第六章
實數（2）
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1.下列各式中無意義的是（）
A.B.C.D.2.在下列說法中：?10的平方根是±；?-2是4的一個平方根；?的平方根是；
④0.01的算術平方根是0.1；⑤，其中正確的有（）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
2.下列說法中正確的是（）
A.立方根是它本身的數只有1和0
B.算數平方根是它本身的數只有1和0
C.平方根是它本身的數只有1和0
D.絕對值是它本身的數只有1和0
4.的立方根是（）
A.B.C.D.5.現有四個無理數，，其中在實數+1
與
+1
之間的有（）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
6.實數，-2，-3的大小關系是（）
A.B.C.D.7.已知
=1.147，=2.472，=0.532
5，則的值是（）
A.24.72
B.53.25
C.11.47
D.114.7
8.若，則的大小關系是（）
A.B.C.D.9.已知是169的平方根，且，則的值是（）
A.11
B.±11
C.±15
D.65或
10.大于且小于的整數有（）
A.9個
B.8個
C
.7個
D.5個
二、填空題（每小題3分，共30分）
11.絕對值是，的相反數是
.12.的平方根是，的平方根是，-343的立方根是，的平方根是
.13.比較大?。?/p>
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
2..14.當
時，有意義。
15.已知=0，則
=
.16.最大的負整數是，最小的正整數是，絕對值最小的實數是，不超過的最大整數是
.17.已知
且，則的值為。
18.已知一個正數的兩個平方根是和，則=，=
.19.設是大于1的實數，若
在數軸上對應的點分別記作A、B、C，則A、B、C三點在數軸上從左至右的順序是
.20.若無理數滿足1，請寫出兩個符合條件的無理數
.三、解答題（共40分）
21.（8分）計算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
22.（12分）求下列各式中的的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
23.（6分）已知實數、、在數軸上的對應點如圖所示，化簡：
24.（7分）若、、是有理數，且滿足等式，試計算的值。
25.（7分）觀察：，即，即
猜想
等于什么，并通過計算驗證你的猜想.參考答案
1.D；2.C；3.B；4.C；5.B；6.B；7.C；8.D；9.D；10.A；
11.，；12.±3，±2，-7，±4；13.＞，＞，＞，＜；14.-2≤≤；
15.4；16.-1，1，0，-5；17.±；18.1，4；19.B＜C＜A；20.，；
21.1，-3，-1，-3；22.或，3或者2，-1，-；23.-
；24.0；
不等式與不等式組單元測試題
一、填空題(每題3分，共30分)
1、不等式組的解集是
2、將下列數軸上的x的范圍用不等式表示出來
3、的非正整數解為
4、a>b,則－2a
－2b.5、3X≤12的自然數解有
個.6、不等式x＞－3的解集是。
7、用代數式表示，比x的5倍大1的數不小于x的與4的差。
8、若(m-3)x<3-m解集為x>-1,則m
.9、三角形三邊長分別為4，a，7，則a的取值范圍是
10、某次個人象棋賽規定：贏一局得2分，平一局得0分，負一局得反扣1分。在12局比賽中，積分超過15分就可以晉升下一輪比賽，小王進入了下一輪比賽，而且在全部12輪比賽中，沒有出現平局，問小王最多輸 局比賽
二、選擇題（每小題2分，共20分）
11、在數軸上表示不等式≥－2的解集，正確的是（）
A
B
C
D12、下列敘述不正確的是（）
A、若x<0，則x2>x
B、如果a<-1，則a>-a
C、若，則a>0
D、如果b>a>0，則
13、如圖1，設“○”、“□”、“△”分別表示三種不同的物體，用天平比較它們質量的大小，兩次情況如圖所示，那么每個“○”、“□”、“△”這樣的物體，按質量從大到小的順序排列為
A
A
圖2
A、○□△
B、○△□
C、□○△
D、△□○
圖114、如圖2天平右盤中的每個砝碼的質量都是1g，則物體A的質量m(g)的取值范圍，在數軸上可表示為（）
C
0
0
D
0
A
0
B15、代數式1-m的值大于-1，又不大于3，則m的取值范圍是（）
16、不等式的正整數解為（）
A.1個
B.3個
C.4個
D.5個
17、不等式組的解集是（）
18、如果關于x、y的方程組的解是負數，則a的取值范圍是
A.-4 B.a>5 C.a<-4 D.無解 19、若關于x的不等式組的解集是x>2a,則a的取值范圍是 A.a>4 B.a>2 C.a=2 D.a≥220、若方程組中，若未知數x、y滿足x+y>0,則m的取值范圍是 三、解答題（第1題20分，第2、3各5分，第4、5題各10分，共50分） 1、解下列不等式(或不等式組)，并在數軸上表示解集。 （1）2x－3<6x＋13； （2）2（5x－9）≤x+3（4－2x）.（3） （4） 2、在下列解題過程中有錯，請在出錯之處打個叉，并給予糾正。 解： 3、某城市一種出租汽車起步價是10元行駛路程在5km以內都需10元車費)，達到或超過5km后，每增加1km，1.2元(不足1km，加價1.2元；不足1km部分按1km計)。現在某人乘這種出租車從甲地到乙地，支付17.2元，則從甲地到乙地路程大約是多少？ 4、若不等式組的解集為-1 5、為了保護環境，某企業決定購買10臺污水處理設備?，F有A、B兩種型號的設備，其中每臺的價格、月處理污水量及年消耗費如下表： A型 B型 價 格(萬元/臺) 處理污水量 (噸/月) 240 200 年消耗費 (萬元/臺) 經預算,該企業購買設備的資金不高于105萬元.(1)請你設計該企業有幾種購買方案; (2)若該企業每月產生的污水量為2040噸,為了節約資金,應選擇哪種購買方案; (3)在第(2)問的條件下，若每臺設備的使用年限為10年，污水廠處理污水為每噸10元，請你計算，該企業自己處理污水與將污水排到污水廠處理相比較，10年節約資金多少萬元？（注：企業處理污水的費用包括購買設備的資金和消耗費） 不等式與不等式組單元測試題（含答案） 一、填空題 1、-2 二、選擇題 11、A 12、B 13、A 14、A 15、C16、B17、C18、D19、D20、A 三、解答題 1（1）x>4 (2)x≤2（3）x>3（4）x>32、（略） 3、解：設從甲地到乙地路程大約是x km，依題意可列： 10＋1.2(x-5)≤17.2 解得x≤11 答：從甲地到乙地路程大約是11公里。 4、解： 由原不等式組得∵該不等式組的解集為-1 ∴有2b+3＝-1，①(a+1)＝1，② 聯立①、②解得a=1，b＝-2，∴(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)＝-6。 5、解：(1)設購買污水處理設備A型x臺,則B型(10-x)臺.由題意知,∵x取非負整數,∴x可取0、1、2 ∴有三種購買方案:購A型0臺,B型10臺;購A型1臺,B型9臺;購A型2臺,B型8臺.(2)由題意得 當 ∴為了節約資金應購A型1臺，B型9臺。 (3)10年企業自己處理污水的總資金為： 若將污水排到污水廠處理，10年所需費用為： 整式乘法與因式分解 一、選擇題： 1．下列計算正確的是（） A．a2+b3=2a5 B．a4÷a=a4 C．a2?a3=a6 D．（﹣a2）3=﹣a6 2．計算（a3）2的結果是（） A．a5 B．a6 C．a8 D．a9 3．下列計算中，正確的個數有（） ①3x3?（﹣2x2）=﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a；③（a3）2=a5；④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 4．計算2x3÷x2的結果是（） A．x B．2x C．2x5 D．2x6 5．下列各式是完全平方式的是（） A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1 6．下列各式中能用平方差公式是（） A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x） C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x） 7．如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 8．若3x=15，3y=5，則3x﹣y等于（） A．5 B．3 C．15 D．10 9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 10．下列各式從左到右的變形，正確的是（） A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y） B．﹣a+b=﹣（a+b） C．（y﹣x）2=（x﹣y）2 D．（a﹣b）3=（b﹣a）3 二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 11．計算：（﹣3x2y）?（xy2）= ?。?/p> 12．計算： = ?。?/p> 13．計算：（）2007×（﹣1）2008= ． 14．若代數式2a2+3a+1的值為6，則代數式6a2+9a+5的值為 ?。?/p> 15．當x 時，（x﹣4）0等于1． 16．若多項式x2+ax+b分解因式的結果為（x+1）（x﹣2），則a+b的值為 ． 17．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，則a=，b= ?。?/p> 18．已知a+=3，則a2+的值是 ?。?/p> 三、解答題（共5小題，滿分46分） 19．計算： （1）（ab2）2?（﹣a3b）3÷（﹣5ab）； （2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1） 20．分解因式： （1）m2﹣6m+9； （2）（x+y）2+2（x+y）+1； （3）3x﹣12x3； （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 21．先化簡，再求值：2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（3﹣a），其中a=﹣2，x=1． 22．若2x+5y﹣3=0，求4x?32y的值． 23．已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結論． 整式乘法與因式分解 參考答案與試題解析 一、選擇題： 1．下列計算正確的是（） A．a2+b3=2a5 B．a4÷a=a4 C．a2?a3=a6 D．（﹣a2）3=﹣a6 【考點】同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據同底數相除，底數不變指數相減；同底數冪相乘，底數不變指數相加；冪的乘方，底數不變指數相乘，對各選項計算后利用排除法求解． 【解答】解：A、a2與b3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤； B、應為a4÷a=a3，故本選項錯誤； C、應為a3?a2=a5，故本選項錯誤； D、（﹣a2）3=﹣a6，正確． 故選D． 【點評】本題考查合并同類項，同底數冪的除法，同底數冪的乘法，冪的乘方的性質，熟練掌握運算性質是解題的關鍵． 2．計算（a3）2的結果是（） A．a5 B．a6 C．a8 D．a9 【考點】冪的乘方與積的乘方． 【專題】計算題． 【分析】根據冪的乘方，底數不變，指數相乘即可求． 【解答】解：（a3）2=a6，故選B． 【點評】本題考查了冪的乘方，解題的關鍵是熟練掌握冪的乘方公式． 3．下列計算中，正確的個數有（） ①3x3?（﹣2x2）=﹣6x5；②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a；③（a3）2=a5；④（﹣a）3÷（﹣a）=﹣a2． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】整式的混合運算． 【專題】計算題． 【分析】①原式利用單項式乘以單項式法則計算即可得到結果； ②原式利用單項式除以單項式法則計算即可得到結果； ③原式利用冪的乘方運算計算即可得到結果； ④原式利用同底數冪的除法法則計算即可得到結果． 【解答】解：①3x3?（﹣2x2）=﹣6x5，正確； ②4a3b÷（﹣2a2b）=﹣2a，正確； ③（a3）2=a6，錯誤； ④（﹣a）3÷（﹣a）=（﹣a）2=a2，錯誤，則正確的個數有2個． 故選B． 【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 4．計算2x3÷x2的結果是（） A．x B．2x C．2x5 D．2x6 【考點】整式的除法；同底數冪的除法． 【分析】根據單項式除單項式的法則，同底數冪相除，底數不變指數相減的性質，對各選項計算后選取答案． 【解答】解：2x3÷x2=2x． 故選B． 【點評】本題比較容易，考查整式的除法和同底數冪的除法法則，熟練掌握運算法則是解題的關鍵． 5．下列各式是完全平方式的是（） A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+xy+1 D．x2+2x﹣1 【考點】完全平方式． 【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一項為乘積項除以2，除以第一個底數的結果的平方． 【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式； B、缺少中間項±2x，不是完全平方式； C、不符合完全平方式的特點，不是完全平方式； D、不符合完全平方式的特點，不是完全平方式． 故選A． 【點評】本題是完全平方公式的應用，熟記公式結構：兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，是解題的關鍵． 6．下列各式中能用平方差公式是（） A．（x+y）（y+x） B．（x+y）（y﹣x） C．（x+y）（﹣y﹣x） D．（﹣x+y）（y﹣x） 【考點】平方差公式． 【專題】計算題． 【分析】利用平方差公式的結構特征判斷即可得到結果． 【解答】解：能用平方差公式是（x+y）（y﹣x）=y2﹣x2，故選B 【點評】此題考查了平方差公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵． 7．如（x+m）與（x+3）的乘積中不含x的一次項，則m的值為（） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【考點】多項式乘多項式． 【分析】先用多項式乘以多項式的運算法則展開求它們的積，并且把m看作常數合并關于x的同類項，令x的系數為0，得出關于m的方程，求出m的值． 【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘積中不含x的一次項，∴3+m=0，解得m=﹣3． 故選：A． 【點評】本題主要考查了多項式乘多項式的運算，根據乘積中不含哪一項，則哪一項的系數等于0列式是解題的關鍵． 8．若3x=15，3y=5，則3x﹣y等于（） A．5 B．3 C．15 D．10 【考點】同底數冪的除法． 【分析】根據同底數冪的除法，底數不變，指數相減，可得答案． 【解答】解：3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3，故選：B． 【點評】本題考查了同底數冪的除法，底數不變，指數相減． 9．若（x﹣3）（x+4）=x2+px+q，那么p、q的值是（） A．p=1，q=﹣12 B．p=﹣1，q=12 C．p=7，q=12 D．p=7，q=﹣12 【考點】多項式乘多項式． 【分析】此題可以將等式左邊展開和等式右邊對照，根據對應項系數相等即可得到p、q的值． 【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）=x2+x﹣12=x2+px+q，則p=1，q=﹣12． 故選A． 【點評】本題考查了多項式乘多項式的法則，根據對應項系數相等求解是關鍵． 10．下列各式從左到右的變形，正確的是（） A．﹣x﹣y=﹣（x﹣y） B．﹣a+b=﹣（a+b） C．（y﹣x）2=（x﹣y）2 D．（a﹣b）3=（b﹣a）3 【考點】完全平方公式；去括號與添括號． 【分析】A、B都是利用添括號法則進行變形，C、利用完全平方公式計算即可；D、利用立方差公式計算即可． 【解答】解：A、∵﹣x﹣y=﹣（x+y），故此選項錯誤； B、∵﹣a+b=﹣（a﹣b），故此選項錯誤； C、∵（y﹣x）2=y2﹣2xy+x2=（x﹣y）2，故此選項正確； D、∵（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，（b﹣a）3=b3﹣3ab2+3a2b﹣a3，∴（a﹣b）3≠（b﹣a）3，故此選項錯誤． 故選C． 【點評】本題主要考查完全平方公式、添括號法則，熟記公式結構是解題的關鍵．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．括號前是“﹣”號，括到括號里各項都變號，括號前是“+”號，括到括號里各項不變號． 二、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分） 11．計算：（﹣3x2y）?（xy2）= ?。?/p> 【考點】單項式乘單項式；同底數冪的乘法． 【分析】根據單項式的乘法法則，同底數冪的乘法的性質計算即可． 【解答】解：（﹣3x2y）?（xy2），=（﹣3）××x2?x?y?y2，=﹣x2+1?y1+2，=﹣x3y3． 【點評】本題主要考查單項式與單項式相乘，把他們的系數，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同他的指數不變，作為積的因式． 12．計算： = ?。?/p> 【考點】平方差公式． 【分析】利用平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）進行計算即可． 【解答】解：原式=﹣（n﹣m）（n+m） =﹣[n2﹣（m）2] =m2﹣n2． 故答案是： m2﹣n2 【點評】本題考查了平方差公式，運用平方差公式計算時，關鍵要找相同項和相反項，其結果是相同項的平方減去相反項的平方． 13．計算：（）2007×（﹣1）2008= ?。?/p> 【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數冪的乘法． 【分析】先把原式化為（）2007×（﹣1）2007×（﹣1），再根據有理數的乘方法則計算． 【解答】解：（）2007×（﹣1）2008 =（）2007×（﹣1）2007×（﹣1） =（﹣×1）2007×（﹣1） =﹣1×（﹣1） =． 故答案為：． 【點評】本題考查了有理數的乘方，解題時牢記法則是關鍵． 14．若代數式2a2+3a+1的值為6，則代數式6a2+9a+5的值為 ?。?/p> 【考點】代數式求值． 【專題】計算題． 【分析】由題意列出關系式，求出2a2+3a的值，將所求式子變形后，把2a2+3a的值代入計算即可求出值． 【解答】解：∵2a2+3a+1=6，即2a2+3a=5，∴6a2+9a+5 =3（2a2+3a）+5 =20． 故答案為：20． 【點評】此題考查了代數式求值，利用了整體代入的思想，是一道基本題型． 15．當x 時，（x﹣4）0等于1． 【考點】零指數冪． 【專題】計算題． 【分析】根據0指數冪底數不能為0列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可． 【解答】解：∵（x﹣4）0=1，∴x﹣4≠0，∴x≠4． 故答案為：≠4． 【點評】本題考查的是0指數冪的定義，即任何非0數的0次冪等于1． 16．若多項式x2+ax+b分解因式的結果為（x+1）（x﹣2），則a+b的值為 ?。?/p> 【考點】因式分解的意義． 【分析】利用整式的乘法計算（x+1）（x﹣2），按二次項、一次項、常數項整理，與多項式x2+ax+b對應，得出a、b的值代入即可． 【解答】解：（x+1）（x﹣2） =x2﹣2x+x﹣2 =x2﹣x﹣2 所以a=﹣1，b=﹣2，則a+b=﹣3． 故答案為：﹣3． 【點評】此題考查利用整式的計算方法，計算出的代數式與因式分解前代數式比較，得出結論，進一步解決問題． 17．若|a﹣2|+b2﹣2b+1=0，則a=，b= ?。?/p> 【考點】非負數的性質：偶次方；非負數的性質：絕對值． 【分析】本題應對方程進行變形，將b2﹣2b+1化為平方數，再根據非負數的性質“兩個非負數相加，和為0，這兩個非負數的值都為0”來解題． 【解答】解：原方程變形為：|a﹣2|+（b﹣1）2=0，∴a﹣2=0或b﹣1=0，∴a=2，b=1． 【點評】本題考查了非負數的性質，兩個非負數相加，和為0，這兩個非負數的值都為0． 18．已知a+=3，則a2+的值是 ． 【考點】完全平方公式． 【專題】常規題型． 【分析】把已知條件兩邊平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2． 【解答】解：∵a+=3，∴a2+2+=9，∴a2+=9﹣2=7． 故答案為：7． 【點評】本題主要考查了完全平方公式，利用公式把已知條件兩邊平方是解題的關鍵． 三、解答題（共5小題，滿分46分） 19．計算： （1）（ab2）2?（﹣a3b）3÷（﹣5ab）； （2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1） 【考點】整式的混合運算． 【專題】計算題． 【分析】（1）原式利用積的乘方與冪的乘方運算法則計算，再利用乘除法則計算即可得到結果； （2）原式先利用單項式乘多項式法則計算，去括號合并即可得到結果． 【解答】解：（1）原式=a2b4?（﹣a9b3）÷（﹣5ab）=a10b6； （2）原式=6a3﹣27a2+9a﹣8a+4a=6a3﹣35a2+13a； 【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 20．分解因式： （1）m2﹣6m+9； （2）（x+y）2+2（x+y）+1； （3）3x﹣12x3； （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】（1）利用完全平方公式即可分解； （2）利用完全平方公式即可分解； （3）首先提公因式3x，然后利用平方差公式分解即可； （4）首先提公因式（x﹣y），然后利用平方差公式分解． 【解答】解：（1）m2﹣6m+9=（m﹣3）2； （2）（x+y）2+2（x+y）+1=（x+y+1）2． （3）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）； （4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） =9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） =（x﹣y）（9a2﹣4b2） =（x﹣y）（3a+2b）?（3a﹣2b）． 【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底． 21．先化簡，再求值：2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（3﹣a），其中a=﹣2，x=1． 【考點】整式的混合運算—化簡求值． 【分析】先根據多項式乘多項式的法則以及平方差公式計算，再去括號，然后合并，最后把a、x的值代入計算． 【解答】解：原式=2（x2﹣x﹣6）﹣（9﹣a2） =2x2﹣2x+a2﹣21，當a=﹣2，x=1時，原式=2×12﹣2×1+（﹣2）2﹣21=﹣17． 【點評】本題考查了整式的混合運算，解題的關鍵是去括號、合并同類項． 22．若2x+5y﹣3=0，求4x?32y的值． 【考點】同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代數式化為同為2的底數的代數式，運用同底數冪的乘法的性質計算，最后運用整體代入法求解即可． 【解答】解：4x?32y=22x?25y=22x+5y ∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8． 【點評】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，理清指數的變化是解題的關鍵． 23．已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結論． 【考點】因式分解的應用． 【專題】幾何圖形問題；探究型；因式分解． 【分析】由2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc分組因式分解，利用非負數的性質得到三邊關系，從而判定三角形形狀． 【解答】解：△ABC是等邊三角形． 證明如下： 因為2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，所以2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，所以（a﹣b）2=0，（a﹣c）2=0，（b﹣c）2=0，得a=b且a=c且b=c，即a=b=c，所以△ABC是等邊三角形． 【點評】此題是一道把等邊三角形的判定、因式分解和非負數的性質結合求解的綜合題．考查學生綜合運用數學知識的能力． 《整式的乘法與因式分解》 一、填空題 1．若x?xa?xb?xc=x2000，則a+b+c= ?。?/p> 2．（﹣2ab）=，（﹣a2）3（﹣a32）= ?。?/p> 3．如果（a3）2?ax=a24，則x= ． 4．計算：（1﹣2a）（2a﹣1）= ． 5．有一個長4×109mm，寬2.5×103mm，高6×103mm的長方體水箱，這個水箱的容積是 mm2． 6．通過計算幾何圖形的面積可表示一些代數恒等式（一定成立的等式），請根據圖寫出一個代數恒等式是： ． 7．已知（﹣x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a0+a2）2﹣（a1+a3）2的值． 8．已知：A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2，則3AB﹣AC= ?。?/p> 9．用如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，拼成一個長為2a+b，寬為a+b的矩形，需要A類卡片 張，B類卡片 張，C類卡片 張． 10．我國北宋時期數學家賈憲的著作《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”如圖所示，通過觀察你認為圖中的a= ?。?/p> 二、選擇題 11．下列運算正確的是（） A．x2?x3=x6 B．x2+x2=2x4 C．（﹣2x）2=﹣4x2 D．（﹣3a3）?（﹣5a5）=15a8 12．如果一個單項式與﹣3ab的積為﹣a2bc，則這個單項式為（） A． a2c B． ac C． a2c D． ac 13．計算[（a+b）2]3?（a+b）3的正確結果是（） A．（a+b）8 B．（a+b）9 C．（a+b）10 D．（a+b）11 14．若x2﹣y2=20，且x+y=﹣5，則x﹣y的值是（） A．5 B．4 C．﹣4 D．以上都不對 15．若25x2+30xy+k是一個完全平方式，則k是（） A．36y2 B．9y2 C．6y2 D．y2 16．已知a+b=2，則a2﹣b2+4b的值是（） A．2 B．3 C．4 D．6 17．計算（5x+2）（2x﹣1）的結果是（） A．10x2﹣2 B．10x2﹣x﹣2 C．10x2+4x﹣2 D．10x2﹣5x﹣2 18．下列計算正確的是（） A．（x+7）（x﹣8）=x2+x﹣56 B．（x+2）2=x2+4 C．（7﹣2x）（8+x）=56﹣2x2 D．（3x+4y）（3x﹣4y）=9x2﹣16y2 三、解答題（共46分） 19．利用乘法公式公式計算 （1）（3a+b）（3a﹣b）； （2）10012． 20．計算：（x+1）2﹣（x﹣1）2． 21．化簡求值：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，其中a=﹣2，b=． 22．解方程：2（x﹣2）+x2=（x+1）（x﹣1）+x． 23．如圖，在矩形ABCD中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形，根據圖中標注的數據，計算圖中空白部分的面積． 24．學習了整數冪的運算后，小明給小華出了這樣一道題：試比較3555，4444，5333的大??？小華怎么也做不出來．聰明的讀者你能幫小華解答嗎？ 整式的乘法與因式分解 參考答案與試題解析 一、填空題 1．若x?xa?xb?xc=x2000，則a+b+c= ?。?/p> 【考點】同底數冪的乘法． 【分析】根據同底數冪的乘法：底數不變指數相加，可得答案． 【解答】解：x?xa?xb?xc=x1+a+b+c=x2000，1+a+b+c=2000，a+b+c=1999，故答案為：1999． 【點評】本題考查了同底數冪的乘法，同底數冪的乘法底數不變指數相加得出1+a+b+c=2000是解題關鍵． 2．（﹣2ab）=，（﹣a2）3（﹣a32）= ?。?/p> 【考點】單項式乘多項式；單項式乘單項式． 【分析】根據單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加計算即可． 【解答】解：﹣2ab（a﹣b） =﹣2ab?a+2ab?b =﹣2a2b+2ab2，（﹣a2）3（﹣a32）=﹣a6?（﹣a32）=a38． 故答案為：﹣2a2b+2ab2，a38． 【點評】本題考查了單項式與多項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關鍵，計算時要注意符號的處理． 3．如果（a3）2?ax=a24，則x= ?。?/p> 【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數冪的乘法． 【分析】先根據冪的乘方進行計算，再根據同底數冪的乘法得出方程6+x=24，求出即可． 【解答】解：∵（a3）2?ax=a24，∴a6?ax=a24，∴6+x=24，∴x=18，故答案為：18． 【點評】本題考查了冪的乘方，同底數冪的乘法的應用，解此題的關鍵是得出方程6+x=24． 4．計算：（1﹣2a）（2a﹣1）= ． 【考點】完全平方公式． 【分析】先提取“﹣”號，再根據完全平方公式進行計算即可． 【解答】解：（1﹣2a）（2a﹣1）=﹣（1﹣2a）2 =﹣（1﹣4a+4a2） =﹣1+4a﹣4a2，故答案為：﹣1+4a﹣4a2． 【點評】本題考查了完全平方公式的應用，能熟練地運用公式進行計算是解此題的關鍵． 5．有一個長4×109mm，寬2.5×103mm，高6×103mm的長方體水箱，這個水箱的容積是 mm2． 【考點】單項式乘單項式． 【分析】直接利用單項式乘以單項式運算法則求出即可． 【解答】解：∵長4×109mm，寬2.5×103mm，高6×103mm的長方體水箱，∴這個水箱的容積是：4×109×2.5×103×6×103=6×1016（mm2）． 故答案為：6×1016． 【點評】此題主要考查了單項式乘以單項式運算等知識，正確掌握相關運算法則是解題關鍵． 6．通過計算幾何圖形的面積可表示一些代數恒等式（一定成立的等式），請根據圖寫出一個代數恒等式是： ?。?/p> 【考點】單項式乘多項式． 【分析】由題意知，長方形的面積等于長2a乘以寬（a+b），面積也等于四個小圖形的面積之和，從而建立兩種算法的等量關系． 【解答】解：長方形的面積等于：2a（a+b），也等于四個小圖形的面積之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，即2a（a+b）=2a2+2ab． 故答案為：2a（a+b）=2a2+2ab 【點評】本題考查了單項式乘多項式的幾何解釋，列出面積的兩種不同表示方法是解題的關鍵． 7．已知（﹣x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，求（a0+a2）2﹣（a1+a3）2的值． 【考點】實數的運算． 【分析】利用多項式乘法公式去括號進而合并同類項得出a0=2，a1=﹣6，a2=3，a3=﹣1，進而代入求出即可． 【解答】解：∵（﹣x）3=a0+a1x+a2x2+a3x3，∴（﹣x）（﹣x）2 =（）（2﹣2x+x2） =2﹣6x+3x2﹣x3，則a0=2，a1=﹣6，a2=3，a3=﹣1，（a0+a2）2﹣（a1+a3）2 =（2+3）2﹣（﹣6﹣1）2 =50﹣49 =1． 【點評】此題主要考查了實數運算，正確利用多項式乘法運算是解題關鍵． 8．已知：A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2，則3AB﹣AC= ?。?/p> 【考點】整式的混合運算． 【分析】先將3AB﹣AC變形為A（3B﹣C），再將A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2代入，利用整式混合運算的順序及法則計算即可． 【解答】解：∵A=﹣2ab，B=3ab（a+2b），C=2a2b﹣2ab2，∴3AB﹣AC=A（3B﹣C） =﹣2ab[3×3ab（a+2b）﹣（2a2b﹣2ab2）] =﹣2ab[9a2b+18ab2﹣a2b+ab2] =﹣2ab[8a2b+19ab2] =﹣16a3b2﹣38a2b3． 故答案為﹣16a3b2﹣38a2b3． 【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握混合運算的順序及法則是解題的關鍵． 9．用如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，拼成一個長為2a+b，寬為a+b的矩形，需要A類卡片 張，B類卡片 張，C類卡片 張． 【考點】整式的混合運算． 【專題】應用題． 【分析】根據長方形的面積等于長乘以寬列式，再根據多項式的乘法法則計算，然后結合卡片的面積即可作出判斷． 【解答】解：長為2a+b，寬為a+b的矩形面積為（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，A圖形面積為a2，B圖形面積為ab，C圖形面積為b2，則可知需要A類卡片2張，B類卡片3張，C類卡片1張． 故本題答案為：2；3；1． 【點評】此題的立意較新穎，主要考查多項式的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵． 10．我國北宋時期數學家賈憲的著作《開方作法本源》中的“開方作法本源圖”如圖所示，通過觀察你認為圖中的a= ?。?/p> 【考點】規律型：數字的變化類． 【分析】由圖片可以看出，從第三行數開始，除去第一項和最后一項，每個數都等于它前一列和列數與它相同的這兩個數的和． 【解答】解：根據分析那么a就應該等于3+3即a=6． 故答案為6． 【點評】本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的． 二、選擇題 11．下列運算正確的是（） A．x2?x3=x6 B．x2+x2=2x4 C．（﹣2x）2=﹣4x2 D．（﹣3a3）?（﹣5a5）=15a8 【考點】單項式乘單項式；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】直接利用單項式乘以單項式運算法則以及合并同類項法則和積的乘方運算法則化簡求出即可． 【解答】解：A、x2?x3=x5，故此選項錯誤； B、x2+x2=2x2，故此選項錯誤； C、（﹣2x）2=4x2，故此選項錯誤； D、（﹣3a3）?（﹣5a5）=15a8，故此選正確． 故選：D． 【點評】此題主要考查了單項式乘以單項式運算以及合并同類項和積的乘方運算等知識，正確掌握相關運算法則是解題關鍵． 12．如果一個單項式與﹣3ab的積為﹣a2bc，則這個單項式為（） A． a2c B． ac C． a2c D． ac 【考點】整式的除法． 【分析】已知兩個因式的積與其中一個因式，求另一個因式，用除法．根據單項式的除法法則計算即可得出結果． 【解答】解：（﹣ a2bc）÷（﹣3ab）=ac． 故選B． 【點評】本題考查了單項式的除法法則．單項式與單項式相除，把他們的系數分別相除，相同字母的冪分別相除，對于只在被除式里出現的字母，連同他的指數不變，作為商的一個因式． 13．計算[（a+b）2]3?（a+b）3的正確結果是（） A．（a+b）8 B．（a+b）9 C．（a+b）10 D．（a+b）11 【考點】冪的乘方與積的乘方；同底數冪的乘法． 【分析】根據冪的乘方和積的乘方、同底數冪的乘法的運算法則求解． 【解答】解：[（a+b）2]3?（a+b）3=（a+b）9． 故選B． 【點評】本題考查了冪的乘方和積的乘方，解答本題的關鍵是掌握冪的乘方和積的乘方的運算法則． 14．若x2﹣y2=20，且x+y=﹣5，則x﹣y的值是（） A．5 B．4 C．﹣4 D．以上都不對 【考點】平方差公式． 【分析】根據平方差公式x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），從而得出x﹣y的值． 【解答】解：∵x2﹣y2=20，∴x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），∵x+y=﹣5，∴（x+y）（x﹣y）=20，∴x﹣y=﹣4． 故選C． 【點評】本題考查了平方差公式，平方差公式為（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本題是一道較簡單的題目． 15．若25x2+30xy+k是一個完全平方式，則k是（） A．36y2 B．9y2 C．6y2 D．y2 【考點】完全平方式． 【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可求出k的值． 【解答】解：∵25x2+30xy+k是一個完全平方式，∴（5x）2+2×5x×3y+k是一個完全平方式，∴k=（3y）2=9y2，故選：B． 【點評】此題主要考查了完全平方公式，正確掌握完全平方公式的基本形式是解題關鍵． 16．已知a+b=2，則a2﹣b2+4b的值是（） A．2 B．3 C．4 D．6 【考點】因式分解的應用． 【分析】把a2﹣b2+4b變形為（a﹣b）（a+b）+4b，代入a+b=2后，再變形為2（a+b）即可求得最后結果． 【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b=（a﹣b）（a+b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a﹣2b+4b，=2（a+b），=2×2，=4． 故選C． 【點評】本題考查了代數式求值的方法，同時還利用了整體思想． 17．計算（5x+2）（2x﹣1）的結果是（） A．10x2﹣2 B．10x2﹣x﹣2 C．10x2+4x﹣2 D．10x2﹣5x﹣2 【考點】多項式乘多項式． 【分析】原式利用多項式乘多項式法則計算即可得到結果． 【解答】原式=10x2﹣5x+4x﹣2=10x2﹣x﹣2． 故選B． 【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握法則是解本題的關鍵． 18．下列計算正確的是（） A．（x+7）（x﹣8）=x2+x﹣56 B．（x+2）2=x2+4 C．（7﹣2x）（8+x）=56﹣2x2 D．（3x+4y）（3x﹣4y）=9x2﹣16y2 【考點】多項式乘多項式；完全平方公式；平方差公式． 【分析】利用多項式乘多項式法則計算即可得到結果． 【解答】解：A、（x+7）（x﹣8）=x2﹣x﹣56，錯誤； B、（x+2）2=x2+4x+4，錯誤； C、（7﹣2x）（8+x）=56﹣9x﹣2x2，錯誤； D、（3x+4y）（3x﹣4y）=9x2﹣16y2，正確； 故選D 【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 三、解答題（共46分） 19．利用乘法公式公式計算 （1）（3a+b）（3a﹣b）； （2）10012． 【考點】平方差公式；完全平方公式． 【分析】（1）符合平方差公式結構，直接利用平方差公式計算即可； （2）先把1001變形為1000+1，再利用完全平方公式計算即可． 【解答】解：（1）（3a+b）（3a﹣b）=（3a）2﹣b2 =9a2﹣b2； （2）10012=（1000+1）2 =10002++2000+1 =1000000+2001 =1002001． 【點評】本題考查了平方差公式、完全平方公式，利用乘法公式進行整式的乘法運算．平方差公式為（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．本題是一道較簡單的題目． 20．計算：（x+1）2﹣（x﹣1）2． 【考點】完全平方公式． 【分析】先根據完全平方公式進行計算，再合并即可． 【解答】解：原式=（x2+5x+1）﹣（x2﹣5x+1） =x2+5x+1﹣x2+5x﹣1 =10x． 【點評】本題考查了完全平方公式的應用，能熟記完全平方公式是解此題的關鍵． 21．化簡求值：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，其中a=﹣2，b=． 【考點】整式的混合運算—化簡求值． 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式進行化簡，然后再把a、b的值代入計算． 【解答】解：（2a﹣3b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b）+（2a+3b）2，=4a2﹣12ab+9b2﹣4a2+9b2+4a2+12ab+9b2 =4a2+27b2，當a=﹣2，b=時，原式=4×（﹣2）2+27×（）2=16+3=19． 【點評】本題主要考查完全平方公式和平方差公式的運用，熟練掌握公式結構是解題的關鍵，要注意此類題目的解題格式． 22．解方程：2（x﹣2）+x2=（x+1）（x﹣1）+x． 【考點】多項式乘多項式；解一元一次方程． 【分析】利用多項式乘多項式法則計算即可得到結果． 【解答】解：去括號得：2x﹣4+x2=x2﹣1+x． 移項合并得：x=3． 【點評】此題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 23．如圖，在矩形ABCD中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形，根據圖中標注的數據，計算圖中空白部分的面積． 【考點】整式的混合運算． 【專題】計算題． 【分析】矩形面積減去陰影部分面積，求出空白部分面積即可． 【解答】解：根據題意得：ab﹣（a﹣c）（b﹣c）=ab﹣（ab﹣ac﹣bc+c2）=ab﹣ab+ac+bc﹣c2=ac+bc﹣c2． 【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 24．學習了整數冪的運算后，小明給小華出了這樣一道題：試比較3555，4444，5333的大??？小華怎么也做不出來．聰明的讀者你能幫小華解答嗎？ 【考點】冪的乘方與積的乘方． 【專題】計算題． 【分析】三個數利用冪的乘方變形為指數相同的冪，比較底數大小即可得到三個數大?。?/p> 【解答】解：能，根據題意得：3555=（35）111=（243）111，4444=（44）111=（256）111，5333=（53）111=（125）111，∵125＜243＜256，即53＜35＜44，∴4444＞3555＞5333． 【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 檢測題 (時間：120分鐘 滿分：120分) 一、選擇題(每小題3分，共30分) 1．(衡陽)下列運算結果正確的是() A．x2＋x3＝x5 B．x3·x2＝x6 C．x5÷x＝x5 D．x3·(3x)2＝9x5 2．(1＋x2)(x2－1)的計算結果是() A．x2－1 B．x2＋1 C．x4－1 D．1－x4 3．任意給定一個非零數，按下列程序計算，最后輸出的結果是() →→→→→ A．m B．m-2 C．m＋1 D．m－1 4．下列計算錯誤的是() A．(－＋4x2)÷＝－＋8x2 B．(x＋2y)(2y－x)＝－x2＋4y2 C．x2－9＝(x＋3)(x－3) D．(x＋y)2－xy＝x2＋y2 5．(海南)下列式子從左到右變形是因式分解的是() A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25 6．下列多項式，在實數范圍內能用公式法分解因式的有() ①x2＋6x＋9；②4x2－4x－1；③－x2－y2；④2x2－y2；⑤x2－7；⑥9x2＋6xy＋4y2.A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 7．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，則A為() A．2ab B．－2ab C．4ab D．－4ab 8．計算(x2－3x＋n)(x2＋mx＋8)的結果中不含x2和x3的項，則m，n的值為() A．m＝3，n＝1 B．m＝0，n＝0 C．m＝－3，n＝－9 D．m＝－3，n＝8 9．若a，b，c是三角形的三邊長，則代數式(a－b)2－c2的值() A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能確定 10．7張如圖①的長為a，寬為b(a＞b)的小長方形紙片，按圖②的方式不重疊地放在矩形ABCD內，未被覆蓋的部分(兩個矩形)用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的方式放置，S始終保持不變，則a，b滿足() A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b 二、填空題(每小題3分，共24分) 11．(陜西)因式分解：m(x－y)＋n(y－x)＝______________.12．計算：|－3|＋(π＋1)0－＝________.13．計算82014×(－0.125)2015＝________.14．(連云港)若ab＝3，a－2b＝5，則a2b－2ab2＝________.15．已知x＝y＋4，則代數式x2－2xy＋y2－25的值為________． 16．若6a＝5，6b＝8，則36a－b＝________.17．數學家發明了一個魔術盒，當任意數對(a，b)進入其中時，會得到一個新的數：(a－1)(b－2)．現將數對(m，1)放入其中得到數n，再將數對(n，m)放入其中后，則最后得到的數是________．(結果用m表示) 18．利用1個a×a的正方形，1個b×b的正方形和2個a×b的長方形可拼成一個正方形(如圖)，從而可得到因式分解的公式__________________． 三、解答題(共66分) 19．(12分)計算： (1)5x2y÷(－xy)×(2xy2)2； (2)9(a－1)2－(3a＋2)(3a－2)； (3)[(a－2b) 2＋(a－2b)(2b＋a)－2a(2a－b)]÷2a； (4)[a(a2b2－ab)－b(－a3b－a2)]÷a2b 20．(9分)把下列各式因式分解： (1)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m); (2)ax2＋8ax＋16a； (3)x4－81x2y2.21．(6分)已知xm＝3，xn＝2，求x3m＋2n的值． 22．(9分)已知x(x－1)－(x2－y)＝－6，求－xy的值． 23．(8分)學習了分解因式的知識后，老師提出了這樣一個問題：設n為整數，則(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除嗎？若能，請說明理由；若不能，請舉出一個反例．你能解答這個問題嗎？ 24．(10分)如圖，某市有一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a＋b)米的長方形地塊，規劃部門計劃將陰影部分進行綠化，中間修建一座雕像，求綠化的面積是多少平方米？并求出當a＝3，b＝2時的綠化面積． 25．(12分)觀察下列等式： 12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，… 以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”． (1)根據上述各式反映的規律填空，使式子成為“數字對稱等式”： ①52×________＝________×25；②________×396＝693×________.(2)設這類等式左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，且2≤a＋b≤9，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子(含a，b)，并證明． 檢測題參考答案 1．D 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.C 8.A 9.B 10.B 11.(x－y)(m－n)12.2 13.－ 14.15 15.－9 16.17.2m－m2 18.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 19.(1)原式＝5x2y÷(－xy)×4x2y4＝－(5÷×4)x2－1＋2y1－1＋4＝－60x3y4(2)原式＝9(a2－2a＋1)－(9a2－4)＝9a2－18a＋9－9a2＋4＝－18a＋13(3)原式＝[(a－2b)(a－2b＋2b＋a)－2a(2a－b)]÷2a＝2a(a－2b－2a＋b)÷2a＝－a－b(4)原式＝(a3b2－a2b＋a3b2＋a2b)÷a2b＝2a3b2÷a2b＝2ab 20.(1)原式＝x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)＝(m－x)(m－y)(x－m)＝－(m－x)2(m－y)(2)原式＝a(x2＋8x＋16)＝a(x＋4)2(3)原式＝x2(x2－81y2)＝x2(x＋9y)(x－9y) 21.∵xm＝3，xn＝2，∴原式＝(xm)3·(xn)2＝33·22＝108 22.由x(x－1)－(x2－y)＝－6得x－y＝6，－xy＝＝，把x－y＝6代入得＝18 23.(n＋7)2－(n－3)2＝(n＋7＋n－3)(n＋7－n＋3)＝(2n＋4)×10＝20(n＋2)，∴一定能被20整除 24.綠化面積為：(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－(a2＋2ab＋b2)＝5a2＋3ab(平方米)．當a＝3，b＝2時，5a2＋3ab＝5×32＋3×3×2＝45＋18＝63.答：綠化面積為(5a2＋3ab)平方米，當a＝3，b＝2時，綠化面積為63平方米 25.(1)275；572；63；36(1)∵左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，∴左邊的兩位數是10a＋b，三位數是100b＋10(a＋b)＋a，右邊的兩位數是10b＋a，三位數是100a＋10(a＋b)＋b，∴一般規律的式子為：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)，證明：左邊＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)＝(10a＋b)(110b＋11a)＝11(10a＋b)(10b＋a)右邊＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)＝(110a＋11b)(10b＋a)＝11(10a＋b)(10b＋a)，左邊＝右邊，∴“數字對稱等式”一般規律的式子為：(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a) 第9章 分式 一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，滿分40分) 1．要使分式有意義，則x的取值范圍是() A．x>2 B．x<2 C．x≠－2 D．x≠2 2．若分式的值為0，則x的值為() A．2或－1 B．0 C．2 D．－1 3．分式，的最簡公分母是() A．(a2－1)2 B．(a2－1)(a2＋1) C．a2＋1 D．(a－1)4 4．不改變分式的值，把分子、分母中各項系數化為整數，結果是() A.B.C.D.5．已知分式與另一個分式的商是2x6y，那么另一個分式是() A．－ B.C.D．－ 6．若＝，則x等于() A．a＋2 B．a－2 C．a＋1 D．a－1 7．已知－＝4，則的值等于() A．6 B．－6 C.D．－ 8．下列說法：①解分式方程一定會產生增根；②方程＝0的根為2；③方程＝的最簡公分母為2x(2x－4)；④x＋＝1＋是分式方程．其中正確的個數為() A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 9．關于x的分式方程＝有解，則字母a的取值范圍是() A．a＝5或a＝0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0 10．九年級學生去距學校10km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發，結果他們同時到達．已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度．設騎車學生的速度為xkm/h，則所列方程正確的是() A.＝－ B.＝－20 C.＝＋ D.＝＋20 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分) 11．化簡÷的結果是________． 12．已知x2－4x＋4與|y－1|互為相反數，則式子÷(x＋y)的值等于________． 13．如果方程＋3＝有增根，那么a＝________． 14．有一個分式，三位同學分別說出了它的一些特點：甲說：分式的值不可能為0；乙說分式有意義時，x的取值范圍是x≠±1；丙說：當x＝－2時，分式的值為1.請你寫出滿足上述三個特點的一個分式：________． 三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分) 15．計算： (1)·÷； (2)＋＋.16．化簡： (1)－÷； (2)÷.四、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分) 17．解方程： (1)1＋＝； (2)1－＝.18．先化簡，再求值：1－÷，其中x，y滿足|x－2|＋(2x－y－3)2＝0.五、(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分) 19．觀察下列等式： ①1－＝12×； ②2－＝22×； ③3－＝32×； …… (1)請寫出第4個等式：________________； (2)觀察上述等式的規律，猜想第n個等式(用含n的式子表示)，并驗證其正確性． 20．已知A＝－.(1)化簡A； (2)當x滿足不等式組且x為整數時，求A的值． 六、(本題滿分12分) 21．甲、乙兩座城市的中心火車站A，B兩站相距360km.一列動車與一列特快列車分別從A，B兩站同時出發相向而行，動車的平均速度比特快列車快54km/h，當動車到達B站時，特快列車恰好到達距離A站135km處的C站．求動車和特快列車的平均速度各是多少． 七、(本題滿分12分) 22．抗洪搶險，需要在一定時間內筑起攔洪大壩，甲隊單獨做正好按期完成，而乙隊由于人少，單獨做則延期3小時才能完成．現甲、乙兩隊合作2小時后，甲隊又有新任務，余下的由乙隊單獨做，剛好按期完成．求甲、乙兩隊單獨完成全部工程各需要多少小時． 八、(本題滿分14分) 23．閱讀下列材料： 通過小學的學習我們知道，分數可分為“真分數”和“假分數”，而假分數都可化為帶分數，如：＝＝2＋＝2.我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為“假分式”；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”．如，這樣的分式就是假分式；再如，這樣的分式就是真分式．類似地，假分式也可以化為帶分式(即：整式與真分式的和的形式)． 如：＝＝1－； 解決下列問題： (1)分式是________(填“真分式”或“假分式”)； (2)將假分式化為帶分式； (3)如果x為整數，分式的值為整數，求所有符合條件的x的值． 參考答案與解析 1．D 2.C 3.A 4.D 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D 10.C 11.12.13.1 14.(答案不唯一) 15．解：(1)原式＝··＝.(4分) (2)原式＝－＋＝＝.(8分) 16．解：(1)原式＝－·＝－＝.(4分) (2)原式＝·＝－·＝－.(8分) 17．解：(1)去分母，得x－2＋3x＝6，移項、合并同類項，得4x＝8，x系數化成1，得x＝2.檢驗：當x＝2時，x－2＝0.所以x＝2不是原方程的根，原方程無解．(4分) (2)去分母，得2x＋2－(x－3)＝6x，去括號，得2x＋2－x＋3＝6x，移項、合并同類項，得5x＝5，x系數化成1，得x＝1.檢驗：當x＝1時，2x＋2≠0，所以原方程的根是x＝1.(8分) 18．解：原式＝1－·＝1－＝＝－.(4分)因為|x－2|＋(2x－y－3)2＝0，所以解得當x＝2，y＝1時，原式＝－＝－.(8分) 19．解：(1)4－＝42×(3分) (2)猜想：n－＝n2×(其中n為正整數)．(7分)驗證：n－＝＝，所以左式＝右式，所以猜想成立．(10分) 20．解：(1)A＝－＝－＝－＝.(5分) (2)解不等式組得1≤x<3.因為x為整數，所以x＝1或x＝2.當x＝1時，A＝無意義；當x＝2時，A＝＝＝1.(10分) 21．解：設特快列車的平均速度為xkm/h，則動車的平均速度為(x＋54)km/h，由題意得＝，解得x＝90.(8分)經檢驗，x＝90是這個分式方程的解．x＋54＝144.(11分) 答：特快列車的平均速度為90km/h，動車的平均速度為144km/h.(12分) 22．解：設甲隊單獨完成需要x小時，則乙隊需要(x＋3)小時．由題意得＋＝1，解得x＝6.(8分)經檢驗，x＝6是方程的解．所以x＋3＝9.(11分) 答：甲單獨完成全部工程需6小時，乙單獨完成全部工程需9小時．(12分) 23．解：(1)真分式(2分) (2)＝＝x－＝x－＝x－2＋.(8分) (3)＝＝2－，由x為整數，分式的值為整數，得到x＋1＝－1，－3，1，3，解得x＝－2，－4，0，2，則所有符合條件的x值為0，－2，2，－4.(14分) 數學：相交線與平行線綜合檢測題（七年級下） 一、選擇題：（每小題3分，共30分） 1、下列命題：①兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩條直線垂直；②兩條直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩條直線垂直；③內錯角相等，則它們的角平分線互相垂直；④同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直．其中正確的個數為（）． Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 在同一平面內，兩條直線的位置關系可能是（）。 A、相交或平行 B、相交或垂直 C、平行或垂直 D、不能確定 2、如圖1，下列說法錯誤的是（）。 A、∠A與∠C是同旁內角 B、∠1與∠3是同位角 C、∠2與∠3是內錯角 D、∠3與∠B是同旁內角 3、三條直線相交于一點，構成的對頂角共有（）。 A、3對 B、4對 C、5對 D、6對 4、如圖2，∠1＝20°，AO⊥CO，點B、O、D在同一直線上，則∠2的度數為（）。 A、70° B、20° C、110° D、160° 5、在5×5方格紙中將圖3-（1）中的圖形N平移后的位置如圖3-（2）所示，那么下面平移中正確的是（）。 A.先向下移動1格，再向左移動1格; B.先向下移動1格，再向左移動2格 C.先向下移動2格，再向左移動1格; D.先向下移動2格，再向左移動2格 6、兩條直線被第三條直線所截，那么內錯角之間的大小關系是（）.（A）相等 （B）互補 （C）不相等 （D）無法確定 7、如圖4，AB∥DE，∠1＝∠2，則AE與DC的位置關系是（）。 A、相交 B、平行 C、垂直 D、不能確定 8、如圖5，AB∥EF∥DC，EG∥BD，則圖中與∠1相等的角有（）。 A、2個 B、4個 C、5個 D、6個 9、如圖6，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，設AB＝12，BC＝24，AC＝18，則△AMN的周長為（）。 A、30 B、36 C、42 D、1810、如圖7，(2008呼和浩特)如圖，∥DE，∠E=65 o，則∠B+∠C=（） A． 135o B．115o C． 36o D．65o 二、填空題：（每小題3分，共24分） 11．在同一平面內，不重合的兩直線的位置關系有______種． 12．如圖8，已知AB∥CD，EF分別交AB，CD于點E，F，∠1=70°，則∠2的度數為______． 13．如圖9，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3的同位角等于______，∠3的內錯角等于______，∠3的同旁內角等于______． 14．如圖10，在△ABC中，已知∠C=90°，AC＝60 cm，AB=100 cm，a、b、c…是在△ABC內部的矩形，它們的一個頂點在AB上，一組對邊分別在AC上或與AC平行，另一組對邊分別在BC上或與BC平行.若各矩形在AC上的邊長相等，矩形a的一邊長是72 cm，則這樣的矩形a、b、c…的個數是______． 15．如圖11，線段CD是線段AB經過向右平移______格，并向下平移______格得到的線段． 16．如圖12，AB∥CD，AD，BC相交于點O，∠BAD=35°，∠BOD=76°，則∠C的度數是______． 17．如果兩個角的兩條邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少30°，則這兩個角的度數為______． 18．對于同一平面內的三條直線、、，給出下列五個論斷：①∥；②∥；③⊥；④∥；⑤⊥.以其中兩個論斷為條件，一個論斷為結論，組成一個你認為正確的命題：__________________.三、解答題：（共66分） 19、(本題10分)如圖13，已知∠AED＝60°，∠2＝30°，EF平分∠AED，可以判斷EF∥BD嗎？為什么？ 20、(本題10分)如圖14，A、B之間是一座山，一條高速公路要通過A、B兩點，在A地測得公路走向是北偏西111°32′。如果A、B兩地同時開工，那么在B地按北偏東多少度施工，才能使公路在山腹中準確接通？為什么？ 21、(本題10分)如圖15，經過平移，△ABC的邊AB移到了EF，作出平移后的三角形，你能給出兩種作法嗎？請表述出來。 22、圖16 (本題10分)如圖16，AB∥CD，需增加什么條件才能使∠1=∠2成立？（至少舉出兩種） 23、(本題12分)如圖17，三角形ABC中，DE∥AC，DF∥AB，試問∠A＋∠B＋∠C＝180°這個結論成立嗎？若成立，試寫出推理過程；若不成立，請說明理由。OD平分∠COB。 （1）求∠DOC的度數； （2）判斷AB與OC的位置關系。 四、拓廣探索 24、(本題14分)如圖18，（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°，求∠2和∠4的度數； （2）本題隱含著一個規律，請你根據（1）的結果進行歸納，試著用文字表述出來； （3）利用（2）的結論解答：如果兩個角的兩邊分別平行，其中一角是另一個角的兩倍，求這兩個角的大小。 相交線與平行線綜合檢測題C 參考答案與提示 一、1、Ｃ； 2、B； 3、D； 4、C； 5、C； 6、D； 7、C； 8、B； 9、A； 10、D。 二、11．兩 12． 13．，14．9 15．，16． 17．，或，18．答案不唯一，合理、正確即可； 三、19、可以判斷EF∥BD。 20、在B地按北偏東68°28′施工，就能使公路在山腹中準確接通。因為A、B兩地公路走向要形成一條直線，構成一個平角。 21、給出以下兩種作法： （1）依據平移后的的圖形與原來的圖形的對應線段平行，那么應有ED∥AC，FD∥BC。 （2）還可根據平移后對應點所連接的線段平行且相等，那么連接AE，作CD∥AE，且CD=AE。 22、條件1：；條件2：，分別是和的平分線． 23、成立。因為DE∥AC，所以∠C＝∠EDB，∠EDF＝∠DFC；又因為DF∥AB，所以∠B＝∠FDC，∠A＝∠DFC＝∠EDF；即∠A＋∠B＋∠C＝∠EDF＋∠FDC＋∠EDB，而∠EDF＋∠FDC＋∠EDB＝180°，故∠A＋∠B＋∠C＝180°。 24、（1）∠2＝115°，∠4＝∠3＝65°； （2）如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么，這兩個角相等或互補； （3）根據（2），設其中一個角為x，則另一個角為2x，x＋2x＝180°，x＝60°，故這兩個角的大小為60°，120。 相交線、平行線復習測試題參考答案 （本卷共150分，120分鐘完成） 一、填空題（每小題2分，共30分） 1、一個角的余角是30o，則這個角的補角是 120° .2、一個角與它的補角之差是20o，則這個角的大小是 100° .3、如圖①，如果∠ = ∠ B，那么根據 同位角相等，兩直線平行 可得AD∥BC（寫出一個正確的就可以）.4、如圖②，∠1 = 82o，∠2 = 98o，∠3 = 80o，則∠4 = 80° 度.5、如圖③，直線AB，CD，EF相交于點O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD = 28o，則∠BOE = 62° 度，∠AOG = 59° 度.6、時鐘指向3時30分時，這時時針與分針所成的銳角是 75° .7、如圖④，AB∥CD，∠BAE = 120o，∠DCE = 30o，則∠AEC = 90° 度.8、把一張長方形紙條按圖⑤中，那樣折疊后，若得到∠AOB′= 70o，則∠OGC = 125° .9、如圖⑥中∠DAB和∠B是直線DE和BC被直線 AB 所截而成的，稱它們為 內錯 角.10、如圖⑦，正方形ABCD中，M在DC上，且BM = 10，N是AC上一動點，則DN + MN的最小值為 .l DA AA CA BA OA11、如圖，直線l是四邊形ABCD的對稱軸，若AB=CD，有下面的結論：①AB∥CD； ②AC⊥BD；③OA=OC；④AB⊥BC。 其中正確的結論有 ①②③ (填序號).12、經過平移，對應點所連的線段_平行且_相等_，對應線段_平行_且_相等_，對應角___相等__。 13、如圖，當半徑為30cm的轉動輪轉過120°角時，傳送帶上的物體A平移的距離為 20πcm。 ． ． ． ． ． C ． A B E F G14、經過平移，△ABC的邊AB移到了EF，作出平移后的三角形． 15、如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B與∠C互余，將AB，CD分別平移到EF和EG的位置，則△EFG為__直角_三角形，若AD=2cm，BC=8cm，則FG =___6cm _。 二、選擇題（每小題2分，共40分） 1、下列正確說法的個數是（B） ①同位角相等 ②對頂角相等 ③等角的補角相等 ④兩直線平行，同旁內角相等 A .1，B.2，C.3，D.42、如圖⑧，在△ABC中，AB = AC，∠A = 36o，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么圖中的等腰三角形的個數是（C）個。 A.3，B.4，C.5，D.63、下列圖中∠1和∠2是同位角的是（D） A.⑴、⑵、⑶，B.⑵、⑶、⑷，C.⑶、⑷、⑸，D.⑴、⑵、⑸ 4、下列說法正確的是（D） A.兩點之間，直線最短； B.過一點有一條直線平行于已知直線； C.和已知直線垂直的直線有且只有一條； D.在平面內過一點有且只有一條直線垂直于已知直線.5、一束光線垂直照射在水平地面，在地面上放一個平面鏡，欲使這束光線經過平面鏡反射后成水平光線，則平面鏡與地面所成銳角的度數為（A） A.45o，B.60o，C.75o，D.80o 6、如圖⑨，DH∥EG∥EF，且DC∥EF，那么圖 中和∠1相等的角的個數是（C） A.2，B.4，C.5，D.67、在下面五幅圖案中，(2)、(3)、(4)、(5)中哪一幅圖案可以通過平移圖案(1)得到.（B） A.(2) B.(3) C.(4) D.(5) A B C D8、在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.下列圖案中，不能由一個圖形通過旋轉而構成的是（C） 9、已知∠AOB=30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，則P1，O，P2三點所構成的三角形是（D） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 10、如圖是一跳棋盤，其中格點上的黑色點為棋子，剩余的格點上沒有旗子。我們約定跳棋游戲的規則是： 把跳棋旗子在棋盤內沿直線隔著旗子對稱跳行，跳行 一次稱為一步。已知點A為已方一枚旗子，欲將旗子 A跳進對方區域(陰影部分的格點)，則跳行的最少步數為（B） A.2步 B.3步 C.4步 D.5步 (第14題圖) 11、在以下現象中，① 溫度計中，液柱的上升或下降； ?、?/p> 打氣筒打氣時，活塞的運動； ③ 鐘擺的擺動； ?、?/p> 傳送帶上，瓶裝飲料的移動 屬于平移的是（D） （A）①，② （B）①，③ （C）②，③ （D）②，④ 12、如果一個角的補角是150°，那么這個角的余角的度數是（B) A.30° B.60° C.90° D.120° 13、下列語句中，是對頂角的語句為（D) A.有公共頂點并且相等的兩個角 B.兩條直線相交，有公共頂點的兩個角 C.頂點相對的兩個角 D.兩條直線相交，有公共頂點沒有公共邊的兩個角 14、如圖，下列說法錯誤的是（B) A.∠1和∠3是同位角 B.∠1和∠5是同位角 C.∠1和∠2是同旁內角 D.∠5和∠6是內錯角 15、如圖，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么圖中與∠AGE相等的角有（A) A.5個 B.4個 C.3個 D.2個 16、如圖，OB⊥OD，OC⊥OA，∠BOC=32°，那么∠AOD等于（A) A.148° B.132° C.128° D.90° 17、如圖，已知∠1=∠B，∠2=∠C，則下列結論不成立的是（B) A.AD∥BC B.∠B=∠C C.∠2+∠B=180° D.AB∥CD18、下列命題正確的是（D) A.內錯角相等 B.相等的角是對頂角 C.三條直線相交，必產生同位角、內錯角、同旁內角 D.同位角相等，兩直線平行 19、兩平行直線被第三條直線所截，同旁內角的平分線（C) A.互相重合B.互相平行 C.互相垂直 D.無法確定 20、如圖，直線AB、CD相交于點O，EF⊥AB于O，且∠COE=50°，則∠BOD等于（A) A.40° B.45° C.55° D.65° 三、解答題（每小題10分，共80分） 1、按要求作圖（每小題5分，共20分） ⑴ 已知點P、Q分別在∠AOB的邊OA，OB上（如圖）.┓ ① 作直線PQ，② 過點P作OB的垂線，③ 過點Q作OA的平行線.（不寫作法，但要保留作圖痕跡） ⑵ A、B兩村位于一條河的兩岸,假定河的兩岸筆直且平行,如圖,現要在河上垂直于河岸建一座橋.問:應把橋建在什么位置,才能使A村 經過這座橋到B村的路程最短?請畫出草圖,并簡要說明作法及理由.解: 畫出草圖如圖所示 .作法: (1)過點B作岸邊的垂線,在垂線上截取 BA′,使BA′與河寬相等. (2)連結AA′交岸邊b于M. (3)過M作MN∥A′B交岸邊a于N. (4)連結BN. 則橋應建在MN的位置上,才能使A村經過這座村到B村的路程最短.其理由如下: A村到B村的路程為:AM+MN+BN=AM+MN+A′M=AA′+MN. 由兩點之間,線段最短可知AA′最短,MN長度不變.所以橋建在MN位置上,A村到B村的路程最短.提示: 因要建的橋有一定的長度,我們可先把橋平移到點A或點B處,然后就把這道題中的河的兩岸縮為一條直線,如本題的作法,把橋平移到BA′處,把河兩岸縮為直線b,根據兩點之間線段最短,連結AA′交直線b于M,而后再把橋移回,得到了本題的結論.⑶、如圖，ABCD是一塊釉面磚，居室裝修時 需要一塊梯形APCD的釉面磚，且使∠APC＝120o.請在長方形AB邊上找一點P，使 ∠APC＝120o.然后把多余部分割下來，試著敘述怎樣選取P點及其選取P點的理由.解：作法： 以C為頂點，CD為一邊，在∠DCB內畫∠DCP＝60°，交AB于P，則P點為所選取的點.證明：∵ABCD是長方形（已知） ∴ AB∥CD（長方形的對邊平行） ∴∠DCP + ∠PAC ＝180°（兩直線平行，同旁內角互補） P ∵∠DCP＝60°（所作） ∴∠PAC ＝180°-∠DCP ＝180°-60° ＝120o ⑷、將字母A按箭頭所指的方向,平移3㎝,作出平移后的圖形.解：作法： A′ D′ E′ C′ B′ F 如圖所示 ①在AF截取 AA′＝3㎝ ②分別過B、C、D、E各點作BB′∥AF、CC′∥AF、DD′∥AF、EE′∥AF ③在BB′、CC′、DD′、EE′依次截取BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝3㎝ ④分別連接A′D′、A′E′、B′C′ 則該圖即為所求作的圖形。 2、根據題意填空（每小題5分，共10分） ⑴ 如圖，已知直線EF與AB、CD都相交，AB∥CD，求證：∠1=∠2.證明：∵EF與AB相交（已知) ∴∠1=∠3 （對頂角相等) ∵AB∥CD （已知) ∴∠2=∠3 （兩直線平行，同位角相等) ∴∠1=∠2 （等量代換) ⑵ 已知，如圖，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求證：AB∥CD.證明：∵AD∥BC(已知) ∴∠1=（∠2) （兩直線平行，內錯角相等) 又∵∠BAD=∠BCD （已知) ∴∠BAD－∠1=∠BCD－∠2（等式性質) 即：∠3=∠4 ∴ AB∥CD （內錯角相等，兩直線平行) 3、計算（每小題5分，共10分） ⑴ 如圖，直線a、b被直線c所截，且a∥b,若∠1=118°求∠2為多少度? 解：∵ ∠1+∠3=180°(平角的定義) 又 ∵∠1=118°(已知) ∴∠3= 180°－∠1 = 180°－118°= 62° ∵a∥b (已知) ∴∠2=∠3=62°（兩直線平行，內錯角相等) 答：∠2為62° ⑵ 已知一個角的余角的補角比這個角的補角的一半大90°，求 這個角的度數等于多少度？ 解：設這個角的余角為x，那么這個角的度數為(90°－x)，這個角的補角為(90°+x),這個角的余角的補角為(180°－x) 依題意，列方程為： 180°－x=(x+90°)+90° 解之得：x=30° 這時，90°－x=90°－30°=60°.答：所求這個的角的度數為60°.另解：設這個角為x，則： 180°－（90°－x）－(180°－x) = 90° 解之得： x=60° 答：所求這個的角的度數為60°.4、猜想說理（每小題5分，共30分） ⑴、已知:如圖,DA⊥AB,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠1+∠2=90°.試猜想BC與AB有怎樣的位置關系，并說明其理由 解: BC與AB位置關系是BC⊥AB 。其理由如下： ∵ DE平分∠ADC,CE平分∠DCB (已知), ∴∠ADC=2∠1,∠DCB=2∠2 (角平分線定義). ∵∠1+∠2=90°(已知) ∴∠ADC+∠DCB = 2∠1+2∠2 = 2(∠1+∠2)=2×90° ＝ 180°.∴ AD∥BC(同旁內角互補,兩直線平行). ∴ ∠A+∠B=180°(兩直線平行,同旁內角互補). ∵ DA⊥AB (已知) ∴ ∠A=90°(垂直定義). ∴∠B=180°-∠A = 180°-90°＝90° ∴BC⊥AB (垂直定義). 提示:①垂直定義既可以作為垂直的性質,也可以作為垂直的判定. ②利用角平分線定義時根據實際情況來選擇倍分關系. ③正確運用平行線的性質和識別方法.⑵、已知:如圖所示,CD∥EF,∠1=∠2,.試猜想∠3與∠ACB有怎樣的大小關系，并說明其理由 解: ∠3與∠ACB的大小關系是∠3＝∠ACB，其理由如下： ∵ CD∥EF (已知),∴∠2=∠DCB(兩直線直行,同位角相等).又∵∠1=∠2 (已知),∴ ∠1=∠DCB (等量代換).∴ GD∥CB （內錯角相等,兩直線平行).∴ ∠3=∠ACB （兩直線平行,同位角相等).思維入門指導: 欲要∠3=∠ACB,必須GD∥BC.由平行線判定只需要∠1=∠DCB,因為∠1=∠2,所以只要∠2=∠DCB,由平行線性質,只需滿足CD∥EF即可,而CD∥EF是已知條件,從而得解.⑶ 已知(如圖)AE⊥BC于E,∠1=∠2,試說明DC⊥BC的理由? 解： ∵AE⊥BC,∴∠AEC=900,∵∠1=∠2 ∴AE∥DC∴∠DCB=1800-∠AEC ＝1800-900 =900,∴BC⊥DC.⑷ 如圖,已知∠1+∠2+180°,∠DEF=∠A,試判斷∠ACB與∠DEB的大小關系,并對結論 進行說明.解：∠ACB與∠DEB的大小關系是∠ACB=∠DEB.其理由如下： ∵∠1+∠2=1800，∠BDC+∠2=1800，∴∠1=∠BDC∴BD∥EF∴∠DEF=∠BDE ∵∠DEF=∠A∴∠BDE=∠A∴DE∥AC ∴∠ACB=∠DEB。 ⑸ 如圖,∠1=∠2,∠D=∠A,那么∠B=∠C嗎? 為什么? 解：∵∠1=∠2 ∴AE∥DF ∴∠AEC=∠D ∵∠A=∠D ∴∠AEC=∠A ∴AB∥CD ∴∠B=∠C.⑹ 如圖所示,A,O,B在一條直線上,OE平分∠COB,OD⊥OE于O,試說明OD 平分∠ AOC.解: ∵DO⊥OE,∴∠2+∠3=90°,又∵A,O,B在一條直線上,∴∠AOB=180°,∴ ∠4+∠1=90°.又∵OE平分∠BOC,∴∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴OD平分∠AOC.
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