第一篇：高中數學必修三 第三章3.3幾何概型教學設計

高中數學必修三 第三章3.3幾何概型教學設計

一，教材分析

本節課是新教材人教版必修3第三章第三節的第一課，它在課本中的位置排在古典概型之后，在概率的應用之前.我認為教材這樣安排的目的，一是為了體現幾何概型（3.31）和古典概型的區別和聯系，在比較中鞏固這兩種概型；并引入了均勻隨機數的產生（3.32）二是為解決實際問題提供一種簡單可行的概率求法，在教材中起承上啟下的作用.教材首先通過實例對比概念給予描述,然后通過均勻隨機數隨機模擬的方法的介紹,給出了幾何概型的一種常用計算方法.與本課開始介紹的P(A)的公式計算方法前后對應,使幾何概型這一知識板塊更加系統和完整.這節內容中的例題既通俗易懂,又具有代表性,有利于我們的教與學生的學.教學重點是幾何概型的計算方法,尤其是設計模型運用隨機模擬方法估計未知量;教學難點是突出用樣本估計總體的統計思想,把求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題.二，學情分析

通過最近幾年的實際調查發現，學生在學習本節課時特別容易和古典概型相混淆，把幾何概型的“無限性”誤認為古典概型的“有限性”.究其原因是思維不嚴謹，研究問題時過于“想當然”，對幾何概型的概念理解不清.因此我認為要在幾何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解決幾何概型的問題時，幾何度量的選擇也是需要特別重視的，在實際授課時，應當引導學生發現規律，找出適當的方法來解決問題.前面學生在已經掌握一般性的隨機事件即概率的統計定義的基礎上，又學習了古典概型。在古典概型向幾何概型的過渡時，以及實際背景如何轉化為長度比、面積比、體積比時，會有一些困難。但只要引導得當，理解幾何概型，完成教學目標，是切實可行的。根據學生的狀況及新課程標準，對教材作了如下處理：開頭的兩個問題，學生獨立思考，說出結果，師生共同糾正。之后的探究處理成演示試驗，以強化數學知識實際背景與形成過程，便于激發學生的學習興趣，加深對知識的理解與應用。例題、習題的選用，盡可能選用與日常生活息息相關的例子。考慮到突出重點和化解難點的需要，在練習環節根據教材和學生的實際，-1 – 適當改造和增補例題，并設計成不同形式，逐步提高思維的層次，使一般學生都能熟練掌握要求的內容，學有余力的學生能得到進一步的加深。三，教學目標

1．知識目標

①通過探究，讓學生理解幾何概型試驗的基本特征，并與古典概型相區別； ②理解并掌握幾何概型的定義；

③了解幾何概型的概念及基本特點；熟練掌握幾何概型中概率的計算公式；會進行簡單的幾何概率計算.2．過程與方法：

（1）利用ＰＰＴ讓學生從熟悉的圖片中產生對問題的積極思考。

（2）經歷思維，探究知識的建構過程，并在師生、生生的交流與思維的碰撞的過程中，學生發現了幾何概型計算方法。

（3）教師例題引導，學生獨立完成練習并由小組交流推薦回答，提高表達能力。（4）鞏固知識形成解題方法。3．情感目標：

①讓學生了解幾何概型的意義，加強與現實生活的聯系，以科學的態度評價身邊的一些隨機現象；

②通過學習，讓學生體會生活和學習中與幾何概型有關的實例，增強學生解決實際問題的能力；同時，適當地增加學生合作學習交流的機會，培養學生的合作能力.4.能力目標：

培養學生的分析能力和抽象概括能力；滲透轉化、數形結合等思想方法；提高解決實際問題的能力

四．教學重點：

正確理解幾何概型的定義、特點；掌握幾何概型中概率的計算公式；會進行簡單的幾何概率計算.五，教學難點：

①根據古典概型與幾何概型的區別，來判斷一個試驗是否為幾何概型②幾何概型的應用 , 將求未知量的問題轉化為幾何概型求概率的問題，準確確定幾何區域D和與事件A對應的區域d，并求出它們的測度。六．教學方法：

根據上面對教材的分析，并結合學生的認知水平和思維特點，本節課我采用以下教學方法.– 教法方面：采用啟發式、討論式以及講練結合的方式，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發現、分析和解決問題.學法方面：在引導學生分析時，鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，留出思考時間和空間，讓學生去聯想、探索，從而弄清思路和解決問題.七，設計思想：

提供必要的概率統計數學基礎;激發學生的數學學習興趣，形成積極主動的學習方式;突出數學的人文價值，提高學生的數學文化品味;注重信息技術與數學課程內容的整合；學生成為課堂學習的主體，教師成為課堂上的主持人，把思考，討論，研究的時間還給學生，成為獨具慧眼的發現者，善于發現學生的長處，成為熱情的觀眾，精彩時報以掌聲，給予充分的肯定，失誤時，評論切磋，提出中肯的意見。

前面已經學習過了第二章統計和第三章概率的前兩節內容，概率是研究隨機現象規律的學科，它為應用數學解決實際問題提供了新的思想和方法，同時為統計學的發展提供了理論基礎。由于概率統計的應用性強，有利于培養學生的應用意識和動手能力，在數學課程中，加強概率統計的份量成為必然。“幾何概型”這一節就是新增加的內容，是安排在“古典概型”之后的第二類概率模型，是對古典概型內容的進一步拓展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，同時也更廣泛地滿足了隨機模擬的需要。幾何概型的關鍵是建立合理的幾何模型解決相關概率問題，通過建立基本事件與相應元素的對應，達到求解相關概率問題的目的，體現了數形結合的數學思想，是概率問題與幾何問題的一種完美結合

本節內容極能體現新課程理念，可以成為“知識與技能、過程與方法及情感態度價值觀”三個緯度目標有機融合的重要載體，從而實現三位一體的課程功能。八．教學過程：

（注意緊扣教材內容教學，以教材內容為主題，其他擴充內容為輔）

（一）創設情景，引入新課

引例1 北京奧運會圓滿閉幕，某玩具廠商為推銷其生產的福娃玩具，擴大知名度，特舉辦了一次有獎活動：顧客隨意擲兩顆骰子，如果點數之和大于10，則可獲得一套福娃玩具，問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

設計意圖：復習鞏固古典概型的特點及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊.引例2 廠商為了增強活動的趣味性，改變了活動方式，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖1）轉盤被等分成8個扇形區域.顧客隨意轉動轉盤，如果轉盤停止轉動時，指針正好指向陰影區域，顧客則可獲得一套福娃玩具.問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

–

設計意圖：

1．以實際問題引發學生的學習興趣和求知欲望； 2．以此為鋪墊，通過具體問題情境引入課題； 3．簡單直觀，符合學生的思維習慣和認知規律.問題提出后，學生根據日常生活經驗很容易回答：“由面積比計算出概率為1/4.” 提問：為什么會想到用面積之比來解決問題的呢？這樣做有什么理論依據嗎？ 學生思考，回答：“上一節剛學習的古典概型的概率就是由事件

所包含的基本事件數占試驗的基本事件總數的比例來解決的，所以聯想到用面積的比例來解決.”

教師繼續提問：這個問題是古典概型嗎？

通過提問，引導學生回顧古典概型的特點：有限性和等可能性.發現這個問題雖然貌似古典概型，但是由于這個問題中的基本事件應該是“指針指向的位置”，而不是“指針指向的區域”，所以有無限多種可能，不滿足有限性這個特點，因此不是古典概型.也就是說，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個問題，剛才我們的解答只是猜測.到這里，我們自然而然地需要一個理論依據去支持這個猜測，從而引入幾何概型的概念.（二）結合教材問題: 學生活動圖中有兩個轉盤.甲乙兩人玩轉盤游戲,規定當指針指向B區域時,甲獲勝,否則乙獲勝.同學們能在兩種情況下分別猜想甲獲勝的概率分別是多少嗎?請將你的結論先偷偷告訴同桌.學生分組做游戲:同桌二人一組(自定甲乙)玩自制如上圖轉盤.記錄勝敗次數.1、你最關心的目標是什么?(想獲勝的心理狀態)2、在字母B區域內的標準是什么?如何度量? 圓弧的長度。

– 3、可否將剛才猜想的結果用一個公式來表示?(具有幾何特征)教師活動

教師利用ＰＰＴ展示圖片。教師分析學生的觀點，師生交流，理清思路，明確概念，正確表達。體會數學來源與生活又高于生活。總結如下: 甲獲勝的概率與字母B所在扇形區域的圓弧的長度有關,而與字母B所在區域的位置無關.因為轉轉盤時,指針指向每個圓弧上的哪一點都是等可能的.只要字母B所在的扇形區域的圓弧長度不變,不管這些區域是相鄰,還是不相鄰,甲獲勝的概率是不變的.學生活動

學生結合教材130頁回答與教師的引導進行補充與改正。教師活動

針對學生體表的回答教師采用ＰＰＴ課件，在總結時關注數學語言的規范性和精確性讓學生體驗問題的幾何性。(三).幾何概型的定義： 教師活動

1、如果每個事、件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2、幾何概型的特點:(1)試驗中所有可能出現的結果(基本事件)有無限多個.2、(2)每個基本事件出現的可能性相等.學生活動

學生對定義的闡述與修正。設計意圖

檢驗學生的概括能力與自學水平，準確表達幾何概型的定義，反映數學的類比思想。學生體驗到探究的樂趣與數學表達的科學性與簡煉，體會數學化。(四).幾何概型概率的計算公式： 教師活動（板書）

學生活動

思考：

1、引例2概率如何用公式表達？

3、轉盤問題中若是改為“現在向該圓形區域內隨機地投擲一石子，求石子落在B區域內的概率？ 設計意圖

類比古典概率的計算方法，給出了計算公式，教師通過思考讓學生加深對公式的理解，特別是公式的適用范圍與問題特征，為其運用打下基礎(五)討論研究

1.幾何概型的特征：無限性，等可能性；

2.幾何概型與古典概型關系：幾何概型是在古典概型基礎上進一步的發展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸.3.判斷下列問題是不是幾何概型：

– ⑴拋擲一枚硬幣，觀察其出現正面或反面； ⑵某人射擊中靶或不中靶.分析：因為 ⑴事件結果有限；⑵不是等可能的，均不滿足定義，所以兩個都不是幾何概型.（六）教材例題講解與拓展

教材例1 某人午覺醒來,發現表停了,他打開收音機,想聽電臺報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解:設A={等待的時間不多于10分鐘}.我們所關心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內,因此由幾何概型的求概率的公式得

即“等待的時間不超過10分鐘”的概率為教材例 題2

假設你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30~7:30之間把報紙送到你家,而你父親離開家去工作的時間在早上7:00~8:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少.分析:我們有兩種方法計算事件的概率.(1)利用幾何概型的公式.(2)利用隨機模擬的方法.解法1:如圖,方形區域內任何一點的橫坐標表示送報人送到報紙的時間,縱坐標表示父親離開家去工作的時間.假設隨機試驗落在方形內任一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據題意,只要點落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報紙,即事件A發生,所以 解法2:設X,Y是0~1之間的均勻隨機數.X+6.5表示送報人送到報紙的時間,Y+7表示父親離開家去工作的時間.如果Y+7>X+6.5,即Y>X-0.5,那么父親在離開家前能得到報紙.用-6 – 計算機做多次試驗,即可得到P(A).教師引導學生獨立解答,充分調動學生自主設計隨機模擬方法,并組織學生結合教材132頁例題2展示自己的解答過程,要求學生說明解答的依據.教師總結,并明晰用計算機(或計算器)產生隨機數的模擬試驗.強調:這里采用隨機數模擬方法,是用頻率去估計概率,因此,試驗次數越多,頻率越接近概率.教材例3.如圖,在正方形中隨機撒一大把豆子,計算落在圓中的豆子數與落在正方形中的豆子數之比,并以此估計圓周率的值.解:隨機撒一把豆子,每個豆子落在正方形內任何一點是等可能的,落在每個區域的豆子數與這個區域的面積近似成正比,即 假設正方形的邊長為2,則

由于落在每個區域的豆子數是可以數出來的,所以 這樣就得到了π的近似值.另外,我們也可以用計算器或計算機模擬,步驟如下:(1)產生兩組0~1區間的均勻隨機數,a1=RAND,b1=RAND;(2)經平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;(3)數出落在圓內a2+b2<1的豆子數N1,計算(N代表落在正方形中的豆子數).可以發現,隨著試驗次數的增加,得到π的近似值的精度會越來越高.本例啟發我們,利用幾何概型,并通過隨機模擬法可以近似計算不規則圖形的面積.讓同學們結合教材例題3進行理解

接下來請同學們把講過的例題認真理解一下，部分沒有講過的教材內容請同學們先自學然后提出問題來一起探究

拓展與練習（多媒體展示）：

例1.在集合M=｛x為實數|1≤x≤10｝中，求x>3.5的概率.-7 – 分析：因為x能取的值為無限個，且每個值被取得的可能性相等，所以此問題屬于幾何概型.解：記“x>3.5”為事件A,則其幾何測度為區間長度，所以

P(A)=(3.5,10]的區間長度/[1,10]的區間長度=(10-3.5)/(10-1)=13/18.答：x>3.5的概率為13/18.例2.取一個邊長為2a的正方形及其內切圓（如圖2），隨機向正方形內丟一粒豆子，求豆子落入圓內的概率．

分析：由于是隨機丟豆子，故可認為豆子落入正方形內任一點的機會都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應等于圓面積與正方形面積的比． 解：記“豆子落入圓內”為事件A，則

P(A)=圓的面積/正方形的面積=(Пa2)/(4a2)=П/4.答：豆子落入圓內的概率為П/4．

思考練習（多媒體展示）: 練習1.如圖6,將一個長與寬不等的長方形水平放置，長方形對角線將其分成四個區域.在四個區域內涂上紅、藍、黃、白四種顏色，并在中間裝個指針，使其可以自由轉動.對于指針停留的可能性，下列說法正確的是（）

A．一樣大 B.黃、紅區域大 C.藍、白區域大 D.由指針轉動圈數確定

設計意圖：通過與引例2對比，使學生發現這兩個問題選擇的正確幾何度量應該是“角度”，而不是“面積”.而引例2之所以用面積比也能解決問題，是因為其面積比恰好等于角度比.提出問題：如何才能找到最恰當的幾何度量呢？

引導學生找問題中的“提示”.如問題3中在圓周上任意取點，因此選取弧長作為幾何度量是最恰當的方法.教材練習2.如右下圖,假設你在每個圖形上隨機撒一粒黃豆,分別計算它落到陰影部分的概率

–

教材練習1.有一杯1升的水,其中含有1個細菌,用一個小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個細菌的概率.設計意圖：

在練習1的基礎上，學生能通過練習2、3、4并結合例題１進一步明確了公式中的長度、面積、體積。本題可做為課內思考或課外同學或師生交流的問題。本題關注了“體積”

（七）課堂小結：

課堂小結：

這個工作我準備交給學生去做。讓學生自己總結：這節課你學到了什么？通過這節課你掌握了哪些方法？應該注意些什么問題？有哪些思想是在以后的學習中可以借鑒的等等，引導學生對這節課的內容加以鞏固深化.主要內容應為：1.幾何概型的特點2.幾何概型的概率公式.（八）布置作業：

請同學們課后把教材習題3.3做一下，重點是A組題，不會做的做好標記下次課提出來大家一起解決。3.公式的運用。

與教師共同總結，可以讓學生自行總結，并讓學生代表回答，教師最后用ＰＰＴ展示總結。

九，教學反思

本節課采用了類比的思維方式，讓學生明確古典概型與幾何概型的異同。在啟發式教學方式的引領下，以問題串的形式開啟學生思維之門。我認為本節課有以下五個方面做得比較成功.1．通過具體的問題情境引入，容易激發學生的學習興趣和求知欲.2．通過與古典概型對比，產生矛盾，促使學生迫切想去探求解決問題的方法.3．分解難度，將抽象的概念“解剖”，易于理解.4．問題設置層層遞進，由淺入深，有層次、有目標地解決各個難點，符合學生的學習規律.5．本節課中所體現的極限思想、類比思想、轉化思想等將會對學生的思維發展有所幫助。6.教材例題講解教細，拓展練習具有代表性，題型新穎，難度適當。十，板書設計

大體將黑板劃分為三個部分

黑板最上面最中間位置：標題：3.3幾何概型 黑板左半部分大體內容：

– 1.幾何概型概念及特征 2.幾何概型概率公式 黑板中間部分大體內容：

引例1 引例2 教材例題1例2例2例3 主要解法的步驟和說明 黑板最又部分：

打草稿 進行課后總結 課堂練習的講解 要布置的作業

0 –

第二篇：高中數學第3章概率3.3幾何概型自我檢測

3.3 幾何概型

自我檢測 基礎達標

一、選擇題

1．圓內有一內接正方形，今投射1鏢，則落入正方形內的概率是（）

?2 B． 2?11 C． D．

2?? A． 答案：B 2．在線段［0，3］上任取一點，則此點坐標不小于2的概率是（）

11 B． 3227 C． D．

A． 答案：A 3．兩根相距6 m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于2m的概率為（）

12 B． 3315 C． D． A． 答案：A 4．有1杯10升的水，其中含有1個細菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，則小杯水中含有這個細菌的概率為（）A．0.1B．0.01 C．0.001D．0 答案：B

二、填空題

5．公交車30 min一班，在車站停2min，某乘客到達站臺立即乘上車的概率是________.答案：1 156．某人午覺醒來，發覺表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，假定電臺每小時報時一次，則他等待的時間短于10min的概率為__________.答案：1 660?501=． 606 解析：設A={等待的時間不多于10分鐘}.我們所關心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于［50，60］時間段內，因此由幾何概型的概率公式得，P（A）=

三、解答題

7．現向如右圖所示的正方形內隨機地投擲飛鏢，求飛鏢落在陰影部分的概率.解：由? 得A（?6x?3y?4?0，y??1．?1，-1）.615=． 66 ∵B(1,-1),∴|AB|=1-同理，由? ∴C(1, ?x?1，2得y=.3?6x?3y?4?0，2), 325 ∴|BC|=-(-1)=.

3315525 ∴S△ABC=××=．

26336 而正方形面積為2×2=4．

2525 因此所求概率為36?．

41448．設A為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與A連結，求弦長超過半徑的概率.解：如右圖所示，|AB|=|AC|=OB（半徑），則弦長超過半徑，相當于動點落在陰影

4?OB2部分所在的扇形圓弧上.由幾何概型的概率計算公式，得P=3?.

2?OB32 答：弦長超過半徑的概率為.39．設有一均勻的陀螺，其圓周的一半上均勻地刻上區間［0，1］上的諸數字，另一半均勻地刻上區間［1，3］上的諸數字.旋轉這陀螺，求它停下時，其圓周上觸及桌面的刻度位于［0.5,1.5］上的概率.

解析：如右圖，旋轉陀螺，其圓周上任一點與桌面的接觸是等可能的，因此只要接觸點落在陰影部分，就表示圓周上觸及桌面的刻度位于［0.5,1.5］，由幾何概型求概率公式得

P=S陰S圓11(?)?r23?482?

8?r

更上一層

1．一個服務窗口每次只能接待一名顧客，兩名顧客將在8小時內隨機到達.顧客甲需要1小時服務時間，顧客乙需2小時.求兩人都不需要等待的概率.解：設顧客甲到達的時間為x，顧客乙到達的時間為y.則

0≤x≤8 0≤y≤8

無人需要等待所包含的基本事件為

y-x≥1 x-y≥2

試驗的每個結果都是等可能的，由幾何概型的條件知，只要在陰影部分就表示無人需要等待.∴P=S陰S正11?72??622?2=66.4%． 282．把長度為a的木棒任意折成三段，求它們可以構成一個三角形的概率.分析：要構成三角形，則必須滿足三角形中任意兩邊之和大于第三邊，關鍵在于確定它所包含的基本事件.解：設其中兩段的長為x、y，則所有基本事件： x>0,y>0 x+y

aaa,y<,x+y>.2221aa(?)1 P=222?=0.25．

14?a22 x<答：可構成三角形的概率是0.25．

3．從甲地到乙地有一班車在9：30到10：00到達，若某人從甲地坐該班車到乙地轉乘9：45到10：15出發的汽車到丙地去，問他能趕上車的概率是多少？

思路分析：到達乙地的時間是9.5時到10時之間的任一時刻，汽車從乙地出發的時間是9.75時到10.25時之間的任一時刻，如果在平面直角坐標系內以x軸表示到達乙地的時間，y軸表示汽車從乙地出發的時間，因為到達乙地時間和汽車從乙地出發的時間是隨機的，則隨機試驗的所有結果（x,y)是正方形內等可能的任一點，事件A（他能趕上車）發生的充要條件是x≤y，即對應正方形內陰影部分，事件A發生的概率只與陰影部分的面積有關，適用于幾何概型.解析：在平面直角坐標系內，以x和y分別表示到達乙地和汽車從乙地出發的時間，則能趕上汽車的充要條件是x≤y.而（x,y）的所有可能結果是邊長為0.5的正方形，而可能趕上車的時間由上圖中的陰影所表示.這是一個幾何概率問題.由公式得

0.52?0.252?P（A）=0.5212=0.875．

答案：能趕上車的概率為0.875．

第三篇：《幾何概型》教學設計分析

對《幾何概型》教學設計的分析

1.教學目標分析

（1）課程標準對幾何概型的要求：

【課程目標】 通過概率的教學，使學生在具體情景中了解隨機事件發生的不確定性及頻率的穩定性，了解概率的某些基本性質和簡單的概率模型，會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率，能運用實驗、計算器（機）模擬估計簡單隨機事件發生的概率；培養學生的理性思維能力和辯證思維能力，增強學生的辯證唯物主義世界觀。

【學習要求】 了解隨機數的概念和意義，了解用模擬方法估計概率的思想；了解幾何概型的基本概念、特點和意義；理解幾何概型的概率計算公式，并能運用其解決一些簡單的幾何概型的概率計算問題。

按照課程目標和教學要求，預設目標主要存在以下問題：（1）目標確立不準

預設目標指出“通過實際生活的案例，發掘出數學問題，學會用數學語言對數據進行整理、分析、計算。”而從課程目標來看這節課的主要目標不是讓學生學會用數學語言對數據進行整理、分析、計算，而應是“通過實際生活的案例，讓學生認識到幾何概型。”

（2）目標層次定位不準

課程標準中把結果性目標細化為“知識”和“技能”兩個子領域，知識分為了解、理解和應用三個層次。預設目標把幾何概型的概念定位成“理解”層次，這與課程目標是不符的。

（3）情感目標不全面

新一輪課程改革提出, 教學要改革單一的傳授和接受式的學習方式, 既要關注學生的知識與能力, 更要關注學生的情感、態度、價值觀等.預設目標中雖然設置了情感目標，但是與課程目標相比較，缺少了“培養學生的理性思維能力和辯證思維能力，增強學生的辯證唯物主義世界觀。”

（4）過程、方法目標設置較為籠統

在預設目標中過程、方法目標是“通過實際問題，教師為主導，學生為主體，由學生經過探索，自主認知，經歷“特殊到一般”的認知過程，完善認知結構，做到實際問題數學化，領會歸納推理的數學思想。”目標編寫符合課程目標的要求，使用了探索、經理等行為動詞，但是內容較為籠統，幾乎適用任何一節數學課。根據課程標準的要求和教學過程的設計，過程與方法應改為：

① 從有限個等可能結果推廣到無限個等可能結果，通過轉盤游戲問題，引入幾何概型定義和幾何概型中概率計算公式，感受數學的拓廣過程。

② 通過解決具體問題的實例感受理解幾何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判斷方法，逐步學會依據具體問題的實際背景分析問題、解決問題的能力。感知用圖形解決概率問題的方法同時使學生初步能夠把一些實際問題轉化為幾何概型，并能夠合理利用隨機、統計、化歸、數形結合等數學思想方法有效解決有關的概率問題。

2.學習任務的分析

（1）對學習任務分析不足，重點不突出

課堂教學過程是為了實現目標而展開的，確定教學重點、難點是為了進一步明確教學目標，以便教學過程中突出重點，突破難點，更好地為實現教學目標服務。因此，只有明確了這節課的完整知識體系框架和教學目標，并把課程標準、教材整合起來，才能科學確定靜態的教學重點難點。這節課從數學知識來看，既是概念課又是公式課，概念是思維的細胞，公式的的基石，只有概念了解較為深刻，公式的教學才能順利。教學的重點不是“如何計算概率”，而是要引導學生動手操作，開展小組合作學習，通過舉出大量的幾何概型的實例與數學模型使學生概括、理解、深化幾何概型的兩個特征及概率計算公式。

（2）對學習任務分析不足，難點沒有突破

幾何概型是指對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機取一點，該區域中每一點被取到的機會都一樣。事件A 理解為區域Ω的某一子區域A，如果事件A 發生的概率只與構成該事件的子區域A 的幾何度量（長度，面積或體積）成正比，而與A 的位置和形狀無關，則稱這樣的概率模型為幾何概型。

在這個概念的理解中存在著三個難點：關鍵詞“只”、“事件A 發生的概率只與構成該事件的子區域A 的幾何度量（長度，面積或體積）成正比”和”幾何度量”,因此根據定義判斷隨機事件是幾何概型對學生而言較為困難，從古典概型到幾何概型，從有限到無限的推廣，如何讓學生理解兩者內在的聯系，自然推廣，如何認識幾何度量，這是教學的重點和難點。

（3）學科知識認識不足

學科內部的矛盾是推動學科的發展的途徑之一，幾何概型是對古典概型有益的補充，幾何概型將古典概型的研究從有限個基本事件過渡研究無限多個基本事件，古典概型具備如下兩個特點：其一，所有的基本事件只有有限個;其二, 每個基本事件的發生都是等可能的.其中的第一個特點, 即要求基本事件的個數是有限的, 這不能不說是一個很大的限制, 人們當然要竭力突破這個限制, 以擴大研究范圍.一般來說, 當基本事件的個數為無限時, 會出現一些本質性的困難, 使問題不再象有限的情況下那么容易解決.所以，這節課的設計應該通過分析古典概型的局限性（只能有有限個事件），產生對無限個事件的隨機實驗研究的需求，進而引入幾何概型。

（4）思想方法挖掘不透

幾何概型的計算公式

P(A)?構成事件A的區域長度（面積或體積）試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積），與古典概型的公式在形式上是完全相同的，同屬于“比例解法”，所以解題思路也是相同的。因此教學應改抓住古典概型和幾何概型的的區別，鼓勵學生思考解決新一類概率問題的方法，積極與已學過的古典概型做對比，讓學生感受求新一類概率問題的一般方法，從而化解如何求概率的教學困惑。

（5）專業知識比較薄弱

一個好的教師必須具備淵博、深厚的專業知識，不僅要具有初等數學知識、高等數學知識還應有豐富的數學史知識。事實上, 幾何概型這部分內容的應用非常廣泛, 其中有很多非常經典的例子, 如會面問題等等.另外新教材中閱讀部分所提及的布豐(G.L.L.Buffon)投針問題, 通常被認為是幾何概型的第一個試驗的一個著名的問題，因此，在教學設計中應該把這些歷史名題貫穿于教學中。

3.教學過程的分析

優點：

從教學過程可以看出，本節課遵循“情境—問題—探究—概括—應用”的教學模式。引入是從一個轉盤游戲開始的，符合學生“研究新問題————產生內在需求——————解決新問題”的認知規律。公式探究思路清晰，教學路線明朗。在教學的過程中注重體現以學生發展為本的理念，在理解數學的內涵和外延的同時，讓學生在知識技能，過程和方法，情感、態度與價值觀等多方面得到進步和發展。

缺點：

(1)不重視概念形成的過程

概念的學習形式主要有概念的形成和概念的同化兩種。幾何概型將古典概型的研究從有限個基本事件過渡研究無限多個基本事件，幾何概型是區別于古典概型的又一概率模型。因此本節課的學習宜采用概念的形成。概念形成就是讓學生從大量同類事物的不同例證中獨立發現同類事物的本質屬性，從而形成概念，其實質是抽象出數學對象的共同本質特征的過程。具體模式如下：辨別各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上進行分析、辨認，根據事物的外部特征進行概括。

在教學過程中，應利用生活當中的實例，引導學生通過觀察分析，提取它們的共性，并通過與古典概型的比較，概括數學方法（幾何概型的概率計算公式）體現了數學教學是數學思維活動的過程教學。在歸納了幾何概型的定義及其概率公式，并且組織學生通過實驗給予驗證。據此，讓學生進一步感知數學的思想、體驗數學知識形成的過程、明確概念形成的合理性、探討數學問題解決的方法，在掌握知識的同時感受到了數學學習的樂趣和數學的應用價值。在教學過程中注重強調概念形成過程，將幾何概型概念形成的教學通過猜想驗證思想逐步讓學生自主探究，并體會概念形成的合理性。使學生能全面系統地掌握概率知識，且對于學生辯證思想的進一步形成具有良好的作用。

（2）沒有突破公式教學的難點，充分挖掘數學思想

構成事件A的區域長度（面積或體積）試驗的全部結果所構成的區域長度（面積或體積）P(A)?從學生認知角度看從學生的思維特點和教學內容看,本節內容宜與古典概型的特點、計算方法等方面進行類比.另一方面，幾何概型的計算方法與古典概型有著本質的區別，如何根據幾何概型的特征判斷隨機事件是否是幾何概型，以及計算公式中構成區域的長度、面積和體積的選擇是公式應用的難點。教學中應通過不同的實際問題或同一問題不同的解決策略，環環緊扣、突破教學難點，讓學生逐步感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數學思想與邏輯推理的數學方法。

4.例題選擇的分析

例1的設計緊緊圍繞教學難點展開，學生在辨別古典和幾何概型的過程中加深了對概念的理解。例2的設計使學生及時訓練和體會把實際問題轉化為幾何概型的方法并會用幾何概型計算公式求事件的概率，體現理論應用于實際的同時，感受數學模型思想。例題的選取與安排循序漸進，針對性較強，層次和坡度安排合理，力求使學生有效掌握知識，提高數學能力，形成良好的數學素質。但公式的鞏固和應用只有一道例題，顯得比較單一。在公式的應用中設計了使用不同測度的應用問題，以便學生深刻理解概率公式。此外，概率為0的事件可能會發生，概率為1的事件不一定會發生的練習也缺乏.5.教學方法分析

（1）本節課教學方法主要采用討論發現法 課堂上，教師讓學生用幾何畫板演示一個轉盤流戲，激發學生的學習興趣和參與積極性。提出兩個概率問題，通過教師與學生、學生與學生之間相互討論，在問題解決的過程中得出幾何概型的公式。但在教學過程設計中，感受幾何概型概念的知識的產生、發展和形成比較薄弱。

（2）本節課教學模式運用了“以問題為中心”的討論式教學模式

教學過程的設計把問題作為教學的出發點，精心設計問題情景，讓問題處于學生思維水平的最近發展區，以此激發學生的好奇心和求知欲。首先用初中學習中接觸過的轉盤游戲引入新課，然后提出兩個古典概型知識無法解決的數學問題，引出幾何概型的公式。

6、板書設計

板書是整個教學活動的綱目，課時板書設計包括分塊板書和整體板書，要突出學科特點，要充分體現教學重點、知識網點和活動導線，板書設計要做到巧妙、精煉、準確、條理清楚。布局要合理、美觀，力求多樣化。板書修改如下：

第四篇：3.3.1 幾何概型教學設計

3.3.1 幾何概型教學設計與課后反思

納雍縣第一中學 羅萬能 教學目標

1．知識目標

①通過探究，讓學生理解幾何概型試驗的基本特征，并與古典概型相區別； ②理解并掌握幾何概型的定義； ③會求簡單的幾何概型試驗的概率.2．情感目標

①讓學生了解幾何概型的意義，加強與現實生活的聯系，以科學的態度評價身邊的一些隨機現象；

②通過學習，讓學生體會生活和學習中與幾何概型有關的實例，增強學生解決實際問題的能力；同時，適當地增加學生合作學習交流的機會，培養學生的合作能力.重點難點

重點：幾何概型概念的理解和公式的運用； 難點：幾何概型的應用.只有掌握了幾何概型的概念及特點，才能夠判斷一個問題是否是幾何概型，才能夠用幾何概型的概率公式去解決這個問題.而在應用公式的過程中，幾何度量的正確選取是難點之一，要好好把握.學情分析及教學內容分析

本節課是新教材人教B版必修3第三章第三節的第一課，它在課本中的位置排在古典概型之后，在概率的應用之前.我認為教材這樣安排的目的，一是為了體現和古典概型的區別和聯系，在比較中鞏固這兩種概型；二是為解決實際問題提供一種簡單可行的概率求法，在教材中起承上啟下的作用.通過最近幾年的實際授課發現，學生在學習本節課時特別容易和古典概型相混淆，把幾何概型的“無限性”誤認為古典概型的“有限性”.究其原因是思維不嚴謹，研究問題時過于“想當然”，對幾何概型的概念理解不清.因此我認為要在幾何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面.另外，在解決幾何概型的問題時，幾何度量的選擇也是需要特別重視的，在實際授課時，應當引導學生發現規律，找出適當的方法來解決問題.為了更好地突出重點，突破難點，我將整個教學過程分為“問題引入——概念形成——探索歸納——鞏固深化”四個環節.教學過程

1．問題引入

引例1 北京奧運會圓滿閉幕，某玩具廠商為推銷其生產的福娃玩具，擴大知名度，特舉辦了一次有獎活動：顧客隨意擲兩顆骰子，如果點數之和大于10，則可獲得一套福娃玩具，問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

設計意圖：復習鞏固古典概型的特點及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊.引例2 廠商為了增強活動的趣味性，改變了活動方式，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖1）轉盤被等分成8個扇形區域.顧客隨意轉動轉盤，如果轉盤停止轉動時，指針正好指向陰影區域，顧客則可獲得一套福娃玩具.問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？

設計意圖：

1．以實際問題引發學生的學習興趣和求知欲望； 2．以此為鋪墊，通過具體問題情境引入課題； 3．簡單直觀，符合學生的思維習慣和認知規律.問題提出后，學生根據日常生活經驗很容易回答：“由面積比計算出概率為1/4.” 提問：為什么會想到用面積之比來解決問題的呢？這樣做有什么理論依據嗎？

學生思考，回答：“上一節剛學習的古典概型的概率就是由事件

所包含的基本事件數占試驗的基本事件總數的比例來解決的，所以聯想到用面積的比例來解決.”

教師繼續提問：這個問題是古典概型嗎？

通過提問，引導學生回顧古典概型的特點：有限性和等可能性.發現這個問題雖然貌似古典概型，但是由于這個問題中的基本事件應該是“指針指向的位置”，而不是“指針指向的區域”，所以有無限多種可能，不滿足有限性這個特點，因此不是古典概型.也就是說，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個問題，剛才我們的解答只是猜測.到這里，我們自然而然地需要一個理論依據去支持這個猜測，從而引入幾何概型的概念.2．概念形成 記引例2中的事件

為“指針指向陰影區域”，通過剛才的分析，我們發現事件

包含的基本事件有無數個，而試驗的基本事件總數也是無數個.如果我們仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件個數與試驗的基本事件總數的比例來解決這個問題，那樣就會出現“無數比無數”的情況，沒有辦法求解.因此，我們需要一個量，來度量事件

和，使這個比例式可以操作，這個量就稱為“幾何度量”.這就得到了幾何概型的概率公式量，表示子區域的幾何度量.，其中表示區域的幾何度引例2就可以選取面積做幾何度量來解決.通過上面的分析，引導學生發現：幾何概型與古典概型的區別在于它的試驗結果不是有限個，但是它的試驗結果在一個區域內均勻地分布，因此它滿足無限性和等可能性的特征.其求解思路與古典概型相似，都屬于“比例解法”.3.探索歸納

問題1 在500ml水中有一個草履蟲，現從中隨機抽取2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發現草履蟲的概率.問題2 取一根長為4米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不少于1米的概率是多少？

設計意圖：

1．讓學生分別體會用體積、長度之比來度量概率，加深學生對幾何概型概念的理解； 2．強化解決幾何概型問題的關鍵是抓住問題的實質，找出臨界狀態。這是解決幾何概型問題的第一個關鍵.問題3 如圖2, 設超過半徑的概率？

為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與

連結，求弦長

由學生討論解答.預期思路1：(見圖3)

根據題意，在圓周上隨機取一點，有無限種可能，而每一點被取到的機會都一樣，滿足幾何概型的特點，可以考慮用幾何概型求解.先找臨界狀態，即弦長等于半徑時所取的點的位置.找到和是兩個全等的正三角形.即在兩個位置，使得

和

取點時弦長剛好等于半徑；而在兩段劣弧上取點時弦長小于半徑；在化

為弧長之比.這段優弧上取點時，弦長超過半徑。因此問題轉

.預期思路2：（見圖4）也可以轉化為角度之比..預期思路3：（見圖5）也可以轉化為面積之比..提出問題：為什么這道題可以用弧長、角度、面積等不同的幾何度量去求解？ 由學生分組討論,給出回答：因為在半徑一致的情況下，弧長之比等于角度之比，也等于面積之比..設計意圖：加深學生對幾何概型的理解，從而抓住解決幾何概型問題的實質.問題4 如圖6,將一個長與寬不等的長方形水平放置，長方形對角線將其分成四個區域.在四個區域內涂上紅、藍、黃、白四種顏色，并在中間裝個指針，使其可以自由轉動.對于指針停留的可能性，下列說法正確的是（）

A．一樣大 B.黃、紅區域大 C.藍、白區域大 D.由指針轉動圈數確定

設計意圖：通過與引例2對比，使學生發現這兩個問題選擇的正確幾何度量應該是“角度”，而不是“面積”.而引例2之所以用面積比也能解決問題，是因為其面積比恰好等于角度比.提出問題：如何才能找到最恰當的幾何度量呢？

引導學生找問題中的“提示”.如問題3中在圓周上任意取點，因此選取弧長作為幾何度量是最恰當的方法.幾何度量的正確選擇是解決幾何概型問題的第二個關鍵.4。鞏固深化

練習1 如圖7,在面積為的的邊上任取一點，求的面積小于的概率.練習2 如圖8,向面積為練習3 如圖9,向體積為的的三棱錐

內任投一點，求的面積小于，求三棱錐的概率.的內任投一點體積小于的概率.設計意圖：通過這3個問題的對比，加深學生對幾何度量選取的理解，關鍵是判斷在何處取點.問題5 一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形(如圖10)，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率.問題6平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑為的硬幣任意擲在這平面上(如圖11)，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率．

設計意圖：

1．開拓學生的思路，進一步提高學生分析、解決問題的能力； 2．引導學生歸納總結解決幾何概型問題的第三個關鍵：物化為點.如問題5 中，我們選擇了海豚的嘴尖為研究對象，問題6中，我們則選擇硬幣的中心為研究對象.物化為點之后，研究起來會更加便捷.在處理問題6時，先由學生自主思考，而后合作交流，發表自己的看法，培養學生概括歸納的能力。

5．課堂小結

這個工作我準備交給學生去做。讓學生自己總結：這節課你學到了什么？通過這節課你掌握了哪些方法？應該注意些什么問題？有哪些思想是在以后的學習中可以借鑒的等等，引導學生對這節課的內容加以鞏固深化.3.3.1 幾何概型教學課后反思

納雍縣第一中學 羅萬能

本節課采用了類比的思維方式，讓學生明確古典概型與幾何概型的異同。在啟發式教學方式的引領下，以問題串的形式開啟學生思維之門。通過課后檢測，發現本節課學生的學習效果比較不錯.我認為本節課有以下五個方面做得比較成功.1．通過具體的問題情境引入，容易激發學生的學習興趣和求知欲.2．通過與古典概型對比，產生矛盾，促使學生迫切想去探求解決問題的方法.3．分解難度，將抽象的概念“解剖”，易于理解.4．問題設置層層遞進，由淺入深，有層次、有目標地解決各個難點，符合學生的學習規律.5．本節課中所體現的極限思想、類比思想、轉化思想等將會對學生的思維發展有所幫助.本節課的不足之處在于教師做的準備工作太多，問題設置得過于緊密，使得學生發揮的空間不夠.如何設計問題才能使學生的思維更活躍，不僅能認識問題、解決問題，還能創設問題？這也是我一直在思考的，還望各位同仁不吝賜教.另外，經典的“約會問題”本來是幾何概型能夠解決的問題中最有代表性的，但是由于其中涉及到的線性規劃知識要在必修五中才能夠學到，因此本節課沒有將其設計在內.

第五篇：蘇教版《幾何概型》教學設計

《幾何概型》教學設計

江蘇省南通市通州區劉橋中學 劉曉蘇

一、教學內容解析

《幾何概型》是蘇教版高中教材必修三第3章第3節的內容,安排在《隨機事件及其概率》和《古典概型》兩節之后，是在學生學習了概率的統計定義和等可能定義之后學習的.本小節大致安排教學兩課時，本節課是第一課時，是一節概念新授課.幾何概型是在古典概型基礎上的進一步發展，是繼“古典概型”之后的第二類等可能概率模型，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸.學好幾何概型，對學生全面系統地掌握概率知識及辯證思想的進一步形成具有重要作用.幾何概型的關鍵是尋找合理的幾何模型，通過建立無限個等可能基本事件與幾何模型中特定區域的對應關系，用幾何區域的測度刻畫無限個等可能基本事件，達到求解相關概率問題的目的，體現了抽象概括建立模型的思想方法和數形結合的思想方法，是概率問題與幾何問題的一種完美結合.教學中通過讓學生對豐富而具體的實例的觀察、分析、歸納、抽象，親歷幾何概型的概念建構過程,使學生經歷對事物從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性的認知過程，逐步養成透過事物的表象把握本質的思維方法，培養學生的理性思維能力、抽象概括能力和數學建模能力，增強學生的辯證唯物主義世界觀，進一步樹立科學的人生觀、價值觀.本節課的教學重點:幾何概型概念的建構和建立合理的幾何模型進行簡單的幾何概率計算.二、教學目標設置

結合《普通高中數學課程標準》對高中數學課程的總目標以及對幾何概型的教學要求“初步體會幾何概型的意義”，我將本節課的具體教學目標確定為以下三點：

1.通過對具體實例的觀察和分析，了解幾何概型的兩個基本特點，并會判斷實際問題中的概率模型是否為幾何概型.2.經歷幾何概型的概念建構過程, 感受數學的拓廣過程，體會從感性到理性的思維過程，提高數學歸納能力和數學抽象能力.3.會通過建立合理的幾何模型進行簡單的幾何概率計算, 注重建模過程，體會數形結合思想.三、學生學情分析

初中教材中已涉及到個別簡單的幾何概型問題，學生憑借直覺與生活經驗能把問題的結果計算出來，但缺少從數學的內部對問題的理解.本節課的教學目的也正是在學生已有認知的基礎上對概念的完善與系統化.在本章中，學生已經學習了概率的統計定義和古典概型，掌握了兩種計算事件發生概率的方法:一是用頻率估計概率；二是用古典概型的公式來計算概率.在《古典概型》一節中學生已經會把事件分解成等可能基本事件，知道它的兩個特點是等可能性和有限性，并經歷了從基本事件的角度建構了古典概型的定義和概率計算公式.類比古典概型，通過分析基本事件，學生容易知道幾何概型中基本事件的特點是等可能性與無限性.但學生對無限個等可能基本事件的量化具有困難，需要教師引導.在運用公式解決實際問題時，選擇合適的模型，將實際問題轉化幾何概型問題對學生來說比較困難.我校為農村普通高中，招收的學生大部分基礎薄弱，自主學習能力差.進入高一，雖然能領悟一些基本的數學思想與方法，但還沒有形成完整、嚴謹的數學思維習慣，對問題的探究能力也有待培養.本課教學難點：幾何概型概念的建構及解決實際問題時如何從背景中確定特定幾何區域及其測度.為突破難點，在概念建構過程中我結合分析內容形成框圖，利用框圖直觀的表示無限個等可能基本事件與幾何模型中特定區域的對應關系，有助于學生理解概念，并為在實際應用中合理建模打下基礎.而在應用階段，我通過適當改造和增補例題與練習，分步化解難點，逐步提高思維的層次，深化學生對概念和公式的理解，培養學生的思維能力，提高學生的建模能力.四、教學策略分析

根據以上分析，本節課結合啟發式教學原則，采用學生探究與教師講授相結合的教學方法，結合多媒體輔助教學.教學的過程，是一個再加工，再創造的過程，是把已經濃縮為結論的這一本來富有生命力的知識的形成過程重新演繹的過程.依據幾何概型的發生發展過程和學生的思維規律，我通過設置情境導入，復習回顧，探究分析，概念建構，數學應用，回顧總結六個環節來開展教學.教學中，首先選擇了初中教材選學部分涉及的一個簡單幾何概型問題作為先行組織材料，通過先憑直覺計算概率，再類比古典概型分析計算的合理性，最后通過試驗驗證結果的正確性，讓學生從已有認知經驗出發，從直觀的計算到理性的分析來初步感受幾何

概型的特點.然后再提供兩個不同背景的實例，讓學生進行探究并交流，最后通過對三個實例的觀察、分析、歸納、抽象，親歷幾何概型的概念建構過程.在教學過程中，我以“問題串”為載體，以問題引領教學，以問題驅動學生主動參與知識建構、合作探究.所設置的問題讓學生跳一跳就能夠得到，激發學生的學習主動性.在學生探究與討論過程中，我加入到思維能力薄弱的小組中，及時給予引導和提示，力爭讓所有學生都能在嘗試、探索的過程中，體會數學知識的形成和發展過程.因此，我的教學理念是過程性、問題性和主體性.五、教學過程

（一）問題情境

情境1 取一個邊長為2a的正方形及其內切圓，隨機地向正方形內投一粒米，（假設米粒能落在正方形內任意一點且米粒的面積不計），求米粒落入圓內的概率．（人教版九年級數學上冊P147試驗與探究）

問題1：請解答并說明解答依據.師生活動：學生用內切圓與正方形面積之比表示了概率，但無法說出這樣計算的理論依據.【設計意圖】創造性地使用教材，將初中教材中已出現但沒有深入研究的一個簡單的幾何概型問題作為情境引入，學生憑直覺和經驗能算出結果，但缺少理論的支撐，以此激發學生的探求欲望，促使學生由對問題的感性認識轉向理性思考.（二）復習回顧

問題2：我們已有哪些求隨機事件概率的方法？

師生活動：通過問題讓學生回顧已有的計算隨機事件概率的方法及古典概型的兩個特點.【設計意圖】在學生無法回答情境1的解答依據時，引導他們回顧已有求概率的方法.為從數學內部研究情境1提供 “先行組織者”，給學生類比的對象和方法.（三）探究分析

問題3: 我們從什么角度對情境1展開分析？ 師生活動：通過教師追問，引起學生思考.生：我們也從基本事件角度對情境1展開分析.師：具體分析哪些問題？

生：①試驗中每一個基本事件是什么？ ②每個基本事件是否等可能？ ③所有基本事件共有多少個？ ④指定事件中有多少個基本事件？

師: 請大家就以上4個小問題對情境1展開分析.生：試驗中的一個基本事件應該是米落在正方形內的一個點，每一個基本事件的發生都是等可能的，這樣的基本事件共有無限個，指定事件含有的基本事件也是無限個.師：是古典概型嗎？

生：不是，古典概型中所有的基本事件只有有限個，而這里是無限個.師：那我們就無法用數值來表示基本事件的個數m和n了.那它與古典概型有相同之處嗎？

生：有，每一個基本事件的發生都是等可能的.【設計意圖】引導學生從已有知識經驗出發，類比熟知的古典概型問題，從基本事件的角度出發對問題1進行分析.通過分析發現此問題仍是一個等可能模型，不同于古典概型的是基本事件的個數由有限個變成無限個，無法用數值刻畫，從而形成認知沖突.問題4：如何刻畫不易計數的無限個等可能基本事件？

師生活動：教師引導學生分析，每個基本事件與正方形內一個點對應，所有基本事件與正方形對應，所求事件與內切圓對應，從而將基本事件的個數之比用內切圓與正方形的面積之比合理的替代.教師在黑板上板書上述對應關系.【設計意圖】通過引導學生分析得到基本事件與點對應，所求事件與幾何圖形對應，從而將基本事件的個數之比用幾何圖形的面積之比合理的替代，說明計算的合理性，讓學生初步感知數形結合的思想方法，同時為后面形成幾何概型形式化的定義做鋪墊.問題5：你有辦法驗證結果的正確性嗎？

師生活動：學生提出驗證的試驗方案與試驗注意點，教師多媒體演示投米粒試驗，師生合作驗證了計算結果的正確性.教師追問，學生思考.師：當投到正方形內的點數很多時，同學們有什么發現？ 生：這些點幾乎把整個正方形填滿了.師：對，這就用圖形直觀地反映了所有的基本事件與正方形相對應.這種對應反映了我們數學中的一種什么思想?

生：數形結合.【設計意圖】通過多媒體演示投米粒實驗，用頻率估計概率，進一步驗證了計算結果的正確性.后面的追問讓學生進一步體會數形結合思想在解決問題中的作用.師：將情境1中的紅色區域移動位置，或改變其形狀和大小，概率發生變化了嗎?由此你能發現什么？

【設計意圖】通過對情境中幾何圖形的變化，引發學生對幾何概型本質特征的思考，幫助學生理解“事件A發生的概率只與紅色區域的面積成正比，而與其位置、形狀無關”.問題6：請參照情境1的研究思路對情境2和情境3進行分析.情境2 取一根長度為3m的繩子，將繩子拉直后, 在繩子上隨機選擇一點, 在該點處剪斷.那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？

情境2 情境3

情境3 一個棱長為20cm盛滿水的正方體水池中有一個病毒, 病毒可能出現在水池中的任意一個位置, 它距離水池底不超過5cm的概率是多少？

師生活動：學生自由選擇一個情境，類比情境1展開分析，給出解答并說明理由，教師予以點評.【設計意圖】情境

2、情境3分別是以長度之比、體積之比表示概率的，采用不同的度量量之比，給予學生更豐富的體驗.在這兩個問題中，我們始終將對“基本事件”的分析作為解決概率問題的著眼點，進一步從等可能性、無限性兩方面來區別古典概型與幾何概型，深化學生對幾何概型基本特征的體會.（四）建構數學

問題7：請結合前面的分析,總結三個試驗具有的共同特點.師生活動：在教師的引導下，學生經過觀察、分析，歸納，分三個層次總結三個試驗的共同點即第一層基本事件及其特點，第二層指定事件A發生的條件，第三層指定事件A的概率的表示方法.教師結合學生的分析，完善框圖，將無限個等可能基本事件與幾何模型中特定區域的對應關系直觀體現：

師生共同完成幾何概型的特點、幾何概型的概念和概率計算公式的建構.【設計意圖】通過讓學生對豐富而具體的實例的觀察、分析、歸納、抽象，親歷幾何概型的概念建構過程,使學生經歷對事物從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性的認知

過程，逐步養成透過事物的表象把握本質的思維方法，培養學生的理性思維能力、抽象概括能力.（五）數學應用

例1 射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環.從外向內為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色.金色靶心叫“黃心”.奧運會的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm.運動員在70m外射箭.假設射箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？

師生活動：學生分析試驗中的基本事件及其特點，判斷該問題為幾何概型，確定D，d區域及測度.教師板書示范解題過程，并引導學生歸納解題步驟：記→判→算→答.【設計意圖】例1是對所學概念和公式的一個簡單應用.其形式與情境1類似，但學生對問題的認識已由感性上升至理性，開始嘗試著運用所學理論從數學內部對問題展開分析和解答.解題步驟的歸納讓學生體會規范的書寫是思維過程的完美再現.練習在1L高產小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機取出10mL，其中含有麥銹病種子的概率是多少？

師生活動：學生獨立完成，教師點評.學生總結解決幾何概型問題的分析思路.【設計意圖】練習題中的背景沒有例1直觀，需要學生理性分析，抽象出基本事件對應的幾何區域，有助于學生養成透過事物的表象把握本質的思維方法.例2 在等腰直角三角形率．

中，在斜邊

上任取一點，求

小于的概

例2圖 變式圖

師生活動：師生共同分析，解答.師：請同學們比較例1和例2，哪個問題簡單點？

【設計意圖】例2中的區域d需要學生確定，這是建模的一個難點.這里通過對兩個例題的比較，提煉出“確定區域找臨界”這一方法，從而突破了這個難點.變式 在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ABC內部任取一條射線CM，與線段AB交于點M，求

小于的概率．

師生活動：學生嘗試解答，相互交流.教師多媒體演示，確定等可能基本事件及其對應幾何區域.【設計意圖】測度的確定也是建模的一個難點，通過對兩個背景相似而基本事件不同的問題的對比研究，引導學生發現當等可能的角度不同時，測度不同，其概率值也會發生改變，從而突破確定測度這一難點.對變式的研究加強了學生對幾何概型本質的進一步認識，形成嚴謹的數學思維習慣.（六）回顧小結：

問題8：通過本節課的學習，你掌握了哪些知識？學會了哪些方法？經歷了怎樣的研究過程？獲得了什么體會？你還有什么疑問？

師生活動：學生思考，回答，教師適當點撥，補充.【設計意圖】通過問題引領學生進行回顧總結，歸納本課內容，提煉思想方法，總結學習經驗，使學生在頭腦中形成關于本課內容的一個清晰的知識結構.（七）課后作業

1.某人午休醒來，發覺表停了，他打開收音機想聽電臺整點報時，求他等待的時間短于10分鐘的概率.2.研究性作業：請你利用所學知識設計一個方案計算下圖中心形區域的面積.指導教師：袁亞良 江蘇省南通市教育科學研究中心 王惠清 江蘇省南通市通州區教學研究室 楊光明 江蘇省南通市通州區劉橋中學

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