第一篇：復合函數單調性教案

復合函數單調性教案

教學目標 知識目標

1.掌握有關復合函數單調區間的四個引理.2.會求復合函數的單調區間.3.必須明確復合函數單調區間是定義域的子集.能力目標

培養學生的數學轉化思想和構建數學建模能力。情感目標

培養學生分析問題，解決問題的能力。教學重點與難點

1.教學重點是教會學生應用本節的引理求出所給的復合函數的單調區間.2.教學難點是務必使學生明確復合函數的單調區間是定義域的子集.教學過程設計

師：這節課我們將講復合函數的單調區間，下面我們先復習一下復合函數的定義.生：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若AíB，則y關于x函數的y=f［g(x)］叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.師：很好.下面我們再復習一下所學過的函數的單調區間.(教師把所學過的函數均寫在黑板上，中間留出寫答案的地方，當學生回答得正確時，由教師將正確答案寫在對應題的下邊.)(教師板書，可適當略寫.)例

求下列函數的單調區間.1.一次函數y=kx+b(k≠0).解 當k＞0時，(－∞，+∞)是這個函數的單調增區間；當k＜0時，(－∞，+∞)是這個函數的單調減區間.2.反比例函數y=k(k≠0).x解 當k＞0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函數的單調減區間，當k＜0時，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個函數的單調增區間.3.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0).bb)是這個函數的單調減區間，(－，+∞)是它的單調增區間；2a2abb當a＜0時(－∞，－)是這個函數的單調增區間，(－，+∞)是它的單調減區間；

2a2a解

當a＞0時(－∞，－4.指數函數y=ax(a＞0，a≠1).

解

當a＞1時，(－∞，+∞)是這個函數的單調增區間，當0＜a＜1時，(－∞，+∞)是這個函數的單調減區間.5.對數函數y=logax(a＞0，a≠1).解

當a＞1時，(0，+∞)是這個函數的單調增區間，當0＜a＜1時，(0，+∞)是它的單調減區間.師：我們還學過冪函數y=xn(n為有理數)，由于n的不同取值情況，可使其定義域分幾種情況，比較復雜，我們不妨遇到具體情況時，再具體分析.師：我們看看這個函數y=2x2+2x+1，它顯然是復合函數，它的單調性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函數.師：我猜你是這樣想的，底等于2的指數函數為增函數，而此函數的定義域為(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數u=x2+2x+1的存在，沒有考慮這個二次函數的單調性.咱們不難猜想復合函數的單調性應由兩個函數共同決定，但一時猜不準結論.下面我們引出并證明一些有關的預備定理.(板書)引理1 已知函數y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，那么，原復合函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.(本引理中的開區間也可以是閉區間或半開半閉區間.)證明

在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因為u=g(x)在區間(a,b)上是增函數，所以g(x1)＜g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是增函數，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.師：有了這個引理，我們能不能解決所有復合函數的單調性問題呢? 生：不能.因為并非所有的簡單函數都是某區間上的增函數.師：你回答得很好.因此，還需增加一些引理，使得求復合函數的單調區間更容易些.(教師可以根據學生情況和時間決定引理2是否在引理1的基礎上做些改動即可.建議引理2的證明也是改動引理1的部分證明過程就行了.)引理2 已知函數y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，其值域為(c，d)，又函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，那么，復合函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.證明

在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因為函數u=g(x)在區間(a,b)上是減函數，所以g(x1)＞g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因為函數y=f(u)在區間(c,d)上是減函數，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函數y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函數.師：我們明白了上邊的引理及其證明以后，剩下的引理我們自己也能寫出了.為了記憶方便，咱們把它們總結成一個圖表.(板書)

師：你準備怎樣記這些引理?有規律嗎?

(由學生自己總結出規律：當兩個函數的單調性相同時，其復合函數是增函數；當兩個函數的單調性不同時，其復合函數為減函數.)師：由于中學的教學要求，我們這里只研究y=f(u)為u的單調函數這一類的復合函數.做例題前，全班先討論一道題目.(板書).例1 求下列函數的單調區間：

y=log4(x2－4x+3)師：咱們第一次接觸到求解這種類型問題，由于對它的解題步驟、書寫格式都不太清楚，我們先把它寫在草稿紙上，待討論出正確的結論后再往筆記本上寫.師：下面誰說一下自己的答案? 生：這是由 y=log4u與u=x2－4x+3構成的一個復合函數，其中對數函數 y=log4u 在定義域(0，+∞)上是增函數，而二次函數u=x2－4x+3，當x∈(－∞，2)時，它是減函數，當x∈(2，+∞)時，它是增函數，.因此，根據今天所學的引理知，(－∞，2)為復合函數的單調減區間；(2，+∞)為復合函數的單調增區間.師：大家是否都同意他的結論?還有沒有不同的結論?我可以告訴大家，他的結論不正確.大家再討論一下，正確的結論應該是什么? 生：……

生：我發現，當x=1時，原復合函數中的對數函數的真數等于零，于是這個函數沒意義.因此，單調區間中不應含原函數沒有意義的x的值.師：你說得很好，怎樣才能做到這點呢? 生：先求復合函數的定義域，再在定義域內求單調區間.師：非常好.我們研究函數的任何性質，都應該首先保證這個函數有意義，否則，函數都不存在了，性質就更無從談起了.剛才的第一個結論之所以錯了，就是因為沒考慮對數函數的 定義域.注意，對數函數只有在有意義的情況下，才能討論單調性.所以，當我們求復合函數的

單調區間時，第一步應該怎么做? 生：求定義域.師：好的.下面我們把這道題作為例1寫在筆記本上，我在黑板上寫.(板書)解

設 y=log4u,u=x2－4x+3.由

{u＞0，u=x2－4x+3，解得原復合函數的定義域為x＜1或x＞3.師：這步咱們大家都很熟悉了，是求復合函數的定義域.下面該求它的單調區間了，怎樣求解，才能保證單調區間落在定義域內呢? 生：利用圖象.師：這種方法完全可以.只是再說清楚一點，利用哪個函數的圖象? 可咱們并沒學過畫復合函數的圖象啊?這個問題你想如何解決? 生：……

師：我來幫你一下.所有的同學都想想，求定義域也好，求單調區間也好，是求x的取值范圍還是求復合函數的函數值的取值范圍?或是求中間量u的取值范圍? 生：求x的取值范圍.師：所以我們只需畫x的范圍就行了，并不要畫復合函數的圖象.(板書)師：當x∈(－∞，1)時，u=x2－4x+3為減函數，而y=log4u為增函數，所以(－∞，1)是復合函數的單調減區間；當x∈(3，+∞)時，u=x2－4x+3為增函數y=log4u為增函數，所以，(3，+∞)是復合函數的單調增區間.師：除了這種辦法，我們還可以利用代數方法求解單調區間.下面先求復合函數單調減區 間.(板書)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(復合函數定義域)x＜2(u減)解得x＜1.所以x∈(－∞，1)時，函數u單調遞減.由于y=log4u在定義域內是增函數，所以由引理知：u=(x－2)2－1的單調性與復合函數的單調性一致，所以(－∞，1)是復合函數的單調減區間.下面我們求一下復合函數的單調增區間.(板書)u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(復合函數定義域)x＞2(u增)解得x＞3.所以(3，+∞)是復合函數的單調增區間.師：下面咱們再看例2.(板書)例2

求下列復合函數的單調區間：

y=log(2x－x2)師：先在筆記本上準備一下，幾分鐘后咱們再一起看黑板，我再邊講邊寫.(板書)解

設 y=logu,u=2x－x2.由

u＞0

u=2x－x2 解得原復合函數的定義域為0＜x＜2.由于y=log13u在定義域(0，+∞)內是減函數，所以，原復合函數的單調性與二次函數u=2x－x2的單調性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1時單調增.由

0＜x＜2（復合函數定義域）

x≤1，(u增)解得0＜x≤1,所以(0，1］是原復合函數的單調減區間.又u=－(x－1)2+1在x≥1時單調減，由

x＜2，(復合函數定義域)

x≥1，(u減)解得0≤x＜2,所以[0，1]是原復合函數的單調增區間.師：以上解法中，讓定義域與單調區間取公共部分，從而保證了單調區間落在定義域內.師：下面我們再看一道題目，還是自己先準備一下，就按照黑板上第一題的格式寫.(板書)例3 求y=(學生板書)的單調區間.解

設y=.由

u∈R, u=x2－2x－1, 解得原復合函數的定義域為x∈R.因為y=在定義域R內為減函數，所以由引理知，二次函數u=x2－2x－1的單調性與復合函數的單調性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1時單調減，由

x∈R,(復合函數定義域)

x≤1，(u減)解得x≤1.所以(－∞，1］是復合函數的單調增區間.同理［1，+∞)是復合函數的單調減區間.師：黑板上這道題做得很好.請大家都與黑板上的整個解題過程對一下.師：下面我小結一下這節課.本節課講的是復合函數的單調性.大家注意：單調區間必須是定義域的子集，當我們求單調區間時，必須先求出原復合函數的定義域.另外，咱們剛剛學習復合函數的單調性，做這類題目時，一定要按要求做，不要跳步.(作業均為補充題)作業

求下列復合函數的單調區間.1.y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是單調減區間，(2，+∞)是單調增區間.)

第二篇：復合函數的單調性的證明

復合函數的單調性的證明

例

1、已知函數y?f(x)與y?g(x)的定義域都是R，值域分別是?0,???與???,0?，在R上f(x)是增函數而g(x)是減函數，求證:F(x)?f(x)?g(x)在R上為減函數.分析：證明的依據應是減函數的定義.證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數，且x1?x2，則F(x1)?F(x2)?f(x1)g(x1)?f(x2)g(x2)

?f(x1)g(x1)?f(x1)g(x2)?f(x1)g(x2)?f(x2)g(x2)?f(x1)?g(x1)?g(x2)??g(x2)?f(x1)?f(x2)?

?f(x)是R上的增函數，g(x)是R上的減函數，且x1?x2.?f(x1)?f(x2)，g(x1)?g(x2)即f(x1)?f(x2)?0，g(x1)?g(x2)?0.又f(x)的值域為?0,???，g(x)的值域為???,0?，?f(x1)?0,g(x2)?0.?F(x1)?F(x2)?0即F(x1)?F(x2)

?F(x)在R上為減函數.小結：此題涉及抽象函數的有關證明，要求較高，此外在F(x1)?F(x2)的變形中涉及到增減項的技巧，它也應是源于單調性只能比較同一個函數的某兩個函數值，必須構造出f(x1)與f(x2)的差和g(x1)與g(x2)的差.

第三篇：函數單調性教案(簡單)

函數單調性

一、教學目標

1、建立增（減）函數及單調性、單調區間的概念

2、掌握如何從函數圖象上看出單調區間及單調性

3、掌握如何利用定義證明一段區間上的函數單調性

二、教學重難點

1、了解增（減）函數定義

2、用定義法證明一段區間上的函數單調性

三、教材、學情分析

單調性是處于教材《數學?必修一》B版第二章第一節，初中對單調性有著初步感性認識，到這節課我們給單調性嚴格的定義。單調性是對函數概念的延續和擴展，也是我們后續研究函數的基礎，可以說，起到了承上啟下的作用。

四、教學方法

數形結合法、講解法

五、教具、參考書

三角尺、PPT、數學必修

一、教師教學用書

六、教學過程

（一）知識導入

引入廣寧縣一天氣溫變化折線圖

詢問學生今天的溫度是如何變化的？

學生答：氣溫先上升，到了14時開始不斷下降。

由此導入函數圖像的上升下降變化，給出f（x）=x和f（x）=x2的圖像，詢問學生，這兩個函數圖象是如何變化的？

學生答：前一個不斷上升，后一個在y軸左邊下降，在y軸右邊上升。再詢問學生并提醒學生回答：從上面的觀察分析，能得出什么結論？

不同的函數，其圖像的變化趨勢不同，同一函數在不同區間上的變化趨勢也不同，函數圖像的變化規律就是函數性質的反映。

教師：那么這就是我們要研究的單調性。

（二）給出定義。

教師：首先我們來看一下一元二次函數y=x2的圖象的對應值表，當x從0到5上變化時，y是如何變化的。生：隨著x的增大而增大

教師：那么我們在這段上升區間中任取兩個x1，x2，x1

教師順勢引導出增函數的概念，再由增函數類比畫圖演示，引導出減函數的概念。強調增（減）函數概念，尤其是在區間內任取x1，x2這句話的理解。由增（減）函數可以引出單調區間的定義，不作很詳細講解。給出例題讓學生思考作答，進一步鞏固知識點。

（三）證明方法

讓學生們思考例二（思想為用定義法證明一段區間的單調性）并嘗試解答，一段時間后教師給學生講解。

講解完例題后，引導學生歸納用定義法正明一段區間的單調性的方法：

1、設元。

2、做差。

3、變形。

4、斷號。

5、定論。

（四）鞏固深化

思考：函數y=1/x 的定義域I是什么？在定義域I上的單調性是怎樣的？

通過這道問題的講解說明，讓學生們意識到單調性是離不開區間的且單調區間不能求并。

（五）課堂小結

再次對

1、增（減）函數定義。

2、增（減）函數的圖象有什么特點？如何根據圖象指出單調區間。

3、怎樣用定義證明函數的單調性？三個問題進行闡述，牢固學生記憶和理解。

（六）布置作業。

第四篇：復合函數的概念及復合函數的單調性

復合函數的概念及復合函數的單調性

1．復合函數的概念

如果y是?的函數，?又是x的函數，即y?f(?)，??g(x)，那么y關于x的函數y?f[g(x)]叫做函數y?f(?)和??g(x)的復合函數，其中?是中間變量，自變量為x，函數值y。

例如：函數y?()x132?2x是由y?()?，??x?2x復合而成立。

221函數y?lg(3?4x?x)是由y?lg?，??3?4x?x復合而成立，?、?是中間變量。

2．復合函數單調性

一般地，定理：設函數??g(x)在區間M上有意義，函數y?f(?)在區間N上有意義，且當x?M時，??N

有以下四種情況：

（1）若??g(x)在M上是增函數，y?f(?)在N上是增函數，則y?f[g(x)]在M上也是增函數；

（2）若??g(x)在M上是增函數，y?f(?)在N上是減函數，則y?f[g(x)]在M上也是減函數；

（3）若??g(x)在M上是減函數，y?f(?)在N上是增函數，則y?f[g(x)]在M上也是減函數；

（4）若??g(x)在M上是減函數，y?f(?)在N上是減函數，則y?f[g(x)]在M上也是增函數。

即：同增異減

注意：內層函數??g(x)的值域是外層函數y?f(?)的定義域的子集。

例

1、討論下列函數的單調性（注意：要求定義域）

（1）y?()

解：

213x2?2x（2）y?lg(3?4x?x)

練習1：

1．求下列函數的單調區間。

（1）y?

2（3）y?

例

2、已知y?f(x)，且lglgy?lg3x?lg(3?x)。

（1）求y?f(x)的表達式及定義域；

（2）討論y?f(x)的單調性。

練習2 1．已知f(x)?8?2x?x，g(x)?f(2?x)，求g(x)的單調區間。

2．討論函數y?loga(x?4x?3)的單調性。2x2?5x?2

（2）y?log1(x?2x?3)

22x?x?1（4）y?(3x?x)22?1222

練習題

1．若函數y?f(x)的圖象過點(0,1)，則y?f(x?4)的圖象必過點（）

A．(4,?1)

B．(1,?4)C．(?4,1)

D．(1,1)

2．函數y?log2x在區間???,0???0,???上（）2A.是奇函數，且在?0,???上是增函數 B.是偶函數，且在?0,???上是增函數 C.是奇函數，且在?0,???上是減函數 D.是偶函數，且在?0,???上是減函數

3．函數y?16?6x?x2(0?x?4)的最大值與最小值分別是（）

A．25，16 B．5，0 C．5，4 D．4，0 1?1?x4．函數y????3?2?1值域為（）

A．(??,1)

B．(,1)

C．[,1)

D．[,??)5．函數f(x)?log1(6?x?x)的單調遞增區間是()31313132A．[?11,??)

B．[?,2)22x2?2(a?1)x?1C．(??,?)

D．(?3,?)

12126．函數f(x)?2在區間[5,??)上是增函數，則實數a的取值范圍是()A.[6,+?)

B.(6,??)

C.(??,6]

D.(??,6)7．已知y?loga(2?ax)在?0,1?上是x的減函數，則a的取值范圍是（）A.?0,1?

B.?1,2?

C.?0,2?

D.?2,???

第五篇：函數單調性

函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。

關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？

在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。

就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。

基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．

在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．

關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？

對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？

從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？

一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。

在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數？

這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數③若函數滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規備課

【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數

③若函數 在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

在區間(1,3)上為增函

．

④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數

在區間

上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且

有．

(2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．