第一篇：1.3.2球的表面積與體積的教案

棗莊三中2012-2013學年第一學期高一數學教學案

1.3.2 球體的表面積與體積

備課人： 編號：

教材分析：本節教材直接給出了球的表面積和體積公式，并用兩個例題來說明其應用.值得注意的是教學的重點放在球與其他幾何體的組合體的有關計算上，這是高考的重點.課時分配：1課時 教學目標：

1、教學重點：球的表面積和體積公式的應用.2、教學難點：關于球的組合體的計算.3、知識點：球的表面積和體積公式的應用.4、能力點：通過對球體的研究，掌握球的表面積和體積的求法。

5、教育點：培養學生空間想象能力和思維能力。

6、自主探究點：讓學生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的表面積和體積的關系

7、考試點：能運用公式求解，柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉換關系。

8、易錯易混點：正確運用公式求解，柱體、錐體和臺體的體積

9：拓展點：通過讓學生感受幾何體面積和體積的求解過程，提高自己空間思維能力，增強學習的積極性。

教具準備：

圓規，黑板 引入新課：

思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱，有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務（中國）有限公司等三方合資興建，1996年9月正式開業，既是島城飲食服務業的“特一級”店，又是新增加的一處景點.酒店的總建筑面積11 380平方米，現酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學材料以更好地保護酒店，那么，需要多少面積的這種化學材料呢？

思路2.球既沒有底面，也無法像柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積.探究新知：

球的半徑為R，它的體積和表面積只與半徑R有關，是以R為自變量的函數.事實上，如果球的半徑為R，那么S=4πR2,V=?R.注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明.理解新知：

例1 如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：

433

圖1（1）球的體積等于圓柱體積的2； 3（2）球的表面積等于圓柱的側面積.學生思考圓柱和球的結構特征，并展開空間想象.教師可以使用信息技術幫助學生讀懂圖形.證明：（1）設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有V球=?R，V圓柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=V圓柱.（2）因為S球=4πR2，S圓柱側=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圓柱側.（設計意圖）本題主要考查有關球的組合體的表面積和體積的計算.解決此類問題的關鍵是明確組合體的結構特征.例2 如圖3所示，表示一個用鮮花做成的花柱，它的下面是一個直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（π取3.1）? 43323

圖3

活動：學生思考和討論如何計算鮮花的朵數.鮮花的朵數等于此幾何體的表面積（不含下底面）與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側面積再加上半球的表面積.解：圓柱形物體的側面面積S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物體的表面積為S2≈2×3.1×（1

2)≈1.6(m2), 2所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1 635(朵).答：裝飾這個花柱大約需要1 635朵鮮花.（設計意圖：本題主要考查球和圓柱的組合體的應用，以及解決實際問題的能力.）運用新知：

練習1.如圖2(1)所示，表面積為324π的球，其內接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積.圖2

解：設球的半徑為R，正四棱柱底面邊長為a,則軸截面如圖2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=AC'2?CC'2?82.∴a=8.∴S表=64×2+32×14=576,即這個正四棱柱的表面積為576.練習2.有一個軸截面為正三角形的圓錐容器，內放一個半徑為R的內切球，然后將容器注滿水，現把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺體，問容器中水的高度為多少？

分析：轉化為求水的體積.畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角三角形來解決.解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示，圖4 圓錐底面半徑r=R?3R, tan30?圓錐母線l=2r=23R，圓錐高為h=3r=3R，∴V水=?3r2h?4?3?4?35?3R?·R?R，3R2·3R?3333球取出后，水形成一個圓臺，下底面半徑r=3R,設上底面半徑為r′，則高h′=(r-r′)tan60°=3(3R?r'), ∴5?3?R?h'(r2+r′2+rr′),∴5R3=3(3R?r')(r'2?3Rr'?3R2), 33∴5R3=3(33R3?r'3)，解得r′=343R?616R, 3∴h′=(3?312)R.答：容器中水的高度為(3?312)R.(選做題)1.三個球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的（）

A.1倍

B.2倍

C.97倍

D.倍 54分析：根據球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設最小的一個半徑為r，則另兩個為2r、36?r29?3r，所以各球的表面積分別為4πr、16πr、36πr，（倍）.2254?r?16?r

222答案：C 2.若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9π，則球的表面積是____________.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為

42?32=5，所以球的表面積是4π×52=100π.答案：100π 課堂小結

本節課學習了： 1.球的表面積和體積.2.計算組合體的體積時，通常將其轉化為計算柱、錐、臺、球等常見的幾何體的體積.3.空間幾何體的表面積與體積的規律總結：

（1）表面積是各個面的面積之和，求多面體表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積.求旋轉體的表面積時，可從回憶旋轉體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應的側面展開圖中的邊長關系，注意球面不可展開.（2）在體積公式中出現了幾何體的高，其含義是： 柱體的高：從柱體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為柱體的高；

錐體的高：從錐體的頂點向底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為錐體的高； 臺體的高：從臺體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為臺體的高.注意球沒有高的結構特征.（3）利用側面展開圖或截面把空間圖形問題轉化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題的常用手段.（4）柱體、錐體、臺體和球是以后學習第二章

點、直線、平面位置關系的載體，高考試題中，通常是用本模塊第一章的圖，考查第二章的知識.（5）與球有關的接、切問題是近幾年高考的熱點之一，常以選擇題或填空題的形式出現，屬于低檔題.布置作業：1.課本本節練習1、2、3.2.自主學習叢書1.3.2 教后反思：

本節教學結合高考要求，主要是從組合體的角度來討論球的表面積和體積.值得注意的是其中的題目沒有涉及球的截面問題（新課標對球的截面不要求），在實際教學中，教師不要增加球的截面方面的練習題，那樣會增加學生的負擔.板書設計：

1.3.2球體的表面積與體積

公式： 例一： 例二： 練習：

第二篇：《球的體積和表面積》教學設計

一、教學目標

知識與技能

⑴通過對球的體積和面積公式的推導，了解推導過程中所用的基本數學思想方法：“分割——求和——化為準確和”，有利于同學們進一步學習微積分和近代數學知識。

⑵能運用球的面積和體積公式靈活解決實際問題。

⑶培養學生的空間思維能力和空間想象能力。

過程與方法

通過球的體積和面積公式的推導，從而得到一種推導球體積公式V=

πR3和面積公式S=4πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和轉化為球的體積和面積”的方法，體現了極限思想。

情感與價值觀

通過學習，使我們對球的體積和面積公式的推導方法有了一定的了解，提高了空間思維能力和空間想象能力，增強了我們探索問題和解決問題的信心。

二、教學重點、難點

重點：引導學生了解推導球的體積和面積公式所運用的基本思想方法。

難點：推導體積和面積公式中空間想象能力的形成。

三、學法和教學用具

學法：學生通過閱讀教材，發揮空間想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和轉化為球的體積和面積”的解題方法和步驟。

教學用具：投影儀

四、教學設計

創設情景

⑴教師提出問題：球既沒有底面，也無法像在柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢?引導學生進行思考。

⑵教師設疑：球的大小是與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積?激發學生推導球的體積和面積公式。

探究新知

1.球的體積：

如果用一組等距離的平面去切割球，當距離很小之時得到很多“小圓片”，“小圓片”的體積的體積之和正好是球的體積，由于“小圓片”近似于圓柱形狀，所以它的體積也近似于圓柱形狀，所以它的體積有也近似于相應的圓柱和體積，因此求球的體積可以按“分割——求和——化為準確和”的方法來進行。

步驟：

第一步：分割

如圖：把半球的垂直于底面的半徑OA作n等分，過這些等分點，用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”，“小圓片”厚度近似為，底面是“小圓片”的底面。

如圖：

得

第二步：求和

第三步：化為準確的和

當n→∞時，→0(同學們討論得出)

所以

得到定理：半徑是R的球的體積

練習：一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5cm,求它的內徑(鋼的密度是7.9g/cm3)

2.球的表面積：

球的表面積是球的表面大小的度量,它也是球半徑R的函數,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推導圓柱、圓錐的表面積公式那樣推導球的表面積公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和轉化為準確和”方法推導。

思考：推導過程是以什么量作為等量變換的?

半徑為R的球的表面積為 S=4πR

2練習：長方體的一個頂點上三條棱長分別為3、4、5，是它的八個頂點都在同一球面上，則這個球的表面積是。(答案50元)

典例分析

課本P47 例4和P29例

5鞏固深化、反饋矯正

⑴正方形的內切球和外接球的體積的比為，表面積比為。

(答案： 3 ：1)

⑵在球心同側有相距9cm的兩個平行截面，它們的面積分別為49πcm2和400πcm2，求球的表面積。(答案：2500πcm2)

分析：可畫出球的軸截面，利用球的截面性質求球的半徑

課堂小結

本節課主要學習了球的體積和球的表面積公式的推導，以及利用公式解決相關的球的問題，了解了推導中的“分割、求近似和，再由近似和轉化為準確和”的解題方法。

評價設計

作業 P30 練習1、3，B(1)

第三篇：示范教案(1.3.2 球的體積和表面積)

1.3.2 球的體積和表面積

整體設計

教學分析

本節教材直接給出了球的表面積和體積公式，并用兩個例題來說明其應用.值得注意的是教學的重點放在球與其他幾何體的組合體的有關計算上，這是高考的重點.三維目標

掌握球的表面積和體積公式，并能應用其解決有關問題，提高學生解決問題的能力，培養轉化與化歸的數學思想方法.重點難點

教學重點：球的表面積和體積公式的應用.教學難點：關于球的組合體的計算.課時安排

約1課時

教學過程

導入新課

思路1.位于香港棧橋回瀾閣西部、西陵峽路東端海濱，有一座新異奇秀的半球形建筑.由香港好世界飲食服務（中國）有限公司等三方合資興建，1996年9月正式開業，既是島城飲食服務業的“特一級”店，又是新增加的一處景點.酒店的總建筑面積11 380平方米，現酒店管理層決定在半球形屋頂嵌上一層特殊化學材料以更好地保護酒店，那么，需要多少面積的這種化學材料呢？

思路2.球既沒有底面，也無法像柱體、錐體和臺體那樣展開成平面圖形，那么怎樣來求球的表面積與體積呢？球的大小與球的半徑有關，如何用球半徑來表示球的體積和面積？教師引出課題：球的體積和表面積.推進新課 新知探究

球的半徑為R，它的體積和表面積只與半徑R有關，是以R為自變量的函數.事實上，如果球的半徑為R，那么S=4πR2,V=

43?R.3注意：球的體積和表面積公式的證明以后證明.應用示例

思路1

例1 如圖1所示，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證：

圖1（1）球的體積等于圓柱體積的23；

（2）球的表面積等于圓柱的側面積.活動：學生思考圓柱和球的結構特征，并展開空間想象.教師可以使用信息技術幫助學生讀懂圖形.證明：（1）設球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R.則有V球=4332R=2πR，所以V球=?R，V圓柱=πR·

323V圓柱.（2）因為S球=4πR，S圓柱側=2πR·2R=4πR，所以S球=S圓柱側.點評：本題主要考查有關球的組合體的表面積和體積的計算.解決此類問題的關鍵是明確組合體的結構特征.變式訓練

1.如圖2(1)所示，表面積為324π的球，其內接正四棱柱的高是14,求這個正四棱柱的表面積.2

2圖2

解：設球的半徑為R，正四棱柱底面邊長為a,則軸截面如圖2（2），所以AA′=14,AC=2a,又∵4πR2=324π,∴R=9.∴AC=AC'?CC'?82.∴a=8.22∴S表=64×2+32×14=576,即這個正四棱柱的表面積為576.2有一種空心鋼球，質量為142 g,測得外徑（直徑）等于5 cm，求它的內徑（鋼的密度為7.9 g/cm3，精確到0.1 cm）.解：設空心球內徑（直徑）為2x cm,則鋼球質量為

4?534?3?()?x］=142, 7.9·［323∴x3=()?35142?37.9?4?3.142≈11.3,∴x≈2.24,∴直徑2x≈4.5.答：空心鋼球的內徑約為4.5 cm.例2 如圖3所示，表示一個用鮮花做成的花柱，它的下面是一個直徑為1 m、高為3 m的圓柱形物體，上面是一個半球形體.如果每平方米大約需要鮮花150朵，那么裝飾這個花柱大約需要多少朵鮮花（π取3.1）?

圖3

活動：學生思考和討論如何計算鮮花的朵數.鮮花的朵數等于此幾何體的表面積（不含下底面）與每朵鮮花占用的面積.幾何體的表面積等于圓柱的側面積再加上半球的表面積.解：圓柱形物體的側面面積S1≈3.1×1×3=9.3(m2), 半球形物體的表面積為S2≈2×3.1×（12)≈1.6(m)，22所以S1+S2≈9.3+1.6=10.9(m2).10.9×150≈1 635(朵).答：裝飾這個花柱大約需要1 635朵鮮花.點評：本題主要考查球和圓柱的組合體的應用，以及解決實際問題的能力.變式訓練

有一個軸截面為正三角形的圓錐容器，內放一個半徑為R的內切球，然后將容器注滿水，現把球從容器中取出，水不損耗，且取出球后水面與圓錐底面平行形成一圓臺體，問容器中水的高度為多少？

分析：轉化為求水的體積.畫出軸截面，充分利用軸截面中的直角三角形來解決.解：作出圓錐和球的軸截面圖如圖4所示，圖4 圓錐底面半徑r=Rtan30??3R, 圓錐母線l=2r=23R，圓錐高為h=3r=3R，∴V水=?3rh?24?3R3??3·3R2·3R?4?3R3?5?3R，3球取出后，水形成一個圓臺，下底面半徑r=3R,設上底面半徑為r′，則高h′=(r-r′)tan60°=3(3R?r'), ∴5?3R3??3h'(r+r′+rr′),∴5R=3(3R?r')(r'?3Rr'?3R), 22322∴5R3=3(33R3?r'3)，43163解得r′=3R?6R, ∴h′=(3?312)R.答：容器中水的高度為(3?312)R.思路2

例1（2006廣東高考，12）若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為____________.活動：學生思考長方體和球的結構特征.教師可以借助于信息技術畫出圖形.分析：畫出球的軸截面可得，球的直徑是正方體的對角線，所以球的半徑R=

332，則該球的表面積為S=4πR=27π.答案：27π

點評：本題主要考查簡單的組合體和球的表面積.球的表面積和體積都是半徑R的函數.對于和球有關的問題，通常可以在軸截面中建立關系.畫出軸截面是正確解題的關鍵.變式訓練

1.（2006全國高考卷Ⅰ，理7）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

分析：由V=Sh，得S=4，得正四棱柱底面邊長為2.畫出球的軸截面可得，該正四棱柱的對角線即為球的直徑，所以，球的半徑為R=S=4πR=24π.答案：C 2.（2005湖南數學競賽，13）一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為_____________.分析：把正四面體補成正方體的內接正四面體，此時正方體的棱長為

22a，于是球的半徑2

2122?2?4222?6，所以球的表面積為為24a，V=2?24a.3答案：2?24a 33.（2007天津高考，理12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為___________.分析：長方體的對角線為1?2?3222?14，則球的半徑為

142,則球的表面積為4π(142)2=14π.答案：14π

例2 圖5是一個底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6 cm，高為20 cm的一個圓錐形鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？

圖5

活動：學生思考杯里的水將下降的原因，通過交流和討論得出解題思路.因為玻璃杯是圓柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實際是一個小圓柱，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐形鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度.解：因為圓錐形鉛錘的體積為???()2×20=60π（cm），32163設水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為?(202)x=100πx（cm）.23所以有60π=100πx，解此方程得x=0.6（cm）.答：杯里的水下降了0.6 cm.點評：本題主要考查幾何體的體積問題，以及應用體積解決實際問題的能力.明確幾何體的形狀及相應的體積公式是解決這類問題的關鍵.解實際應用題的關鍵是建立數學模型.本題的數學模型是下降的水的體積等于取出的圓錐形鉛錘的體積.明確其體積公式中的相關量是列出方程的關鍵.變式訓練

1.一個空心鋼球，外直徑為12 cm，壁厚0.2 cm，問它在水中能浮起來嗎？（鋼的密度為7.9 g/cm）和它一樣尺寸的空心鉛球呢？（鉛的密度為11.4 g/cm）

分析：本題的關鍵在于如何判斷球浮起和沉沒，因此很自然要先算出空心鋼球的體積，而空心鋼球的體積相當于是里、外球的體積之差，根據球的體積公式很容易得到空心鋼球的體積，從而算出空心鋼球的質量，然后把它與水的質量相比較即可得出結論，同理可以判斷鉛球會沉沒.解：空心鋼球的體積為V鋼=

4?3?6?33

34?3?5.8?34?3×20.888≈87.45(cm3)，∴鋼的質量為m鋼=87.45×7.9=690.86(g).4?∵水的體積為V水=×63=904.32(cm3)，3∴水的質量為m水=904.32×1=904.32(g)＞m鋼.∴鋼球能浮起來，而鉛球的質量為m鉛=87.45×11.4=996.93(g)＞m水.∴同樣大小的鉛球會沉沒.答：鋼球能浮起來，同樣大小的鉛球會沉沒.2.（2006全國高中數學聯賽試題第一試，10）底面半徑為1 cm的圓柱形容器里放有四個半徑為12cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切.現往容器里注水使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水___________cm3.分析：設四個實心鐵球的球心為O1、O2、O3、O4，其中O1、O2為下層兩球的球心，A、B、C、D分別為四個球心在底面的射影，則ABCD是一個邊長為cm的正方形，所以注水高為(1+2213)cm.故應注水π(1+

22)-4×

4?13123()?(?)π cm.3232答案：（+22）π

知能訓練

1.三個球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個球的表面積之和的（）A.1倍

B.2倍

C.9574倍

D.倍 分析：根據球的表面積等于其大圓面積的4倍，可設最小的一個半徑為r，則另兩個為2r、3r，所以各球的表面積分別為4πr、16πr、36πr，答案：C 2.（2006安徽高考，理9）表面積為23的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（）A.2?

3222

36?r2224?r?16?r?95（倍）.B.?3

C.2?3

D.22?3

分析：此正八面體是每個面的邊長均為a的正三角形，所以由8×3a42?23知，a=1，則此球的直徑為2.答案：A 3.（2007北京西城抽樣，文11）若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9π，則球的表面積是____________.分析：畫出球的軸截面，則球心與截面圓心的連線、截面的半徑、球的半徑構成直角三角形，又由題意得截面圓的半徑是3，則球的半徑為

4?322=5，所以球的表面積是4π×52=100π.答案：100π

4.某街心花園有許多鋼球（鋼的密度是7.9 g/cm3）,每個鋼球重145 kg,并且外徑等于50 cm,試根據以上數據，判斷鋼球是實心的還是空心的.如果是空心的，請你計算出它的內徑（π取3.14,結果精確到1 cm）.4?503?()≈516 792(g), 解：由于外徑為50 cm的鋼球的質量為7.9×32街心花園中鋼球的質量為145 000 g,而145 000＜516 792, 所以鋼球是空心的.設球的內徑是2x cm，那么球的質量為7.9·［解得x3≈11 240.98,x≈22.4,2x≈45(cm).答：鋼球是空心的，其內徑約為45 cm.5.（2007海南高考，文11）已知三棱錐S—ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=

2r,則球的體積與三棱錐體積之比是（）

4?3?(502)?34?3x］=145 000，3A.π

B.2π

C.3π

D.4π 分析：由題意得SO=r為三棱錐的高，△ABC是等腰直角三角形，所以其面積是13r312×2r×r=r,2所以三棱錐體積是?r?r?23，又球的體積為

4?r33，則球的體積與三棱錐體積之比是4π.答案：D 點評：面積和體積往往涉及空間距離，而新課標對空間距離不作要求，因此在高考試題中其難度很低，屬于容易題，2007年新課標高考試題就體現了這一點.高考試題中通常考查球、三棱錐、四棱錐、長方體、正方體等這些簡單幾何體或它們的組合體的面積或體積的計算.我們應高度重視這方面的應用.拓展提升

問題：如圖6，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A—BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別是S1，S2，則必有（）

圖6 A.S1＜S

2B.S1＞S2

C.S1=S2

D.S1,S2的大小關系不能確定

探究：如圖7，連OA、OB、OC、OD，則VA—BEFD=VO—ABD＋VO—ABE＋VO—BEFD+VO—ADF，VA—EFC=VO—AFC＋VO—AEC＋VO—EFC，又VA—BEFD=VA—EFC，而每個小三棱錐的高都是原四面體的內切球的半徑，故S△ABD＋S△ABE＋SBEFD+S△ADF=S△AFC＋S△AEC＋S△EFC，又面AEF是公共面，故選C.圖7

答案：C 課堂小結

本節課學習了：

1.球的表面積和體積.2.計算組合體的體積時，通常將其轉化為計算柱、錐、臺、球等常見的幾何體的體積.3.空間幾何體的表面積與體積的規律總結：

（1）表面積是各個面的面積之和，求多面體表面積時，只需將它們沿著若干條棱剪開后展成平面圖形，利用平面圖形求多面體的表面積.求旋轉體的表面積時，可從回憶旋轉體的生成過程及其幾何特征入手，將其展開求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應的側面展開圖中的邊長關系，注意球面不可展開.（2）在體積公式中出現了幾何體的高，其含義是：

柱體的高：從柱體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為柱體的高；

錐體的高：從錐體的頂點向底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為錐體的高； 臺體的高：從臺體的一個底面上任一點向另一個底面作垂線，這點和垂足間的距離稱為臺體的高.注意球沒有高的結構特征.（3）利用側面展開圖或截面把空間圖形問題轉化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題的常用手段.（4）柱體、錐體、臺體和球是以后學習第二章

點、直線、平面位置關系的載體，高考試題中，通常是用本模塊第一章的圖，考查第二章的知識.（5）與球有關的接、切問題是近幾年高考的熱點之一，常以選擇題或填空題的形式出現，屬于低檔題.作業

課本本節練習1、2、3.設計感想

本節教學結合高考要求，主要是從組合體的角度來討論球的表面積和體積.值得注意的是其中的題目沒有涉及球的截面問題（新課標對球的截面不要求），在實際教學中，教師不要增加球的截面方面的練習題，那樣會增加學生的負擔.

第四篇：球的體積教案

球的體積教案

教學目的

通過“球的體積”的教學，不僅要求學生熟記球的體積公式，更要培養學生觀察、估算、猜想、構造和論證能力．并注意完善學生的認知結構．

[若只要求學生記住有關公式，剩下的就是反復練習——解幾個一元方程；已知半徑求體積；已知體積求半徑，??；這是降低教學要求．]

教學過程

師：(板書)已知球的半徑為R，求V球=？(出示小黑板——圖1．)

[思維從問題開始．]

師：為了計算半徑為R的球的體積，可以先計算半球的體積V半球．觀察圖1，你一定能在V圓柱、V半球、V圓錐這三個量之間正確地寫上不等符號(學生完成)，得

V圓柱＞V半球＞V圓錐．

[提供類比，讓學生目測大小，溫故而知新，用以強化認識過程．]

[向“量化”過渡．]

你能猜測V半球=？

[引誘學生猜想．猜想是發現的開始！]

生：??

師：可以大膽一些，準許猜錯．

(此答案不一定出自成績最好的學生，而是膽大者，思維活躍者．)

[既鼓勵，又提出更高要求，使學生仍處于激奮境地．]

(用行動支持敢于大膽猜想的學生．)

師：我們不妨做一個試驗，用以驗證這個猜想．

[理、化有實驗，數學也可以有實驗．美國盛行“數學實驗數學法”，這對激發學生學習興趣，培養學習能力都十分有利．]

(取一個半徑為R的半球面，再取半徑和高都是R的圓桶和圓錐各一個，都是鐵皮制成的容器．將圓錐放入圓桶內(圖2)，再將半球容器裝滿細沙，然后把半球內的細沙倒入圓桶內，發現圓桶恰好被裝滿．)

師：你能將實驗結果用一個等式表達出來嗎？

[鼓勵學生將實驗結果“量化”(構造一個等式)是十分重要的數學方法．]

生甲：(板書．)

V圓柱－V圓錐=V半球．

生乙：(板書．)

V半球=V圓柱－V圓錐

師：于是得(板書)

且 V圓柱∶V半球∶V圓錐=3∶2∶1．

師：中學數學是建立在推理的基礎上的，實驗結果是否可靠，還要進行論證才行．

[中學理、化是建立在實驗基礎上的．用數學工具去證明實驗結果，學生興趣盎然．]

師：我們現在的任務是證明這個實驗結果．或者說，是要證明圖2右邊充滿細沙的幾何體與左邊充滿細沙的半球是等積形．而右邊幾何體的體積是已知的．(板書．)

如果再能證明它又符合祖暅原理中的“條件”，我們就可以將它作為半球的參照體了．

(為了運用祖暅原理，所引入的幾何體必須符合兩個條件：一是它的計算公式是已知的；二是它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體要夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截時，截得的截面面積總相等，符合以上兩個條件的幾何體可叫做原幾何體的參照體．在前面推導柱、錐的體積的多次教學中應該引用這個術語，讓學生熟悉祖暅原理與該術語的關系．)

該幾何體與半球同高(R)，這說明它與半球可以夾在兩個平行平面之間，剩下的問題是要證明它與半球的等距截面的面積相等．

用與底面平行的任一平面去截圖2的兩個幾何體(圖3)，截面分別是圓面和圓環

R，小圓半徑為l，因此

S圓=πr2=π(R2－l2)，S圓環=πR2－πl2=π(R2－l2)，所以S圓=S環．

根據祖暅原理，這兩個幾何體的體積相等，即

由此，“猜想”得到證明，可以寫成定理形式：

[從猜想到證明是“質”的升華！是學習數學的最重要的素質．]

定理：如果球的半徑是R，那么它的體積是

師：你準備怎樣記憶這個結論呢？

[不管是意義識記或是機械識記，在這里都是有效的，都是可行的．根據各個學生的學習習慣，不必強求一律．]

生甲：根據“細沙實驗”，生乙：我只要記住

V圓柱∶V半球∶V圓錐=3∶2∶1就行了．

師：還有其他的記憶方法嗎？例如，把球體視為擬柱體，采用擬柱體的體積公式試試看．

[數學教師要不要培養學生的記憶能力，這是有爭議的．看來，數學教師有可能，也有必要去培養學生的記憶能力．]

生：(板演)

(隨時復習與應用擬柱體體積公式．)

師：這能作為球體積公式的證明嗎？

生：球體不是擬柱體，不能作為證明，但可以作為一種記憶方法．

師：還有其他的記憶方法嗎？例如，將球體分割成許多小的錐體，球心是這些小錐體的頂點，錐的底面不是平面，而是球面的一小部分(是曲面)請看圖4．

[是重要的數學思想．]

于是，V球=許多小錐體之和，而這許多小錐體的高可視為球半徑R．又因為所有小錐體的底面之和=球面積=4πR2，所以

[發展學生的空間想象能力．]

同樣，這也不能作為球體積公式的證明．但是，使人感到興趣的是，擬柱體、小錐體與球體的這種“默契”，這種內部的一致，給人們以合諧的感覺，它不僅幫助人們記憶，還給人以和諧美的感受！

[升華了！]

師：現在再請大家自己解答一個問題：(板書．)

[不十分困難的例題由學生自己解答，然后再對照課本并進行議論，有時比教師直接講解要收效大些，不妨一試．]

有一種空心鋼球，重142 g，測得外徑等于5.0 cm，求它的內徑(鋼比重是7.9g/cm3)．

師：這是課本的例題，解完后自行對照課本．

(學生議論，同時由一位學生板演．)

師：今天這堂課的關鍵是構造一個球的參照體，而“細沙實驗”幫助我們解決了這個問題．你能離開實驗，經過分析直接構造這個參照體嗎？

(代替小結，將課內效果引向課外——直接構造參照體．)

教案說明

這份教案顯然是寫給別人看的，如果只是為了自己教學，我想，只要記下教學過程就行了：

(1)提出問題：V球=？

(2)自測圓柱、半球、圓錐這三者之間的大小關系(圖1)．

(4)細沙實驗——驗證“猜想”．

(5)構造參照體，證明“猜想”．

(6)得定理、談記憶．

(7)例題、小結、作業．

我為什么要采取上面這幾個環節？理由如下：

目前的數學教材是從少數公理和原理出發，通過演繹，將知識展開．于是，過程(1)～(4)都可以省略．并且，“參照體”也是由教材直接給出的(不需要構造)．師生的

和方法用定論的形式直接呈現在學生面前，新、舊知識的銜接點直接給出，內化任務很快就完成．因此，這種做法的優點是直截了當，節約時間；缺點是學生缺乏一個完整的認識過程，把知識或方法不是作為“過程”而是作為“結果”直接拋給學生．長此以往，越“拋”越多，學生頭腦中很難形成一個有效的認知結構，結果成績分化，出現大量差生．

反之，插入環節(1)～(4)，則環節(5)的“構造參照體”(這是全課的關鍵)就十分自然．從“目測”到“猜想”，這是“發現”；從“猜想”到“實驗”，這是強化“發現”，而環節(5)則是內化．這種先發現后內化的過程又是在教師指導下進行的，教師的主導作用和學生的學習積極性十分融洽．

“目測”、“大膽猜想”、“實驗”等環節，所有差生都有發言權，優生也不乏味；從“實驗”到“構造參照體”，隨流而下，直闖關鍵(出現參照體)，終達彼岸(得定理)．最后“談記憶”，生動活潑，乃至升華；“小結提問”，余味不盡．

數學教學的實質是思維過程的教學，“直截了當”則掩蓋了“思維過程”，把知識和方法不是作為思維過程暴露在學生面前，而是作為結果拋給學生，這種“奉送”的做法勢必回避了數學思想的培養．長此以往，學生的數學素質很難得到提高．

最后，還要說明一點，“構造參照體”是本課的難點，本教案采用了“細沙實驗”，也就回避了“構造性困難”，因此本教案是為普通班設計的．而“好班”就不應該回避構造困難，何況“構造參照體”是運用祖暅原理的關鍵，也是學習這一段教材(從柱體開始)的關鍵所在．因此，建議根據學生情況補充下述內容：

參照體與祖暅原理

為了利用祖暅原理計算某個幾何體的體積，常要構造另一個幾何體，此幾何體必須符合兩個條件：(1)它的計算公式是已知的；(2)它符合祖暅原理的條件，即該幾何體與原幾何體能夾在兩個平行平面之間，且用平行于這兩個平面的任意一個平面去截它們時，截得的截面面積總相等．為了下面的敘述方便起見，把符合這兩個條件的幾何體叫做原幾何體的參照體，或簡稱參照體．

用祖暅原理求幾何體的體積，關鍵在于構造參照體．

軸，求該旋轉體的體積．

解 將此旋轉體放在平面α上(圖5)，用與平面α平行且相距h的平面去截，得

這說明參照體的截面可以是一個矩形，其一邊長π，另一邊長為變量h．于是得

[例2] 求半徑為R的半球的體積．

[例3] 汽車內胎或游泳時用的救生圈是旋轉體(圖6)，它的母線是半徑為r的圓，圓心與旋轉軸MN的距離等于d(d＞r)，能否用構造參照體的思想方法去尋求它的體積公式？

解 取環體的上半部研究，它的下底面是圓環(圖6，外半徑=d+r，內半徑=d－r)，上底是半徑為d的圓周(面積為零)，半環體的高為r．用平行于底面的平面去截，設截面距底面h(h＜r)，則截面是另一個圓環(圖7)．

(變量)，據此，可構造一個參照體如下：取一個半徑為r的圓為底面，高為4πd的圓柱的1/4，并將此1/4圓柱橫臥(圖8)，此參照體的體積為圓柱的1/4，由祖暅原理

此結論與直覺是一致的：將環體沿斷面(圖6中的小圓)切開后，拉直成一個圓柱，[培養學生的直覺思維能力．]

第五篇：空間幾何體的表面積與體積 教案

空間幾何體的表面積與體積

教學任務分析:根據柱，錐，臺的結構特征，并結合它們的展開圖，推導它們的表面積的計算公式，從度量的角度認識空間幾何體；用極限思想推導球的體積公式和表面公式，使學生初步了解利用極限思想解決問題的基本步驟，體會極限思想的基本內涵。與此同時，培養學生積極探索的科學精神，培養學生的思維能力，空間想象能力。

教學重點：柱體，錐體，臺體的表面積和體積的計算公式。教學難點：球的體積和表面積的推導 教學設計：

1． 從學生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關系。其目的是㈠復習表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和㈡介紹求幾何體表面積的方法，把它們展開成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積。

2． 通過類比正方體和長方體的表面積，討論棱柱，棱錐，棱臺的表面積問題。實際上，求棱柱，棱錐，棱臺的表面積問題可轉化成求平行四邊形，三角形和梯形問題。

3． 利用計算機或實物展示圓柱的側面可以展開成一個矩形。圓錐的側面可以展開成一個扇形。

隨后的有關圓臺表面積的探究，也可以按照這樣的思路進行教學。說明圓臺表面積公式時,可推導側面積公式。

圓臺側面積的推導：

設圓臺側面的母線長為，上，下底周長分別是，半徑分別是

11c?l?x??c?x

則S圓臺側=221?cl??c?c??x? 21

=

cx?c?x?lc?l?x?c?c??1?c?l?S圓臺側??cl??c?c??2?c?c???1??c?c??l???r?r??l2

在分別學習了圓柱，圓錐，圓臺的表面積公式后，可以引導學生用運動，變化的觀點分析它們之間的關系。圓柱可看成上，下兩底面全等的圓臺，圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺。因此，圓柱，圓錐可看成圓臺的特例。（可用計算機演示）

4．柱體，錐體和臺體的體積

從正方體，長方體的體積公式引入到一般棱柱的體積也是V=Sh

若有時間，可推導棱錐的體積公式

棱錐的體積公式的推導

如圖,設三棱柱ABC-ABC的底面積(即ΔABC的面積)為S，高（即點A1到平面ABC的距離）為h，則它的體積為Sh，沿平面A1BC和平面A1B1C，將這個三棱柱分割為3個三棱錐，其中三棱錐1，2的底面積相等（SΔA1AB=SΔA1B1B），高也相等點C到平面AB，BA的距離）三棱錐也有相等的底面積，和相等的高（點A1到平面BCC1B1 的高）因此，這三個三棱錐的體積相等，每個三棱錐體積是sh，得sh 臺體 推導出臺體的體積公式 V=S1+Sh 讓學生思考，柱體，錐體臺體的體積公式之間的聯系。

B`C'A`A'B`B`A`C'A'A'BACBBACC

5.球的表面積和體積

本節課可以用多媒體課件演示球體的分割過程，使整個推導過程更加形象直觀。

本課的重點放在引導學生了解其所運用的基本思想方法，即‘分割、求近似和、再由近似和

轉化為球的體積（表面積）’的極限思想方法。例四和例五都是球的體積公式和表面公式的應用。例五的教學可以先要學生分析幾何組合體的結構特征，分析清楚之后自然明白花柱的表面積由哪些部分構成。