第一篇：正弦型函數教學設計

正弦型函數y=Asin(ψx+φ）的圖象變換教學設計

北京市昌平區第一中學 陳愛民

教學目標： 知識與技能目標：

能借助計算機課件，通過探索、觀察參數A、ω、φ對函數圖象的影響，并能概括出三角函數圖象各種變換的實質和內在規律；會用圖象變換畫出函數y=Asin(ωx+φ)的圖象。

過程與方法目標：

通過對探索過程的體驗，培養學生的觀察能力和探索問題的能力，數形結合的思想；領會從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍。

情感、態度價值觀目標：

通過學習過程培養學生探索與協作的精神，提高合作學習的意識。

教學重點：考察參數ω、φ、A對函數圖象的影響，理解由y=sinx的圖象到y=Asin(ωx+φ)的圖象變化過程。這個內容是三角函數的基本知識進行綜合和應用問題接軌的一個重要模型。學生學習了函數y=Asin(ωx+φ)的圖象，為后面高中物理研究《單擺運動》、《簡諧運動》、《機械波》等知識提供了數學模型。所以，該內容在教材中具有非常重要的意義，是連接理論知識和實際問題的一個橋梁。

教學難點：對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響規律的發現與概括是本節課的難點。因為相對來說，、A對圖象的影響較直觀，ω的變化引起圖象伸縮變化，學生第一次接觸這種圖象變化，不會觀察，造成認知的難點，在教學中，抓住“對圖象的影響”的教學，使學生學會觀察圖象，經歷研究方法，理解圖象變化的實質，是克服這一難點的關鍵。

學情分析：

本節課在高一第二學段，學生進入高中學習已經三個月，對于高中常用的數學思想方法和研究問題的方法已經有初步的了解，并且逐步適應高中的學習方式和教師的教學方式，喜歡小組探究學習，喜歡獨立思考，探究未知內容，學習欲望迫切。關于函數圖象的變換，學生在學習第一模塊時，接觸過函數圖象的平移，有“左加右減”，“上加下減”這樣一些粗略的關于圖象平移的認識，但對于本節內容學生要理解并掌握三個參數對函數圖象的影響，還要研究三個參數對函數圖象的綜合影響，且方法不唯一，知識密度較大，理解掌握起來難度較大。教學內容分析：

三角函數是基本初等函數之一，是中學數學的重要內容。本節為三角函數圖象與性質的重要內容，是一節函數圖象探究的重要范例，同樣也是提高學生識圖、畫圖、數形結合等能力的一次鍛煉。本節內容是在學生已經理解振幅變換、相位變換和周期變換的基礎上，通過作圖、觀察、分析、歸納等方法，形成規律，得出從函數、的圖象到正弦型函數y=Asin(ωx+φ)圖象的變換規律。觀察函數、、、圖象間的關系，通過對比，探求有關性質以及圖象的變換方法。鼓勵學生大膽猜想，將直觀問題抽象化，揭示本質，培養學生思維的深刻性。

利用計算機操作相關的課件，直觀展示圖象的變化，細致觀察圖象變化的數量，使學生學會觀察。這就會使學生容易在學習的過程中把握圖象變化的內在聯系，進而理解本質的規律。首先對參數變化所引起的圖象變化進行觀察，獲得參數對函數圖象影響的大致感知，進而進行細致的量的變化的觀察和分析，體現了對事物認識的螺旋式上升；從具體的函數出發，進而得出一般性的結論，體現了從特殊到一般，由感性到理性的過渡。

教學流程圖：

教學過程：整個教學過程是“以問題為載體，以學生活動為主線”進行的。

（一）創設情境： 1.動畫演示： 《用沙擺演示簡諧運動的圖象》

2.根據你的知識，你能解決函數哪些方面的問題？

學生分析：可以求這個函數的最小正周期、單調區間以及“五點法”作圖。教師追問：作出它的圖象還有其他的方法嗎？

【設計意圖】復習回顧，直接切入研究的課題。（板書課題：函數問題1：函數學生思考，交流，正弦函數

和我們熟知的正弦函數，有什么聯系呢？

就是函數

在A=1，ω=1，=0的特殊情況。的圖象）

【設計意圖】采用《用沙擺演示簡諧運動的圖象》引出函數y=Asin(ωx+φ)的圖象，體現該函數圖象與生活實際的緊密聯系,體現函數圖象在物理學上的重要性，激發學生研究該函數圖象的興趣。引導學生思考y=Asin(ωx+φ)與正弦函數的一般與特殊的關系，進而引導學生探討正弦曲線與函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的關系。

（二）建構數學 自主探究：

自主探究：由正弦曲線如何變化得到函數①問題提出：三種變換能否任意排序？

②對于你們小組提出的變換方式，你要怎樣解決你呢？ 的圖象？

【設計意圖】觀察函數解析式學生容易發現三個參數、、都發生了變化，自然恰當地提出本節的核心問題——三種變換能否任意排序呢？

問題2：由正弦函數猜想（1）猜想（2）

圖象如何變換得到函數的圖象？

【設計意圖】觀察函數解析式，容易發現參數、都發生了變化，根據已有的知識基礎，自然恰當地提出本節的核心問題：兩種變換能否任意排序，最后確定研究方向。

A、自主實驗，形成初步結論：小組合做，根據自己的興趣在兩種變換中選擇一種進行研究： 問題3：按照第一種方法由函數按照第二種方法由函數的圖象如何變換到的圖像如何變換到函數的圖象？ 的圖象？

學生投影回答，結合自己畫的函數圖像，說明變換方法。

①.把的圖象上的所有的點__左___平移 ___個單位長度，得到的圖象。

②.再把的圖象上各點的_橫__坐標_縮短__的圖象。

到原來的__倍（_縱_坐標不變），得到③.再把的圖象上所有點的_縱_坐標_伸長_的圖象。

到原來的__3_倍（__橫_坐標不變）得到

學生總結上述變換過程：相位變換 ①.把

周期變換

振幅變換 或 向右

平行移動

個單位長度，得到的圖象上的所有的點 向左 的圖象。②.再把坐標不變），得到③.再把的圖象上各點的_橫_坐標__縮短_的圖象。的圖象上所有點的_縱_坐標_伸長_的圖象。

或_伸長_到原來的__倍（_縱_

或_縮短_為原來的_A_倍（_橫_坐標不變）得到

B、深入探究，討論分析： 預設問題：

教學的班級為普通班，根據以往的教學經驗，如果只研究一種順序，有的學生會錯誤地認為由的圖象向左

平移個單位得到的圖象，說明學生沒有真正理解函數圖象的變化是看坐標（x,y）的變化量。預想到學生會犯這個錯誤，為了讓學生更好地理解圖象變化的實質，我選擇不同的小組匯報，進而追問：為什么會有這種不同呢？原因是什么？學生們可以通過觀察坐標表格中橫坐標的變化，發現平移量。或者通過觀察圖象，發現平移量。因為在方案ω—中，先進行了橫向的伸縮，即橫坐標變為了原來的單位；從坐標和解析式上來看，點論。

和

倍，所以向左平移個

分別滿足兩個解析式，也可以得到這個結

把的圖象上所有的點__向左_平移_

_個單位長度，得到函數的圖象。

問題4：第二種變換方法，平移量是，還是，為什么？

個單位；先周期變換后相位變注意不同順序中平移量的不同。先相位變換后周期變換時，需向左平移換時，需向左平移個單位而不是個單位。平移量是由的改變量確定的。

學生總結第二種變換的規律：周期變換

相位變換

振幅變換

把y=sinωx的圖象上的所有的點 向左 到y=sin(ωx+φ)的圖象。

或 向右平行移動個單位長度，得對比兩種變換過程說明：先相位變換后周期變換平移先周期變換后相位變換平移

個單位長度。

個單位長度。

【設計意圖】使學生由正弦曲線變化得到函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象的不同方案有一個整體的認識，并在掌握圖象變化實質的基礎上，擇優選擇。

（三）知識運用，鞏固強化

練習：

1、只需把函數的圖象上所有點（A），可以得到

函數的圖象。

A、橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變。

B、橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變。C、縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變。

D、縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變。

2、為了得到函數A、向左平移的圖象，只需把函數的圖象上所有點（B）

個單位長度 個單位長度

B、向右平移C、向左平移個單位長度

D、向右平移個單位長度

3、把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數 的圖像，再把函數變式：把函數把函數的圖象上所有點向右平移個單位，得到函數

的圖象。

的圖象，再 的圖像。圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數

【設計意圖】練習及變式練習是對本節課重點和難點知識的鞏固，通過學生的回答,可了解學生對于函數圖像變換的“形”、“數”思維的形成過程是否得到落實。

（四）歸納交流

1、學生談本節課的學習體會。

2、正弦函數y=sinx的圖象變換到函數y=Asin(ωx+φ)的圖象：順序可任意，平移尺度要注意。

3、數學思想：數形結合、從特殊到一般思想、化歸思想。

（五）鞏固作業

課本P49/2（寫在作業本上）,P50/1（寫在書上）

（六）學習效果評價設計

1．在學生動手實踐、觀察、思考問題的過程中，關注學生發現問題、解決問題的能力；并在進一步的學習過程中，觀察學生的類比學習能力；

2．在各組共同學習、解決問題的過程中，觀察學生合作交流、學習的能力； 3．對不同方案的對比學習中，了解學生把握事物本質的能力；

4．通過課堂活動與交流，了解學生對知識的掌握程度，通過反饋，對易錯、易混的知識點，做出啟發性的指導；

5．通過課堂小結，學生說出自己的收獲，與別人分享學習數學的體會，激發學習數學的積極性，建立自信心。

第二篇：1.3.3正弦型函數y=Asin(ψx+φ)的圖象變換教學設計

1.3.3正弦型函數y=Asin(ψx+φ）的圖象變換教學設計

教學目標： 知識與技能目標：

能借助計算機課件，通過探索、觀察參數A、ω、φ對函數圖象的影響，并能概括出三角函數圖象各種變換的實質和內在規律；會用圖象變換畫出函數y=Asin(ωx+φ)的圖象。

過程與方法目標：

通過對探索過程的體驗，培養學生的觀察能力和探索問題的能力，數形結合的思想；領會從特殊到一般，從具體到抽象的思維方法，從而達到從感性認識到理性認識的飛躍。

情感、態度價值觀目標：

通過學習過程培養學生探索與協作的精神，提高合作學習的意識。

教學重點：考察參數ω、φ、A對函數圖象的影響，理解由y=sinx的圖象到y=Asin(ωx+φ)的圖象變化過程。這個內容是三角函數的基本知識進行綜合和應用問題接軌的一個重要模型。學生學習了函數y=Asin(ωx+φ)的圖象，為后面高中物理研究《單擺運動》、《簡諧運動》、《機械波》等知識提供了數學模型。所以，該內容在教材中具有非常重要的意義，是連接理論知識和實際問題的一個橋梁。

教學難點：對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響規律的發現與概括是本節課的難點。因為相對來說，、A對圖象的影響較直觀，ω的變化引起圖象伸縮變化，學生第一次接觸這種圖象變化，不會觀察，造成認知的難點，在教學中，抓住“

對圖象的影響”的教學，使學生學會觀察圖象，經歷研究方法，理解圖象變化的實質，是克服這一難點的關鍵。

學情分析：

本節課在高一第二學段，學生進入高中學習已經三個月，對于高中常用的數學思想方法和研究問題的方法已經有初步的了解，并且逐步適應高中的學習方式和教師的教學方式，喜歡小組探究學習，喜歡獨立思考，探究未知內容，學習欲望迫切。關于函數圖象的變換，學生在學習第一模塊時，接觸過函數圖象的平移，有“左加右減”，“上加下減”這樣一些粗略的關于圖象平移的認識，但對于本節內容學生要理解并掌握三個參數對函數圖象的影響，還要研究三個參數對函數圖象的綜合影響，且方法不唯一，知識密度較大，理解掌握起來難度較大。

教學內容分析： 三角函數是基本初等函數之一，是中學數學的重要內容。本節為三角函數圖象與性質的重要內容，是一節函數圖象探究的重要范例，同樣也是提高學生識圖、畫圖、數形結合等能力的一次鍛煉。本節內容是在學生已經理解振幅變換、相位變換和周期變換的基礎上，通過作圖、觀察、分析、歸納等方法，形成規律，得出從函數y=Asin(ωx+φ)圖象的變換規律。觀察函數、、的圖象到正弦型函數、、圖象間的關系，通過對比，探求有關性質以及圖象的變換方法。鼓勵學生大膽猜想，將直觀問題抽象化，揭示本質，培養學生思維的深刻性。

利用計算機操作相關的課件，直觀展示圖象的變化，細致觀察圖象變化的數量，使學生學會觀察。這就會使學生容易在學習的過程中把握圖象變化的內在聯系，進而理解本質的規律。首先對參數變化所引起的圖象變化進行觀察，獲得參數對函數圖象影響的大致感知，進而進行細致的量的變化的觀察和分析，體現了對事物認識的螺旋式上升；從具體的函數出發，進而得出一般性的結論，體現了從特殊到一般，由感性到理性的過渡。

教學流程圖：

教學過程：整個教學過程是“以問題為載體，以學生活動為主線”進行的。

（一）創設情境： 1.動畫演示： 《用沙擺演示簡諧運動的圖象》

2.根據你的知識，你能解決函數哪些方面的問題？

學生分析：可以求這個函數的最小正周期、單調區間以及“五點法”作圖。教師追問：作出它的圖象還有其他的方法嗎？

【設計意圖】復習回顧，直接切入研究的課題。（板書課題：函數的圖象）

問題1：函數學生思考，交流，正弦函數的特殊情況。

和我們熟知的正弦函數，有什么聯系呢？

就是函數

在A=1，ω=1，=0【設計意圖】采用《用沙擺演示簡諧運動的圖象》引出函數y=Asin(ωx+φ)的圖象，體現該函數圖象與生活實際的緊密聯系,體現函數圖象在物理學上的重要性，激發學生研究該函數圖象的興趣。引導學生思考y=Asin(ωx+φ)與正弦函數的一般與特殊的關系，進而引導學生探討正弦曲線與函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的關系。

（二）建構數學 自主探究：

自主探究：由正弦曲線如何變化得到函數①問題提出：三種變換能否任意排序？

②對于你們小組提出的變換方式，你要怎樣解決你呢？ 的圖象？

【設計意圖】觀察函數解析式學生容易發現三個參數、、都發生了變化，自然恰當地提出本節的核心問題——三種變換能否任意排序呢？

問題2：由正弦函數猜想（1）猜想（2）

圖象如何變換得到函數的圖象？

【設計意圖】觀察函數解析式，容易發現參數、都發生了變化，根據已有的知識基礎，自然恰當地提出本節的核心問題：兩種變換能否任意排序，最后確定研究方向。

A、自主實驗，形成初步結論：小組合做，根據自己的興趣在兩種變換中選擇一種進行研究： 問題3：按照第一種方法由函數按照第二種方法由函數的圖象如何變換到的圖像如何變換到函數的圖象？ 的圖象？

學生投影回答，結合自己畫的函數圖像，說明變換方法。

①.把圖象。的圖象上的所有的點__左___平移 ___個單位長度，得到的②.再把標不變），得到③.再把坐標不變）得到的圖象上各點的_橫__坐標_縮短__的圖象。的圖象上所有點的_縱_坐標_伸長_的圖象。

到原來的__倍（_縱_坐

到原來的__3_倍（__橫_ 學生總結上述變換過程：相位變換 ①.把度，得到②.再把

周期變換

振幅變換

平行移動

個單位長的圖象上的所有的點 向左 的圖象。

或 向右 的圖象上各點的_橫_坐標__縮短_或_伸長_到原來的__倍（_縱_坐標不變），得到的圖象。

或_縮短的圖象。③.再把_ 的圖象上所有點的_縱_坐標_伸長_為原來的_A_倍（_橫_坐標不變）得到B、深入探究，討論分析： 預設問題：

教學的班級為普通班，根據以往的教學經驗，如果只研究一種順序，有的學生會錯誤地認為由的圖象向左

平移個單位得到的圖象，說明學生沒有真正理解函數圖象的變化是看坐標（x,y）的變化量。預想到學生會犯這個錯誤，為了讓學生更好地理解圖象變化的實質，我選擇不同的小組匯報，進而追問：為什么會有這種不同呢？原因是什么？學生們可以通過觀察坐標表格中橫坐標的變化，發現平移量。或者通過觀察圖象，發現平移量。因為在方案ω—中，先進行了橫向的伸縮，即橫坐標變為了原來的移個單位；從坐標和解析式上來看，點式，也可以得到這個結論。

和

倍，所以向左平

分別滿足兩個解析

把的圖象。

問題4：第二種變換方法，平移量是，還是，為什么？

個單位；先的圖象上所有的點__向左_平移_

_個單位長度，得到函數注意不同順序中平移量的不同。先相位變換后周期變換時，需向左平移周期變換后相位變換時，需向左平移個單位而不是個單位。平移量是由的改變量確定的。

學生總結第二種變換的規律：周期變換

相位變換

振幅變換

把y=sinωx的圖象上的所有的點 向左 個單位長度，得到y=sin(ωx+φ)的圖象。

或 向右平行移動對比兩種變換過程說明：先相位變換后周期變換平移先周期變換后相位變換平移

個單位長度。

個單位長度。

【設計意圖】使學生由正弦曲線變化得到函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象的不同方案有一個整體的認識，并在掌握圖象變化實質的基礎上，擇優選擇。

（三）知識運用，鞏固強化

練習：

1、只需把函數數的圖象。的圖象上所有點（A），可以得到

函A、橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變。

B、橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變

C、縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變。

D、縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變

2、為了得到函數A、向左平移的圖象，只需把函數的圖象上所有點（B）

個單位長度 個單位長度

B、向右平移C、向左平移

3、把函數個單位長度

D、向右平移個單位長度

圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數 的圖像，再把函數的圖象上所有點向右平移個單位，得到函數

變式：把函數 的圖象。

圖象上所有點向右平移 的圖象，再把函數

個單位長度，得到函數

圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數 的圖像。

【設計意圖】練習及變式練習是對本節課重點和難點知識的鞏固，通過學生的回答,可了解學生對于函數圖像變換的“形”、“數”思維的形成過程是否得到落實。

（四）歸納交流

1、學生談本節課的學習體會。

2、正弦函數y=sinx的圖象變換到函數y=Asin(ωx+φ)的圖象：順序可任意，平移尺度要注意。

3、數學思想：數形結合、從特殊到一般思想、化歸思想。

（五）鞏固作業

課本P49/2（寫在作業本上）,P50/1（寫在書上）

（六）學習效果評價設計 1．在學生動手實踐、觀察、思考問題的過程中，關注學生發現問題、解決問題的能力；并在進一步的學習過程中，觀察學生的類比學習能力；

2．在各組共同學習、解決問題的過程中，觀察學生合作交流、學習的能力； 3．對不同方案的對比學習中，了解學生把握事物本質的能力；

4．通過課堂活動與交流，了解學生對知識的掌握程度，通過反饋，對易錯、易混的知識點，做出啟發性的指導；

5．通過課堂小結，學生說出自己的收獲，與別人分享學習數學的體會，激發學習數學的積極性，建立自信心。

第三篇：正弦定理教學設計

教學設計

一、內容及其解析

1.內容: 正弦定理

2.解析: 《正弦定理》是普通高中課程標準實驗教科書必修5中第一章《解三角形》的學習內容，比較系統地研究了解三角形這個課題。《正弦定理》緊跟必修4（包括三角函數與平面向量）之后，可以啟發學生聯想所學知識，運用平面向量的數量積連同三角形、三角函數的其他知識作為工具，推導出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎，又是學生了解向量的工具性和知識間的相互聯系的的開端，對進一步學習任意三角形的求解、體會事物是相互聯系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。通過本節課學習，培養學生“用數學”的意識和自主、合作、探究能力。

二、目標及其解析

目標：（1）正弦定理的發現；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應用。解析：先通過直角三角形找出三邊與三角的關系，再依次對銳角三角形與鈍角三角形進行探

討，歸納總結出正弦定理，并能進行簡單的應用。

三、教學問題診斷分析

正弦定理是三角形邊角關系中最常見、最重要的兩個定理之一，它準確反映了三角形中各邊與它所對角的正弦的關系，對于它的形式、內容、證明方法和應用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學生綜合運用正弦定理和內角和定理等眾多基礎知識解決幾何問題和實際應用問題，這些知識的掌握，有助于培養分析問題和解決問題能力，所以一向為數學教育所重視。

四、教學支持條件分析

學生在初中已學過有關直角三角形的一些知識和有關任意三角形的一些知識，學生在高中已學過必修4（包括三角函數與平面向量），學生已具備初步的數學建模能力，會從簡單的實際問題中抽象出數學模型完成教學目標，是切實可行的。

五、教學過程

（一）教學基本流程

（一）創設情境，引出課題

①在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數量關系？ 學生容易想到三角函數式子：（可能還有余弦、正

a切的式子）bc sinC?1sinA?sinB?c b c

②這三個式子中都含有哪個邊長？

c

學生馬上看到，是c邊，因為 sinC?1?B C a c③那么通過這三個式子，邊長c有幾種表示方法？

abc ??

sinAsinBsinC

④得到的這個等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關系？（各邊和它所對角的正弦的比相等）⑥此關系式能不能推廣到任意三角形？

設計意圖: 以舊引新, 打破學生原有認知結構的平衡狀態, 刺激學生認知結構根據問題情境進行自我組織, 促進認知發展.從直角三角形邊角關系切入, 符合從特殊到一般的思維過程.（二）探究正弦定理

abc

?

?猜想：在任意的△ABC中, 各邊和它所對角的正弦的比相等, 即：

sinAsinBsinC

設計意圖:鼓勵學生模擬數學家的思維方式和思維過程, 大膽拓廣, 主動投入數學發現過程,發展創造性思維能力.三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，對于直角三角形，我們前面已經推導出這個關系式是成立的，那么我們現在是否需要分情況來證明此關系式？ 設計意圖:及時總結，使方向更明確，并培養學生的分類意識

①那么能否把銳角三角形轉化為直角三角形來求證？ ——可以構造直角三角形

②如何構造直角三角形？

——作高線（例如：作CD⊥AB，則出現兩個直角三角形）

ab

?③將欲證的連等式分成兩個等式證明，若先證明，sinAsinB

那么如何將A、B、a、b聯系起來？

——在兩個直角三角形Rt△BCD與Rt△ACD中，CD是公共邊： 在Rt△BCD中，CD= asinB，在Rt△ACD中，CD= bsinA

ab

??asinB?bsinA?

sinAsinBbcsinB ?sinC？ ——作高線AE⊥BC，同理可證.設計意圖:把不熟悉的問題轉化為熟悉的問題, 引導啟發學生利用已有的知識解決新的問題.c?

??若△ABC為鈍角三角形，同理可證明：

sinAsinBsinC

（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，AC＝2620m，C 求AB.(精確到1米)

解：B＝180o－A－C＝ 180o－ 48.57o －101.87o ＝29.56o0

abc

bc由?得c?bsinC?2620?sin48.57?3982 sinBsinCsinBsin29.560

abc

???2R sinAsinBsinC

正弦定理推論（1）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC

abc

B?正弦定理推論（2）sinA?，sin,sinC?

2R2R2R

正弦定理：

解決類型：（1）已知三角形的任意兩角與一邊，可求出另外一角和兩邊；

（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，可求出另外一邊和兩角。

（四）目標檢測

1．一個三角形的兩個內角分別是30和45，如果45角所對的邊長為8，那么30角所對邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

（五）小結

(1)在這節課中，學習了哪些知識？

正弦定理及其發現和證明，正弦定理的初步應用

(2)正弦定理如何表述？ a?b?c

sinAsinBsinC

（3）表達式反映了什么？

指出了任意三角形中，各邊與對應角的正弦之間的一個關系式

學案

1．1正弦定理

班級姓名學號

一、學習目標

（1）正弦定理的發現；

（2）證明正弦定理的幾何法和向量法；（3）正弦定理的簡單應用。

二、問題與例題

問題１：在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數量關系？ 問題２：這三個式子中都含有哪個邊長？？

問題３：那么通過這三個式子，邊長c有幾種表示方法？？

問題4：得到的這個等式，說明了在Rt△中，各邊、角之間存在什么關系？ 問題5：那么能否把銳角三角形轉化為直角三角形來求證？ 例１.（三）例題分析，加深理解

例題：在△ABC中，已知C＝48.57o，A＝101.87o，CAC＝2620m，求AB.(精確到1米)

三、目標檢測

1．一個三角形的兩個內角分別是30和45，如果45角所對的邊長為8，那么30角所對邊的長是2．在△ABC中，??

（１）已知A?75，B?45，c?，則a?，b?

?

?

?

?

（２）已知A?30，B?120，b?12，則a?，c?

??

3．在△ABC

中，b?

?

c?C?60,則A? ____________ ?

4．在△ABC中，b?3，c?B?30，則a=_____________ 5．在△ABC中，b?2asinB，則B?C＝________________

配餐作業

一、基礎題(A組)

1、在△ABC中，若a=，b=，A=300, 則c等于（）A、2B、C、25或D、以上結果都不對 2．在△ABC中，一定成立的等式是()A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.asinB=bsinAD.acosB=bcosA 3.若

sinAcosBcosC

??則△ABC為abc

A．等邊三角形C．有一個內角為30°的直角三角形

（）

B．等腰三角形

D．有一個內角為30°的等腰三角形

4.△ABC中,∠A、∠B的對邊分別為a,b，且∠A=60°,a?（）A．有一個解B．有兩個解C．無解5.在△ABC中，a＝26,b?4,那么滿足條件的△ABC

D．不能確定，b＝22，B＝45°，則A等于6.在△ABC中，若c?2，C?60?，a?

3，則A? 3

二、鞏固題(B組)

7.在△ABC中，B=1350，C=150，a=5，則此三角形的最大邊長為 8.在銳角△ABC中，已知A?2B，則的9.在△ABC中，已知tanA?

a

取值范圍是． b

1，tanB?，則其最長邊與最短邊的比為． 2

310.已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是．

三、提高題(C組)

11．在△ABC中，a+b=1，A=600，B=450，求a，b

12△ABC中，若sinA=2sinBcosC，sin2A=sin2B+sin2C，試判斷△ABC的形狀。

13．為了測量上海東方明珠的高度，某人站在A處測得塔尖的仰角為75.5，前進38.5m后，到達B處測得塔尖的仰角為80.0.試計算東方明珠塔的高度（精確到1m）.?

?

第四篇：《正弦定理》教學設計

《正弦定理》教學設計

2010級數學課程與教學論專業華娜學號201002101146

一、教材分析

《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節內容，也是三角形理論中的一個重要內容，與初中學習的三角形的邊和角的基本關系有密切的聯系。在此之前，學生已經學習過了正弦函數和余弦函數，知識儲備已足夠。它是后續課程中解三角形的理論依據，也是解決實際生活中許多測量問題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來學習解三角形打下堅實基礎，并能在實際應用中靈活變通。

二、教學目標

根據上述教材內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征及原有知識水平，制定如下教學目標：

知識目標：理解并掌握正弦定理的證明，運用正弦定理解三角形。

能力目標：探索正弦定理的證明過程，用歸納法得出結論，并能掌握多種證明方

法。

情感目標：通過推導得出正弦定理，讓學生感受數學公式的整潔對稱美和數學的實際應用價值。

三、教學重難點

教學重點：正弦定理的內容，正弦定理的證明及基本應用。

教學難點：正弦定理的探索及證明，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷

解的個數。

四、教法分析

依據本節課內容的特點，學生的認識規律，本節知識遵循以教師為主導，以學生為主體的指導思想，采用與學生共同探索的教學方法，命題教學的發生型模式，以問題實際為參照對象，激發學生學習數學的好奇心和求知欲，讓學生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導，并逐步得到深化，并且運用例題和習題來強化內容的掌握，突破重難點。即指導學生掌握“觀察——猜想——證明——應用”這一思維方法。學生采用自主式、合作式、探討式的學習方法，這樣能使學生積極參與數學學習活動，培養學生的合作意識和探究精神。

五、教學過程

本節知識教學采用發生型模式：

1、問題情境

有一個旅游景點，為了吸引更多的游客，想在風景區兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B

300。求需要建多長的索道？

可將問題數學符號化，抽象成數學圖形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

此題可運用做輔助線BC邊上的高來間接求解得出。

提問：有沒有根據已提供的數據，直接一步就能解出來的方法？

思考：我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系。那我們能不能得到關于邊、角關系準確量化的表示呢？

2、歸納命題

我們從特殊的三角形

在如圖Rt三角形ABC

a

?

sinA, c

bc

?sin

B

.?c.所以，asinA

?

bsinB

又sinC?1,所以

csinC

asinA

?

bsinB

?

.在直角三角形中，得出這一關系。那么，對于一般的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？

3、命題證明

首先考慮銳角三角形，要找到邊與角正弦之間的關系，就要找到橋梁，那就是構造出直角三角形——作高線。

A

作AB上的高CD,根據三角函數的定義，CD?asinB,CD?bsinA ,所以，asinB?bsinA.同理，在?ABC中，bsinB

?

csinC

.于是在銳角三角形中，asinA

?

bsinB

?

csinC

也成立。

當?ABC是鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？

C

DAcB

由學生類比銳角三角形的證明方法，同樣可以得出。于是，從以上的討論和探究，得出定理：

正弦定理（laws of sines）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

asinA

?

?

siBnb

csCin

分析此關系式的形式和結構，一方面便于學生理解和識記，另一方面，讓學生去

感受數學的間接美和對稱美。

正弦定理描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。我們把三角形的三邊和三個角叫做三角形的元素，已知幾個元素求其他元素的過程叫解三角形。

分析正弦定理的應用范圍，定理形式可知，如果已知三角形的兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對的角，都可以解出這個三角形。

4、命題應用

講解書本上兩個例題：

例1 在△ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm.解三角形。例2 在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40°，解三角形（角精確到10，邊長精確到1cm）。

例1簡單，結果為唯一解。

總結：如果已知三角形兩角兩角所夾的邊，以及已知兩角和其中一角的對邊，都可利用正弦定理來解三角形。

例2較難，使學生明確，利用正弦定理求角有兩種可能。

要求學生熟悉掌握已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。

接著回到課堂引入未解決的實際問題。

在△ABC中，已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？

B

A

在已經學習過正弦定理和例1例2的運用之后，此題就顯得非常簡單。接著，課堂練習，讓學習自己運用正弦定理解題。

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）：（1）A=45°，C=30°，c=10cm（2）A=60°，B=45°，c=20cm

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）：（1）a=20cm，b=11cm，B=30°（2）c=54cm，b=39cm，C=115°

學生板演，老師巡視，及時發現問題，并解答。

5、形成命題域、命題系

開始我們運用分類討論平面幾何三角形的情況證明了正弦定理。那么正弦定理的證明還有沒有其他的證法？學生可以自主思考，也可以合作探究。

學生思考出來就更好，如果沒有思考出來，提示兩種方法（1）幾何法，作三角形的外接圓；（2）向量法。

先讓學生思考。結束后，重點和學生一起討論幾何法，作外接圓的證法。一方面是讓學生體會到證明方法的多樣，進行發散性思維，但更主要的是為了得出

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R。即得正弦定理中這一比值等于外接圓半徑的2C

倍的結

論，讓學生能更深刻地理解到這一定理的，也方便以后的解題。而提到的向量法，則讓學生課后自己思考，可以查閱資料證明。

六、課堂小結與反思

這節課我們學到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的適應范圍？正弦定理的證明方法？）

1、我們從直角、銳角、鈍角三類三角形出發，運用分類的方法通過猜想、證明得到了正弦定理

asinA

?

bsinB

?

csinC，它揭示了任意三角形邊和其所對的角的正弦值的關系。

2、運用正弦定理解決了我們所要解決的實際問題。在解三角形中，若已知兩角和一邊，或者已知兩邊和其中一邊所對的角可以用正弦定理來解決。但在第二種情況下，運用正弦定理需要考慮多解的情況。

3、正弦定理的證明還可以運用向量法和作三角形的外接圓來證明。其中通過作外接圓可以得到

asinA

?

bsinB

?

csinC

?2R.這是對正弦定理的補充。

七、作業布置

教材第10頁，習題1.1，A組第一題、第二題。

第五篇：正弦定理教學設計

《正弦定理》教學設計

茂名市實驗中學張衛兵

一、教學目標分析

1、知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

2、過程與方法：讓學生從實際問題出發，結合初中學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發現并證明正弦定理；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入地理解定理及其作用。

3、情感、態度與價值觀：通過正弦定理的發現與證明過程體驗數學的探索性與創造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生的好奇心與求知欲并培養學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態度和樂于探索、勇于創新的精神。

二、教學重點、難點分析

重點：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，發現、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點：正弦定理的發現并證明過程以及已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數的判斷。

三、教學基本流程

1、創設問題情境，引出問題：在三角形中，已知兩角以及一邊，如何求出另外一邊；

2、結合初中學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發現并證明正弦定理；

3、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的類型；

4、應用正弦定理解三角形。

四、教學情境設計

五、教學研究

1、新課標倡導積極主動、勇于探索的學習方式，使學生在自主探究的過程中提高數學思維能力。本設計從生活中的實際問題出發創設了一系列數學問題情境來引導學生質疑、思考，讓學生在“疑問”、“好奇”、“解難”中探究學習，激發了學生的學習興趣，調動了學生自主學習的積極性，從而有效地培養學生了的數學創新思維。

2、新課標強調數學教學要注重“過程”，要使學生學習數學的過程成為在教師的引導下進行“再創造”過程。本設計展示了一個先從特殊的直角三角形中正弦的定義出發探索?A的正弦與?B的正弦的關系從而發現正弦定理，再將一般的三角形與直角三角形聯系起來（在一般的三角形中構造直角三角形）進而在一般的三角形發現正弦定理的過程，使學生不但體會到探索新知的方法而且體驗到了發現的樂趣，起到了良好的教學效果。

3、新課標強調要發展學生的應用意識，增強學生應用數學解決實際問題的能力。本設計以一個實際問題出發引入正弦定理并讓學生在練習3中解決這一問題，這不但使學生體會到了數學的作用，而且使學生的數學應用意識和應用數學解決實際問題的能力得到了進一步的提高。