第一篇：微積分基本定理(教案)

1.6微積分基本定理

一：教學目標

知識與技能目標

通過實例，直觀了解微積分基本定理的內容，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分

過程與方法

通過實例探求微分與定積分間的關系，體會微積分基本定理的重要意義

情感態度與價值觀

通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。

二：教學重難點

重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。難點：了解微積分基本定理的含義

三：教學過程：

1、知識鏈接： 定積分的概念： 用定義計算的步驟：

2、合作探究：

⑴導數與積分的關系;

我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。有沒有計算定積分的更直接方法，也是比較一般的方法呢？

下面以變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系為例：

設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（v(t)?o），則物體在時間間隔[T1,T2]內經過的路程可用速度函數表示為達，即

?T2T1v(t)dt。

另一方面，這段路程還可以通過位置函數S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)?S(T2)來表?T2T1v(t)dt=S(T1)?S(T2)

而S?(t)?v(t)。

說出你的發現

⑵ 微積分基本定理

對于一般函數f(x)，設F?(x)?f(x)，是否也有

?baf(x)dx?F(?b)F(？a)

若上式成立，我們就找到了用f(x)的原函數（即滿足F?(x)?f(x)）的數值差F(b)?F(a)來計算f(x)在[a,b]上的定積分的方法。

設F?(x)?f(x)則在[a,b]上，⊿y=F(b)?F(a)

將[a,b]分成n 等份，在第i個區間[xi-1,xi]上，記⊿yi=F(xi)-F(xi-1),則

⊿y=∑⊿yi 如下圖，因為⊿hi=f(xi-1)⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以 ⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x 故

⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x= 即

?baf(x)dx

?baf(x)dx=F(b)?F(a)

所以有微積分基本定理：

如果函數F(x)是[a,b]上的連續函數f(x)的任意一個原函數，則

??bbaf(x)dx?F(b)?F(a)?bbaf(x)dx

（此處并不要求學生理解證明的過程）

為了方便起見，還常用F(x)|a表示F(b)?F(a)，即

af(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)

該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續函數定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯系的橋梁。

它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。

⑶應用舉例

例1．計算下列定積分：

311（1）?dx；

（2）?(2x?2)dx。

1x1x1解：（1）因為(lnx)'?，x212所以?dx?lnx|1?ln2?ln1?ln2。

1x11（2））因為(x2)'?2x,()'??2，xx33311所以?(2x?2)dx??2xdx??2dx

111xx131223。?x2|1?|1?(9?1)?(?1)?x332練習：計算解：由于?xdx

01213x是x2的一個原函數，所以根據牛頓—萊布尼茲公式有 31131131

31?x2dx=x|0=?1??0=

03333例2．計算下列定積分：

??0sinxdx,?sinxdx,?sinxdx。

?0'2?2?由計算結果你能發現什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發現的結論。解：因為(?cosx)?sinx，所以

???sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos?)??2，?????sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos0)?0.?0222020?sinxdx?(?cosx)|?0?(?cos?)?(?cos0)?2，可以發現，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0:

(l）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時（圖1.6一3)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；

圖1.6 一 3(2）

（2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時（圖 1.6 一 4)，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數；

(3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1.6 一 5)，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積．

例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度a=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？

解:首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。當t=0時，汽車速度v0=32公里/小時32?1000米/秒?8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為v(t)=v0?at=8.88-1.8t當汽車36008.88停住時,速度v(t)=0,故從v(t)=8.88-1.8t=0解得t=?4.93秒

1.8=于是在這段時間內,汽車所走過的距離是

s??4.930v(t)dt??4.9301(8.88?1.8t)dt=(8.88?1.8?t2)204.93?21.90米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.微積分基本定理揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．

⑷課堂練習

課本p55練習⑴----⑻

四：課堂小結：

本節課借助于變速運動物體的速度與路程的關系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函數的原函數，這就要求大家前面的求導數的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！

五：教學后記：

從教以來，一直困惑于一個問題：課堂上如何突出重點并突破難點。當然，理論方面自己早已爛熟于心，關鍵是缺乏實踐方面的體驗及感悟。在今天的課堂上，本來一個相當簡單的問題，可在課堂上卻花費了大量時間，更嚴重的是學生卻聽得更為糊涂。一個主要原因在于，對相關知識結構理解不到位，眉毛胡子一把抓，而難點又無法解決。

第二篇：高中數學：1.6-微積分基本定理(教案)

三、教學過程

1、復習：

定積分的概念及用定義計算

2、引入新課

我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。

變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系

設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（v(t)?o），則物體在時間間隔[T1,T2]內經過的路程可用速度函數表示為T2?T2T1v(t)dt。

另一方面，這段路程還可以通過位置函數S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)?S(T2)來表達，即 ?T1v(t)dt=S(T1)?S(T2)

而S?(t)?v(t)。

對于一般函數f(x)，設F?(x)?f(x)，是否也有

?baf(x)dx?F(b)?F(a)

若上式成立，我們就找到了用f(x)的原函數（即滿足F?(x)?f(x)）的數值差F(b)?F(a)來計算f(x)在[a,b]上的定積分的方法。

注：1：定理 如果函數F(x)是[a,b]上的連續函數f(x)的任意一個原函數，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)

證明：因為?(x)=?xaf(t)dt與F(x)都是f(x)的原函數，故 F(x)-?(x)=C（a?x?b）

其中C為某一常數。

令x?a得F(a)-?(a)=C，且?(a)=

?aaf(t)dt=0 即有C=F(a)，故F(x)=?(x)+F(a)

? ?(x)=F(x)-F(a)=?f(t)dt

ax令x?b，有?f(x)dx?F(b)?F(a)

ab此處并不要求學生理解證明的過程

為了方便起見，還常用F(x)|ba表示F(b)?F(a)，即

?baf(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)

該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續函數定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯系的橋梁。它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。

例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度a=1.8米/秒剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？

232?1000米

3600/秒?8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為v(t)=v0?at=8.88-1.8t當汽車停住時,速度v(t)=0,故從8.88?4.93秒 v(t)=8.88-1.8t=0解得t=1.8解:首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。當t=0時，汽車速度v0=32公里/小時=于是在這段時間內,汽車所走過的距離是

s??4.930v(t)dt??4.9301(8.88?1.8t)dt=(8.88?1.8?t2)?21.90米,即在剎車后,汽車需走過

204.9321.90米才能停住.微積分基本定理揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．

第三篇：微積分基本定理教學設計專題

《微積分基本定理》教學設計

一、教材分析

本節課是學生學習了導數和定積分這兩個概念后的學習，它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位。它曾被恩格斯譽為“人類精神的最高勝利”的微積分學。

二、教學目標分析

(1)知識與技能：了解微積分基本定理的含義，并會利用定理計算簡單的定積分。

(2)過程與方法：以變速直線運動物體在某個時間段上的位移為背景，使學生直觀了解微積分基本定理的形成過程。

(3)情感、態度和價值觀：揭示尋求計算定積分新方法的必要性, 激發學生的求知欲；逐步滲透 “以直代曲”、“無限逼近”的數學思想。

三、教學重點、難點分析

重點：以變速直線運動物體在某個時間段上的位移為背景，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。難點：微積分基本定理的形成過程

四、學情分析

首先本節課的授課班級是理科的普通班，大部分學生學習基礎薄弱，學習能力還有待提高。其次本節課是高等數學的內容，理論性較強，抽象不易理解。針對以上情況，本節課在整體設計緊扣課標要求，充分做到“了解和簡單應用”。

五、教法、學法分析

(1)教法：通過導學案設置的問題和課堂上討論、展示、點評、質疑等環節以及多媒體課件動畫演示啟發、引導學生積極思考本節課所遇到的問題，引導學生聯想舊知識來解決和探索新知識，從而使學生產生濃厚的學習興趣和求知欲，體現了學生的主體地位。

(2)學法：突出自主學習，研討發現，主動探索。學生在教師設置的環節的引導下，通過觀察、討論、交流、合作學習等活動來對知識、方法和規律進行總結。

六、教學過程

環節一：自主課

學生通過完成導學案的形式進行自主學習，教師課下批閱導學案，找到自主課上學生沒有學懂的共性問題，準備在展示課上解決。環節二：展示課

通過恩格斯對微積分的高度評價“人類精神的卓越勝利”引入課題，突出學習本節課的重要性。（在導學案中已經通過閱讀材料的形式讓同學們了解了微積分的創始人牛頓和萊布尼茨）

1、學案反饋

教師通過批閱導學案，了解了學生在自主學習中沒有掌握的共性問題，結合教師對本節課的預設確定了重點和難點。同時對導學案完成好的小組和個人進行表揚。

在大屏幕上顯示本節課要解決的問題

① 計算 ?121xdx的過程中，存在的問題什么？

②如何通過不同的途徑對變速直線運動物體在某一時間段的位移的探究？

③利用微積分基本定理計算定積分的關鍵是什么？如何規范書寫定積分運算的解題步驟？ 設計意圖：根據“先學后教，以學定教”原則，能夠準確找到教學的重點和難點，使得課堂教學更有針對性。通過對小組和個人的表揚，激發學生學習的積極性。

2、討論交流

針對教師批閱導學案中存在的問題進行討論。個別問題學生可以單獨交流，共性問題以學科帶頭人為核心小組成員一起討論，教師進行適時指導，最終確定本組的討論結果。

在大屏幕上明確討論內容，討論與本節課要解決的問題相對應的導學案中問題

1、問題

3、計算定積分（3）、（4）

設計意圖：學生的個別問題可以通過學生間的討論交流學會，教師可以不必再講；對于共性問題大家各抒己見，充分表達自己的看法，使學生一直在圍繞著問題進行思考。

3、小組展示

根據導學案的反饋以及小組討論，分小組來展示導學案中共性問題（導學案中問題

1、問題

3、計算定積分（3）、（4））。展示包括口頭展示和板書展示以及展臺展示，要求展示同學書寫工整，聲音洪亮，姿態自然大方。

設計意圖：通過小組展示，了解各小組合作學習的情況，突出了本節課重點要解決的問題。

4、點評質疑

點評同學針對小組展示的情況，給予解題思路、步驟、結果等環節的評價，還可以提出自己新的思路和想法。對于之前的展示和點評，老師和其他同學可以提出質疑，大家可以針鋒相對來探討“真相”。

在點評和質疑環節問題隨機生成，如：導數為

1的原函數是唯一的嗎？ x設計意圖：這個過程是學生學習知識的最佳過程，不斷的提出問題，不斷的解決問題，既尊重了學生的認知規律，也尊重了數學自身的發展規律。

5、歸納小結

由學生總結本節課的收獲，包括知識和思想方法等方面，教師適時加以補充和完善。學生總結本節課的收獲：（1）微積分基本定理內容。

（2）利用定積分基本定理求定積分的關鍵找到被積函數的原函數，也就是說要找到一個函數，使它的導函數等于被積函數。

設計意圖：這個環節是學生對課堂內容的重點概括和提煉，使得學生的能力得到進一步的提升。

6、當堂檢測

針對本節課所學的重點內容，設計4個小題，利用5分鐘左右的時間當堂進行檢測，通過完成情況評價本節課學生的學習效果。

設計意圖：當堂檢測能讓學生及時掌握知識、形成技能、發展智力、培養能力及養成良好學習習慣，同時是教師及時掌握教學情況并進行反饋調節的重要措施，也是減輕學生負擔、提高教學效率的重要途徑，是我們平常教學中最需要落實的一個“抓手”。

七、教學評價與反思

1、教學評價

（1）從總體設計上，本節課采用的是先學后教、以學定教的原則，順應學生的思維發展，能最大限度的暴露學生的思維過程。課上重點解決學生自主學習中的疑惑，大大提高了課堂效率。教師主要起到引導、誘導、指導、疏導、督導的作用。學生在觀察、討論、交流、質疑、爭辯中獲取知識，按照金字塔學習理論，學生采用討論、講解、質疑、點評等學習方法，多是高收益的學習方法，特別能把別人教會的學生課堂收益更大，印象更深刻，學習效果更好。本節課按照“發現問題-分析問題-解決問題”的思路，采用“觀察-嘗試-歸納-猜想-驗證”的方法來得到微積分基本定理。再通過“模仿-反思-內化”的方式來學習利用定理解決定積分的計算。

（2）從學習內容上，微積分基本定理的形成是本節課的難點，如果直接設計嚴格推推導過程，學生理解起來會很困難，而是采用了創設情景問題，由特殊到一般，由感性認識上升到理性認識的規律，推導出了定理公式．雖然這不是非常嚴格的證明，但這反映出微積分基本定理的基本思想，而且降低了教材的難度，便于學生的理解掌握。在導學案中介紹微積分的創始人牛頓和萊布尼茨，既豐富學生的數學史知識，激發學生的學習興趣，又使枯燥的數學課堂充滿人文氣息，有利于學生對定理的掌握，使學生對定理的理解更立體。

針對學生的實際情況，首先本節課的授課班級是理科的普通班，大部分學生學習基礎薄弱，學習能力還有待提高。其次本節課是高等數學的內容，理論性較強，抽象不易理解。本節課在整體設計緊扣課標要求，充分做到“了解微積分基本定理的形成過程”，所以在導學案得出牛頓-萊布尼茨公式環節的設置上引導學生通過閱讀課本的物理實例來完成，使得抽象問題直觀化，所用篇幅較少，不需要花費大量時間。在這一環節上時間控制在10分左右。本節課的教學重點是微積分定理的簡單應用。在導學案設置和課堂展示中有意識的引導學生逆用導數公式，這樣為學生下面利用微積分基本定理計算定積分做了鋪墊，使得學生的學習能夠“水到渠成”。通過嘗試定積分的計算以及對“導函數唯一原函數一定唯一嗎？”等的質疑，讓學生體會導數與定積分內在關系，能夠找到計算定積分的關鍵，引導學生歸納出計算定積分的步驟，使學生“順理成章”的掌握了本節課的重點。通過當堂檢測設計的幾個小題，鞏固了本節課的重點知識，同時對課堂效果直接進行了檢驗。本節課設計的例題和當堂檢測也一定的梯度，但總體難度不大，有利于本節課重點地落實。

2、課后反思

（1）教師注意一定要根據自己學生的實際情況認真編制導學案，并提前批閱導學案，將學生自主學習的情況掌握清楚。一定要舍得放手，敢于放手，把課堂還給學生。

（2）教師在課堂上要隨時觀察、引導、疏導、督導學生，充分利用學生提出的問題、學生的解答等形成課堂的再生資源。

（3）教師要注意合理安排好本節課各環節的時間，不要前松后緊。

（4）教師在自主課上要督促學生在導學案的引導下先認真閱讀教材，經過思考后再完成導學案，不要只是從課本上抄概念和例題，為了“完成任務”而完成任務。

第四篇：1.6微積分基本定理 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）知識與技能：了解微積分基本定理的含義（2）過程與方法：運用基本定理計算簡單的定積分

（3）情感態度與價值觀：通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力．

2.教學重點/難點

【教學重點】：

通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分

【教學難點】：

了解微積分基本定理的含義．

3.教學用具

多媒體

4.標簽

1.6.1微積分基本定理

教學過程

課堂小結

第五篇：1.6 微積分基本定理 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、能說出微積分基本定理。

2、能運用微積分基本定理計算簡單的定積分。

3、能掌握微積分基本定理的應用。

4、會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分。

2.教學重點/難點

教學重點：

通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。

教學難點：

微積分基本定理以及利用定理求復合函數定積分的計算。

3.教學用具

多媒體、板書

4.標簽

教學過程

一、復習引入

【師】同學們，我們來復習一下上節課的內容，請同學們回答以下幾個問題: 1.我們如何確定曲線上一點處切線的斜率呢？ 2.如何求曲線下方的面積？

3.用“以直代曲”解決問題的思想和具體操作過程是什么呢？ 求由連續曲線y=f(x)對應的曲邊梯形面積的方法 【板書】 用“以直代曲”解決問題的思想和具體操作過程：

二、新知介紹 【1】微積分基本定理

【師】同學們剛剛接觸到積分，那么大家通過閱讀課本來找出什么是微積分基本定理呢？

【生】討論回答 【師】

【板書】

【板演/PPT】

例1：計算下列定積分？

【師】同學們在練習本上先試著算一下，看看能不能計算出這兩個定積分的值？ 【生】思考討論

【師】請大家注意，一定要按照定積分基本定理來做呢？（然后，演板）

2、知識探究

（1）微積分基本定理求定積分的一種基本方法，其關鍵是求出被積函數的原函數，特別注意

（2）求定積分時要注意積分變量，有時在被積函數中含有參數，但它不一定是積分變量。

（3）定積分的值可以是任意實數。例2：計算定積分

【師】同學們根據向量基本定理然后仔細的想一下，計算出結果 【生】思考討論

【師】請大家注意，一定要按照向量的定義來做哦。（然后，演板）

3、分段函數與復合函數 【師】

（1）當被積函數是分段函數或絕對值函數時，該如何處理呢？（2）當被積函數是復合函數【生】討論回答

【師】大家仔細閱讀課本，找出相關的思路方法。【板演/PPT】 例3：計算下列定積分

應如何積分？

【師】同學們認真仔細的計算上面三個定積分的值 【生】思考討論演算 【師】請大家注意，一定要按照定積分的基本定理來計算哦。（然后，提問）

4、知識探究

（1）在求定積分時，會遇到被積函數是分段函數或絕對值函數的情況，這時我們就要根據不同的情況把分段函數在區間(a,b)上的積分分成敗仗積分和的形式。

分段的標準是：使每段上的函數表達式確定，按照原來函數分段的情況分即可。（2）當被積函數的原函數是一個復合函數時，要特別注意原函數的求解與復合函數的求導區分開來。

5、微積分基本定理的應用

解決定積分中含參數的問題，要以積分為媒介結合積分的計算，列出方程組或函數關系式，然后通過解方程組或利用函數性質來解決。

【板書/PPT】 例4：

【師】同學們仔細思考 【生】思考討論

【師】請大家注意，認真找出答案。（然后，提問）

三、復習總結和作業布置 課堂練習

計算下列各定積分的值：

課堂練習【參考答案】

課堂小結

【師】剛才我們講了微積分基本定理，以及利用微積分定理來進行簡單的定積分計算，大家一定要認真的練習今天所學習的東西。

課后習題

1、復習本節課所講內容

2、預習下一節課內容

板書

1、復習本節課所講內容

2、預習下一節課內容

2.求由連續曲線y=f(x)對應的曲邊梯形面積的方法

二、微積分基本定理

三、注意問題

分段函數與復合函數求積分時注意事項。

四、課堂小結