第一篇：實際問題與一元二次方程(面積問題)教案

實際問題與一元二次方程-------面積問題 七中劉英 【教學目標】 1.知識與技能

掌握面積法建立一元二次方程的數學模型并運用它解決實際問題。

2.過程與方法

經歷將實際問題抽象為代數問題的過程，探索問題中的數量關系，并能運用一元二次方程對之進行描述。

3、情感、態度和價值觀：

通過用一元二次方程解決身邊的問題，體會數學知識應用的價值，提高學生學習數學的興趣。【教學重點與難點】

⒈重點：

根據面積與面積之間的等量關系建立一元二元方程的數學模型并運用它解決實際問題。

2．難點：

根據面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型．。

【教學方法】引導學習法

【教具準備】PPT課件。

【課時安排】1課時

【教學過程】

一、列方程解應用題的基本步驟： ①審（審題）；讀題目，找出題中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本數量關系、相等關系。②設（設元）；包括設直接未知數或間接未知數，同時用含有未知數的式子表示其他的相關量.③列（列方程）；以一二步驟為基礎，用題中的等量關系列方程 ④解（解方程）； ⑤驗（檢驗）；檢驗根的準確性及是否符合實際意義和題目中的要求 ⑥答（總結）；寫出答語作總結 二例題講解

例1.例1.如圖，某小區規劃在一個長為40米，寬為26米的矩形場地ABCD上修建如下圖所示的同樣寬的小路，其余部分種草，若使草坪面積為864平方米，求小路的寬度？

分析：這類問題的特點是修建小路所占的面積只與小路的條數、寬度有關，而與位置無關。為了研究問題方便，可分別把縱橫修建的小路移到一起（最好靠一邊）解：設道路的寬為x米，則草坪長（40-2x）米，寬（26-x）米（40-2x）（26-x）=864 化簡得：x2-46x+88=0 解得：x=2，x=44 ∵40-2x>0 26-x>0

∴0

變式訓練：上題中改變方式修小路，設小路的寬為x，用x表示草坪面積，并指出x的取值范圍。

變式一變式二

變式一：長為（40-2x)米寬為(26-2x)米 面積：（40-2x)(26-2x)平方米 x的取值范圍0＜x＜13

變式二：長為（40-x)米寬為(26-x)米 面積：（40-2x)(26-2x)平方米 x的取值范圍0＜x＜26 歸納：解答這類問題，并沒有用到什么復雜的數學知識，只是運用化歸思想，把幾條小路歸在一起，草坪歸在一起，這種做法給綜合分析問題、解決問題帶來很大方便。例2有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻長a=10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，如果圍成面積為45平方米的花圃，AB的長是多少？

分析：設花圃的寬AB為x米，BC=（22-3x）米由矩形面積列出函數解析式，根據BC的實際意義既要大于0又要不大于墻的長度.解：設花圃的寬AB為x米，BC=（22-3x）米，根據題意： ∵0＜24-3x≤10 ∴x的取值范圍：≤x＜ x?（24-3x）=45 化簡得：x2-8x+15=0 解得：x1=3，x2=5 ∴x1=3（舍去）x=5 所以花圃長為9米，寬為5米．

練習：小明家有一塊長8m、寬6m的矩形空地，準備在該空地上建造一個花園，并使花園面積為空地面積的一半，小明設計了如下的四種方案，幫小明求出圖中的各個x值．

分析：等量關系

（1）花園面積=矩形面積的一半（2）空白地方=矩形面積的一半

三、小結：

1、解面積問題的應用題時，要注意將不規則圖形分割成或組合成規則圖形，再根據幾何圖形的面積以及它們之間的數量關系來列方程，因此畫出符合題意的圖形，有助于解題。

2、要仔細審題，理解題意中的已知條件，并結合實際，正確決定一元二次方程兩個根的取舍問題。

第二篇：實際問題與一元二次方程教案

教學過程

〖活動1〗 問題 通過上節課的學習，大家學到了哪些知識和方法？ 教師提出問題，學生回憶，選一位同學作答，其他同學補充.在本次活動中，教師應重點關注：（1）學生對列方程解應用問題的步驟 是否清楚；（2）學生能否說出每一步驟的關鍵和應注意問題.（活動1為學生創設了一個回憶、思考的情景，又是本課一種很自然的引入，為本課的探究活動做好鋪墊）.〖活動2〗 問題 要設計一本書的封面，封面長27cm ,寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）.（1）本題中有哪些數量關系？

（2）正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的數量關系選取未知數？（4）列方程并得出結論.（5）反思解決問題的關鍵是什么？

教師展示課件，教師提出問題（1）學生分析，請一位同學回答，教師在題目中指出數量關系.教師提出問題（2）學生思考，請一位同學回答，可舉簡單例子說明，最后引導學生得出正中央矩形的長寬比是9︰7.問題（1）（2）都是幫助學生更好的理解題意，為后面的解題做以鋪墊.教師提出問題（3）學生分組討論，選代表上臺演示、回答，每位同學要著重分析對題目中的數量關系的處理方法.問題（3）是活動2的中心環節，在本次活動中，教師應重點關注：（1）學生對幾何圖形的分析能力；（2）學生在未知數的選擇上，能否根據情況，靈活處理；（3）在討論中能否互相合作；（4）學生回答問題時的語言表達是否準確.學生充分的討論，得出多種不同的方法，激發學生的學習熱情，使學生體會解決問題的方法多樣性.為活動3埋下一個伏筆.教師提出問題（4）學生分組，分別按問題三中所列的方程來解答，選代表展示解答過程.教師提出問題（5）學生充分的討論，豐富解題經驗.〖活動3〗某校為了美化校園,準備在一塊長32米,寬20米的長方形場地上修筑若干條寬度相同的道路,余下部分作草坪,并請全校同學參與設計,現在有兩位學生各設計了一種方案(如圖),根據兩種設計方案各列出方程,求圖中道路的寬分別是多少?使圖(1),(2)的草坪面積為540米2.教師展示課件，請一位同學朗讀題目.教師提出問題，學生回答方案1，學生通過探究與討論，活躍了解題思路.教師提出方案（2）學生思考.因為有活動2的基礎，選一位同學回答這一組問題即可，如有不完全的地方，教師適當補充.教師做屏幕演示，特別提醒學生：剩余草坪的面積，是否就是原草坪的面積減去2條路的面積？以引導學生注意道路重疊部分的處理.活動2是針對活動2的鞏固性練習.《思考》：能不能把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些？ 學生分組討論，教師指導.引領學生 討論后請一位同學回答.教師引領學生發現兩個圖形都存重疊部分，但除此之外的剩余部分，第一個圖是一個完整的矩形，易于表示；而第二個圖中分為4塊，所以不容易表示.《思考》是活動3的中心環節，以圖形對比的問題為 引導，通過對比兩個圖形的聯系與區別，啟發學生方案1為模型，構建草坪問題的解題思路.學生分組討論，畫圖，上臺演示.教師與學生一起評價，總結圖形變換的基本原則.在本次活動中，教師應重點關注：（1）學生的學習效果；（2）使學生充分體會圖形變換的靈活性；（3）學生對圖形的觀察、聯想能力；（4）教師要強調圖形變換中圖形改變、位置改變、關鍵量不變的原則.在學生充分的思維活動之后，學生會自然產生動手實踐的欲望，教師可以給學生一定的空間去發揮想象，同時也要注意對圖形變換的指導，可以對部分不太合適的答案也進行一下點評.〖活動4〗 問題 通過本課的學習，大家有什么新的收獲和體會？

〖活動5〗當堂測試

布置作業： 教科書53頁，習題21.3第5、8題;教科書58頁，復習題21第7、10題，教師應重點關注：

第三篇：實際問題與一元二次方程

實際問題與一元二次方程

（一）-------傳播問題和比賽問題

列方程解應用題的一般步驟：（1）__________（2）__________（3）__________（4）__________（5）__________（6）__________。

1、有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有

點121人患了流感，（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個

人？

（2）如果按照這樣的傳染速度，三輪傳

染后有多少人患流感?

2、有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有

100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數是_________，如果不及時控制，第三輪將又有_________人被傳染？

3、某種植物的主干長出若干數目的枝干，每個枝干又長出相同數目的小分支，若小分支、枝干和主干的總數是73，則每個枝干長出_________個分支？

4、某生物實驗室需培養一群有益菌。現有

60個活體樣本，經過兩輪培植后，總和達到目24000個，其中每個有益菌每一次可分裂出若干個相同數目的有益菌。（1）每輪分裂中平均每個有益菌可分裂

出多少個有益菌？、（2）按照這樣的分裂速度，經過三輪后

有多少個有益菌？

5、（1）參加一次足球比賽的每兩隊之間都

進行兩次比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？

（2）參加一次籃球比賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共要比賽15場，共有多少個隊參加比賽？

6、生物興趣小組的同學將自己制作的標本

向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，則該興趣小組共有多少名同學？

7、在某次聚會上，每兩個人都握了一次手，所有人共握手10次，則有多少個人參加這次聚會？

8、某航空公司有若干個飛機場，每兩個飛

機場之間都開辟一條航線，一共開辟了10條航線，則這個航空公司共有飛機場多少個？

9、（1）兩個相鄰偶數的積是168，求這兩個偶數。（2）兩個連續偶數的和為6和8，則這兩個連續偶數是________。

第四篇：一元二次方程實際問題

例3．某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，?據市場分析，?若每千克50元銷售，一個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產品情況，請解答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤．

（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關系式．

（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少?

分析：（1）銷售單價定為55元，比原來的銷售價50元提高5元，因此，銷售量就減少5×10kg．

（2）銷售利潤y=（銷售單價x-銷售成本40）×銷售量[500-10（x-50）]

（3）月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過10000=250kg，在這個提前下，40

?求月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少．

解：（1）銷售量：500-5×10=450（kg）；銷售利潤：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水產品不超過10000÷40=250kg，定價為x元，則（x-40）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60

當x1=80時，進貨500-10（80-50）=200kg<250kg，滿足題意．

當x2=60時，進貨500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

例4.某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．

分析：設這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變為1000+2000x·80%，其它依此類推．解：設這種存款方式的年利率為x

則：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2（不符，舍去），x2=

答：所求的年利率是12．5%．

1=0.125=12.5% 8

第五篇：實際問題一元二次方程

22.3《實際問題與一元二次方程(2)》學案

課型：上課時間：課時：

學習目標：

能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型.學習過程：

一、自主學習:

（一）復習鞏固：

1、某商店銷售一批服裝，每價成本價100元，若想獲得25%，這種服裝的售價應為_______________元。

2、某商品原價a元，因需求量大，經營者將該商品提價10%，后因市場物價調整，又降價10%，降價后這種商品的價格是_______________。

（二）、歸納總結：

1、有關利率問題公式：利息=本金×利率×存期本息和=本金+利息

2、有關商品利潤的關系式：（1）利潤=售價－進價

（2）利潤率= 利潤售價?進價（3）售價=進價（1+利潤率）?進價進價

（三）、自我嘗試：

某商場禮品柜臺春節期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，?商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元?

（四）例題選講

某商場禮品柜臺春節期間購進甲、乙兩種賀年卡，甲種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，乙種賀年卡平均每天可售出200張，每張盈利0.75元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，調查發現，如果甲種賀年卡的售價每降價0.1元，那么商場平均每天可多售出100張；如果乙種賀年卡的售價每降價0.25元，?那么商場平均每天可多售出34?張．?如果商場要想每種賀年卡平均每天盈利120元，那么哪種賀年卡每張降價的絕對量大．

二、課堂檢測：

1．一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．一個產品原價為a元，受市場經濟影響，先提價20%后又降價15%，現價比原價多_______%．

3．一個容器盛滿純藥液63升，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，?第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補滿，這時容器內剩下的純藥液是28升，設每次倒出液體x升，?則列出的方程是________．

4．上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月份利率為200萬元，九月份的利潤為288萬元，那么哪個商場利潤的年平均上升率較大?

5．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，?現準備多種一些桃樹以提高產量，試驗發現，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，?如果要使產量增加15.2%，那么應多種多少棵桃樹?

6.某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，?據市場分析，?若每千克50元銷售，一個月能售出500kg，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產品情況，請解答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算銷售量和月銷售利潤．

（2）設銷售單價為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關系式．

（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應為多少?

三、布置作業

一、選擇題

1．一個小組若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，則這個小組共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．某一商人進貨價便宜8%，而售價不變，那么他的利潤（按進貨價而定）可由目前x增加到（x+10%），則x是（）．

A．12%B．15%C．30%D．50%

3．育才中學為迎接香港回歸，從1994年到1997年四年內師生共植樹1997棵，已知該校1994年植樹342棵，1995年植樹500棵，如果1996年和1997年植樹的年增長率相同，那么該校1997年植樹的棵數為（）．

A．600B．604C．595D．605

二、填空題

1．一個產品原價為a元，受市場經濟影響，先提價20%后又降價15%，現價比原價多_______%．

2．甲用1000元人民幣購買了一手股票，隨即他將這手股票轉賣給乙，獲利10%，乙而后又將這手股票返賣給甲，但乙損失了10%，?最后甲按乙賣給甲的價格的九折將這手股票賣出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

3．一個容器盛滿純藥液63L，第一次倒出一部分純藥液后用水加滿，?第二次又倒出同樣多的藥液，再加水補滿，這時容器內剩下的純藥液是28L，設每次倒出液體xL，?則列出的方程是________．

三、綜合提高題

1．上海甲商場七月份利潤為100萬元，九月份的利率為121萬元，乙商場七月份利率為200

萬元，九月份的利潤為288萬元，那么哪個商場利潤的年平均上升率較大?

2．某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，?現準備多種一些桃樹以提高產量，試驗發現，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，?如果要使產量增加15.2%，那么應多種多少棵桃樹?

3．某玩具廠有4個車間，某周是質量檢查周，現每個車間都原有a（a>0）個成品，且每個

車間每天都生產b（b>0）個成品，質量科派出若干名檢驗員周一、?周二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產的所有成品，然后，周三到周五檢驗另外兩個車間原有的和本周生產的所有成品，假定每名檢驗員每天檢驗的成品數相同．

（1）這若干名檢驗員1天共檢驗多少個成品?（用含a、b的代數式表示）

（2）若一名檢驗員1天能檢驗

4b個成品，則質量科至少要派出多少名檢驗員? 5