第一篇：等差數列的定義與通項公式教案（模版）

等差數列的定義與通項公式

一．教學目標

（1）知識與技能：

正確理解等差數列的概念；初步掌握等差數列的通項公式，并會簡單應用。

（2）過程與方法

通過對等差數列概念和通項公式的探究，培養學生觀察、歸納、類比、猜想、推理等發現規律的一般方法，通過階梯性練習，提高學生的分析問題和解決問題的能力。

（3）情感、態度與價值觀

通過對等差數列概念和通項公式的探究，培養學生嚴謹求實的學習作風和鍥而不舍的學習精神，養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好學習習慣。

(4)教學重點: 等差數列的定義、通項公式的探究

(5)教學難點

通項公式的推導、理解和靈活應用

二．知識復習

1.數列有幾種表示方法？

2.數列的項與項數有什么關系？ 3函數與數列之間有什么關系？

三．教學過程

上兩節課我們學習了數列的定義及給出數列和表示的數列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法和前n項和公式這些方法從不同的角度反映數列的特點.1.創設情景

活動（1）：

請你將課前準備好的火柴擺成如圖所的正方形，并將所用火柴的數目寫成數列，并觀察所得數列有何規律？

①②③n 規律：4，7，10，13，16，……

結論：從第2項起，每一項與前一項的差都等于4 活動（2）：

請你將課前準備好的棋子擺“上”字，并將所用棋子的數目寫成數列，并觀察所得數列有何規律？并說出得出的兩個數列有什么共同點？

?2.等差數列的定義

??

規律：6，10，14，18，…

結論：從第2項起，每一項與前一項的差都等于4 一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母d”表示）⑴公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；（2）用遞推公式如何表示？

an?an?1?d(n?2)或an?1?an?d(n?1)

練習：請同學們判斷下列數列是不是等差數列，若是，請求出公差

（1）4，5，6，7，8，10，11.（2）1，4，7，10，13，16，（3）7x，3x，-x，-5x，-9x，…（4）2，0，-2，-4，-6，…（5）5，5，5，5，5，5，…

3.等差數列的通項公式

（1）設臺階第一級高度為a1，每一級的高度為d，找出第n級an與n，a1，d之間的關系？

a2?a1?da3?a2?d?(a1?d)?d?a1?2da4?a3?d?(a1?2d)?d?a1?3dLL an?a1?(n?1)d這是不完全歸納法得到等差數列的通項公式（2）迭加法：

a2?a1?d，a3?a2?d，a4?a3?d

…

an?an?1?d

將上面n-1個式子相加得：

an?a1?(n?1)d

（3）迭代法：

留給同學們小組合作解決

4.例題互析：

例1:求等差數列8，5，2，…的通項公式與第20項。

例2: 等差數列－5，－9，－13，…第幾項是－401？

例3 小明、小明的爸爸和小明的爺爺三個人在年齡恰好構成一個等差數列,他們三人的年齡之和為120歲,爺爺的年齡比小明年齡的4倍還多5歲,求他們祖孫三人的年齡.5.探究等差數列與一次函數的關系

分別在直角坐標內描出數列的圖像

（1）數列：-2，0，2，4，6，8，10，…

（2）數列：7，4，1，-2，…

（3）數列：4，4，4，4，4，4，4，…

總結：等差數列的圖象為相應直線上的點。6.達標檢測：

（1）求等差數列1，4，7，10，…的第10項。

（2）在等差數列{an}中，已知a1=1，a20=－37，求公差 d。

（3）在等差數列{an}中，已知a1=1，公差 d= －2 ,則－397是該數列的第幾項？

（4）在等差數列{an}中，已知d=－2，a12=－21，求a1 7.知識小結

一個定義： an+1-an=d（d是常數，n∈N+）

一個公式：an=a1+(n-1)d 三種思想：方程思想

函數思想

數形結合思想 三種方法：迭加法

迭代法

不完全歸納法

8.課后作業：

（1）課本練習題A組第1、2題

（2）選做題B組3、4

（3）尋找生活中等差數列的實例.

第二篇：等差數列的前n項和公式教案

2.3等差數列的前n項和公式（教案）

一．教學目標：

1.知識與技能目標

了解等差數列前n項和公式，理解等差數列前n項和公式的幾何意義，并且能夠靈活運用其求和。2.過程與方法目標

學生經歷公式的推導過程，體驗從特殊到一般的研究方法。

3.情感態度與價值觀目標

學生獲得發現的成就感，優化思維品質，提高代數的推導能力。

二．教學重難點：

1.重點：等差數列前n項和公式的推導，掌握及靈活運用。2.難點：誘導學生用“倒序相加法”求等差數列前n項和。

三．教法與學法分析：

1.教法分析：采用“誘導啟發，自主探究式”學法為主，講練結合為輔的教學方法。

2.學法分析：采用“自主探究式學習法”和“主動學習法”。

四．課時安排：

1個課時 五．教學過程

（一）導入

我們已經學過等差數列的定義an+1-an=d(n屬于正整數)，等差數列的通項公式an=a1+(n-1)d，等差數列的等差中項2an=an-1+an+1，還有：若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.我們應該怎樣求a1+a2+?+an,其中{an}為等差數列，記Sn=a1+a2+?+an

我們知道200多年前高斯的老師給他們出了一道題目，讓他們計算1+2+就算出來了?+100=？當時10歲的高斯很快。高斯是怎樣做出來的呢？他使用了什么簡單高明的方法？

1+2+?+100=(1+100)+（2+99）+?+(50+51)=50*101,所以1+2+?+100=5050，這就是著名的高斯算法，到后來，人們就從高斯算法中得到啟發，求出了等差數列1+2+?+n的前n項和的算法

（二）探究新知，發現規律

從高斯算法中，人們怎樣求出首項為1，公差為1的等差數列1+2+3+?+n的和? 首先1+2+?+n(1)n+(n-1)+?+1（2）

2Sn=(n+1)+(n+1)+?+(n+1)(n個（n+1）)所以 1+2+?+n=n*(n+1)/2 我們把上面的方法稱為“倒序相加法”，也就是說高斯當時用的就是“倒序相加法”算出了1+2+?+100的和

然而這個方法可以推廣到等差數列的前n項和 定義：一般地，我們把a1+a2+?+an叫做等差數列的前n項和，用Sn表示

即Sn=a1+a2+?+an

從高斯算法中得到的啟示，對于一般的等差數列，其中a1是首項，d是公差，我們可以用兩種方法來表示

Sn=a1+a2+?+an

=a1+(a1+d)+?++[ a1+(n-1)d](3)Sn=an+ an-1+?+a1

=an+(an-d)+?+[an-(n-1)d](4)兩式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+?+(a1+an),有n個(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/2(5)將an=a1+(n-1)d帶入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2(6)(5)與(6)區別：第一個公式反映了等差數列的首項與末項之和跟第n項與倒數第n項之和是相等的；第二個公式反映了等差數列的首項與公差d之間的關系，而且是關于n的“二次函數”，可以與二次函數作比較。

聯系：將an=a1+(n-1)d帶入Sn=n(a1+an)/2中即可得到 Sn=na1+n(n-1)d/2

（三）知識應用，反思，提高強化知識

例1：已知等差數列{an}的通項公式an=2n+3,求Sn 解:因為an=2n+3

所以a1=5, 即Sn=n(a1+an)/2

=n^2+4n 例2：已知等差數列前10項的和是310，前20項的和是1220，求前n項和公式Sn 解：因為S10=10* a1+10*9*d/2=310

S20=20* a1+20*19*d/2=1220 所以Sn=n* a1+n(n-1)d/2

=4n+n(n-1)*6/2 =3n^2+n習題1：設Sn為等差數列{an}的前n項和，若S9=72，求a2+a4+ a9=？

解：因為S9=9a1+8*9*d/2=9a1+36d=9(a1+4d)=72

所以a1+4d=8

又因為a2+a4+a9=a1+d+a1+2d+a1+8d

=3a1+12d =3(a1+4d)=3*8 =24

（四）歸納總結

對Sn=n(a1+an)/2 與 Sn=na1+n(n-1)d/2兩個公式的熟練運用：注：已知條件不同時，公式的選擇要依據已知條件，有利于很快的解決問題。

（五）作業布置

P45,1，2

第三篇：等比數列的通項公式(教案)

等比數列的通項公式（教案）

一、教學目標

1、掌握等比數列的通項公式，并能夠用公式解決一些相關問題。

2、掌握由等比數列的通項公式推導出的相關結論。

二、教學重點、難點

各種結論的推導、理解、應用。

三、教學過程

1、導入

復習

等比數列的定義：

an?1?q ?n?N*? an*

通項公式：an?a1qn?1 n?N

用歸納猜測的方法得到，用累積法證明

??

2、新知探索

例1 在等比數列?an?中，（1）已知a1?3,q??2,求a6；

（2）已知a3?20,a6?160,求an.，分析（1）根據等比數列的通項公式，得 a6?a1q5??96（2）可以根據等比數列的通項公式列出一個二元一次方程組

2??a1?5?a3?a1q?20n?1n?

1解得

所以 a?aq?5?2??n15q?2???a6?a1q?160問：上面的第（2）題中，可以不求a1而只需求得q就得到an嗎? 分析 在歸納猜測等比數列的通項公式時，有這樣一系列式子：

a2?a1q,a3?a2q?a1q2,a4?a3q?a2q2?a1q3，an?an?1q?an?2q2?an?3q3?...?a2qn?2?a1qn?1

注意觀察等式右邊各項的下標與q的次方的和，可以發現，an的表達式中，始終滿足

*an?amqn?m

?n,m?N?

結論1

數列?an?是等比數列，則有an?amqn?m*

n,m?N。

??再來看一下例1中（2）的另一種解法：a6?a3q3，所以q=2，所以an?a1qn?1?5?2n?1習題2.3（1）P492、在等比數列?an?中，（1）已知a4?4,a9?972,求an；

（2）已知a2??6,a6??分析

（1）可以根據定義和結論1給出兩種解法。

3??a4?a1q?4方法一 ? 8??a9?a1q?97232,求an.27方法二 a9?a4q5，所以q=3，所以an?a4qn?4?4?3n?4。（2）a6?a2q4，所以q??2 322當q?時,an?a2qn?2??6?()n?233

22當q??時,an?a2qn?2??6?(?)n?233例2 在243和3中間插入3個數，使這5個數成等比數列。

分析

設此三個數為a2，a3，a4，公比為q，則由題意得243，a2，a3，a4，3成等比數列；

13?243q4，所以得q??

31當q?時，a2?81，a3?27，a4?93

1當q??時，a2??81，a3?27，a4??93故插入的三個數為81，27，9或-81，27，-9.問：觀察一下例2中，當q??時，這5個數分別為243，-81，27，-9，3，可以發現什么規律？

答：在等比數列中，當公比小于零時，數列中的奇數項同號，偶數項同號。習題2.3（1）P49

6、在等比數列?an?中，a1?0，a2a4?2a3a5?a4a6?25，求a3?a5的值。分析

13a3a4?得a32?a2a4，同理得a52?a4a6 a2a3?a1?0?a3?0,a5?0?a3?a5?022a2a4?2a3a5?a4a6?a3?2a3a5?a5?(a3?a5)2?25

?a3?a5?5例3 已知等比數列?an?的通項公式為an?3?2n，求首項和公比q.分析 a1?3?2?6,a2?3?2?12?q?2a2?2 a

1在例3中，等比數列的通項公式為an?3?2n，是一個常數與指數式的乘積，因為數列是特殊的函數，故表示這個數列的各點(n,an)均在函數y?3?2x的圖像上。

問：如果一個數列?an?的通項公式為an?aqn，其中a，q都是不為零的常數，那么這個數列一定是等比數列嗎？

an?1aqn分析

a1?aq?0，?n?1?q，所以是等比數列。

anaq一般可以看作是等比數列通項公式的變形，an?a1qn?1?a1na

q?aqn，其中a?1 qq結論2 等比數列?an?的通項公式均可寫成an?aqn（a，q為不等于零的常數）的形式。反之成立。

習題2.3（1）P495、在等比數列?an?中，22（1）a5?a1a9是否成立？a5?a3a7是否成立？ 2（2）an?an?2an?2（n>2）是否成立？

（3）你能得到更一般的結論嗎？

2分析

（1）a1a9?a1?a1q8?(a1q4)2?a5 2，所以成立。a3a7?a1q2?a1q6?(a1q4)2?a52（2）an?2an?2?a1qn?3?a1qn?1?(a1qn?1)2?an，所以成立。

（3）從（1）（2）可以看出，等式兩邊各項的下表和相等，左邊是同一項的平方，如果把左邊換成兩個不同項的乘積呢？

同時，類比等差數列中的一個結論：在等差數列?an?中，當m+n=p+q(m,n,p,q都是正整數)時，有am?an?ap?aq，可以猜測：在等比數列?an?中，當m+n=p+q(m,n,p,q都是正整數)時，有aman?apaq.?12證

aman?a1qm?1?a1qn?a1qm??n2，apaq?a1qp?1?a1qq?1?a12qp?q?2

所以aman?apaq.結論3 在等比數列?an?中，當m+n=p+q(m,n,p,q都是正整數)時，有aman?apaq.習題

在等比數列?an?中，a1，a99是方程x?10x?16?0的兩個實根，求a40a60.2分析 可以利用結論3.因為a1，a99是方程x?10x?16?0的兩個實根，所以可得a1a99=16，所以a40a60=a1a99=16.在結論3中，當m=n或p=q時，可以發現此項總是處于另兩項的中間。結論

4若a，G，b成等比數列，則稱G為a和b的等比中項，且G?ab。習題2.3（1）P49

7、（1）求45和80的等比中項；

（2）已知兩個數k+9和6-k的等比中項是2k，求k.分析

（1）設此等比中項是G，則G=45?80=3600，所以G=?60.（2）(2k)2?(k?9)(6?k)，化簡，得5k?3k?54?0，所以k??222218或k?3

5四、歸納總結

本節課的主要內容是由等比數列的通項公式引深而得到的幾個結論，要求學生能牢記并靈活運用。

五、布置作業

做與本節課內容相關的練習冊。

六、教學反思

本節課的內容都是由等比數列的通項公式推導而得到。在上課的時候，我先是把等比數列的通項公式推導一遍，再由相關的例題或習題引出相關的結論，在講解中引導學生思考，充分發揮學生的主體作用，使學生能夠與我產生互動，調節課堂氣氛，使學生積極思考。在上課的過程中，有些地方因缺乏經驗不能很好地連貫在一起，這在以后的講課中要注意。

第四篇：等差數列前n項和公式說課稿

大家好！今天我說課的題目是《等差數列的前n項和》，所選用的教材為中等職業教育規劃教材。

一、教材分析：

1、教材的地位和作用

《等差數列的前n項和》是第一冊第五章第二節的內容，本節內容在日常生活中有著廣泛的應用，同時與函數、三角、不等式等內容有著密切的聯系。它既是等差數列的概念的延續，又為后續研究等差數列的應用提供理論依據。鑒于這種認識，我認為，本節課對于進一步探索、研究等比數列無論在知識上，還是方法上都有很強的啟發與示范作用。

2、學情分析

學生在認知方面基本掌握等差數列的通項公式，初步具備運用所學知識解決問題的能力，但數形結合的意識和思維的深刻性需要進一步加強培養，多數學生有積極的學習態度，能主動參與探究，少數學生的主動性，還需要通過營造一定的學習氛圍帶動。

3、教學重難點

根據以上對教材的地位與作用，以及學情的分析，結合本節內容的特點，我將本節課的重點確定為：等差數列前n項和公式的理解、推導與應用；

難點確定為：獲得等差數列前n項和公式推導的思路及公式的簡單應用。

二、教學目標分析

在教學中應以知識與技能為主線，滲透情感態度價值觀，并把前兩者充分體現在過程與方法中。借此，我將三維目標進行整合，確定本節課的教學目標為：

1.掌握等差數列求和公式，能較熟練應用等差數列前n項和公式； 2.經歷公式的推導，體會數形結合的思想，體驗從特殊到一般的研究方法，學會觀察、歸納、反思；

3.通過合作交流、主動探究，體會數學的合理性和嚴謹性，使學生養成積極思考、獨立思考的習慣，培養學生團隊合作的精神。

三、教學方法分析

學生是學習的主體，教師是學習的組織者，教學的一切活動都必須圍繞學生展開。根據這一教學理念，本節課我采用引導發現法、問題驅動教學法，以問題的提出及解決為主線，倡導學生主動參與教學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式分析和解決問題，從真正意義上完成對知識的自我建構。

另外，在教學過程中，我采用多媒體輔助教學，以直觀呈現教學素材，從而更好地激發學生的學習興趣，增大教學容量，提高教學效率。

在學法方面，主要采用聯系學習法，探究式學習法，自主性學習，真正體現學生為主體的教學理念。

四、教學過程分析

為有序、有效地進行教學，本節課我主要安排以下教學環節：(一）創設情境，提出問題

給出歷史上有名的實例，提出問題，學生進行觀察分析，進入思考狀態。設計意圖：以問題的形式創設情境，激發學生探究新知的欲望，為學習新內容做好準備。

（通過這一環節，學生已經產生強烈的求知欲望，此時將學生帶入下一個環節。）

(二)探究討論，發現問題（本節課的重點）

首先給出探索發現1，在教師的啟發引導下，學生通過合作交流的方式，逐步明確解決問題的方法和思路。

設計意圖：通過這一環節，讓學生體會數形結合的數學思想，同時培養學生的探究及歸納能力。

接著給出探索發現2，由學生通過主動探究和合作交流的方式解決問題2，從而歸納整理出求和公式1。

設計意圖：學生通過探索1的解決，已經積累了解決此類問題的經驗，此時給出探索2，充分發掘學生的興趣點，同時順利解決問題。

最后給出探索發現3，此時提出問題3，學生結合前兩個問題的解決方法，從而歸納出求和公式一和二。

設計意圖：在本環節中采用問題驅動的教學方法，以循序漸進、層層深入的方式，運用特殊到一般的研究方法，降低了知識的梯度，從而突出重點。（通過前面的學習，學生已經基本把握了本節課所學習的內容，此時他們急于展示自我，體驗成功，于是我把學生帶入第三個階段。）

（三）公式應用，加深理解

本環節主要是等差數列求和公式的應用，是本節課的難點。解決引入時候設置的問題，處理方法是引導學生從首項、末項及項數出發，使用公式

（一）求和；(2)引導學生從首項、項數及公差出發，使用公式

（二）求和。通過兩種方法的比較，提示學生應根據信息選擇合適的公式。

設計意圖：反饋體驗，解決引入時候設置的問題，使得學生體會到等差數列前n項和的實用性，突破本節課的難點。

（五）小結歸納，感知深化

為發揮學生的主體作用，從學習的知識、方法、體驗三個方面進行歸納，我設計了三個問題。

設計意圖：通過三個問題的處理，讓學生從整體上把握課堂結構，從而優化認知結構，充分發揮學生的主體作用。

（六）布置作業，拓展升華

以作業的鞏固性和發展性為出發點，設計了A和B兩種題目，作業A是對本節課內容的一個反饋，作業B是對本節知識的一個延伸。總的設計意圖是反饋教學，鞏固提高。

板書設計：這樣安排版面，使得本節課內容重難點突出，層次分明。

五、教學評價：

這節課的設計體現了以學生為主體，教師為指導的理念，以上幾個環節環環相扣，層層深入，充分體現教師與學生的互動，在教師的整體調控下，學生通過動腦思考，對知識的理解逐步深入，使課堂學習效果最優化。

第五篇：數列、數列的通項公式教案

目的：

要求學生理解數列的概念及其幾何表示，理解什么叫數列的通項公式，給出一些數列能夠寫出其通項公式，已知通項公式能夠求數列的項。

重點：

1數列的概念。

按一定次序排列的一列數叫做數列。數列中的每一個數叫做數列的項，數列的第n項an叫做數列的通項（或一般項）。由數列定義知：數列中的數是有序的，數列中的數可以重復出現，這與數集中的數的無序性、互異性是不同的。

2．數列的通項公式，如果數列{an}的通項an可以用一個關于n的公式來表示，這個公式就叫做數列的通項公式。

從映射、函數的觀點看，數列可以看成是定義域為正整數集N*（或寬的有限子集）的函數。當自變量順次從小到大依次取值時對自學成才的一列函數值，而數列的通項公式則是相應的解析式。由于數列的項是函數值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的圖像是一些孤立的點。

難點：

根據數列前幾項的特點，以現規律后寫出數列的通項公式。給出數列的前若干項求數列的通項公式，一般比較困難，且有的數列不一定有通項公式，如果有通項公式也不一定唯一。給出數列的前若干項要確定其一個通項公式，解決這個問題的關鍵是找出已知的每一項與其序號之間的對應關系，然后抽象成一般形式。

過程：

一、從實例引入（P110）

1． 堆放的鋼管 4,5,6,7,8,9,102． 正整數的倒數 3． 4．-1的正整數次冪：-1,1,-1,1,…5． 無窮多個數排成一列數：1,1,1,1,…

二、提出課題：

數列

1．數列的定義：

按一定次序排列的一列數（數列的有序性）

2． 名稱：

項，序號，一般公式，表示法

3． 通項公式：

與 之間的函數關系式如 數列1： 數列2： 數列4：

4． 分類：

遞增數列、遞減數列；常數列；擺動數列； 有窮數列、無窮數列。

5． 實質：

從映射、函數的觀點看，數列可以看作是一個定義域為正整數集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，通項公式即相應的函數解析式。

6． 用圖象表示：

— 是一群孤立的點 例一（P111 例一 略）

三、關于數列的通項公式

1． 不是每一個數列都能寫出其通項公式（如數列3）

2． 數列的通項公式不唯一 如： 數列4可寫成 和

3． 已知通項公式可寫出數列的任一項，因此通項公式十分重要例二（P111 例二）略

四、補充例題：

寫出下面數列的一個通項公式，使它的前 項分別是下列各數：1．1，0，1，0． 2．，，3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5．，，五、小結：

1．數列的有關概念

2．觀察法求數列的通項公式

六、作業：

練習P112習題 3．1（P114）

1、2七、練習：

1．觀察下面數列的特點，用適當的數填空，關寫出每個數列的一個通項公式；（1），，（），…（2），（），，…

2．寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：（1）

1、、、；（2）、、、；（3）、、、；（4）、、、3．求數列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一個通項公式

4．已知數列an的前4項為0，0，則下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作為數列{an}通項公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③

5．已知數列1，，3，…，…，則 是這個數列的（）A． 第10項 B.第11項 C.第12項 D.第21項

6．在數列{an}中a1=2,a17=66,通項公式或序號n的一次函數，求通項公式。

7．設函數（），數列{an}滿足

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）判斷數列{an}的單調性。

8．在數列{an}中，an=

（1）求證：數列{an}先遞增后遞減；

（2）求數列{an}的最大項。

答案：

1.（1），an=（2），an=

2．（1）an=（2）an=（3）an=（4）an=

3．an= 或an= 這里借助了數列1，0，1，0，1，0…的通項公式an=。

4．D

5.B

6.an=4n-2

7．（1）an=(2)<1又an<0, ∴ 是遞增數列