第一篇：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性教案

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性教案

教學目標 知識目標

1.掌握有關(guān)復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四個引理.2.會求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.必須明確復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.能力目標

培養(yǎng)學生的數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)建數(shù)學建模能力。情感目標

培養(yǎng)學生分析問題，解決問題的能力。教學重點與難點

1.教學重點是教會學生應(yīng)用本節(jié)的引理求出所給的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.教學難點是務(wù)必使學生明確復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學過程設(shè)計

師：這節(jié)課我們將講復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，下面我們先復(fù)習一下復(fù)合函數(shù)的定義.生：設(shè)y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AíB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.師：很好.下面我們再復(fù)習一下所學過的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(教師把所學過的函數(shù)均寫在黑板上，中間留出寫答案的地方，當學生回答得正確時，由教師將正確答案寫在對應(yīng)題的下邊.)(教師板書，可適當略寫.)例

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0).解 當k＞0時，(－∞，+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當k＜0時，(－∞，+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.2.反比例函數(shù)y=k(k≠0).x解 當k＞0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，當k＜0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0).bb)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，(－，+∞)是它的單調(diào)增區(qū)間；2a2abb當a＜0時(－∞，－)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，(－，+∞)是它的單調(diào)減區(qū)間；

2a2a解

當a＞0時(－∞，－4.指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1).

解

當a＞1時，(－∞，+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當0＜a＜1時，(－∞，+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.5.對數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1).解

當a＞1時，(0，+∞)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當0＜a＜1時，(0，+∞)是它的單調(diào)減區(qū)間.師：我們還學過冪函數(shù)y=xn(n為有理數(shù))，由于n的不同取值情況，可使其定義域分幾種情況，比較復(fù)雜，我們不妨遇到具體情況時，再具體分析.師：我們看看這個函數(shù)y=2x2+2x+1，它顯然是復(fù)合函數(shù)，它的單調(diào)性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函數(shù).師：我猜你是這樣想的，底等于2的指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，而此函數(shù)的定義域為(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數(shù)u=x2+2x+1的存在，沒有考慮這個二次函數(shù)的單調(diào)性.咱們不難猜想復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)由兩個函數(shù)共同決定，但一時猜不準結(jié)論.下面我們引出并證明一些有關(guān)的預(yù)備定理.(板書)引理1 已知函數(shù)y=f［g(x)］.若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).(本引理中的開區(qū)間也可以是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間.)證明

在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因為u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)＜g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函數(shù)y=f［g(x)］在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師：有了這個引理，我們能不能解決所有復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題呢? 生：不能.因為并非所有的簡單函數(shù)都是某區(qū)間上的增函數(shù).師：你回答得很好.因此，還需增加一些引理，使得求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間更容易些.(教師可以根據(jù)學生情況和時間決定引理2是否在引理1的基礎(chǔ)上做些改動即可.建議引理2的證明也是改動引理1的部分證明過程就行了.)引理2 已知函數(shù)y=f［g(x)］.若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).證明

在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因為函數(shù)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x1)＞g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函數(shù)y=f［g(x)］在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師：我們明白了上邊的引理及其證明以后，剩下的引理我們自己也能寫出了.為了記憶方便，咱們把它們總結(jié)成一個圖表.(板書)

師：你準備怎樣記這些引理?有規(guī)律嗎?

(由學生自己總結(jié)出規(guī)律：當兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當兩個函數(shù)的單調(diào)性不同時，其復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).)師：由于中學的教學要求，我們這里只研究y=f(u)為u的單調(diào)函數(shù)這一類的復(fù)合函數(shù).做例題前，全班先討論一道題目.(板書).例1 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=log4(x2－4x+3)師：咱們第一次接觸到求解這種類型問題，由于對它的解題步驟、書寫格式都不太清楚，我們先把它寫在草稿紙上，待討論出正確的結(jié)論后再往筆記本上寫.師：下面誰說一下自己的答案? 生：這是由 y=log4u與u=x2－4x+3構(gòu)成的一個復(fù)合函數(shù)，其中對數(shù)函數(shù) y=log4u 在定義域(0，+∞)上是增函數(shù)，而二次函數(shù)u=x2－4x+3，當x∈(－∞，2)時，它是減函數(shù)，當x∈(2，+∞)時，它是增函數(shù)，.因此，根據(jù)今天所學的引理知，(－∞，2)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2，+∞)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：大家是否都同意他的結(jié)論?還有沒有不同的結(jié)論?我可以告訴大家，他的結(jié)論不正確.大家再討論一下，正確的結(jié)論應(yīng)該是什么? 生：……

生：我發(fā)現(xiàn)，當x=1時，原復(fù)合函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)的真數(shù)等于零，于是這個函數(shù)沒意義.因此，單調(diào)區(qū)間中不應(yīng)含原函數(shù)沒有意義的x的值.師：你說得很好，怎樣才能做到這點呢? 生：先求復(fù)合函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.師：非常好.我們研究函數(shù)的任何性質(zhì)，都應(yīng)該首先保證這個函數(shù)有意義，否則，函數(shù)都不存在了，性質(zhì)就更無從談起了.剛才的第一個結(jié)論之所以錯了，就是因為沒考慮對數(shù)函數(shù)的 定義域.注意，對數(shù)函數(shù)只有在有意義的情況下，才能討論單調(diào)性.所以，當我們求復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)區(qū)間時，第一步應(yīng)該怎么做? 生：求定義域.師：好的.下面我們把這道題作為例1寫在筆記本上，我在黑板上寫.(板書)解

設(shè) y=log4u,u=x2－4x+3.由

{u＞0，u=x2－4x+3，解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為x＜1或x＞3.師：這步咱們大家都很熟悉了，是求復(fù)合函數(shù)的定義域.下面該求它的單調(diào)區(qū)間了，怎樣求解，才能保證單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)呢? 生：利用圖象.師：這種方法完全可以.只是再說清楚一點，利用哪個函數(shù)的圖象? 可咱們并沒學過畫復(fù)合函數(shù)的圖象啊?這個問題你想如何解決? 生：……

師：我來幫你一下.所有的同學都想想，求定義域也好，求單調(diào)區(qū)間也好，是求x的取值范圍還是求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍?或是求中間量u的取值范圍? 生：求x的取值范圍.師：所以我們只需畫x的范圍就行了，并不要畫復(fù)合函數(shù)的圖象.(板書)師：當x∈(－∞，1)時，u=x2－4x+3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(－∞，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當x∈(3，+∞)時，u=x2－4x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：除了這種辦法，我們還可以利用代數(shù)方法求解單調(diào)區(qū)間.下面先求復(fù)合函數(shù)單調(diào)減區(qū) 間.(板書)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x＜2(u減)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)時，函數(shù)u單調(diào)遞減.由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=(x－2)2－1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一致，所以(－∞，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.下面我們求一下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.(板書)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x＞2(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：下面咱們再看例2.(板書)例2

求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

y=log(2x－x2)師：先在筆記本上準備一下，幾分鐘后咱們再一起看黑板，我再邊講邊寫.(板書)解

設(shè) y=logu,u=2x－x2.由

u＞0

u=2x－x2 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為0＜x＜2.由于y=log13u在定義域(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2x－x2的單調(diào)性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1時單調(diào)增.由

0＜x＜2（復(fù)合函數(shù)定義域）

x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.又u=－(x－1)2+1在x≥1時單調(diào)減，由

x＜2，(復(fù)合函數(shù)定義域)

x≥1，(u減)解得0≤x＜2,所以[0，1]是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：以上解法中，讓定義域與單調(diào)區(qū)間取公共部分，從而保證了單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi).師：下面我們再看一道題目，還是自己先準備一下，就按照黑板上第一題的格式寫.(板書)例3 求y=(學生板書)的單調(diào)區(qū)間.解

設(shè)y=.由

u∈R, u=x2－2x－1, 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為x∈R.因為y=在定義域R內(nèi)為減函數(shù)，所以由引理知，二次函數(shù)u=x2－2x－1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1時單調(diào)減，由

x∈R,(復(fù)合函數(shù)定義域)

x≤1，(u減)解得x≤1.所以(－∞，1］是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理［1，+∞)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.師：黑板上這道題做得很好.請大家都與黑板上的整個解題過程對一下.師：下面我小結(jié)一下這節(jié)課.本節(jié)課講的是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.大家注意：單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集，當我們求單調(diào)區(qū)間時，必須先求出原復(fù)合函數(shù)的定義域.另外，咱們剛剛學習復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，做這類題目時，一定要按要求做，不要跳步.(作業(yè)均為補充題)作業(yè)

求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是單調(diào)減區(qū)間，(2，+∞)是單調(diào)增區(qū)間.)

第二篇：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的證明

例

1、已知函數(shù)y?f(x)與y?g(x)的定義域都是R，值域分別是?0,???與???,0?，在R上f(x)是增函數(shù)而g(x)是減函數(shù)，求證:F(x)?f(x)?g(x)在R上為減函數(shù).分析：證明的依據(jù)應(yīng)是減函數(shù)的定義.證明：設(shè)x1,x2是R上的任意兩個實數(shù)，且x1?x2，則F(x1)?F(x2)?f(x1)g(x1)?f(x2)g(x2)

?f(x1)g(x1)?f(x1)g(x2)?f(x1)g(x2)?f(x2)g(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)??g(x2)?f(x1)?f(x2)?

?f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)是R上的減函數(shù)，且x1?x2.?f(x1)?f(x2)，g(x1)?g(x2)即f(x1)?f(x2)?0，g(x1)?g(x2)?0.又f(x)的值域為?0,???，g(x)的值域為???,0?，?f(x1)?0,g(x2)?0.?F(x1)?F(x2)?0即F(x1)?F(x2)

?F(x)在R上為減函數(shù).小結(jié)：此題涉及抽象函數(shù)的有關(guān)證明，要求較高，此外在F(x1)?F(x2)的變形中涉及到增減項的技巧，它也應(yīng)是源于單調(diào)性只能比較同一個函數(shù)的某兩個函數(shù)值，必須構(gòu)造出f(x1)與f(x2)的差和g(x1)與g(x2)的差.

第三篇：函數(shù)單調(diào)性教案(簡單)

函數(shù)單調(diào)性

一、教學目標

1、建立增（減）函數(shù)及單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念

2、掌握如何從函數(shù)圖象上看出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性

3、掌握如何利用定義證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

二、教學重難點

1、了解增（減）函數(shù)定義

2、用定義法證明一段區(qū)間上的函數(shù)單調(diào)性

三、教材、學情分析

單調(diào)性是處于教材《數(shù)學?必修一》B版第二章第一節(jié)，初中對單調(diào)性有著初步感性認識，到這節(jié)課我們給單調(diào)性嚴格的定義。單調(diào)性是對函數(shù)概念的延續(xù)和擴展，也是我們后續(xù)研究函數(shù)的基礎(chǔ)，可以說，起到了承上啟下的作用。

四、教學方法

數(shù)形結(jié)合法、講解法

五、教具、參考書

三角尺、PPT、數(shù)學必修

一、教師教學用書

六、教學過程

（一）知識導入

引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖

詢問學生今天的溫度是如何變化的？

學生答：氣溫先上升，到了14時開始不斷下降。

由此導入函數(shù)圖像的上升下降變化，給出f（x）=x和f（x）=x2的圖像，詢問學生，這兩個函數(shù)圖象是如何變化的？

學生答：前一個不斷上升，后一個在y軸左邊下降，在y軸右邊上升。再詢問學生并提醒學生回答：從上面的觀察分析，能得出什么結(jié)論？

不同的函數(shù)，其圖像的變化趨勢不同，同一函數(shù)在不同區(qū)間上的變化趨勢也不同，函數(shù)圖像的變化規(guī)律就是函數(shù)性質(zhì)的反映。

教師：那么這就是我們要研究的單調(diào)性。

（二）給出定義。

教師：首先我們來看一下一元二次函數(shù)y=x2的圖象的對應(yīng)值表，當x從0到5上變化時，y是如何變化的。生：隨著x的增大而增大

教師：那么我們在這段上升區(qū)間中任取兩個x1，x2，x1

教師順勢引導出增函數(shù)的概念，再由增函數(shù)類比畫圖演示，引導出減函數(shù)的概念。強調(diào)增（減）函數(shù)概念，尤其是在區(qū)間內(nèi)任取x1，x2這句話的理解。由增（減）函數(shù)可以引出單調(diào)區(qū)間的定義，不作很詳細講解。給出例題讓學生思考作答，進一步鞏固知識點。

（三）證明方法

讓學生們思考例二（思想為用定義法證明一段區(qū)間的單調(diào)性）并嘗試解答，一段時間后教師給學生講解。

講解完例題后，引導學生歸納用定義法正明一段區(qū)間的單調(diào)性的方法：

1、設(shè)元。

2、做差。

3、變形。

4、斷號。

5、定論。

（四）鞏固深化

思考：函數(shù)y=1/x 的定義域I是什么？在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？

通過這道問題的講解說明，讓學生們意識到單調(diào)性是離不開區(qū)間的且單調(diào)區(qū)間不能求并。

（五）課堂小結(jié)

再次對

1、增（減）函數(shù)定義。

2、增（減）函數(shù)的圖象有什么特點？如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間。

3、怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？三個問題進行闡述，牢固學生記憶和理解。

（六）布置作業(yè)。

第四篇：復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

1．復(fù)合函數(shù)的概念

如果y是?的函數(shù)，?又是x的函數(shù)，即y?f(?)，??g(x)，那么y關(guān)于x的函數(shù)y?f[g(x)]叫做函數(shù)y?f(?)和??g(x)的復(fù)合函數(shù)，其中?是中間變量，自變量為x，函數(shù)值y。

例如：函數(shù)y?()x132?2x是由y?()?，??x?2x復(fù)合而成立。

221函數(shù)y?lg(3?4x?x)是由y?lg?，??3?4x?x復(fù)合而成立，?、?是中間變量。

2．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

一般地，定理：設(shè)函數(shù)??g(x)在區(qū)間M上有意義，函數(shù)y?f(?)在區(qū)間N上有意義，且當x?M時，??N

有以下四種情況：

（1）若??g(x)在M上是增函數(shù)，y?f(?)在N上是增函數(shù)，則y?f[g(x)]在M上也是增函數(shù)；

（2）若??g(x)在M上是增函數(shù)，y?f(?)在N上是減函數(shù)，則y?f[g(x)]在M上也是減函數(shù)；

（3）若??g(x)在M上是減函數(shù)，y?f(?)在N上是增函數(shù)，則y?f[g(x)]在M上也是減函數(shù)；

（4）若??g(x)在M上是減函數(shù)，y?f(?)在N上是減函數(shù)，則y?f[g(x)]在M上也是增函數(shù)。

即：同增異減

注意：內(nèi)層函數(shù)??g(x)的值域是外層函數(shù)y?f(?)的定義域的子集。

例

1、討論下列函數(shù)的單調(diào)性（注意：要求定義域）

（1）y?()

解：

213x2?2x（2）y?lg(3?4x?x)

練習1：

1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（1）y?

2（3）y?

例

2、已知y?f(x)，且lglgy?lg3x?lg(3?x)。

（1）求y?f(x)的表達式及定義域；

（2）討論y?f(x)的單調(diào)性。

練習2 1．已知f(x)?8?2x?x，g(x)?f(2?x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間。

2．討論函數(shù)y?loga(x?4x?3)的單調(diào)性。2x2?5x?2

（2）y?log1(x?2x?3)

22x?x?1（4）y?(3x?x)22?1222

練習題

1．若函數(shù)y?f(x)的圖象過點(0,1)，則y?f(x?4)的圖象必過點（）

A．(4,?1)

B．(1,?4)C．(?4,1)

D．(1,1)

2．函數(shù)y?log2x在區(qū)間???,0???0,???上（）2A.是奇函數(shù)，且在?0,???上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在?0,???上是增函數(shù) C.是奇函數(shù)，且在?0,???上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在?0,???上是減函數(shù)

3．函數(shù)y?16?6x?x2(0?x?4)的最大值與最小值分別是（）

A．25，16 B．5，0 C．5，4 D．4，0 1?1?x4．函數(shù)y????3?2?1值域為（）

A．(??,1)

B．(,1)

C．[,1)

D．[,??)5．函數(shù)f(x)?log1(6?x?x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()31313132A．[?11,??)

B．[?,2)22x2?2(a?1)x?1C．(??,?)

D．(?3,?)

12126．函數(shù)f(x)?2在區(qū)間[5,??)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.[6,+?)

B.(6,??)

C.(??,6]

D.(??,6)7．已知y?loga(2?ax)在?0,1?上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.?0,1?

B.?1,2?

C.?0,2?

D.?2,???

第五篇：函數(shù)單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性概念教學的三個關(guān)鍵點 ──兼談《函數(shù)單調(diào)性》的教學設(shè)計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數(shù)單調(diào)性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經(jīng)驗型邏輯思維發(fā)展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節(jié)課也都是老師教學的難點。最近，在我區(qū)“青年教師評優(yōu)課”上，聽了多名教師對這節(jié)課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數(shù)單調(diào)性概念的教學中，關(guān)鍵是把握住如下三個關(guān)鍵點。

關(guān)鍵點1。學生 學習函數(shù)單調(diào)性的認知基礎(chǔ)是什么？

在這個內(nèi)容之前，已經(jīng)教學過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，函數(shù)的變量定義和映射定義，以及函數(shù)的表示。對函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學概念，也已經(jīng)形成初步認識。接踵而來的任務(wù)是對函數(shù)應(yīng)該繼續(xù)研究什么。在數(shù)學研究中，建立一個數(shù)學概念的意義就是揭示它的本質(zhì)特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數(shù)模型而言，就是研究它們所描述的運動關(guān)系的變化規(guī)律，也就是這些運動關(guān)系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質(zhì)。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數(shù)的一些性質(zhì)，就成為順理成章的、必要的和有意義的數(shù)學活動。至于在多種函數(shù)性質(zhì)中，選擇這個時機來討論函數(shù)的單調(diào)性而不是其他性質(zhì)，是因為函數(shù)的單調(diào)性是學生從已經(jīng)學習的函數(shù)中比較容易發(fā)現(xiàn)的一個性質(zhì)。

就中小學生與單調(diào)性相關(guān)的經(jīng)歷而言，學生認識函數(shù)單調(diào)性可以分為四個階段： 第一階段，經(jīng)驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數(shù)，初步體會單調(diào)性在研究函數(shù)變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數(shù)與單調(diào)性的聯(lián)系。

基于上述認識，函數(shù)單調(diào)性教學的引入應(yīng)該從學生的已有認知出發(fā)，建立在學生初中已學的一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上，即從學生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā)，直觀感知函數(shù)的單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎(chǔ)上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù)，我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).第三個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．

在此基礎(chǔ)上，教師引導學生用自己的語言描述增函數(shù)的定義： 如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)．

關(guān)鍵點2。為什么要用數(shù)學的符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性概念？

對于函數(shù)單調(diào)性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經(jīng)接觸過一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數(shù)，隨x增大y 減小是減函數(shù)。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設(shè)計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數(shù)學概念就是一系列常識不斷精微化的結(jié)果，之所以要進一步形式化，完全是數(shù)學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數(shù)函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性，從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.關(guān)鍵點3：如何用形式化的語言定義函數(shù)的單調(diào)性？

從數(shù)學學科這個整體來看，數(shù)學的高度抽象性造成了數(shù)學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應(yīng)學習者的認知規(guī)律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數(shù)學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉(zhuǎn)化，可以說，這是學習數(shù)學的基本思考方式。而函數(shù)單調(diào)性這一內(nèi)容正是體現(xiàn)數(shù)學基本思考方式的一個良好載體，教學中應(yīng)該充分關(guān)注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數(shù)學的思考？

一般說，對函數(shù)單調(diào)性的建構(gòu)有兩個重要過程，一是建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義，二是通過思維構(gòu)造把這個意義用數(shù)學的形式化語言加以描述。對函數(shù)單調(diào)性的意義，學生通過對若干函數(shù)圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構(gòu)學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當?shù)碾y度，其難就難在用數(shù)學的符合語言來描述函數(shù)單調(diào)性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數(shù)f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數(shù)學符號描述這兩種數(shù)學意義的最大要害之處，在于要用數(shù)學的符號來描述動態(tài)的數(shù)學對象。

在初中數(shù)學中，除了學習函數(shù)的初級概念，用y=f(x)表示函數(shù)y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態(tài)數(shù)學對象的數(shù)學符號表示以外，絕大多數(shù)都是用數(shù)學符號表示靜態(tài)的數(shù)學對象。因此，從用靜態(tài)的數(shù)學符號描述靜態(tài)的數(shù)學對象，到用靜態(tài)的符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰(zhàn)！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數(shù)？

這個問題是形成函數(shù)單調(diào)性概念的關(guān)鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發(fā)言進行反饋、評價，對普遍出現(xiàn)的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為函數(shù)． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數(shù)上是增函數(shù)。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數(shù)列來驗證結(jié)論，而且引入了不等式表示不等關(guān)系，但是，只是對有限幾個自然數(shù)驗證不行，只有當所有的比較結(jié)果都是一樣的：自變量大時，函數(shù)值也大，才可以證明它是增函數(shù)，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數(shù)a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應(yīng)適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現(xiàn)“任意性”就有堅實的基礎(chǔ)了。也就是，從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數(shù)． ,即，所以這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì)，也讓學生領(lǐng)悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數(shù)值的大小。至此，學生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認識.在前面研究的基礎(chǔ)上，引導學生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義，使學生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數(shù)學符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義，并讓學生類比得到減函數(shù)的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進行強調(diào).同時設(shè)計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數(shù)③若函數(shù)滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)．④因為函數(shù)減函數(shù).在上都是減函數(shù)，所以在上是通過對判斷題的討論，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規(guī)備課

【教學目標】

1．使學生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．

2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預(yù)案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數(shù)數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預(yù)案：(1)函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)

在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減小．

(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數(shù) 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．

問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)

在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認識． 【設(shè)計意圖】從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識

問題1：下圖是函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設(shè)計意圖〗使學生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數(shù)？

22預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為1<2,所以為增函數(shù)．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數(shù)．

在為增函數(shù)．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．

【設(shè)計意圖】把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數(shù)學符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數(shù)

③若函數(shù) 在區(qū)間

和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間(1,3)上為增函

．

④因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).上都是減函數(shù)，所以在

通過判斷題，強調(diào)三點：

①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．

③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．

思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 【設(shè)計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數(shù)

在上是增函數(shù)．

1．分析解決問題

針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設(shè)元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數(shù)

2．歸納解題步驟

在上是增函數(shù)．

定論

引導學生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數(shù)

問題：要證明函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數(shù)．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在

〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數(shù)法，為用導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．

四、歸納小結(jié)，提高認識

學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)．

1．小結(jié)

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè)

書面作業(yè)：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數(shù)

在區(qū)間

上是增函數(shù)的充要條件是對任意的上是增函數(shù)．，且

有．

(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖．

《函數(shù)的單調(diào)性》教學設(shè)計說明

一、教學內(nèi)容的分析

函數(shù)的單調(diào)性是學生在了解函數(shù)概念后學習的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學習中第一個用數(shù)學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據(jù)本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成．

三、教學過程的設(shè)計

為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數(shù)學基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當?shù)难诱梗由顚Χx的理解，同時也為用導數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．