第一篇：高考數學難點歸納15 三角函數的圖象和性質教案

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難點15 三角函數的圖象和性質

三角函數的圖象和性質是高考的熱點，在復習時要充分運用數形結合的思想，把圖象和性質結合起來.本節主要幫助考生掌握圖象和性質并會靈活運用.●難點磁場

(★★★★)已知α、β為銳角，且x(α+β－＜2對一切非零實數都成立.●案例探究

［例1］設z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范圍.命題意圖：本題主要考查三角函數的性質，考查考生的綜合分析問題的能力和等價轉化思想的運用，屬★★★★★級題目.知識依托：主要依據等價轉化的思想和二次函數在給定區間上的最值問題來解決.錯解分析：考生不易運用等價轉化的思想方法來解決問題.技巧與方法：對于解法一，主要運用消參和分離變量的方法把所求的問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題；對于解法二，主要運用三角函數的平方關系把所求的問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題.解法一：∵z1=2z2，?m?2cos?∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴? 22?m?2??2sin??

2?2)＞0,試證不等式f(x)=(cos?sin?)?(xcos?sin?)x∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－當sinθ=1414)2－

98.時λ取最小值－

98，當sinθ=－1時，λ取最大值2.?m?2cos?解法二：∵z1=2z2

∴? 22?m?2??2sin??m?cos???2?∴?, 2?sin??2?m?2??2?∴m42?(2?m?2?)422=1.∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,設t=m2,則0≤t≤4，???0?3?4???4?0?22令f(t)=t－(3－4λ)t+4λ－8λ,則?或f(0)·f(4)≤0 2?f(0)?0???f(4)?0京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網 http://www.tmdps.cn/ ?????∴?????????549834或0???2 ????2或??0∴－98≤λ≤0或0≤λ≤2.98∴λ的取值范圍是［－，2］.［例2］如右圖，一滑雪運動員自h=50m高處A點滑至O點，由于運動員的技巧(不計阻力)，在O點保持速率v0不為，并以傾角θ起跳，落至B點，令OB=L，試問，α=30°時，L的最大值為多少？當L取最大值時，θ為多大？ 命題意圖：本題是一道綜合性題目，主要考查考生運用數學知識來解決物理問題的能力.屬★★★★★級題目.知識依托：主要依據三角函數知識來解決實際問題.錯解分析：考生不易運用所學的數學知識來解決物理問題，知識的遷移能力不夠靈活.技巧與方法：首先運用物理學知識得出目標函數，其次運用三角函數的有關知識來解決實際問題.解：由已知條件列出從O點飛出后的運動方程：

?S?Lcos??v0tcos???12 ??h??Lsin??v04sin??gt2?① ②

?Lsin?t?12gt.由①②整理得：v0cosθ=14Lcos?t,v0sin??14Lt2∴v0+gLsinα=2gt+22

Lt22≥2gt?222=gL

12運動員從A點滑至O點，機械守恒有:mgh=

v02mv02, ∴v0=2gh,∴L≤2g(1?sin?)142?2ghg(1?sin?)2=200(m)即Lmax=200(m),又gt=

S?ht2?Lt22.∴t?2Lg,S?Lcos??v0tcos??2gh2Lg?cos?

得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值為200米，當L最大時，起跳仰角為30°.［例3］如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求這段時間的最大溫差.京翰教育http://www.tmdps.cn/

高考網 http://www.tmdps.cn/(2)寫出這段曲線的函數解析式.命題意圖：本題以應用題的形式考查備考中的熱點題型，要求考生把所學的三角函數知識與實際問題結合起來分析、思考，充分體現了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級題目.知識依托：依據圖象正確寫出解析式.錯解分析：不易準確判斷所給圖象所屬的三角函數式的各個特定系數和字母.技巧與方法：數形結合的思想，以及運用待定系數法確定函數的解析式.解：(1)由圖示，這段時間的最大溫差是30－10=20(℃)；

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數y=Asin(ωx+φ)+b的半個周期的圖象.∴

1112??=14－6,解得ω=,由圖示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，這時?222?8y=10sin(34?8x+φ)+20,將x=6,y=10代入上式可取φ=

34π.綜上所求的解析式為y=10sin（?8x+ π)+20,x∈［6,14］.●錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有： 1.考查三角函數的圖象和性質的基礎題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數圖象的基礎上要對三角函數的性質靈活運用.2.三角函數與其他知識相結合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.3.三角函數與實際問題的綜合應用.此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數學建模能力，要注意數形結合思想在解題中的應用.●殲滅難點訓練

一、選擇題

1.(★★★★)函數y=－x·cosx的部分圖象是（）

2.(★★★★)函數f(x)=cos2x+sin(A.非奇非偶函數

?2+x)是（）

B.僅有最小值的奇函數

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高考網 http://www.tmdps.cn/ C.僅有最大值的偶函數

二、填空題

3.(★★★★)函數f(x)=（1D.既有最大值又有最小值的偶函數)｜cosx｜在［－π，π］上的單調減區間為_________.??4.(★★★★★)設ω＞0，若函數f(x)=2sinωx在［－范圍是_________.］上單調遞增，則ω的取值,，3

4三、解答題

5.(★★★★)設二次函數f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不論α、β為何實數恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.(1)求證：b+c=－1；(2)求證c≥3；

(3)若函數f(sinα)的最大值為8，求b，c的值.6.(★★★★★)用一塊長為a，寬為b(a＞b)的矩形木板，在二面角為α的墻角處圍出一個直三棱柱的谷倉，試問應怎樣圍才能使谷倉的容積最大？并求出谷倉容積的最大值.7.(★★★★★)有一塊半徑為R，中心角為45°的扇形鐵皮材料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形的半徑上，然后作其最大內接矩形，試問：工人師傅是怎樣選擇矩形的四點的？并求出最大面積值.8.(★★★★)設－?6≤x≤

?4，求函數y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.589.(★★★★★)是否存在實數a，使得函數y=sin2x+a·cosx+

a－

32在閉區間［0，?2］上的最大值是1？若存在，求出對應的a值；若不存在，試說明理由.參考答案

難點磁場

證明：若x＞0，則α+β＞∴0＜sin(cosαsin??2?2∵α、β為銳角，∴0＜

?2－α＜β＜

?2;0＜

?2－β＜

?2,?2－α)＜sinβ.0＜sin(cos?sin?－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜

?2＜1,0＜＜1,∴f(x)在(0,+∞)上單調遞減，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜?2,∵α、β為銳角，0＜β＜α,0＜sinα＜sin(?2－α＜

?2,0＜α＜

?2－β＜

cos?sin??2,0＜sinβ＜sin（cos?sin??2－α),∴sinβ＜cos－β),∴sinα＜cosβ,∴＞1, ＞1, ∵f(x)在(－∞,0）上單調遞增，∴f(x)＜f(0)=2,∴結論成立.殲滅難點訓練

一、1.解析：函數y=－xcosx是奇函數，圖象不可能是A和C，又當x∈(0, y＜0.答案：D 2.解析：f(x)=cos2x+sin（?2

2?2)時，+x)=2cosx－1+cosx

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高考網 http://www.tmdps.cn/ =2［(cosx+答案：D 122)?218］－1.二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的單調遞增區間是［－f(x)依｜cosx｜取值的遞增而遞減,故［－4.解：由－?2?2?2,0］及［

?2,π］.而,0］及［

?2,π］為f(x)的遞減區間.?2?≤ωx≤

?2，得f(x)的遞增區間為［－,?2?］，由題設得

???????????33?2?3[?,]?[?,],?? 解得:??,?0???.342?2?22??????2?

4三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0 ∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.從而知f(1)=0∴b+c+1=0.(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因為b+c=－1,∴c≥3.(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－

1?c21?c2)2+c－(())，2當sinα=－1時，［f(sinα)］max=8,由??1?b?c?8?1?b?c?0解得b=－4,c=3.6.解：如圖，設矩形木板的長邊AB著地，并設OA=x，OB=y，則a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤

a22(1?cos?)absin?2(當且僅當x=y時取“=”號)，故此時谷倉的容積的最大值V1=（12xysinα)b=

144(1?cos?)?14abcos2?2.同理，若木板短邊著地時，谷倉的容積V的最大值V2=∵a＞b,∴V1＞V2

ab2cos

?2, 從而當木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以a為底邊的等腰三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為14abcos2

?2.7.解：如下圖，扇形AOB的內接矩形是MNPQ，連OP，則OP=R，設∠AOP=θ，則

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2最大且最大值為R2.工人師傅是這樣選點的，記扇形為AOB，以扇形一半徑OA為一邊，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P為邊與扇形弧的交點，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，則矩形MNPQ為面積最大的矩形，面積最大值為8.解：∵在［－

2?12R2.??,］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函數可化為y= 64??64log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－,x∈［ －??2≤cosx≤1.,］上，264］上恒成立，∴原函數即是y=2log2cosx,在∴log2ymin=－1.22≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－

??,］上，ymax=0, 649.解:y?1?cosx?acosx?當0?x?若a2?2時,0?cosx?1.258a?32??(cosx?a2)?2a24?58a?12.?1時,即a?2,則當cosx?1時,ymax?a?2013a232?2(舍去),a258a?32?1?a?若0??a?若a2

時,ymax?a2?1,即0?a?2,則當cosx?或a??4?0(舍去).4?58a?12?1?0,即a?0,則當cosx?0時,ymax?58a?12?1?a?125?(舍去).綜合上述知，存在a?32符合題設.京翰教育http://www.tmdps.cn/

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第二篇：三角函數圖象變換教案

一、新課引入：

師：前面我們學習了正弦函數y=sinx的圖象和性質，請同學說出它的定義域、值域、奇偶性、周期及單調區間？

生：定義域：R，值域：[-1，1]，奇函數，單增區間：[]單減區間：[] 師：回答的很好，那么形如偶性、周期及單調區間又如何呢？

（一片茫然，沒有學生回答）

函數的定義域、值域、奇師：大家別著急，今天我們就要來學習它們的圖象和性質，并通過它們的圖象和性質進一步來探究它們的圖象與y=sinx圖象會有什么樣的關系．

二、動手實驗：

下面請大家用圖形計算器在同一坐標系分別輸入以下幾組三角函數的圖象，并觀察每一組圖象的定義域、值域、周期、單調區間及其再觀察每一組圖象相互之間的關系、特點，然后進行小組討論、交流．

第一組：

第二組：

第三組：

（教師巡視，同時指導學生注意輸入中經常出現的幾個問題：窗口調節、弧度與度的單位轉換、及其如何利用在同一坐標系同時畫圖和利用功能鍵

進行追蹤和如何利用其它鍵進行的放大等等．）

三、師生交流：

師：從下列第一組圖1，你有什么體會？

圖1 師：的定義域、值域、周期分別是多少？

生：的定義域：x∈R，值域：y［－2，2］，周期：應該與y=sinx的一樣還是

師：不錯，那么呢？

生：的定義域x∈R，值域：y∈［－，］，周期：

師：很好，那么它們三者之間的圖象有什么關系呢？ 生：好象它們之間有一定的伸縮關系 師：能不能再說得具體一點嗎？

生：伸縮倍數是不是與2和有關呢？

師：大家探究和分析的很好，是不是這樣呢？不過別著急．下面請大家先看大屏幕幾何畫板的動畫演示

（老師心喜：他們能夠說出“伸縮”二字，而且發現與2和利用動畫演示有助于驗證他們的猜想）

有關，只是猜想不知是否正確，此時，圖2 演示1：拖動點C,請大家觀察圖象上D、E的運動，在橫坐標相同的條件下，縱坐標的變化，同時注意比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx）

圖3 演示2：拖動點B，觀察圖象y=sinx與y=Asinx圖象，當A發生變化時，點D、E的縱坐標的變化，同時注意比值的變化．（改變A的值，整體對比y=sinx與y=Asinx的關系）

進一步引導,觀察,啟發：

師：通過上述大家的實驗、和我剛才的幾何畫板演示，你又有什么體會？ 生： 函數y=1/2sinx的圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標縮短到原來的 倍而得(橫坐標不變)，函數y=2sinx圖象可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的縱坐標縮短到原來的2倍而得(橫坐標不變)師：太好了，回答完全正確．（演示進一步鞏固了他們的猜想）教師總結：

一般地，y=Asinx，(x∈RA>0且A?1)的圖象可以看作把正弦曲線y=sinx上的所有點的縱坐標伸長(A>1)或縮短(0 第二組：

師生交流：

師：和第一組一樣，你們有什么體會？

圖4 師：與的定義域、值域、周期分別是多少？

生：與的定義域：R,值域：[-1，1]，和y=sinx的都一樣，周期是多少看不出來，反正它們的周期顯然不一樣．

（學生從圖形計算器屏幕看到的的確如此，它們的周期明顯不一樣）師：是的，他們的圖象差別太大，但是可以看出一個周期較小，一個較大．（教師想通過周期的不一樣來突破周期變換）現在我給大家演示兩個動畫3．

圖5 演示1：拖動點A（A、B,它們分別在各自的圖象上）在縱坐標相同的條件下，觀察A、B的橫坐標的變化，以及的比值的變化．（對比y=sinx與y=2sinx的關系）

演示2：拖動點B, 改變W的值，再觀察上述的變化．（改變W的值，進一步觀察y=sinx與y=sinWx的圖象關系）

(該環節的演示要慢，要讓學生注意觀察比值的不變特點)

圖6 進一步引導, 觀察啟發: 師：通過上述你的實驗、和幾何畫板的動畫演示，你又有什么體會？

生：函數y＝sin2x，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)而得到的 函數y＝sin原來的2倍(縱坐標不變)而得到，x∈R的圖象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有點的橫坐標伸長到（的確難得，他們能發現影響周期的量是W了，這樣也為下一節課周期的教學作好準備）師：大家已經能通過第一組的變換特點，類比的方式得到它們之間的關系，真的很不錯．那么誰能把y=sinωx圖象與y=sinx的圖象作比較，說出它們之間的關系嗎？

生：函數y=sinωx, x∈R(ω>0且ω?1)的圖象，可看作把y=sinx所有點的橫坐標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標不變）

（鼓勵學生用自己的語言來歸納，總結）師：有進步． 總結：

一般地，函數y=sinωx, x∈R(ω>0且ω?1)的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的倍（縱坐標不變）．我們把這種變換簡稱為周期（或者伸縮）變換．

第三組：

圖7 師：它們的定義域、值域、周期分別是多少？以及它們的圖象關系又有如何關系？ 生：定義域：x∈R，值域：y ∈［-1，1］，周期：，圖象似乎與我們以前學過的具有平移關系．

（因為高一學習過一些簡單的平移，學生對平移的說法可以很快的提出）

師：回答的十分正確．那么大家再用功能鍵點？

追蹤，觀察它們的平移的方向和平移的單位有什么特（由于學生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結果是一個數，不會帶有行換算，幾分鐘后）

師：請大家看我用幾何畫板的動畫演示4． 演示1：拖動點C,觀察變化．（觀察平移的單位）的單位，讓學生注意進演示2：拖動點B,改變B的值，觀察平移的方向．（讓學生去發現：從左邊移動(B>0)，從右邊移動（B<0）

圖8 引導,觀察,啟發：

師：通過上述實驗、和幾何畫板演示的結果你有什么體會？

生：函數y＝sin(x＋)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有的點向左平行移動個單位長度而得到.函數y＝sin(x－單位長度而得到)，x∈R的圖象可看作把正弦曲線y=sinx上所有點向右平行移動個師：太棒了，回答的十分正確． 教師總結：

一般地，函數y＝sin(x＋＞0時)或向右(當)，x∈R(其中≠0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左(當＜0時＝平行移動｜｜個單位長度而得到(用平移法注意講清方向：“加左”“減右”)，我們把這一變換稱為平移變換

四、運用反思：

1、下列變換中，正確的是

A 將y＝sin2x圖象上的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)即可得到y＝sinx的圖象

B 將y＝sin2x圖象上的橫坐標變為原來的倍(縱坐標不變)即可得到y＝sinx的圖象

C 將y＝－sin2x圖象上的橫坐標變為原來的倍,縱坐標變為原來的相反數,即得到y＝sinx的圖象

D 將y＝－3sin2x圖象上的橫坐標縮小一倍，縱坐標擴大到原來的＝sinx的圖象

答案：A

倍，且變為相反數，即得到y（可以讓學生使用機器來驗證自己的回答是否正確，尤其是C和D的回答）

2．師：大家可以選擇變換路徑

（由于前面都是單一的變換，可以提示學生先選擇變換路徑）

生： 即把y=sinx圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍，再把得到的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的1/2，然后把圖象上的所有點向右移動個單位． 師：有不同意見嗎？ 生：是的，基本就是這樣．

師：從一定是向右平移個單位嗎？

生：是啊

（全體學生感到納悶，老師為什么這樣問呢．）

師：好吧，請大家用計算器實驗，看看他說的是否正確？ 生：我輸入圖象看，平移的數據似乎不對，到底是多少呢？

（由于學生的圖形計算器的單位是幅度，追蹤的結果是一個數，不會帶有 的單位，可以讓學生進行換算來回答，但是幾何畫板可以動態變化和計算）

師：請大家再看我的演示：拖動點A,觀察點A、C橫坐標的變化．（觀察它們距離的單位刻度是多少．）

圖9 生：我知道了，應該是向右平移，而不是 師：不錯應該是應該是向右平移，這是我們經常會犯的錯誤，一般地，函數的平移是指變量的變化量，所以要把函數化為從中可以看出，所以應該是向右平移

（這時學生在做次類題目，經常容易犯的錯誤，應引起足夠的重視）

五、小結與思考：

今天我們學習了三種三角函數：形如圖象是由y=sinx的圖象怎么變換得到，我們分別把三種變換分別稱為振幅變換、伸縮變換、平移變換．

思考：

上述三種三角變換適應于三角函數的圖象外，是否也適應于一般函數的圖象的變換嗎？請同學們下去通過今天學習的方法用圖形計算器探索、思考下列幾組函數圖象的關系

1、與2、3、（讓學生下去動手實踐，、探索和驗證，也為后期函數圖象變換的學習作準備）

六、作業：

七、教學反思：

1、本節課是以學生探索為主，教師點撥、啟發、引導和利用幾何畫板的演示為輔．通過TI-92PLS圖形計算器進行教學學習和探究活動，獲得TI計算器正弦波函數性質等數學問題的體驗；認識現代信息技術對學習數學知識和探究數學問題的價值．借助已知知識提出問題，體現教師為主導，學生為主體的原則，整個教學過程為：提出問題

探索

解決問題

運用反思

提高．

2、以前該部分內容的教學通常是通過取值、列表、描點、畫圖然后靜態的讓學生觀察、總結，最后得出它們之間圖象變化的特點，如下圖所示．

（振幅變換）

（周期變換）

（平移變換）

不僅教學內容少，而且課時需要多（以前至少需要2課時）、課堂氣氛枯燥、學生參與的活動少、學習的積極性較低．通過信息技術的使用，改變常規教學中處理方式，利用圖形計算器讓學生實驗、觀察、體會和交流，然后再通過幾何畫板的輔助教學演示，使得振幅變換、伸縮變換、平移變換變得形象、直觀，學生易于理解和掌握，不僅一節課完成了三種變換而且學生的興趣濃厚、參與活動多、課堂氣氛活躍，使課堂教學落到了實處，主體作用得到了真正的體現，綜合能力和素質也得到了培養，這充分體現了信息技術具有的優勢．

3、但值得商榷的是：原來教學的“五點作圖法”繪制函數圖象，再討論參數所起的作用，這里用技術馬上就畫出函數圖象，并觀察規律得出結論，所以“五點作圖法”在技術面前如何處理會更好．

第三篇：高中數學1.4 三角函數的圖象與性質 教案4人教版必修4

三角函數的圖象與性質

一、知識網絡

二、高考考點

（一）三角函數的性質

1、三角函數的定義域，值域或最值問題；

2、三角函數的奇偶性及單調性問題；常見題型為：三角函數為奇函數（或偶函數）的充要條件的應用；尋求三角函數的單調區間；比較大小的判斷等.3、三角函數的周期性；

尋求對值的三角函數的周期.（二）三角函數的圖象

1、基本三角函數圖象的變換；

2、型三角函數的圖象問題；重點是“五點法”作草圖的逆用：由給出

型三角函數的周期以及難度較高的含有絕的一段函數圖象求函數解析式；

3、三角函數圖象的對稱軸或對稱中心：尋求或應用；

4、利用函數圖象解決應用問題.（三）化歸能力以及關于三角函數的認知變換水平.三、知識要點

（一）三角函數的性質

1、定義域與值域

2、奇偶性

（1）基本函數的奇偶性

奇函數：y＝sinx，y＝tanx；

偶函數：y＝cosx.（2）

（ⅰ）g（x）＝g（x）為偶函數 型三角函數的奇偶性

（x∈R）

由此得

同理，（ⅱ）為偶函數

；

為奇函數

；

為奇函數

..3、周期性

（1）基本公式

（ⅰ）基本三角函數的周期

y＝sinx，y＝cosx的周期為cotx的周期為

（ⅱ）.型三角函數的周期

；

y＝tanx，y＝ 的周期為 ；

（2）認知

（?。?/p>

型函數的周期

的周期為.的周期為 ；

的周期為.（ⅱ）的周期的周期為；

的周期為

均同它們不加絕對值時的周期相同，即對y＝該函數的周期不變.注意這一點與（?。┑膮^別.（ⅱ）若函數為

.的解析式施加絕對值后，型兩位函數之和，則探求周期適于“最小公倍數法”.（ⅲ）探求其它“雜”三角函數的周期，基本策略是試驗――猜想――證明.（3）特殊情形研究

（?。﹜＝tanx－cotx的最小正周期為 ；

（ⅱ）的最小正周期為 ；

（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期為.由此領悟“最小公倍數法”的適用類型，以防施錯對象.4、單調性

（1）基本三角函數的單調區間（族）

依從三角函數圖象識證“三部曲”：

①選周期：在原點附近選取那個包含全部銳角，單調區間完整，并且最好關于原點對稱的一個周期；

②寫特解：在所選周期內寫出函數的增區間（或減區間）；

③獲通解：在②中所得特解區間兩端加上有關函數的最小正周期的整數倍，即得這一函數的增區間族（或減區間族）

循著上述三部曲，便可得出課本中規范的三角函數的單調區間族.揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數的定義域.（2）y＝

型三角函數的單調區間

此類三角函數單調區間的尋求“三部曲”為

①換元、分解：令u＝

，將所給函數分解為內、外兩層：y＝f（u），u＝

；

②套用公式：根據對復合函數單調性的認知，確定出f（u）的單調性，而后利用（1）中公式寫出關于u的不等式；

③還原、結論：將u＝區間形成結論.代入②中u的不等式，解出x的取值范圍，并用集合或

（二）三角函數的圖象

1、對稱軸與對稱中心

（1）基本三角函數圖象的對稱性

（ⅰ）正弦曲線y＝sinx的對稱軸為對稱中心為（，0）

.； 正弦曲線y＝sinx的（ⅱ）余弦曲線y＝cosx的對稱軸為 ； 余弦曲線y＝cosx的對稱中心

（ⅲ）正切曲線y＝tanx的對稱中心為軸.認知：

①兩弦函數的共性： x＝ 為兩弦函數f（x）對稱軸 ＝0.； 正切曲線y＝tanx無對稱

為最大值或最小值；（，0）為兩弦函數f（x）對稱中心

②正切函數的個性：

（，0）為正切函數f（x）的對稱中心

＝0或

不存在.（2）型三角函數的對稱性（服從上述認知）

或g（x）＝

為最值（最大值或最小值）；（的圖象

，0）為兩弦函數g（x）

（ⅰ）對于g（x）＝x＝ 為g（x）對稱軸 ＝0.對稱中心（ⅱ）對于g（x）＝＝0或 不存在.的圖象（，0）為兩弦函數g（x）的對稱中心

2、基本變換

（1）對稱變換（2）振幅變換（縱向伸縮）（3）周期變換（橫向伸縮）（4）相位變換（左右平移）（5）上、下平移

3、y＝

（1）五點作圖法

的圖象

（2）對于A，T，的認知與尋求： ①A：圖像上最高點（或最低點）到平衡位置的距離；

2A：圖像上最高點與最低點在y軸上投影 間的距離.② ：圖象的相鄰對稱軸（或對稱中心）間的距離；心間的距離.：圖象的對稱軸與相鄰對稱中

： 由T＝ 得出.③ ：

解法一：運用“代點法”求解，以圖象的最高點（或最低點）坐標代入為上策，若以圖象與x軸交點坐標代入函數式求，則須注意檢驗，以防所得

解法二：逆用“五點作圖法”的過程（參見經典例題）.四、經典例題

例

1、求下列函數的值域：

值為增根；

（1）

（4）

（2）

（5）

（3）（6）

分析：對于形如（1）（2）（3）的函數求值域，基本策略是（ⅰ）化歸為的值域；（ⅱ）轉化為sinx（或cosx）的二次函數；對于（4）（5）（6）之類含有絕對值的函數求值域，基本策略則是（?。┰谶m當的條件下考察y2；（ⅱ）轉化為分段函數來處理；（ⅲ）運用其周期性、奇偶性或函數圖象對稱性轉化.解：

（1）

∵

∴，即所求函數的值域為.（2）由

∴

∴ 注意到這里x∈R，∴

∴所求函數的值域為[－1，1].（3）這里

令sinx＋cosx＝t 則有

且由

于是有

∵ ∴

因此，所求函數的值域為（4）注意到這里y>0，且函數的值域為

（5）注意到所給函數為偶函數，又當

同理，當 亦有.∵

.∴

即所求

∴此時..∴所求函數的值域為

（6）令 則易見f（x）為偶函數，且

∴ 是f（x）的一個正周期.①

只需求出f（x）在一個周期上的取值范圍.當x∈[0，]時，又注意到，∴x＝ 為f（x）圖象的一條對稱軸 ②

∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值.而在[0，遞增④ ]上，遞增.③ 亦

∴由③④得f（x）在[0，]上單調遞增.∴

即 ⑤.于是由①、②、⑤得所求函數的值域為

點評：解（1）（2）運用的是基本化歸方法；解（3）運用的是求解關于sinx＋cosx與sinxcosx的函數值域的特定方法；解（4）借助平方轉化；解（5）（6）則是利用函數性質化繁為簡，化暗為明.這一點在解（6）時表現得淋漓盡致.例

2、求下列函數的周期：

（1）

；

（2）

；

（3）；

（4）；

（5）

分析：與求值域的情形相似，求三角函數的周期，首選是將所給函數化為＋k的形式，而后運用已知公式.對于含有絕對值的三角函數，在不能利用已有認知的情況下，設法轉化為分段函數來處理.解：（1）

＝

＝

∴所求最小正周期.（2）＝ ＝ ＝

∴所求周期.（3）＝

＝

＝.注意到 的最小正周期為，故所求函數的周期為.（4）注意到3sinx及-sinx的周期為2，又sinx≥0

.（或sinx<0）的解區間重復出現的最小正周期為2.∴所求函數的周期為

2（5）

注意到sin2x的最小正周期小正周期，這里

，又sinx≥0（或sinx<0）的解區間重復出現的最

.∴所求函數的周期

知，.是f（x）

的最小公倍數為

點評：對于（5），令的一個正周期.①

又正周期.②

于是由①②知，f（x）的最小正周期為

則由

∴ 不是f（x）的最小

.在一般情況下，探求上述一類分段函數的周期，僅考慮各段函數的最小正周期的最小公倍數是不夠的，還要考慮各分支中的條件區間重復出現的最小正周期.雙方結合，方可能獲得正確結果.請大家研究周期，并總結自己的有關感悟與經驗.例

3、已知函數的部分圖象，（1）求

解：

（1）令

，則由題意得f（0）＝ 的值；

（2）求函數圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標.的最小正

∵

∴

注意到函數圖象在所給長度為一個周期的區間的右端點橫坐標為，故逆用“五點作圖法” 得： 由此解得

∴所求，.（2）由（1）得

令，解得，∴函數f（x）圖象的對稱軸方程為 ；令 解得，∴函數f（x）圖象的對稱中心坐標為.點評：前事不忘，后事之師.回顧運用“五點作圖法”作出所給三角函數在一個周期內圖象的列表、描點過程，便可從中悟出所給函數圖象上的五個關鍵點橫坐標滿足的等式：

例

4、（1）函數 的單調遞增區間為。

（2）若函數 上為單調函數，則a的最大值為。

（3）函數 的圖象的對稱中心是。

函數（4）把函數

的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離為

。的圖象向左平移m（m>0）個單位，所得的圖象關于y軸對稱，則m的最小正值為。

（5）對于函數，給出四個論斷：

①它的圖象關于直線x＝ 對稱；

②它的圖象關于點（,0）對稱；

③它的周期為 ；

④它在區間〔－，0〕上單調遞增.以其中的兩個論斷作為條件,余下的兩個論斷作為結論,寫出你認為正確的命題,它是。

分析：

（1）這里遞增且

的遞增區間

的正號遞減區間

∴應填

（2）由f（x）遞增得

易見，由f（x）遞減得

當k＝0時，注意到 而不會屬于其它減區間，故知這里a的最大值為.（3）（?。┝?/p>

∴所給函數圖象的對稱中心為（，0）；

（ⅱ）①

解法一（直接尋求）在①中令 則有②

又在②中令k＝0得，令k＝1得

∴所求距離為 －

解法二（借助轉化）：注意到所求距離等于函數的最小周期的一半，又由①得這一函數的最小正周期為

T＝，故所求距離為.（4）這里 將這一函數圖象向左平移m（m>0）個單位，所得圖象的函數解析式為

令

則由題設知f（x）為偶函數 f（－x）＝f（x）

∴所求m的最小值為.（5）為使解題的眉目清晰，首先需要認定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷只能作為結論，哪個論斷既可作為條件，又可作為結論；一般地，獨自決定圖象形狀的論斷必須作為條件，既不能決定形狀，也不能確定位置的論斷只能作為結論.在這里，③必須作為條件，而④只能作為結論.于是這里只需考察

①、③ ②、④與②、③ ①、④這兩種情形.（ⅰ）考察①、③ ②、④是否成立.由③得，故

；又由①得

注意到②、④成立.（ⅱ）考察②、③

.∴在①、③之下，易知此時

①、④是否成立.由③得，故 ；

又由②得 注意到.∴在②、③之下，易知此時①、④成立.②、④與②、③

①、④.；

.于是綜合（?。áⅲ┑谜_的命題為①、③

點評：對于（4）利用了如下認知：

對于（5），認定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷必須作為結論是認知問題和簡化解題過程的關鍵，請大家注意領悟和把握這一環節.例

5、已知取得最大值2.（1）求f（x）的表達式；

的最小正周期為2，當 時，f（x）

（2）在閉區間 上是否存在f（x）圖象的對稱軸？如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由.分析：出于利用已知條件以及便于考察f（x）的圖象的對稱軸這兩方面的考慮，先將f（x）化為

＋k的形式，這是此類問題的解題的基礎.解：（1）去

令，①

，即 則有

由題意得② 又由①知，注意到這里A>0且B>0，取輔助角，則由②得③

（2）在③中令 解得x＝k＋

解不等式k＝5.④

注意到，故由④得

于是可知，在閉區間 上有且僅有一條對稱軸，這一對稱軸的方程為.點評：對于最值，對稱軸和對稱中心等問題，f（x）一經化為式，解題便勝券在握.＋k的形

例

6、已知點 的圖象上.若定義在非零實數集上的奇函數g（x）在（0，＋∞）上是增函數，且g（2）＝0.求當g[f（x）]<0且x∈[0，]時，實數a的取值范圍.分析：由點A、B都在函數∴b＝a，c＝1－a.的圖象上 得：，∴ ∴

此時，由g[f（x）]<0且x∈[0，]解出a的范圍，一方面需要利用g（x）的單調性脫去“f”，另一方面又要注意借助換元進行轉化：化生為熟，化繁為簡.因此，下一步的首要工作是考察并利用g（x）的單調性.解：由分析得

∵定義在非零實數集上的奇函數g（x）在（0，＋∞）上是增函數，且g（2）＝0，①

∴g（x）在（－∞，0）上是增函數，且g（－2）＝0② ∴由①②知，當x<-2或0

.∴由③得，當

.則

h（t）＝

∴g[f（x）]<0且x∈[0，]時，h（t）<－2或0

注意到h（t）＝at＋（1－a）∴由h（t）<－2得h（1）<－2(a<0)或h（由0

.，解得)<-2(a>0)，.于是綜上可知，所求a的點評：在這里，由③到④的轉化，是由“抽象”向“具體”的轉化，此為解題關鍵環節.在下面的求解中，對0

（1）h(t)>0，⑤得，h(1)>0，顯然成立；

當a<0時，h(t)在；

當a＝0時，h（t）顯然滿足10，－1

⑥

（2）h(t)<2，⑦當a>0時，h(t)在 上遞增，∴由⑦得，得

－

上遞減

∴由⑤得，h（）>0

（－1）a＋1>0

，00且h（t）<2

上遞增，∴由

⑤ 當a>0時，h(t)在h()<2 ；

上遞減

∴由⑦得，h(1)<2,顯然滿足條件； 當a＝0時，當a<0時，h(t)在h（t）＝1，顯然滿足條件.因此由⑦得

五、高考真題

（一）選擇題

1、（湖北卷）若

⑧

于是綜合（1）（2）知，由0

（）

A.B.C.D.的范圍入手，分析：注意到我們對去了解 的范圍.的熟悉，故考慮從認知

由 ∴，∴

應選C.2、函數 的部分圖象如圖，則（）

A.B.C.D.分析：由圖象得.∴，∴

又f(1)=1，∴

（二）、填空題

1、（湖北卷）函數為。

注意到，∴

應選C.的最小正周期與最大值的和

分析：對于含有絕對值的三角函數的周期或值域，基本策略是化為分段函數，分段尋求周期或范圍，而后綜合結論.，而sinx≥0的解區間重復出現的最小正周，故所求函數的最小正周期為

.（1）注意到sin2x的最小正周期期，而 的最小公倍數為

（2）由分段函數知，y的最大值為

2、（遼寧卷）個實數a，是正實數，設

，于是由（1）（2）知應填..若對每 含2個元素，則

的元素不超過兩個，且有a使的取值范圍是。

分析：

∴

注意到有a使

注意到

含有兩個元素，∴相鄰兩 值之差

的元素不超過兩個，∴相間的兩個 值之差

①

②

∴由①、②得

.點評：

對于（1），在考察了各個分支中三角函數的最小正周期后，還要考察各分支中“不等式的解區間”重復出現的周期，二者結合才能得出正確結論.對于（2），這里的 決定于f（x）在一個周期圖象的左端點橫坐標，由此便于認識相鄰兩個 值之差 的意義.（三）解答題

1、若函數 的最大值為2，試確定常數a的值.＋k的形式，而后便

分析：鑒于過去的經驗，首先致力于將f（x）化為會一路坦途.解： ＝

＝ 由已知得

.點評：本題看似簡單，但考察多種三角公式，亦能體現考生的基本能力.2、設函數

（1）求

y＝f（x）圖象的一條對稱軸是直線.；（2）求函數y＝f（x）的單調增區間；（3）證明直線5x－2y＋c＝0與函數y＝f（x）的圖象不相切.分析：對于（3），由于f（x）為三角函數，故需要利用導數的幾何意義來解決直線與圖象的相切或不相切問題.其中，要證直線ｌ與ｙ＝ｆ（x）的圖象不相切，只需證直線ｌ的斜率不屬于y＝f（x）圖象上點的切線斜率的取值集合.解：（1）∵ 為函數 圖象的對稱軸，∴

∴ 即

又.（2）由（1）知時，y＝f（x）遞增，當

∴所求函數f（x）的增區間為.（3）∵

∴y＝f（x）圖象上點的切線的斜率范圍為[－2，2].而直線5x－2y＋c＝0，∴直線5x－2y＋c＝0與函數 的圖象不相切.點評：有導數及其幾何意義奠基，便可引出諸多不同直線與不同函數圖象的相切或不相切問題.此題（3）的解題思路，值得大家仔細領會與品悟.3、已知函數

是R上的偶函數，其圖象關于點M（）對稱，且在區間 上是單調函數，求 的值.的值；已知函數圖象關

的分析：在此類三角函數問題中，已知函數的周期可直接確定于某直線（或某點）對稱，則只能導出關于

的可能取值，此時要進一步確定值，還需要其它條件的輔助；而已知函數在某區間上單調的條件，一般只在利用函數圖象對稱性尋出 的可能取值之后，用它來進行認定或篩選.解：由f（x）為偶函數得f（－x）＝f（x）（x∈R）

即

又 故有 由f（x）圖象關于點M（）對稱得

令x＝0得 而

由此解得

當k＝0時，此時

當k＝1時，當k≥2時，故此時

因此，綜合以上討論得

點評：對于正弦函數y＝

或.∴所求，而 或.＋k或余弦函數y＝ ＋k，在單調區間“完整”的一個周期T，恰是增減區間的長度各為 ；而在任何一個周期T上，增區間（或減區間）的長度均不超過.因此，若區間 的長度大于，則函數在區間 上不會是單調函數.4、設函數f（x）＝xsinx（x∈R）.（1）證明：

，其中k為正整數.（2）設

，（3）設f（x）在（0，＋∞）內的全部極值點按從小到大的順序排列為

證明：

分析：注意到正弦函數為f（x）的成員函數之一，試題中又指出f（x）的極值點，故需應用導數研究極值的方法與結論.可見，解（2）（3），均需要從f＇（x）切入.證明：（1）∵f（x）＝xsinx（x∈R）∴

（2）

令

①

顯然cosx＝0不是①的解，故由①得x＝－tanx ②

②，即有

，于是 ＝

＝

（3）設 是

，則由直線y＝x與曲線

的一個正整數根，即y＝－tanx的位置關系知：對每一個，存在，使，注意到g（x）＝x＋tanx在 上是增函數，且 ∴g（x）在 又cosx在 內符號不變，∴（x＋tanx）cosx＝sinx＋xcosx＝

∴所有滿足由題設

的 在 與在 內異號，都是f（x）的極值點.為方程x＝－tanx的全部正根.且

，∴

再注意到

③

④

而∴由④得

∴1＋ ⑤

于是由③、⑤得，點評：在這里應注意對（2）、（3）中極值點的區別.對于（2），即可；對于（3）中的左右兩邊異號.不僅要滿足

只需滿足

在點x＝

，還需認定

第四篇：二次函數的圖象和性質教案

27.2.1 相似三角形的判定

（一）梅

一、教學目標

1．經歷兩個三角形相似的探索過程，體驗分析歸納得出數學結論的過程，進一步發展學生的探究、交流能力．

2．掌握兩個三角形相似的判定條件（三個角對應相等，三條邊的比對應相等，則兩個三角形相似）——相似三角形的定義，和三角形相似的預備定理（平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似）．

3．會運用“兩個三角形相似的判定條件”和“三角形相似的預備定理”解決簡單的問題．

二、重點、難點

1．重點：相似三角形的定義與三角形相似的預備定理． 2．難點：三角形相似的預備定理的應用． 3．難點的突破方法

（1）要注意強調相似三角形定義的符號表示方法（判定與性質兩方面），應注意兩個相似三角形中，三邊對應成比例，AB?BC?CA每個比的前

A?B?B?C?C?A?項是同一個三角形的三條邊，而比的后項分別是另一個三角形的三條對應邊，它們的位置不能寫錯；

（2）要注意相似三角形與全等三角形的區別和聯系，弄清兩者之間的關系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之處在于全等三角形的相似比為1．兩者在定義、記法、性質上稍有不同，但兩者在知識學習上有很多類似之處，在今后學習中要注意兩者之間的對比和類比；

（3）要求在用符號表示相似三角形時，對應頂點的字母要寫在對應的位置上，這樣就會很快地找到相似三角形的對應角和對應邊；

（4）相似比是帶有順序性和對應性的（這一點也可以在上一節課中提出）：

如△ABC∽△A′B′C′的相似比AB?BC?CA?k，那么△A′B′C′∽△ABC

A?B?B?C?C?A???????的相似比就是AB?BC?CA?1，它們的關系是互為倒數．這

ABBCCAk一點在教學中科結合相似比“放大或縮小”的含義來讓學生理解；（5）“平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”定理也可以簡單稱為“三角形相似的預備定理”．這個定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構成相似三角形，因此在三角形相似的解題中，常作平行線構造三角形與已知三角形相似．

三、例題的意圖

本節課的兩個例題均為補充的題目，其中例1是訓練學生能正確去尋找相似三角形的對應邊和對應角，讓學生明確可類比全等三角形對應邊、對應角的關系來尋找相似三角形中的對應元素：即（1）對頂角一定是對應角；（2）公共角一定是對應角；最大角或最小的角一定是對應角；（3）對應角所對的邊一定是對應邊；（4）對應邊所對的角一定是對應角；對應邊所夾的角一定是對應角．

例2是讓學生會運用“三角形相似的預備定理”解決簡單的問題，這里要注意，此題兩次用到相似三角形的對應邊成比例（也可以先寫出三個比例式，然后拆成兩個等式進行計算），學生剛開始可能不熟練，教學中要注意引導．

四、課堂引入

1．復習引入

（1）相似多邊形的主要特征是什么？

（2）在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形．

在△ABC與△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且AB?BC?CA?k．

A?B?B?C?C?A?我們就說△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′，k就是它們的相似比．

反之如果△ABC∽△A′B′C′，則有∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且AB?BC?CA．

A?B?B?C?C?A?（3）問題：如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關系？ 2．教材P42的思考，并引導學生探索與證明． 3．【歸納】

三角形相似的預備定理平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．

五、例題講解

例1（補充）如圖△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．

（1）寫出對應邊的比例式；（2）寫出所有相等的角；

（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的長．

分析：可類比全等三角形對應邊、對應角的關系來尋找相似三角形中的對應元素．對于（3）可由相似三角形對應邊的比相等求出AD與DC的長．

解：略（AD=3，DC=5）

例2（補充）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的長．

分析：由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性質，有ADAE，又由?AD=EC可求出AD的長，再根據DE?AD求出DE的長．

ABACBCAB解：略（DE?103）．

六、課堂練習

1．（選擇）下列各組三角形一定相似的是（）

A．兩個直角三角形 B．兩個鈍角三角形

C．兩個等腰三角形 D．兩個等邊三角形

2．（選擇）如圖，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形一共有（A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 3．如圖，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的長．（CD= 10）

七、課后練習

1．如圖，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，寫出對應邊的比例式． 2．如圖，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，寫出對應邊的比例式．

3．如圖，DE∥BC，）

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的長． 教學反思

第五篇：九年級數學二次函數的圖象和性質教案23

九年級數學二次函數的圖象和性質教案本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址

23.2二次函數y=ax2的圖象和性質

教學目標：

.經歷探索二次函數y=ax2的圖象的作法和性質的過程，獲得利用圖象研究函數性質的經驗。

2.能夠利用描點法作出函數y=ax2的圖象，并能根據圖象認識和理解二次函數y=ax2的性質，初步建立二次函數表達式與圖象之間的聯系。

3.能根據二次函數y=ax2的圖象，探索二次函數的性質（開口方向、對稱軸、頂點坐標）。

教學重點：二次函數y=ax2的圖象的作法和性質

教學難點：建立二次函數表達式與圖象之間的聯系

教學方法：自主探索，數形結合 教學建議：

利用具體的二次函數圖象討論二次函數y=ax2的性質時，應盡可能多地運用小組活動的形式，通過學生之間的合作與交流，進行圖象和圖象之間的比較，表達式和表達式之間的比較，建立圖象和表達式之間的聯系，以達到學生對二次函數性質的真正理解。

教學過程：

一、認知準備：

．正比例函數、一次函數、反比例函數的圖象分別是什么？

2．畫函數圖象的方法和步驟是什么？（學生口答）

你會作二次函數y=ax2的圖象嗎？你想直觀地了解它的性質嗎？本節課我們一起探索。

二、新授：

（一）動手實踐：作二次函數

y=x2和y=-x2的圖象

（同桌二人，南邊作二次函數

y=x2的圖象，北邊作二次函數y=-x2的圖象，兩名學生黑板完成）

（二）對照黑板圖象議一議：

.你能描述該圖象的形狀嗎？

2.該圖象與x軸有公共點嗎？如果有公共點坐標是什么？

3.當x<0時，隨著x的增大，y如何變化？當x>0時呢？

4.當x取什么值時，y值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

5.該圖象是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？請你找出幾對對稱點。

（三）學生交流：

.交流上面的五個問題（由問題1引出拋物線的概念，由問題2引出拋物線的頂點）

2.二次函數y=x2和y=-x2的圖象有哪些相同點和不同點？

3．教師出示同一直角坐標系中的兩個函數y=x2

和y=-x2圖象，根據圖象回答：

（1）二次函數y=x2和y=-x2的圖象關于哪條直線對稱？

（2）兩個圖象關于哪個點對稱？

（3）由y=x2的圖象如何得到y=-x2的圖象？

（四）動手做一做：

1．作出函數y=2x2

和

y=-2x2的圖象

（同桌二人，南邊作二次函數y=-2x2的圖象，北邊作二次函數y=2x2的圖象，兩名學生黑板完成）

2．對照黑板圖象，數形結合，研討性質：

（1）你能說出二次函數y=2x2具有哪些性質嗎？

（2）你能說出二次函數y=-2x2具有哪些性質嗎？

（3）你能發現二次函數y=ax2的圖象有什么性質嗎？

（學生分小組活動，交流各自的發現）

3．師生歸納總結二次函數y=ax2的圖象及性質：

（1）二次函數y=ax2的圖象是一條拋物線

（2）性質

a:開口方向:a>0，拋物線開口向上，a〈0，拋物線開口向下[

b:頂點坐標是（0，0）

c:對稱軸是y軸

d:最值：a>0，當x=0時，y的最小值=0，a〈0，當x=0時，y的最大值=0

e:增減性：a>0時，在對稱軸的左側（X＜0)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側（x＞0），y隨x的增大而增大，a〈0時，在對稱軸的左側（X＜0)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側（x＞0），y隨x的增大而減小。

4．應用：（1）說出二次函數y=1/3x2

和

y=-5x2

有哪些性質

（2）說出二次函數y=4

x2和

y=-1/4x2有哪些相同點和不同點？

三、小結：

通過本節課學習，你有哪些收獲？（學生小結）

．會畫二次函數y=ax2的圖象，知道它的圖象是一條拋物線

2．知道二次函數y=ax2的性質：

a:開口方向:a>0，拋物線開口向上，a〈0，拋物線開口向下

b:頂點坐標是（0，0）

c:對稱軸是y軸

d:最值：a>0，當x=0時，y的最小值=0，a〈0，當x=0時，y的最大值=0

e:增減性：a>0時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，a〈0時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小。