第一篇：《正切函數的性質和圖象》的教學設計

《正切函數的性質和圖象》的教學設計

本課例是現代信息技術與課程內容有機整合的一次有效實踐，幾何畫板軟件的應用起到了突破難點的作用；在引導學生完成性質到圖像和圖像到性質轉化的兩個關鍵環節中，充分滲透了數形結合的思想和方法；引導啟發學生積極運用觀察、思考、猜想、討論、推理、運算等多樣化的學習策略，發展了學生的計算能力、空間想象能力、自主探究能力和合作交流能力。

【所用教材】

人教A版：1.4.3正切函數的性質和圖像。

【教學資源】

教材；教參；課程標準；多媒體；投影儀；幾何畫板軟件。

【教學目標】

1.知識與技能目標：利用已學的正切函數的知識探究性質；學會畫正切函數的圖像；掌握正切函數的性質；通過函數性質到圖像和圖像到性質的轉化，體會數形結合的基本數學思想和方法。

2.過程與方法目標：通過想象圖象、描點畫出圖象、計算機軟件畫出圖象，研究函數圖象的方法有了基本的認識，也增強了想象力；體會從性質到圖象和從圖象到性質兩種研究函數的不同思路。

3.情感態度與價值觀目標：借助幾何畫板，動態演示單位圓中的正切線的變化和正切函數準確圖象，讓學生親身經歷數學研究的過程，體會探索的樂趣，增強學習數學的樂趣；獨立解答和分組討論相結合的學習方式，增強學生自主創新和團結協作的精神。

【教學重難點】

1.重點：正切函數的主要性質和圖像及畫法。

2.難點：通過性質掌握圖像特點，觀察圖像總結函數性質。

【教學方法】

主要采取類比、討論、啟發等教學方式，并借助多媒體輔助手段

【教學過程】

八、教學反思

初次閱讀這篇教材內容，只覺得教學內容少、難度小，又由于本課之前學生已學習過正余弦函數、單調性、奇偶性、周期性等內容，好像沒什么可細究的，也出不了什么新東西。但是再次詳細閱讀課本和教參后，又有了一些新的想法。

首先，正弦、余弦函數按照從函數定義到作函數圖像再到討論函數性質最后到函數模型應用的順序展開，而正切函數先利用誘導公式和單位圓討論性質，然后再利用性質作圖像，這樣做的目的是為了使學生體會可以從不同角度討論函數。通過改進呈現方式，提供直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、反思與建構等思維活動的載體，貫徹體現數學教育新理念，促進學生采取積極主動、勇于探索的學習方式進行學習。

其次，加強相關知識的聯系性，加強幾何直觀，強調數形結合的思想方法。為了更好的體現數形結合思想，教學中充分發揮單位圓和三角函數線的直觀作用，使學生形成用單位圓討論三角函數問題的意識和習慣。同時引導學生體會從正切函數的定義和幾何意義出發，發現正切函數的性質，再想象正切函數圖像的樣子，直到畫出函數圖像后，再次總結函數性質，每個環節之間的轉換都滲透著數形結合的思想方法。數形結合的思想方法是這節課的精髓。

再次，使用信息技術，符合新課程的基本要求。為了突破難點，本節適當使用了信息技術。多媒體教學的呈現方式不僅在課堂上為學生留出了更多的思考和討論的時間，還加強了知識的發生發展過程，加深了對有關概念的認識，突破了學習中可能遇到的困難。特別是幾何畫板的一步步地使用，積極引導學生學習和使用計算機及專業工具和軟件，以突破難點。

最后，加強學生學習的“過程性”，使數學思想的學習和數學能力培養落到實處。通過學生對五個思考題的各個擊破，得出了主要性質；通過學生想象圖象、描點畫出圖象，計算機軟件畫出圖象，對圖象有了深刻的印象，也增強了想象力；通過兩組討論和探究，深化知識，升華思想。教師提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行了具體示范、引導，學生或看、或說、或想、或聽、或寫、或畫完成了每個過程。

【參考資料】

[1]《數學（A版）教師培訓手冊》，人民教育出版社.（作者單位：甘肅省嘉峪關市第一中學）

第二篇：《正切函數的圖象與性質》教學設計

《正切函數的圖象與性質》教學設計

教學年級。遼河油田第二高級中學高一學年 版本：人教B版 課時：第10課時

一、教學目標

知識與技能：掌握正切函數的性質與圖象，會應用正切函數的性質解決問題 過程與方法：類比正弦函數的性質和圖象得出正切函數的性質和圖象，體會類比與歸納的應用

情感態度與價值觀：類比不同的函數得出不同的性質，學會分析問題，透過現象看本質

二、教學重點與難點

重點：正切函數的圖象和性質 難點：利用正切線畫正切曲線

三、教學方法：啟發、引導自學探究

四、教學流程(一)導入新課

1、正弦函數、余弦函數的圖象與性質及作圖過程

作圖利用描點法、采用幾何方法，平移正弦線作正弦函數圖象 教學處理：學生回顧正弦函數的研究過程。

設計意圖：通過對正弦函數研究過程的回顧，為研究正切函數的圖象與性質做好準備。

（二）新課講析

2、給出正切函數定義，探究正切函數的圖象并研究正切函數的性質。

教學處理：學生自主探究，交流結果，分析方法，教師引導學生歸結作圖的基本方法與研究正切函數性質的基本方法。設計意圖：學生通過對正弦函數的學習，學會利用學過的知識與方法通過類比的方式去解決具體問題。

3、歸納圖象、性質

教學處理：歸納正切函數的性質

設計意圖：使學生掌握正切函數的圖象與性質。

4、例題：求函數y?tan??x???的定義域、周期、和單調區間

???23?教學處理：學生自主探究，歸納方法與結論。

設計意圖：學生利用正切函數的圖象自主研究形如y?Atan5、比較大小

(1)tan1380與tan143(2)tan??13??與tan??17??

????0??x???的性質。

?4??5?教學處理：學生獨立思考，歸納方法

設計意圖：應用正切函數的性質解決具體問題

（三）課堂教學檢測

1、求函數y??tan????x??6???2的定義域

2、求函數y?tan??2x????,x?5??12?k?2?k?Z?的最小正周期 3?

3、比較大小

（1）tan??????與5??tan????3?? 7??(2)tan15190與tan14930

4、寫出下列不等式成立的x的集合

（1）1?tanx?0（2）tanx?3?0

（四）課堂小結：掌握研究正切函數的方法及正切函數的圖象與性質。

第三篇：正切函數的性質與圖象 教學設計

《1.4.3 正切函數的性質與圖象》教學設計

一、教材內容分析

本節課內容是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版必修4第一章《三角函數》1.4《三角函數的圖象與性質》中的第1.4.3節《正切函數的性質與圖象》，屬于本小節第四課時.第一課時我們學習了“正弦函數、余弦函數的圖象”，第二課時學習了“正弦函數、余弦函數的性質中的周期性”，第三課時學習了“正弦函數、余弦函數的性質中的奇偶性、單調性”，學生通過前面幾節內容的學習，對研究函數的方法有了一個更加清晰的認識，即先給出函數的定義，然后研究函數的圖象，最后得到函數的性質，事實上這種研究方法是我們在一直采用的方法.有了前面的研究經驗，加之有些函數的圖象并不好畫，因此本節我們從一個新的角度研究正切函數,先研究它的性質，在對性質有了一個初步了解后，再來研究函數的圖象，最后利用圖象驗證我們之前所得到的性質，本節給出了研究函數的另一種方法.例題的編寫意圖：這是一個與復合函數有關的問題，是對正切函數性質的深入應用.學生在求定義域時容易想到換元法，讓“新元”落在正切函數的定義域內解出自變量x的取值范圍；關于該函數的周期學生有了前面求正弦型函數周期的經驗，利用類比的方法猜想T??，接下來需要利用周期函數的定義驗證這一猜想；本例題比較難處理的地方是單調?1?x?)，x?[?2?,2?]的增區間的求法，這使得學生對方法的接受變得自23性，教材為了化解難點，在必修一研究了復合函數單調性的判斷方法，在上一節的例5給出了函數y?sin(然.課后習題正切函數的性質及其圖象的應用，針對性強.二、學情分析

學生在初中學習了簡單的一次函數、二次函數、反比例函數，進入高中以后又學習了指數函數、對數函數、冪函數，還有前兩節學習的正弦函數、余弦函數，我們在學習這些函數的時候都是先研究函數的圖象，在由圖象得到函數的性質.但是在學習過程中，他們會遇到某些函數的圖象并不容易直接作出的情況，此時就需要有一種新的研究方法出現，即本節的研究方法，先研究函數的性質再研究函數圖象.有了前面三節課的研究經驗，學生容易想到從兩域三性的角度研究.首先通過探究（幾何畫板演示）獲得正切函數的性質，接下來采用類比的方法利用正切線作正切函數在(???,)上的圖象，結合正切函數的周期性得到正切22函數在整個定義域上的圖象，最后利用圖象討論函數的性質.學生在例題的接受上可能會存在較大的困難，結合之前學習的正弦型函數的周期及單調區間的求法再來理解本例題會變得更加容易.三、教學目標分析

知識與技能：

1.理解并掌握正切函數的定義域、周期性、奇偶性、單調性和值域等基本性質及正切函數的圖象；

ππ 2.了解用正切線作正切函數在(-,)內的圖象.22過程與方法：

1.通過探究（觀察-猜想-驗證）獲得正切函數的性質,體會數形結合的數學思想； 2.利用類比的方法獲得正切函數的圖象； 3.講解例題，總結方法，鞏固練習.情感態度與價值觀：

1.通過幾何畫板演示，引發學生的學習興趣；

2.創設問題情境，激發學生分析、探求的學習態度，增強學生的探究意識；

四、教學重點、難點分析

教學重點：

1.正切函數的性質的探究；

2.利用正切線作正切函數的圖象.教學難點：

正切函數性質的應用（例題）.五、教學支持條件分析

為了更加直觀地突出重點、突破難點，激發學生的學習興趣，本節課以幾何畫板為依托，對正切函數的性質逐一探究，并利用正切線作出正切函數的圖象，讓學生體會“類比”的方法及“數形結合”的數學思想.六、教學方法分析

本節采用引導探究、講練結合的教學方法，通過幾何畫板演示讓學生發現規律、提出猜想、驗證猜想，經歷問題解決的過程，體會研究問題的方法.通過老師分析例題，加強學生分析問題的能力.七、教學過程

（一）復習引入

1、研究正弦函數、余弦函數的方法是什么？ 師生活動：共同回憶之前研究函數的方法.設計意圖：之前研究函數的方法是先給出定義然后研究圖象，再由圖象得函數的性質.本節采用的研究方法是先研究性質再研究圖象，提供了研究函數的另一種方法.2、正切函數是如何定義的？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生回憶正切函數的定義.設計意圖：為接下來性質的探究做好準備.（二）新課講解

探究

（一）正切函數的性質

知識探究1 正切函數的定義域

問題1 研究一個函數，我們需要先考慮它的什么性質？

師生活動：教師利用幾何畫板演示角x終邊的情況，學生思考x的取值范圍并得出結論，教師在幾何畫板上展示定義域在x軸上的分布情況.設計意圖：研究函數需優先考慮定義域，學生觀察圖象不難得出定義域關于原點對稱，為后面研究函數的奇偶性作準備.知識探究2 正切函數的周期性 問題2 正切函數是周期函數嗎？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、思考并給出初步結論，利用誘導公式驗證自己的結論.設計意圖：1.通過學生自主觀察、發現，激發學生的研究興趣.2.為探究

（二）作正切函數的圖象作鋪墊.知識探究3 正切函數的奇偶性 問題3 正切函數具有奇偶性嗎？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、思考并給出初步結論，利用誘導公式驗證自己的結論.設計意圖：1.復習判斷函數奇偶性的方法.2為探究

（二）作準備.知識探究4 正切函數的單調性 問題4 正切函數的單調性如何？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、分析、給出結論

設計意圖：1.通過層層設問，獲得正切函數單調區間的表示形式，明確函數圖象的特征，為畫函數圖象作準備.2.復習正切線的定義，為接下來的研究作鋪墊.知識探究5 正切函數的值域 問題5 正切函數的值域是什么？

師生活動：教師利用幾何畫板演示，學生觀察、分析、給出結論

設計意圖：通過幾何畫板演示明確函數的值域，并強調正切函數沒有最值.探究

（二）利用正切線作正切函數的圖象

問題6 通過對性質的研究，你認為我們應該如何作出正切函數的圖象？ 師生活動：教師展示研究成果（五條性質），學生思考.設計意圖：讓學生明確：欲研究正切函數在定義域內的圖象，只需研究它在一個周期內的圖象，結合奇偶性只需研究(???,)上的圖象.22問題7 如何作出正切函數在(???,)上的圖象？ 22師生活動：教師利用幾何畫板演示“利用正切線作正切函數圖象”的過程，學生觀察、回憶、對比，獲得圖象的直觀認識.設計意圖：1.讓學生類比正弦線作正弦函數圖象的方法，作出正切函數在(???,)上的圖.2.22體會數形結合的數學思想.問題8 如何得到正切函數的圖象？

師生活動：教師演示平移后的圖象，學生觀察獲得對圖象的整體認識.設計意圖：1.再一次體會圖象的特征，從圖象的角度驗證函數的性質；2.給出正切曲線的定義.問題9 正切函數的對稱中心是什么？

師生活動：教師演示正切曲線繞(k?,0),k?Z和(現與原圖象重合.設計意圖：給出正切函數對稱中心的表達形式.?2?k?,0),k?Z旋轉180?，學生觀察發

（三）例題講解

例1 已知函數y?tan(?2x??3)

（1）求出函數的定義域、周期和單調區間；（2）試作出函數的簡圖.師生活動：教師分析題目特點，明確解題方法.設計意圖：加強對正切函數性質的應用

練習：求函數y?tan(1?x?)的定義域、周期和單調區間.24師生活動：學生練習，教師巡視，展示學生的學習成果.設計意圖：加強對方法的使用，掌握這類題的解法,鞏固正切函數的性質.（四）課堂總結

1.正切函數的性質： 2.正切函數的圖象： 3.數學思想與方法：

（五）作業布置與思考

1.作業：教材46頁A組：6,7,9 2.思考：（1）如何證明正切函數的最小周期為?？

（2）如何證明正切函數在(???,)上是增函數？

第四篇：高中數學教案：正切函數的圖象和性質

正切函數的圖象和性質

（一）教材分析：

學習正切函數的圖象和性質，主要包括：定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性等，以及具體的應用。

（二）素質教育目標： 1.知識目標：

（1）用單位圓中的正切線作正切函數的圖象；（2）用正切函數圖象解決函數有關的性質； 2.能力目標：

（1）理解并掌握作正切函數圖象的方法；

（2）理解用函數圖象解決有關性質問題的方法； 3.德育目標：培養研究探索問題的能力；

（三）教學三點解析：

1.教學重點：用單位圓中的正切線作正切函數圖象； 2.教學難點：性質的研究；

3.教學疑點：正切函數在每個單調區間是增函數，并非整個定義域內的增函數；

（四）教學過程設計 1．設置情境

前面我們研究了正、余弦函數的圖象和性質，但常見的三角函數還有正切函數，今天我們來探討一下正切函數的圖象，以及它具有哪些性質。2．探索研究

由研究正、余弦函數的圖象和性質的方法引出正切函數的圖象和性質。下面我們也將利用單位圓中的正切線來繪制y?tanx圖象．

（1）用正切線作正切函數圖象

1分析一下正切函數y?tanx是否為周期函數？

○? f(x??)tax?n?(?sinx?(??))?coxs?(??)xsin?x?tfaxn xcos()

∴y?tanx 是周期函數，?是它的一個周期．

我們還可以證明，?是它的最小正周期．類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數在一個周期上的圖象，下面我們利用正切線畫出函數y?tanx，x???

????,?的圖象． 22??

作法如下：

①作直角坐標系，并在直角坐標系

軸左側作單位圓．

②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．

③描點。（橫坐標是一個周期的8等分點，縱坐標是相應的正切線）．

④連線．

圖1

根據正切函數的周期性，我們可以把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數y?tanx，(x?R,x?k???2,k?Z)的圖象，并把它叫做正切曲線（如圖1）．

圖2

（2）正切函數的性質

請同學們結合正切函數圖象研究正切函數的性質：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性．

①定義域：?x|x?k??

②值域：R

③周期性：正切函數是周期函數，周期是?． ????,k?Z? 2?

④奇偶性：tan(?x)??tanx，∴正切函數是奇函數，正切曲線關于原點O對稱．

⑤單調性：由正切曲線圖象可知：正切函數在開區間(?強調：a.不能說正切函數在整個定義域內是增函數

b.正切函數在每個單調區間內都是增函數

c.每個單調區間都包括兩個象限：

四、一或二、三 3．例題分析

【例1】求函數y?tan(x??2?k?,?2?k?),k?Z內都是增函數．

?4)的定義域．

分析：我們已經知道了y?tanz的定義域，那么y?tan(x??4)與y?tanz有什么關系呢？令z?x??4，我們把y?tan(x??4)說成由y?tanz和z?x??4復合而成。此時我們稱y?tan(x??4)為復合函數，而把y?tanz和z?x??4為簡單函數

解：令z?x??4，那么函數y?tanz 的定義域是?z|z??????k?,k?Z? 2?

由 x??4?z?k???2，可得 x?k???4

所以函數y?tan(x??4)的定義域是{x|x?k???4,k?Z}

解題回顧：這種解法可稱為換元法，因此復合函數可通過換元法來求得。

練習1：求函數y?tan(2x?

【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個正切函數值的大小：

（1）與

；

?4)的定義域。（學生板演。）（2）tan(?11?13?)與tan(?)． 45分析：比較兩個正切函數值的大小可聯想到比較兩個正、余弦函數值的大小。

比較兩個正、余弦函數值的大小是利用函數的單調性來比較。注意點是應把相應的角化到正或余弦函數的同一單調區間內來解決．類比得到比較兩個正切函數值的大小的解法

解：（1）?90?167?173?180

又 ∵y?tanx，在(90?,270?)上是增函數

∴tan167?tan17（2）∵tan(???????11?11??)??tan?＝tan 44tan(?13?13?2?)??tan?tan 555又 ∵0＜?2??????＜＜，函數y?tanx，x???,? 是增函數，542?22?2?11?13?)?tan(?)． 即tan(?54∴ tan?4＜ tan解題回顧：比較兩個正切型實數的大小，關鍵是把相應的角誘導到y?tanx 的同一單調區間內，利用y?tanx 的單調遞增性來解決．

練習2：比較大小：

(1)tan138?_____tan143?（學生口答）（＜）(2)tan(?1317?)_____tan(??)（學生板演）（＞）45【例3】求f(x)?tan2x的周期

3．總結提煉

（1）這節課我們采用類比的思想方法來學習正切函數的圖象和性質

（2）正切函數的作圖是利用平移正切線得到的，當我們獲得一個周期上圖象后，再利用周期性把該段圖象向左右延伸、平移。

（3）正切函數的性質．

4.布置作業：作業：蘇大資料“12.正切函數的圖象與性質”.

第五篇：高一數學《正切函數的圖象和性質(一)》教案

湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第四章 三角函數

正切函數的圖象和性質

（一）教學目標

（一）知識與技能目標

（1）了解正切函數的圖像特征；（2）初步了解正切函數的性質．

（二）過程與能力目標

了解利用正切和畫出正切函數圖像的方法．

（三）情感與態度目標

滲透數形結合思想，提高學生的數學修養． 教學重點

正切函數圖像的畫法． 教學難點

y???2是y?tanx,x?(???,)的圖像的兩條漸近線的理解． 22教學過程 復習

1.正切函數的定義？定義域？

?定義域：x ?k??(k?Z)22.正切函數是否是一個周期函數？若是，最小正周期是多少？ 周 期 ：

?tan(x??)?sin(x??)??sinx?tanx(x?R,且x?k???,k?Z)cos(x??)?cosx2

??y?tanx(x?R,且x?k??,k?Z)的周期為T??(最小正周期)2正切函數的圖象：

由于正切函數是周期函數，且它的最小正周期為π，因此可以考慮先在一個 周期內作出正切函數的圖象。正切函數周期的確定：

? 因為 y?tanx 的定義域為：{x|x?k??,(k?Z)},2

所以可以確定一個周期為(??,?).??22 作出y?tanx在區間(?,)上的圖象： 2湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第四章 三角函數

?? ???46 ?x?2??

264

根據正切函數的周期性，把上述圖象向左、右擴展，得到正切函數

y?tanx(x?R,且x?k???(k?Z))的圖象, 稱“正切曲線”.2

y

3??3??? ?2222

o???x

? 正切曲線是被一組平行直線x?k??(k?Z)所隔開的無窮支曲線組成.2yo正切曲線的性質：

定義域值域周期奇偶性單調性{x|x??2R?k?,k?Z}T??tan(?x)??tanx奇函數在開區間(??22k?Z內，函數單調遞增?k?,??k?)應用：

例1.求函數y?tan(x?)的定義域.4?湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第四章 三角函數

解：令z?x?{z|z??4，那么函數y?tanz的定義域是

?2?k?,k?Z}.由x?x??4?z??2?k?,可得

?2?k???4??4?k?，??所以函數y?tan(x?)的定義域是{x|x??k?,k?Z}.44

例2.不通過求值，比較tan135?與tan138? 的大小.解：?90??135??138??270?，?3?且y?tanx在（，）上為增函數，22?tan135??tan138?.例3.寫出下列函數的單調區間： x?（1）y?tan(?);（2）y?|tanx|.26?x??解：（1）當k?????k??(k?Z)

22622?4??x?2k??(k?Z)時，即2k??33x?y?tan(?)單調遞增，262?4?,2k??)(k?Z)?所求單調區間是(2k??33??tanx,x?(k?,k??)(k?Z)?2（2）?y?|tanx|??

???tanx,x?(k??,k?)(k?Z)2??可知函數y?|tanx|的單調遞減區間為(k??,k?)(k?Z)，單調遞增區間為

2?(k?,k??)(k?Z)

2課堂小結：

1.正切函數的圖像.2.正切函數的特征與性質.作業：

1．閱讀教材第76～79頁； 2．教材第80頁習題4.10第1、2、4、5題．