2015全國卷二數學

滿分:

班級：_________??姓名：_________??考號：_________

一、單選題（共12小題）

1．已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

2．若為實數，且，則（）

A．-4

B．-3

C．3

D．4

3．根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結論中不正確的是（）

A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B．2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效

C．2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

D．2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

4．已知，則（）

A．-1

B．?0

C．1

D．2

5．設是等差數列的前項和，若，則（）

A．5

B．7

C．9

D．11

6．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）

A．

B．

C．

D．

7．已知三點，則外接圓的圓心到原點的距離為（）

A．

B．

C．

D．

8．下邊程序框圖的算法思路來源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，若輸入的分別為14，18，則輸出的為（）

A．0

B．2

C．4

D．14

9．已知等比數列滿足，則（）

A．

B．

C．

D．

10．已知是球的球面上兩點，為該球面上的動點。若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（）

A．

B．

C．

D．

11．如圖，長方形的邊，是的中點，點沿著邊，與運動，記，將動點到兩點距離之和表示為的函數，則的圖象大致為（）

A．

B．

C．

D．

12．設函數，則使得成立的的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空題（共4小題）

13.已知函數?的圖像過點，則=________。

14.若x，y滿足約束條件，則的最大值為_________。

15.已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為_________。

16.已知曲線在點處的切線與曲線相切，則__________。

三、解答題（共8小題）

17.△ABC中D是BC上的點，AD平分BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求.18.某公司為了了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區分別隨機調查了個用戶，根據用戶對其產品的滿意度的評分，得到A地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區用戶滿意度評分的頻率分布表。

B地區用戶滿意度評分的頻數分布表

（Ⅰ）在答題卡上作出B地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過此圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度，（不要求計算出具體值，給出結論即可）

（Ⅱ）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度評分分為三個等級：

估計那個地區的用戶的滿意度等級為不滿意的概率大，說明理由。

19.如圖，長方體中，，點E，F分別在?上，過點E，F的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形。

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法與理由）；

（Ⅱ）求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值。

20.已知橢圓?的離心率為，點在C上．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）直線不經過原點O，且不平行于坐標軸，與C有兩個交點A，B，線段AB中點為M，證明：直線OM的斜率與直線的斜率乘積為定值。

21.已知．

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）當有最大值，且最大值大于時，求a的取值范圍.22.如圖O是等腰三角形ABC內一點，圓O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F兩點。

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）若AG等于圓O半徑，且，求四邊形EDCF的面積。

23.在直角坐標系中，曲線（t為參數，且），其中，在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線

（Ⅰ）求與交點的直角坐標；

（Ⅱ）若與

相交于點A，與相交于點B，求最大值．

24.設?均為正數，且．證明：

（Ⅰ）若，則；

（Ⅱ）是的充要條件．

答案部分

1.考點：集合的運算

試題解析：

由題意在數軸上表示出集合與集合，如圖

所以，選A

答案：A

2.考點：復數綜合運算

試題解析：

由，得，所以，選D

答案：D

3.考點：變量相關

試題解析：

對于選項A：從圖中明顯看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明顯減少，且減少的最多，故A正確；

對于選項B：2004﹣2006年二氧化硫排放量越來越多，從2007年開始二氧化硫排放量變少，故B正確；

對于選項C：從圖中看出，2006年以來我國二氧化硫年排放量

越來越少，故C正確；

對于選項D：2006年以來我國二氧化硫年排放量越來越少，而不是與年份正相關，選D

答案：D

4.考點：平面向量坐標運算

試題解析：，選B

答案：B

5.考點：等差數列

試題解析：

由題意得：，所以

所以，選A

答案：A

6.考點：空間幾何體的表面積與體積

試題解析：

如圖所示截面為，設邊長為，則截取部分體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，選D

答案：D

7.考點：圓的標準方程與一般方程

試題解析：因為外接圓的圓心在直線的垂直平分線上，即直線上，可設圓心，由得，解得，圓心坐標為

所以圓心到原點的距離，選B

答案：B

8.考點：算法和程序框圖

試題解析：

輸入

第一步成立，執行，不成立執行

第二步成立，執行，成立執行，第三步成立，執行，成立執行

第四步成立，執行，成立執行

第四步成立，執行，不成立執行

第五步不成立，輸出.選B

答案：B

9.考點：等比數列

試題解析：

設公比為，由題意得，解得：，所以

答案：C

10.考點：空間幾何體的表面積與體積

試題解析：

如圖，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時

故，則球的表面積為，選C．

答案：C

11.考點：函數模型及其應用

試題解析：由已知得，當點在邊上運動時，即時，；

當點在邊上運動時，即時，當時，；

當點在邊上運動時，即時，從點的運動過程可以看出，軌跡關于直線對稱，且，且軌跡非線性，選B

答案：B

12.考點：函數綜合試題解析：

當時，所以在單調遞增，因為函數為偶函數，所以在單調遞減，所以，即，平方得

解得，所求x的取值范圍是．選A．

答案：A

13.考點：函數及其表示

試題解析：

把代入得：

答案：-2

14.考點：線性規劃

試題解析：

作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分ABC）．

由得，平移直線，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最大，此時最大．

由，解得，即

將代入目標函數，得即的最大值為．

答案：8

15.考點：雙曲線

試題解析：

設雙曲線方程為，把點代入，可得，所以

所以雙曲線的標準方程是．

故答案為：．

答案：

16.考點：導數的概念和幾何意義

試題解析：

因為，所以在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為，即．

由于切線與曲線相切，聯立得，又兩線相切有一切點，所以有，解得．

故答案為：．

答案：8

17.考點：三角函數綜合試題解析：（Ⅰ）如圖，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；

（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=．

答案：（Ⅰ）（Ⅱ）

18.考點：頻率分布表與直方圖

試題解析：

（Ⅰ）

通過兩個地區用戶滿意度評分的頻率分布直方圖可以看出，B地區用戶滿意度評分的平均值高于A地區用戶滿意度評分的平均值，B

地區的用戶滿意度評分的比較集中，而A地區的用戶滿意度評分的比較分散．

（Ⅱ）A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．

記表示事件：“A地區用戶的滿意度等級為不滿意”，表示事件：“B地區用戶的滿意度等級為不滿意”，由直方圖得P（）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6

得P（）=（0.005+0.02）×10=0.25

∴A地區用戶的滿意度等級為不滿意的概率大．

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析

19.考點：立體幾何綜合試題解析：

（Ⅰ）交線圍成的正方形EFGH如圖所示；

（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．

因為EFGH為正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．

因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為．

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

20.考點：圓錐曲線綜合試題解析：

（1）橢圓C：，（）的離心率，點（2，）在C上，可得，解得，所求橢圓C方程為：

（2）設直線：，A，B，M，把直線代入可得，故=，=，于是在的斜率為：==，即．

∴直線OM的斜率與的斜率的乘積為定值．

答案：（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

21.考點：導數的綜合運用

試題解析：（Ⅰ）的定義域為，所以，若，則，∴函數在上單調遞增，若，則當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當時，在上無最大值；

當時，在取得最大值，最大值為，∵,∴，令，∵在單調遞增，∴當時，當時，∴的取值范圍為

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（0，1）

22.考點：圓

試題解析：

（Ⅰ）如圖所示，連接，則即.因為，所以，所以，即.因為，所以.因為是等腰三角形，所以，所以，所以.（Ⅱ）設的半徑為，.在中，.，解得.在中，.，，是等邊三角形.連接，，.在，..在中，.四邊形的面積為

.答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

23.考點：曲線參數方程

試題解析：

（Ⅰ）將曲線化為直角坐標系方程,.聯立解得.所以交點坐標為，.（Ⅱ）曲線的極坐標方程為，其中.因此的極坐標為，的極坐標為.所以.當時，取得最大值，最大值為.答案：（Ⅰ），（Ⅱ）4

24.考點：不等式證明

試題解析：

（Ⅰ）由題意可得，而，即.（Ⅱ）

答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析