第一篇：高一數學正余弦函數的圖象和性質1

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4.8正弦函數、余弦函數的圖象和性質（1）

教學目的：

1．理解并掌握作正弦函數和余弦函數圖象的方法．

2．理解并熟練掌握用五點法作正弦函數和余弦函數簡圖的方法．

3．理解并掌握用正弦函數和余弦函數的圖象解最簡單的三角不等式的方法． 教學重點：用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象． 教學難點：用單位圓中的余弦線作余弦函數的圖象． 教學過程：

一、復習引入：

1． 弧度定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。

2.正、余弦函數定義：設?是一個任意角，在?的終邊上任取（異于原點的）一點P（x,y）

P與原點的距離r(r?則比值 比值yrxrx2?y2?x?y22?0)

P(x,y)r叫做?的正弦 記作： sin??叫做?的余弦 記作： cos??yrxr

?3.正弦線、余弦線：設任意角α的終邊與單位圓相交于點P(x，y)，過P作x軸的垂線，垂足為M，則有

sin??yr?MP，cos??xr?OM

向線段MP叫做角α的正弦線，有向線段OM叫做角α的余弦線．

二、講解新課：

1． 用單位圓中的正弦線、余弦線作正弦函數、余弦函數的圖象（幾何法）：為了作三角函數的圖象，三角函數的自變量要用弧度制來度量，使自變量與函數值都為實數．在一般情況下，兩個坐標軸上所取的單位長度應該相同，否則所作曲線的形狀各不相同，從而影響初學者對曲線形狀的正確認識．（1）正弦函數y=sinx的圖象（結合課件第二頁“離散點”，第三頁“反射法”講解）第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點O1，以O1為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預備：取自變量x值—弧度制下角與實數的對應）.第二步：在單位圓中畫出對應于角0,?6，?3，?2,?，2π的正弦線正弦線（等價于“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數圖象上的點（等價于“描點”）.第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．

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根據終邊相同的同名三角函數值相等，把上述圖象沿著x軸向右和向左連續地平行移動，每次移動的距離為2π，就得到y=sinx，x∈R的圖象.把角x(x?R)的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數y=sinx的圖象.（課件第二頁“正弦曲線”）

（2）余弦函數y=cosx的圖象

用幾何法作余弦函數的圖象，可以用“反射法”將角x的余弦線“豎立”[把坐標軸向下平移，過O1作與x軸的正半軸成?4角的直線，又過余弦線O1A的終點A作x軸的垂線，它與前面所作的直線交于A′，那么O1A與AA′長度相等且方向同時為正，我們就把余弦線O1A“豎立”起來成為AA′，用同樣的方法，將其它的余弦線也都“豎立”起來．再將它們平移，使起點與x軸上相應的點x重合，則終點就是余弦函數圖象上的點．]（課件第三頁“反射法”）

也可以用“旋轉法”把角 的余弦線“豎立”（把角x 的余弦線O1M按逆時針方向旋轉億庫教育網

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?2到O1M1位置，則O1M1與O1M長度相等，方向相同.）（課件第三頁“旋轉法”）

根據誘導公式cosx?sin(x??2),還可以把正弦函數

x=sinx的圖象向左平移

?2單位即得余弦函數y=cosx的圖象.（課件第三頁“平移曲線”）

yy=sinx 1o-4?-3??3?-6?-5?-?4?5?-2?2?6?x-1

y y=cosx1

?-?-5?-3?3?4?5?-4?2?-6?-2?6?x-1

正弦函數y=sinx的圖象和余弦函數y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線． 2．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖（描點法）：

正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：

(0,0)(?2,1)(?,0)(?23?2,-1)(2?,0)

3?2余弦函數y=cosx

x?[0,2?]的五個點關鍵是

(0,1)(,0)(?,-1)(,0)(2?,1)只要這五個點描出后，圖象的形狀就基本確定了．因此在精確度不太高時，常采用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖，要求熟練掌握．

三、講解范例：

例1 作下列函數的簡圖

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，(2)y=|sinx|，（3）y=sin|x|

例2 用五點法作函數y?2cos(x?12?3),x?[0,2?]的簡圖.例3 分別利用函數的圖象和三角函數線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合：

四、作業：習題4.8 1.8.《優化設計》P34 強化訓練(1)sinx?;(2)cosx?12,(0?x?5?2).億庫教育網

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第二篇：正弦函數、余弦函數的圖象和性質教案

正弦函數、余弦函數的圖象和性質

一、學情分析:

1、學習過指數函數和對數函數；

2、學習過周期函數的定義；

3、學習過正弦函數、余弦函數?0,2??上的圖象。

二、教學目標： 知識目標：

1、正弦函數的性質；

2、余弦函數的性質； 能力目標：

1、能夠利用函數圖象研究正弦函數、余弦函數的性質；

2、會求簡單函數的單調區間； 德育目標：

滲透數形結合思想和類比學習的方法。

三、教學重點

正弦函數、余弦函數的性質

四、教學難點

正弦函數、余弦函數的性質的理解與簡單應用

五、教學方法

通過引導學生觀察正弦函數、余弦函數的圖象，從而發現正弦函數、余弦函數的性質，加深對性質的理解。（啟發誘導式）

六、教具準備

多媒體課件

七、教學過程

1、復習導入

(1)我們是從哪個角度入手來研究指數函數和對數函數的？(2)正弦、余弦函數的圖象在?0,2??上是什么樣的？

2、講授新課

（1）正弦函數的圖象和性質（由教師講解）

通過多媒體課件展示出正弦函數在??2?,2??內的圖象，利用函數圖象探究函數的性質：

ⅰ 定義域

正弦函數的定義域是實數集R ⅱ 值域

從圖象上可以看到正弦曲線在??1,1?這個范圍內，所以正弦函數的值域是??1,1? ⅲ 單調性

結合正弦函數的周期性和函數圖象，研究函數單調性，即：

????在2k,2 k ? ?(k上是增函數；

?

?

?

?

?

Z)

22??2k

在?

?

?

,2 k ? ?

?(k ?

Z)上是減函數；

?22???3??ⅳ 最值

觀察正弦函數圖象，可以容易發現正弦函數的圖象與虛線的交點，都是函數的最值點，可以得出結論：

當

x ?k ?

?

,k

? Z 時，y max

?

1當

x ?k ? ?,k

時，y min

? ? 1

? Z2??2

ⅴ 奇偶性

正弦函數的圖象關于原點對稱，所以正弦函數的奇函數。ⅵ 周期性

正弦函數的圖象呈周期性變化，函數最小正周期為2?。（2）余弦函數的圖象和性質（由學生分組討論，得出結論）

通過多媒體課件展示出余弦函數的圖象，由學生類比正弦函數的圖象及性質進行討論，探究余弦函數的性質： ⅰ 定義域

余弦函數的定義域是實數集R ⅱ 值域

從圖象上可以看到余弦曲線在??1,1?這個范圍內，所以余弦函數的值域是??1,1? ⅲ 單調性

結合余弦函數的周期性和函數圖象，研究函數單調性，即：

在,2 k ? ?(k

?2 k ?

? ?

?

Z)上是增函數；

? 2 k?,2 k ? ?

? ?(k ?

Z)上是減函數；

在ⅳ 最值

觀察余弦函數圖象，可以容易發現余弦函數的圖象與虛線的交點，都是函數的最值點，可以得出結論：

min 當

x

?k ? , k ?

Z 時，y max

? 1

當

x

? 2 k ?

?

? , k ?

Z 時，y

?

? 1

ⅴ 奇偶性

余弦函數的圖象關于y軸對稱，所以余弦函數的偶函數。ⅵ 周期性

余弦函數的圖象呈周期性變化，函數最小正周期為2?。

3、例題講解：

?例：求函數 y

?

sin（?)的單調遞增區間。

x23分析：采用代換法，利用正弦函數的單調性來求所給函數的單調區間。

1?u 的單調遞增區間是 解：令 u

?

x ?

.函數 y

? sin

3[?

?

?k ?, ?

?

2k ?

Z

k ? ],?222?

?x ?? 2由k ?

?

?

k ?,2321???

?得：

5??4k??x??4k?,k?Z.33

??5??x???4k?,?4k?(k?Z)

?)的單調增區間是 所以函數

y ?

sin（?

?3323??

4、練習：

? 3求函數 y

sin(x ?)的單調減區間。

4?k??8,k??8?(k?Z)???

答案：

?

?

?

?

5、小結：

（1）探究正弦函數、余弦函數的性質的基本思路是什么？（2）求正弦函數、余弦函數的單調區間的基本步驟是怎樣的？

6、作業：

習題1.4

第4題、第5題

第三篇：正弦函數余弦函數圖象教學設計

正弦函數、余弦函數的圖象的教學設計

一、教學內容與任務分析

本節課的內容選自《普通高中課程標準實驗教科書》人教A版必修四第一章第四節1.4.1正弦函數、余弦函數的圖象。本節課的教學是以之前的任意角的三角函數，三角函數的誘導公式的相關知識為基礎，為之后學習正弦型函數 y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及運用數形結合思想研究正、余弦函數的性質打下堅實的知識基礎。

二、學習者分析

學生已經學習了任意三角函數的定義，三角函數的誘導公式，并且剛學習三角函數線，這為用幾何法作圖提供了基礎，但能不能正確應用來畫圖，這還需要老師做進一步的指導。

三、教學重難點

教學重點：正弦余弦函數圖象的做法及其特征

教學難點：正弦余弦函數圖象的做法，及其相互間的關系

四、教學目標

1.知識與技能目標

（1）了解用正弦線畫正弦函數的圖象,理解用平移法作余弦函數的圖象

（2）掌握正弦函數、余弦函數的圖象及特征

（3）掌握利用圖象變換作圖的方法，體會圖象間的聯系（4）掌握“五點法”畫正弦函數、余弦函數的簡圖 2.過程與方法目標

（1）通過動手作圖，合作探究，體會數學知識間的內在聯系（2）體會數形結合的思想

（3）培養分析問題、解決問題的能力 3.情感態度價值觀目標

（1）養成尋找、觀察數學知識之間的內在聯系的意識（2）激發數學的學習興趣（3）體會數學的應用價值

五、教學過程

一、復習引入

師：實數集與角的集合之間可以建立一一對應關系，而確定的角又有著唯一確定的正弦（或余弦）值。

這樣任意給定一個實數x有唯一確定的值sinx（cosx）與之對應，有這個對應法則所確定的函數y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函數（或余弦函數），其定義域是R。

遇到一個新的函數，我們很容易想到的就是畫函數圖象，那怎么畫正弦函數、余弦函數的圖象呢？

我們先來做一個簡弦運動的實驗，這就是某個簡弦函數的圖象，通過實驗是不是對正弦函數余弦函數的圖象有了直觀印象呢

【設計意圖】通過動手實驗，體會數學與其他的聯系，激發學習興趣。

二、講授新課

（1）正弦函數y=sinx的圖象

下面我們就來一起畫這個正弦函數的圖象

第一步：在直角坐標系的x軸上任取一點O1，以O1為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點A起把圓分成n(這里n=12)等份.把x軸上從0到2π這一段分成n(這里n=12)等份.（預備：取自變量x值—弧度制下角與實數的對應）.第二步：在單位圓中畫出對應于角0,???，,?，2π的正弦線正弦線632（等價于“列表”）.把角x的正弦線向右平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點就是正弦函數圖象上的點（等價于“描點”）.第三步：連線.用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象．

【設計意圖】通過按步驟自己畫圖，體會如何畫正弦函數的圖象。根據終邊相同的同名三角函數值相等，所以函數y=sinx,x∈[2k∏,2(k+1)∏,k∈Z且k≠0的圖象，與函數y=sinx，x∈[0,2∏)的圖象的形狀完全一致。于是我們只要將y=sinx，x∈[0,2∏)的圖象沿著x軸向右和向左連續地平行移動，每次移動的距離為2π，就得到y=sinx，x∈R的圖象.【設計意圖】由三角函數值的關系，得出正弦函數的整體圖象。

把角x(x?R)的正弦線平行移動，使得正弦線的起點與x軸上相應的點x重合，則正弦線的終點的軌跡就是正弦函數y=sinx的圖象.（2）余弦函數y=cosx的圖象

探究1：你能根據誘導公式，以正弦函數圖象為基礎，通過適當的圖形變得到余弦函數的圖象？

??根據誘導公式cosx?sin(x?),可以把正弦函數y=sinx的圖象向左平移

單位即得余弦函數y=cosx的圖象.y1-6?-5?-4?-3?-2?-?o-1y1-6?-5?-4?-3?-2?-?-1?2?3?4?5?6?xy=sinxy=cosx?2?3?4?5?6?x 正弦函數y=sinx的圖象和余弦函數y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．

【設計意圖】通過正弦函數與余弦函數的相互關系，在類比的過程中畫出余弦函數的圖象，體會數學知識間的聯系，以及類比的數學思想。思考：在作正弦函數的圖象時，應抓住哪些關鍵點？ 【設計意圖】通過問題，為下面五點法繪圖方法介紹做鋪墊 2．用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖（描點法）： 正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)((3?,-1)(2?,0)2?,1)(?,0)2余弦函數y=cosx x?[0,2?]的五個點關鍵是哪幾個？(0,1)((3?,0)(2?,1)2?,0)(?,-1)2只要這五個點描出后，圖象的形狀就基本確定了．因此在精確度不太高時，常采用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖．

3、講解范例

例1 作下列函數的簡圖

(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，（2）y=-COSx 【設計意圖】通過兩道例題檢驗學生對五點畫圖法的掌握情況，鞏固畫法步驟。

探究1． 如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到

（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的圖象；（2）y=sin(x-π/3)的圖象？

小結：函數值加減，圖像上下移動；自變量加減，圖像左右移動。探究2．

如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到y＝-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象？ 小結：這兩個圖像關于X軸對稱。探究3． 如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的圖象，通過圖形變換（平移、翻轉等）來得到y＝2-cosx，ｘ∈〔0，２π〕的圖象？

小結：先作 y=cos x圖象關于x軸對稱的圖形，得到 y＝-cosx的圖象，再將y＝-cosx的圖象向上平移2個單位，得到 y＝2-cosx 的圖象。探究4．

不用作圖，你能判斷函數y=sin(x3π/2)= sin[(x-3π/2)+2 π] =sin(x+π/2)=cosx 這兩個函數相等，圖象重合。

【設計意圖】通過四個探究問題，對畫圖法以及正弦余弦函數及其圖象的性質有更深刻的認識。

4、小結作業

對本節課所學內容進行小結

【設計意圖】在梳理本節課所學的知識點歸納的過程中進一步加深對正弦函數、余弦函數圖象認知。培養學生歸納總結的能力，自主構建知識體系。布置分層作業

基礎題A題，提高題B題

【設計意圖】將課堂延伸，使學生將所學知識與方法再認識和升華，進一步促進學生認知結構內化。注重學生的個體發展，是每個層次的學生都有所進步。

第四篇：高一數學《正切函數的圖象和性質(一)》教案

湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第四章 三角函數

正切函數的圖象和性質

（一）教學目標

（一）知識與技能目標

（1）了解正切函數的圖像特征；（2）初步了解正切函數的性質．

（二）過程與能力目標

了解利用正切和畫出正切函數圖像的方法．

（三）情感與態度目標

滲透數形結合思想，提高學生的數學修養． 教學重點

正切函數圖像的畫法． 教學難點

y???2是y?tanx,x?(???,)的圖像的兩條漸近線的理解． 22教學過程 復習

1.正切函數的定義？定義域？

?定義域：x ?k??(k?Z)22.正切函數是否是一個周期函數？若是，最小正周期是多少？ 周 期 ：

?tan(x??)?sin(x??)??sinx?tanx(x?R,且x?k???,k?Z)cos(x??)?cosx2

??y?tanx(x?R,且x?k??,k?Z)的周期為T??(最小正周期)2正切函數的圖象：

由于正切函數是周期函數，且它的最小正周期為π，因此可以考慮先在一個 周期內作出正切函數的圖象。正切函數周期的確定：

? 因為 y?tanx 的定義域為：{x|x?k??,(k?Z)},2

所以可以確定一個周期為(??,?).??22 作出y?tanx在區間(?,)上的圖象： 2湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第四章 三角函數

?? ???46 ?x?2??

264

根據正切函數的周期性，把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數

y?tanx(x?R,且x?k???(k?Z))的圖象, 稱“正切曲線”.2

y

3??3??? ?2222

o???x

? 正切曲線是被一組平行直線x?k??(k?Z)所隔開的無窮支曲線組成.2yo正切曲線的性質：

定義域值域周期奇偶性單調性{x|x??2R?k?,k?Z}T??tan(?x)??tanx奇函數在開區間(??22k?Z內，函數單調遞增?k?,??k?)應用：

例1.求函數y?tan(x?)的定義域.4?湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第四章 三角函數

解：令z?x?{z|z??4，那么函數y?tanz的定義域是

?2?k?,k?Z}.由x?x??4?z??2?k?,可得

?2?k???4??4?k?，??所以函數y?tan(x?)的定義域是{x|x??k?,k?Z}.44

例2.不通過求值，比較tan135?與tan138? 的大小.解：?90??135??138??270?，?3?且y?tanx在（，）上為增函數，22?tan135??tan138?.例3.寫出下列函數的單調區間： x?（1）y?tan(?);（2）y?|tanx|.26?x??解：（1）當k?????k??(k?Z)

22622?4??x?2k??(k?Z)時，即2k??33x?y?tan(?)單調遞增，262?4?,2k??)(k?Z)?所求單調區間是(2k??33??tanx,x?(k?,k??)(k?Z)?2（2）?y?|tanx|??

???tanx,x?(k??,k?)(k?Z)2??可知函數y?|tanx|的單調遞減區間為(k??,k?)(k?Z)，單調遞增區間為

2?(k?,k??)(k?Z)

2課堂小結：

1.正切函數的圖像.2.正切函數的特征與性質.作業：

1．閱讀教材第76～79頁； 2．教材第80頁習題4.10第1、2、4、5題．

第五篇：有理分式函數的圖象及性質

有理分式函數的圖象及性質

【知識要點】 1．函數y?

ax?bcx?

d

(c?0,ad?bc)dcdc

（2）值域：{y|y?

（1）定義域：{x|x??單調區間為(??,?直線x??

dc,y?

dcacb

x),(?,+?)（4）dc,ac，對稱中心為點(?)

（5）奇偶性：當a?d?0時為奇函數。（62．函數y?ax?

(a?0,b?0)的圖象和性質：

（1）定義域：{x|x?0}（2）值域：{y|y?或y?（3）奇偶性：奇函數（4）單調性：在區間+?),(上是增函數；在區間0)上是減函數（5以y軸和直線y?ax為漸近線（6）圖象：如圖所示。

3．函數y?ax?

b(a?0,b

?0)的圖象和性質：

【例題精講】 1．函數y??

1x?

1的圖象是（）

A

x?1

B

C

x?3x?

2D

x?3x?2

2．函數y?

A.y?

x?3x?2

2x?

3(x?1)的反函數是

x?3x?2

（）

(x?1)

(x?2)B.y?

x?2x?a

(x?2)C.y?(x?1)D.y?

3．若函數f(x)?的圖象關于直線y?x對稱，則a的值是（）

A.1B.?1C.2D.?2

2x?1

4．若函數f(x)?存在反函數，則實數a的取值范圍為

x?aA.a??1B.a?1C.a?

（）

D.a??

5．不等式4x?

A.(?

12,0)?（12

1x的解集為

12)?（12

（）,0)?(0,12),??)B.(-?,?

ax?b,??)C.(?,0)?(0，+?)D.(?

6．已知函數f(x)?的圖象如圖所示，則a,b,c的大小關系為2

x?c

A.a?b?cB.a?c?bC.b?a?cD.b?c?a 7．若正數a、b滿足ab?a?b?3,則ab的取值范圍是_____。8．函數y?

3xx?

4（）的值域是。的反函數的圖象關于點(?1,4)成中心對稱，則實數

9．若函數y?

a?xx?a?

1a?。

10．函數y?

e?1e?1

x

x的反函數的定義域是。

11．不等式

2x?1x?

3?1的解集是。

12．函數y?

x?xx?x?1的值域是。

13．設f(x)?x?

ax?1,x?[0,+?)。

（1）當a＝2時，求f(x)的最小值；

（2）當0＜a＜1時，判斷f(x)的單調性，并寫出f(x)的最小值。14．設函數f(x)?調性． BABDAD

331,]9．310．(?1,1)11．x??3或x?412．[?,1)443

213．解：（1）a＝2時，f（x）＝x＋＝ x＋1＋－1≥22－1，等號在x＋1＝，x?1x?1x?1

x?ax?b

(a?b?0)，求f(x)的單調區間，并證明f(x)在其單調區間上的單

7．[9,+?)8．[?

x＝2－1（∵x∈[0，＋∞））時成立．

（2）當0＜a＜1時，設x1，x2 ∈[0，＋∞），x1＜x2 ． 則f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）＋

ax2?1

－

ax1?1

a

＝（x2－x1）（1－

a

(x1?1)(x2?1)）．

∵ 0＜a＜1，∴

a

(x1?1)(x2?1)

＜1，1－

(x1?1)(x2?1)

＞0，又 x2－x1＞0，于是f（x2）－ f（x1）＝（x2－x1）（1－

a

(x1?1)(x2?1)）＞0，f（x2）＞ f（x1），f（x）是增函數． 在x＝0時，f（x）的最小值是a． 14．解：函數f(x)?

x?ax?b的定義域為(??,?b)?(?b,??)

f(x)在(??,?b)內是減函數，f(x)在(?b,??)內也是減函數

證明

f(x)

在(?b,??)內是減函數

取x1,x2?(?b,??)，且x1?x2，那么

x1?ax1?b

x2?ax2?b

f(x1)?f(x2)?

?

?

(a-b)(x2?x1)(x1?b)(x2?b)

∵a?b?0,x2?x1?0,(x1?b)(x2?b)?0 ∴f(x1)?f(x2)?0 即

f(x)

在(?b,??)內是減函數，同理可證

f(x)

在(??,?b)內是減函數。

淺 說 函 數 的 對 稱 性

函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美。本文擬通過函數自身的對稱性和不同函數之間的對稱性這兩個方面來探討函數與對稱有關的性質。

一、函數自身的對稱性探究

定理1.函數 y = f(x)的圖像關于點A(a ,b)對稱的充要條件是f(x)+ f(2a－x)= 2b

證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f(x)圖像上任一點，∵點P(x ,y)關于點A(a ,b)的對稱點P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)圖像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得證。

（充分性）設點P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0)。

故點P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)圖像上，而點P與點P‘關于點A(a ,b)對稱，充分性得征。

推論：函數 y = f(x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函數 y = f(x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數 y = f(x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f(x)= f(－x)

定理3.①若函數y = f(x)圖像同時關于點A(a ,c)和點B(b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期。

②若函數y = f(x)圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱（a≠b），則y = f(x)

是周期函數，且2| a－b|是其一個周期。

③若函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠

b），則y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期。①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ∵函數y = f(x)圖像既關于點A(a ,c)成中心對稱，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得：

f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函數y = f(x)圖像直線x =b成軸對稱，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期。

二、不同函數對稱性的探究

定理4.函數y = f(x)與y = 2b－f(2a－x)的圖像關于點A(a ,b)成中心對稱。定理5.①函數y = f(x)與y = f(2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。

②函數y = f(x)與a－x = f(a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。③函數y = f(x)與x－a = f(y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現證定理5中的③

設點P(x0 ,y0)是y = f(x)圖像上任一點，則y0 = f(x0)。記點P(x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1，y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴點P（x1，y1）在函數x－a = f(y + a)的圖像上。

同理可證：函數x－a = f(y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f(x)的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數y = f(x)的圖像與x = f(y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。

三、函數對稱性應用舉例

例1：定義在R上的非常數函數滿足：f(10+x)為偶函數，且f(5－x)= f(5+x),則f(x)一定是（）（第十二屆希望杯高二 第二試題）(A)是偶函數，也是周期函數(C)是奇函數，也是周期函數

(B)是偶函數，但不是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數

‘

解：∵f(10+x)為偶函數，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10，因此f(x)是以10為其一個周期的周期函數，∴x =0即y軸也是f(x)的對稱軸，因此f(x)還是一個偶函數。故選(A)

例2：設定義域為R的函數y = f(x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5)= 1999，那么f(4)=（）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，∴y = g-1(x－2)反函數是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,應選（C）

例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時，12

f(x)= －x，則f(8.6)= _________（第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3

例4.設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時，f(x)= x，則f(7.5)=（）(A)0.5

(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5

解：∵y = f(x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直線x = 1是y = f(x)對稱軸，故y = f(x)是周期為2的周期函數。

∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故選(B)