2017屆高考數學押題卷（一）理

本試題卷共6頁，23題(含選考題)。全卷滿分150分。考試用時120分鐘。

第Ⅰ卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分。

1．已知復數是一元二次方程的一個根，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因為，所以，所以．故選B．

2．已知集合，集合，集合，則集合（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】根據題意可得，則．故選A．

3．已知等差數列，，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】因為，所以，因為，所以，所以公差，所以，所以．故選D．

4．世界最大單口徑射電望遠鏡FAST于2016年9月25日在貴州省黔南州落成啟用，它被譽為“中國天眼”，從選址到啟用歷經22年，FAST選址從開始一萬多個地方逐一審查．為了加快選址工作進度，將初選地方分配給工作人員．若分配給某個研究員8個地方，其中有三個地方是貴州省的，問：某月該研究員從這8個地方中任選2個地方進行實地研究，則這個月他能到貴州省的概率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】．故選D．

5．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】此三視圖的幾何體如圖：，，，，，∴．故選B．

6．如圖，在三棱錐中，面，，，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據題意可得，設，則，在中，，由余弦定理得，即：，整理得：，解得或（舍），所以．故選D．

7．已知函數，滿足和是偶函數，且，設，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因為為偶函數，所以，所以，所以為偶函數，又是偶函數，所以，當時，．故選B．

8．已知拋物線，過點作拋物線的兩條切線，、為切點，若直線經過拋物線的焦點，的面積為，則以直線為準線的拋物線標準方程是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由拋物線的對稱性知，軸，且是焦點弦，故，所以，解得（舍去）或，所以焦點坐標為，直線的方程為，所以以直線為準線的拋物線標準方程是．故選D．

9．根據下列流程圖輸出的值是（）

A．11

B．31

C．51

D．79

【答案】D

【解析】當時，，當時，，當時，，當時，，輸出．故選D．

10．在長方體中，點在線段上運動，當異面直線與所成的角最大時，則三棱錐的體積為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

因為A1B∥D1C，所以CP與A1B成角可化為CP與D1C成角，顯然當P與A重合時，異面直線CP與BA1所成的角最大，所以．故選B．

11．已知函數的周期為，將函數的圖像沿著y軸向上平移一個單位得到函數圖像．設，對任意的恒成立，當取得最小值時，的值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因為，則，所以，所以，所以函數，所以，所以，；又，所以，所以，所以，又，所以，所以取得最小值時，所以的值是．故選C．

12．已知函數，有下列四個命題；

①函數是奇函數；

②函數在是單調函數；

③當時，函數恒成立；

④當時，函數有一個零點，其中正確的個數是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】B

【解析】①函數的定義域是，不滿足函數奇偶性定義，所以函數非奇非偶函數，所以①錯誤；②取，，所以函數在不是單調函數，所以②錯誤；③當時，要使，即，即，令，，得，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以③正確；④當時，函數的零點即為的解，也就是，等價于函數與函數圖像有交點，在同一坐標系畫出這兩個函數圖像，可知他們只有一個交點，所以④是正確的．故選B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考題和選考題兩部分。第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22~23題為選考題，考生根據要求作答。

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。

13．共享單車是指企業與政府合作，在公共服務區等地方提供自行車單車共享服務．現從6輛黃色共享單車和4輛藍色共享單車中任取4輛進行檢查，則至少有兩個藍色共享單車的取法種數是_____________．

【答案】115

【解析】分三類，兩輛藍色共享單車，有種，三輛藍色共享單車，有種，四輛藍色共享單車，有種，根據分類計數原理可得，至少有兩輛藍色共享單車的取法種數是90+24+1＝115．

14．如圖所示，在南海上有兩座燈塔，這兩座燈塔之間的距離為60千米，有個貨船從島P處出發前往距離120千米島Q處，行駛致一半路程時剛好到達M處，恰巧M處在燈塔A的正南方，也正好在燈塔B的正西方，向量⊥，則＝_____________．

【答案】－3600

【解析】由題意可知，⊥，⊥，所以＝

15．若，滿足約束條件，設的最大值點為，則經過點和的直線方程為_______________．

【答案】

【解析】在直角坐標系中，滿足不等式組可行域為：

表示點到可行域的點的距離的平方減4．如圖所示，點到點的距離最大，即，則經過，兩點直線方程為．

16．已知數列滿足（，且為常數），若為等比數列，且首項為，則的通項公式為________________．

【答案】或

【解析】①若，則，由，得，由，得，聯立兩式，得或，則或，經檢驗均合題意．

②若，則，由，得，得，則，經檢驗適合題意．

綜上①②，滿足條件的的通項公式為或．

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分12分）在中，設向量，．

（1）求的值；

（2）求的取值范圍．

【答案】（1）＝，（2）．

【解析】（1）由，································1分

由正弦定理，等式可為，∴，····················································3分

由余弦定理可得，∴＝．··························································6分

（2）由（1）可知，所以，······················7分，·····················································10分

∵，∴，∴，∴的取值范圍為．··································12分

18．（本小題滿分12分）某研究所設計了一款智能機器人，為了檢驗設計方案中機器人動作完成情況．現委托某工廠生產500個機器人模型，并對生產的機器人進行編號：001，002，……，500，采用系統抽樣的方法抽取一給容量為50個機器人樣本．試驗小組對50個機器人樣本的動作個數進行分組，頻率分布直方圖及頻率分布表中的部分數組如圖所示，請據此回答如下問題：

分組

機器人數

頻率

[50，60)

0.08

[60，70)

[70，80)

[80，90)

[90，100]

（1）補全頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；

（2）若隨機抽的號碼為003，這500個機器人分別放在A，B，C三個房間，從001到200在A房間，從201到355在B房間，從356到500在C房間，求B房間被抽中的人數是多少？

（3）從動作個數不低于80的機器人中隨機選取2個機器人，該2個機器人中動作個數不低于90的機器人數記為，求的分布列與數學期望．

【答案】（1）見解析，（2）16，（3）．

【解析】（1）頻率分布直方圖及頻率分布表中的部分數組如圖所示，請據此回答如下問題：

分組

機器人數

頻率

[50，60)

0.08

[60，70)

0.2

[70，80)

0.2

[80，90)

0.4

[90，100]

0.12

·········4分

（2）系統抽樣的分段間隔為＝10，在隨機抽樣中，首次抽到003號，以后每隔10個抽到一個，則被抽中的機器人數構成以3為首項，10為公差的等差數列，故可分別求出在001到200中有20個，在201至355號中共有16個．··························6分

（3）該2個機器人中動作個數不低于90的機器人數記為，的取值為0，1，2，··7分

所以，，所以的分布列

0

P

················11分

數學期望．·····························12分

19．（本小題滿分12分）已知正方體的棱長為1，S是的中點，M是SD上的點，且SD⊥MC．

（1）求證：SD⊥面MAC

（2）求平面SAB與平面SCD夾角的余弦值．

【答案】（1）見解析，（2）．

【解析】（1）證明：由題意可知，SA＝SB＝SC＝SD，連BD，設AC交于BD于O，由題意知SO⊥平面ABCD．以O為坐標原點，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立坐標系O-xyz如圖，則高SO＝1，于是S(0，0，1)，D(，0，0)，A（0，0），C（0，0），所以，所以，即AC⊥SD，又因為SD⊥MC，所以SD⊥面MAC．··················································5分

（2）根據題意可知，，，則，設平面SAB的法向量為，則，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，················································7分

設平面SCD的法向量為，則，所以，所以解得，令，解得，所以法向量，············································9分

所以，所以兩個法向量的夾角余弦值為

．···········································11分

所以平面SAB與平面SCD夾角的余弦值為．····························12分

20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其中一個頂點是雙曲線的焦點，（1）求橢圓C的標準方程；

（2）過點的直線與橢圓C相交于不同的兩點A，B，過點A，B分別作橢圓的兩條切線，求其交點的軌跡方程．

【答案】（1），（2）．

【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點，所以橢圓的C：中a＝5，········································1分

根據，解得c＝，所以，·································3分

所以橢圓的標準方程為．·································4分

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，另設，設在處切線的方程為，與橢圓C：聯立：，消去可得：，由，得，化簡可得：

由，可得，所以上式可化為：，∴，所以橢圓在點A處的切線方程為：①，··························7分

同理可得橢圓在點B的切線方程為：②，·······················8分

聯立方程①②，消去x得：，解得，··········9分

而A，B都在直線上，所以有，所以，所以，即此時的交點的軌跡方程為；······11分

當直線的斜率不存在時，直線的方程為x＝0，則，則橢圓在點A處的切線方程為：①，橢圓在點B的切線方程為：，此時無交點．

綜上所述，交點的軌跡方程為．······································12分

21．（本小題滿分12分）已知函數（a是常數），（1）求函數的單調區間；

（2）當時，函數有零點，求a的取值范圍．

【答案】（1）見解析；（2）或．

【解析】（1）根據題意可得，當a＝0時，函數在上是單調遞增的，在上是單調遞減的．···········································1分

當a≠0時，因為＞0，令，解得x＝0或．·····························3分

①當a＞0時，函數在，上有，即，函數單調遞減；函數在上有，即，函數單調遞增；························4分

②當a＜0時，函數在，上有，即，函數單調遞增；函數在上有，即，函數單調遞減；························5分

綜上所述，當a＝0時，函數的單調遞增區間，遞減區間為；

當a＞0時，函數的單調遞減區間為，遞增區間為；

當a＜0時，函數的單調遞增區間為，遞減區間為；·······6分

（2）①當a＝0時，可得，故a＝0可以；·········7分

②當a＞0時，函數的單調遞減區間為，遞增區間為，（I）若，解得；

可知：時，是增函數，時，是減函數，由，∴在上；

解得，所以；·······································10分

（II）若，解得；

函數在上遞增，由，則，解得

由，即此時無解，所以；·····························11分

③當a＜0時，函數在上遞增，類似上面時，此時無解．

綜上所述，．···········································12分

請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。

22．（本小題滿分10分）已知在直角坐標系中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的參數方程為：，曲線C2的極坐標方程：，（1）寫出C1和C2的普通方程；

（2）若C1與C2交于兩點A，B，求的值．

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）將曲線C2的極坐標方程轉化為直角坐標方程；····2分

將曲線C1的方程消去t化為普通方程：；··············4分

（2）若C1與C2交于兩點A，B，可設，聯立方程組，消去y，可得，··················6分

整理得，所以有，·····························8分

則．·················10分

23．（本小題滿分10分）已知函數，（1）若不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（2）若對于實數x，y，有，求證:．

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】（1）根據題意可得恒成立，即，化簡得，而是恒成立的，所以，解得；·········································5分

（2），所以．·····················································10分