第一篇：2014年中考數學第一輪復習專題訓練十七圖形與證明【含答案】

學…校…：…＿…＿…＿…＿…＿…＿…班…級密：…＿…＿…＿…＿…＿…姓…名…：封＿…＿…＿…＿…＿…＿…座…號…：裝＿…＿…＿…＿ …

…………訂………………… 2014年中考數學第一輪復習專題訓練(十七)（圖形與證明）

一、填空題：（每題 3 分，共 36 分）１、命題“互余的兩個角一定是銳角”是＿＿＿＿命題（填“真”或“假”）。２、命題：“相等的角是對頂角”的題設是＿＿＿＿＿＿＿＿，結論是＿＿＿＿＿＿＿＿。３、“等腰三角形的底角相等”的逆命題是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。４、用反證法證明：“直角三角形的兩個銳角互余”時，應先假設＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，則∠C＝＿＿＿＿。６、等腰三角形的兩邊長分別是 3cm 和 7cm，則其周長為＿＿＿＿。1 2D ７、如圖，已知AD∥BC，∠1＝∠2，且∠1＝50°，則∠B＝＿＿＿＿。８、在 □ ABCD 中，∠A＋∠C＝200°，則∠B＝＿＿＿＿。B ９、矩形的面積為 48cm2，其中一邊長為 6cm，則對角線長為＿＿＿＿。

10、梯形中位線長 10，一對角線把它分成 2∶3，則梯形較長的底邊為 ＿＿＿＿。120α

11、如圖，已知AB∥CD，則∠α＝＿＿＿＿。E

12、如圖，已知∠1＝∠2，若再加一個條件就能使結論“AB·DE＝ 25° D FE·BC”成立，則這個條件可以是＿＿＿＿＿＿＿＿。

二、選擇題：（每題 4 分，共 24 分）2 E １、若 ∠1 和 ∠2 是同旁內角，是 ∠1＝30°，則 ∠2 為（）C D A、30° B、150° C、30°或 150° D、無法確定 ２、下列命題中，是其命題的有（）A、兩銳角之和是銳角 B、鈍角減去銳角得銳角 C、鈍角大于它的補角 D、銳角小于它的余角 ３、下列判斷正確的是（）A、對角線相等的四邊形是矩形 B、四邊都相等的四邊形是正方形 C、對角線互相垂直的四邊形是菱形 D、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 ４、直角三角形中，兩條直角邊長分別是 5 和 12，則斜邊上的中線長是（）A、26 B、6.5 C、8.5 D、13 ５、一個菱形的兩條對角線長分別是 6cm、8cm，則它的面積是（）A、48cm2 B、38cm2 C、24cm2 D、12cm2 ６、等腰梯形的兩條對角線互相垂直，中位線長為 8cm，則它的高為（）A、4cm B、8C、4D、8cm

三、解答題：（每題 9 分，共 54 分）１、已知：AB∥CD，∠A＝∠1，∠C＝100°，求：∠2的度數。C1 2B 九年級數學17－1（共4頁）５、在△

２、如圖，已知：EF平分∠BEG，GF平分∠EGD，且EF⊥FG

求證：AB∥CD。

G

３、已知：AB∥CD，BF∥ED，是AE＝CF，求證：△ABF≌△CDE。

B F

D

４、求證：在一個三角形中，至多有兩個內角大于 60°。

５、已知：□ ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AD于F，求證：AF＝CE。

D ┘

E C

６、在矩形ABCD中，F是DC邊上一點，且AB＝AF，BE⊥AF于E。

求證：BE＝AD。C

B

九年級數學17－2（共4頁）

四、（10分）如圖，DE是 □ ABCD 的∠ADC 的平分線，EF∥AD，交DC于F，求證：四邊形AEFD是菱形。

五、（12分）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，① 若AD＝5，BC＝11，梯形的高是 4，求梯形的周長。② 若AD＝3，BC＝7，BD＝5AC⊥BD。

C

六、（12分）已知：□ ABCD中，E是對角線AC上一點。

① 在AC 上找出一點 F，當滿足條件＿＿＿＿時，△ABE≌△CDF② 請加以證明。

C

九年級數學17－3（共4頁）

答案 ：

（十七）一、1、真

2、兩個角相等 這兩個角是對頂角

3、兩個角相等的三角形是等腰三角形

4、兩個銳角之和不等于90°5、90°6、170cm7、50°8、80°9、10cm10、1211、85°

12、∠A＝∠F

二、1、D2、C3、D4、B5、C6、D1、三、∵∠A＝∠1∴AB∥EF又∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠2＋∠C＝180°∴∠2＝80°

2、略

3、∵AB∥CD∴∠A＝∠C∵BF∥ED∴∠BFA＝∠DEC又∵AF＝CE∴△ABF≌△CDE4、已知：△ABC求證：∠A、∠B、∠C中至多有兩個角大于60° 證明：設∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，則：∠A＋∠B＋∠C＞180°與內角和定理矛盾∴假設錯誤∴至多有兩個角大于60°

5、證：△ABE≌△CDF可得：BE＝DF∴AF＝CE6、證△ADF≌△BEA可得：BE＝AD

四、共證 □ ADFE，再證AD＝AE

11－

5五、解：①作AE⊥BC，DF⊥BC，則BE＝CF＝＝3又∵AE＝4∴AB＝5∴周長＝26

②過D作DH∥AC交BC的延長線于H，則：在△BDH中，BD＝5DH＝AC－5BH＝7＋3＝10

由勾股定理逆定理可得AC⊥BD。

六、略

九年級數學17－4（共4頁）

第二篇：中考數學專題復習----圖形與證明復習題

圖形與證明復習題（3）

一、基礎練習

1、下列圖形：線段、正三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形，其中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的共有（）

A、3個B、4個C、5個D、6個

2、一個菱形的兩條對角線長分別是6cm,8cm,則這個菱形的面積為()

A.48cm2B.24cm2C.12cm2D.18cm23、等腰梯形的兩條對角線互相垂直,中位線長為8cm,則它的高為()

A.4cm

C.8cm4、如圖，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分線相交于梯形中位線

EF上的一點P，若EF=3，則梯形ABCD的周長為（）

A．9B．10.5C．12D．1

5５、已知菱形的一個內角為60°，一條對角線的長為角線的長為__________．

６、如圖，有一底角為350的等腰三角形紙片，現過底邊上一點，沿與底邊垂直的方向將其剪開，分成三角形和四邊形兩部分，則

四邊形中，最大角的度數是__________.二、例題精講

例１、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．

（1）求證：BE?DG；

（2）若?B?60°，當AB與BC滿足什么數量關系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結論． D

B C E F

例２、在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB?5，AC?6．過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E．（1）求△BDE的周長；

（2）點P為線段BC上的點，連接PO并延長交AD于點Q． 求證：BP?DQ．

F C C E

例３、如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，過點E作EF∥BC交CD于點F．AB?4，BC?6，∠B?60?.（1）求點E到BC的距離；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PM?EF交BC于點M，過M作MN∥AB交折線ADC于點N，連結PN，設EP?x.△PMN的形狀是否發生改變？若不變，①當點N在線段AD上時（如圖2），求出△PMN的周長；若改變，請說明理由； ②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由.D D D

FF F B

圖

1CB

M C B

圖

2D F C

（備用）

B

（備用）M 圖

3D F C C

B

第一章圖形與證明復習題（4）

1、已知菱形的銳角是60°,邊長是20cm,則較長的對角線是_____cm.2、若一個梯形的中位線長為15,一條對角線把中位線分成兩條線段, 這兩條線段的比是3:2,則梯形的上、下底長分別是()

A.3, 4.5B.6, 9C.12, 18D.2，33、如圖6所示,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上的動點,PE⊥AC于E,PF⊥BD于

APDF,則PE+PF的值為()A.1251

3B.2C.D.52

5C4、四邊形ABCD的對角線交于O點，能判定四邊形是正方形的條件是（B）A、AC=BD，AB=CD，AB∥CDB、AD∥BC，∠A=∠C

C、AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D、AO=CO，BO=DO，AB=BC5、若菱形的周長為16cm，兩相鄰角的度數之比是1：2，則菱形的面積是（）

A、3 cmB、83 cmC、163 cmD、203 cm6、如果用4個相同的長為3寬為1的長方形，拼成一個大的長方形，那么這個大的長方形的周長可以是_____________．

7、矩形內有一點P到各邊的距離分別為1、3、5、7，則該矩形的最大面積為單位．

8、已知菱形的一個內角為60°，一條對角線的長為則另一條對角線的長為

9、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90,∠C=45,AD=1,BC=4,E為AB中點，EF∥DC交BC于點F,求EF的長.10、如圖直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，將腰CD以D為中心逆時針旋轉90°至ED，連AE、CE，求△ADE的面積。

?

?

E

A

B11、如圖，將正方形沿圖中虛線（其中x＜y）剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰 ．能拼成一個矩形（非正方形）． ．．．．．

（1）畫出拼成的矩形的簡圖；

x

（2）求的值．

y

x

y12、若從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，則稱該點為直角點．例如，如圖的矩形ABCD中，點M在CD邊上，連AM，BM，?AMB?90°，則點M為直角點．（1）若矩形ABCD一邊CD上的直角點M為中點，問該矩形的鄰邊具有何種數量關系？并說明理由；

（2）若點M，N分別為矩形ABCD邊CD，AB

上的直角點，且AB?4，BC?求MN的長．

第三篇：2012中考第一輪復習·語文綜合實踐活動(十七)

2012中考第一輪復習·語文綜合實踐活動（十七）

語文綜合實踐活動

（二）（本試卷總分60分，測試時間：45分鐘）

姓名班級學號得分（2010·云南昆明）

一、在精彩的語文世界里漫步，你的收獲一定不少?，F在，請你來參加“語文伴我成長”的綜合實踐活動，盡情地展示你的語文能力吧?。?0分）

1．在視聽活動中，小名聲情并茂地朗讀了兩個語段，并提出兩個問題。請你回答。（選自《水滸傳》）

【語段二】包莉姨媽吃驚地站了一會兒，然后輕輕地笑出聲來：“這該死小子，我怎么老是上他的當？他跟我玩這把戲也不是頭一遭了，可我還是提防不住。??天哪！他的鬼把戲從來就不重樣，誰能摸得清他的鬼主意呢？??我這個外甥啊，我那早死妹妹的兒呀，我怎么能狠得下心來抓他呢?！保ㄟx自《湯姆·索亞歷險記》）問題一：聽了【語段一】，請結合原著，說說魯提轄準備去做哪兩件事。（要求：對每件事的概括不超過10個字）（2分）問題二：聽了【語段二】，請說說你從包莉姨媽的話中了解到湯姆哪些性格特點。（2分）

2．在互批作文活動中，小玲作文《感謝您，老師》的結尾被小剛修改了兩處。請你認真比較原稿和修改稿，說說小剛作了哪兩處修改。他為什么要在這兩處進行修改？（2分）

【原稿】敬愛的老師，您默默奉獻卻不圖回報。在前進的路上，您做過我們的鋪路石；您扶我們登高看風景；我們持之以恒，堅定地朝著一個目標而努力；您為我們些許的成功而高興。敬愛的老師，您把智慧給了我們，把母親般的愛給了我們。請相信，我們一定不辜負您的期望，一定成為將來祖國的棟梁。讓我們深情地對您說一聲：“謝謝！”

【修改稿】敬愛的老師，您默默奉獻卻不圖回報。在前進的路上，您做過我們的鋪路石；您扶我們登高看風景；您為我們些許的成功而高興。

敬愛的老師，您把智慧給了我們，把母親般的愛給了我們。請相信，我們一定不辜負您的期望，將來一定成為祖國的棟梁。讓我們深情地對您說一聲：“謝謝！”

3．在閱讀方法交流活動中，小朵向同學們介紹了三位名人的閱讀方法，請你選擇其中的一種方法進行評價。（4分）

【莫言“耳朵”閱讀法】作家莫言從小就喜歡聽村里的老人講故事，他還經常去聽充滿濃郁生活氣息的民間戲曲，還仔細聆聽大自然的聲音，諸如植物生長、動物名叫??

【華羅庚“默想”閱讀法】數學家華羅庚拿到一篇數學論文時，往往先看題目，然后默想自己來寫這篇文章，應該先寫什么，再寫什么，最后怎樣收尾，想清楚后再讀文章。當看到文章的內容和自己的想法一致時，每每發出會心的微笑，然后瀏覽而過；當看到新穎的見解時，便細細閱讀。

【毛澤東“四多”閱讀法】偉人毛澤東讀書主張“四多”——多讀、多寫、多想、多問。多讀指讀書的面要廣，重要的書要多讀幾遍；多寫就是摘抄妙語佳句，圈點眉批，寫讀書筆記；多想即反復思考書本知識在生活中如何應用；多問就是有了問題就要問?！菊Z段一】魯提轄問道：“你怕甚么？在那個客店里歇？那個鎮關西鄭大官人在那里?。俊?/p>

（2010·中考改題）

二、語文綜合運用（10分）

旱情告急！災情告急！熾熱的驕陽舔舐著美麗紅河的每一寸土地。全國人民用愛心凝聚

了一份救助的力量，華夏兒女用堅強筑起了一道堅固的長城。危難彰顯人格，患難最見真情。抗旱救災，帶給我們很多的感動、思考和希望??

⑴一位男孩怯生生地向前來采訪的記者要了半瓶礦泉水，男孩一口沒喝先遞給旁邊3歲的妹

妹；一位女孩把學校里老師發的礦泉水留下來給父母喝。天災肆虐人間之時，印證人性的光

輝！請你就此發表一句感言。（2分）⑵面對一幕幕干涸的景象，一雙雙期盼的眼睛，平時不起眼的一滴水，此時蘊含的是一個生

命，一份希望，一種寄托。針對“關愛生命，節約用水”這個主題，請擬寫一條標語。（至

少使用一種修辭手法）（4分）⑶多難興邦！玉樹地震、云南旱災、南方澇災、舟曲特大泥石流??災難讓我們失去很多，也收獲很多。請用“堅強、團結、智慧”三個詞串聯成一段話，謳歌在抗擊自然災難中表現

出來的民族精神。（50字以內）（4分）（2010·天津）

三、綜合性學習（8分）

在“我所了解的孔子和孟子”綜合性學習活動中，同學們搜集到相關的材料。請你按要求完

成后面的問題。

1.下面是《孟子》中關于治國的語錄，閱讀后用一個詞語概括孟子的治國思想。（2分）

【材料一】得道者多助，失道者寡助。

譯文：能施行仁政的君主，支持他的人就多；不施行仁政的君主，支持他的人就少。

【材料二】國君好仁，天下無敵焉。

譯文：一國的君主如果喜愛仁德，整個天下便不會有敵手。

【材料三】君仁，莫不仁；君義，莫不義；君正，莫不正。

譯文：君主仁，沒有人不仁；君主義，沒有人不義；君主正，沒有人不正。

孟子的治國思想：

2.請從下面的材料中任選一句孔子的名言，說說它體現了怎樣的中華傳統美德，具有怎樣的現實意義。（6分）

北京奧運會開幕式上，2008名演員擊缶而歌“有朋自遠方來，不亦樂乎”；在古琴聲中，身穿古袍，手持竹簡的孔門弟子，齊聲誦讀“三人行，必有我師焉”“禮之用，和為貴”等

儒家經典名句，在全世界面前展現了輝煌燦爛的中華文明。

我選擇的名言：

傳統美德：

現實意義：

（2010·荊州）

四、綜合性學習（14分）

荊州是馳名于世的三國鏖兵之地，有著深厚的三國文化積淀。下面以“說不盡的三國風

云”為主題開展綜合性學習。

1.吟三國華章。閱讀下面語段，按編號填寫詩文。（8分）

昔魏武吟鞭：“日月之行，若出其中；①，”，其志宏闊如宇；武

侯臨表：“受任于敗軍之際，②”，其情沛然如注；孫權勸學，蒙曰：“③，即更刮目相待”，其事芳流千古。太守出獵，狂書“④，親射虎，看孫郎”，托古以言志；英雄夢回，忽作“馬作的盧飛快，⑤”，用典以抒懷；書生論史，偏說“⑥，銅雀春深鎖二喬”，借題以諷今。詩仙餞別，且吟“⑦，中間小謝又清發”，激賞建安文風；稼軒登臨，笑談“天下英雄誰敵手？曹劉。⑧”，總論三國人物。滾滾長江東逝水，三國多少事，都在詩文中！

2.（2分）說三國俗語。三國人物和故事早已融入我們的生活，形成了眾多的口頭俗語，如“說曹操，曹操到。”“周瑜打黃蓋—個愿打，一個愿挨?！蹦隳茉僬f出一個嗎？

3.（4分）品三國人物。在荊州這個群雄角逐的大舞臺上，各路豪杰俊秀充分展現了他們的文韜武略、膽識才智和思想品格，一個個鮮活的面容深深銘刻在我們的腦海中。現在荊州舉辦“三國文化節”，要選擇一位三國人物作為“形象大使”，你認為選誰最合適？說出你的理由。（30字左右）（2010·福建龍巖）

五、某校準備進行一次綜合實踐活動的匯報展覽。主題是：今天你“低碳”了嗎？（12分）

【活動背景】哥本哈根世界氣候大會，被冠以“有史以來最重要的會議”、“改變地球命運的會議”等各種重量級頭銜。這次會議讓很多人對人類當前的生產和生活方式開始了深刻的反思：追求健康生活，不僅要“低脂”、“低鹽”、“低糖”，也要“低碳”！低碳生活是指生活作息時所耗用的能量要盡力減少，從而減低二氧化碳的排放量。

【成果展示】成果展示分為三大板塊。

（1）第一板塊：引領潮流的名詞：“低碳”。請用簡潔的語言介紹什么是“低碳”。（2分）

（2）第二板塊：人類的悲?。捍笞匀坏膱髲汀Ｕ埫枋鲆粋€人類遭受自然界無情報復的畫面。（4分）

（3）第三板塊：冷靜而理智的行動：“低碳生活”。請寫出兩個“低碳生活”的良好生活習慣。（4分）（2010·陜西）

六、請參加“我來說生肖”為題的綜合性學習活動。

【活動一：亮生肖】請寫出你的生肖或你喜歡的一種生肖，并在下列詩句找出與其對應的詩

句，寫在橫線上。（2分）

十二生肖詩

鼷鼠飲河河不干，牛女長年相見難。

赤手南山縛猛虎，月中取兔天漫漫。

驪龍有珠常不睡，畫蛇添足適為累。

老馬何曾有角生，羝羊觸藩徒忿嚏。

莫笑楚人冠沐猴，祝雞空自老林邱。

舞陽屠狗沛中市，平津放豕海東頭。

——胡儼

答案實例： 生肖鼠詩句

生肖詩句

【活動二：連接生肖 】請你寫出與你的生肖有關的一個成語、俗語或歇后語。（2分）

【活動三：妙解生肖 】十二生肖在傳統的文化中都有一定的寓意，并有固定的搭配，這反映了中國人對人生的認識。請你選擇你的生肖所在一組搭配，仿照示例闡述。（2分）備選組：a.鼠和牛b.虎和兔c.龍和蛇d.馬和羊 e猴和雞f.狗和豬

示例：龍和蛇 龍代表剛猛，蛇代表柔韌。剛猛柔韌一定要緊密的結合在一起。如果只有剛，不柔韌，那就變成了暴戾；而只是柔韌不剛猛，那就變成了軟弱。

【活動四：推薦生肖 】請寫一段話借文學作品或影視作品中的動物形象推薦你的生肖。（2分）

第四篇：中考第一輪復習：簡單的幾何證明(四邊形)

2012年初三數學中考備考復習資料

5幾何證明（四邊形2）專題

學校：___________姓名：______________評價：_________________ 【知識歸納】

觀察下圖，回答下列問題

直角梯形

菱形

思考1——特殊四邊形性質的角度

1、對角線互相平分的特殊四邊形有______________________________________________

2、對角線相等特殊四邊形的有__________________________________________________

3、對角線互相垂直的特殊四邊形有______________________________________________

【鞏固訓練】

1、如圖，在□ABCD中，E，F為BC上兩點，且BE＝CF，AF＝DE．求證：△ABF≌△DCE；

A

D

B E F C/

42、如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連結BF。（1）求證：BD=CD；

（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論。

3、如圖，在四邊形ABCD中，點E是線段AD上的任意一點（E 與A，D不重合），G，F，H

分別是BE，BC，CE的中點．（1）證明四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）在（1）的條件下，若EF?BC，且EF?1BC，證明平行四邊形EGFH 是正方形．

B

E

H

D

F4、已知，如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.求梯形兩腰AB、CD的長.2 /

4B

C

【基礎檢測】

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1、下列事件中是必然事件的是（）A.打開電視機，正在播廣告.B.從一個只裝有白球的缸里摸出一個球，摸出的球是白球.C.從一定高度落下的圖釘，落地后釘尖朝上.D.今年10月1日，廈門市的天氣一定是晴天.2、如圖1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4，則sin∠B＝（）343

4D.55433、“比a的1的數”用代數式表示是（）

53＋1B.a＋1C.aD.－

123224、已知：如圖2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，則下列等式成立的是（）ADAEAEAD

B.＝

ABACBCBDDEAEDEAD

C.＝D.＝

BCABBCAB5、已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化簡（a－2）（b－2）的結果是（）A.6B.2 m－8C.2 mD.－2 m

二、填空題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

6、－3的相反數是.7、分解因式：5x＋5y＝.8、如圖3，已知：DE∥BC，∠ABC＝50°,則∠ADE＝度.9、2÷2＝.10、某班有49位學生，其中有23位女生.在一次活動中，班上每一位學生的名字都各自寫在一張小紙條上，放入一盒中攪勻.如果老師閉上眼睛從盒中隨機抽出一張紙條，那么抽到寫有女生名字紙條的概率是.11、如圖4，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，則OD＝厘米.12、如果甲邀請乙玩一個同時拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲的規則如下：同時拋出兩個正面，乙得1分；拋出其他結果，甲得1分.誰先累積到10分，誰就獲勝.你認為（填“甲”或“乙”）獲勝的可能性更大.1113、一根蠟燭在凸透鏡下成一實像，物距u，像距v和凸透鏡的焦距f滿足關系式：圖

4B

圖

1C

ADB

EC

圖

3uv

f

若f＝6厘米，v＝8厘米，則物距u＝厘米.14、已知函數y－3x－1－2，則x的取值范圍是.若x是整數，則此函數的最小值是./

415、已知平面直角坐標系上的三個點O（0，0）、A（－1，1）、B（－1，0），將△ABO繞點O按順時針方向旋轉135°,則點A、B的對應點A1、B1的坐標分別是A（），B1(，).1，三、解答題

16、先化簡，再求值：1?21?2x?1，其中x

1x?1x?1x?2x?

17、我們知道，當一條直線與一個圓有兩個公共點時，稱這條直線與這個圓相交．類似地，我們定義：當一條直線與一個正方形有兩個公共點時，稱這條直線與這個正方形相交． 如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點為O(0，0)、A(1，0)、B(1，1)、C(0，1)．15

(1)判斷直線y＝＋與正方形OABC是否相交，并說明理由；

(2)設d是點O到直線y3x＋b的距離，若直線y3x＋b與正方形OABC相交，求

d的取值范圍．/ 4

第五篇：高考第一輪復習數學：不等式的證明

不等式的證明

（一）●知識梳理

1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（a?b2）2（a、b∈R+），當且僅當a=b時取等號.2.比較法：a－b＞0?a＞b，a－b＜0?a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1?a＞b.特別提示

1.比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號，作差變形的方向常常是因式分解后，把差寫成積的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用條件，若●點擊雙基

1.若a、b是正數，則

a?b2ab＞1不能推出a＞b.這里要注意a、b兩數的符號.、ab、2aba?b、a2?b22這四個數的大小順序是

A.ab≤a?b22≤2aba?b≤

a2?b22

B.a2?b2≤ab≤

a?b2≤

2aba?b2

C.2aba?b≤ab≤a?b22≤

a2?b2

D.ab≤a?b2≤

a?b22≤

2aba?b

解析：可設a=1，b=2，則a?b2=43232，ab=2，2aba?ba2=，1?4252?b2===2.5.答案：C

2.設0＜x＜1，則a=2x，b=1+x，c=A.a

解析：∵0＜x＜1，B.b

11?x中最大的一個是 C.c

D.不能確定

∴1+x＞2x=4x＞2x.∴只需比較1+x與∵1+x－∴1+x＜11?x11?x11?x2的大小.=－

x2=.1?x?11?x1?x＜0，答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常數，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

必要條件 解析：當a＞0，b2－4ac＜0時，ax2+bx+c＞0.反之，ax+bx+c＞0對x∈R成立不能推出a＞0，b－4ac＜0.反例：a=b=0，c=2.故選A.答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），給出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序號都填上）解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.故④成立，⑤不成立.答案：①②④

（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+1a

222

552

2≥2.其中一定成立的是__________.解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；

②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；

③a+b－ab－ab=a（a－b）+b（b－a）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.∵（a－b）≥0，a+ab+b≥0，但a+b符號不確定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正確； ④a∈R時，a+答案：①② 1a22

255322

332

2≥2不正確.5.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關系為____________.解析：設甲地至乙地的距離為s，船在靜水中的速度為v2，水流速度為v（v2＞v＞0），則船在流水中在甲乙間來回行駛一次的時間

t=sv2?v+sv2?v=v2v22v2s2?v22，平均速度v1=22st2=

?vv2.∵v1－v2=∴v1＜v2.v2?vv22－v2=－

v2v2＜0，答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 設a＞0，b＞0，求證：（a21b）2（b?111a）2≥a2+b2.剖析：不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明.證法一：左邊－右邊＝

（a）?（b）ab（a?b）（a?ab?b）?ab（a?b）（a?2ab?b）（a?ab（a?b）33－（a＋b）

＝

＝＝

b）（aba?b）2≥0.ab∴原不等式成立.證法二：左邊＞0，右邊＞0，左邊右邊＝（a?b）（a?ab（a?ab?b）b）＝

a?ab?bab≥

2ab?abab＝1.∴原不等式成立.評述：用比較法證不等式，一般要經歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟.變形的主要手段是通分、因式分解或配方.在變形過程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二.下面的例3則是公式法與配方法的綜合應用.【例2】 已知a、b、x、y∈R且求證：xx?a+

1a＞

1b，x＞y.＞yy?b.剖析：觀察待證不等式的特征，用比較法或分析法較適合.證法一：（作差比較法）

∵又xx?a1a－1byy?b（x?a）（y?b）=

bx?ay，＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴bx?ay（x?a）（y?b）＞0，即

xx?a＞

yy?b.證法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R，∴要證+

xx?a＞

yy?b，只需證明x（y+b）＞y（x+a），即證xb＞ya.而由1a＞1b＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya顯然成立.故原不等式成立.思考討論

該例若用函數的單調性應如何構造函數? 解法一：令f（x）=再令g（x）=∵1axx?a，易證f（x）在（0，+∞）上為增函數，從而

xx?a＞

yy?b.mm?x，易證g（x）在（0，+∞）上單調遞減.+＞1b，a、b∈R.∴a＜b.mm?a∴g（a）＞g（b），即＞

mm?b，命題得證.xy解法二：原不等式即為

axa?1＞

byb?1，為此構造函數f（x）=

xx?1，x∈（0，+∞）.xa易證f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，而xy＞

yb，∴axa?1＞byb?1，即

xx?a＞

yy?b.【例3】 某食品廠定期購買面粉.已知該廠每天需用面粉6 t，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元.（1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少?（2）若提供面粉的公司規定：當一次購買面粉不少于210 t時，其價格可享受9折優惠（即原價的90%），問該廠是否考慮利用此優惠條件?請說明理由.解：（1）設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x t，由題意知，面粉的保管等其他費用為3［6x+6（x－1）+?+6×2+6×1］=9x（x+1）.設平均每天所支付的總費用為y1元，則y1=900x1x［9x（x+1）+900］+6×1800 =+9x+10809≥

2900x?9x+10809 =10989.當且僅當9x=900x，即x=10時取等號，即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.（2）若廠家利用此優惠條件，則至少每隔35天，購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2元，則

y2==1x［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 +9x+9729（x≥35）.100x900x令f（x）=x+（x≥35），x2＞x1≥35，則 f（x1）－f（x2）=（x1+=

100x1）－（x2+

100x2）

（x2?x1）（100?x1x2）x1x2

∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0.∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）=x+100x，當x≥35時為增函數.∴當x=35時，f（x）有最小值，此時y2＜10989.∴該廠應該接受此優惠條件.●闖關訓練 夯實基礎

1.設x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，則 A.x+y≤22+2

B.x+y≥22+2 D.x+y≥（2+1）

2C.x+y≤（2+1）解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（由xy－（x+y）=1得（∴x+y≥2+22.答案：B

x?y2x?y2）.2）2－（x+y）≥1.2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關系是 A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能確定

解析：M－N=x+y+1－（x+y+xy）==121222［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0.答案：A 3.設a＞0，b＞0，a+解析：a+

22b22b2=1，則a1?b2的最大值是____________.?12b2b22=1?a+

=

32.a2∴a1?b2=2·a·答案：324?12?b22?12332=2·2=.≤2·

a?b24.若記號“※”表示求兩個實數a和b的算術平均數的運算，即a※b=，則兩邊均含有運算符號“※”和“+”，且對于任意3個實數a、b、c都能成立的一個等式可以是____________.解析：∵a※b=a?b2b?a2，b※a=，∴a※b+c=b※a+c.答案：a※b+c=b※a+c.思考：對于運算“※”分配律成立嗎? 即a※（b+c）=a※b+a※c.答案：不成立

5.當m＞n時，求證：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

證明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3，3又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）＞0，即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0.故m－mn－3mn＞2mn－6mn＋n．

6.已知a＞1，λ＞0，求證：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）.證明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）=lg（a??）lga2322223－lg（a?2?）lg（a??）

=lg（a??）?lga?lg（a?2?）lga?lg（a??）

∵a＞1，λ＞0，∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.∴lga·lg（a+2λ）＜［（=［lg（a2lga?lg（a?2?）2lg（a??）22）］?2a?）2］＜［

2］=lg（a+λ）.∴lg（a??）?lga?lg（a?2?）lgalg（a??）2＞0.∴loga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）.培養能力

7.已知x＞0，y＞0，若不等式x+y≤mx?y恒成立，求實數m的最小值.分析：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yx?x?yyy∴m≥恒成立.∴m的最小值就是的最大值.解：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yy∴m≥恒成立.∵x＞0，y＞0，∴x?y≥（x?2x?x?2yyy）2=

x?2y.∴x?x?yy≤=2.∴m的最小值為2.評述：分離參數法是求參數的范圍問題常用的方法，化歸是解這類問題常用的手段.8.有點難度喲！

求證：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+ha＞b+hb.證明：設S表示△ABC的面積，則 S=12aha=12bhb=12absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）.∵C≠π2，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.探究創新

9.設二次函數f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜1a2.（1）當x∈（0，x1）時，證明x＜f（x）＜x1；（2）設函數f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，求證x0＜證明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.當x∈（0，x1）時，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜1ax12.，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.綜上，可知x＜f（x）＜x1.（2）由題意知x0=－

b2a.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－∴x0=－b2ab?1a.=.ax1?ax2?12a=a（x1?x2）?12aax12ax12.又∵ax2＜1，∴x0＜=●思悟小結

1.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商.用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法.它的依據是不等式的基本性質.2.步驟是：作差（商）→變形→判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關系，為了便于判斷，往往把形式變為積或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關系.3.有時要先對不等式作等價變形再進行證明，有時幾種證明方法綜合使用.4.在應用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”.若忽略了某個條件，就會出現錯誤.●教師下載中心 教學點睛

1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數還是負數來證明不等式，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握.2.對于公式a+b≥2ab，ab≤（a?b2）2要講清它們的作用和使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和a+b的轉化關系.拓展題例

【例1】設a、b∈R，關于x的方程x2＋ax＋b＝0的實根為α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求證：｜α｜＜1，｜β｜＜1.證法一：∵α＋β＝－a，αβ＝b，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a｜＋｜b｜＜1.∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0.∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.證法二：設f（x）=x＋ax＋b，則有

f（1）＝1＋a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞1－1＝0，f（－1）＝1－a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞0.∵0≤｜a｜＜1，∴－1＜a＜1.∴－122＜－a2＜12.∴方程f（x）＝0的兩實根在（－1，1）內，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.評述：證法一先利用韋達定理，再用絕對值不等式的性質恰好能分解因式；證法二考慮根的分布，證兩根在（－1，1）內.【例2】 是否存在常數C，使得不等式數x、y恒成立?試證明你的結論.解：當x=y時，可由不等式得出C=下面分兩個方面證明.先證≥2xy.再證xx?2yx2x?y23x2x?y+

yx?2y≤C≤

xx?2y+

y2x?y對任意正

.+yx?2y≤

23，此不等式?3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）?x2+y2+y2x?y≥

23，22此不等式?3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）?2xy≤x+y.綜上，可知存在常數C=

23，使對任何正數x、y不等式恒成立.6.3 不等式的證明

（二）●知識梳理

1.用綜合法證明不等式：利用不等式的性質和已證明過的不等式以及函數的單調性導出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因導果”.2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件 的方法叫分析法，概括為“執果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調性證明不等式.5.構造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數形結合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法.●點擊雙基

1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）a＜2+數a的取值范圍是

A.［－2，C.［－3，3232n

（?1）nn?1對任意n∈N恒成立，則實

*））

B.（－2，D.（－3，3232））

解析：當n為正偶數時，a＜2－1n，2－121n為增函數，∴a＜2－=32.1n當n為正奇數時，－a＜2+而－2－1n，a＞－2－

1n1n.為增函數，－2－

32＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，答案：A）.2.（2003年南京市質檢題）若＜

a11b＜0，則下列結論不正確的是 ．．．

B.ab＜b D.|a|+|b|＞|a+b|

2A.a＜b C.ba2

21b

+ab＞2

1a解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正確.答案：A 3.分析法是從要證的不等式出發，尋求使它成立的 A.充分條件

C.充要條件

答案：A

B.必要條件

D.既不充分又不必要條件

4.（理）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，則am與bm的大小關系是____________.解析：若d=0或q=1，則am=bm.若d≠0，畫出an=a1+（n－1）d與bn=b1·q

y n－

1的圖象，O1m n x 易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，?），則an+1與bn+1的大小關系是____________.解析：an+1=a1?a2n?121a?b1a?b≥a1a2n?1=b1b2n?1=bn+1.答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，則

+

1b?c1b?c_______

3a?c.（填“＞”“=”“＜”）

1a?b解析：a＞b＞c，（1+）（a－c）=（+

1b?c）［（a－b）+（b－c）］

≥2（a?b）（b?c）1·2（a?b）（b?c）=4.3a?c∴a?b+1b?c≥

4a?c＞.答案：＞ ●典例剖析

【例1】 設實數x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.求證：loga（ax＋ay）＜loga2＋

18.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時應消去x、y.xy證明：∵a＞0，a＞0，∴ax＋ay≥2ax?y＝2ax?x.∵x－x2＝xy

214－（x－112）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.1∴loga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋xy

18.1評述：本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求證：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質，解決

+

xy

問題.證明：∵a、b、c∈R且a+b+c=1，∴要證原不等式成立，即證［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2（a?b）（b?c）＞0，（b+c）+（c+a）≥2（b?c）（c?a）＞0，（c+a）+（a+b）≥2（c?a）（a?b）＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：na－1＜a?1n+

.a?1n證法一：要證na－1＜即證a＜（a?1n，+1）.n令a－1=t＞0，則a=t+1.也就是證t+1＜（1+∵（1+tntntn）n.+?+Cnn（tn）n=1+C1na?1nn）n＞1+t，即na－1＜成立.證法二：設a=xn，x＞1.于是只要證即證xnx?1n＞x－1，n－1?1x?1n－1＞n.聯想到等比數列前n項和1+x+?+xn－

2=

xn?1x?1，① ② 倒序x+x+?+1=nxn?1x?1.①+②得2·x?1x?1=（1+xn－1）+（x+xn－2）+?+（xn－1+1）

＞2xn?1+2xn?1+?+2xn?1＞2n.∴xn?1x?1＞n.思考討論

本不等式是與自然數有關的命題，用數學歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關訓練 夯實基礎

1.已知a、b是不相等的正數，x=

a?2b，y=a?b，則x、y的關系是

A.x＞y 解析：∵x2=y2=a+b=12 B.y＞x

2C.x＞2y

D.不能確定

（a+b）2=

12（a+b+2ab），（a+b+a+b）＞

（a+b+2ab）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B 2.對實數a和x而言，不等式x+13ax＞5ax+9a成立的充要條件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.∵當x≠2a≠0時，有（x－2a）2+5a2＞0.由題意故只需x－a＞0即x＞a，以上過程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求證：b2?ac＜3a.22證明：要證b2?ac＜3a，只需證b－ac＜3a，22

3即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a－b）（2a+b）＞0，即證（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.證法一：（綜合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）＝0.展開得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.證法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即證a+b+c+ab+bc+ca≥0，亦即證122222

a2?b2?c22，［（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應各步均可逆，∴原不等式成立.證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a－b－ab＝－［（a＋22

b2）＋

3b42］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培養能力

5.設a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求證：－＜c＜0.31證明：∵a+b+c=1，22∴（a+b）－2ab+c=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的兩個根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則

?Δ?0?1?1?c?c???c?0?3?2??f（c）?0.222222

6.已知2b?2ca=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實數根.a?2c2證明：由2b?2ca=1，∴b=.∴b=（2a2+2c）=

2a22+2ac+2c2=4ac+（a2－2c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實數根.7.設a、b、c均為實數，求證：證明：∵a、b、c均為實數，∴12121212a+

12b+

12c≥

1b?c+

1c?a+

1a?b.（12b12c12a＋12c12b）≥

12bc12ab≥≥≥

11a?b，當a=b時等號成立；

（（＋＋）≥）≥

b?c1c?a，當b=c時等號成立； ． ≥

1b?c12a12ca三個不等式相加即得探究創新

12a+

12b+

12c+

1c?a+

1a?b，當且僅當a=b=c時等號成立.8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求證：a、b、c、d中至少有一個是負數.證明：假設a、b、c、d都是非負數，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd＞1矛盾.所以假設不成立，即a、b、c、d中至少有一個負數.●思悟小結

1.綜合法就是“由因導果”，從已知不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結論.2.分析法就是“執果索因”，從所證不等式出發，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結合在證明不等式中經常遇到.4.構造函數利用單調性證不等式或構造方程利用“Δ≥0”證不等式，充分體現相關知識間的聯系.●教師下載中心 教學點睛

1.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應學生習慣的思維規律.有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現兩頭往中間靠以達到證題目的.2.由于高考試題不會出現單一的不等式的證明題，常常與函數、數列、三角、方程綜合在一起，所以在教學中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數的單調性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數學歸納法等.拓展題例

【例1】 已知a、b為正數，求證：

（1）若a+1＞b，則對于任何大于1的正數x，恒有ax+（2）若對于任何大于1的正數x，恒有ax+

xx?1xx?1＞b成立；

＞b成立，則a+1＞b.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+xx?1=a（x－1）+

1x?1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），22∴（a+1）＞b.（2）∵ax+而ax+xx?1xx?1＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，［ax+

1x?1xx?1］min＞b，=a（x－1）+

1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，1a當且僅當a（x－1）=故［ax+xx?1x?1，即x=1+＞1時取等號.］min=（a+1）2.則（a+1）2＞b，即a+1＞b.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】 求證：|a?b|1?|a?b|≤

|a|1?|a|+

|b|1?|b|.x剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=證明：令f（x）=

x1?x1?x（x≥0）的單調性.（x≥0），易證f（x）在［0，+∞）上單調遞增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即|a?b|1?|a?b|≤|a|?|b|1?|a|?|b|=

|a|1?|a|?|b|?|b|1?|a|?|b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.思考討論

1.本題用分析法直接去證可以嗎? 2.本題當|a+b|=0時，不等式成立； 當|a+b|≠0時，原不等式即為

1?11|a?b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!