第一篇：初三數學校本課程教案-生活中的數學

校本課程3生活中的數學（儲蓄、保險與納稅）

儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數學問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增強理財的自我保護意識和處理簡單財務問題的數學能力．

1．儲蓄

銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內的利息對本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經×存期)．

如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 設年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．

以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金．相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復利法，即利息再生利息．目前我國銀行存款多數實行的是單利法．不過規定存款的年限越長利率也越高．例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22．1所示．

用復利法計算本利和，如果設本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,…，sn，則

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，……，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？

解 按表22．1的利率計算．

(1)連續存五個1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一個2年期，再連續存三個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先連續存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一個3年期，再轉存一個2年期，則5年后的本利和為

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一個3年期，然后再連續存二個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一個5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規定的年利率已經充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．

2．保險

保險是現代社會必不可少的一種生活、生命和財產保護的金融事業．例如，火災保險就是由于火災所引起損失的保險，人壽保險是由于人身意外傷害或養老的保險，等等．下面舉兩個簡單的實例．

例3 假設一個小城鎮過去10年中，發生火災情況如表22．2所示．

試問：(1)設想平均每年在1000家中燒掉幾家？

(2)如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費保險公司才不虧本？

解(1)因為

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．

(2)投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費．

例4 財產保險是常見的保險．假定A種財產保險是每投保1000元財產，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續保需重新交費．B種財產保險是按儲蓄方式，每1000元財產保險交儲蓄金25元，保險一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費．今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年．試問兄弟二人誰投的保險更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)

解 哥哥投保8萬元A種財產保險，需交保險費

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8萬元B種財產保險，按每1000元交25元保險儲蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保險更合算些．

3．納稅

納稅是每個公民的義務，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家規定納稅外，個人勞務增收也應納稅．現行勞務報酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務報酬不超過1000元的(包括1000元)，預扣率為3％，全額計稅．

(2)每次取得勞務報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

(3)每次取得勞務報酬4000元以上的，減除20％的費用后，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

每次取得勞務報酬超過20000元的(暫略)．

由(1)，(2)，(3)的規定，我們如果設個人每次勞務報酬為x元，y為相應的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關于勞務報酬納稅的分段函數：

例5 小王和小張兩人一次共取得勞務報酬10000元，已知小王的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務報酬多少元？

解 根據勞務報酬所得稅計算方法(見函數①)，從已知條件分析可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

由①得y=10000-x，將之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

則 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小張收入3000元．

例6 如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是

其中y(x)表示稿費為x元應繳納的稅額．

那么若小紅的爸爸取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到6216元，問這筆稿費是多少元？

解 設這筆稿費為x元，由于x＞4000，所以，根據相應的納稅規定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化簡、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 這筆稿費是7000元．

練習八

1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉存下一年，共續存10年；

(2)先連續存三個3年期，9年后將本利和轉存1年期，合計共存10年；

(3)連續存二個5年期．

2．李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問這種債券的年利率是多少？

3．王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這筆稿費是多少元？

4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？

第二篇：初三數學校本課程教案-中外著名數學家

校本課程4 中外著名數學家

1、韋達（1540-1603），法國數學家。

年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發現了方程根與分數的關系，韋達在歐洲被尊稱為“代數學之父”。1579年，韋達出版《應用于三角形的數學定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法國數學家、物理學家和哲學家．

16歲的時候就發現了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻．19歲時，發明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機．他對連續不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對微積分學的建立起到了積極的作用．帕斯卡對數學的最大貢獻是創立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應用了算術三角形（即二項式定理系數表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數規律以及這個三角形的構造及其許多有趣的性質。帕斯卡在物理學方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉人書》對法國散文的發展產生了重要的影響。

3、在數學史上，很難再找到如此年輕而如此有創見的數學家。他就是出生在法國的伽羅華（1811——1832）

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關于《五次方程代數解法》這個世界數學難題的論文，最先提出了近代數學的一個基本概念——“群”。可是這篇論文被法國科學院一位目空一切的數學家丟失了。次年，他又寫了幾篇數學論文送交法國科學院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡述，寄往法國科學，他去信尖銳地提醒權威們：“第一，不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學生，”而“預先決定我對這個問題無能為力。”在這封咄咄逼人的書信面前，有兩位數學家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候。”在決斗前夜，他給友人寫了著名的“科學遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的。”

他的預言成為現實，那是在三十八年他的六十頁厚的論文終于出版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基 人。

4、劉 徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產．

《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創造性的貢獻．他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表示無理數的立方根．在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術”，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作．

《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．

5、賈 憲

賈憲，中國古代北宋時期杰出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數導）均已失傳。

他的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性，這個方法的提出要比歐洲數學家霍納的結論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。早年在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的《數書九章》。《數書九章》全書凡18卷，81題，分為九大類。其最重要的數學成就----“大衍總數術”（一次同余組解法）與“正負開方術“(高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法。“天元術”與現代代數中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某“，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步數學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算術啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）．

9、祖沖之

祖沖之（公元429～500年）祖籍是現今河北省淶源縣，他是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關于圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數都是π的漸近分數。

10、祖 暅

祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀可謂祖暅對世界杰出的貢獻。

11、楊輝

楊輝，中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多。

他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續古摘奇算法》二卷（1275年）。

楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發展，有的還編成了歌決，如九歸口決。

他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的”縱橫圖“及有關的構造方法，同時”垛積術“是楊輝繼沈括”隙積術“后，關于高階等差級數的研究。楊輝在”纂類“中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。

他非常重視數學教育的普及和發展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的”習算綱目“是中國數學教育史上的重要文獻。

12、趙 爽

趙爽，三國時期東吳的數學家。曾注《周髀算經》，他所作的《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字，并附有云幅插圖（已失傳），這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果，最早給出并證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題，他的證明主要是依據幾何圖形面積的換算關系。

趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程(其中a>0,A>0)的求根公式

在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了”重差術"的證明。（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）。

13、華羅庚

華羅庚，中國現代數學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業之后，在上海中華職業學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數學，1930年在《科學》上發表了關于代數方程式解法的文章，受到專家重視，被邀到清華大學工作，開始了數論的研究，1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年應蘇聯普林斯頓高等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執教。1948年始，他為伊利諾伊大學教授。

1924年金壇中學初中畢業，后刻苦自學。1930年后在清華大學任教。1936年赴英國劍橋大學訪問、學習。1938年回國后任西南聯合大學教授。1946年赴美國，任普林斯頓數學研究所研究員、普林斯頓大學和伊利諾斯大學教授，1950年回國。歷任清華大學教授，中國科學院數學研究所、應用數學研究所所長、名譽所長，中國數學學會理事長、名譽理事長，全國數學競賽委員會主任，美國國家科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科學院物理學數學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術大學數學系主任、副校長，中國科協副主席，國務院學位委員會委員等職。曾任一至六屆全國人大常務委員，六屆全國政協副主席。曾被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學位。主要從事解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多復變函數論、偏微分方程、高維數值積 分等領域的研究與教授工作并取得突出成就。40年代，解決了高斯完整三角和的估計這 一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結果在數論中有著廣泛的應用）；對Ｇ.Ｈ.哈代與Ｊ.Ｅ.李特爾伍德關于華林問題及Ｅ.賴特關于塔里問題的結果作了重大的改進，至 今仍是最佳紀錄。代數方面，證明了歷史長久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規子體一定包含在它的中心之中這個結果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉 當-布饒爾-華定理。其專著《堆壘素數論》系統地總結、發展與改進了哈代與李特爾伍 德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發表40余年來其主要結果仍居世界領先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經典數論著作之 一。其專著《多個復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式。這項工作在調和分析、復分析、微分方程等研究中有著廣泛深入的影響，曾獲中國自然科學獎一等 獎。倡導應用數學與計算機的研制，曾出版《統籌方法平話》、《優選學》等多部著作 并在中國推廣應用。與王元教授合作在近代數論方法應用研究方面獲重要成果，被稱為 “華-王方法”。在發展數學教育和科學普及方面做出了重要貢獻。發表研究論文200多篇，并有專著和科普性著作數十種。

14、陳景潤

數學家，中國科學院院士。1933 年5月22日生于福建福州。1953年畢業于廈門大學 數學系。1957年進入中國科學院數學研究所并在華羅庚教授指導下從事數論方面的研究。歷任中國科學院數學研究所研究員、所學術委員會委員兼貴陽民族學院、河南大學、青島大學、華中工學院、福建師范大學等校教授，國家科委數學學科組成員，《數學季刊》主編等職。主要從事解析數論方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得國 際領先的成果。這一成果國際上譽為“陳氏定理”，受到廣泛引用。這項工作，使之與王 元教授、潘承洞教授共同獲得1978年國家自然科學獎一等獎。其后對上述定理又作了改進，并于1979年初完成論文《算術級數中的最小素數》，將最小素數從原有的80推進到 16，受到國際數學界好評。對組合數學與現代經濟管理、科學實驗、尖端技術、人類生活密切關系等問題也作了研究。發表研究論文70余篇，并有《數學趣味談》、《組合 數學》等著作。

15、我們的希望是在21世紀看見中國成為數學大國。”——陳省身 2004年12月3日，國際數學大師、中科院外籍院士陳省身，在天津病逝．享年93歲．陳省身，1911年10月26日生于浙江嘉興．少年時就喜愛數學，覺得數學既有趣又較容易，并且喜歡獨立思考，自主發展，常常“自己主動去看書，不是老師指定什么參考書才去看”．陳省身1927年進入南開大學數學系，該系的姜立夫教授對陳省身影響很大．在南開大學學習期間，他還為姜立夫當助教．1930年畢業于南開大學，1931年考入清華大學研究院，成為中國國內最早的數學研究生之一．在孫光遠博士指導下，發表了第—篇研究論文，內容是關于射影微分幾何的．1932年4月應邀來華講學的漢堡大學教授布拉希克對陳省身影響也不小，使他確定了以微分幾何為以后的研究方向．1934年，他畢業于清華大學研究院，同年，得到漢堡大學的獎學金，赴布拉希克所在的漢堡大學數學系留學．在布拉希克研究室他完成了博士論文，研究的是嘉當方法在微分幾何中的應用．1936年獲得博土學位．從漢堡大學畢業之后，他來到巴黎．1936年至1937年間在法國幾何學大師E?嘉當那里從事研究．E?嘉當每兩個星期約陳省身去他家里談一次，每次一小時．“聽君一席話，勝讀十年書．”大師面對面的指導，使陳省身學到了老師的數學語言及思維方式，終身受益．陳省身數十年后回憶這段緊張而愉快的時光時說，“年輕人做學問應該去找這方面最好的人”．

陳省身先后擔任我國西南聯大教授，美國普林斯頓高等研究所研究員，芝加哥大學、伯克利加州大學終身教授等，是美國國家數學研究所、南開大學數學研究所的創始所長．陳省身的數學工作范圍極廣，包括微分幾何、拓撲學、微分方程、代數、幾何、李群和幾何學等多方面．他是創立現代微分幾何學的大師．早在40年代，他結合微分幾何與拓撲學的方法，完成了黎曼流形的高斯—博內一般形式和埃爾米特流形的示性類論．他首次應用纖維叢概念于微分幾何的研究，引進了后來通稱的陳氏示性類．為大范圍微分幾何提供了不可缺少的工具．他引近的一些概念、方法和工具，已遠遠超過微分幾何與拓撲學的范圍，成為整個現代數學中的重要組成部分．陳省身還是一位杰出的教育家，他培養了大批優秀的博士生．他本人也獲得了許多榮譽和獎勵，例如1975年獲美國總統頒發的美國國家科學獎，1983年獲美國數學會“全體成就”靳蒂爾獎，1984年獲沃爾夫獎．中國數學會在1985年通過決議．設立陳省身數學獎．他是有史以來惟一獲得數學界最高榮譽“沃爾夫獎”的華人，被稱為“當代最偉大的數學家”．被國際數學界尊為“微分幾何之父”．韋伊曾說，“我相信未來的微分幾何學史一定會認為他是嘉當的繼承人”．

菲爾茲獎得主、華人數學家丘成桐這樣評價他的老師：“陳省身是世界上領先的數學家??沒有什么障礙可以阻止一個中國人成為世界級的數學家．”

2004年11月2日，經國際天文學聯合會下屬的小天體命名委員會討論通過，國際小行星中心正式發布第52733號《小行星公報》通知國際社會，將一顆永久編號為1998CS2號的小行星命名為“陳省身星”，以表彰他對全人類的貢獻．

16、江澤涵

江澤涵,中國人。1902年10月6日生于安徽省知旌縣。1922年至1926年在南開大學學習,畢業后在廈門大學工作了一年。1927年赴美國哈佛大學博士學位。接著在普林斯頓大學工作了一年。1931年回國,受聘在北京大學數學系任教授,1934年起任系主任。1936年至1937年再次赴美。1947年至1949年赴瑞士做研究工作。1949年回國,并任北京大學數學系教授兼系主任。1952年院系調整后,改任幾何代數教研室主任。中國數學會成立后,他任副理事長。1962年起任北京市數學會理事長。1982年改任名譽理事長。1955年江澤涵被選為中國科學院學部委員。他還是中國國家科學技術委員會數學學科組成員。

江澤涵在數學上的貢獻主要在拓撲學方面。

江澤涵最先將拓撲學的臨界點理論直接用到分析中去,得到了關于調函數的重要結果:在三維歐幾里得空間中總質量不為零的S個質點(每個質點的質量可正、可負)所產生的牛頓位勢函數,若無退化臨界點,則至少(S-1)個臨界點且超額的個數一定是偶數.江澤涵就各種分布類型(體分布、面分布、點分布),總質量為正、負、零的情況,系統地研究了區域的拓撲特征與牛頓位勢的臨界點的型的關系。證明了存在一個內胚于球體的區域,它的以一個內點為極點的格林函數在它內部確有臨界點。他還證明了：在平面上，如果單連通區域Ｒ是一個具有光滑邊界的m重連通的區域，Ｒ的以任一內點為極點的格林函數在Ｒ內恰有（m－1）個臨界點。江澤涵在復迭空間和纖維叢方面進行了深入的研究，并證明了不可定向流形Ｍ的任一可定向復迭必是Ｍ可定向二葉復迭形Ｍ的復迭形，且Ｍ有一個周期為2的、無不動點的、反定向的自同胚。他計算了n維球面的有線素流形的同調群。

江澤涵對不動點理論進行了長期的研究，并利用曲面基本群的既約母元敘列，成功地定義了曲面萬有復迭形用圓周緊化，還證明它與非歐幾何得緊化是同胚的。從1961年起，他與他的學生姜伯駒出了自映射的倫型的概念，證明了尼爾生數的倫型不變性以及尼爾生數等于具有相同倫型的自映射的最少不動點數。不動點理論方面的成果集中寫入了其專著《不動點類理論》（科學出版社，1979年）中。江澤涵已發表學術論文15篇，專著有《不動點理論》、《拓撲學引論》（上海科學出版社，1964、1978）等，還有普及讀物《多面體的歐拉定理和閉曲面的拓撲分類》（人民教育出版社，19640）等。另外還有譯著8部。

江澤涵是一位數學教育家，培養了一大批數學家，如姜伯駒等。

第三篇：數學校本課程

我校初中數學校本課程的開發與嘗試

湖南省株洲市十六中學

一、課題研究的目的和意義

2004年秋開始，全國各地初中陸續進入新課程改革的領域。根據國家課程計劃和課程方案，我校課題組研究進行“初中數學校本課程的開發與實驗”的探索和實踐。具體理念如下：

1．落實新課程改革的基本理念

其基本理念為：關注學生作為“整體的人”的發展；回歸學生的生活世界；尋求個人理解的知識建構、創建富有個性的學校文化。我校數學校本課程的建設過程就是嘗試將上述理念落到操作層面過程。

2．完善校本課程的相關理念

校本課程建設將主要采取課程新編，在此過程中需要綜合考慮多方面的因素,這些因素大致可以歸納為4大類,即(1)目的確定；(2)內容選擇；(3)內容組織；(4)活動設計。這些因素也是校本課程開發理論所涉及的核心內容,因此，對這些因素的研究也是對校本課程開發理念的豐富與完善。3．促進教師的專業化成長

教師通過參與本課題的研究將對其專業發展具有如下的促進作用：(1)改變自己的知識結構。學習一些相關理論，以完善自己的知識結構。(2)提高教師的學科教學能力。只有站在整個課程結構的高度，才能對所教學科有一個全面的、整體的認識，也只有站在整個課

程發展與改革的高度，才能提高自己駕馭課程的能力，從而對所教學科作出符合學生實際的安排。4．提高學生的數學素養

我校是一所城鄉結合部公辦初級中學，受現在私立學校的影響，生源大量流失，學生數學基礎差，底子薄，為激發學生學習數學的信心和興趣、全面增強學生的數學素質。我們提出把數學引向學生，把學生引向數學;把數學引向生活, 把生活引向數學，重視興趣教學；數學校本課程開發要更多地采用調查研究及專題研究的教學方式，促進教法和學法的改變；

具體策略：

（1）處理好學校所具有的課程權力與校本課程開發之間的關系；（2）處理好校本課程開發的務實性與可行性之間的關系。（3）構建民主、開放的校本課程開發組織機構；

（5）通過多種方式對學生發展需求進行評估，通過學生選擇和評價等方式實現學生參與課程建設的主體地位；

（6）培訓教師，特別要重視教研組和教師同伴間的案例分析、相互交流和啟發，多渠道培養和提高教師的課程開發能力，建立教師之間競爭性合作機制，激勵教師主動參與校本課程建設。

三、研究方法

通過調查分析、行動研究和經驗總結等方法進行課題研究。

1、調查分析：通過查閱資料等手段，一切從學生的發展出發，?要求每位教師對自己以往的教學行為進行補充，?并與新課程所倡導的教學理念進行對比。讓每位教師在原有經驗得以升華的基礎上豐富自己的課堂教學內容，對自己新的教學內容進行確認，對課堂教學進行新的內容，追求學生學習過程和學習情感的完整。

2、行動研究：采取理論聯系實際的做法，邊實踐、邊探索，邊研究、邊修正。通過學習有關校本教材，讓學生走出校門，走向社會在實踐中培養興趣，在實踐中培養能力，使課題研究逐漸深入。

3、經驗總結：從優秀教師的大量實踐中，總結出好的經驗，并結合所學理論研究出一套讓學生樂于學習數學的可行方案。

四、實施措施：

1、通過家庭、教師了解學生。

2、課題組內共同備課，互相聽課、評課，共同提高研究水平，力求課題研究與日常教學相結合。

3、學習課改理論、方法，動用文獻資料，調查分析、行動研究，?經驗總結等方法獲取資料、積累資料，課題組成員定期進行研討、交流，拿出階段性成果。

五、研究步驟：

本課題研究為期3年，分為三個階段完成。

1、準備階段：（2006年9月至2007年1月）理論學習制訂方案 ①組織相關教師進行理論學習，為研究的展開作好準備。②調查學生的數學狀況，初步了學生學習興趣，制定研究方案。③舉行開題論證會，進一步修改課題方案。

2、實踐探索階段：（2007年1月2008年6月）活動開展資料準備 個案研究 經驗交流 問卷調查

以前期學習的理論為指導，以課堂教學和集體活動為重點，收集有關資料，及時進行經驗總結。組織開展各類競賽活動。定期課題組成員工作經驗交流會。收集相關資料，及時進行經驗總結。

3、總結階段：（2008年7月至2009年5月）材料整理撰寫報告 匯編成果 反思提高 成果鑒定

①對研究材料進行分類整理和匯總，撰寫研究報告。

②對研究的成果進行匯編，形成系列成果。

③完成課題總結報告。

六、取得的成果與影響

1、提升了理論素養，夯實了教師的科研內涵。

課題領導小組，認真組織課題組教師學習相關的教育科研理論知識和課程理論知識，做好教師業務學習的改革工作。通過學習、培訓、研究、交流等多種途徑，建立了師德高、業務精、功底硬、作風實、善于創新的優秀教科研教師隊伍。同時課題領導小組為課題收集相關的理論資料，供課題組學習參考，提高課題研究的理論水平，促進了課題研究健康有序發展。

2、培養了學校教科研骨干隊伍，提高了教師教科研能力。六名數學教師有4名高級職稱，兩人為中學一級教師。

3、促使了教師素質的提高

課題組在研究過程中始終把提高教師素質，培養過硬的教師隊伍放在首位。圍繞本課題的研究，根據本校實際和教師狀況，有針對性地進行教科研理論和素質教育理論的學習，不斷強化教師教科研合作、創造、求真的意識和更新教師的教育觀念，樹立現代教育理念，確保教育科研的先進性。通過學習，使我們教師確立了新的教學理念，明確了教改方向；掌握了開展教育科研的基本方法；提高了廣大教師的理論學術水平，三年來教師撰寫論文多篇，其中，唐志剛、陳利華、侯連現老師的論文多次評為省市一二等獎，數學統考成績位于市區前列，侯連現老師多次指導學生參加全國、市數學競賽成績優異，獲全國數學競賽優秀輔導員稱號。

七、課題展望

我們的研究已進行多年，取得了一定成效，在成績面前，我們始終保持清醒頭腦，已進行的實驗僅僅是研究的開端，今后還有許多問題等待著我們去探討，已有的成果也有待于不斷完善，不斷修改。數學校本課程的開發僅從純數學的角度出發是遠遠不夠的，跨越學科，分析更大的系統，組織更大規模的實驗，提出更深發展全面綜合的校本課程是我們以后研究的的方向。

第四篇：數學校本課程

數學校本課程

說 明

校本課程開發是實施素質教育的要求。校本課程的開發，有利于改變學生的學習方式，為學生提供學習過程中的方法選擇和內容選擇，體現教育內容的多元性和選擇性。我校的校本課程開發堅持以《中共中央、國務院關于深化教育改革全面推進素質教育的決定》和國家《基礎教育課程改革綱要（試行）》為指導，結合我校整體建設與發展的目標，探索網絡環境下校本課程開發的新途徑，反思自身實踐，外部經驗，堅持在改革中不斷探索新的思路，追求新的發展，以校本課程開發為突破口，使教師參加課程的開發，贏得繼續教育的良機，提高教師的專業化素質，更大程度地滿足社會家長和學生的需要，盡可能地培養出有個性、有特色、學業有所長的未來人才.觀察、體味生活

數學校本課程教案

神奇的撲克——撲克是歷法的縮影

撲克是我們生活中的常見的物品。

在撲克中找到一些數學的知識。

教學內容：在學生初步了解，年月日、季度的概念后，尋找歷法與撲克之間的關系。教學目標：

1、通過對“撲克”有趣的再認識，讓學生了解“撲克”與“歷法”之間有趣的聯系。2、2、培養起學生對生活中平常小事的關注。3、3、調動學生豐富的聯想，養成一種思考的習慣。

4、教學重點：

5、“撲克”與“歷法”的聯系。

6、教學難點：

7、“撲克”與“歷法”的聯系。

8、教學準備：

9、“撲克”、課件

10、教學過程：

11、談話引入

師：同學們，這個你們一定見過吧！（出示：撲克）這是我們生活中比較常見的“撲克”。誰愿意告訴我們，你對撲克的了解呢？

生：包括“大王”有54張、有52張正牌，有4種花色，每種花色13張......生：打牌、算24點、欣賞（海寧有個小姑娘，就收集了上千幅各種圖案的撲克，進行過展出）、美國人還用它來抓不他們的敵人（比如伊拉克時的薩達姆）......（教師補充，引發學生的好奇心。）

師：我呀，覺得“撲克”還有一種作用，而且與數學有關！看看那位同學知道！生:......新課

1、師：大家有好多的答案，可是都不太對。“撲克”與歷法有關。（課件出示）

2、師：歷法是什么呢？（學生回答，同時課件介紹<四季、12個月、356天等等>）那么，撲克與歷法有什么關系那？請學生猜一猜。

3、生：......引導學生說出：桃、心、梅、方4種花色可以代表一年四季春、夏、秋、冬 4花色=4個季節

2、還有什么呢？（教師可以提醒：紅、黑=

/大王=（太陽）小王=（月亮））同時課件出示：紅=白天

黑=夜晚 / 紅=......黑=......發揮學生的自由的想象

4、現在我在出一些數字我們一起來找一下，看看這些數字與我們的立法和撲克之間有什么聯系。（出示課題）

5、365 3666、4、課件出示提示問題：

7、一年有多少天？

一年有多少個月？

8、有多少個星期？

有多少個季度？.....9、同時出示：撲克牌于數字的對應值。

10、A=1 2=2

3=3

4=4

5=5

6=6

7=7

8=811、9=9 10=10 J=11

Q=12 K=13

大王=1 小王=112、5、學生自己嘗試練習（尋找撲克與歷法之間的關系）

13、◆1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=9114、91×4=364+小王=365+大王=366

15、所有牌的和+小王=平年的天數

16、所有牌的和+小王+大王=閏年的天數

17、撲克中的K、Q、J共有12張，3×4=12，表示一年有12個月18、365÷7≈52一年有52個星期。54張牌中除去大王、小王有52張是正牌，表示一年有52個星期。

19、◆桃、心、梅、方4種花色可以代表一年四季春、夏、秋、冬 20、4花色=4個季節=4個季度

21、◆1個季度=356÷4≈91天22、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91

一種花色的和=一個季度的天數 1個季度=356÷4≈91天

91÷7=13個星期

一種花色有13張牌=一個季度又13個星期

在學生自我常識、與教師適當的提醒下，各個小組交流反饋。各小組進行交流。

讓學生說說自己的感覺（多種多樣的，可以是不喜歡的。）以及自己的體會。

四、學生的新發現、新的聯想。

五、小結

生活中有很多的數學，他每時每刻都在我們的身邊出現，只是我們大家沒有注意到。今天我們有趣的再認識了“撲克”。我們還有很多的事物可以讓我們這樣有趣的再認識。同學們可以盡情去發現。當你作為一件事物的第一個發現者的時候，你就和“哥倫布”一樣的偉大了！！

第五篇：數學史話校本課程教案

數 學 史 話

教 案

長樂二中

鄭艷陽

陳云珍

第1章 數學史話概述

課時：2課時

教學目標：了解數學發展的背景，理解重要數學事件對數學尿的意義。教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：

數學發展的顯著變化

知識理解：

數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的科學。簡單地說，就是研究數和形的科學。

由于生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，并由用手指或實物計數發展到用數字計數。在中國，最遲在商代，即已出現用十進制數字表示大數的方法；至秦漢之際，即已出現完滿的十進位制。在 不晚于公元一世紀的《九章算術》中，已載了只有位值制才有可能進行的開平方、開立方的計算法則，并載有分數的各種運算以及解線性聯立方程組的方法，還引入了負數概念。

劉徽在他注解的《九章算術》中，還提出過用十進制小數表示無理數平方根的奇零部分，但直至唐宋時期(歐洲則在16世紀斯蒂文以后)十進制小數才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內接正多邊形的周長逼近圓周長，成為后世求圓周率 的一般方法。

雖然中國從來沒有過無理數或實數的一般概念，但在實質上，那時中國已完成了實數系統的一切運算法則與方法，這不僅在應用上不可缺，也為數學初期教育所不可少。至于繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區，則偏重于數的性質及這些性質間的邏輯關系的研究。早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素數的概念和素數個數無窮及整數惟一分解等論斷。古希臘發現了有非分數的數，即現稱的無理數。16世紀以來，由于解高次方程又出現了復數。在近代，數的概念更進一步抽象化，并依據數的不同運算規律，對一般的數系統進行了獨立的理論探討，形成數學中的若干不同分支。開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運算。在《九章算術》中，已出現解某種特殊形式的二次方程。發展至宋元時代，引進了“天元”(即未知數)的明確觀念，出現了求高次方程數值解與求多至四個未知數的高次代數聯立方程組的解的方法，通稱為天元術與四元術。與之相伴出現的多項式的表達、運算法則以及消去方法，已接近于近世的代數學。

在中國以外，九世紀阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數學的鼻祖，其解法實質上與中國古代依賴于切割術的幾何方法具有同一風格。中國古代數學致力于方程的具體求解，而源于古希臘、2 埃及傳統的歐洲數學則不同，一般致力于探究方程解的性質。

16世紀時，韋達以文字代替方程系數，引入了代數的符號演算。對代數方程解的性質進行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現；從代數方程導致復數、對稱函數等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創立。而近代極為活躍的代數幾何，則無非是高次聯立代數方程組解所構成的集合的理論研究。

早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素數的概念和素數個數無窮及整數惟一分解等論斷。古希臘發現了有非分數的數，即現稱的無理數。16世紀以來，由于解高次方程又出現了復數。在近代，數的概念更進一步抽象化，并依據數的不同運算規律，對一般的數系統進行了獨立的理論探討，形成數學中的若干不同分支。

開平方和開立方是解最簡單的高次方程所必須用到的運算。在《九章算術》中，已出現解某種特殊形式的二次方程。發展至宋元時代，引進了“天元”(即未知數)的明確觀念，出現了求高次方程數值解與求多至四個未知數的高次代數聯立方程組的解的方法，通稱為天元術與四元術。與之相伴出現的多項式的表達、運算法則以及消去方法，已接近于近世的代數學。

在中國以外，九世紀阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數學的鼻祖，其解法實質上與中國古代依賴于切割術的幾何方法具有同一風

第2章 中國數學史

課時：2課時

教學目標：了解解析數學發展的背景，理解重要數學事件的意義。教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：

中國數學顯著變化

過程：數學是中國古代科學中一門重要的學科，根據中國古代數學發展的特點，可以分為五個時期：萌芽；體系的形成；發展；繁榮和中西方數學的融合。

中國古代數學的萌芽

原始公社末期，私有制和貨物交換產生以后，數與形的概念有了進一步的發展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結繩記事了。

西安半坡出土的陶器有用1～8個圓點組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創造了規、矩、準、繩等作圖與測量工具。據《史記·夏本紀》記載，夏禹治水時已使用了這些工具。

商代中期，在甲骨文中已產生一套十進制數字和記數法，其中最大的數字為三萬；與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周 代，又把以前用陰、陽符號構成的八卦表示八種事物發展為六十四卦，表示64種事物。

公元前一世紀的《周髀算經》提到西周初期用矩測量高、深、廣、遠的方法，并舉出勾股形的勾

三、股

四、弦五以及環矩可以為圓等例子。《禮記·內則》篇提到西周貴族子弟從九歲開始便要學習數目和記數方法，他們要受禮、樂、射、馭、書、數的訓練，作為“六藝”之一的數已經開始成為專門的課程。

春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。

戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數學有關。名家認為經過抽象以后的名詞概念與它們原來的實體不同，他們提出“矩不方，規不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題.而墨家則認為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數學定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點)等等。

墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進行反駁：將一線段按一半一半地無限分割下去，就必將出現一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點。

名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結果。名家和墨家的數學定義和數學命題的討論，對中國古代數學理論的發展是很有意義的。

中國古代數學體系的形成

第3章 古希臘數學

課時：2課時

教學目標：了解解析數學發展的背景，理解重要數學事件的意義。教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：

希臘數學顯著變化

3．古 希 臘 數 學

古希臘的地理范圍，除了現在的希臘半島外，還包括整個愛琴海區域和北面的馬其頓和色雷斯、意大利半島和小亞細亞等地。公元前5、6世紀，特別是希、波戰爭以后，雅典取得希臘城邦的領導地位，經濟生活高度繁榮，生產力顯著提高，在這個基礎上產生了光輝燦爛的希臘文化，對后世有深遠的影響。

希臘數學的發展歷史可以分為三個時期。第一期從伊奧尼亞學派到柏拉圖學派為止，約為公元前七世紀中葉到公元前三世紀；第二期是亞歷山大前期，從歐幾里得起到公元前146年，希臘陷于羅馬為止；第三期是亞歷山大后期，是羅馬人統治下的時期，結束于641年亞歷山大被阿拉伯人占領。

從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時期留下來的數學史料很少。不過希臘數學的興起和希臘商人通過旅行交往接觸到古代東方的文化有密切關系。

伊奧尼亞位于小亞細亞西岸，它比希臘其他地區更容易吸收巴比倫、埃及等古國積累下來的經驗和文化。在伊奧尼亞，氏族貴族政治為商人的統治所代替，商人具有強烈的活動性，有利于思想自由而大膽地發展。城邦內部的斗爭，幫助擺脫傳統信念在希臘沒有特殊的祭司階層，也沒有必須遵守的教條，因此有相當程度的思想自由。這大大有助于科學和哲學從宗教分離開來。

米利都是伊奧尼亞的最大城市，也是泰勒斯的故鄉，泰勒斯是公認的希臘哲學鼻祖。早年是一個商人，曾游訪巴比倫、埃及等地，很快就學會古代流傳下來的知識，并加以發揚。以后創立伊奧尼亞哲學學派，擺脫宗教，從自然現象中去尋找真理，以水為萬物的根源。

當時天文、數學和哲學是不可分的，泰勒斯同時也研究天文和數學。他曾預測一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、呂底亞(今土耳其西部)兩國停止戰爭，多數學者認為該次日食發生在公元前585年5月28日。他在埃及時曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，使法老大為驚訝。

泰勒斯在數學方面的貢獻是開始了命題的證明，它標志著人們對客觀事物的認識從感性上升到理性，這在數學史上是一個不尋常的飛躍。伊奧尼亞學派的著名學者還有阿納克西曼德和阿納克西米尼等。他們對后來的畢達哥拉斯有很大的影響。

畢達哥拉斯公元前580年左右生于薩摩斯，為了擺脫暴政，移居意大利半島南部的克羅頓。在那里組織一個政治、宗教、哲學、數學合一的秘密團體。后來在政治斗爭中遭到破壞，畢達哥拉斯被殺害，但他的學派還繼續存在兩個世紀之久。

畢達哥拉斯學派企圖用數來解釋一切，不僅僅認為萬物都包含數，而且說萬物都是數。他們以發現勾股定理(西方叫做畢達哥拉斯定理)聞名于世，又由此導致不可通約量的發現。

這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯系起來。他們找到用三個正整數表示直角三角形三邊長的一種公式，又注意到從 1起連續的奇數和必為平方數等等，這既是算術問題，又和幾何有關，他們還發現五種正多面體。

伊奧尼亞學派和畢達哥拉斯學派有顯著的不同。前者研習數學并不單純為了哲學的興趣，同時也為了實用。而后者卻不注重實際應用，將數學和宗教聯系起來，想通過數學去探索永恒的真理。

公元前五世紀，雅典成為人文薈萃的中心，人們崇尚公開的精神。在公開的討論或辯論中，必須具有雄辯、修辭、哲學及數學等知識，于是“智人學派”應運而生。他們以教授文法、邏輯、數學、天文、修辭、雄辯等科目為業。在數學上，他們提出“三大問題”：三等分任意角；倍立方，求作一立方體，使其體積是已知立方體的二 5 倍；化圓為方，求作一正方形，使其面積等于一已知圓。這些問題的難處，是作圖只許用直尺(沒有刻度的尺)和圓規。

希臘人的興趣并不在于圖形的實際作出，而是在尺規的限制下從理論上去解決這些問題，這是幾何學從實際應用向系統理論過渡所邁出的重要的一步。

這個學派的安提豐提出用“窮竭法”去解決化圓為方問題，這是近代極限理論的雛形。先作圓內接正方形，以后每次邊數加倍，得8、16、32、?邊形。安提豐深信“最后”的多邊形與圓的“差”必會“窮竭”。這提供了求圓面積的近似方法，和中國的劉徽的割圓術思想不謀而合。

公元前三世紀，柏拉圖在雅典建立學派，創辦學園。他非常重視數學，但片面強調數學在訓練智力方面的作用，而忽視其實用價值。他主張通過幾何的學習培養邏輯思維能力，因為幾何能給人以強烈的直觀印象，將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中。

這個學派培養出不少數學家，如歐多克索斯就曾就學于柏拉圖，他創立了比例論，是歐幾里得的前驅。柏拉圖的學生亞里士多德也是古代的大哲學家，是形式邏輯的奠基者。他的邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。

這個時期的希臘數學中心還有以芝諾為代表的埃利亞學派，他提出四個悖論，給學術界以極大的震動。這四個悖論是：

二分說，一物從甲地到乙地，永遠不能到達。因為想從甲到乙，首先要通過道路的一半，但要通過這一半，必須先通過一半的一半，這樣分下去，永無止境。結論是此物的運動被道路的無限分割阻礙著，根本不能前進一步；阿基琉斯(善跑英雄)追龜說，阿基琉斯追烏龜，永遠追不上。因為當他追到烏龜的出發點時，龜已向前爬行了一段，他再追完這一段，龜又向前爬了一小段。這樣永遠重復下去，總也追不上；飛箭靜止說，每一瞬間箭總在一個確定的位置上，因此它是不動的；運動場問題，芝諾論證了時間和它的一半相等。

以德謨克利特為代表的原子論學派，認為線段、面積和立體，是由許多不可再分的原子所構成。計算面積和體積，等于將這些原子集合起來。這種不甚嚴格的推理方法卻是古代數學家發現新結果的重要線索。

第4章 埃及數學

課時：2課時

教學目標：了解解析數學發展的背景，理解重要數學事件的意義。教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：

埃及數學顯著變化

4、埃及古代數學

埃及是世界上文化發達最早的幾個地區之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年 6 左右，形成一個統一的國家。尼羅河定期泛濫，淹沒全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來的測地知識便逐漸發展成為幾何學。

公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳墓。從金字塔的結構，可知當時埃及人已懂得不少天文和幾何的知識。

例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小。現今對古埃及數學的認識，主要根據兩卷用僧侶文寫成的紙草書；一卷藏在倫敦，叫做萊因德紙草書，一卷藏在莫斯科。

埃及最古老的文字是象形文字，后來演變成一種較簡單的書寫體，通常叫僧侶文。除了這兩卷紙草書外，還有一些寫在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。兩卷紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間，相當于中國的夏代。

埃及很早就用十進記數法，但卻不知道位值制，每一個較高的單位是用特殊的符號來表示的。例如111，象形文字寫成三個不同的字符，而不是將 1重復三次。埃及算術主要是加法，而乘法是加法的重復。他們能解決一些一元一次方程的問題，并有等差、等比數列的初步知識。占特別重要地位的是分數算法，即把所有分數都化成單位分數(即分子是1的分數)的和。萊因德紙草書用很大的篇幅來記載2/N(N從5到101)型的分數分解成單位分數的結果。為什么要這樣分解以及用什么方法去分解，到現在還是一個謎。這種繁雜的分數算法實際上阻礙了算術的進一步發展。

紙草書還給出圓面積的計算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。計算的結果相當于用3.1605作為圓周率，不過他們并沒有圓周率這個概念。根據莫斯科紙草書，推測他們也許知道正四棱臺體積的計算方法。總之，古代埃及人積累了一定的實踐經驗，但還沒有上升為系統的理論。

第5章 中世紀歐洲數學

課時：2課時

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中世紀歐洲數學顯著變化

5．歐洲中世紀數學

中世紀開始于公元476年西羅馬帝國滅亡，約結束于15世紀。這一千年的歷史大致可以分為兩段。十一世紀之前常稱為黑暗時代，這時西歐在基督教神學和煩瑣哲學的教條統治下，人們失去了思想自由，生產墨守成規，技術進步緩慢，數學停滯不 7 前。十一世紀以后情況稍有好轉。

希臘文化通過羅馬人傳到中世紀的很少，這大部分體現在博伊西斯(約480～524)的著作中。他的《算術原理》大體上是新畢達哥拉斯學派數學家尼科馬霍斯《算術入門》的譯本，但若干精采的命題均被刪去。博伊西斯的《幾何》取材于歐幾里得《幾何原本》，但卻完全沒有證明，因為他認為證明是多余的。

公元529年，東羅馬帝國皇帝查士丁尼勒令關閉雅典的學校，嚴禁研究和傳播數學。數學發展再一次受到沉重的打擊。此后數百年，值得稱道的數學家屈指可數，而且多是神職人員。

號稱博學多才的比德是英國的僧侶學者，終生在修道院度過。他的本領是會算復活節(每年過春分月圓后的第一個星期日)的日期，和用手指來計算。稍后的阿爾昆也是著名的英國神學家。781年左右，接受查理曼大帝的聘請，到法蘭克王國擔任宮廷教師和顧問。他所編的算術書，現在看來是相當粗淺的。熱爾貝原是蘭斯的大主教，后被選為教皇，改名西爾威斯特二世。他熱心提倡學術，對推動“四藝”(音樂、幾何、算術、天文)的學習有一定的功勞。十字軍遠征(1096～1291)使歐洲人接觸到阿拉伯國家所保有古代文化寶藏。

他們將大量的阿拉伯文書籍譯成拉丁文。于是希臘、印度和阿拉伯人創造的文化，還有中國的四大發明便傳到了歐洲。意大利地處東西方交通的要沖，逐漸成為新的經濟和文化中心。12、13世紀歐洲數學界的代表人物是斐波那契，他向歐洲人介紹了印度-阿拉伯數碼和位值制記數法，以及各種算法在商業上的應用。

中國的盈不足術和《孫子算經》的不定方程解法也出現在斐波那契的書中。此外他還有很多獨創性的工作。

14世紀的法國主教奧爾斯姆引入了分指數記法和坐標制的思想，后者是從天文、地理的 經緯度到近代坐標幾何的過渡。英國大主教布雷德沃丁的算術、幾何、力學的著作影響也很大。歐洲第一本系統的三角學作者是雷格蒙塔努斯。

文藝復興以后，人類擺脫了中世紀束縛思想的精神枷鎖，迎接了一個新時代的到來。

6、十六、十七世紀數學 16、17世紀的歐洲，漫長的中世紀已經結束，文藝復興帶來了人們的覺醒，束縛人們思想自由發展的煩瑣哲學和神學的教條權威逐步被摧毀了。封建社會開始解體，代之而起的是資本主義社會，生產力大大解放。資本主義工場手工業的繁榮和向機器生產的過渡，促使技術科學和數學急速發展。

例如在航海方面，為了確定船只的位置，要求更加精密的天文觀測。軍事方面，彈道學成為研究的中心課題。準確時計的制造，運河的開鑿，堤壩的修筑，行星的橢圓軌道理論等等，也都需要很多復雜的計算。古希臘以來的初等數學，已漸漸不能滿足當時的需要了。

在科學史上，這一時期出現了許多重大的事件，向數學提出新的課題。首先是哥白尼提出地動說，使神學的重要理論支柱的地心說發生了根本的動搖。他的弟子雷蒂庫斯見到當時天文觀測日益精密，推算詳細的三角函數表已成為刻不容緩的事，于是開始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。當時全憑手算，雷蒂庫斯和他的助手勤奮 8 工作達12年之久，直到死后才由他的弟子奧托完成。

16世紀下半葉，丹麥天文學家第谷進行了大量精密的天文觀測，在這個基礎上，德國天文學家開普勒總結出行星運動的三大定律，導致后來牛頓萬有引力的發現。

開普勒的《酒桶的新立體幾何》將酒桶看作由無數的圓薄片累積而成，從而求出其體積。這是積分學的前驅工作。

意大利科學家伽利略主張自然科學研究必須進行系統的觀察與實驗，充分利用數學工具去探索大自然的奧秘。這些觀點對科學(特別是物理和數學)的發展有巨大的影響。他的學生卡瓦列里創立了“不可分原理”。依靠這個原理他解決了許多現在可以用更嚴格的積分法解決的問題。“不可分”的思想萌芽于1620年，深受開普勒和伽利略的影響，是希臘歐多克索斯的窮竭法到牛頓、萊布尼茨微積分的過渡。

第6章 解析幾何的誕生

課時：2課時

教學目標：了解解析幾何發展的背景，理解重要數學事件對解析幾何的意義。

教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：

解析幾何發展的顯著變化

知識理解： 線索問題： 斐波那契的主要數學貢獻及其意義是什么？ 2在三四次方程求解方面哪些數學家作出了貢獻？ 3 代數符號化的發展過程是怎樣的及有哪些代表人物？ 4 歐洲三角學的發展過程中哪些主要人物作出了貢獻？ 5 射影幾何的發展過程及其代表人物是什么？ 6 對數的發明及其代表人物是什么？ 7 解析幾何的誕生及其意義？ 概述：

本章概括介紹在向近代數學過渡時期的歷史背景和幾個領域的數學發展，重點介紹了在代數、射影幾何、對數和解析幾何等方面的發展。

主要內容： 一 中世紀歐洲數學

中世紀的歐洲，公元5世紀－11世紀，天主教會成為歐洲社會的絕對勢力，歐洲文明在整個中世紀處于停滯狀態。

12世紀，歐洲是翻譯的時代，因此數學開始復蘇。斐波那契（1170－1250）：《算經》，斐波那契數列。

數學的發展與科學的革新緊密結合在一起，直到15、16世紀文藝復興的高潮中，數學才真正復蘇。

二 文藝復興時期的歐洲數學的發展

（一）代數學：三次、四次方程的求解與符號代數是兩個主要的成就。1 三、四次方程的求解和有關代數方程理論的探索（1）三次方程的根式解：

費羅（1465－1520）1515年發現那形如x3?mx?n(m,n?0)的三次方程的代數解法；

塔塔尼亞發現形如x3?mx2?n(m,n?0)的解法。

卡爾丹（1501－1576）將塔氏方法推廣到一般情形的三次方程，并補充了幾何證明。（1545年出版《大法》（Ars Magna））

費拉里（卡爾丹學生）解決那一般的四次方程ax4?bx3?cx2?dx?e?0求解，不久也被寫入《大法》中。

（2）復數引進：卡爾丹遇“不可約”，邦貝利引進虛數。（3）代數基本定理：吉拉德推斷，18C高斯最早證明（4）根與系數的關系：卡爾丹、韋達、牛頓、格列高里（5）因式分解定理：韋達 2 符號化的發展

過程：韋達引進，吉拉德、奧特雷德繼承、韋達改進

意義：韋達系統地引入數學符號，數學符號體現了數學學科的高度抽象與簡練，從而導致了代數性質上產生重大變革。他把符號代數稱作“類的算術”，代數成為研究一般類型的形式和方程的學問，因其抽象而應用廣泛。

（二）三角學的發展 1 精確正弦表：波伊爾巴赫

2將三角學獨立天文學：雷格蒙塔努斯

3 系統化：韋達

（三）射影幾何的發展 透視學：阿爾貝蒂《論繪畫》（1511），數學透視法； 射影幾何：德沙格（1591－1661），從數學上直接給予解答的第一個人，包含投影變換下的交比不變性質，從對合點問題出發首次討論了調和點組的理論。帕斯卡（1623－1662），投射與取景法，帕斯卡定理。

計算技術與對數：蘇格蘭數學家納皮爾（1550－1617），發現了對數方法。瑞士工匠比爾吉（1552－1632）1600年耶獨立地發明了對數方法簡化天文計算。

解析幾何：近代數學本質上可以說是變量數學。16世紀，對運動與變化的研究已變成自然科學的中心問題。變量數學的第一個里程碑就是解析幾何的發明，其基本思想是在平面上引進“坐標”運算，點與實數對對應，方程與曲線對應，將幾何問題化為代數問題。解析幾何的前驅是法國數學家奧雷斯姆（1323－1382），《論形態幅度》，解析幾何的真正發明者還要歸功于法國另外兩位數學家笛卡兒合費馬，他們出發點不同，但殊途同歸。

笛卡兒（1596－1650）：1637發明解析幾何，出發點是一個著名的希臘問題——帕波斯問題。笛卡兒提出了一系列新穎想法，和方法論原則，提出“通用數學的思路”：任何問題——數學問題——代數問題——方程求解。

費馬：費馬的出發點是竭力恢復失傳的阿波羅尼奧斯的著作，《論平面軌跡》。

第7章 十八世紀的數學

課時：2課時

教學目標：了解解析十八世紀的數學的背景，理解重要數學事件對解析幾何的意義。

教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：十八世紀的數學

7、十八世紀的數學

將微積分學深入發展，是十八世紀數學的主流。這種發展是與廣泛的應用緊密交織在一起的，并且刺激和推動了許多新分支的產生，使數學分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特點的獨立的數學領域。在十八世紀特別是后期，數學研究活動和數學教育方式也發生了變革。這一切使十八世紀成為向現代數學過渡的重要時期。

微積分學的發展

在十八世紀，無限小算法的推廣，在英國和歐洲大陸國家是循著不同的路線進行 11 的。不列顛數學家們在劍橋、牛津、倫敦、愛丁堡等著名的大學里傳授和研究牛頓的流數術，代表人有科茨、泰勒、麥克勞林、棣莫弗和斯特林等。

泰勒發現的著名公式使人們有可能通過冪級數展開來研究函數；馬克勞林的《流數論》可以說是對微積分最早的系統處理，該書是為反駁伯克利主教《分析學家》一文而作，后者出于宗教的動機，對牛頓流數論中存在的無限小概念混亂提出了尖銳批評，引起了關于微積分基礎的論戰。

泰勒、馬克勞林之后，英國數學陷入了長期停滯、僵化的狀態。十八世紀初即已爆發的微積分發明權的爭論，滋長了不列顛數學家們濃厚的民族保守情緒，他們囿于牛頓的傳統，難以擺脫其迂回的幾何手法等弱點的束縛。與此相對照，在海峽的另一邊，新分析卻在萊布尼茨的后繼者們的推動下蓬勃發展起來。

推廣萊布尼茨學說的任務，主要由他的學生、瑞士巴塞爾的雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利兩兄弟擔當，而這方面最重大的進步則是由歐拉作出的。

歐拉于1748年出版了《無窮小分析引論》，這部巨著與他隨后發表的《微分學》、《積分學》標志著微積分歷史上的一個轉折：以往的數學家們都以曲線作為微積分的主要研究對象，而歐拉則第一次把函數放到了中心的 地位，并且是建立在函數的微分的基礎之上。函數概念本身正是由于歐拉等人的研究而大大豐富了。數學家們開始明確區分代數函數與超越函數、隱函數與顯函數、單值函數與多值函數等；通過一些困難積分問題的求解，諸如B函數、橢圓不定積分等一系列新的超越函數被納入函數的范疇；已有的對數、指數和三角函數的研究不僅進一步系統化，而且被推廣到復數領域。

在十八世紀，數學家們對于函數、導數、微分、連續性和級數收斂性等概念還沒有形成統一的見解，他們往往不顧基礎問題的薄弱而大膽前進。盡管如此，許多人對建立微積分的嚴格基礎仍作出了重要的嘗試。除了歐拉的函數理論外，另一位天才的分析大師拉格朗日采取了所謂“代數的途徑”。他在1797年出版的《解析函數論》一書中，主張用泰勒級數來定義導數，并以此作為整個微分、積分理論之出發點。

達朗貝爾則發展了牛頓的“首末比方法”，但用極限的概念代替了含糊的“最初與最終比”的說法。如果說歐拉和拉格朗日的著作引入了分析的形式化趨勢，那么，達朗貝爾則為微積分的嚴格表述提供了合理的內核。19世紀的嚴格化運動，正是這些不同方向融會發展的結果。

數學與力學開始結合

數學同力學的有機結合，是十八世紀數學的另一個鮮明特征。這種結合，其緊密的程度為數學史上任何時期所不能比擬。幾乎所有的數學家都以巨大的熱情，致力于運用微積分新工具去解決各種物理、力學問題。

歐拉的名字同流體力學和剛體運動的基本方程聯系著；拉格朗日最享盛名的著作《分析力學》，“將力學變成了分析的一個分支”；拉普拉斯則把數學看作是研究力學天文學的工具，他的許多重要數學成果正是包含在他的五大卷《天體力學》中。

這種廣泛的應用成為新的數學思想的源泉，而使數學本身的發展大大受惠。一系列新的數學分支在十八世紀成長起來。

達朗貝爾關于弦振動的著名研究，導出了弦振動方程及其最早的解，成為偏微分 12 方程論的發端。另一類重要的偏微分方程——位勢方程，主要通過對引力問題的進一步探討而獲得。與偏微分方程相聯系的一些較為深入的理論問題也開始受到注意。

拉格朗日發展了解一階偏微分方程的一般理論；對不同類型的二階方程的研究還促使歐拉、達朗貝爾等具備了將函數展為三角級數的概念。

常微分方程的研究進展更為迅速。三體問題、擺的運動及彈性理論等的數學描述，引出了一系列的常微分方程，其中以三體問題最為重要，二階常微分方程在其中扮演了中心角色。

數學家起先是采用各種特殊的技巧對付不同的方程，但漸漸地開始尋找帶普遍性的方法。這樣，歐拉推廣了約翰第一·伯努利的積分因子和常數變易法；黎卡提在以他的名字命名的非線性方程的研究中，首創了后來成為處理高階方程主要手段的降階法；泰勒最先引起人們對奇異解存在性的注意；歐拉在1750年解出了一般的常系數

線性方程，他還引進超幾何級數作為解二階線性方程的基礎；對全微分方程的研究亦由歐拉、拉格朗日和蒙日等開展起來。變分法起源于最速降曲線問題和相類似的一些問題，它的奠基人是歐拉。所謂“最速降曲線”問題，是要求出兩點間的一條曲線，使質點在重力作用下，沿著它由一點至另一點的降落最快。這問題在1696年被約翰第一·伯努利提出來向其他人挑戰，牛頓、洛必達和伯努利兄弟不久都分別獲得了正確的解答。

第8章 十九世紀的數學

課時：2課時

教學目標：了解解析十九世紀的數學的背景，理解重要數學事件對解析幾何的意義。

教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：十九世紀的數學

8、十九世紀的數學

十九世紀是數學史上創造精神和嚴格精神高度發揚的時代。復變函數論的創立和數學分析的嚴格化，非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數的誕生，是這一世紀典型的數學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀的數學。

十九世紀數學發展的概貌

十八世紀數學發展的主流是微積分學的擴展，它與力學和天文學的問題緊密相聯。微積分的運用使這些自然科學領域迅猛發展，至十八世紀末，它們達到了一種相對完美的程度。

然而，將數學和這些自然科學基本上視為一體的觀念，使當時一些著名的數學家，如拉格朗日、歐拉、達朗貝爾等對數學的前途產生了悲觀情緒，他們覺得數學泉源已近枯竭。

而實際上，此時的數學正處于興旺發達的前夜：18世紀的數學家忙于獲取微積分的成果與應用，較少顧及其概念與方法的嚴密性，到十八世紀末，為微積分奠基的工作已緊迫地擺在數學家面前；另一方面，處于數學中心課題之外的數學分支已積累了 13 一批重要問題，如復數的意義、歐式幾何中平行公設的地位，高次代數方程根式解的可能性等，它們大都是從數學內部提出的課題；再者，自十八世紀后期開始，自然科學出現眾多新的研究領域，如熱力學、流體力學、電學、磁學、測地學等等，從數學外部給予數學以新的推動力。上述因素促成了十九世紀數學充滿活力的創新與發展。

十九世紀歐洲的社會環境也為數學發展提供了適宜的舞臺，法國資產階級大革命所造成的民主精神和重視數學教育的風尚，鼓勵大批有才干的青年步入數學教育和研究領地。法國在十九世紀一直是最活躍的數學中心之一，涌現出一批優秀人才，如傅里葉、泊松、彭賽列、柯西、劉維爾、伽羅華、埃爾米特、若爾當、達布、龐加萊、阿達馬。他們在幾乎所有的數學分支中都作出了卓越貢獻。法國革命的影響波及歐洲各國，使整個學術界思想十分活躍，突破了一切禁區。

英國新一代數學家克服近一個世紀以來以牛頓為偶像的固步自封局面，成立了向歐洲大陸數學學習的“分析學會”，使英國進入世界數學發展的潮流。皮科克、格林、哈密頓、西爾維斯特、凱萊、布爾等英國數學界的杰出人物，在代數學、代數幾何、數學物理方面的成就尤為突出。

德國在1870年統一之前，資本主義發展比較緩慢，但從十八世紀下半葉起，它一直是思想意識領域十分活躍的地區，特別是思辨哲學強調事物內部矛盾促進事物發展的思想，對純粹數學的發展產生了有益的影響。

從高斯登上數學舞臺至十九世紀下半葉，德國逐漸發展成為與法國并駕齊驅的又一個世界數學中心，除高斯外，施陶特、普呂克、雅可比、狄利克雷、格拉斯曼、庫默爾、魏爾斯特拉斯、克羅內克、黎曼、戴德金、康托爾、克萊因、希爾伯特都無愧為十九世紀最重要的數學家。

處于數學中心之外的國家和地區，也出現不少優秀學者，最突出的有挪威的阿貝爾和李，捷克的波爾查諾、俄國的羅巴切夫斯基、切比雪夫和柯瓦列夫斯卡婭，匈牙利的波爾約，意大利的貝爾特拉米和里奇等。這種人才輩出的局面在數學史上是空前的。

十九世紀數學突破分析學獨占主導地位的局面，幾何、代數、分析各分支出現如雨后春筍般的竟相發展。僅在十九世紀的前30多年中，一批二三十歲的年輕數學家就在數論、射影幾何、復變函數、微分幾何、非歐幾何、群論等領域作出開創性的成績。

隨著眾多新研究方向的開拓和證明嚴格化的要求，越來越多的學者開始埋頭于較窄的領域作精細的研究。如阿貝爾主要從事分析與代數學研究，彭賽列專攻射影幾何，伽羅瓦關心代數方程的可解性。只有高斯和柯西仍然關心科學與數學中幾乎所有的問題。

在十九世紀下半葉，一些數學家注意了各分支間的聯系，最著名的有克萊因的埃爾朗根綱領，在幾何中引進群的觀點，取得很大成功，但專門化的研究方式尚處于方興未艾的階段。從十九世紀晚期開始的將數學各分支奠基于公理體系之上的運動，又推進了各分支的細分，這種傾向一直延續到二十世紀。

十九世紀數學家的工作方式呈現出全新的、不同于十八世紀的特色。數學成為一項得到全社會承認的職業，數學家主要在大量培養人才的新型大學教書，研究與教學 14 有機地聯系在一起。法國的巴黎綜合工科學校、巴黎高等師范大學，德國的柏林大學、格丁根大學是當時最重要的數學研究與教學中心。

由于數學家人數與成果的劇增交流思想與成果的渠道增多了，數學雜志成了重要的傳播媒介。法國的熱爾崗編輯出版了《純粹與應用數學年刊》，是最早的專門數學期刊。之后，高水平的數學雜志相繼問世，最著名的有克雷爾創辦的德文的《純粹與應用數學雜志》，劉維爾創辦的法文的《純粹與應用數學雜志》。

到十九世紀后半葉，隨著各國數學會的問世，各種會刊及專門雜志顯著增加。這些數學會還在推動本國數學發展和促進國際學術交流方面發揮積極作用。最早成立的是倫敦數學會，之后創建的有法國數學會、美國數學會和德國數學會。在接近世紀之末，由各國數學會發起在瑞士蘇黎世召開了第一屆國際數學家大會，后成為一項定期舉行的國際學術活動。

十九世紀數學的發展錯綜復雜，粗略地可以分為四個階段。

第9章 數學對現代社會的影響及展望

課時：2課時

教學目標：了解解析新的數學的背景，理解重要數學事件對解析幾何的意義。

教學方式：閱讀史料、討論思考、感悟總結 主題：新世紀的數學

分析的嚴格化以皮亞諾的自然數公理體系的建立而告一段落。這種公理化的傾向也同樣在其他數學分支蔓延。弗雷格提出了邏輯公理體系，帕施得到了射影幾何的公理體系。最著名的是希爾伯特于1899年在《幾何基礎》中闡述的歐幾里得幾何的公理系統。他考慮了公理系統的獨立性、相容性和完備性，并證明歐幾里得幾何的相容性可歸結為算術的相容性。

希爾伯特的工作掀起了公理化的熱潮：一方面，數學家為各數學分支建立公理體系；另一方面，通過略去否定或其他方式改變所論體系的公理來探索新體系、新問題。公理化運動并沒有限制新思想的萌生和對各種具體課題的研究，后者始終是數學發展中最活躍的因素。群論的應用在這一時期特別引人矚目，1872年，克萊因受聘任埃爾朗根大學教授時，發表題為《關于近代幾何研究的比較考察》的講演(即著名的埃爾朗根綱領)，他指出每種幾何可由特定的變換群來刻畫，各種幾何的研究內容是在相應的變換群下的不變量，一種幾何的子幾何則是研究原變換群的子群的不變量。根據變換群的觀點，克萊因對幾何進行了系統分類，揭示了群的概念在幾何中的統一作用(不包括一般的黎曼幾何和代數幾何)開拓了研究幾何的一種有效的方法。克萊因的工作體現了數學專門化趨勢中蘊含的統一因素。

1874年，挪威數學家李在研究常微分方程與保持這些方程的解不變的變換群之間的關系時，創建了連續變換群理論(現稱李群)以及相應的代數(現稱李代數)。有了對具體的群的廣泛研究，抽象群論獲得了新生。1882年，德國數學家迪克受凱萊工作的 15 鼓舞，引進用生成元和生成元之間關系來定義群的抽象觀點，開始抽象群論的系統研究。與此相伴的是分析與經典代數方法對群論的應用，即群的表示理論應運而生。

組合拓撲學作為一門學科在十九世紀末登上了數學舞臺。龐加萊是這一領域的主要奠基者。龐加萊是當時領頭的數學家之一，興趣廣泛，研究涉及眾多數學分支以至天體力學和物理科學。在探討描述行星運動的微分方程周期解時，他采用了拓撲觀點分析奇點及積分曲線的結構，開創了微分方程定性理論。在研究一般”維圖形的結構時，引進了一套系統的組合方法，為組合拓撲奠定了基礎。拓撲和抽象代數的觀點和方法成為二十世紀最有影響的研究手段。

與龐加萊齊名的另一位著名數學家是希爾伯特。他不僅積極創導了公理化方法，而且特別重視數學中單個重大問題的研究，認為這是數學活力之所在。他本人就通過解決一系列具體問題，得到許多重要方法。十九世紀末，他發表了兩個報告。《數論報告》系統總結了代數數論的全部成果，開辟了類域論的研究方向。

1900年，在第二屆國際數學家大會上，希爾伯特作了影響深遠的題為《數學問題》的報告，成為迎接二十世紀挑戰的宣言。

在數學分成幾十個分支各自獨立發展的形勢下，希爾伯特堅信數學科學是一個不可分割的有機整體，它的生命力正是在于各部分之間的聯系。在十九世紀末，領頭數學家對數學前途充滿了信心，與十八世紀末的情景形成鮮明對照。龐加萊和希爾伯特的業績展示了二十世紀數學大發展的曙光。