第一篇：(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 數(shù)列通項(xiàng)公式的求解策略 新人教版

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an?1?pan?q?r型數(shù)列通項(xiàng)公式的求解策略——分 消 化 迭 歸

由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中的常見題型,也是高考考察的熱點(diǎn).本文就遞推關(guān)系為an?1?pan?q?r(p,q,r為非零常數(shù))的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法(或證法),談以下幾種求解策略,僅供nn參考.例 數(shù)列?an?中，a1?56，an?1?13an?12n?1(n?N)，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.?

分析 構(gòu)造等比數(shù)列是求解該題的有效途徑.策略1 分——將確定x的值.解法1 由an?1?13an?12n?112n?1拆分成兩部分,分配給an?1與an.構(gòu)造新數(shù)列?an???x?,由待定系數(shù)法n?2?, 可設(shè)an?1?x2n?1?1x11?x?a?a??n.a?, 即n?1n?nn?3623?2?由x6223?1n?12n?1,解得x?3.∴an?1?32n?1?31?3?3??a?a?a?, ∴數(shù)列是以 ?n1?nn?n?23?2?2??32n??為首項(xiàng),以13為公比的等比數(shù)列.∴an?2?1?????3?3?n?1??23n, ∴an?32n?23n.11?an?1?an?n?1?1?32策略2 消——由?,消去n?1生成新的等比數(shù)列.21?a?1a?nn?1n?32?11?an?1?an?n?1???(1)??32解法2 由題意，?，1?a?1a?,n?2?(2)nn?1n?32?12(1)－(2)×,得an?1?12an?1?1?a?a,n?2.n?1??n3?2?∴數(shù)列?an?1???1111?an?是以a2?a1?為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.2932?n?1∴an?11?1??an???29?3?1?13n?1??(3)將(1)式代入(3)式,整理得an?32n?23n.用心 愛心 專心 1

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策略3 化——將解法3 將an?1?n1213n?1化為常數(shù).12n?1an?兩邊同乘以22n?1,得2n?1?an?1?23?2?an?1.4n令bn?2?an,上式可化為bn?1?bn?1,即bn?1?3?2?bn?3?.∴數(shù)列?bn?是以b1?3??為

333首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.∴3b?3??4?2?n?1nnn3???2?2?2?3?????3?, ∴b?2??n?3??3?.?n即2n?a?2?32n?3?2?3?.∴a??n?2n?3n.策略4 迭——迭代法 解法4 ∵a?11?1n?1?13an?12n?1, ∴a1n?3an?1?12n?13?a?1a?3n?2?2n?1???2n32n?2?11?132?a?1??1???1a?1?1?1?13?12n?1?12n?11?1???3n?32n?2??32n?12n33n?3322n?232n?12n ?1111?11?13n?1a1?13n?2?22???3?12n?1?12n?113n?1???32??1?1?????3n?22232n?1?2n 13?111?12n?23n?13n?1?2?13n?2?122???3?12n?1?12n?3n?32n?21?33n.2策略5 迭——迭加法 解法5 ∵a111n?1?3an?12n?1, ∴an?1?3an?2n?1.∴a?1n??an?3a?1a????1?3?a?1?1?3?3?a?1?1?1n?1n?1?an?2??2?n?2?3an?3?????3n?2?a?2?31???3n?1a1 ?12n?1113?12n?1?32?12n?2???13n?2?122?3n??1?132?1???23???2n?3n.策略6 歸——數(shù)學(xué)歸納法 將本題中的“求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式”改為“證明 數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為a2n?32n?3n”,可采用此法證明如下：

解法6(證明)(1)當(dāng)n?1時(shí),a31?2?23?56，結(jié)論成立.(2)假設(shè)當(dāng)n?k時(shí), a3k?2k?23k.用心 愛心 專心 2

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那么,當(dāng)n?k?1時(shí),ak?1?1ak?1k?1?121321?32?1???????.?kkk?1k?1k?1k?1k?k?123?23?223223.a2?n?32n?3n對(duì)任意n?N都成立.用心 愛心 專心 3 3所以當(dāng)n?k?1時(shí),結(jié)論也成立 由(1)(2)可知,通項(xiàng)公式

第二篇：幾類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解策略

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幾類遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解策略

已知遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，是數(shù)列中一類非常重要的題型，也是高考的熱點(diǎn)之一．?dāng)?shù)列的遞推公式千變?nèi)f化，由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的方法靈活多樣，下面談?wù)勊鼈兊那蠼獠呗裕?/p>

一、an?1?an?f(n)方法：利用疊加法

a2?a1?f(1)，a3?a2?f(2),?，an?an?1?f(n?1)，an?a1??f(k)．

k?1n?1例1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1?1，an?an?1?解：由 an?1?an?1(n?2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 2n?n1 得 2(n?1)?(n?1)n?1n?1111111?1?2?=== an?a1??1?(?)?2nnk?1k?1kk?1(k?1)?(k?1)例2．?dāng)?shù)列{an}滿足nan?1?(n?1)an?1，且a1?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：注意到左右兩邊系數(shù)與下標(biāo)乘積均為n(n?1)，將原式兩邊同時(shí)除以n(n?1)，aaa11變形為n?1?n?．令bn?n，有bn?1?bn?，即化為類型1，以

nn(n?1)n?1nn(n?1)下略．

n

二、n?1

方法：利用疊代法 a?af(n)a2?a1f(1)，a3?a2f(2),?，an?an?1f(n?1)，an?a1?f(k)．

k?1n?1例3．?dāng)?shù)列{an}中a1?2，且an?(1? 解：因?yàn)閍n?1?[1?1)an?1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)． n21]an，所以 2(n?1)n?1n?1n?1kk?2n?11an?a1?f(k)=2?[1?2?[?]== ]2k?1k?1k?1k?1k?1n(k?1)

三、an?1?pan?q，其中p,q為常數(shù)，且p?1,q?0

當(dāng)出現(xiàn)an?1?pan?q(n?N?)型時(shí)可利用疊代法求通項(xiàng)公式，即由an?1?pan?q得an?pan?1?q?p(pan?2?q)?q???pn?1a1?(pn?2?pn?3???p2?p?1)q=q(pn?1?1)a1p?(p?1)或者利用待定系數(shù)法，構(gòu)造一個(gè)公比為p的等比數(shù)列，令p?1qq)??,q即??}是一個(gè)公比為p的則(p?1，從而{an?an?1???p(an??)，p?1p?132??1，可將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．待等比數(shù)列．如下題可用待定系數(shù)法得??1??12n?1http://jsbpzx.net.cn/

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定系數(shù)法有時(shí)比疊代法來地簡(jiǎn)便．

例4．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?式．

3?an?11，an?，n?2,3,4,?，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公223?an?1113??an?1?，n?2,3,4,?，∴?an?1?k?，又∵an?22221111k??1，∴an?1??(an?1?1)，又a1?，∴{an?1}是首項(xiàng)為?，公比為?的等22221n?11n比數(shù)列，即an?1?(a1?1)(?)，即an?(?)?1．

2四、an?1?pan?qan?1(n?2)，p,q為常數(shù) 解：令an?k??方法：可用下面的定理求解：令?,?為相應(yīng)的二次方程x2?px?q?0的兩根(此方程又稱為特征方程)，則當(dāng)???時(shí)，an?A?n?B?n；當(dāng)???時(shí)，an?(A?Bn)?n?1，其中A,B分別由初始條件a1,a2所得的方程組?確定．

?A??B??a1,22?A??B??a2和??A?B?a1, 唯一

?(A?2B)??a2?an?1??an?2bn(1)例5．?dāng)?shù)列{an}，{bn}滿足：?，且a1?2，b1?4，求an，bn．

b?6a?6b(2)nn?n?111解：由(2)得an?bn?1?bn，an?1?bn?2?bn?1，代入到(1)式中，有

6628bn?2?5bn?1?6bn，由特征方程可得bn??12?2n??3n，代入到(2)式中，可得

314an?8?2n??3n．

3說明：像這樣由兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}構(gòu)成的混合數(shù)列組求通項(xiàng)問題，一般是先消去an

(或bn)，得到bn?2?pbn?1?qbn?1(或an?2?pan?1?qan?1)，然后再由特征方程方法求解．

五、an?1?pan?f(n)型，這里p為常數(shù)，且p?1

例6．在數(shù)列{an}中，a1?2, an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，其中

??0，求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式．

解：由a1?2, an?1??an??n?1?(2??)2n(n?N?)，??0，可得an?1?n?1故aan22n2n?()n?1?n?()?1{?()}為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0．，所以nn?????an?n2?()n?n?1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?(n?1)?n?2n．

? 評(píng)析：對(duì)an?1?pan?f(n)的形式，可兩邊同時(shí)除以p令

n?1，得

an?1anf(n)，??n?1nn?1pppanf(n)b?b?有，從而可以轉(zhuǎn)化為累加法求解． ?b,n?1nnpn?1pn

六、an?1?man(m?0,k?Q,k?0,k?1)

k一般地，若正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1?a,an?1?man(m?0,k?Q,k?0,k?1)，則有 khttp://jsbpzx.net.cn/

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lgan?1?klgan?lgm，令lgan?1?A?k(lgan?A)(A為常數(shù))，則有A?1lgm． k?1?數(shù)列{lgan?111lgm}為等比數(shù)列，于是lgan?lgm?(lga?lgm)kn?1，k?1k?1k?1n?1從而可得an?ak?mkn?1?1k?1．

例7．已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1?31，an?1?an(4?an)，求數(shù)列{an}22的通項(xiàng)公式．

分析：數(shù)列{an}是一個(gè)二次遞推數(shù)列，雖然不是基本冪型，但由它可以構(gòu)造一個(gè)新的冪型數(shù)列{bn}，通過求{bn}的通項(xiàng)公式而達(dá)到求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式的目的．

解：由已知得an?1???an?0,?0?an?1取對(duì)數(shù)得lgbn?1?2lgbn?lg2，即lgbn?1?lg2?2(lgbn?lg2)． ?{lgbn?lg2}是首項(xiàng)為?2lg2，公比為2的等比數(shù)列，1112(an?2)2?2,令2?an?bn，則有b1?,bn?1?bn． 222?2,又0?a1?2，?0?an?2，從而bn?0．

?lgbn?lg2??2lg2,?bn?2

n1?2n,?an?2?21?2n．

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第三篇：高中數(shù)學(xué)數(shù)列求通項(xiàng)公式習(xí)題

補(bǔ)課習(xí)題

（四）的一個(gè)通項(xiàng)公式是（），A、an?B、an?C、an?D、an?2．已知等差數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為an?3?2n , 則它的公差為（）

A、2B、3C、?2D、?

33．在等比數(shù)列{an}中, a1??16,a4?8,則a7?（）

A、?4B、?4C、?2D、?

24．若等比數(shù)列?an?的前項(xiàng)和為Sn，且S10?10，S20?30，則S30?

5．已知數(shù)列?an?通項(xiàng)公式an?n2?10n?3，則該數(shù)列的最小的一個(gè)數(shù)是

6．在數(shù)列{an}中，a1?于．

7．已知{an}是等差數(shù)列，其中a1?31，公差d??8。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列{an}從哪一項(xiàng)開始小于0？

（3）求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)n的值． ?1?1nan?且an?1?，則數(shù)列n?N????的前99項(xiàng)和等2n?1?an?an?

8．已知數(shù)列?an?的前項(xiàng)和為Sn?n2?3n?1，（1）求a1、a2、a3的值；

（2）求通項(xiàng)公式an。

9．等差數(shù)列?an?中，前三項(xiàng)分別為x,2x,5x?4，前n項(xiàng)和為Sn，且Sk?2550。

（1）、求x和k的值；

（2）、求Tn=1111;?????S1S2S3Sn

(3)、證明: Tn?

1考點(diǎn)：

1.觀察法求數(shù)列通項(xiàng)公式;2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式;3.等比公式性質(zhì);4.等比公式前n項(xiàng)和公式應(yīng)用;5.數(shù)列與函數(shù)結(jié)合;6.求通項(xiàng)公式;7.基本的等差數(shù)列求通項(xiàng)公式及其應(yīng)用;8.求通項(xiàng)公式;9.等差數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用及求和與簡(jiǎn)單的應(yīng)用

答案：

1.B;2.C;3.A;4.70;5.-22;6.5049.7.（1）an?39?8n（2）n=5(3)sn?76、n=4;

8.（1）a1?

5、a2?

6、a3?8（2）an???5;?n?1)?2n?2;?n?2)

9.（1）由4x?x?5x?4得x?2,?an?2n,.Sn?n(n?1),?k(k?1)?2550得k?50

(2).?Sn?n(n?1),?Sn?111?? n(n?1)nn?1

?T?1?111111111n???????????1??2334n?1nnn?1n?1n?1

11且?0（3）?Tn?1?n?1n?1

?Tn?1

第四篇：高中數(shù)學(xué) 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法練習(xí)新人教A版必修6

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

一、定義法

直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目

2例1．等差數(shù)列?an?是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5?a5．求

數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.解：設(shè)數(shù)列?an?公差為d(d?0)

2∵a1,a3,a9成等比數(shù)列，∴a3?a1a9，即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d

∵d?0，∴a1?d………………………………①

2∵S5?a5∴5a1?5?4?d?(a1?4d)2…………② 2

33，d? 55

333∴an??(n?1)??n 555由①②得：a1?

練習(xí)1已知實(shí)數(shù)列?an?是等比數(shù)列，其中a7?1，且a4，a5?1，a6成等差數(shù)列．求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列?an?的公比為q(q?R)，由a7?a1q6?1，得a1?q?6，從而a4?a1q3?q?3，a5?a1q4?q?2，a6?a1q5?q?1． 因?yàn)閍4，a5?1，a6成等差數(shù)列，所以a4?a6?2(a5?1)，即q?3?q?1?2(q?2?1)，q?1(q?2?1)?2(q?2?1)． 1?1?所以q?．故an?a1qn?1?q?6?qn?1?64??． 2?2?

練習(xí)2設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3?7，且n?1a1?3，3a2，a3?4構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的等差數(shù)列．

（2）令bn?lna3n?1，n?1求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和T．，2，?，?a1?a2?a3?7，?解：（1）由已知得:?(a?3)?(a?4)13?3a2.??2

解得a2?2．

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2?2，可得a1?2，a3?2q． q

2?2?2q?7，q

2即2q?5q?2?0，1解得q1?2，q2?． 2，?q?2． 由題意得q?1又S3?7，可知

用心愛心專心 1

?a1?1．

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an?2n?1．

（2）由于bn?lna3n?1，n?1 由（1）得a3n?1?23n，2，?，?bn?ln23n?3nln2 又bn?1?bn?3ln2n

?{bn}是等差數(shù)列． ?Tn?b1?b2???bn

n(b1?bn)?

n(3ln2?3ln2)?

23n(n?1)?ln2.23n(n?1)

ln2．點(diǎn)評(píng)：利用定義法求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)要注意不用錯(cuò)定義，設(shè)法求出故Tn?

首項(xiàng)與公差（公比）后再寫出通項(xiàng)。二根據(jù)an??

例已知Sn為數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和，求下列數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式：⑴ Sn?2n2?3n?1；⑵Sn?2n?1.【解題思路】已知關(guān)系式f(Sn,an,n)?0，可利用an??列通項(xiàng)的一個(gè)重要公式.【解析】⑴當(dāng)n?1時(shí)，a1?S1?2?12?3?1?1?4，當(dāng)n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1?(2n2?3n?1)?2(n?1)2?3(n?1)?1?4n?1.而n?1時(shí)，4?1?1?5?a1，?an??

?Sn?Sn?1(n?2)

求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(n?1)?S1

（?S1n?1)，這是求數(shù)

?Sn?Sn?1(n?2)

??

?4(n?1)

.4n?1(n?2)?

⑵當(dāng)n?1時(shí)，a1?S1?2?1?3，當(dāng)n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?1.?3(n?1)

.n?1

2(n?2)?

練習(xí)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n，且a1?b1，{bn}為等比數(shù)列，b2(a2?a1)?b1.求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.時(shí),a1?S1?2;解：當(dāng)n?1

當(dāng)n?2時(shí),an?Sn?Sn?1?2n2?2(n?1)2?4n?2.當(dāng)n?1時(shí)，也適合該式.故{an}的通項(xiàng)公式為an?4n?2,即{an}是a1?2,公差d?4的等差數(shù)列.1b121

設(shè){bn}的公比為q，?a1?b1?2，b2??，?q?，從而bn?n?1.44a2?a12

1?1

而n?1時(shí)，2?1?a1，?an??

例正項(xiàng)數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為S

n，且?an?1，求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式.解： 由已知條件得4Sn?(an?1)2……………①，從而有4Sn?1?(an?1?1)……………………………②，用心愛心專心

①-②得：4(Sn?Sn?1)?(an?1)2?(an?1?1)2，整理得：(an?an?1)?(an?an?1?2)?0，又an?an?1?0，?an?an?1?2?

0，由?a1?1?a1?1，?an?2n?1

練習(xí)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn滿足S1?1，且

6Sn?(an?1)a(n?，2n?N．求?an?的通項(xiàng)公式；

(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2，由假設(shè)a1?S1?1，因此a1?2，6

又由an?1?Sn?1?Sn?(an?1?1)(an?1?2)?(an?1)(an?2)，66

得(an?1?an)(an?1?an?3)?0，（I）解由a1?S1?

即an?1?an?3?0或an?1??an，因an?0，故an?1??an不成立，舍去．

因此an?1?an?3，從而?an?是公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故?an?的通項(xiàng)為

an?3n?1．

三遞推公式為an?1?an?f(n)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an?1?an?f(n)，利用累加法

11，an?1?an?2，求an。2n?n1111

???解：由條件知：an?1?an?2

n?nn(n?1)nn?1

分別令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)個(gè)等式累加之，即(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)

22334n?1n

111131

所以an?a1?1??a1?，?an??1???

2n2n2n

練習(xí)已知數(shù)列?an?中,a1?1,an?an?1?n(n?2),求通項(xiàng)an.例.已知數(shù)列?an?滿足a1?

練習(xí).已知數(shù)列?an?中,a1?1,an?an?1?3n?1(n?2),求通項(xiàng)an.類型2（1）遞推公式為an?1?f(n)an

an?1

?f(n)，利用累乘法 an2n

an，求an。例 已知數(shù)列?an?滿足a1?，an?1?

3n?1

an

解：由條件知n?1?，分別令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)個(gè)等式累乘

ann?1

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為之，即

aaa2a3a4123n?11

??????????n????????????n?

na1a2a3an?1234a1n

又?a1?，?an?

33n

n?1

練習(xí).已知數(shù)列?an?中,a1?3,an?3?an?1(n?2),求通項(xiàng)an.用心愛心專心

在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?4an?3n?1，n?N*

．

（Ⅰ）證明數(shù)列?an?n?是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn；（Ⅰ）證明：由題設(shè)an?1?4an?3n?1，得

a*n?1?(n?1)?4(an?n)，n?N．

又a1?1?1，所以數(shù)列?an?n?是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知an?n?4n?1，于是數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式為

an?1n?4?n．

所以數(shù)列?a的前n項(xiàng)和S4n?1n(n?1)

n?n?3?2

． 已知數(shù)列?an?滿足

a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).（I）證明：數(shù)列?an?1?an?是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列?bb?1b?1

b?1

n?滿足4142...4n

?(an?1)bn(n?N*),證明?bn?是等差數(shù)列。（I）證明：?an?2?3an?1?2an,?an?2?an?1?2(an?1?an),?a1?1,a2?3,?

an?2?an?1

?2(n?N*a).n?1?an

??an?1?an?是以a2?a1?2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

（II）解：由（I）得an?1?an?2n(n?N*),?an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?...?(a2?a1)?a1

?2n??2n?2?...?2?1

?2n

?1(n?N*).（III）證明：?4b1?14b2?1

...4bn?1?(abn?1)n,?4(b1?b2?...?bn)?2nbn,?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn,① 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1.②

②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0.③nbn?2?(n?1)bn?1?2?0.④ ④－③，得nbn?2?2nbn?1?nbn?0, 即bn?2?2bn?1?bn?0,?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),用心愛心專心 4

??bn?是等差數(shù)列。

已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1）證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；

解：（Ⅰ）由已知a?a2

n?1n?2an，?an?1?1?(an?1)2?a1?2?an?1?1，兩邊取對(duì)數(shù)得 lg(1?an?1)?2lg(1?an)，即lg(1?an?1)lg(1?a?2

n)

?{lg(1?an)}是公比為2的等比數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg(1?an?1n?1

n)?2n?1?lg(1?a1)?2?lg3?lg32?1?a2n?1

n?3（*）?Tn?(1?a1)(1?a2)…(1+an)

?320?321?322?…?32n-1

?31?2?22?…+2n-1

=32n-1

由（*）式得an?1

n?32

?1

用心愛心專心 5

第五篇：《數(shù)列通項(xiàng)公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

《數(shù)列通項(xiàng)公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

【授課內(nèi)容】數(shù)列通項(xiàng)公式 【授課教師】陳鵬 【授課班級(jí)】高三6班

【授課時(shí)間】2009年10月20日晚自習(xí)【教學(xué)目標(biāo)】

一、知識(shí)目標(biāo)：

1.解決形如an+1=pan +f(n)通項(xiàng)公式的確定。

2．通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握和理解an+1=pan +f(n)此類型的通項(xiàng)公式的求法。

二、能力目標(biāo)：

在實(shí)踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導(dǎo)出數(shù)列通項(xiàng)公式，培養(yǎng)學(xué)生類比思維能力。通過對(duì)公式的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。利用學(xué)案導(dǎo)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。

三、情感目標(biāo)：

通過公式的推導(dǎo)使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法。【教學(xué)重點(diǎn)】

通過學(xué)習(xí)讓學(xué)生能夠熟練準(zhǔn)確的確定掌an+1=pan +f(n)此類型的通項(xiàng)公式，并 能解決實(shí)際問題。【教學(xué)難點(diǎn)】

1.如何將an+1=pan +f(n)轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的兩個(gè)基礎(chǔ)數(shù)列（等差和等比）。2.理解和掌握an+1=pan +f(n)此類型數(shù)列通項(xiàng)公式確定的數(shù)學(xué)思想方法。【教學(xué)方法】探索式 啟發(fā)式 【教學(xué)過程】 一．引入：

1、等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式？

2、如何解決an+1–an =f(n)型的通項(xiàng)公式？

3、如何解決an+1∕an =f(n)型的通項(xiàng)公式？

二．新授內(nèi)容：

例1：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an , 求an的通項(xiàng)公式。

解：略

例2：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an+1, 求an的通項(xiàng)公式。分析：設(shè)an+1=3an+1為an+1+A=3(an+A)

例3：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n, 求an的通項(xiàng)公式。

分析：設(shè)an+1=3an+2n為an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)

思考：設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1-3an=2n, 求an的通項(xiàng)公式。

分析：法一：設(shè)an+1=3an+2n 為an+1+A2n+1 =3（an+A2n）

法二：an+1=3an+2n的等式兩邊同時(shí)除以2n方可解決

三．總結(jié)：

形如an+1=pan +f(n)此類數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決。四．練習(xí)：

1、設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=2an+3, 求an的通項(xiàng)公式。

2、設(shè)數(shù)列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n+1, 求an的通項(xiàng)公式。

3（2009全國(guó)卷Ⅱ理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為sn ,已知a1=1, sn+1=4an +2（I）設(shè)bn=an+1 –2an，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

【課后反思】

遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決。等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是高考考查的熱點(diǎn)，而考查的目的在于測(cè)試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上。轉(zhuǎn)化的目的是化陌生為熟悉，當(dāng)然首先是等差、等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。

因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、換元法等等。只要仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾?xiàng)公式的關(guān)鍵。

一、學(xué)情分析和教法設(shè)計(jì)：

1、學(xué)情分析：

學(xué)生在前一階段的學(xué)習(xí)中已經(jīng)基本掌握了等差、等比數(shù)列這兩類最基本的數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式，同時(shí)也掌握了與等差、等比數(shù)列相關(guān)的綜合問題的一般解決方法。本節(jié)課作為一節(jié)專題探究課，將會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的項(xiàng)，并能運(yùn)用累加、累乘、化歸等方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力。

2、教法設(shè)計(jì)：

本節(jié)課設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是：講究效率，加強(qiáng)變式訓(xùn)練、合作學(xué)習(xí)。采用以問題情景為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索、討論，注重分析、啟發(fā)、反饋。先引出相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，然后剖析需要解決的問題，在例題及變式中鞏固相應(yīng)方法，再從討論、反饋中深化對(duì)問題和方法的理解，從而較好地完成知識(shí)的建構(gòu)，更好地鍛煉學(xué)生探索和解決問題的能力。

在教學(xué)過程中采取如下方法：

①誘導(dǎo)思維法：使學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性； ②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性； ③講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)：

1、教材的地位與作用：

遞推公式是認(rèn)識(shí)數(shù)列的一種重要形式，是給出數(shù)列的基本方式之一。對(duì)數(shù)列的遞推公式的考查是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，屬于高考命題中常考常新的內(nèi)容；另一個(gè)面，數(shù)學(xué)思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化歸思想是本課時(shí)的重點(diǎn)數(shù)學(xué)思想方法，化歸思想就是把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成熟悉問題的數(shù)學(xué)思想，即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個(gè)或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題上，最終解決原問題的一種數(shù)學(xué)思想方法；化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的基本思想，解題的過程實(shí)際上就是轉(zhuǎn)化的過程。因此，研究由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式中的數(shù)學(xué)思想方法是很有必要的。

2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。教學(xué)難點(diǎn)：解題過程中方法的正確選擇。

3、教學(xué)目標(biāo)：(1)知識(shí)與技能：

會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列中的項(xiàng)，并能運(yùn)用累加、累乘、化歸等方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(2)過程與方法：

①培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力；

②通過階梯性練習(xí)和分層能力培養(yǎng)練習(xí)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使不同層次的學(xué)生的能力都能得到提高。(3)情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

①通過對(duì)數(shù)列的遞推公式的分析和探究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；

②通過對(duì)數(shù)列遞推公式和數(shù)列求和問題的分析和探究，使學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣；

③通過互助合作、自主探究等課堂教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與、積極交流的主體意識(shí)。

三、教學(xué)過程：

（1）復(fù)習(xí)數(shù)列的遞推公式、等差和等比數(shù)列的遞推公式，并解決問題。（2）課堂小結(jié)（3）作業(yè)布置

已知:a1?a?0,an?1?kan?b,(k?0)(1)k,b在何種條件下,數(shù)列?an?分別成等差數(shù)列,等比數(shù)列.(2)若數(shù)列?a,又非等比數(shù)列且a?b n?既非等差數(shù)列,k?1?0, 如何求?an?的通項(xiàng)公式.(3)利用(2)的方法分別求出以下數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式, ①若a1?1,2an?1?3an?2.②若a1?1,an?2an?1?3anan?1.三、課后反思：

遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當(dāng)?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決。等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，是數(shù)列部分的重點(diǎn)，自然也是高考考查的熱點(diǎn)，而考查的目的在于測(cè)試靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”往往集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上。轉(zhuǎn)化的目的是化陌生為熟悉，當(dāng)然首先是等差、等比數(shù)列，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的。

因而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。求遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、換元法等等。只要仔細(xì)辨析遞推關(guān)系式的特征，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茄杆偾蟪鐾?xiàng)公式的關(guān)鍵。