第一篇:復(fù)合函數(shù)單調(diào)性教案
復(fù)合函數(shù)單調(diào)性教案
教學目標 知識目標
1.掌握有關(guān)復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四個引理.2.會求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.必須明確復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.能力目標
培養(yǎng)學生的數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)建數(shù)學建模能力。情感目標
培養(yǎng)學生分析問題,解決問題的能力。教學重點與難點
1.教學重點是教會學生應(yīng)用本節(jié)的引理求出所給的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.教學難點是務(wù)必使學生明確復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學過程設(shè)計
師:這節(jié)課我們將講復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,下面我們先復(fù)習一下復(fù)合函數(shù)的定義.生:設(shè)y=f(u)的定義域為A,u=g(x)的值域為B,若AíB,則y關(guān)于x函數(shù)的y=f[g(x)]叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù),u叫中間量.師:很好.下面我們再復(fù)習一下所學過的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(教師把所學過的函數(shù)均寫在黑板上,中間留出寫答案的地方,當學生回答得正確時,由教師將正確答案寫在對應(yīng)題的下邊.)(教師板書,可適當略寫.)例
求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0).解 當k>0時,(-∞,+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;當k<0時,(-∞,+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.2.反比例函數(shù)y=k(k≠0).x解 當k>0時,(-∞,0)和(0,+∞)都是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,當k<0時,(-∞,0)和(0,+∞)都是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0).bb)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,(-,+∞)是它的單調(diào)增區(qū)間;2a2abb當a<0時(-∞,-)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,(-,+∞)是它的單調(diào)減區(qū)間;
2a2a解
當a>0時(-∞,-4.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1).
解
當a>1時,(-∞,+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,當0<a<1時,(-∞,+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.5.對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1).解
當a>1時,(0,+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,當0<a<1時,(0,+∞)是它的單調(diào)減區(qū)間.師:我們還學過冪函數(shù)y=xn(n為有理數(shù)),由于n的不同取值情況,可使其定義域分幾種情況,比較復(fù)雜,我們不妨遇到具體情況時,再具體分析.師:我們看看這個函數(shù)y=2x2+2x+1,它顯然是復(fù)合函數(shù),它的單調(diào)性如何? 生:它在(-∞,+∞)上是增函數(shù).師:我猜你是這樣想的,底等于2的指數(shù)函數(shù)為增函數(shù),而此函數(shù)的定義域為(-∞,+∞),所以你就得到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數(shù)u=x2+2x+1的存在,沒有考慮這個二次函數(shù)的單調(diào)性.咱們不難猜想復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)由兩個函數(shù)共同決定,但一時猜不準結(jié)論.下面我們引出并證明一些有關(guān)的預(yù)備定理.(板書)引理1 已知函數(shù)y=f[g(x)].若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),其值域為(c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù),那么,原復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).(本引理中的開區(qū)間也可以是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間.)證明
在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2,使a<x1<x2<b.因為u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù),所以g(x1)<g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1<u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù),所以f(u1)<f(u2),即f[g(x1)]<f[f(x2)],故函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師:有了這個引理,我們能不能解決所有復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題呢? 生:不能.因為并非所有的簡單函數(shù)都是某區(qū)間上的增函數(shù).師:你回答得很好.因此,還需增加一些引理,使得求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間更容易些.(教師可以根據(jù)學生情況和時間決定引理2是否在引理1的基礎(chǔ)上做些改動即可.建議引理2的證明也是改動引理1的部分證明過程就行了.)引理2 已知函數(shù)y=f[g(x)].若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù),其值域為(c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù),那么,復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).證明
在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2,使a<x1<x2<b.因為函數(shù)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù),所以g(x1)>g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1>u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù),所以f(u1)<f(u2),即f[g(x1)]<f[f(x2)],故函數(shù)y=f[g(x)]在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師:我們明白了上邊的引理及其證明以后,剩下的引理我們自己也能寫出了.為了記憶方便,咱們把它們總結(jié)成一個圖表.(板書)
師:你準備怎樣記這些引理?有規(guī)律嗎?
(由學生自己總結(jié)出規(guī)律:當兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時,其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù);當兩個函數(shù)的單調(diào)性不同時,其復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).)師:由于中學的教學要求,我們這里只研究y=f(u)為u的單調(diào)函數(shù)這一類的復(fù)合函數(shù).做例題前,全班先討論一道題目.(板書).例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
y=log4(x2-4x+3)師:咱們第一次接觸到求解這種類型問題,由于對它的解題步驟、書寫格式都不太清楚,我們先把它寫在草稿紙上,待討論出正確的結(jié)論后再往筆記本上寫.師:下面誰說一下自己的答案? 生:這是由 y=log4u與u=x2-4x+3構(gòu)成的一個復(fù)合函數(shù),其中對數(shù)函數(shù) y=log4u 在定義域(0,+∞)上是增函數(shù),而二次函數(shù)u=x2-4x+3,當x∈(-∞,2)時,它是減函數(shù),當x∈(2,+∞)時,它是增函數(shù),.因此,根據(jù)今天所學的引理知,(-∞,2)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;(2,+∞)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師:大家是否都同意他的結(jié)論?還有沒有不同的結(jié)論?我可以告訴大家,他的結(jié)論不正確.大家再討論一下,正確的結(jié)論應(yīng)該是什么? 生:……
生:我發(fā)現(xiàn),當x=1時,原復(fù)合函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)的真數(shù)等于零,于是這個函數(shù)沒意義.因此,單調(diào)區(qū)間中不應(yīng)含原函數(shù)沒有意義的x的值.師:你說得很好,怎樣才能做到這點呢? 生:先求復(fù)合函數(shù)的定義域,再在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.師:非常好.我們研究函數(shù)的任何性質(zhì),都應(yīng)該首先保證這個函數(shù)有意義,否則,函數(shù)都不存在了,性質(zhì)就更無從談起了.剛才的第一個結(jié)論之所以錯了,就是因為沒考慮對數(shù)函數(shù)的 定義域.注意,對數(shù)函數(shù)只有在有意義的情況下,才能討論單調(diào)性.所以,當我們求復(fù)合函數(shù)的
單調(diào)區(qū)間時,第一步應(yīng)該怎么做? 生:求定義域.師:好的.下面我們把這道題作為例1寫在筆記本上,我在黑板上寫.(板書)解
設(shè) y=log4u,u=x2-4x+3.由
{u>0,u=x2-4x+3,解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為x<1或x>3.師:這步咱們大家都很熟悉了,是求復(fù)合函數(shù)的定義域.下面該求它的單調(diào)區(qū)間了,怎樣求解,才能保證單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)呢? 生:利用圖象.師:這種方法完全可以.只是再說清楚一點,利用哪個函數(shù)的圖象? 可咱們并沒學過畫復(fù)合函數(shù)的圖象啊?這個問題你想如何解決? 生:……
師:我來幫你一下.所有的同學都想想,求定義域也好,求單調(diào)區(qū)間也好,是求x的取值范圍還是求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍?或是求中間量u的取值范圍? 生:求x的取值范圍.師:所以我們只需畫x的范圍就行了,并不要畫復(fù)合函數(shù)的圖象.(板書)師:當x∈(-∞,1)時,u=x2-4x+3為減函數(shù),而y=log4u為增函數(shù),所以(-∞,1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;當x∈(3,+∞)時,u=x2-4x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù),所以,(3,+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師:除了這種辦法,我們還可以利用代數(shù)方法求解單調(diào)區(qū)間.下面先求復(fù)合函數(shù)單調(diào)減區(qū) 間.(板書)u=x2-4x+3=(x-2)2-1, x>3或x<1,(復(fù)合函數(shù)定義域)x<2(u減)解得x<1.所以x∈(-∞,1)時,函數(shù)u單調(diào)遞減.由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù),所以由引理知:u=(x-2)2-1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一致,所以(-∞,1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.下面我們求一下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.(板書)u=x2-4x+3=(x-2)2-1, x>3或x<1,(復(fù)合函數(shù)定義域)x>2(u增)解得x>3.所以(3,+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師:下面咱們再看例2.(板書)例2
求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
y=log(2x-x2)師:先在筆記本上準備一下,幾分鐘后咱們再一起看黑板,我再邊講邊寫.(板書)解
設(shè) y=logu,u=2x-x2.由
u>0
u=2x-x2 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為0<x<2.由于y=log13u在定義域(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù),所以,原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2x-x2的單調(diào)性正好相反.易知u=2x-x2=-(x-1)2+1在x≤1時單調(diào)增.由
0<x<2(復(fù)合函數(shù)定義域)
x≤1,(u增)解得0<x≤1,所以(0,1]是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.又u=-(x-1)2+1在x≥1時單調(diào)減,由
x<2,(復(fù)合函數(shù)定義域)
x≥1,(u減)解得0≤x<2,所以[0,1]是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師:以上解法中,讓定義域與單調(diào)區(qū)間取公共部分,從而保證了單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi).師:下面我們再看一道題目,還是自己先準備一下,就按照黑板上第一題的格式寫.(板書)例3 求y=(學生板書)的單調(diào)區(qū)間.解
設(shè)y=.由
u∈R, u=x2-2x-1, 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為x∈R.因為y=在定義域R內(nèi)為減函數(shù),所以由引理知,二次函數(shù)u=x2-2x-1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性相反.易知,u=x2-2x-1=(x-1)2-2在x≤1時單調(diào)減,由
x∈R,(復(fù)合函數(shù)定義域)
x≤1,(u減)解得x≤1.所以(-∞,1]是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理[1,+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.師:黑板上這道題做得很好.請大家都與黑板上的整個解題過程對一下.師:下面我小結(jié)一下這節(jié)課.本節(jié)課講的是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.大家注意:單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集,當我們求單調(diào)區(qū)間時,必須先求出原復(fù)合函數(shù)的定義域.另外,咱們剛剛學習復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,做這類題目時,一定要按要求做,不要跳步.(作業(yè)均為補充題)作業(yè)
求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.y=log3(x2-2x);(答:(-∞,0)是單調(diào)減區(qū)間,(2,+∞)是單調(diào)增區(qū)間.)
第二篇:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明
復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明
例
1、已知函數(shù)y?f(x)與y?g(x)的定義域都是R,值域分別是?0,???與???,0?,在R上f(x)是增函數(shù)而g(x)是減函數(shù),求證:F(x)?f(x)?g(x)在R上為減函數(shù).分析:證明的依據(jù)應(yīng)是減函數(shù)的定義.證明:設(shè)x1,x2是R上的任意兩個實數(shù),且x1?x2,則F(x1)?F(x2)?f(x1)g(x1)?f(x2)g(x2)
?f(x1)g(x1)?f(x1)g(x2)?f(x1)g(x2)?f(x2)g(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)??g(x2)?f(x1)?f(x2)?
?f(x)是R上的增函數(shù),g(x)是R上的減函數(shù),且x1?x2.?f(x1)?f(x2),g(x1)?g(x2)即f(x1)?f(x2)?0,g(x1)?g(x2)?0.又f(x)的值域為?0,???,g(x)的值域為???,0?,?f(x1)?0,g(x2)?0.?F(x1)?F(x2)?0即F(x1)?F(x2)
?F(x)在R上為減函數(shù).小結(jié):此題涉及抽象函數(shù)的有關(guān)證明,要求較高,此外在F(x1)?F(x2)的變形中涉及到增減項的技巧,它也應(yīng)是源于單調(diào)性只能比較同一個函數(shù)的某兩個函數(shù)值,必須構(gòu)造出f(x1)與f(x2)的差和g(x1)與g(x2)的差.
第三篇:函數(shù)單調(diào)性教案(簡單)
函數(shù)單調(diào)性
一、教學目標
1、建立增(減)函數(shù)及單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念
2、掌握如何從函數(shù)圖象上看出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性
3、掌握如何利用定義證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性
二、教學重難點
1、了解增(減)函數(shù)定義
2、用定義法證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性
三、教材、學情分析
單調(diào)性是處于教材《數(shù)學?必修一》B版第二章第一節(jié),初中對單調(diào)性有著初步感性認識,到這節(jié)課我們給單調(diào)性嚴格的定義。單調(diào)性是對函數(shù)概念的延續(xù)和擴展,也是我們后續(xù)研究函數(shù)的基礎(chǔ),可以說,起到了承上啟下的作用。
四、教學方法
數(shù)形結(jié)合法、講解法
五、教具、參考書
三角尺、PPT、數(shù)學必修
一、教師教學用書
六、教學過程
(一)知識導入
引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖
詢問學生今天的溫度是如何變化的?
學生答:氣溫先上升,到了14時開始不斷下降。
由此導入函數(shù)圖像的上升下降變化,給出f(x)=x和f(x)=x2的圖像,詢問學生,這兩個函數(shù)圖象是如何變化的?
學生答:前一個不斷上升,后一個在y軸左邊下降,在y軸右邊上升。再詢問學生并提醒學生回答:從上面的觀察分析,能得出什么結(jié)論?
不同的函數(shù),其圖像的變化趨勢不同,同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢也不同,函數(shù)圖像的變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映。
教師:那么這就是我們要研究的單調(diào)性。
(二)給出定義。
教師:首先我們來看一下一元二次函數(shù)y=x2的圖象的對應(yīng)值表,當x從0到5上變化時,y是如何變化的。生:隨著x的增大而增大
教師:那么我們在這段上升區(qū)間中任取兩個x1,x2,x1 教師順勢引導出增函數(shù)的概念,再由增函數(shù)類比畫圖演示,引導出減函數(shù)的概念。強調(diào)增(減)函數(shù)概念,尤其是在區(qū)間內(nèi)任取x1,x2這句話的理解。由增(減)函數(shù)可以引出單調(diào)區(qū)間的定義,不作很詳細講解。給出例題讓學生思考作答,進一步鞏固知識點。 (三)證明方法 讓學生們思考例二(思想為用定義法證明一段區(qū)間的單調(diào)性)并嘗試解答,一段時間后教師給學生講解。 講解完例題后,引導學生歸納用定義法正明一段區(qū)間的單調(diào)性的方法: 1、設(shè)元。 2、做差。 3、變形。 4、斷號。 5、定論。 (四)鞏固深化 思考:函數(shù)y=1/x 的定義域I是什么?在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的? 通過這道問題的講解說明,讓學生們意識到單調(diào)性是離不開區(qū)間的且單調(diào)區(qū)間不能求并。 (五)課堂小結(jié) 再次對 1、增(減)函數(shù)定義。 2、增(減)函數(shù)的圖象有什么特點?如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間。 3、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?三個問題進行闡述,牢固學生記憶和理解。 (六)布置作業(yè)。 復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 1.復(fù)合函數(shù)的概念 如果y是?的函數(shù),?又是x的函數(shù),即y?f(?),??g(x),那么y關(guān)于x的函數(shù)y?f[g(x)]叫做函數(shù)y?f(?)和??g(x)的復(fù)合函數(shù),其中?是中間變量,自變量為x,函數(shù)值y。 例如:函數(shù)y?()x132?2x是由y?()?,??x?2x復(fù)合而成立。 221函數(shù)y?lg(3?4x?x)是由y?lg?,??3?4x?x復(fù)合而成立,?、?是中間變量。 2.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 一般地,定理:設(shè)函數(shù)??g(x)在區(qū)間M上有意義,函數(shù)y?f(?)在區(qū)間N上有意義,且當x?M時,??N 有以下四種情況: (1)若??g(x)在M上是增函數(shù),y?f(?)在N上是增函數(shù),則y?f[g(x)]在M上也是增函數(shù); (2)若??g(x)在M上是增函數(shù),y?f(?)在N上是減函數(shù),則y?f[g(x)]在M上也是減函數(shù); (3)若??g(x)在M上是減函數(shù),y?f(?)在N上是增函數(shù),則y?f[g(x)]在M上也是減函數(shù); (4)若??g(x)在M上是減函數(shù),y?f(?)在N上是減函數(shù),則y?f[g(x)]在M上也是增函數(shù)。 即:同增異減 注意:內(nèi)層函數(shù)??g(x)的值域是外層函數(shù)y?f(?)的定義域的子集。 例 1、討論下列函數(shù)的單調(diào)性(注意:要求定義域) (1)y?() 解: 213x2?2x(2)y?lg(3?4x?x) 練習1: 1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 (1)y? 2(3)y? 例 2、已知y?f(x),且lglgy?lg3x?lg(3?x)。 (1)求y?f(x)的表達式及定義域; (2)討論y?f(x)的單調(diào)性。 練習2 1.已知f(x)?8?2x?x,g(x)?f(2?x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間。 2.討論函數(shù)y?loga(x?4x?3)的單調(diào)性。2x2?5x?2 (2)y?log1(x?2x?3) 22x?x?1(4)y?(3x?x)22?1222 練習題 1.若函數(shù)y?f(x)的圖象過點(0,1),則y?f(x?4)的圖象必過點() A.(4,?1) B.(1,?4)C.(?4,1) D.(1,1) 2.函數(shù)y?log2x在區(qū)間???,0???0,???上()2A.是奇函數(shù),且在?0,???上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在?0,???上是增函數(shù) C.是奇函數(shù),且在?0,???上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在?0,???上是減函數(shù) 3.函數(shù)y?16?6x?x2(0?x?4)的最大值與最小值分別是() A.25,16 B.5,0 C.5,4 D.4,0 1?1?x4.函數(shù)y????3?2?1值域為() A.(??,1) B.(,1) C.[,1) D.[,??)5.函數(shù)f(x)?log1(6?x?x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()31313132A.[?11,??) B.[?,2)22x2?2(a?1)x?1C.(??,?) D.(?3,?) 12126.函數(shù)f(x)?2在區(qū)間[5,??)上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()A.[6,+?) B.(6,??) C.(??,6] D.(??,6)7.已知y?loga(2?ax)在?0,1?上是x的減函數(shù),則a的取值范圍是()A.?0,1? B.?1,2? C.?0,2? D.?2,??? 函數(shù)單調(diào)性概念教學的三個關(guān)鍵點 ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學設(shè)計 北京教育學院宣武分院 彭 林 函數(shù)單調(diào)性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義,對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學生來講,有較大的學習難度。一直以來,這節(jié)課也都是老師教學的難點。最近,在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上,聽了多名教師對這節(jié)課不同風格的課堂教學,通過對他們教學案例的研究和思考,筆者認為,在函數(shù)單調(diào)性概念的教學中,關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點。 關(guān)鍵點1。學生 學習函數(shù)單調(diào)性的認知基礎(chǔ)是什么? 在這個內(nèi)容之前,已經(jīng)教學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù),函數(shù)的變量定義和映射定義,以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學概念,也已經(jīng)形成初步認識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學研究中,建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征,即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言,就是研究它們所描述的運動關(guān)系的變化規(guī)律,也就是這些運動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性,即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學研究的思維方式,使得當前來討論函數(shù)的一些性質(zhì),就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中,選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì),是因為函數(shù)的單調(diào)性是學生從已經(jīng)學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。 就中小學生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言,學生認識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段: 第一階段,經(jīng)驗感知階段(小學階段),知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境,如“隨著年齡的增長,我的個子越來越高”,“我認識的字越多,我的知識就越多”等。 第二階段,形象描述階段(初中階段),能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢,如“y隨著x的增大而減少”。 第三階段,抽象概括階段(高中必修1),能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括,并通過具體函數(shù),初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。 第四階段,認識提升階段(高中選修系列1、2),要求學生能初步認識導數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。 基于上述認識,函數(shù)單調(diào)性教學的引入應(yīng)該從學生的已有認知出發(fā),建立在學生初中已學的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上,即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā),直觀感知函數(shù)的單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識.。 讓學生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律? 的圖象,并且觀察自變量變化時,函在學生畫圖的基礎(chǔ)上,引導學生觀察圖象,獲得信息:第一個圖象從左向右逐漸上升,y隨x的增大而增大;第二個圖象從左向右逐漸下降,y隨x的增大而減小.然后讓學生明確,對于自變量變化時,函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù),我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明,通過討論使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的. 在此基礎(chǔ)上,教師引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義: 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升,或者如果函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù). 關(guān)鍵點2。為什么要用數(shù)學的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念? 對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學而言,有一個很重要的問題,即為什么要進一步形式化。學生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),對函數(shù)的增減性已有初步的認識:隨x增大y增大是增函數(shù),隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的,很形象,他們會覺得這樣的定義很好,為什么還要費神去進行符號化呢?如果教師能通過教學設(shè)計,讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性,造成認知沖突,則學生研究的興趣就會大大提高,主動性也會更強。其實,數(shù)學概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果,之所以要進一步形式化,完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求,因為只有達到這種符號化、形式化的程度,才可以進行準確的計算,進行推理論證。 所以,在教學中提出類似如下的問題是非常必要的: 右圖是函數(shù)函數(shù)嗎? 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減 對于這個問題,學生的困難是難以確定分界點的確切位置.通過討論,使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性,從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點3:如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性? 從數(shù)學學科這個整體來看,數(shù)學的高度抽象性造成了數(shù)學的難懂、難教、難學,解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學習者的認知規(guī)律:在需要和可能的情況下,盡量做到從直觀入手,從具體開始,逐步抽象,即數(shù)學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言,并進行三者之間必要的轉(zhuǎn)化,可以說,這是學習數(shù)學的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學基本思考方式的一個良好載體,教學中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點。長此以往,便可使學生在學習知識的同時,學到比知識更重要的東西—學會如何思考?如何進行數(shù)學的思考? 一般說,對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程,一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義,二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義,學生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認識,因此,前一過程的建構(gòu)學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當?shù)碾y度,其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時,如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點: (1)“x增大”如何用符號表示;同樣,“f(x)增大”如何用符號表示。(2)“‘隨著’x增大,函數(shù)f(x)‘也’增大”,如何用符號表示。 用數(shù)學符號描述這兩種數(shù)學意義的最大要害之處,在于要用數(shù)學的符號來描述動態(tài)的數(shù)學對象。 在初中數(shù)學中,除了學習函數(shù)的初級概念,用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時,接觸到一點動態(tài)數(shù)學對象的數(shù)學符號表示以外,絕大多數(shù)都是用數(shù)學符號表示靜態(tài)的數(shù)學對象。因此,從用靜態(tài)的數(shù)學符號描述靜態(tài)的數(shù)學對象,到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學對象,在思維能力層次上存在重大差異,對剛剛由初中進入高中學習的學生而言,無疑是一個很大的挑戰(zhàn)! 因此,在教學中可以提出如下問題2: 如何從解析式的角度說明 在上為增函數(shù)? 這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學中,教師可以組織學生先分組探究,然后全班交流,相互補充,并及時對學生的發(fā)言進行反饋、評價,對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論,在辨析中達成共識.對于問題2,學生錯誤的回答主要有兩種: ①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如1和2,因為函數(shù). ,所以 在上為增②可以用0,1,2,3,4,5驗證: 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。 對于這兩種錯誤,教師要引導學生進一步展開思考。例如,指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論,而且引入了不等式表示不等關(guān)系,但是,只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行,只有當所有的比較結(jié)果都是一樣的:自變量大時,函數(shù)值也大,才可以證明它是增函數(shù),那么怎么辦?如果有的學生提出:引入非負實數(shù)a,只要證明 就可以了,這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應(yīng)適時指出這種驗證也有局限性,然后再讓學生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎(chǔ)了。也就是,從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小,從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù). ,即,所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì),也讓學生領(lǐng)悟到兩點:(1)兩自變量的取值具有任意性;(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此,學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識.在前面研究的基礎(chǔ)上,引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義,使學生經(jīng)歷從特殊到一般,從具體到抽象的認知過程。 教學中,教師引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義,并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進行強調(diào).同時設(shè)計了一組判斷題: 判斷題: ①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù).④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù),所以在上是通過對判斷題的討論,強調(diào)三點: ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性. ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù)),有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù). 從而加深學生對定義的理解 北京4中常規(guī)備課 【教學目標】 1.使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法. 2.通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學生的推理論證能力. 3.通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣,讓學生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認知過程. 【教學重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明. 【教學難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性. 【教學方法】 教師啟發(fā)講授,學生探究學習. 【教學手段】 計算機、投影儀. 【教學過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題 課前布置任務(wù): (1)由于某種原因,2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到8月中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降,比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖,捕捉信息,啟發(fā)學生思考. 問題:觀察圖形,能得到什么信息? 預(yù)案:(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到;(2)在某時刻的溫度; (3)某些時段溫度升高,某些時段溫度降低.在生活中,我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,對我們的生活是很有幫助的. 問題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎? 預(yù)案:水位高低、燃油價格、股票價格等. 歸納:用函數(shù)觀點看,其實就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小. 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課,激發(fā)興趣. 二、歸納探索,形成概念 對于自變量變化時,函數(shù)值是變大還是變小,初中同學們就有了一定的認識,但是沒有嚴格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義.1.借助圖象,直觀感知 問題1: 分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律? 的圖象,并且觀察自變量變化時,函 預(yù)案:(1)函數(shù) 在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大;函數(shù) 在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減小. (2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大,在上y隨x的增大而減小. (3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小,在上y隨x的增大而減小. 引導學生進行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù)).同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì). 問題2:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案:如果函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù) 在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù). 教師指出:這種認識是從圖象的角度得到的,是對函數(shù)單調(diào)性的直觀,描述性的認識. 【設(shè)計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識. 2.探究規(guī)律,理性認識 問題1:下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎? 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù) 學生的困難是難以確定分界點的確切位置. 通過討論,使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究. 〖設(shè)計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性. 問題2:如何從解析式的角度說明 在為增函數(shù)? 22預(yù)案:(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如1和2,因為1<2,所以為增函數(shù). (2)仿(1),取很多組驗證均滿足,所以(3)任取,所以 在,因為 為增函數(shù). 在為增函數(shù). 在,即對于學生錯誤的回答,引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量. 【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識.事實上也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊.3.抽象思維,形成概念 問題:你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究,得出增函數(shù)嚴格的定義,然后學生類比得出減函數(shù)的定義.(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題: ①. ②若函數(shù) ③若函數(shù) 在區(qū)間 和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù) 在區(qū)間(1,3)上為增函 . ④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù),所以在 通過判斷題,強調(diào)三點: ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性. ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)). ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù). 思考:如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計意圖】讓學生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學生對定義的理解,完成對概念的第三次認識.三、掌握證法,適當延展 例 證明函數(shù) 在上是增函數(shù). 1.分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題,組織學生討論、交流. 證明:任取 ,設(shè)元 求差 變形,斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數(shù) 2.歸納解題步驟 在上是增函數(shù). 定論 引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論. 練習:證明函數(shù) 問題:要證明函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù),除了用定義來證,如果可以證得對 在上是增函數(shù). 任意的,且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性.讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在 〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟.等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法,為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆. 四、歸納小結(jié),提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲,交流學習過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結(jié). 1.小結(jié) (1)概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)證明方法和步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.(3)數(shù)學思想方法和思維方法:數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化,類比等. 2.作業(yè) 書面作業(yè):課本第60頁習題2.3 第4,5,6題. 課后探究:(1)證明:函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù).,且 有. (2)研究函數(shù)的單調(diào)性,并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖. 《函數(shù)的單調(diào)性》教學設(shè)計說明 一、教學內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì),是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念,為進一步學習函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù). 對于函數(shù)單調(diào)性,學生的認知困難主要在兩個方面:(1)要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降,這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的;(2)單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的.根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求,確定了本節(jié)課的重點和難點. 二、教學目標的確定 根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平,從三個不同的方面確定了教學目標,重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識;強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透;突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成. 三、教學過程的設(shè)計 為達到本節(jié)課的教學目標,突出重點,突破難點,教學上采取了以下的措施:(1)在探索概念階段, 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程,完成對單調(diào)性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入. (2)在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析,幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟. (3)考慮到我校學生數(shù)學基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點,對判斷方法進行適當?shù)难诱梗由顚Χx的理解,同時也為用導數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆.第四篇:復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
第五篇:函數(shù)單調(diào)性