第一篇：等比數列的概念和通項公式(教學設計)

《等比數列》（第1課時）教學設計 授課地點：武威八中

授課時間：2015年4月22日 授課人：武威六中楊志隆

一、教學目標 知識與技能

1.理解等比數列的概念；

2.掌握等比數列的通項公式；

3.會應用定義及通項公式解決一些實際問題。過程與方法

培養運用歸納類比的方法去發現并解決問題的能力。通過實例，歸納并理解等比數列的概念，探索并掌握等比數列的通項公式，培養學生嚴密的思維習慣。情感態度與價值觀

充分感受數列是反映現實生活的模型，體會數學是來源于現實生活，并應用于現實生活的，數學是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學習的興趣。

二、教學重點、難點 教學重點：

等比數列的概念及通項公式； 教學難點：

通項公式的推導及初步應用。

三、教學方法

發現式教學法，類比分析法

四、教學過程

（一）舊知回顧，情境導入 1.回顧等差數列的相關性質

設計意圖：通過復習等差數列的相關知識，類比學習本節課的內容，用熟知的等差數列內容來分散本節課的難點，為等比數列的學習做鋪墊。2.情境展示 情境1：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。” 情境2：一張紙的折疊問題

把以上實例表示為數學問題，并引導學生通過觀察、聯想，得到兩個數列： ①

②

1,2,4,8,16,32,64 設計意圖：讓學生通過觀察，得到兩個數列的共同特點：從第二項起，每一項與它前面一項的比都等于同一個常數．由此引入等比數列。

（二）概念探究

1．引導學生通過聯想并類比等差數列給出該數列的名稱：等比數列 2．歸納總結，形成等比數列的概念．

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫等比數列，這個常數叫做等比數列的公比（引導學生經過類比等差數列的定義得出）。同時給出等比中項的定義，并和等差中項做比較，加深學生對概念的理解。3．對等比數列概念的深化理解 給出幾個數列讓學生判斷是否是等比數列，以加深對概念的理解。問題1：等比數列的項可以為零嗎？ 問題2：等比數列的公比可以為零嗎？

問題3：若，等比數列的項有什么特點？呢？特別地，若，數列的項有什么特點？ 問題4：形如，，?（）的數列既是等差數列，又是等比數列嗎？

設計意圖：通過讓學生分析討論，加深學生對概念的深層次理解，培養學生嚴謹的思維習慣和良好的自主探究能力。通項公式推導

1．定義的代數式表達

引導學生由等比數列的定義寫出其遞推式，并得到：（1）判定：對于數列，若（，為常數），則稱這個數列為等比數列，常數叫做等比數列的公比．

（2）性質：是等比數列（，為常數）

設計意圖：通過探索，發現一個概念可以作為判定，又可以得到它的性質，提高學生的自主探究能力。

2.回顧由等差數列的遞推式求其通項公式的方法：疊加法和迭代法。讓學生類比等差數列的通項公式的推導思路和方法，自主探究等比數列的通項公式的求法，然后教師再做補充，引導學生歸納兩種方法：疊乘法和迭代法。

設計意圖：培養學生的自學能力和探索精神，體會類比思想在數學中的應用，提高學生的知識遷移能力。

（四）例題解析

例1 課本第51頁例3.解：略

設計意圖：通過這道例題，加深學生對等比數列的通項公式的理解，同時養成學生良好的動手習慣和規范解題習慣，提高學生的計算能力。

例題后的練習1和2可讓學生自己動手完成，以便學生熟練應用通項公式。例2 課本第51頁例4 解：略

設計意圖：通過讓學生舉例、不完全歸納和證明，得到兩個等比數列的積仍是等比數列，增強學生的歸納總結能力。

（五）、回顧小結

1．等比數列的概念和通項公式； 2．用類比的思想研究數學問題；

3．注重等差數列和等比數列的區別與聯系。（小結可先由學生敘述，教師進行補充和整理）

設計意圖：讓學生將獲得的知識進一步條理化、系統化，同時培養學生的歸納總結能力，為學生以后解決問題提供經驗和教訓．

（六）課后作業

1.課本53頁：A組1、2 2.課后思考：類比等差數列，試猜想等比數列的性質。

設計意圖：面向全體學生，注重個人差異，加強作業的針對性，對學生進行分層作業，既使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高，在數學上得到不同的發展，同時為下一節等比數列的性質的學習打基礎。

（七）教后反思

第二篇：等比數列的通項公式(教案)

等比數列的通項公式（教案）

一、教學目標

1、掌握等比數列的通項公式，并能夠用公式解決一些相關問題。

2、掌握由等比數列的通項公式推導出的相關結論。

二、教學重點、難點

各種結論的推導、理解、應用。

三、教學過程

1、導入

復習

等比數列的定義：

an?1?q ?n?N*? an*

通項公式：an?a1qn?1 n?N

用歸納猜測的方法得到，用累積法證明

??

2、新知探索

例1 在等比數列?an?中，（1）已知a1?3,q??2,求a6；

（2）已知a3?20,a6?160,求an.，分析（1）根據等比數列的通項公式，得 a6?a1q5??96（2）可以根據等比數列的通項公式列出一個二元一次方程組

2??a1?5?a3?a1q?20n?1n?

1解得

所以 a?aq?5?2??n15q?2???a6?a1q?160問：上面的第（2）題中，可以不求a1而只需求得q就得到an嗎? 分析 在歸納猜測等比數列的通項公式時，有這樣一系列式子：

a2?a1q,a3?a2q?a1q2,a4?a3q?a2q2?a1q3，an?an?1q?an?2q2?an?3q3?...?a2qn?2?a1qn?1

注意觀察等式右邊各項的下標與q的次方的和，可以發現，an的表達式中，始終滿足

*an?amqn?m

?n,m?N?

結論1

數列?an?是等比數列，則有an?amqn?m*

n,m?N。

??再來看一下例1中（2）的另一種解法：a6?a3q3，所以q=2，所以an?a1qn?1?5?2n?1習題2.3（1）P492、在等比數列?an?中，（1）已知a4?4,a9?972,求an；

（2）已知a2??6,a6??分析

（1）可以根據定義和結論1給出兩種解法。

3??a4?a1q?4方法一 ? 8??a9?a1q?97232,求an.27方法二 a9?a4q5，所以q=3，所以an?a4qn?4?4?3n?4。（2）a6?a2q4，所以q??2 322當q?時,an?a2qn?2??6?()n?233

22當q??時,an?a2qn?2??6?(?)n?233例2 在243和3中間插入3個數，使這5個數成等比數列。

分析

設此三個數為a2，a3，a4，公比為q，則由題意得243，a2，a3，a4，3成等比數列；

13?243q4，所以得q??

31當q?時，a2?81，a3?27，a4?93

1當q??時，a2??81，a3?27，a4??93故插入的三個數為81，27，9或-81，27，-9.問：觀察一下例2中，當q??時，這5個數分別為243，-81，27，-9，3，可以發現什么規律？

答：在等比數列中，當公比小于零時，數列中的奇數項同號，偶數項同號。習題2.3（1）P49

6、在等比數列?an?中，a1?0，a2a4?2a3a5?a4a6?25，求a3?a5的值。分析

13a3a4?得a32?a2a4，同理得a52?a4a6 a2a3?a1?0?a3?0,a5?0?a3?a5?022a2a4?2a3a5?a4a6?a3?2a3a5?a5?(a3?a5)2?25

?a3?a5?5例3 已知等比數列?an?的通項公式為an?3?2n，求首項和公比q.分析 a1?3?2?6,a2?3?2?12?q?2a2?2 a

1在例3中，等比數列的通項公式為an?3?2n，是一個常數與指數式的乘積，因為數列是特殊的函數，故表示這個數列的各點(n,an)均在函數y?3?2x的圖像上。

問：如果一個數列?an?的通項公式為an?aqn，其中a，q都是不為零的常數，那么這個數列一定是等比數列嗎？

an?1aqn分析

a1?aq?0，?n?1?q，所以是等比數列。

anaq一般可以看作是等比數列通項公式的變形，an?a1qn?1?a1na

q?aqn，其中a?1 qq結論2 等比數列?an?的通項公式均可寫成an?aqn（a，q為不等于零的常數）的形式。反之成立。

習題2.3（1）P495、在等比數列?an?中，22（1）a5?a1a9是否成立？a5?a3a7是否成立？ 2（2）an?an?2an?2（n>2）是否成立？

（3）你能得到更一般的結論嗎？

2分析

（1）a1a9?a1?a1q8?(a1q4)2?a5 2，所以成立。a3a7?a1q2?a1q6?(a1q4)2?a52（2）an?2an?2?a1qn?3?a1qn?1?(a1qn?1)2?an，所以成立。

（3）從（1）（2）可以看出，等式兩邊各項的下表和相等，左邊是同一項的平方，如果把左邊換成兩個不同項的乘積呢？

同時，類比等差數列中的一個結論：在等差數列?an?中，當m+n=p+q(m,n,p,q都是正整數)時，有am?an?ap?aq，可以猜測：在等比數列?an?中，當m+n=p+q(m,n,p,q都是正整數)時，有aman?apaq.?12證

aman?a1qm?1?a1qn?a1qm??n2，apaq?a1qp?1?a1qq?1?a12qp?q?2

所以aman?apaq.結論3 在等比數列?an?中，當m+n=p+q(m,n,p,q都是正整數)時，有aman?apaq.習題

在等比數列?an?中，a1，a99是方程x?10x?16?0的兩個實根，求a40a60.2分析 可以利用結論3.因為a1，a99是方程x?10x?16?0的兩個實根，所以可得a1a99=16，所以a40a60=a1a99=16.在結論3中，當m=n或p=q時，可以發現此項總是處于另兩項的中間。結論

4若a，G，b成等比數列，則稱G為a和b的等比中項，且G?ab。習題2.3（1）P49

7、（1）求45和80的等比中項；

（2）已知兩個數k+9和6-k的等比中項是2k，求k.分析

（1）設此等比中項是G，則G=45?80=3600，所以G=?60.（2）(2k)2?(k?9)(6?k)，化簡，得5k?3k?54?0，所以k??222218或k?3

5四、歸納總結

本節課的主要內容是由等比數列的通項公式引深而得到的幾個結論，要求學生能牢記并靈活運用。

五、布置作業

做與本節課內容相關的練習冊。

六、教學反思

本節課的內容都是由等比數列的通項公式推導而得到。在上課的時候，我先是把等比數列的通項公式推導一遍，再由相關的例題或習題引出相關的結論，在講解中引導學生思考，充分發揮學生的主體作用，使學生能夠與我產生互動，調節課堂氣氛，使學生積極思考。在上課的過程中，有些地方因缺乏經驗不能很好地連貫在一起，這在以后的講課中要注意。

第三篇：等比數列前n項和公式教學設計（模版）

等比數列前n項和公式教學設計 1.復習:(1)等比數列的定義

(2)等比數列的通項公式: 2.引例：

一個窮人到富人那里去借錢,原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了下來,但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元,第二天借給窮人2萬元,以后每天所借的錢數都比上一天多1萬;但借錢第一天,窮人還1分錢,第二天還2分錢,以后每天所還的錢數都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算,本想定下來,但又想到此富人是吝嗇出了名的,怕上當受騙,所以很為難。”請在座的同學思考討論一下,窮人能否向富人借錢?（1）啟發引導學生數學地觀察問題，構建數學模型。

學生直覺認為窮人可以向富人借錢，教師引導學生自主探求，得出：

S窮人30天借到的錢：

'30?1?2???30?229(1?30)?302??465（萬元）

窮人需要還的錢：S30?1?2?2???2?

29（2）教師緊接著把如何求S學生探究，30?1?2?2???22?？的問題讓S30?1?2?2???2229

①若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到

2S30?2?2???2229?230②

若②式減去①式，可以消去相同的項，得到：

S30?230?1?1073741823(分)≈1073(萬元)＞ 465（萬元）

由此得出窮人不能向富人借錢

（3）小組合作

仿照公比為2的等比數列求和方法，推倒等比數列前 項和公式：

等式兩邊應同乘以等比數列的公比，即（板書）

③兩端同乘以，得 ④，③－④得

醒學生注意 的取值）當 當 時，由③可得 時，由⑤得

（不必導出④，但當時設想不到）.⑤，（提問學生如何處理，適時提于是

（4）教師：還有沒有其他推導方法？

?a2a1?a3a2???anan?1?q

?a2?a3???ana1?a2???an?1?q

即

sn?a1sn?an?q?sn?a1?anq1?q(q?1)。

學生B：

sn?a1?a1q???a1q?a1?qa1?a1q???a1qn?2?a1q1n?1

?n?2??a?qsn?1?a1?q?sn?an??a1?qsn?anqa1?anq1?q(q?1)?sn?qsn?a1?anq?sn?

3．練習：

求下列等比數列的各項和：

(1)1，3，9，…，2187

（2）1,?1,1,?1,?,?2481512

2、根據下列條件求等比數列?a?的前n項和S

nn①a1?2,q?2,n?8

②a1?8,q?2,an?12

4．布置作業：

1、根據下列條件，求等比數列?an?的前n項和S

n①: a1?3,q?2,n?6

②: a1?8,q?12,an?12

0,n?049 ③：a2?0.12,a5?0.0 ④: a1?a3?10,a4?a6?54，2、在等比數列?an?中，①:已知a1?2,S3?26，求q和Sn ②:已知S2?30,S3?115，求Sn

第四篇：《數列通項公式》教學設計

《數列通項公式》教學設計

【授課內容】數列通項公式 【授課教師】陳鵬 【授課班級】高三6班

【授課時間】2009年10月20日晚自習【教學目標】

一、知識目標：

1.解決形如an+1=pan +f(n)通項公式的確定。

2．通過學習讓學生掌握和理解an+1=pan +f(n)此類型的通項公式的求法。

二、能力目標：

在實踐中通過觀察、嘗試、分析、類比的方法導出數列通項公式，培養學生類比思維能力。通過對公式的應用，提高學生分析問題和解決問題的能力。利用學案導學，促進學生自主學習的能力。

三、情感目標：

通過公式的推導使學生進一步體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法。【教學重點】

通過學習讓學生能夠熟練準確的確定掌an+1=pan +f(n)此類型的通項公式，并 能解決實際問題。【教學難點】

1.如何將an+1=pan +f(n)轉化為我們學過的兩個基礎數列（等差和等比）。2.理解和掌握an+1=pan +f(n)此類型數列通項公式確定的數學思想方法。【教學方法】探索式 啟發式 【教學過程】 一．引入：

1、等差、等比數列的通項公式？

2、如何解決an+1–an =f(n)型的通項公式？

3、如何解決an+1∕an =f(n)型的通項公式？

二．新授內容：

例1：設數列{an}中，a1=1, an+1=3an , 求an的通項公式。

解：略

例2：設數列{an}中，a1=1, an+1=3an+1, 求an的通項公式。分析：設an+1=3an+1為an+1+A=3(an+A)

例3：設數列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n, 求an的通項公式。

分析：設an+1=3an+2n為an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)

思考：設數列{an}中，a1=1, an+1-3an=2n, 求an的通項公式。

分析：法一：設an+1=3an+2n 為an+1+A2n+1 =3（an+A2n）

法二：an+1=3an+2n的等式兩邊同時除以2n方可解決

三．總結：

形如an+1=pan +f(n)此類數列通項公式的求法，可以通過適當的策略將問題化歸為等差數列或等比數列問題加以解決。四．練習：

1、設數列{an}中，a1=1, an+1=2an+3, 求an的通項公式。

2、設數列{an}中，a1=1, an+1=3an+2n+1, 求an的通項公式。

3（2009全國卷Ⅱ理）設數列的前項和為sn ,已知a1=1, sn+1=4an +2（I）設bn=an+1 –2an，證明數列{bn}是等比數列（II）求數列的通項公式。

【課后反思】

遞推數列的題型多樣，求遞推數列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當的策略將問題化歸為等差數列或等比數列問題加以解決。等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，自然也是高考考查的熱點，而考查的目的在于測試靈活運用知識的能力，這個“靈活”往往集中在“轉化”的水平上。轉化的目的是化陌生為熟悉，當然首先是等差、等比數列，根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的。

因而求遞推數列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內容。求遞推數列通項公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系數法、換元法等等。只要仔細辨析遞推關系式的特征，準確選擇恰當的方法，是迅速求出通項公式的關鍵。

一、學情分析和教法設計：

1、學情分析：

學生在前一階段的學習中已經基本掌握了等差、等比數列這兩類最基本的數列的定義、通項公式、求和公式，同時也掌握了與等差、等比數列相關的綜合問題的一般解決方法。本節課作為一節專題探究課，將會根據遞推公式求出數列的項，并能運用累加、累乘、化歸等方法求數列的通項公式，從而培養學生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力。

2、教法設計：

本節課設計的指導思想是：講究效率，加強變式訓練、合作學習。采用以問題情景為切入點，引導學生進行探索、討論，注重分析、啟發、反饋。先引出相應的知識點，然后剖析需要解決的問題，在例題及變式中鞏固相應方法，再從討論、反饋中深化對問題和方法的理解，從而較好地完成知識的建構，更好地鍛煉學生探索和解決問題的能力。

在教學過程中采取如下方法：

①誘導思維法：使學生對知識進行主動建構，有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性； ②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性； ③講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。

二、教學設計：

1、教材的地位與作用：

遞推公式是認識數列的一種重要形式，是給出數列的基本方式之一。對數列的遞推公式的考查是近幾年高考的熱點內容之一，屬于高考命題中常考常新的內容；另一個面，數學思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化歸思想是本課時的重點數學思想方法，化歸思想就是把不熟悉的問題轉化成熟悉問題的數學思想，即把數學中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換、轉化，歸結到某個或某些已經解決或比較容易解決的問題上，最終解決原問題的一種數學思想方法；化歸思想是解決數學問題的基本思想，解題的過程實際上就是轉化的過程。因此，研究由遞推公式求數列通項公式中的數學思想方法是很有必要的。

2、教學重點、難點：

教學重點：根據數列的遞推關系式求通項公式。教學難點：解題過程中方法的正確選擇。

3、教學目標：(1)知識與技能：

會根據遞推公式求出數列中的項，并能運用累加、累乘、化歸等方法求數列的通項公式。(2)過程與方法：

①培養學生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力；

②通過階梯性練習和分層能力培養練習，提高學生分析問題和解決問題的能力，使不同層次的學生的能力都能得到提高。(3)情感、態度與價值觀：

①通過對數列的遞推公式的分析和探究，培養學生主動探索、勇于發現的求知精神；

②通過對數列遞推公式和數列求和問題的分析和探究，使學生養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣；

③通過互助合作、自主探究等課堂教學方式培養學生認真參與、積極交流的主體意識。

三、教學過程：

（1）復習數列的遞推公式、等差和等比數列的遞推公式，并解決問題。（2）課堂小結（3）作業布置

已知:a1?a?0,an?1?kan?b,(k?0)(1)k,b在何種條件下,數列?an?分別成等差數列,等比數列.(2)若數列?a,又非等比數列且a?b n?既非等差數列,k?1?0, 如何求?an?的通項公式.(3)利用(2)的方法分別求出以下數列?an?的通項公式, ①若a1?1,2an?1?3an?2.②若a1?1,an?2an?1?3anan?1.三、課后反思：

遞推數列的題型多樣，求遞推數列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當的策略將問題化歸為等差數列或等比數列問題加以解決。等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，自然也是高考考查的熱點，而考查的目的在于測試靈活運用知識的能力，這個“靈活”往往集中在“轉化”的水平上。轉化的目的是化陌生為熟悉，當然首先是等差、等比數列，根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的。

因而求遞推數列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內容。求遞推數列通項公式的方法策略是：公式法、累加法、累乘法、待定系數法、換元法等等。只要仔細辨析遞推關系式的特征，準確選擇恰當的方法，是迅速求出通項公式的關鍵。

第五篇：數學分層作業(等比數列通項公式2)

緊扣教材 分層作業夯實基礎步步為營

數學分層作業（等比數列通項公式2）

知 識: 等比中項、性質.方 法:明晰特征,掌握方法.（基本訓練1—5；知識應用6—7；靈活應用8—9）組別學號 姓名評價

1.寫出下面等比數列的第4項與第5項：

（1）5，－15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，； 2.（1）a,G,b成等比數列?；

（2）等比數列的性質：若m+n=p+k，則有

3.等比數列?an?中，a3?2，a8?64，那么它的公比q?

4.三個數成等比數列,它的和為14,它們的積為64,求這三個數.5.已知{an}是等比數列，且an?0,a2a4?2a3a5?a4a6?25, 求a3?a5．

6．設｛an｝是由正數組成的等比數列，且a5a6=81，log3a1+ log3a2+…+ log3a10的值是

7.在等比數列中，an>0，且an?2?an?an?1，則該數列的公比q等于.8.已知四個數，前三個數成等比數列，和為19，后三個數成等差數列，和為12，求此四個數.9.（1）｛an｝是等比數列，C是不為0的常數，數列?can?是等比數列嗎？為什么？

（2）已知?an??,bn?是項數相同的等比數列，??an??是等比數列嗎？為什么？ b?n?