第一篇：2.5.1 平面幾何中的向量方法(教案)

2.5 平面向量應用舉例 2.5.1 平面幾何中的向量方法

教學目標

1.通過平行四邊形這個幾何模型,歸納總結出用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”.2.明了平面幾何圖形中的有關性質,如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數量積表示.教學重點:用向量方法解決實際問題的基本方法;向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學難點:如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.教學過程 導入新課

前言：向量的概念和運算都有著明確的物理背景和幾何背景,當向量和平面坐標系結合后,向量的運算就完全可以轉化為代數運算.這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來了極大的方便.本節專門研究平面幾何中的向量方法.新知探究 提出問題

①平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型,如圖1,你能觀察、發現并猜想出平行四邊形對角線的長度與兩鄰邊長度之間有什么關系嗎？

②你能利用所學知識證明你的猜想嗎？能利用所學的向量方法證明嗎？試一試可用哪些方法? ③你能總結一下利用平面向量解決平面幾何問題的基本思路嗎？

圖1

圖2

證明:方法一:如圖2.作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,則Rt△ADF≌Rt△BCE.∴AD=BC,AF=BE.由于AC AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2=AB2-2AB·BE+BC2.∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).方法二:如圖3.以AB所在直線為x軸,A為坐標原點建立直角坐標系.設B(a,0),D(b,c),則C(a+b,c).∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2, |BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”,即

(1)建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.應用示例

圖3

例1 如圖4, 解:如圖4, ABCD中,點E、F分別是AD、DC邊的中點,BE、BF分別與AC交于R、T兩點,你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎? 設AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,則AC=a+b.由于AR與AC共線,所以我們設r=n(a+b),n∈R.又因為EB=AB-AE=a-圖4

1b, 21b).2ER與EB共線,所以我們設ER=mEB=m(a-因為AR?AE?ER,所以r=即(n-m)a+(n+

111b+m(a-b).因此n(a+b)=b+m(a-b), 222m?1)b=0.由于向量a、b不共線,要使上式為0,必須 2?n?m?0,1?解得n=m=.?m?13n??0.?2?所以AR=變式訓練 111AC,同理TC=AC.于是RT=AC.所以AR=RT=TC.333

圖5

如圖5,AD、BE、CF是△ABC的三條高.求證:AD、BE、CF相交于一點.證明:設BE、CF相交于H,并設AB=b,AC=c,AH=h，則BH=h-b,CH=h-c,BC=c-b.因為BH⊥AC,CH⊥AB, 所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0, 即(h-b)·c=(h-c)·b.化簡得h·(c-b)=0.所以AH⊥BC.所以AH與AD共線, 即AD、BE、CF相交于一點H.課堂小結：用向量解決平面問題的三步曲：

課后作業：

1.有一邊長為1的正方形ABCD,設AB=a,BC=b,AC=c,則|a-b+c|=_______________.2.已知|a|=2,|b|=,則使λb-a與a垂直的λ=____________.2,a與b的夾角為45°3.在等邊△ABC中,AB=a,BC=b,CA=c,且|a|=1,則a·b+b·c+c·a=____________.4.已知四邊形ABCD滿足|AB|2+|BC|2=|AD|2+|DC|2,M為對角線AC的中點.求證:|MB|=|MD|.5.如圖6,已知AC為⊙O的一條直徑,∠ABC是圓周角.求證:∠ABC=90°.圖6

第二篇：2.5.1平面幾何中的向量方法(教學設計)

SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

2.5.1平面幾何中的向量方法（教學設計）

[教學目標]

一、知識與能力：

1.運用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.二、過程與方法：

經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；體會向量是一種處理幾何問題的工具；發展運算能力和解決實際問題的能力.三、情感、態度與價值觀：

培養對現實世界中的數學現象的好奇心，學習從數學角度發現和提出問題；樹立學科之間相互聯系、相互促進的辯證唯物主義觀點.[教學重點] 運用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.[教學難點]

運用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題

一、復習回顧 1． 向量的概念；

2． 向量的表示方法：幾何表示、字母表示； 3． 零向量、單位向量、平行向量的概念；

4． 在不改變長度和方向的前提下，向量可以在空間自由移動； 5． 相等向量：長度（模）相等且方向相同的向量； 6． 共線向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7． 要熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，并能做出已知兩個向量的和向量； 8． 要理解向量加法的交換律和結合律，能說出這兩個向量運算律的幾何意義； 9． 理解向量減法的意義；能作出兩個向量的差向量.10． 理解實數與向量的積的意義，能說出實數與一個向量的積這與個向量的模及方向間的關系； 11． 能說出實數與向量的積的三條運算律，并會運用它們進行計算； 12． 能表述一個向量與非零向量共線的充要條件； 13． 會表示與非零向量共線的向量，會判斷兩個向量共線.二、師生互動，新課講解

由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖像的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來.因此可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.例1： 證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：設四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，且AO?OC，BO?OD.AB?12AC?1112DB，DC?2DB?2AC,?AB?DC, 即AB?DC且AB//DC所以四邊形ABCD是平行四邊形，即對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.變式訓練1：已知DE是?ABC的中位線，用向量的方法證明：DE?12BC，且DE//BC.證明：易知AD?12AB,AE?12AC,所以DE?AE?AD?12?AC?AB??12BC.即DE?12BC，又D不在BC上，所以DE//BC.例2： 用向量方法證明：三角形三條高線交于一點.證明：設H是高線BE、CF的交點，且設AB?a,AC?b,AH?h則有BH?h?a,CH?h?b,BC?b?a,BH?AC,CH?AB,??h?a?·b??h?b?·a?0

化簡得，h·?b?a??0?AH?BC所以，三角形三條高線交于一點.變式訓練2：證明勾股定理，在Rt?ABC中，AC?BC，BC?a，AC?b，AB?c，則c2?b2?a2.證明：由AB?AC?CB，得BAB·AB?AC·AC?2AC CB?CBCB即|AB|2?|AC|2?0?|CB|2，故c2?b2?a2.CA

例3：（課本P109例1）已知平行四邊形ABCD的對角線為AC、BD.求證：|AC|2?|DB|2?2?|AB|2?|AD|2? 2

SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

證明：由|AC|2?AC?AB?AD2??2?|AB|2?|AD|2?2AB AD|DB|2?DB?AB?AD2,??2

?|AB|2?|AD|2?2AB AD得|AC|2?|DB|2?2|AB|2?|AD|2.??變式訓練3：用向量方法證明：對角線相等的平行四邊形是矩形.解：如圖，四邊形ABCD對角線AC、BD交于點O，AB?AO?OB,AD?AO?OD,?AB·AD?AO?OB·AO?OD2DOC????

A?AO?AO·OD?OB·AO?OB·OD?0?AB?AD,即AB?AD，?四邊形ABCD是矩形.B

三、課堂小結，鞏固反思：

向量是溝通數與形的十分有效的工具，利用向量處理平面幾何問題，最重要的是要先在平面圖形中尋找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通過向量的運算，達到快捷解題的效果.四、課時必記：

五、分層作業： A組：

1、（課本P118復習參考題 A組：NO：5）

2、（課本P118復習參考題 A組：NO：6）

3、（課本P118復習參考題 A組：NO：7）

4、（課本P118復習參考題 A組：NO：8）

5、（課本P118復習參考題 A組：NO：9）B組：

1、（課本P113習題2.5 A組NO：1）

2、（課本P113習題2.5 A組NO：2）SCH高中數學（南極數學）同步教學設計（人教A版必修4第二章《平面向量》）

3、用向量方法證明：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.證明：如圖平行四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，AB?AO?OB,BC?BO?OC|AB|2??AO?OB?2?|AO|2?2AO OB?OB2?|AO2?OB2

|BC|2??BO?OC?2?|BO|2?2BO OC?|OC|2?|BO|2?|OC|2,?|AB|?|BC|，?四邊形ABCD是菱形.C組：

DCOAB4

第三篇：【教案】3.2立體幾何中的向量方法

3.2.2向量法解決空間角問題

（習題課）

（1）、三維目標

1．知識與能力：向量運算在幾何計算中的應用．培養學生的空間想象能力和運算能力。

2．過程與方法：掌握利用向量運算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題． 3．情感目標

通過師生、生生的合作學習，增強學生團隊協作能力的培養，增強主動與他人合作交流的意識.（2）教學重點：向量運算在解決空間角中的應用．（3）教學難點：向量運算在解決空間角中的應用．21 新課導入設計

一、復習引入

1、兩條異面直線所成的角的定義及范圍？

2、直線與平面所成角的定義及范圍？

3、二面角定義及范圍？

（和學生一起回憶定義，并且通過直線的方向向量及平面的法向量復習線線角，線面角及面面角的公式）

二、習題展示：教師給出正方體這個載體，由學生在正方體中構造空間角，展示自編題目，并由學生解答完成。

1、展示線線角習題：

（設計意圖：使學生清楚如何將求兩條異面直線所成角轉化成求兩個向量所成角，并且會用cos?=|cos＜a,b＞|＝|a?b|解決問題，但要注意異面直線所成角的范圍與

a?b兩個向量所成角范圍的不同）

2、展示線面角習題；（設計意圖：使學生能將求線面角轉化為求線線角，即求斜線與平面的法向量所成的角，進而轉化為求兩個向量所成角，這里關注學生在講解過程中是否能講清楚線面角的正弦即是線線角的余弦，即sin??cosAB,n?ABnABn）

3、展示面面角習題；（設計意圖；使學生能將二面角的平面角轉化為線線角，即轉化為求平面的法向量所成的角，進而使問題又歸為

第四篇：高中數學必修4人教A教案2.5.1平面幾何中的向量方法2.5.2向量在物理中的應用舉例

2.5.1平面幾何中的向量方法

教學目的：

1.通過平行四邊形這個幾何模型,歸納總結出用向量方法解決平面幾何的問題的”三步曲”；

2.明確平面幾何圖形中的有關性質,如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運算及數量積表示.； 3.讓學生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優越性.教學重點：用向量方法解決實際問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”.教學難點：如何將幾何等實際問題化歸為向量問題.教學過程：

一、復習引入：

1.兩個向量的數量積： a?b? |a||b|cos?.2.平面兩向量數量積的坐標表示: a?b?x1x2?y1y2.3.向量平行與垂直的判定: a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.平面內兩點間的距離公式：

|AB|?5.求模：

(x1?x2)2?(y1?y2)2

a?a?a

a?

二、講解新課： 例

x2?y a?(x1?x2)2?(y1?y2)2

1.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型.如圖，AC? AB?AD,DB? AB?AD,你能發現平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系嗎？

DABC

思考1：

如果不用向量方法，你能證明上述結論嗎？

練習1.已知AC為⊙O的一條直徑，∠ABC為圓周角.求證：∠ABC＝90o.（用向量方法證明）

思考2：

運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？

用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.例2．如圖，□ ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發現AR、RT、TC之間的關系嗎？ FD

E RT

A B

三、課堂小結

用向量方法解決平面幾何的“三步曲”：

(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；

(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.四、課后作業

習題2.5 A組第1題

C 2

2.5.2向量在物理中的應用舉例

教學目的：

1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關問題 的步驟，明了向量在物理中應用的基本題型，進一步加深對所學向量的概念和向量運算的認識；

2.通過對具體問題的探究解決，進一步培養學生的數學應用意識，提高應用數學的能力，體會 數學在現實生活中的作用.教學重點：運用向量的有關知識對物理中的力的作用、速度分解進行相關分析來計算.教學難點：將物理中有關矢量的問題轉化為數學中向量的問題.教學過程：

一、復習引入： 1.講解上節作業題.已知A(1,0),直線l:y?2x?6,點R是直線l上的一點,若RA?2AP,求點P的軌跡方程.2.你能掌握物理中的哪些矢量？向量運算的三角形法則與平行四邊形法則是什么？

二、講解新課：

例1.在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力.你能從數學的角度解釋這種形象嗎？

探究1.設兩人拉力分別為F1，F2，其夾角為?，旅行包的重力為G。(1)?為何值時，|F1|最小，最小值是多少? 3

(2)| F1|能等于|G|嗎?為什么? 探究2: 你能總結用向量解決物理問題的一般步驟嗎? 用向量解決物理問題的一般步驟是：

(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；

(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態，解決相關物理現象.例2.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝500 m，一艘船從A處出發到河對岸.已知船的速度|v1|＝10 km/h，水流速度|v2|＝2 km/h，問行駛航程最短時，所用時間是多少（精確到0.1 min）？

思考

3、: “行駛最短航程”是什么意思？怎樣才能使航程最短？

三、課堂小結

向量解決物理問題的一般步驟:(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；

(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態，解決相關物理現象.四、課后作業

習題2.5 A組第4題

第五篇：平面幾何常用證明方法

平面幾何常見證明方法

1,分析法

分析法是從命題的結論入手，先承認它是正確的，執果索因，尋求結論正確的條件，這樣一步一步逆而推之，直到與題設會合，于是就得出了由題設通往結論的思維過程。

分析法主要應用與的幾何問題特點主要是：從證明推理的時候出現多個方向，不知道哪個方向能夠成功推導到結論，也就是說從正向推導比較迷茫的時候，比較適合用分析法來解決這些問題。

例1 如圖2.1.1，四邊形ABCD的一條對角線BD平行于兩對邊之交點的連線EF，求證：AC平分BD。[1]

證明：設AC交BD于M，交EF于N

BMMD?，欲證BM?MD ENNF作方向猜測，只需證EN?NF或 BMEN??1即可。MDNF則但我們意識到這不容易證明，（圖2.1.1）

BMMDBMEN??即可。而，從而MDBMMDNFMDENMDBMMDMCBM????只需證即可，又只需證即可。而，故得證。BMNFENNFENCNNF再作方向猜測，欲證BM?MD，只需證明2 綜合法

綜合法則是由命題的題設條件入手，由因導果，通過一系列的正確推理，逐步靠近目標，最終獲得結論。再從已知條件著手，根據已知的定義、公式、定理，逐步推導出結論。綜合法和分析法有些不同的是分析法的思路從結論開始，綜合法的思路從題設開始。

例2如圖2.2.1設D是?ABC底邊BC上任一點，則AD?BC?AB?CD?AC?BD?BC?BD?CD。[1] 證明：在?ADB和?ABC中 222AD2?BD2?AB cos?ADB?

2AD?BDAD2?CD2?AC2

cos?ADC?

2AD?BD

由cos?ADB??cos?ADC，所以

(圖2.2.1)AD2?BD2?AB2AD2?CD2?AC2??

2AD?BD2AD?BD

有AD2(BD?CD)?AB2?CD?AC2?BD?BD?CD(BD?CD)

將BD?CD?BC代入上式則有

AD?BC?AB?CD?AC?BD?BC?BD?CD，證畢。

在具體證題時，這兩種方法可單獨運用，也可配合運用，在分析中有綜合，在綜合中有分析，以進行交叉使用。由于篇幅有限在此僅歸納方法，并不做詳細介紹。

但是有些命題往往不易甚至不能直接證明，這時，不妨證明它的等效命題，以間接地達到目標，這種證題思路就稱為間接式思路。我們常運用的反證法是一種典型的用間接式思路證題的方法。2223反證法

具體地說，在證明一個命題時，如正面不易入手，就要從命題結論的反面入手，先假設結論的反面成立，如果由此假設進行嚴格推理，推導出的結果與已知條件、公式、定理、定義、假設等的其中一個相矛盾，或者推出兩個相互矛盾的結果，就證明了“結論反面成立”的假設是錯誤的，從而得出結論的正面成立，這種證題方法就叫做反證法。當結論的反面只有一個時，否定了這一個便完成證明，這種較單純的反證法又叫做歸謬法;而當結論的反面有若干個時，就必須駁倒其中的每一個，這種較繁瑣的反證法又稱為窮舉法。

反證法證題通常有如下三個步驟:

(1)反設。作出與結論相反的假設，通常稱這種假設為反證假設。

(2)歸謬。利用反證假設和已知條件，進行符合邏輯的推理，推出與某個已知條件、公理、定義等相矛盾的結果。根據矛盾律，在推理和論證的過程中，在同時間、同關系下，不能對同一對象作出兩個相反的論斷，可知反證假設不成立。

(3)得出結論。根據排除率，即在同一論證過程中，命題C與命題非C有且僅有一個是正確的，可知原結論成立。

例3 如圖2.3.1已知：在四邊形ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點，1(AB?CD)。

2求證：AD∥BC

且MN?

證明：假設AD與BC不平行，連結ABD，并設P

是BD的中點，再連結MP、PN。在?ABD中

由BM?MA，BP?PD（圖2.3.1）

則MP1AD，同理可證PN2MP?PN?1BC 21(AB?CD)

① 從而

這時，BD的中點不在MN上

若不然，則由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC與

假設AD與BC不平行矛盾，于是M、P、N三點不共線。

從而

MP?PN?MN

② 1

1由①、②得MN?(AB?CD)，這與已知條件MN?(AB?CD)相矛盾，2

2故假設不成立，所以AD∥BC，證畢。

在幾何中需要證明符合某種條件的點、線、面只有一個時，稱為“唯一性”問題。

例4 過平面?上的點A的直線a??，求證：a是唯一的。

證明：假設a不是唯一的，則過A至少還有一條直線b，b?? 由a、b是相交直線，則a、b可以確定一個平面?。設?和?相交于過點A的直線c。

由

a??，b??，有

a?c，b?c。

這樣在平面?內，過點A就有兩條直線垂直于c，這與定理產生矛盾。所以，a是唯一的，證畢。

關于唯一性的問題，在幾何中有，在代數、三角等學科中也有。這類題目用直接證法證明相當困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時比同一法更方便。

另外，幾何中有一類問題，要證明某個圖形不可能有某種性質或證明具有某種性質的圖形不存在。它們的結論命題都是以否定形式出現的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個圖形具有某種性質或具有某種性質的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。

例5 求證：拋物線沒有漸近線。

證明：設拋物線的方程是y2?2px(p?0)。

假設拋物有漸近線，漸近線的方程是y?ax?b，易知a、b都不為0。因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組

(1)?y2?2px ?

(2)?y?ax?b的兩組解的倒數都是0。

將（2）代入（1），得

a2x2?2(ab?p)x?b2?0

(3)

設x1、x2是（3）的兩個根，由韋達定理，可知

2(ab?p)b2x1?x2??，x1?x2?2 2aa則

11x1?x2?2(ab?p)????0

2x1x2x1x2b(4)

111a2????0，(5)x1x2x1x2b2由（4）、（5），可推得p?0，這于假設p?0矛盾。

所以，拋物線沒有漸近線，證畢。

關于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結論是以否定形式出現，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。

在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質的圖形至少有一個或不多于幾個。由于這類問題能找到直接論證的理論根據很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結論這個新的假設，就可以推出更多的結論，容易使命題獲證。

例6 已知：四邊形ABCD中，對角線AC?BD?1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于

2。2證明：假設四邊形的邊都小于

2，由于四邊形中至少有一個角不是鈍角（這一結論也20可用反證法證明），不妨設?A?90，根據余弦定理，得

BD2?AD2?AB2?2AD?AB?cosA，有

BD2?AD2?AB2，即

BD?AD2?AB2?(這與已知四邊形BD?1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于

222)?()2?1。222，證畢。2在證題過程中，不論是直接思路還是間接思路，都要進行一系列正確的推理，需要解題者對撲朔迷離的表象進行由表及里、去偽存真地分析、加工和改造，并從不同方向探索，以在廣闊的范圍內選擇思路，從而及時糾正嘗試中的錯誤，最后獲得命題的證明。