第一篇：教案：2.3.1 函數的單調性
§2.3.1 函數的單調性
[教學目的] 使學生了解增函數、減函數的概念，掌握判斷某些函數的增減性的方法；
[重點難點] 重點：函數單調性的有關概念； 難點：證明或判斷函數的單調性.一、復習引入
⒈ 復習：我們在初中已經學習了函數圖象的畫法.為了研究函數的
性質，我們按照列表、描點、連線等步驟先分別畫函數y=x2和y=x3的圖象.y=x2的圖象如圖1，y=x3的圖象如圖2.⒉ 引入：從函數y=x2的圖象（圖1）看到： 圖象在y軸的右側部分是上升的，也就是說，當x在區間[0，+?)上取值時，隨著x的增大,相 應的y值也隨著增大，即如果取x1,x2∈[0，+?)，得到y1=f(x1),y2=f(x2),那么當x1
⒈ 增函數與減函數
定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間 上的任意兩個自變量的值x1,x2.⑴若當x1 ⑵若當x1 若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的.說明：⑴函數的單調區間是其定義域的子集； ⑵應是該區間內任意的兩個實數，忽略需要任意取值這個條件，就不能保證函數是增函數（或減函數），例如，圖5中，在x1,x2那樣的特定位置上，雖然使得f(x1)<(fx2)，但顯然此圖象表示的函數不是一個單調函數； ⑶除了嚴格單調函數外，還有不嚴格單調函數，它的定義類似上述的定義，只要將上述定義中的“f(x1)<(fx2)或f(x1)>(fx2)”改為“f(x1)?(fx2)或f(x1)?(fx2)”即可； ⑷定義的內涵與外延：內涵是用自變量的大小變化來刻劃函數值的變化情況；外延：①一般規律：自變量的變化與函數值的變化一致時是單調遞增，自變量的變化與函數值的變化相對時是單調遞減.②幾何特征：在自變量取值區間上，若單調函數的圖象上升，則為增函 數，圖象下降則為減函數.⒊ 例題評價 例1 圖6是定義在閉區間[-5，5]上的函數y=f(x)的圖象，根據圖象說出y=f(x)的單調區間，以及在每一單調區間上，函數y=f(x)是增函數還是減函數.解：函數y=f(x)的單調區間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在區間[-5，-2)，[1，3)上是減函數，在區間[-2，1)，[3，5]上是增函數.說明：函數的單調性是對某個區間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題；另外，中學階段研究的主要是連續函數或分段連續函數，對于閉區間上的連續函數來說，只要在開區間上單調，它在閉區間上也就單調，因此，在考慮它的單調區間時，包括不包括端點都可以；還要注意，對于在某些點上不連續的函數，單調區間不包括不連續點.練習：課本P60練習：1.答案：f(x)的單調區間有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；f(x)在區間[-2,-1]，[0,1]上是增函數，在區間[-1,0]，[1,2]上是減函數.g(x)的單調區間有[-?,-?/2]，[-?/2,?/2]，[?/2,?]；g(x)在區間[-?,-?/2]，[?/2，?]上是減函數，在區間[-?/2，?/2]上是增函數.說明：要了解函數在某一區間是否具有單調性，從圖象上進行觀察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴格地說，它需要根據增（減）函數的定義進行證明，下面舉例說明.例2 證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數.證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數，且x1 x1,x 2∈ R，且 x1 ⑴ 判斷函數f(x)=kx+b在R上的單調性，并說明理由.⑵ 課本P60練習：4.解：⑴ 設 x1,x2 ∈ R，且 x1 ∈ (0,+ ?)，且x1 ⒈討論函數的單調性必須在定義域內進行,即函數的單調區間是其定義域的子集,因此討論函數的單調性,必須先確定函數的定義域;⒉根據定義證明函數單調性的一般步驟是：⑴設x1,x2是給定區間內的任意兩個值，且x1 (一)復習：課本P58-60內容，熟悉鞏固有關概念和方法.(二)書面：課本P64習題2.3：1—3做在課本上；4題做在作業本上.答案：⒈--⒊見下一節； ⒋⑴f(x)=(x-5/2)2-1/4是以(5/2,-1/4)為頂點、對稱軸平行于y軸、開口向上的拋物線（如圖）;它的單調區間是(-?,5/2]與[5/2,+ ?);它在(-?,5/2]上是減函數，在[5/2,+ ?)上是增函數.證明：設x1 (四)預習：課本P64-65習題2.3: 5，6. 函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計 北京教育學院宣武分院 彭 林 函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。 關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？ 在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。 就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。 第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。 第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。 第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。 基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。 讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的． 在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數． 關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？ 對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。 所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的： 右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減 對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？ 從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？ 一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點： （1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。 用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。 在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！ 因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明 在上為增函數？ 這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種： ①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以 在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。 對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明 就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。 教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題： 判斷題： ①②若函數③若函數滿足f(2) 和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 從而加深學生對定義的理解 北京4中常規備課 【教學目標】 1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法． 2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明． 【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創設情境，引入課題 課前布置任務： (1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知 問題1： 分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函 預案：(1)函數 在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數 在整個定義域內 y隨x的增大而減小． (2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小． (3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小． 引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質． 問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數 在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識 問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明 在為增函數？ 22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數． (2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以 在,因為 為增函數． 在為增函數． 在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量． 【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數 ③若函數 在區間 和(2,3)上均為增函數，則函數 在區間(1,3)上為增函 ． ④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在 通過判斷題，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展 例 證明函數 在上是增函數． 1．分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取 ，設元 求差 變形，斷號 ∴ ∴ 即 ∴函數 2．歸納解題步驟 在上是增函數． 定論 引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數 問題：要證明函數 在區間 上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對 在上是增函數． 任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆． 四、歸納小結，提高認識 學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結 (1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業 書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數 在區間 上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且 有． (2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． 《函數的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成． 三、教學過程的設計 為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． （2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟． （3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆． 函數的單調性 教學目標 知識目標：初步理解增函數、減函數、函數的單調性、單調區間的概念，并掌握判斷一些簡單函數單調性的方法。 能力目標：啟發學生能夠發現問題和提出問題，學會分析問題和創造地解決問題；通過觀察——猜想——推理——證明這一重要的思想方法，進一步培養學生的邏輯推理能力和創新意識。 德育目標：在揭示函數單調性實質的同時進行辯證唯物主義思想教育。： 教學重點：函數單調性的有關概念的理解 教學難點：利用函數單調性的概念判斷或證明函數單調性 教 具： 多媒體課件、實物投影儀 教學過程： 一、創設情境，導入課題 [引例1]如圖為2006年黃石市元旦24小時內的氣溫變化圖．觀察這張氣溫變化圖： 問題1：氣溫隨時間的增大如何變化？ 問題2：怎樣用數學語言來描述“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？ [引例2]觀察二次函數的圖象，從左向右函數圖象如何變化？并總結歸納出函數圖象中自變量x和 y值之間的變化規律。 結論：（1）y軸左側：逐漸下降； y軸右側：逐漸上升； （2）左側 y隨x的增大而減小；右側y隨x的增大而增大。 上面的結論是直觀地由圖象得到的。還有很多函數具有這種性質，因此，我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究。 二、給出定義，剖析概念 ①定義：對于函數f(x)的定義域I內某個區間上的任意兩個自變量的值 ⑴若當圖3）； ⑵若當圖4）。<時，都有f（）>f（）,則f(x)在這個區間上是減函數（如<時，都有f（） ②單調性與單調區間 若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數y=f(x)在這一區間具有單調性，這一區間叫做函數y=f(x)的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.由此可知單調區間分為單調增區間和單調減區間。 注意： （1）函數單調性的幾何特征：在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。 當x1 幾何解釋：遞增 函數圖象從左到右逐漸上升；遞減 函數圖象從左到右逐漸下降。 （2）函數單調性是針對某一個區間而言的，是一個局部性質。 有些函數在整個定義域內是單調的；有些函數在定義域內的部分區間上是增函數，在部分區間上是減函數；有些函數是非單調函數，如常數函數。 判斷2：定義在R上的函數 f(x)滿足 f(2)> f(1)，則函數 f(x)在R上是增函數。（×） 函數的單調性是函數在一個單調區間上的“整體”性質，不能用特殊值代替。 訓練：畫出下列函數圖像，并寫出單調區間： 三、范例講解，運用概念 具有任意性，例1、如圖，是定義在閉區間[-5，5]上的函數出函數。的單調區間，以及在每一單調區間上，函數的圖象，根據圖象說 是增函數還減 注意： （1）函數的單調性是對某一個區間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題。 （2）在區間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內要完整。 例2 判斷函數 f(x)=3x+2 在R上是增函數還是減函數？并證明你的結論。 引導學生進行分析證明思路，同時展示證明過程： 證明：設任意的 由 于是 即 所以。 在R上是增函數。，得，且，則 分析證明中體現函數單調性的定義。 利用定義證明函數單調性的步驟： ①任意取值：即設x1、x2是該區間內的任意兩個值，且x1 ②作差變形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法將差式向有利于判斷差的符號的方向變形 ③判斷定號：確定f(x1)－f(x2)的符號 ④得出結論：根據定義作出結論（若差0，則為增函數；若差 0，則為減函數） 即“任意取值——作差變形——判斷定號——得出結論” 例 3、證明函數 證明：設，且 在(0,+)上是減函數.，則 由 又由 于是 即。，得，得即 （*）。 所以，函數 問題1 ： 在區間 在上是單調減函數。 上是什么函數？(減函數)在定義域 上是減函數？（學生討論 問題2 ：能否說函數得出） 四、課堂練習，知識鞏固 課本59頁 練習：第1、3、4題。 五、課堂小結，知識梳理 1、增、減函數的定義。 函數單調性是對定義域的某個區間而言的，反映的是在這一區間上函數值隨自變量變化的性質。 2、函數單調性的判斷方法：（1）利用圖象觀察；（2）利用定義證明： 證明的步驟：任意取值——作差變形——判斷符號——得出結論。 六、布置作業，教學延伸 課本60頁習題2.3 ：第4、5、6題。 函數的單調性（教案） 一、教學目標 1、使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法。 2、通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力。 3、通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。 二、重點、難點分析 1、重點：函數單調性的概念、判斷及證明。 2、難點：歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性。 三、教學過程 1、學生動手作圖，引入課題：結合函數圖像畫法的相關知識，讓學生實際動手操作，分別畫出函數f(x)?x,f(x)??x,f(x)?x2,f(x)??x2的圖像。如下： 圖1 圖2 圖3 圖4 2、借助圖像，直觀感知：引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考。并讓學生回答以下兩個問題： （1）以上4個函數圖像中，隨自變量x的變化，函數值f(x)發生了怎樣的變化？ ① 圖1中，函數值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小； ② 圖2中，函數值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大； ③ 圖3中，對于y軸的左半部分而言，函數值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大。對于y軸的右半部分而言，函數值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小。 ④ 圖4中，對于y軸的左半部分而言，函數值f(x)隨自變量x的增大而增大，減小而減小。對于y軸的右半部分而言，函數值f(x)隨自變量x的增大而減小，減小而增大。 （2）如何用數學語言描述上述函數中，函數值f(x)隨自變量x的變化情況？ ① 對于函數f(x)?x而言，?x1,x2?(??,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。 ② 對于函數f(x)??x而言，?x1,x2?(??,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。 ③ 對于函數f(x)?x2而言，?x1,x2?(??,0)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。而?x1,x2?(0,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。 ④ 對于函數f(x)??x2而言，?x1,x2?(??,0)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。而?x1,x2?(0,??)，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。 3、歸納探索，形成概念：引導學生歸納總結出增函數和減函數的定義： （1）增函數：I為函數f(x)的定義域，D?I，若?x1,x2?D，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，則函數f(x)在D上是增函數。 （2）減函數：I為函數f(x)的定義域，D?I，若?x1,x2?D，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)，則函數f(x)在D上是增函數。 4、例題講解，鞏固定義；歸納總結，尋求一般證明步驟：講解例題，引導學生歸納證明函數單調性的步驟（設元、求差、變形、斷號，定論）。 k例題1：證明波意耳定律P?,(k為正常數)為減函數。 Vk 證明：按題意，只要證明函數P?在區間(0,??)上是減函數即可。 V ??V1,V2?(0,??)，當V1?V2時，有： 設元 P(V1)?P(V2)?kk? 求差 V1V2V2?V 1變形 VV1 ?k 又?V1,V2?(0,??)，V1?V2 ?VV12?0,V1?V2?0，同時，k?0，斷號 ?P(V1)?P(V2)?0 即，P(V1)?P(V2).所以，函數P?k在區間(0,??)上是減函數。定論 V3 5、通過例題，強調關鍵點：提出課文中容易誤解和忽略指出，予以提醒。 1（1）例題2：“已知f(x)?，因為f(?1)?f(2)，所以函數f(x)是增函數。” x這種說法對嗎？ 解析：單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性。 2（2）例題3：能否直接觀察函數f(x)?x?,(x?0)的圖像（如下），說出這 x個函數分別在哪個區間為增函數和減函數？ 圖5 解析：學生難以確定分界點的確切位置。從而，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究。 （3）例題4：如何從解析式的角度說明f(x)?x2在[0,??)為增函數？ 222法一： 在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1?2,所以f(x)?x[0,??)為增函數。 法二：仿法一，取很多組驗證均滿足，所以f(x)?x2在[0,??)為增函數。法三：任取x1,x2?[0,??)且x1?x2，因為x12?x22?(x1?x2)(x1?x2)?0,即x12?x22，所以f(x)?x2在[0,??)為增函數。 解析：自變量不可能被窮舉，證明函數的單調性時，要在給定的區間內任意取兩個自變量。 （4）例題5：“若函數f(x)滿足f(2)?f(3)，則函數在區間[2,3]上為增函數。”這種說法對嗎？ 解析：對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)。 （5）例題6：“若函數f(x)在區間(1,2]和(2,3)上均為增函數，則函數f(x)在區間(1,3)上為增函數。”與“因為函數f(x)?減函數，所以f(x)?1在區間(??,0]和(0,??)上都是x1在(??,0]和(0,??)上是減函數”這兩種種說法對嗎？ x解析：函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在A?b上是增（或減）函數。 四、作業布置 教材p39 A組：第2題、第5題、第6題； B組：第1題、第3題。 1.3.1 函數的單調性 教學目標： 1、理解函數單調性的定義，會判斷和證明簡單函數的單調性。 2、培養從概念出發，進一步研究其性質的意識及能力，體會感悟數形結合、分類討論的數學思想。教學重點： 形成增、減函數的形式化定義。教學難點： 形成增、減函數概念的過程中如何從圖像的直觀認識過渡函數增、減的數學符號；用定義證明函數的單調性。 一、復習舊知識 區間的有關知識及其表示方法。 二、講授新課 1、觀察下面各個函數的圖像，并說出函數圖像的特點。 yyy 1-1 x-1O1x OxO 22、研究一次函數f(x)?2x?1和二次函數f(x)?x的單調性。 y2 f(x)?xyY=2x+ 1o xOx 不同的函數，圖像的變化趨勢不同，同一函數在不同區間的變化趨勢也不同，通過描述這兩個函數圖像的性質，引出本節課題——函數的單調性。 3、深入研究二次函數f(x)?x的圖像，從特殊到一般引出增、減函數的定義。 2yf(x)?x2Ox (??,0]上f(x)隨x的增大而減小，[0,??)上f(x)隨x的增大而增大 增函數：?x1,x2?D,當x1?x2時，有f(x1)?f(x2),那么就說f(x)在D上是增函數。減函數：?x1,x2?D,當x1?x2時，有f(x1)?f(x2),那么就說f(x)在D上是減函數。 區間D叫做y?f(x)的單調區間。 三、例題演練 例1 下圖是定義在?-6,9?上的函數y?f(x)，根據圖像說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數。 例2 證明函數f(x)?2x?1在R上的單調性。 四、隨堂練習 證明： （1）函數f(x)??3x?2在R上是單調減函數。（2）函數f(x)?x?1在(0,??)上是增函數。 五、課堂小結 1、增、減函數的的形式化定義是什么？ 2、如何用定義證明函數的單調性？ 六、作業布置 A：證明：函數f(x)?1?21在(??,0)上的單調性。xB：探究一次函數的y?mx?b(x?R)的單調性，并證明你的結論。第二篇：函數單調性
第三篇：函數的單調性教案
第四篇：函數的單調性(教案)
第五篇：優秀教案 函數單調性教案
點擊咨詢 