第一篇：高職微積分教案

第一節

函數

引入

1．引例

例

1圓的面積與它的半徑之間存在著相依關系，這種關系由公式

A??R2(0?R???)

給定，當半徑R在區間?0,???內任意取定一個數值時，由上式就可以確定圓面積A的相應數值。

例2 某物體以10m/s的速度作勻速直線運動，則該物體走過的路程S和時間t有如下關系：

S?10t(0?t???)

對變量t和S，當t在?0,???內每取一定值t0，S就有唯一確定的值S0?10t0與之對應。

抽去上面兩個例子中所考慮的量的實際意義，它們都表達了兩個變量之間的相依關系，這種相依關系給出了一種對應法則，根據這一法則，當其中一個變量在其變化范圍內任意取定一個數值時，另一個變量就有確定的值與之對應。兩個變量之間的這種對應關系就是函數概念的實質。

新授：

一、函數的概念

1.函數的定義

定義

1設D為一個非空實數集合，若存在確定的對應法則f，使得對于數集D中的任意一個數x，按照法則f都有唯一確定的實數y與之對應，則稱變量y為變量x的函數，記作

y?f(x)這里x稱為自變量，y稱為因變量或函數。f是函數符號，它表示y與x的對應規則，D叫做函數的定義域。

當x取數值x0?D時，與x0對應的y的數值稱為函數y?f(x)在點x0處的函數值，記作f(x0)。當x取遍D中的各個數值時，對應的函數值全體組成的數集

W??yy?f(x),x?D?

稱為函數的值域。

定義域D與對應法則f唯一確定函數y?f(x)，故定義域與對應法則叫做函數的兩要素。如果函數的兩個要素相同，那么它們就是相同的函數，否則，就是不同的函數。

函數y?f(x)的對應法則f也可以用?,h,g,F等表示，相應的函數就記作??x?,h?x?,g?x?,F?x?。

2．函數的定義域

通常求函數的定義域應注意以下幾點：（1）當函數是多項式時，定義域為???,???（2）分式函數的分母不能為零

（3）偶次根式的被開方式必須大于等于零（4）對數函數的真數必須大于零

（5）反正弦函數與反余弦函數的定義域為??1,1?

（6）如果函數表達式中含有上述幾種函數，則應取各部分定義域的交集。例3 判斷下列函數是否是相同的函數

x

（2）y?x 與 y?x2 xx解（1）函數y?1的定義域為(??,??)，而函數y?的定義域為(??,0)?(0,??)，x（1）y?1 與 y?故不是同一函數。

（2）兩個函數的定義域與對應法則都相同，故是同一函數。例

4求下列函數的定義域(1)f(x)?1

(2)f(x)?x?3?ln(x?2)25x?2x(3)y?lg(4x?3)?arcsin(2x?1)解

(1)在分式12中，分母不能為零，所以5x?2x?0，解得25x?2x22??2??x??且x?0。即定義域為???,??∪??,0?∪?0,???。

55??5??（2）該函數的定義域應為滿足不等式組

?x?3?0 ?x?2?0?的x值的全體，解此不等式組，得x>2，即定義域為?2,???。

（3）該函數的定義域應為滿足不等式組

?4x?3?0 ??1?2x?1?1?的x值的全體，解此不等式組，得3.分段函數

在實際問題中，有時會遇到一個函數在定義域內的不同范圍內，用不同的解析式表示的情況，這樣的函數稱為分段函數。

例5 設符號函數 3?3??x?1，即定義域為?,1?。4?4??1,x?0?sgnx?f(x)??0,x?0

??1,x?0?求f(2),f(0),f(?4)及函數的定義域、值域（如圖1-1）。

解

因為2??0,???,0??0?,?4????,0?，所以，f(2)?1,f(0)?0,f(?4)??1，f(x)的定義域為???,???，值域為??1,0,1?。

分段函數在整個定義域上是一個函數而不是幾個函數。分段函數的圖形在每個區間段

圖1-1 上與相應解析式函數的圖形相同；求分段函數的數值時，應把自變量的值代入相應取值范圍的表達式中進行計算。

4．反函數

定義

2設函數y?f(x)的定義域為D，值域為M。對于任意數值y?M，在D中都有唯一確定的值x，使x??(y)，則得到一個以y為自變量，x為因變量的新的函數，這個新的函數叫做函數y?f(x)的反函數，記作x?f?1(y)，其定義域為M，值域為D。由于人們習慣用x表示自變量，而用y表示因變量，因此我們將函數y?f(x)的反函數x?f?1(y)用y?f?1(x)表示。y?f(x)與y?f?1(x)的圖像關于直線y?x對稱。如圖1-2。

求反函數的過程可以分為兩步：第一步從y?f(x)解出x?f母x和y。反函數一定要指明其定義域。

二、函數的幾種特性

1．有界性

若存在正數M，使得在區間I上恒有f(x)?M，則稱f(x)在I上有界，否則稱f(x)在I上無界。

例如，函數y?2．單調性

?1(y)；第二步交換字1在區間?0,1?內無界，但在區間?1,2?內有界。x若對于區間I內任意兩點x1,x2，當x1?x2時有f(x1)?f(x2)，則稱f(x)在I上單調增加，區間I稱為單調增區間；若f(x1)?f(x2)，則稱f(x)在I上單調減少，區間I稱為單調減區間。單調增區間和單調減區間統稱為單調區間。在單調增區間內，函數圖像隨著自變量x的增大而上升，在單調減區間內，函數的圖像隨著自變量x的增大而下降。

例如，y?x2在區間?0,???內是單調增加的，在區間???,0?內是單調減少的，在區間???,???函數y?x2不是單調函數。

3．奇偶性

設I為關于原點對稱的區間，若對于任意的x?I，都有f(?x)?f(x)，則f(x)叫做偶函數；若f(?x)??f(x)，則f(x)叫做奇函數。奇函數的圖像關于原點對稱，如圖1-3；偶函數的圖像關于y軸對稱，如圖1-4。若f(x)既不是奇函數也不是偶函數，那么f(x)叫做非奇非偶函數。

例如，y?x在區間???,???內是奇函數，y?x?1在區間???,???內是偶函數。34y?sinx?cosx在區間???,???是非奇非偶函數。

4．周期性

若存在不為零的數T，使得對于定義域I內的任意的x?I，都有x?T?I，且f(x?T)?f(x)，則稱f(x)為周期函數，其中T叫做函數的周期，通常所說的周期函數的周期是指它的最小正周期。

例如，y?sinx,y?cosx都是以2?為周期的周期函數。

三、基本初等函數

冪函數

y?x?（?為常數）

指數函數

y?ax（a?0,a?1,a為常數）對數函數

y?logax（a?0,a?1,a為常數）

三角函數

y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx,y?secx，y?cscx

反三角函數

y?arcsix,ny?arccox,sy?arctax,ny?arcoxt

以上五類函數統稱為基本初等函數，常用的基本初等函數的定義域、值域、圖像和性質見附表2。

四、復合函數

初等函數

在函數y?sin2x中，我們不難看出，這個函數值不是直接由自變量x來確定的，而是通過2x來確定的，如果用u表示2x，那么函數y?sin2x就可以表示成y?sinu，而u?2x，這也就說明了y與x的函數關系是通過變量u來確定的。

定義3

如果y是u的函數，而u又是x的函數，y?f(u),u??(x)，通過u將y表示成x的函數，那么y叫做x的復合函數，即

y?f[?(x)]

其中u叫做中間變量。

注意

函數?(x)的值域應該取在函數y?f(u)的定義域內。

例6

試求由函數y?u,u?sinx構成的復合函數

33解

將u?sinx代入y?u中，即為所求的復合函數y?sinx

2注意

并非任意兩個函數都能構成復合函數。例如y?arcsinu與u?x?2便不能3復合成一個函數，因為u的值域為?2,???，不包含在y?arcsinu的定義域??1,1?內，因而不能復合。

有時，一個復合函數可能由三個或更多的函數復合而成。例如，由函數

2y?2u,u?sinv,v?x2?1可以復合成函數y?2sin?x?1?，其中u和v都是中間變量。

例7

指出下列復合函數的結構：（1）y?(2x?1)；（2）y?解（1）y?u9,u?2x?1

（2）y?u,u?logav,v?cosx?4

u（3）y?10u?sinv,v?9loga(cosx?4)；（3）y?10xsin1x；

x1 x對復合函數進行分解時，每個層次都應是基本初等函數或常數與基本初等函數的四則運算式；當分解到基本初等函數或常數與基本初等函數的四則運算時，就不再分解了。

定義4

由基本初等函數和常數經過有限次四則運算及有限次復合步驟所構成的，并能用一個解析式表示的函數，叫做初等函數。例如y?1?x,y?sinx,y?等都是初等函數。初等函數是最常見的函數，它是微積分學研究的主要對象。

23loga3x小結：

1． 函數定義

2．函數性質

3．初等函數

4．復合函數

作業：P9，5 板書設計：

（一）引例

函數

（二）定義 函數定義 函數性質

（三）初等函數

初等函數 復合函數

（四）小結

第二篇：微積分教案

微積分數學模型的應用

微分模型

一、光纖收費標準模型

某地有多家有線電視公司。有線電視公司A的光纖收費標準為14元/（月。戶），目前它擁有5萬個用戶。某位投資顧問預測，若公司每月降低1元的光纖收費，則可以增加5000個新用戶。1）請根據這一預測，為公司制定收費標準，以獲得最大收益

2）如果公司每月每戶降低一元的光纖收費，只增加1000個新用戶，問該如何制定收費標準？

一、模型假設與符號說明

1、假設該地的用戶數遠遠大于5萬

2、假設只考慮公司降價而不考慮提價的情況

3、若公司每月每戶降低1元的光纖收費，可增加a個新用戶，公司每月每戶降低x的光纖收費，公司的月收益為P(x)。

二、模型建立

P(x)?每月每戶交納的費用?總用戶數，即

P(x)=(14-x)(50000+ax)=700000+(14a-50000)x-ax

三、模型求解

（1）當a?5000時，P(x)=700000+20000x-5000x，求導得

P'(x)=20000-10000x

令P(x)?0，得駐點x?2。

根據實際問題的分析知道：當公司定價為12元時，公司擁有60000用戶，此時公司每月的最大收益為72萬元。

（2）1）當a?1000時，p(x)?700000?36000x?1000x，求導得

2'P'(x)=-36000-2000x

令P(x)?0，得駐點x??18。

根據實際問題知：x?0，故與實際情況不吻合

二、存貯模型

（一）不允許缺貨的存貯模型 1.問題的提出 存貯問題廣泛存在于工廠的原材料貯備，商店的商品貯備、水庫蓄水等現實問題'中．這里的關鍵是存貯量的大小，存貯量過大則需付出過高的存貯費用；存貯量不足又可能導致不能滿足需求從而造成損失．因此，確定一個最優的貯存策略是具有重要意義的． 2.模型的構建

下面假定需求量是確定的，并且不允許缺貨現象出現，如鋼廠訂購廢鋼供煉鋼就是這種情況，因為鋼生產對原料的需求是一定的，而一旦缺少了原料將造成巨大的損失． 在不允許缺貨的情況下我們可以考慮兩種費用：訂貨時需付的一次性訂貨費，貨物的貯存費．建立模型的目的是在單位時間的需求量為常數的情況下制定最優存貯策略，即多長時間訂一次貨，每次訂多少貨，使總費用最?。?/p>

模型假設：（1）每天貨物需求量為r噸．

（2）每隔T天訂一次貨（稱T為訂貨周期），訂貨量是Q噸，當貯存量降到零時新一批訂貨恰好到達．（3）每次訂貨費為C1（與訂貨量無關，也與貨物本身的價格無關），每天每噸貨物貯存費為C2． 模型建立：訂貨周期T、訂貨量Q與每天需求量r之間應滿足關系 Q?rT ．

訂貨后貯存量由Q均勻地下降，設任意時刻的貯存量為q(t)，則q(t)是t的線性遞減函數，其變化規律如圖10－1． 考慮一個訂貨周期的總費用C(T)：訂貨費C1與貯存費．

__貯存費＝每天每噸貨物的貯存費?平均每天的存貯噸數?天數 ＝C2?Q?0?T 2

圖10－1

＝于是得

1C2QT．

21C(T)＝C1?C2QT，2__1C(T)＝C1?C2rT2．

2__

（2）

顯然，不能以一個周期內的費用為目標函數，這樣會導致訂貨周期越短越省錢的錯誤結論，而應以每天的平均費用（記作C(T))為目標函數，于是

C(T)? C(T)C11＝?C2rT． TT2__

（3）

制定最優存貯策略歸結為求訂貨周期T使C(T)最?。? 3.模型求解 利用微分法，令

?C1dC(T)?0，得21?C2r?0，2dTT解得 最佳進貨周期

T?2C1． rC（4）

將Q?rT代入上式得最佳進貨量

Q?2C1r．

C2

（5）

式（8）就是經濟理論中著名的經濟訂貨批量公式． 4.模型應用

訂貨批量公式（5）表明，訂貨費C1越高，需求量越大，則訂貨批量Q應越大；貯存費C2越高，則訂貨批量Q應越?。@些結論都可以由常識得到，不過公式在定量上表明的平方根關系卻是憑常識無法得到的．

例 1 一鞋店平均每天賣出110雙鞋，批發手續為每次200元，每雙鞋每儲存一天的費用為0.01元，該商店多少天進一次貨最好，進貨量為多少？

解 本題中r=110，C1?200,C2?0.01.于是得最佳進貨量 Q?最佳進貨天數 2C1r?C22?200?110?2098?雙?，0.01T= Q2098??20?天?r110即20天進貨2098雙最好?

（二）允許缺貨的存貯模型.問題的提出 考察一個商店經理制定最優訂貨周期和最優訂貨批量時碰到的問題．設市場對某種商品的需求是確定的和已知的，市場對某種商品的需求仍為每天r噸，但允許缺貨．缺貨時因失去銷售機會而使利潤減少，減少的利潤可以視為因缺貨而付出的費用，稱缺貨損失費．于是這個模型的第（1）、第（3）條假設與不允許缺貨時相同，而第（2）條改為(2)?每隔T天訂貨Q噸，允許缺貨，每天每噸貨物的缺貨損失費為C3．

2.模型的構建

缺貨時貯存量q(t)視作負值，則q(t)的圖形

如圖10－2．貨物在t?T1時售完，但每天需求量仍為r，在?T1,T?這段時間內缺貨，可視存貯量q(t)為負值，于

是在t?T時下一次訂貨量Q一次到達，且Q?rT1．

圖10－2 一個訂貨周期內總費用C：訂貨費C1，貯存費C2__?T10q(t)dt，缺貨損失費．

貯存費?每天每噸貨物的存貯費?從第一天到第T1天總共存貯的貨物噸數的和

＝C2?T10q(t)dt?C2?Q(1?0T1t1)dt?C2QT1． T12tdt(T1?T)T1 缺貨損失費＝C3 ＝C3＝?TT1q(t)dt＝C3?Q(1?T1T ?TT1(rT1?rtdt(Q?rT1)

1C3r(T?T1)2． 2于是一個周期內的總費用為： 11C?C1?C2QT1?C3r(T?T1)2．

22__ 3 模型的求解

模型的目標函數仍為每天的平均費用C(T,Q)，將T1?__Q代入上式，得 r

C(T,Q)＝

CC11??C1?C2Q2?3(rT?Q)2TT2r2r?，求T、Q使得C(T,Q)最小．

先求出二元函數C(T,Q)關于T、Q的偏導數

?C?C． ,?T?Q 然后令?C?C?0,?0，?T?Q最后解出最優值T與Q，即得 最佳進貨周期 **T*?2C1(C2?C3)，rC2C（6）

最佳進貨批量

Q*? 4.模型的應用 2rC1C3

C2(C2?C3)

（7）

式（6）、（7）表明，缺貨損失費C3越大，訂貨周期應越短，訂貨批量越大．當C3很大（即缺貨損失變得很大）時，C3??，有

C2?C3C?1?2?1，則允許缺貨的最佳周期和最佳批量與不允C3C3許缺貨的最佳定貨周期和最佳批量有如下關系 T*?2C1(C2?C3)?rC2C32C1*，Q?rC22rC1C32rC1． ?C2(C2?C3)C2允許缺貨的情形又回到了不允許缺貨的情形，顯然這是符合實際的．

例2 有一酒類批發商，以每天150瓶的速度供應零售商，存儲費用為每天每瓶0.05元，根據合同如缺貨，每瓶每天必須向零售商賠償0.2元。若批發商一次的費用為300元，試確定批發商的最佳批發周期、進貨量。

解 因 r?150,C2?0.05,C3?0.2,C1?300,于是得最佳批發周期為

T?最佳進貨量

Q?

三、生豬的出售時機 1．問題

飼養場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。市場價格目前為每千克8元，但是預測每天會降低 0.1元，問生豬應何時出售。如果估計和預測有誤差，對結果有何影響。

??2C1?C2?C3?rC2C3?2?300?(0.05?0.2)?10?天?，150?0.05?0.22rC1C32?150?300?0.2??1200?瓶?，C2?C2?C3?0.05?(0.05?0.2)2．分析

投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大建模及求解

估計r=2 g=0.1若當前出售，利潤為80×8=640（元），t 天出售，生豬體重 w=80+rt 銷售收入 R=pw 出售價格 p=8-gt 資金投入 C=4t 利潤 Q=R-C=pw –C Q(t)?(8?gt)(80?rt)?4t

求 t 使Q(t)最大 t?4r?40g?2=10 rgQ(10)=660 > 640 10天后出售，可多得利潤20元

四、森林救火

當森林失火時，消防站應派多少消防隊員去滅火呢？派的隊員越多，火災損失越小，但救援開支越大.如何確定滅火隊員的人數，才能使總費用（火災損失+救援開支）最小？

解 1．問題分析

（1）火災損失與森林被燒面積有關，而被燒面積又與從起火到火滅的時間有關，而這時間又與消防隊員人數有關.（2）救援開支由兩部分構成：①滅火劑的消耗與消防隊員酬金（與人數和時間有關）；②運輸費（與人數有關）.（3）在無風的情況下，可認為火勢以失火點為圓心，均勻向四周蔓延.半徑與時間成正比，從而被燒面積應與時間的平方成正比.2．模型假設

（1）火災損失與森林被燒面積成正比

記開始失火的時刻為t?0，開始滅火的時刻為t?t1，火被完全撲滅的時刻為t?t2.設在時刻t森林被燒面積為B?t?，C1表示單位面積被燒的損失，則總損失為C1B(t2).（2）被燒面積與時間關系

dBdBdB表示單位時間被燒面積(燃燒速度：m2/min),當t＝0與t?t2時為零，當t?t1時最dtdtdtdBdB|t?t1?b.由前面分析，B?t?與t2成正比,故不妨設在區間[0,t1]與[t1,t2]上，大，記 都是t的dtdt線性函數.在[0,t1]上，斜率為??0，?稱為火勢蔓延速度,在[t1,t2] 上,斜率為???x?0,其中x為消防隊員人數.?為隊員的平均滅火速度.（3）救援開支

設x為消防隊員人數，滅火劑消耗與消防隊員酬金每單位時間的費用為C2, 運輸費平均每人費用為C3, 則救援開支為C3x?C2x(t2?t1).3．模型建立與求解

圖14-3 由假設2，dBdt與t的關系如圖14-3所示.利用定積分的牛頓-萊布尼茲公式，大面積為

B(tt2dB2)?B(tdt＝?OMN面積＝bt22)?B(0)??0dt2 ∴總費用 C?12C1bt2?C2x(t2?t1)?C3x.此式中t2與x是變量，其余為常數.但t2與x是密切相關的，由圖可知

b??tb1,t??x??, t?b2?t1?x?? 2?t1從而，總費用可化為一元函數：

??C2Cx?12C1bt1?1b2??x????C2bx?x???C3x dC2令 ?0，解得唯一駐點 x?1C1?b?2C2?bdx?2C??.3?駐點就是最小值點.4．模型評價

森林被被燒的最 從結果看，x>??，這表示為了能把火撲滅，派出的消防隊員人數要大，這保證?-?x?0，使??1燃燒速度趨于零.而x的第一項 ?C1?b2?2C2?b是綜合考慮了各種因素,使總費用最低.2C3積分模型

一、捕魚成本模型 1.問題的提出

在魚塘中捕魚時，魚越少捕魚越困難，捕撈的成本也就越高，一般可以假設每公斤魚的捕撈成本與當時池塘中的魚量成反比。

假設當魚塘中有x公斤魚時，每公斤的捕撈成本是從魚塘中捕撈6000公斤魚需花費多少成本？

2.模型的構成與求解

根據題意，當塘中魚量為x公斤時，捕撈成本函數為 C(x)?2000元。已知魚塘中現有魚10000公斤，問

10?x2000(x?0).10?x假設塘中現有魚量為A公斤，需要捕撈的魚量為T公斤。當我們已經捕撈了x公斤魚之后，塘中所剩的魚量為A?x公斤，此時再捕撈?x公斤魚所需的成本為

?C?C(A?x)?x?因此，捕撈T公斤魚所需成本為

2000?x.10?(A?x)C??T0200010?A?Tdx??2000ln[10?(A?x)]x?2000ln(元)x?010?(A?x)10?(A?T)將已知數據A?10000kg,T?6000kg代入，可計算出總捕撈成本為 C?2000ln10010?1829.59(元)4010順便可以計算出每公斤魚的平均捕撈成本 C?

二、投資決策模型

某公司投資1860萬元建成一條生產線．投產后，其追加成本和追加收入（分別是成本函數和收入?1829.59?0.30元

6000函數對時間t的變化率，類似于邊際函數概念）分別為G(t)?5?2t（百萬元/年），?(t)?17?t（百萬元/年）．試確定該生產線使用多長時間停產則可使公司獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解

容易看出，追加成本G(t)是單調增加函數而追加收入?(t)是單調遞減函數，這說明生產費用在逐年增加，而生產收入在逐年減少，二者之差即為生產利潤隨時間的變化率：

2323?(t)?G(t)?(17?t)?(5?2t)?12?3t．

232323與邊際成本和邊際收入的關系相同，生產利潤最大值存在的必要條件是?(t)?G(t)．解方程得t?8，由于生產利潤對時間的導數為

??(t)?G(t)?8???2t?13?0，23所以，t?8是生產利潤的最大值點．這樣，生產利潤的最大值為

???(t)?G(t)?dt?18.6??(12?3t008)dt?18.6?38.4?18.6?19.8(百萬元)．

第三篇：微積分復習教案

第一講 極限理論

一 基本初等函數的定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性和圖象，其中函數圖像是重中之重，由函數圖像可以輕易的得到函數的其它要素（P17-20）二 求極限的各種方法

⑴當f(x)為連續函數時,x0?Df,則有limf(x)?f(x0)

x?x0例1 計算極限limxarcsinx

x?22 ⑵設m,n為非負整數,a0?0,b0?0則

?0,當n?ma0xm?a1xm?1???am?1x?am??a0lim??,當n?m x??bxn?bxn?1???b01n?1x?an?b0???,當n?m 例2 計算極限：⑴ lim973x?1 ⑵ ?3x?2??2x?3?

limx??2x?4?4x?1?16x???⑶用兩個重要極限求

①limsinx?1（limsinx?0，limsinf(x)?1）

x?0x??f(x)?0xxf(x)x2 結論：當x?0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx，1?cosx~。②lim(1?1)x?e（lim(1?x)x?e，lim(1?1)f(x)?e）

x?0x??f(x)??xf(x)實質：外大內小，內外互倒

例4 計算極限：⑴ lim(1?2x)⑵ lim(1?sinx)

x?0x?013x1x1 ⑷未定式的極限（?000，???，0??，0，?）?0 ①羅必達法則

例5 計算極限：

x?0?limsinxlnx lim(sinx)x lim(x?0?x?011?)sinxx②設法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同時有理化等方法）例6 計算極限：⑴ lim1?x?1 ⑵ lim3?x?2

x?0x?1xx?1 ③用等價無窮小量代換（切記：被代換的部分和其他部分必須是相乘關系?。├? 計算極限limsinxtanx

x?0x2(1?cosx)⑸無窮小量乘有界變量仍是無窮小量。

例8 計算極限：⑴ limx2sin1 ⑵ limxcosx

x?0x???1?x2x三 連續和間斷 1.連續的定義

2.間斷點的定義和分類

四 閉區間上連續函數的性質（這里有一些證明題值得注意）。

第二講 微分學

一 導數概念

導數：f?(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)

?x?0x?x0?xx?x0左導數：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0右導數：f??(x)?limf(x0??x)?f(x0)?limf(x)?f(x0)?x?0?x?x0??xx?x0 實質：差商的極限。

例1 計算極限：⑴ limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0)?f(x0??x)⑵ lim

?x?0h?x二 各種求導法

⑴導數公式表（P94）和四則運算法則（P85）

例2設f(x)?4x?3x?x4?5logax?sin2，求f?(x)；

例3設f(x)?1sinx?arctanx?cscx，求f?(x)，f?()；

4x ⑵復合函數的求導（P90）

例4 求下列函數的導數

①f(x)?arctane2x ②f(x)?etanx ⑶隱函數求導（方法：把y當作x的函數，兩邊對x求導）

例5 求下列隱函數的導數

①xy?e?y?0 ②2y?3x?5lny ⑷對數求導法（多用于冪指函數和由多因子相乘構成的函數的求導）

例6 求下列函數的導數

① y?xsinxx? ②y?2x?1(x?1)(3?2x)⑸由參數方程確定的函數的求導

?x??(t)重點：由參數方程?確定的函數y?f(x)的導數為dy???(t)；

dx??(t)?y??(t)?x?ln(1?t)例7 設?，求dy；

dx?y?t?arctant三 高階導數

例8 設y?2arctanx，求y??； 例9 設y?ex?xn，求y(n)； 四 微分

重點：函數y?f(x)的微分是dy?f?(x)dx

例10 設y?3x2?e2x，求dy； 例11設y?2x?ey，求dy； 五 單調性和極值

重點：⑴由f?(x)的符號可以判斷出f(x)的單調性；

⑵求f(x)的極值方法：①求出f?(x)，令其為零，得到駐點及不可導點，姑且統稱為可疑點；②判斷在可疑點兩側附近f?(x)的符號，若左正右負，則取得極大值；若左負右正，則取得極小值；若同號，則不取得極值。

例12 求函數y?x?ln(x?1)的單調區間和極值點。

例13 證明：當0?x?六 最值問題

求函數f(x)在區間[a,b]上的最值之步驟：①求出f?(x)，令其為零，得到可疑點（駐點和不可導點），并求出函數在這些點處的取值；②求出函數在區間端點取值f(a)，f(b)；

③比較函數在可疑點和區間端點上的取值，最大者即為最大值，最小者即為最小值。

例14 求下列函數在指定區間上的最值。

⑴f(x)?x4?2x2?5，[?2,3] ⑵y?x?1，[0,4]

x?1七 凹凸性和拐點

重點：

⑴凹凸性概念：設f(x)在區間(a,b)內連續，若對?x1,x2?(a,b)（x1?x2），有

?2時，恒有x?sinx。

f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2))?)?（f(1）

2222則稱f(x)在(a,b)內是凹函數（凸函數）。（用此定義可以證明一些不等式，見下例）。⑵由f??(x)的符號可以判斷出f(x)的凹凸性。f??(x)為正號則f(x)是凹函數，f??(x)為負號則f(x)是凸函數。

⑵判斷f(x)的拐點之方法：①求出f??(x)，令其為零，得到f??(x)等于0的點和f??(x)不存在的點；②判斷在這些點兩側附近f??(x)的符號，若為異號，則該點是拐點；若同號，則該點不是拐點。

例15 求下列函數的凹凸區間和拐點。

⑴y?x?2x?1 ⑵y?3x

例16 證明：當x1?x2時，必有ax1?x2243ax1?ax2?（a?0）。

2第三講 積分學

一 不定積分與原函數的概念與性質

⑴原函數：若F?(x)?f(x)，則稱F(x)為f(x)的一個原函數。

⑵不定積分：f(x)的全體原函數稱為f(x)的不定積分，即

?f(x)dx?F(x)?c，這里F?(x)?f(x)

⑶不定積分的性質（P174,共2個）

特別強調：?F?(x)dx?F(x)?c；?dF(x)?F(x)?c（切記常數c不可丟）二 定積分的概念與性質

⑴定積分概念：

n?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi

??0i?1 ⑵定積分和不定積分的區別：定積分是和式的極限，計算結果是個常數；不定積分是由一族函數（被積函數的原函數）構成的集合。

⑶f(x)在[a,b]上可積的必要條件：f(x)在[a,b]上有界； 充分條件：f(x)在[a,b]上連續；

⑷定積分的幾何意義：設f(x)?0，x?[a,b]，則?f(x)dx表示由x?a，x?b，y?0ab及y?f(x)圍成的曲邊梯形的面積。

⑸定積分的性質（P210,共7個）注意結合定積分的幾何意義理解之。

例：⑥若對?x?[a,b]，有m?f(x)?M，則有m(b?a)? ⑦若f(x)在[a,b]上連續，則存在??[a,b]，使得滿足 另：若f(x)是奇函數，則三 由變上限積分確定的函數

⑴定義：設f(t)在[a,b]上連續，則稱函數

b??abf(x)dx?M(b?a)。f(x)dx?f(?)(b?a)。

a?a?af(x)dx?0。

?(x)??f(t)dt，a?x?b

ax 為變上限積分確定的函數。

⑵求導問題：??(x)?dx[?f(t)dt]?f(x)dxax2 例1 求下列函數的導數f?(x)。

①f(x)??xln4tedt ②f(x)??x4?2t01?t2dt

⑶與羅必達法則結合的綜合題

例2 求下列極限： ①

t?lim0x?02sintdtx4sin3tdt? ②lim

?tedt0x?0x3?t0x2四 求積分的各種方法

⑴直接積分法（兩個積分表P174和P185）

cos2x1?x?x2 例3 計算積分：①? ②dx dx?2sinx?cosxx(1?x)⑵第一換元法（湊微分法）

重點：?f(x)dx?????g[?(x)]??(x)dx??g[?(x)]d?(x)

令u??(x)整理f(x)????g(u)du???G(u)?c????G[?(x)]?c

常用湊微分公式：xndx?1d(xn?1)，1dx?2d(x)，1dx?d(lnx)，sinxdx??d(cosx)

n?1x?積分變量還原xcosxdx?d(sinx)，sec2xdx?d(tanx)，csc2xdx??d(cotx)，secxtanxdx?d(secx)，cscxcotxdx??d(cscx)。

注意：在定積分的換元法中，要相應調整積分上下限。

例4 計算積分：

?①tanxdx ② ⑶第二換元法

重點：??20sin?cos2?d? ③?2x?41?lnxdx ④?(1?xlnx)4dx x2?4x?8?f(x)dx?????f[?(t)]??(t)dx ?dx??(t)dt令x??(t)???????g(t)du???G(t)?c????G[??1(x)]?c 整理f[?(t)]??(t)?積分變量還原 常用換元方法：

①被積函數中若有nax?b，令t?nax?b；若有kx和lx，令x?t，這里m是k，ml的最小公倍數。

②被積函數中若有a2?x2，令x?asint； ③被積函數中若有a2?x2，令x?atant； ④被積函數中若有x2?a2，令x?asect；

注意：在定積分的換元法中，要相應調整積分上下限。

例5 計算積分：⑴ ?a0a?xdx ⑵ ?2241dx

1?x例6 設f(x)是定義于實數集上的連續函數，證明 ⑴?baf(x)dx??b?ca?cf(x?c)dx，⑵ ?baf(x)dx???ba?2bf(a?b?x)dx

⑷分部積分法 u?vdx?uv?uv?dx

關鍵：適當選擇u?，v。選擇的技巧有①若被積函數是冪函數乘易積函數，令u?為易積函數，v為冪函數。②若被積函數是冪函數乘不易積函數，令u?為冪函數，v為不易積函數。

例7 計算積分：arctanxdx

⑸有理分式函數的積分

步驟：①若是假分式，先用分式除法把假分式化為多項式與真分式的和，多項式積分非常容易，下面重點考慮真分式P(x)的積分。

Q(x)②把Q(x)分解成如下形式 ???Q(x)?b0(x?a)??(x?b)?(x2?px?q)??(x2?rx?s)?

這里p2?4q?0，……，r?4s?0。③把P(x)化為如下形式

Q(x)A? A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a)2 ??????

B?B2 ?B1? ??????1(x?b)(x?b)(x?b)?M?x?N?M1x?N1M2x?N2???? 2?2??12(x?px?q)(x?px?q)(x?px?q)?????? ?R?x?S?R1x?S1R2x?S2 ????2?2u?12(x?rx?s)(x?rx?s)(x?rx?s)這里Ai,Bi,Mi,Ni,Ri,Si為待定系數，通過對上式進行通分，令等式兩邊的分子相等，即可解得這些待定系數。

④于是對P(x)的積分就轉化成對上面等式的右端積分了，然后再對上式右端積分。

Q(x)x3?2x2dx

⑵ 例8 計算積分：⑴ ?2x?2x?10五 定積分的分段積分問題

例9 計算積分：⑴4x?3?x2?5x?6dx

?0x?3dx。⑵?sin2xdx

0?六 定積分的應用：重點是再直角坐標系下求平面圖形的面積。

⑴由曲線y?f(x)，y?g(x)[f(x)?g(x)]及直線x?a，x?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[f(x)?g(x)]dx。

ab⑵由曲線x??(y)，x??(y)[?(y)??(y)]及直線y?a，y?b[a?b]圍成的圖形的面積為：S??[?(y)??(y)]dy。

ab例10 求由下列曲線圍成的圖形的面積。⑴y?lnx，y?1?x，y?2； ⑵x?0，x??2，y?sinx，y?cosx；

七 廣義積分

沿著定積分的概念的兩個限制條件（積分區間有限和被積函數在積分區間上有界）進行推廣，就得到兩種類型的廣義積分。

⑴第一類廣義積分

①定義：? ???abf(x)dx?lim?f(x)dx

b??ab????f(x)dx?lim?f(x)dx

a???a0b ???f(x)dx????f(x)dx????0f(x)dx?lim?f(x)dx?lim?f(x)dx

a???ab???00b ②計算方法：先計算定積分，在取極限。

⑵第二類廣義積分（暇積分）

①定義：?f(x)dx?lim?ababb??0?a??b??f(x)dx（a是暇點）f(x)dx（b是暇點）

bc?? ?f(x)dx?lim?bcaa??0?a ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim?c??0?af(x)dx?lim?b??0?c?? f(x)dx（c是暇點）②計算方法：先計算定積分，在取極限。

例11 判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，收斂于何值。

①? ??1`1dx ②5x?211dx 5(x?1)

第四篇：微積分電子教案

第七章

第七章

無窮級數

§7.1 無窮級數的概念 7.2 無窮級數的基本性質

主要教學內容

(1)無窮級數的概念;(2)無窮級數的基本性質.教學目的及要求: 掌握級數的基本概念及基本性質，會利用定義判別數項級數的收斂情況.重點難點及解決措施: 重點: 利用定義和性質判別典型題型的斂散性.難點: 部分和的求解.解決措施: 注重啟發與分析.教學方法及段設計: 講授法.課時：2課時

一、引入課題

1、在初等數學里，我們學過有限項的和

例如

1+2+3+4+5+….+100=100?(100?1)=5050

2234n2?2?2?2?...?2?1?(1?2)1?2n?2?1

n以及特殊的無窮遞縮等比數列的和 例如

11111????...??2

12481?2但當一般的 1+2+3+4+5+6+…

2+4+8+16+…就不會了。

從今天開始我們就系統的介紹一些無窮項之和的理論。這就是第七章的內容-------無窮級數。什么是無窮級數呢？

二、新課設計

1．定義：設給定數列?un?： u1，u2，?，un，? 式子u1?u2???un??

（1）

叫做無窮級數，簡稱為級數（1）式簡記為?un即：?un?u1?u2???un??

n?1n?1??

第七章

其中第n項un叫做級數的一般項或者通項。?是求和號 例如：

1+2+3+4+5+6+…+n+…=

?n

n?1???234n2?2?2?2?...?2?...??2n

n?1n?1n??12?1?122?132??142?...?1n2?...?xn?1n?x?x?x?...x?...23n若一般項un是常數，則?un是數項級數。

n?1若一般項un是（與n有關的）函數，則?un是函數項級數，前4節里我們討論的一般都是數項級

n?1?數。2．說明

我們把一個級數的前n項的和sn稱為第n次部分和，所有部分和構成數列?sn?：s1,s2,s3,?sn,?，若數列?sn?極限存在，即limsn?s，則稱無窮級數?un收斂，且收斂于s，n??n?1?亦即無窮級數的和為s，記為s=?un；否則稱無窮級數發散，此時無窮級數的和不存在。要判斷

n?1?一個級數有無和，亦即級數是收斂還是發散，其步驟為：

1）先求出級數?un的前n項和Sn?u1?u2???un??uk

n?1k?1?n2）取極限limsn

n??若極限存在且極限值為s，則級數?un收斂，s為級數的和；

n?1?若極限不存在，則級數?un發散。

n?1?3．舉例

例1 討論幾何級數（等比級數）

n?1?aqn?1?a?aq?aq2?aq3?...?aqn?1?...?(其中a≠0，q稱為級數的公比。并規定q=0時，級數等于a.)的斂散性。解：當|q|≠1時，由于

第七章

nn??a1???qaq23n?1a???? sn?a?aq?aq?aq?...aq?

1?q1?q1?q 當|q|<1時，limn??sn?a

1?q，級數收斂。當|q|>1時，limsn??，級數發散。

n??當q=1時，sn?a?aq?aq2?aq3?...aqn?1?a?a?a?a?...?a?na

則limsn??

n??0當q=-1時，sn?a?aq?aq2?aq3?...aqn?1?a?a?a?a?a?...???n為偶數 ?1n為奇數 則limsn??

n??綜上所述，當|q|<1時，級數收斂，其和為

當|q|≥1時，級數發散。

a。1?q今后我們可以直接使用結論。比如???，?5?n?1?3?n?1???6?n??2?n?14n都是收斂級數

而

n?1?en ? ? ?都是發散級數

n?1?5?這章中，除了等比級數之外，還有調和級數?

p –級數??1是發散的 n?1n?1pn?1n------??p?1時，級數收斂

?p?1時，級數發散這些結論要記住。例

2、判定級數?例

3、判別級數

?lnn?1?1的斂散性。??nn?1n?1?n?123n?1?ln?ln?...?ln?...的斂散性 n12n22222????...??...的斂散性。

????????2n?12n?11?33?55?72n?12n?1n?1??4．練習：(1)判定級數1?(2)判定級數?n????的斂散性。

?2?n〔由于211?n?1,2,...?

所以 ???2n?1??2n?1?2n?12n?

1第七章

sn?22221?1 ?1??11??1???...???1???????...????1??2n?1??2n?1??3??35??2n?12n?1?1?33?55?72n?11??故limsn?lim?1???1，因此所給級數收斂，其和為1。n??n???2n?1?即

?2?1

n?1?2n?1??2n?1???????5．級數的基本性質

性質

1、如果級數?un和?vn收斂，n?1n?1?un?S1,?vn?S2，則?(un?vn)也收斂，且其和

n?1n?1n?1為S1?S2.即

?(un?vn)??un??vn?S1?S2

n?1n?1n?1???性質

2、如果級數?un收斂，且其和為S，則它的每一項都乘以一個不為零的常數c后，所得n?1?到的級數?cun也收斂，且其和為cS.即

n?1?

?cun? c?un?cS.n?1n?1??性質

3、在一個級數的前面刪去或添加有限項不影響級數的斂散性.性質

4、如果一個級數收斂，加括號后所成的級數也收斂，且與原級數有相同的和。

注意：逆命題不一定成立 性質

5、如果?un收斂，則limun?0.n?1n???注意：這是級數收斂的必要條件，經常用來判別級數發散 6．舉例

例

3、判別下列級數的斂散性 1）1+2+…+100+???n?1

22）?nP

（p>0）n?1n?11?????1?n1?3）????

4）?n?1?n

nn?1n?1?6n??5???解：1）由于??1n?12n?1是等比級數且公比q=1/2,則是收斂的由性質3知，原級數是收斂的。

?

2）?limun?limnp???

??np發散

n??n??n?

1第七章

?????1?n(?1)n11?

3）由于?n與?n都是收斂的等比級數，由性質1知????是收斂的

?nn?1?56n?n?16n?15??

4）

?sn???n?1?n? nn?1?1 ?limsn?lim?n?1?1??lim??n??n??n??n?1?12?1?3?2?4?3?...???????即原級數發散。

三、小結

1、級數的收斂與發散定義。

2、收斂級數的基本性質

3、等比級數，調和級數，p-級數在不同情況下的收斂與發散情況。

四、作業：P309 1

第七章

§7.3 正項級數

主要教學內容

(1)正項級數的概念;(2)比較判別法；(3)比值判別法

教學目的及要求: 掌握正項級數的概念，會用比較判別法和比值判別法判定正項級數的斂散性

重點難點及解決措施: 重點: 兩個判別法的應用 難點: 比較判別法

解決措施: 注重啟發與分析.教學方法及段設計: 講授法.課時：2課時

一、正項級數的概念

1、定義：如果數項級數?un?u1?u2?...?un?...滿足條件un?0（n=1,2,..），則此級數稱為n?1?正項級數。

二、收斂性的判別

對于正項級數來說，其s1,s2,s3,?sn,?為單調增加的，如果它是有界的，則必有極限。為此我們有判別正項級數特別的方法。

正項級數的斂散性判別法 1）比較判別法：

2）如果兩個正項級數?un?u1?u2?...?un?...（1）

n?1??v?v?vn?1n1?2?...?vn?...（2）

滿足關系式un?kvn（n=1,2…k>0的常數）

則，當級數（2）收斂時，級數（1）也收斂

當級數（1）發散時，級數（2）也發散

（俗話稱大收小收，小發大發）證明見P28利用此判別法可證明調和級數、P－級數的斂散性。P282 注意：上面定理中，關系式中n從1開始，其實n從任意項m開始都可以。例

1、判別下列級數的斂散性

1[1] ?

[2] n?0n!?

1[3] ?n?1?n?1??n?4??1 ?n?1ln(n?1)?

第七章

解：[1]?11111????2?(n?2,3,...)n!1?2?3...n1?2?2?...?22n?12n?

而?n?112n是q=1/2的等比級數，收斂

故原級數收斂。

?111 [2]??2 而?2是p=2的p-級數，收斂 ?n?1??n?4?nn?1n

故原級數收斂

?y??[3]令y?ln(x?1)?x 1?x?1? x?1x?1

當x?1時，y??0

∴函數y 是減函數

故當n>0時，ln(n+1)-n

ln(n+1)

1而?是調和級數，發散，因此原級數發散。n?1n?11?

ln(n?1)n對于比較判別法，我們還有個極限形式： 對于兩個正項級數

?un?u1?u2?...?un?...?n?1?v.n?...?vn?v1?v2?..n?1?若limun?k不等于0，則它們有相同的斂散性。

n??vn2）達朗貝爾比值判別法：如果正項級數?un?u1?u2?...?un?...滿足條件limun?1?l

?n?1n??un則（1）當l?1時，級數收斂

（2）當l?1時，級數發散

（3）當l?1時，此方法失效 例

2、判別下列級數的斂散性

?5n2221232n?11????...??...[1] ?

[2] ?[3]

33?53?5?73?5?7?...??2n?1?n?1(n?1)!n?1n?〔4〕P285例

4例5 11u解：[1]?limn?1?limn!?lim?0?∴級數收斂

1n??unn??n??n?n?1?!

第七章

5n?155n5n?1[2] ?lim?lim?lim?5?1

∴級數發散 n5n??unn??5n???n?1?un?1n52n[3] ?limun?1n??un?lim3?5?...??2n?1??2n?1?3?5?..??2n?1?2n?1n???lim2?0?1

∴級數收斂 2n?1n??

三、小結

1、正項級數的概念

2、正項級數的比較審斂法

3、正項級數的比值審斂法

4、正項級數的根值審斂法

四、作業 p309 2、3、§7.4 任意項級數，絕對收斂

主要教學內容

(1)任意項級數、交錯級數的概念；(2)交錯級數的萊布尼茲定理；(3)絕對收斂，條件收斂

教學目的及要求: 掌握交錯級數的萊布尼茲定理以及絕對收斂，條件收斂的概念

重點難點及解決措施: 重點:萊布尼茲定理

難點: 絕對收斂、條件收斂 解決措施: 注重啟發與分析.教學方法及段設計: 講授法.課時：2課時

一、交錯級數

1．交錯級數的概念

第七章

交錯級數的一般形式：?n?1???1?n?1u?u?u?u?un1234?...?u2k?1?u2k?...關于交錯級數斂散性有如下判別法.2．萊布尼茲定理：如果交錯級數（1）滿足條件

[1]un?un?1(n?1,2,...)

[2]limun?0

n??則級數收斂，且和s?u1，余項Rn的絕對值Rn?un?1。

例

1、判別下列交錯級數的斂散性 [1]???1?n?1

n?1?1n [2] ?n?1???1?n?11n

[3]

n?1???1?n?1??n?1?n?

111?limun?lim?0且un???n??n解：[1]n??nn?1un?1

?原級數收斂[2]?limun?limn??1nn???0且un?1n?1n?1?un?1

由萊布尼茲定理知原級數收斂。

1[3] ?limun?limn???n??n?1?n?lim?1n?1?nn???limn?0

n??11??1n而un?n?1?n?1n?1?n?1n?1?n?2?n?1?n?2?n?2?n?1?un?1

?n?1???n?2?故原級數收斂 注意：利用萊布尼茲收斂法不能解決所有交錯級數的審斂法問題，萊布尼茲判別法只是充分條件，如果條件不滿足，不能說級數發散，只能說不能判定其斂散性。

二、任意項級數的絕對收斂和條件收斂

1、絕對收斂和條件收斂的定義：如果級數的各項的絕對值所組成的級數收斂，則稱此級數絕對收斂，如果級數收斂，而由它的各項的絕對值組成的級數發散，則稱此級數條件收斂

2、由P287的定理知，絕對收斂的級數一定收斂。

3、即不管是條件收斂還是絕對收斂級數都是收斂的。（為什么要引進絕對值，出現絕對收斂，條件收斂的問題呢？）為此我們有

定理、如果任意項級數?un?u1?u2?...?un?...滿足條件

n?1?n??unulimn?1?l

則當l?1時，級數絕對收斂；當l?1時，級數發散；當l?1 時，級數的斂散性不能確定。證明見P289 例

4、判別下列級數的斂散性（如果收斂，是絕對收斂，還是條件收斂）

第七章

n?sin????n!5n5n?1n?1[1] ?

[3]

[4](p?1)

[2] ???1????1?n?1???1?nn?1npn?1nn?1n5n?1

1[5]

ln?n?1?P289例〔6〕P290例4 例5 n?sin解：[1]un?np5?1?1，而

npnp1是 p >1的p-級數，收斂 ?pnn?1?因此級數絕對收斂。[2] ??n?1|??1?n?1n!nn|??n!nn

?n?1?!(n?1)n?1u?1??limn?1?lim?lim?1??n!n??unn??n???n?nn?n?e?1?1

所以原級數絕對收斂。[3] ??|??1?n?1n?1?5nn5|??5nn55n?1

且

n??un5 ?n?1?5u?n?limn?1?lim?lim5???5?1n??5nn???n?1?n5故原級數發散 [4] 11 |???|??1?n?1ln?n?1?ln?n?1?n?1? 而 ln?n?1?ln?n?2?un?1lim?lim?lim?limn?1?11n??unn??n??ln?n?2?n??1ln?n?1?n?2??1111但發散 ? 且?發散?ln?n?1?nn?0nn?0ln?n?1??可???1?n?1n?11滿足萊布尼茲定理收斂，因此原級數條件收斂。ln?n?1?

三、小結

1、任意項級數和交錯級數的概念

2、交錯級數的萊布尼茲判別法

3、任意項級數的條件收斂與絕對收斂

四、作業：P310 4、5

§7.5 冪級數

第七章

主要教學內容

(1)冪級數的相關概念；(2)冪級數的收斂區間及和函數；(3)冪級數的性質

教學目的及要求: 掌握冪級數的相關概念，會求收斂半徑及收斂區間

重點難點及解決措施: 重點:求收斂半徑和收斂區間 難點:收斂區間的求解

解決措施: 注重啟發與分析.教學方法及段設計: 講授法.課時：2課時

一、冪級數

1、冪級數的相關概念

1）、定義：形如a?a?x?x??a?x?x0??...?a?x?x0??...（1）

2n0102n的級數稱為?x?x0?的冪級數，其中a0，a1，?叫做冪級數的系數 我們規定當x=x0時，（1）總收斂于a0

(1)式可簡記為?an?x?x0?n

n?1?2）當x0?0時

（1）式變為?anxn?a0?a1x?a2x2?...?anxn?...（2）

n?1?

稱為x的冪級數

3）由于做變換X?x?x0

（1）式可以轉化為（2）式的形式，所以今后我們主要研究的是形如（2）時的級數

4）分析冪級數收斂與數項級數收斂的關系

對于冪級數來說，我們仍然關注的是它的斂散性問題。即變量x在實數范圍內取哪些值時，級數（2）是收斂的

當x=0時，任何一個冪級數都收斂于

a0。

當x?0時，給定一個x的值，冪級數成為一個數項級數。隨著x取不同的值，冪級數就成為一族數項級數。為此，我們可以用前面介紹的判別定理來探討冪級數的斂散性。

uu由定理6知，當limn?1?1時級數絕對收斂，limn?1?1時，級數發散

n??unn??un如果liman?1n??anuaxn?1?l則limn?1?limn?1?lx

n??unn??anxn

第七章

11?R時，（2）發散

lllx?1即x??R，x??R時，（2）可能收斂可能發散

l(2)絕對收斂，lx?1即x?當l?0時，lx?1即x? ?R 時，當l?0時，lx?0?1，則級數（2）對任何x都收斂

從上面的討論知，冪級數收斂的范圍是實數軸上一個以原點為中心，從-R到R的區間，這個區間叫做冪級數的收斂區間，其中R=1/l叫做冪級數的收斂半徑。在收斂區間以外，冪級數（2）發散。

在收斂區間上，對于每一個點，級數都收斂于一個確定的和s，對于不同的x值，其和s也不同，因而和s是x的函數，稱為和函數，記為s(x)。

2、求收斂半徑、收斂區間的步驟

1）定理7 如果級數（2）的系數滿足條件liman?1n??an?l

則當0?l???時，R?1/l，當l???時，R?0；當l?0時，R??? 2)求收斂區間的步驟

首先求出收斂半徑R，如果0?R???，再判斷x??R時級數(2)的斂散性，最后寫出收斂區間。例

1、求下列級數的收斂區間

?xnn?1n

[1]?

[3] x

[2] ???1?nn!2n?1n?1?nx?x22?x33?x44?...???xnn?1n

n?1n?11?1?1a解：[1]l?limn?1?lim2?lim?1???

則R=2

n?2n??ann??nn??2?2n當x=2時，冪級數成為?n

這是發散的

n?1?當x=-2時，冪級數成為???1?n

也發散 ?nn?1故級數的收斂區間為（-2，2）。

??1?n?n?1?!?lima[2] l?limn?1?limn??ann????1?nn!1?0

則R=+∞ n?1n??收斂區間為（-∞，+∞）

1na?則R=1 [3] l?limn?1?limn?1?lim1n??ann??n??n?1n

第七章

當x=1時，級數變為調和級數

?n，發散。

n?1?1(?1)n當x=-1時，級數變為交錯級數?，收斂

nn?1?故原級數的收斂區間為??1,1? 例

2、[1]求級數 ?2n 的收斂半徑

x2n?0?n!???2n?![2]求級數?n?0??x?1?n4n的收斂區間

2?n?1?!解；[1]分析：n??limun?1un?lim??n?1?!??n!?122n?1x2??n???2n?!2nx2?4x2

1時，級數發散 21當4x2?1時，x2?即x?時級數收斂，當4x2?1即x?故級數的收斂半徑R=1/2 ?14[2]分析 令X=x+1則?n?0?x?1?n4n??Xna ?limn?1?n??ann?04nn?11?lim4?

4n??14n?n所以R=4,當x=4時，級數變為

?1發散；當x=-4時，級數變為???1?發散

?n?1n?1?Xn 的收斂區間為（-4，4）故?，即-4

二、冪級數的性質

性質

1、?anxn??bnxn???an?bn?xn

n?0n?0n?0???性質

2、如果冪級數f(x)?續函數。

性質

3、在冪級數f(x)?a??n0?nxn的收斂半徑為R?0，則在收斂區間(?R,R)內，它的和函數為s(x)是連a??n0?n的收斂區間(?R,R)內任意一點x，有 xn

第七章

?x0f(x)dx??(?ant)dt???0n?0n?0x?n?x0atnndt??xn?0n?1n?an?1

即冪級數在其收斂區間內可以逐項積分，并且積分后級數的收斂半徑也是R。性質

4、在冪級數f(x)?a??n0?nxn的收斂區間(?R,R)內任意一點x，有

/??n??f?(x)???anx????n?0?n?0?an?/n?1n?nx?anx

n?1?即冪級數在其收斂區間內可以逐項微分，并且微分后級數的收斂半徑也是R。

??nn?1n例3 求冪級數?x的收斂區間和和函數，并求級數?的和。（見書P296）

n?1n?12n1?2?n例

4、求冪級數?的和函數并利用所得結果求級數??? 的值.nn?1n?1n?3??xn?x解：令s(x)???n?1nn則s?(x)?(?x)???x??n?1nn?1nn?1?1?x?x?x?...=

x2

1?x（|x|<1時），因此 s(x)?s(x)?s(0)??s0x/(t)dt??1dt??ln?1?x?

01?t1?2?n22????s()??ln(1?)?ln3

33n?1n?3??例5 求冪級數 f(x)?x?x33?x55?...?(?1)n?1n?1x2n?12n?1?...的和函數，而 解：因f/(x)?1?x?x?...?(?1)24x2n?2?...?x11?x22?x0f?(t)dt?f(x)?f(0)，所以 f(x)?f(0)??dt1?t0?0?arctanx?arctanx

它的收斂半徑R＝1。可以驗證，當x=1時，級數收斂，當x=-1時，級數也收斂，因此，所給級數的收斂域為［－１，１］

三、小結

1、冪級數的相關概念

2、冪級數收斂區間、和函數的求法

四、作業：P311 6

第七章

§7.6 泰勒公式與泰勒級數

主要教學內容

(1)泰勒公式與泰勒級數；(2)函數的冪級數展開

教學目的及要求: 理解泰勒、馬克勞林級數的概念，了解函數的冪級數展開的間接法

重點難點及解決措施: 重點: 馬克勞林級數 難點: 函數的冪級數展開

解決措施: 注重啟發與分析.教學方法及段設計: 講授法.課時：2課時

一、泰勒級數

1、我們已經知道，函數

n?1n123?1?x?x?x?...?(?1)x?...，那么一般的函數f(x)是否也可以展1?x開成冪級數的形式呢？

即f(x)??anxn?a0?a1x?a2x2?...?anxn?...（1）

n?1?這里a0,a1,a2,...為待定系數。

如果能，那么系數怎么確定，按照一定方法確定出的系數決定的冪級數在其收斂區間上是否收斂于f(x)? 我們先看第一個問題

設f(x)具有任意階的連續導數，故可對（1）兩邊逐次求一階到n階導數。令x?0則有

f(0)?a0，f?(0)?a1，f??(0)?2!?a2，?，f(n)(0)?n!?an

f??(0)2f(n)(0)nx???x?? 于是（1）式為 f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!?n??我們稱級數?f?0?xn為函數f(x)在x?0的馬克勞林級數。

n?0n!關于馬克勞林級數是否收斂于f(x)的問題，看書P320。

第七章

另外我們還可以證明，如果函數f(x)能夠表達為x的冪級數?anxn，則這個冪級數與f(x)的馬克勞林級

n?0?數是一樣的。

2、因此我們通常用馬克勞林級數來將一個初等函數展開成冪級數。例1 將f(x)?ex展開成冪級數。解：f(n)(x)?ex，即 f(n)(0)?1

?n???所以 f(x)?ex的馬克勞林級數為

?f?0?xn??1xn，收斂區間為(??,??)。

n!n?0n!n?03．兩個重要函數的冪級數展式

(1)ex??(2)?n?01xn，收斂區間為n!(??,??)；

?1??xn，收斂區間為(?1,1)1?xn?04．一般函數的冪級數展式的間接法 例

2、（1）將函數f?x??2 展開成x的冪級數

x（2）將lnx展開成(x?2)的冪級數 解：（1）xx2(n)xn???? x?ln2，f(x)?2(ln2)，?f(x)?2(ln2)f2/

2即f?(0)?ln2，f??(0)?(ln2)，?，f(n)(0)?(ln2)n

則有?n?0?f?n?(0)n!xn?ln2????n?0nn!xn

?ln2?n?1a顯然limn?1?limn??an?n?1?!?ln2?nn!n???limln2?0其收斂半徑R???

n??n?1??)即收斂區間為(??，n?12?x?ln2??0???1?

又因為對任何x，余項 Rn?x??xn?1 ?n?1?!n?1?ln2?n?1n?12?x?ln2?n?1?x?0（級數收斂，一般項趨于0）因此級數

而limRn?x??limx ?2limxn??n???n?1?!n???n?1?!?n?0??ln2?nn!xn在(??，??)內收斂于2

x

第七章

??ln2?nxxn 即2??n?0n!(今后可以省略判斷收斂區間和余項趨于0的步驟)（2）令f(x)?lnx，則f?(x)?112(n?1)!，f??(x)??2，f???(x)?3，?，f(n)(x)?(?1)n?

1nxxxx112(n?1)!(n)n?1從而在x?2處，f?(2)?2，f??(2)??4，f???(2)?23，?，f(2)?(?1)nn?1?1故??f???x0?n???n?1?!n?nnnn?0n!?x?x0?????1n?0n!n?x?2?????1?n?0n2?x?2? 2即lnx展成(x?2)的冪級數為????1?n?1n?0n?2n?x?2?n

二、小結

1、泰勒公式與泰勒級數

2、函數用間接法展開成冪級數

三、作業：P312 7、8、9、10

2n

第五篇：微積分基本定理(教案)

1.6微積分基本定理

一：教學目標

知識與技能目標

通過實例，直觀了解微積分基本定理的內容，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分

過程與方法

通過實例探求微分與定積分間的關系，體會微積分基本定理的重要意義

情感態度與價值觀

通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，培養學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。

二：教學重難點

重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。難點：了解微積分基本定理的含義

三：教學過程：

1、知識鏈接： 定積分的概念： 用定義計算的步驟：

2、合作探究：

⑴導數與積分的關系;

我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。有沒有計算定積分的更直接方法，也是比較一般的方法呢？

下面以變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系為例：

設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（v(t)?o），則物體在時間間隔[T1,T2]內經過的路程可用速度函數表示為達，即

?T2T1v(t)dt。

另一方面，這段路程還可以通過位置函數S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)?S(T2)來表?T2T1v(t)dt=S(T1)?S(T2)

而S?(t)?v(t)。

說出你的發現

⑵ 微積分基本定理

對于一般函數f(x)，設F?(x)?f(x)，是否也有

?baf(x)dx?F(?b)F(？a)

若上式成立，我們就找到了用f(x)的原函數（即滿足F?(x)?f(x)）的數值差F(b)?F(a)來計算f(x)在[a,b]上的定積分的方法。

設F?(x)?f(x)則在[a,b]上，⊿y=F(b)?F(a)

將[a,b]分成n 等份，在第i個區間[xi-1,xi]上，記⊿yi=F(xi)-F(xi-1),則

⊿y=∑⊿yi 如下圖，因為⊿hi=f(xi-1)⊿x 而⊿yi≈⊿hi 所以 ⊿y≈∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x 故

⊿y=lim∑⊿hi=∑f(xi-1)⊿x= 即

?baf(x)dx

?baf(x)dx=F(b)?F(a)

所以有微積分基本定理：

如果函數F(x)是[a,b]上的連續函數f(x)的任意一個原函數，則

??bbaf(x)dx?F(b)?F(a)?bbaf(x)dx

（此處并不要求學生理解證明的過程）

為了方便起見，還常用F(x)|a表示F(b)?F(a)，即

af(x)dx?F(x)|ba?F(b)?F(a)

該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續函數定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉化成求原函數的問題，是微分學與積分學之間聯系的橋梁。

它不僅揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要最輝煌的成果。

⑶應用舉例

例1．計算下列定積分：

311（1）?dx；

（2）?(2x?2)dx。

1x1x1解：（1）因為(lnx)'?，x212所以?dx?lnx|1?ln2?ln1?ln2。

1x11（2））因為(x2)'?2x,()'??2，xx33311所以?(2x?2)dx??2xdx??2dx

111xx131223。?x2|1?|1?(9?1)?(?1)?x332練習：計算解：由于?xdx

01213x是x2的一個原函數，所以根據牛頓—萊布尼茲公式有 31131131

31?x2dx=x|0=?1??0=

03333例2．計算下列定積分：

??0sinxdx,?sinxdx,?sinxdx。

?0'2?2?由計算結果你能發現什么結論？試利用曲邊梯形的面積表示所發現的結論。解：因為(?cosx)?sinx，所以

???sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos?)??2，?????sinxdx?(?cosx)|?(?cos2?)?(?cos0)?0.?0222020?sinxdx?(?cosx)|?0?(?cos?)?(?cos0)?2，可以發現，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0:

(l）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時（圖1.6一3)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；

圖1.6 一 3(2）

（2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時（圖 1.6 一 4)，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數；

(3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1.6 一 5)，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積．

例3．汽車以每小時32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設汽車以等減速度a=1.8米/秒2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少距離？

解:首先要求出從剎車開始到停車經過了多少時間。當t=0時，汽車速度v0=32公里/小時32?1000米/秒?8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為v(t)=v0?at=8.88-1.8t當汽車36008.88停住時,速度v(t)=0,故從v(t)=8.88-1.8t=0解得t=?4.93秒

1.8=于是在這段時間內,汽車所走過的距離是

s??4.930v(t)dt??4.9301(8.88?1.8t)dt=(8.88?1.8?t2)204.93?21.90米,即在剎車后,汽車需走過21.90米才能停住.微積分基本定理揭示了導數和定積分之間的內在聯系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果．

⑷課堂練習

課本p55練習⑴----⑻

四：課堂小結：

本節課借助于變速運動物體的速度與路程的關系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關鍵是找到被積函數的原函數，這就要求大家前面的求導數的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！

五：教學后記：

從教以來，一直困惑于一個問題：課堂上如何突出重點并突破難點。當然，理論方面自己早已爛熟于心，關鍵是缺乏實踐方面的體驗及感悟。在今天的課堂上，本來一個相當簡單的問題，可在課堂上卻花費了大量時間，更嚴重的是學生卻聽得更為糊涂。一個主要原因在于，對相關知識結構理解不到位，眉毛胡子一把抓，而難點又無法解決。