專題二　電場的能的性質(zhì)

課題任務(wù)　電場線、等勢線、運動軌跡的綜合問題

電場線的特點是有方向，其他兩種線沒有方向，有時電場線的方向也可能未知。軌跡只有一條線，其他兩種線都可能是多條線同時出現(xiàn)。

解決該類問題應(yīng)熟練掌握以下知識及規(guī)律

(1)帶電粒子所受合力(往往僅為靜電力)指向軌跡曲線的內(nèi)側(cè)。

(2)某點速度方向為軌跡切線方向。

(3)電場線或等差等勢面密集的地方場強大。

(4)電場線垂直于等勢面。

(5)順著電場線方向電勢降低最快。

(6)靜電力做正功，電勢能減小；靜電力做負功，電勢能增大。

有時還要用到牛頓第二定律、動能定理等知識。

例1(多選)一粒子從A點射入電場，從B點射出，電場的等勢面和粒子的運動軌跡如圖所示，圖中左側(cè)前三個等勢面彼此平行，不計粒子的重力。下列說法正確的有()

A．粒子帶負電荷

B．粒子的加速度先不變，后變小

C．粒子的速度不斷增大

D．粒子的電勢能先減小，后增大

[變式訓練1]　一個電子只在靜電力作用下從a點運動到b點的軌跡如圖虛線所示，圖中一組平行實線可能是電場線也可能是等勢面，則以下說法正確的是()

A．無論圖中的實線是電場線還是等勢面，a點的場強都比b點的場強小

B．無論圖中的實線是電場線還是等勢面，a點的電勢都比b點的電勢高

C．無論圖中的實線是電場線還是等勢面，電子在a點的電勢能都比在b點的電勢能小

D．如果實線是等勢面，電子在a點的速率一定大于在b點的速率

課題任務(wù)　電場中的功能關(guān)系

1．靜電力做功的計算方法

(1)由公式W＝qElcosα計算，此公式只適用于勻強電場。

(2)由WAB＝qUAB計算，此公式適用于任何電場。

(3)由電勢能的變化計算：WAB＝EpA－EpB。

(4)由動能定理計算：W靜電力＋W其他力＝ΔEk。

2．電場中的功能關(guān)系

(1)如果只有靜電力做功，則動能和電勢能之間相互轉(zhuǎn)化，動能(Ek)和電勢能(Ep)的總和守恒，即：

①ΔEp＝－ΔEk。

②靜電力做正功，電勢能減少，動能增加；靜電力做負功，電勢能增加，動能減少。

(2)除靜電力之外其他力做正功，動能和電勢能之和變大；除靜電力之外其他力做負功，動能和電勢能之和變小。

(3)如果只有靜電力、重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，則電勢能和機械能之和保持不變。

(4)如果只有靜電力做功，機械能一定不守恒。

3．電勢能增、減的判斷方法

(1)做功判斷法―→靜電力做正功，電勢能減小；靜電力做負功，電勢能增加。

(2)公式法―→由Ep＝qφp，將q、φp的大小、正負號一起代入公式，Ep的正值越大，電勢能越大，Ep的負值越小，電勢能越大。

(3)能量守恒法―→在電場中，若只有靜電力做功時，電荷的動能和電勢能相互轉(zhuǎn)化，動能增加，電勢能減小，反之，電勢能增加。

(4)電荷電勢法―→正電荷在電勢高的地方電勢能大，負電荷在電勢低的地方電勢能大。

例2　如圖所示，在O點放置一個正電荷，在過O點的豎直平面內(nèi)的A點自由釋放一個帶正電的小球，小球的質(zhì)量為m、電荷量為q。小球落下的軌跡如圖中虛線所示，它與以O(shè)為圓心、R為半徑的圓(圖中實線表示)相交于B、C兩點，O、C在同一水平線上，∠BOC＝30°，A距離OC的豎直高度為h。若小球通過B點的速度為v，試求：

(1)小球通過C點的速度大小；

(2)小球由A到C的過程中電勢能的增加量。

[變式訓練2](多選)如圖所示，半圓槽光滑、絕緣、固定，圓心是O，最低點是P，直徑MN水平。a、b是兩個完全相同的帶正電小球(視為點電荷)，b固定在M點，a從N點靜止釋放，沿半圓槽運動經(jīng)過P點到達某點Q(圖中未畫出)時速度為零，則小球a()

A．從N到Q的過程中，重力與庫侖力的合力先增大后減小

B．從N到P的過程中，速率先增大后減小

C．從N到Q的過程中，電勢能一直增加

D．從P到Q的過程中，動能減少量小于電勢能增加量

課題任務(wù)　電場的相關(guān)圖像

一、幾種圖像

1．φ-x圖像

(1)可以直接判斷各點電勢的大小，并可根據(jù)電勢大小關(guān)系確定電場強度的方向。

(2)φ-x圖線的斜率的絕對值等于場強大小，電場強度為零處，其切線的斜率為零；斜率的正、負代表場強的方向。

(3)分析電荷移動時電勢能的變化，可用WAB＝qUAB，進而分析WAB的正負，然后做出判斷，或直接用Ep＝qφ判斷。

2．E-x圖像

(1)反映了電場強度隨位移變化的規(guī)律。

(2)E>0表示場強沿x軸正方向；E<0表示場強沿x軸負方向。

(3)圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據(jù)電場方向判定。

(4)在與粒子運動相結(jié)合的題目中，可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變化等情況。

3．Ep-x圖像

(1)反映了電勢能隨位移變化的規(guī)律。

(2)由WAB＝F電xAB、WAB＝－ΔEpAB得：F電＝－，即圖線的切線斜率的絕對值等于靜電力的大小，正、負表示靜電力的方向。

(3)進一步判斷場強、動能、加速度等隨位移的變化情況。

二、常見電場的φ-x圖像

1．點電荷的φ-x圖像(取無限遠處電勢為零)

(1)正點電荷的φ-x圖像如圖1所示。

(2)負點電荷的φ-x圖像如圖2所示。

2．兩個等量異種點電荷連線上的φ-x圖像：如圖3所示。

3．兩個等量同種點電荷的φ-x圖像

(1)兩正電荷連線上的φ-x圖像如圖4所示。

(2)兩正電荷連線的中垂線上的φ-y圖像如圖5所示。

三、幾種常見的E-x圖像

1．點電荷的E-x圖像

正點電荷及負點電荷的電場強度E隨坐標x變化關(guān)系的圖像大致如圖1和圖2所示。

2．兩個等量異號點電荷的E-x圖像

(1)兩電荷連線上的E-x圖像如圖3所示。

(2)兩電荷連線的中垂線上的E-y圖像如圖4所示。

3．兩個等量同號點電荷的E-x圖像

(1)兩電荷連線上的E-x圖像如圖5所示。

(2)兩電荷連線的中垂線上的E-y圖像如圖6所示。

例3(多選)兩電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點，兩點電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關(guān)系如圖所示，其中A、N兩點的電勢為零，ND段中的C點電勢最高，則()

A．q1一定帶正電，q2一定帶負電

B．A、N點的電勢為零，場強也為零

C．C點電勢不為零，但場強為零

D．N、C間場強的方向沿x軸負方向

[變式訓練3]　靜電場在x軸上的場強E隨x的變化關(guān)系如圖所示，x軸正向為場強正方向，帶正電的點電荷沿x軸運動，則點電荷()

A．在x2和x4處電勢能相等

B．由x1運動到x3的過程中電勢能增大

C．由x1運動到x4的過程中靜電力先增大后減小

D．由x1運動到x4的過程中靜電力先減小后增大

1．如圖所示，在兩等量異種點電荷連線上有D、E、F三點，且DE＝EF。K、M、L分別為過D、E、F三點的等勢面。一不計重力的帶負電粒子，從a點射入電場，運動軌跡如圖中實線所示，以|Wab|表示該粒子從a點到b點靜電力做功的數(shù)值，以|Wbc|表示該粒子從b點到c點靜電力做功的數(shù)值，則()

A．|Wab|＝|Wbc|

B．|Wab|<|Wbc|

C．粒子由a點到b點，動能減少

D．a(chǎn)點的電勢較b點的電勢低

2．(多選)如圖所示，實線為某孤立點電荷產(chǎn)生的電場的幾條電場線，虛線是某一帶電粒子通過該電場區(qū)域的運動軌跡，a、b是軌跡上的兩點。若帶電粒子在運動中只受靜電力的作用，下列說法中正確的是()

A．該電場是由負點電荷所激發(fā)的電場

B．電場中a點的電勢比b點的電勢高

C．帶電粒子在a點的加速度比在b點的加速度大

D．帶電粒子在a點的動能比在b點的動能大

3．(多選)如圖甲所示，直線MN表示某電場中一條電場線，a、b是線上的兩點，將一帶負電荷的粒子從a點處由靜止釋放，粒子從a運動到b過程中的v-t圖線如圖乙所示，設(shè)a、b兩點的電勢分別為φa、φb，場強大小分別為Ea、Eb，粒子在a、b兩點的電勢能分別為Epa、Epb，不計重力，則有()

A．φa＞φb

B．Ea＞Eb

C．Ea＜Eb

D．Epa＞Epb

4．(多選)如圖所示，虛線a、b、c表示電場中的三個等勢面與紙平面的交線，且相鄰等勢面之間的電勢差相等。實線為一帶正電荷粒子僅在靜電力作用下通過該區(qū)域時的運動軌跡，M、N是這條軌跡上的兩點，則下列說法中正確的是()

A．三個等勢面中，a的電勢最高

B．對于M、N兩點，帶電粒子通過M點時電勢能較大

C．對于M、N兩點，帶電粒子通過M點時動能較大

D．帶電粒子由M運動到N時，加速度增大

5.(多選)一帶負電的粒子只在靜電力作用下沿x軸正向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關(guān)系如圖所示，其中O～x2段是關(guān)于直線x＝x1對稱的曲線，x2x3段是直線，則下列說法正確的是()

A．x1處電場強度最小，但不為零

B．粒子在O～x3段做變速運動，x2～x3段做勻變速運動

C．x2～x3段的電場強度大小方向均不變，為一定值

D．在O、x1、x2、x3處電勢φ0、φ1、φ2、φ3的關(guān)系為φ1>φ2＝φ0>φ3

6．靜電透鏡是利用靜電場使電子束會聚或發(fā)散的一種裝置。如圖所示為該透鏡工作原理示意圖，虛線表示這個靜電場在xOy平面內(nèi)的一簇等勢線，等勢線形狀相對于x軸、y軸對稱，且相鄰兩等勢線的電勢差相等。圖中實線為某個電子通過電場區(qū)域時的軌跡示意圖，關(guān)于此電子從a點運動到b點過程中，下列說法正確的是()

A．a(chǎn)點的電勢高于b點的電勢

B．電子在a點的加速度大于在b點的加速度

C．電子在a點的動能大于在b點的動能

D．電子在a點的電勢能大于在b點的電勢能

7．(多選)如圖所示空間有一勻強電場，電場方向與紙面平行。一電荷量為－q的粒子(重力不計)，在恒力F的作用下沿虛線由M勻速運動到N。已知力F和MN間夾角為θ，M、N間距離為d，則下列結(jié)論中正確的是()

A．M、N兩點的電勢差為

B．勻強電場的電場強度大小為

C．帶電粒子由M運動到N的過程中，電勢能增加了Fdcosθ

D．若要使帶電粒子由N向M做勻速直線運動，則F必須反向

8．(多選)如圖所示，為某一點電荷所形成的一簇電場線，a、b、c三條虛線為三個帶電粒子以相同的速度從O點射入電場的運動軌跡，其中b虛線為一圓弧，AB的長度等于BC的長度，且三個粒子的電荷量大小相等，不計粒子重力，則以下說法正確的是()

A．a(chǎn)一定是正粒子的運動軌跡，b和c一定是負粒子的運動軌跡

B．由于AB的長度等于BC的長度，故UAB＝UBC

C．a(chǎn)虛線對應(yīng)的粒子的加速度越來越小，c虛線對應(yīng)的粒子的加速度越來越大，b虛線對應(yīng)的粒子的加速度大小不變

D．b虛線對應(yīng)的粒子的質(zhì)量大于c虛線對應(yīng)的粒子的質(zhì)量

9.某帶電物體在所在空間形成一個電場，沿x軸方向其電勢φ的變化如圖所示。電子從O點以v0的初速度沿x軸正方向射出，依次通過a、b、c、d點(設(shè)電子的質(zhì)量為m)。則下列關(guān)于電子運動的描述正確的是()

A．電子在Oa間做勻加速直線運動

B．電子在Od之間一直在做減速直線運動

C．要使電子能到達無窮遠處，粒子的初速度v0至少為

D．電子在c、d間運動時其電勢能一定減小

10．(多選)如圖所示，豎直向上的勻強電場中，絕緣輕質(zhì)彈簧豎直立于水平地面上，上面放一質(zhì)量為m的帶正電小球，小球與彈簧不連接，施加外力F將小球向下壓至某位置靜止。現(xiàn)撤去F，小球從靜止開始運動到離開彈簧的過程中，重力、靜電力對小球所做的功分別為W1和W2，小球離開彈簧時速度為v，不計空氣阻力，則上述過程中()

A．小球與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒

B．小球的重力勢能增加－W1

C．小球的機械能增加W1＋mv2

D．小球的電勢能減少W2

11．如圖所示，光滑絕緣細桿豎直放置，它與以正電荷Q為圓心的某圓交于B、C兩點，質(zhì)量為m、電荷量為－q的有孔小球從桿上A點無初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B點時速度大小為，求：

(1)小球由A到B的過程中靜電力做的功；

(2)A、C兩點的電勢差。

12．如圖所示，在足夠長的光滑絕緣水平直線軌道上方h高度的P點，固定電荷量為＋Q的點電荷。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的物塊(可視為質(zhì)點)，從軌道上的A點以初速度v0沿軌道向右運動，當運動到P點正下方B點時速度為v。已知點電荷產(chǎn)生的電場在A點的電勢為φ(取無窮遠處電勢為零)，PA連線與水平軌道的夾角為60°，試求：

(1)物塊在A點時受到軌道的支持力大小；

(2)點電荷＋Q產(chǎn)生的電場在B點的電勢。

專題二　電場的能的性質(zhì)

課題任務(wù)　電場線、等勢線、運動軌跡的綜合問題

電場線的特點是有方向，其他兩種線沒有方向，有時電場線的方向也可能未知。軌跡只有一條線，其他兩種線都可能是多條線同時出現(xiàn)。

解決該類問題應(yīng)熟練掌握以下知識及規(guī)律

(1)帶電粒子所受合力(往往僅為靜電力)指向軌跡曲線的內(nèi)側(cè)。

(2)某點速度方向為軌跡切線方向。

(3)電場線或等差等勢面密集的地方場強大。

(4)電場線垂直于等勢面。

(5)順著電場線方向電勢降低最快。

(6)靜電力做正功，電勢能減小；靜電力做負功，電勢能增大。

有時還要用到牛頓第二定律、動能定理等知識。

例1(多選)一粒子從A點射入電場，從B點射出，電場的等勢面和粒子的運動軌跡如圖所示，圖中左側(cè)前三個等勢面彼此平行，不計粒子的重力。下列說法正確的有()

A．粒子帶負電荷

B．粒子的加速度先不變，后變小

C．粒子的速度不斷增大

D．粒子的電勢能先減小，后增大

[規(guī)范解答]　電場線如圖所示，由于受力總指向運動軌跡的凹側(cè)，故粒子帶負電荷，A正確；由電場線分布知靜電力先不變，后越來越小，由a＝知B正確；靜電力一直做負功，粒子速度一直減小，電勢能一直增加，C、D錯誤。

[完美答案]　AB

帶電粒子在電場中運動軌跡問題的易錯點

(1)誤認為電場線方向就是電荷受到靜電力作用的方向。

(2)誤認為電場線是電荷在電場中的運動軌跡。

(3)靜電力隨便畫，以為只朝彎曲的一側(cè)就可以。靜電力只可能有兩個方向：要么沿電場強度的方向(對應(yīng)于正電荷)，要么沿電場強度的反方向(對應(yīng)于負電荷)。

(4)錯誤地根據(jù)電場線方向來判斷電場強度大小，應(yīng)根據(jù)電場線的疏密來判斷電場強度的大小。

[變式訓練1]　一個電子只在靜電力作用下從a點運動到b點的軌跡如圖虛線所示，圖中一組平行實線可能是電場線也可能是等勢面，則以下說法正確的是()

A．無論圖中的實線是電場線還是等勢面，a點的場強都比b點的場強小

B．無論圖中的實線是電場線還是等勢面，a點的電勢都比b點的電勢高

C．無論圖中的實線是電場線還是等勢面，電子在a點的電勢能都比在b點的電勢能小

D．如果實線是等勢面，電子在a點的速率一定大于在b點的速率

答案　D

解析　若圖中實線是電場線，電子所受的靜電力水平向右，電場線方向水平向左，則a點的電勢比b點低；若實線是等勢面，由于電場線與等勢面垂直，電子所受靜電力方向向下，則電場線方向向上，則a點的電勢比b點高，故B錯誤。不論圖中實線是電場線還是等勢面，該電場是勻強電場，a點和b點的場強大小相等，故A錯誤。如果圖中實線是電場線，電子所受的靜電力水平向右，靜電力對電子做正功，電子電勢能減小，電子在a點的電勢能比在b點的電勢能大，故C錯誤。如果圖中實線是等勢面，電子所受靜電力方向向下，靜電力對電子做負功，則電子在b點動能較小，即電子在a點的速率一定大于在b點的速率，故D正確。

課題任務(wù)　電場中的功能關(guān)系

1．靜電力做功的計算方法

(1)由公式W＝qElcosα計算，此公式只適用于勻強電場。

(2)由WAB＝qUAB計算，此公式適用于任何電場。

(3)由電勢能的變化計算：WAB＝EpA－EpB。

(4)由動能定理計算：W靜電力＋W其他力＝ΔEk。

2．電場中的功能關(guān)系

(1)如果只有靜電力做功，則動能和電勢能之間相互轉(zhuǎn)化，動能(Ek)和電勢能(Ep)的總和守恒，即：

①ΔEp＝－ΔEk。

②靜電力做正功，電勢能減少，動能增加；靜電力做負功，電勢能增加，動能減少。

(2)除靜電力之外其他力做正功，動能和電勢能之和變大；除靜電力之外其他力做負功，動能和電勢能之和變小。

(3)如果只有靜電力、重力和系統(tǒng)內(nèi)彈力做功，則電勢能和機械能之和保持不變。

(4)如果只有靜電力做功，機械能一定不守恒。

3．電勢能增、減的判斷方法

(1)做功判斷法―→靜電力做正功，電勢能減小；靜電力做負功，電勢能增加。

(2)公式法―→由Ep＝qφp，將q、φp的大小、正負號一起代入公式，Ep的正值越大，電勢能越大，Ep的負值越小，電勢能越大。

(3)能量守恒法―→在電場中，若只有靜電力做功時，電荷的動能和電勢能相互轉(zhuǎn)化，動能增加，電勢能減小，反之，電勢能增加。

(4)電荷電勢法―→正電荷在電勢高的地方電勢能大，負電荷在電勢低的地方電勢能大。

例2　如圖所示，在O點放置一個正電荷，在過O點的豎直平面內(nèi)的A點自由釋放一個帶正電的小球，小球的質(zhì)量為m、電荷量為q。小球落下的軌跡如圖中虛線所示，它與以O(shè)為圓心、R為半徑的圓(圖中實線表示)相交于B、C兩點，O、C在同一水平線上，∠BOC＝30°，A距離OC的豎直高度為h。若小球通過B點的速度為v，試求：

(1)小球通過C點的速度大小；

(2)小球由A到C的過程中電勢能的增加量。

[規(guī)范解答](1)因B、C兩點電勢相等，小球由B到C只有重力做功，由動能定理得：

mgR·sin30°＝mv－mv2，得：vC＝。

(2)由A到C應(yīng)用動能定理得：

WAC＋mgh＝mv－0，得：WAC＝mv－mgh＝mv2＋mgR－mgh，由電勢能變化與靜電力做功的關(guān)系得：

ΔEp＝－WAC＝mgh－mv2－mgR。

[完美答案](1)

(2)mgh－mv2－mgR

在解決電場中的能量問題時常用到的基本規(guī)律有動能定理、能量守恒定律，以及功能關(guān)系。

(1)應(yīng)用動能定理解決問題需研究合外力做的功(即總功)。

(2)應(yīng)用能量守恒定律解決問題需注意電勢能和其他形式能之間的轉(zhuǎn)化。

(3)應(yīng)用功能關(guān)系解決問題需明確靜電力做功與電勢能改變之間的對應(yīng)關(guān)系。

[變式訓練2](多選)如圖所示，半圓槽光滑、絕緣、固定，圓心是O，最低點是P，直徑MN水平。a、b是兩個完全相同的帶正電小球(視為點電荷)，b固定在M點，a從N點靜止釋放，沿半圓槽運動經(jīng)過P點到達某點Q(圖中未畫出)時速度為零，則小球a()

A．從N到Q的過程中，重力與庫侖力的合力先增大后減小

B．從N到P的過程中，速率先增大后減小

C．從N到Q的過程中，電勢能一直增加

D．從P到Q的過程中，動能減少量小于電勢能增加量

答案　BC

解析　小球a從N到Q的過程中，重力不變，庫侖力F逐漸增大，庫侖力F與重力的夾角逐漸變小，因此，F(xiàn)與mg的合力逐漸變大，A錯誤；從N到P的過程中，重力沿速度方向的分力等于F沿速度反方向的分力時，速率最大，B正確；從N到Q，F(xiàn)一直做負功，電勢能一直增加，C正確；從P到Q，根據(jù)能量守恒知電勢能的增加量和重力勢能的增加量之和等于動能的減少量，所以電勢能的增加量小于動能的減少量，D錯誤。

課題任務(wù)　電場的相關(guān)圖像

一、幾種圖像

1．φ-x圖像

(1)可以直接判斷各點電勢的大小，并可根據(jù)電勢大小關(guān)系確定電場強度的方向。

(2)φ-x圖線的斜率的絕對值等于場強大小，電場強度為零處，其切線的斜率為零；斜率的正、負代表場強的方向。

(3)分析電荷移動時電勢能的變化，可用WAB＝qUAB，進而分析WAB的正負，然后做出判斷，或直接用Ep＝qφ判斷。

2．E-x圖像

(1)反映了電場強度隨位移變化的規(guī)律。

(2)E>0表示場強沿x軸正方向；E<0表示場強沿x軸負方向。

(3)圖線與x軸圍成的“面積”表示電勢差，“面積”大小表示電勢差大小，兩點的電勢高低根據(jù)電場方向判定。

(4)在與粒子運動相結(jié)合的題目中，可進一步確定粒子的電性、動能變化、電勢能變化等情況。

3．Ep-x圖像

(1)反映了電勢能隨位移變化的規(guī)律。

(2)由WAB＝F電xAB、WAB＝－ΔEpAB得：F電＝－，即圖線的切線斜率的絕對值等于靜電力的大小，正、負表示靜電力的方向。

(3)進一步判斷場強、動能、加速度等隨位移的變化情況。

二、常見電場的φ-x圖像

1．點電荷的φ-x圖像(取無限遠處電勢為零)

(1)正點電荷的φ-x圖像如圖1所示。

(2)負點電荷的φ-x圖像如圖2所示。

2．兩個等量異種點電荷連線上的φ-x圖像：如圖3所示。

3．兩個等量同種點電荷的φ-x圖像

(1)兩正電荷連線上的φ-x圖像如圖4所示。

(2)兩正電荷連線的中垂線上的φ-y圖像如圖5所示。

三、幾種常見的E-x圖像

1．點電荷的E-x圖像

正點電荷及負點電荷的電場強度E隨坐標x變化關(guān)系的圖像大致如圖1和圖2所示。

2．兩個等量異號點電荷的E-x圖像

(1)兩電荷連線上的E-x圖像如圖3所示。

(2)兩電荷連線的中垂線上的E-y圖像如圖4所示。

3．兩個等量同號點電荷的E-x圖像

(1)兩電荷連線上的E-x圖像如圖5所示。

(2)兩電荷連線的中垂線上的E-y圖像如圖6所示。

例3(多選)兩電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點，兩點電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關(guān)系如圖所示，其中A、N兩點的電勢為零，ND段中的C點電勢最高，則()

A．q1一定帶正電，q2一定帶負電

B．A、N點的電勢為零，場強也為零

C．C點電勢不為零，但場強為零

D．N、C間場強的方向沿x軸負方向

[規(guī)范解答]　根據(jù)沿電場線的方向電勢越來越低，可以判斷q1一定帶正電，q2一定帶負電，A正確；A點是異種點電荷連線上的點，電勢為零，但電場強度不為零，B錯誤；C點在ND段電勢最高，過C點作切線，其斜率為零，場強為零，C正確；在NC段，由于電勢沿CN方向越來越低，故電場強度方向沿x軸負方向，D正確。

[完美答案]　ACD

將題中的φ-x圖像與熟悉的φ-x圖像進行對比分析可以盡快找到答案，這之間要注意電荷量的變化會引起圖像的偏移。

[變式訓練3]　靜電場在x軸上的場強E隨x的變化關(guān)系如圖所示，x軸正向為場強正方向，帶正電的點電荷沿x軸運動，則點電荷()

A．在x2和x4處電勢能相等

B．由x1運動到x3的過程中電勢能增大

C．由x1運動到x4的過程中靜電力先增大后減小

D．由x1運動到x4的過程中靜電力先減小后增大

答案　BC

解析　由圖像可知，使正電荷沿x軸正向移動，由x2移動到x4的過程靜電力做功不為零，在兩點處的電勢能不相等，A錯誤；由x1移動到x3的過程靜電力沿x軸負方向，靜電力做負功，電勢能增大，B正確；由x1到x4的過程場強先增大后減小，所以靜電力先增大后減小，C正確，D錯誤。

1．如圖所示，在兩等量異種點電荷連線上有D、E、F三點，且DE＝EF。K、M、L分別為過D、E、F三點的等勢面。一不計重力的帶負電粒子，從a點射入電場，運動軌跡如圖中實線所示，以|Wab|表示該粒子從a點到b點靜電力做功的數(shù)值，以|Wbc|表示該粒子從b點到c點靜電力做功的數(shù)值，則()

A．|Wab|＝|Wbc|

B．|Wab|<|Wbc|

C．粒子由a點到b點，動能減少

D．a(chǎn)點的電勢較b點的電勢低

答案　C

解析　由等量異種點電荷的電場線特點可知靠近電荷處電場強度大，類比公式U＝Ed知|Uab|>|Ubc|，而W＝qU，所以|Wab|>|Wbc|，則A、B均錯誤；從帶負電粒子的運動軌跡可知該粒子從a點到c點受到大體向左的作用力，故左側(cè)為正電荷，從左向右電勢降低，則D錯誤；粒子由a點到b點，靜電力做負功，電勢能增加，動能減少，則C正確。

2．(多選)如圖所示，實線為某孤立點電荷產(chǎn)生的電場的幾條電場線，虛線是某一帶電粒子通過該電場區(qū)域的運動軌跡，a、b是軌跡上的兩點。若帶電粒子在運動中只受靜電力的作用，下列說法中正確的是()

A．該電場是由負點電荷所激發(fā)的電場

B．電場中a點的電勢比b點的電勢高

C．帶電粒子在a點的加速度比在b點的加速度大

D．帶電粒子在a點的動能比在b點的動能大

答案　CD

解析　根據(jù)題圖示以及題干條件，無法判斷場源電荷的正負，也不能判斷出電場線的方向以及a點、b點電勢的高低，A、B錯誤；根據(jù)電場線密處電場強度大，電場線疏處電場強度小的特點，得出Ea>Eb，利用牛頓第二定律可知a＝＝，帶電粒子在a點的加速度比在b點的加速度大，C正確；若粒子從a點運動到b點，靜電力做負功，帶電粒子的動能減小，若粒子從b點運動到a點，靜電力做正功，帶電粒子的動能增大，D正確。

3．(多選)如圖甲所示，直線MN表示某電場中一條電場線，a、b是線上的兩點，將一帶負電荷的粒子從a點處由靜止釋放，粒子從a運動到b過程中的v-t圖線如圖乙所示，設(shè)a、b兩點的電勢分別為φa、φb，場強大小分別為Ea、Eb，粒子在a、b兩點的電勢能分別為Epa、Epb，不計重力，則有()

A．φa＞φb

B．Ea＞Eb

C．Ea＜Eb

D．Epa＞Epb

答案　BD

解析　電場線為直線，帶負電的粒子僅在靜電力的作用下由靜止釋放，那么一定沿著靜電力的方向運動，故電場強度的方向向左，b點的電勢高，A錯誤；由v-t圖線的斜率表示粒子運動的加速度可知粒子運動的加速度越來越小，故b點的場強小，Ea>Eb，B正確，C錯誤；粒子由a到b的過程中，靜電力做正功，電勢能減少，D正確。

4．(多選)如圖所示，虛線a、b、c表示電場中的三個等勢面與紙平面的交線，且相鄰等勢面之間的電勢差相等。實線為一帶正電荷粒子僅在靜電力作用下通過該區(qū)域時的運動軌跡，M、N是這條軌跡上的兩點，則下列說法中正確的是()

A．三個等勢面中，a的電勢最高

B．對于M、N兩點，帶電粒子通過M點時電勢能較大

C．對于M、N兩點，帶電粒子通過M點時動能較大

D．帶電粒子由M運動到N時，加速度增大

答案　CD

解析　由于帶電粒子做曲線運動，所受靜電力的方向必定指向軌跡的凹側(cè)，且和等勢面垂直，所以電場線方向是由c指向b再指向a。根據(jù)沿電場線的方向電勢降低，故φc>φb>φa，A錯誤。正電荷在電勢高處電勢能大，M點的電勢比N點電勢低，故在M點電勢能小，B錯誤。根據(jù)能量守恒定律，電荷的動能和電勢能之和保持不變，故粒子在M點的動能較大，C正確。由于相鄰等勢面之間電勢差相等，因N點等勢面較密，則EM

5.(多選)一帶負電的粒子只在靜電力作用下沿x軸正向運動，其電勢能Ep隨位移x變化的關(guān)系如圖所示，其中O～x2段是關(guān)于直線x＝x1對稱的曲線，x2x3段是直線，則下列說法正確的是()

A．x1處電場強度最小，但不為零

B．粒子在O～x3段做變速運動，x2～x3段做勻變速運動

C．x2～x3段的電場強度大小方向均不變，為一定值

D．在O、x1、x2、x3處電勢φ0、φ1、φ2、φ3的關(guān)系為φ1>φ2＝φ0>φ3

答案　BCD

解析　由WAB＝－ΔEp，WAB＝F電Δx得F電＝－，可知Ep-x圖像切線的斜率等于靜電力F電的負數(shù)。x1處圖像切線的斜率即靜電力為零，電場強度為零，A錯誤；x2～x3段切線的斜率不變，靜電力不變，故電場強度的大小、方向均不變，C正確；O～x3段切線的斜率先減小到零，后增大再不變，靜電力先減小到零，后增大再不變，粒子做變速運動，x2～x3段靜電力不變，粒子做勻變速運動，B正確；根據(jù)電勢能與電勢的關(guān)系：Ep＝qφ，粒子帶負電，q<0，可知電勢能越大，粒子所在處的電勢越低，所以φ1>φ2＝φ0>φ3，故D正確。

6．靜電透鏡是利用靜電場使電子束會聚或發(fā)散的一種裝置。如圖所示為該透鏡工作原理示意圖，虛線表示這個靜電場在xOy平面內(nèi)的一簇等勢線，等勢線形狀相對于x軸、y軸對稱，且相鄰兩等勢線的電勢差相等。圖中實線為某個電子通過電場區(qū)域時的軌跡示意圖，關(guān)于此電子從a點運動到b點過程中，下列說法正確的是()

A．a(chǎn)點的電勢高于b點的電勢

B．電子在a點的加速度大于在b點的加速度

C．電子在a點的動能大于在b點的動能

D．電子在a點的電勢能大于在b點的電勢能

答案　D

解析　根據(jù)合力指向軌跡內(nèi)側(cè)和電場線與等勢線垂直可知，電子在y軸左側(cè)受到一個斜向右下方的靜電力，所以在y軸左側(cè)電場線指向左上方，故a點的電勢低于b點的電勢，故A錯誤；根據(jù)等差等勢線的疏密知道b處的電場線密，場強大，電子的加速度大，故B錯誤；根據(jù)負電荷在電勢低處電勢能大，可知電子在a處的電勢能大于在b處的電勢能，從a到b電子的電勢能一直減小，則電子從a點運動到b點的過程中，靜電力始終做正功，動能增加，故C錯誤，D正確。

7．(多選)如圖所示空間有一勻強電場，電場方向與紙面平行。一電荷量為－q的粒子(重力不計)，在恒力F的作用下沿虛線由M勻速運動到N。已知力F和MN間夾角為θ，M、N間距離為d，則下列結(jié)論中正確的是()

A．M、N兩點的電勢差為

B．勻強電場的電場強度大小為

C．帶電粒子由M運動到N的過程中，電勢能增加了Fdcosθ

D．若要使帶電粒子由N向M做勻速直線運動，則F必須反向

答案　AC

解析　粒子做勻速運動，靜電力必與恒力F平衡，由M點運動到N點，靜電力做功為W＝－Fdcosθ，UMN＝＝，A正確；由粒子受力知，電場強度E＝，B錯誤；電勢能的增加量等于克服靜電力做的功Fdcosθ，C正確；粒子做勻速直線運動的條件是受力平衡，即由N運動到M，受力不變，D錯誤。

8．(多選)如圖所示，為某一點電荷所形成的一簇電場線，a、b、c三條虛線為三個帶電粒子以相同的速度從O點射入電場的運動軌跡，其中b虛線為一圓弧，AB的長度等于BC的長度，且三個粒子的電荷量大小相等，不計粒子重力，則以下說法正確的是()

A．a(chǎn)一定是正粒子的運動軌跡，b和c一定是負粒子的運動軌跡

B．由于AB的長度等于BC的長度，故UAB＝UBC

C．a(chǎn)虛線對應(yīng)的粒子的加速度越來越小，c虛線對應(yīng)的粒子的加速度越來越大，b虛線對應(yīng)的粒子的加速度大小不變

D．b虛線對應(yīng)的粒子的質(zhì)量大于c虛線對應(yīng)的粒子的質(zhì)量

答案　CD

解析　由于電場線沒有明確方向，因此無法確定三個帶電粒子的電性，故A錯誤；由于該電場不是勻強電場，雖然AB的長度等于BC的長度，但AB段與BC段對應(yīng)的電場強度不等，故UAB≠UBC，故B錯誤；根據(jù)電場線的疏密程度可知，a虛線對應(yīng)的粒子的加速度越來越小，c虛線對應(yīng)的粒子的加速度越來越大，b虛線對應(yīng)的粒子的加速度大小不變，故C正確；由于b虛線對應(yīng)的帶電粒子所做的運動為勻速圓周運動，而c虛線對應(yīng)的粒子在不斷地向場源電荷運動，b虛線對應(yīng)的帶電粒子Eq＝mb，而c虛線對應(yīng)的帶電粒子滿足關(guān)系式Eq>mc，即mb>mc，故D正確。

9.某帶電物體在所在空間形成一個電場，沿x軸方向其電勢φ的變化如圖所示。電子從O點以v0的初速度沿x軸正方向射出，依次通過a、b、c、d點(設(shè)電子的質(zhì)量為m)。則下列關(guān)于電子運動的描述正確的是()

A．電子在Oa間做勻加速直線運動

B．電子在Od之間一直在做減速直線運動

C．要使電子能到達無窮遠處，粒子的初速度v0至少為

D．電子在c、d間運動時其電勢能一定減小

答案　C

解析　Oa間電勢不變，故電子在Oa間做勻速直線運動，其動能不變，A、B錯誤；若粒子恰能到達無窮遠處，由功能關(guān)系知eφ0＝mv，解得v0＝，C正確；電子在c、d間運動時，其電勢越來越低，則靜電力對其做負功，電勢能增加，D錯誤。

10．(多選)如圖所示，豎直向上的勻強電場中，絕緣輕質(zhì)彈簧豎直立于水平地面上，上面放一質(zhì)量為m的帶正電小球，小球與彈簧不連接，施加外力F將小球向下壓至某位置靜止。現(xiàn)撤去F，小球從靜止開始運動到離開彈簧的過程中，重力、靜電力對小球所做的功分別為W1和W2，小球離開彈簧時速度為v，不計空氣阻力，則上述過程中()

A．小球與彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒

B．小球的重力勢能增加－W1

C．小球的機械能增加W1＋mv2

D．小球的電勢能減少W2

答案　BD

解析　由于靜電力做正功，故小球與彈簧組成的系統(tǒng)機械能增加，故A錯誤；重力做功是重力勢能變化的量度，由題意知重力做負功W1，重力勢能增加－W1，故B正確；小球機械能的增加量等于重力勢能增加量與動能增加量之和，即－W1＋mv2，故C錯誤；靜電力做功是電勢能變化的量度，靜電力做正功W2，電勢能減少W2，故D正確。

11．如圖所示，光滑絕緣細桿豎直放置，它與以正電荷Q為圓心的某圓交于B、C兩點，質(zhì)量為m、電荷量為－q的有孔小球從桿上A點無初速度下滑，已知q?Q，AB＝h，小球滑到B點時速度大小為，求：

(1)小球由A到B的過程中靜電力做的功；

(2)A、C兩點的電勢差。

答案(1)mgh(2)－

解析(1)因為桿是光滑的，所以小球從A到B過程中只有兩個力做功：靜電力做功WE和重力做功mgh，由動能定理得：WE＋mgh＝mv，代入已知條件vB＝得靜電力做功

WE＝m·3gh－mgh＝mgh。

(2)因為B、C在同一個等勢面上，所以φB＝φC，即UAC＝UAB，由W＝qU得UAC＝UAB＝＝－。

12．如圖所示，在足夠長的光滑絕緣水平直線軌道上方h高度的P點，固定電荷量為＋Q的點電荷。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的物塊(可視為質(zhì)點)，從軌道上的A點以初速度v0沿軌道向右運動，當運動到P點正下方B點時速度為v。已知點電荷產(chǎn)生的電場在A點的電勢為φ(取無窮遠處電勢為零)，PA連線與水平軌道的夾角為60°，試求：

(1)物塊在A點時受到軌道的支持力大小；

(2)點電荷＋Q產(chǎn)生的電場在B點的電勢。

答案(1)mg＋(2)(v－v2)＋φ

解析(1)物塊在A點受重力、靜電力、支持力。

分解靜電力，由豎直方向受力平衡得

FN＝mg＋ksin60°，又因為h＝rsin60°，由以上兩式解得支持力FN＝mg＋。

(2)從A運動到P點正下方B點的過程中，由動能定理得qUAB＝mv2－mv

又因為UAB＝φA－φB＝φ－φB，由以上兩式解得φB＝(v－v2)＋φ。