拉圖當且僅當G是連通的且（）A．G中各頂點的度數均相等 B．G中各頂點的度數之和為偶數 C．G中各頂點的度數均為偶數 D．G中各頂點的度數均為奇數

15．平面圖(如下)的三個面的次數分別是（）

A．11，3，4 C．12，3，6

B．11，3，5 D．10，4，3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．求一個公式的主析取或主合取范式的方法，有______________法和______________法。

17．給定謂詞合式公式A，其中一部分公式形式為(?x)B(x)或(?x)B(x)，則量詞?，?后面所跟的x稱為______________，而稱B為相應量詞的______________。

18．設X，U，V，Y都是實數集，f1：X→U，且fl(x)→ex； f2：U→V，且f2(u)＝u(1+u)；f3：V→Y，且f3(v)=cosv。那么f3?f2?f1的定義域是______________，而復合函數(f3?f2?f1)(x)= ______________。

19．集合X={a，b，c，d}上二元關系R={，，，，，}，則R的自反閉包r(R)= ______________，對稱閉包s(R)= ______________。

20．已知G=<{l，-1，i，-i}，·>(其中i=?1，是數的乘法)是群，則-l的階是______________；i的階是______________。21．對代數系統，其中*是S上的二元運算，若a，b∈S，且對任意的x∈S，都有a*x=x*a=x，b*x=x*b=b，則稱a為運算“*”的______________，稱b為運算“*”的______________。

22．設是群，則滿足結合律和______________；若｜S｜>l，S中不可能有______________。23．寫出如右有向圖的一條初級回路：______________，其長度是______________。24．一個______________且______________的無向圖稱為樹。25．在簡單無向圖G=中，如果V中的每個結點都與其稱為______________，如果V有n個結點，那么它還是

三、計算題(本大題共5小題，第26、27題各5分，第28、29題各6分，第30題8分，共30分)26．若集合A={a，{b，c}}的冪集為P(A)，集合B={ O /

，{ O / }}的冪集為P(B)，求P(A)∩P(B)。

27．構造命題公式(p→(q∧ r))→┐p的真值表。

28．求圖G＝的可達矩陣，其中V＝｛v1,v2,v3,v4｝ E＝｛(v1,v2),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v2),(v3,v4),(v3,v1),(v4,v1)｝

余的所有結點鄰接，則該圖______________度正則圖。

29．求下列公式的主析取范式和主合取范式：（P∧Q）∨（┐P∧R）

30．設A＝｛2，3，4，6，8，12，24｝，R為A上整除關系，試畫的哈斯圖，并求A中的最大元，最小元，極大元，極小元。

四、證明題（本大題共3小題，第31、32小題各6分，第33題8分，共20分）31．設M是偶數集，＋和·是數的加、乘運算，證明是一個環。32．設R是集合X上的二元關系，證明R是X上傳遞關系當且僅當R?R?R。

33．設G是簡單平面圖，G有n個頂點m條邊，且m<30，證明G中存在一項點v，d（v）≤4。

五、應用題（本大題共2小題，第34題6分，第35題9分，共15分）34．判斷下面推理是否正確，并證明你的結論。如果小王今天家里有事，則他不會來開會。如果小張今天看到小王，則小王今天來開會了。小張今天看到小王。所以小王今天家里沒事。

35．有6個村莊Vi，i=l，2，…，6欲修建道路使村村可通。現已有修建方案如下帶權無向圖所示，其中邊表示道路，邊上的數字表示修建該道路所需費用，問應選擇修建哪些道路可使得任二個村莊之間是可通的且總的修建費用最低?要求寫出求解過程，畫出符合要求的最低費用的道路網絡圖并計算其費用。

第三篇：離散數學試題

中央電大離散數學試題

月

一、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）

1．若集合A={1，{2}，{1，2}}，則下列表述正確的是()．

A．2?AB．{1}?A

C．1?AD．2 ? A

2．已知一棵無向樹T中有8個頂點，4度、3度、2度的分支點各一個，T的樹葉數為

()．

A．6B．4C．3D．

53．設無向圖G的鄰接矩陣為

?01111??10011????10000???11001????11010??

則G的邊數為()．

A．1B．7C．6D．14 4．設集合A={a}，則A的冪集為()．

A．{{a}}B．{a，{a}}

C．{?，{a}}D．{?，a}

5．下列公式中()為永真式．

A．?A??B ? ?A??BB．?A??B ? ?(A?B)

C．?A??B ? A?BD．?A??B ? ?(A?B)

二、填空題（每小題3分，本題共15分）

6．命題公式P??P的真值是

7．若無向樹T有5個結點，則T的邊數為．

8．設正則m叉樹的樹葉數為t，分支數為i，則(m-1)i

9．設集合A={1，2}上的關系R＝{<1, 1>,<1, 2>}，則在R中僅需加一個元素，就可使新得到的關系為對稱的．

10．(?x)(A(x)→B(x，z)∨C(y))中的自由變元有．

三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分）

11．將語句“今天上課．”翻譯成命題公式．

12．將語句“他去操場鍛煉，僅當他有時間．”翻譯成命題公式．

四、判斷說明題（每小題7分，本題共14分）

判斷下列各題正誤，并說明理由．

13．設集合A={1，2}，B={3，4}，從A到B的關系為f={<1, 3>}，則f是A到B的函數．

14．設G是一個有4個結點10條邊的連通圖，則G為平面圖．

五．計算題（每小題12分，本題共36分）

15．試求出（P∨Q）→（R∨Q）的析取范式．

16．設A={{1}, 1, 2}，B={ 1, {2}}，試計算

（1）（A∩B）（2）（A∪B）（3）A ?（A∩B）．

17．圖G=，其中V={ a, b, c, d }，E={(a, b),(a, c),(a, d),(b, c),(b, d),(c, d)}，對應邊的權值依次為1、2、3、1、4及5，試

（1）畫出G的圖形；

（2）寫出G的鄰接矩陣；

（3）求出G權最小的生成樹及其權值．

六、證明題（本題共8分）

18．試證明：若R與S是集合A上的自反關系，則R∩S也是集合A上的自反關系．

中央電大2010年7月離散數學

試題解答

(供參考)

一、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）

1．B2．D3．B4．C5．B

二、填空題（每小題3分，本題共15分）

6．假（或F，或0）

7．48．t-

19． <2, 1>

10．z，y

三、邏輯公式翻譯（每小題6分，本題共12分）

11．設P：今天上課，（2分）則命題公式為：P．（6分）

12．設 P：他去操場鍛煉，Q：他有時間，（2分）則命題公式為：P ?Q．（6分）

四、判斷說明題（每小題7分，本題共14分）

13．錯誤．（3分）因為A中元素2沒有B中元素與之對應，故f不是A到B的函數．（7分）

14．錯誤．（3分）不滿足“設G是一個有v個結點e條邊的連通簡單平面圖，若v≥3，則e≤3v-6．”（7分）

五．計算題（每小題12分，本題共36分）

15．（P∨Q）→（R∨Q）? ┐(P∨Q)∨（R∨Q）（4分）

?(┐P∧┐Q)∨（R∨Q）（8分）

?(┐P∧┐Q)∨R∨Q（析取范式）（12分）

16．（1）（A∩B）={1}（4分）

（2）（A∪B）={1, 2, {1}, {2}}（8分）

（3）A?（A∩B）={{1}, 1, 2}（12分）

17．（1）G的圖形表示如圖一所示：ad1

5b c（3分）圖一

（2）鄰接矩陣：

?0?1?10111?1??（6分）??1101?

?1110??

（3）最小的生成樹如圖二中的粗線所示：

a 3d5

b圖二1c

權為：1+1+3=5

六、證明題（本題共8分）

18．證明：設?x?A，因為R自反，所以x R x，即< x, x>?R；

又因為S自反，所以x R x，即< x, x >?S．即< x, x>?R∩S故R∩S自反．

10分）12分）（4分）（6分）（8分）（（

第四篇：2010年7月自考離散數學試題及答案

全國2010年7月自學考試離散數學試題

課程代碼：02324

一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．下列句子不是命題的是（D）．．A．中華人民共和國的首都是北京 C．雪是黑色的

B．張三是學生 D．太好了！

2．下列式子不是謂詞合式公式的是（B）．．A．（?x）P(x)→R(y)B．(?x)┐P（x）?(?x)(P(x)→Q(x))C．(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x)D．(?x)(P(x,y)→Q(x,z))∨(?z)R(x,z)3．下列式子為重言式的是（）A．(┐P∧R)→Q C．P∨(P∧Q)

B．P∨Q∧R→┐R D．(┐P∨Q)?(P→Q)4．在指定的解釋下，下列公式為真的是（）A．(?x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域:{1,2} B．(?x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域: {1,2} C．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} D．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} 5．對于公式(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)，下列說法正確的是（）A．y是自由變元 C．(?x)的轄域是R(x, y)

B．y是約束變元

D．(?x)的轄域是(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)6．設論域為{1,2}，與公式(?x)A(x)等價的是（）A．A(1)∨A(2)C．A(1)∧A(2)

B．A(1)→A(2)D．A(2)→A(1)7．設Z+是正整數集，R是實數集，f:Z+→R, f(n)=log2n ,則f（）A．僅是入射 C．是雙射

B．僅是滿射 D．不是函數

8．下列關系矩陣所對應的關系具有反對稱性的是（）

?1?A．?0??10101??1 ?0???1?B．?0??10100??1 ?1??

全國2010年7月自學考試離散數學試題

?0C．?0???10001??1 ?0???1D．?0???10101??0 ?0??9．設R1和R2是集合A上的相容關系，下列關于復合關系R1?R2的說法正確的是（）A．一定是等價關系 C．一定不是相容關系

10．下列運算不滿足交換律的是（）．．．A．a*b=a+2b C．a*b=|a-b|

B．a*b=min(a,b)D．a*b=2ab B．一定是相容關系

D．可能是也可能不是相容關系

11．設A是偶數集合，下列說法正確的是（）A．是群 C．是群

B．是群

D．, ,都不是群

12．設*是集合A上的二元運算，下列說法正確的是（）A．在A中有關于運算*的左幺元一定有右幺元 B．在A中有關于運算*的左右幺元一定有幺元 C．在A中有關于運算*的左右幺元，它們不一定相同 D．在A中有關于運算*的幺元不一定有左右幺元 13．題13圖的最大出度是（）A．0 C．2 14．下列圖是歐拉圖的是（）

B．1 D．3

15．一棵樹的3個4度點，4個2度點，其它的都是1度，那么這棵樹的邊數是（）A．13 C．15

B．14 D．16

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．請寫出表示德摩根律的兩個命題公式等價定理___________，___________。

17．n個命題變元的___________稱為小項，其中每個變元與它的否定不能同時出現，但兩者必須___________。18．前提引入規則：在證明的任何步驟上都可以___________，簡稱___________規則。

19．自由變元代入規則是指對某___________出現的個體變元可用個體常元或用與原子公式中所有個體變元不同的個體變元去代入，且___________。20．設A=?,B={2,4}，則((A)=___________，A×B___________。

21．設A={1,2,3,4}, A上的二元關系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>},S={<1,3>,<2,4>,<4,2>}，則R2?S=___________，全國2010年7月自學考試離散數學試題

(R)=___________。

22．設代數系統是環，則是___________，是___________。

23．在中，元素2的階為___________，它生成的子群為___________，其中?7為模7乘法。24．設是一個___________，如果A中任意兩個元素都有___________，則稱為格。25．若一條___________中，所有的___________均不相同，稱為跡。

三、計算題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

26．給定論域D={1,2}，f(1)=2, f(2)=1, S(1)=F, S(2)=T, G(1,2)=T, G(2,1)=T,在該賦值下，求式子?x(S(f(x))∧G(x, f(x)))的真值。

27．請通過等值演算法求┐(P∧Q)→(P∨Q)的主析取范式。

28．設A={1,2,3,4}，給定A上二元關系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,2>}，求R的傳遞閉包。29．對題29圖所示格，找出它的所有的4元子格。

30．用矩陣的方法求題30圖中結點ui，u5之間長度為2的路徑的數目。

31．求題31圖的最小生成樹。

四、證明題（本大題共3小題，第32小題8分，第33、34小題各6分，共20分）32．用推理方法證明(A∨B)→(C∧D),(D∨F)→E├A→E。

33．證明：設是一個群，則對于任意a,b∈G，必存在惟一的x∈G使得a·x=b。34．設圖G有n個結點，n+1條邊，證明：G中至少有一個結點度數≥3。

五、應用題（本大題共2小題，第35小題9分，第36小題6分，共15分）

35．符合化下列命題，并構造推理證明：三角函數都是周期函數，有些三角函數是連續函數，所以有些周期函數是連續函數。

36．兩個等價關系的并集不一定是等價關系，試舉例說明。-12

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2010年7月全國自考離散數學試題參考答案

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第五篇：2010年7月自考離散數學試題及答案

一、單項選擇題（本大題共15小題，每小題1分，共15分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．下列句子不是命題的是（D）．．A．中華人民共和國的首都是北京 C．雪是黑色的

B．張三是學生 D．太好了！

2．下列式子不是謂詞合式公式的是（B）．．A．（?x）P(x)→R(y)B．(?x)┐P（x）?(?x)(P(x)→Q(x))C．(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x)D．(?x)(P(x,y)→Q(x,z))∨(?z)R(x,z)3．下列式子為重言式的是（）A．(┐P∧R)→Q C．P∨(P∧Q)

B．P∨Q∧R→┐R D．(┐P∨Q)?(P→Q)4．在指定的解釋下，下列公式為真的是（）A．(?x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域:{1,2} B．(?x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,論域: {1,2} C．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} D．(?x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,論域:{3,4} 5．對于公式(?x)(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)，下列說法正確的是（）A．y是自由變元 C．(?x)的轄域是R(x, y)

B．y是約束變元

D．(?x)的轄域是(?y)(P(x)∧Q(y))→(?x)R(x,y)6．設論域為{1,2}，與公式(?x)A(x)等價的是（）A．A(1)∨A(2)C．A(1)∧A(2)

B．A(1)→A(2)D．A(2)→A(1)7．設Z+是正整數集，R是實數集，f:Z+→R, f(n)=log2n ,則f（）A．僅是入射 C．是雙射

B．僅是滿射 D．不是函數

8．下列關系矩陣所對應的關系具有反對稱性的是（）?101???A．?011?

??100???001???C．?001?

??100???100???B．?011?

??101???101???D．?010?

??100??9．設R1和R2是集合A上的相容關系，下列關于復合關系R1?R2的說法正確的是（）A．一定是等價關系

B．一定是相容關系

全國2010年7月自學考試離散數學試題

C．一定不是相容關系

10．下列運算不滿足交換律的是（）．．．A．a*b=a+2b C．a*b=|a-b|

D．可能是也可能不是相容關系

B．a*b=min(a,b)D．a*b=2ab

11．設A是偶數集合，下列說法正確的是（）A．是群 C．是群

B．是群

D．, ,都不是群

12．設*是集合A上的二元運算，下列說法正確的是（）A．在A中有關于運算*的左幺元一定有右幺元 B．在A中有關于運算*的左右幺元一定有幺元 C．在A中有關于運算*的左右幺元，它們不一定相同 D．在A中有關于運算*的幺元不一定有左右幺元 13．題13圖的最大出度是（）A．0 C．2 14．下列圖是歐拉圖的是（）

B．1 D．3

15．一棵樹的3個4度點，4個2度點，其它的都是1度，那么這棵樹的邊數是（）A．13 C．15

B．14 D．16

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

16．請寫出表示德摩根律的兩個命題公式等價定理___________，___________。

17．n個命題變元的___________稱為小項，其中每個變元與它的否定不能同時出現，但兩者必須___________。18．前提引入規則：在證明的任何步驟上都可以___________，簡稱___________規則。

19．自由變元代入規則是指對某___________出現的個體變元可用個體常元或用與原子公式中所有個體變元不同的個體變元去代入，且___________。

20．設A=?,B={2,4}，則((A)=___________，A×B___________。

21．設A={1,2,3,4}, A上的二元關系R={<1,2>,<2,4>,<3,3>},S={<1,3>,<2,4>,<4,2>}，則R2?S=___________，(R-1)2=___________。

22．設代數系統是環，則是___________，是___________。

23．在中，元素2的階為___________，它生成的子群為___________，其中?7為模7乘法。24．設是一個___________，如果A中任意兩個元素都有___________，則稱為格。25．若一條___________中，所有的___________均不相同，稱為跡。

全國2010年7月自學考試離散數學試題

三、計算題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

26．給定論域D={1,2}，f(1)=2, f(2)=1, S(1)=F, S(2)=T, G(1,2)=T, G(2,1)=T,在該賦值下，求式子?x(S(f(x))∧G(x, f(x)))的真值。

27．請通過等值演算法求┐(P∧Q)→(P∨Q)的主析取范式。

28．設A={1,2,3,4}，給定A上二元關系R={<1,1>,<1,2>,<2,4>,<4,2>}，求R的傳遞閉包。29．對題29圖所示格，找出它的所有的4元子格。

30．用矩陣的方法求題30圖中結點ui，u5之間長度為2的路徑的數目。

31．求題31圖的最小生成樹。

四、證明題（本大題共3小題，第32小題8分，第33、34小題各6分，共20分）32．用推理方法證明(A∨B)→(C∧D),(D∨F)→E├A→E。

33．證明：設是一個群，則對于任意a,b∈G，必存在惟一的x∈G使得a·x=b。34．設圖G有n個結點，n+1條邊，證明：G中至少有一個結點度數≥3。

五、應用題（本大題共2小題，第35小題9分，第36小題6分，共15分）

35．符合化下列命題，并構造推理證明：三角函數都是周期函數，有些三角函數是連續函數，所以有些周期函數是連續函數。

36．兩個等價關系的并集不一定是等價關系，試舉例說明。

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