第一篇：公式法教學設計五

二次三項式的因式分解(用公式法)教學過程(一)復習

1．用十字相乘法分解下列各式：

(1)x2－x－2；(2)2x2－3x－2；(3)x2－2x－2．

(3)用十字相乘法就不容易了．

2．對于用十字相乘法分解因式較困難的題目，促使我們尋求其他方法．如同我們在解二次方程時，用直接開平方法不易解決時，人們發明了配方法．把原方程變形為

(x+m)2=n(n≥0)如果把n移到等號左邊，出現(x+m)2－n=0左邊可變形為平方差形式

(二)新課

1．我們把ax2+bx+c(a≠0)叫做x的二次三項式．這個式子的x的最高次項是2，并且有一次項和常數項，共有三項．

2．請同學說出x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)和x的一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)形式上有什么不同？(二次三項式是代數式，沒有等號，方程有等號)3．在解方程2x2－4x－6=0①時，可把各項的公因數約去，化為x2－2x－3=0②然后再解方程②，這個做法對不對？根據什么算理？(對，在方程兩邊都除以同一個不為零的數，得到的方程與原方程同解，即兩個方程的解完全相同)4．在因式分解2x2－4x－6③時，先約去各項系數2，化為x2－2x－3④再分解因式，即2x2－4x－6=x2－2x－3=(x－3)(x+1)，這個做法對不對，根據什么算理？(不對，因為因式分解是“恒等變形”，即只是式子的形式改變，但式子的值不能變．我們來檢驗：當x=1時，③式的值等于－8，而④式的值是－4，③式到④式不是恒等變形，所以不能約去各項系數2)例1 用配方法把x2－2x－2分解因式

分析：對x2－2x再添一次項系數一半的平方(注意：因為因式分解是恒等變形，所以必須同時減去一次項系數一半的平方)．

例2 分解因式：2x2－8x－6．

分析：把二次項系數化為1，便于配方，但不能各項除以2，而是各項提取公因數2．

解：2x2－8x－6=2(x2－4x－3)=2[(x2－4x+4)－4－3]=2[(x－2)2－7]

我們知道在解一元二次方程時，配方法的步驟是固定模式的，即“千題一律”．它的一般化的固定模式就是解一元二次方程的求根公式法，由此推想，用配方法因式分解必定與方程的根有關系．這個關系是什么？我們從例2的因式分解來研究．

與二次三項式2x2－8x－6對應的一元二次方程是2x2－8x－6=0，這個方程的兩根

我們來研究⑤式與兩根的關系，可見是

三項式等于二次項系數乘以x減去一個根的差，再乘以x減去另一個根所得的差．這個結論的證明如下：

注意

1．因式分解是恒等變形，所以公式⑥中的因式a千萬不能忽略． 2．在分解二次三項式ax2+bx+c的因式時，可先用求根公式求出方程ax2+bx+c= 0的兩個根x1，x2，然后寫成ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．

(三)課堂練習把下列各式分解因式

1．4x2 +8x－1； 2．2x2－8xy +5y2．

把4分解為2×2，目的是去掉每個括號內的分母． 解法2：方程2x2－8xy+5y2=0的根是

本題是關于x的二次三項式，所以應把y看作常數．(四)小結

1．對于不易用十字相乘法分解因式的二次三項式ax2+bx+c宜用一元二次方程的求根公式法分解因式．

2．用求根公式法分解二次三項式ax2+bx+c(a≠0)，其程序是固定的，即：(1)第一步：令ax2+bx+c=0①；

(2)第二步：求出方程①的兩個根x1，x2；

(3)寫出公式ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．并把x1，x2的值代入公式中的x1，x2處．

(五)作業

1．把4x2+8x+1分解因式，其結果是 [

]．

2．把2x2－4xy－3y2分解因式，其結果是 [ ]．

3．在實數范圍內分解因式：(1)6y2－3y+6；(2)10p2－p－3；(3)3x2y2－10xy+7；(4)15x2+16xy－15y2；(5)x2－x－1；(6)3x2+2x－3；

(9)6x2+x－15；(10)42x2－85xy+42y2；

4．分解因式：

(1)(m2－m)x2－(2m2－1)x+m(m+1)；(2)(x2+x)2－2x(x+1)－3；

作業的答案或提示 1．選(C)． 2．選(B)．

3．(1)(2y－3)(3y－2)；(2)(2p+1)(5p－3)；(3)(3xy－7)(xy－1)；(4)(3x+5y)(5x－3y)；

(9)(2x－3)(3x+5)；(10)(6x－7y)(7x－6y)；

(12)(2x－9y)(7x－2y)．

4．(1)[mx－(m+1)][(m－1)x－m]；

課堂教學設計說明

1．為了說明公式法分解二次三項式的必要性，在復習舊知識時，安排了三個二次三項式因式分解的題目讓學生練習，其中第三個x2－2x－2用十字相乘法不容易分解，于是促使尋求新的分解方法．

2．在引入求根公式法分解因式之前，先從配方法入手，進而轉入求根公式法并對此法作出了證明．

3．針對初學者在分解ax2+bx+c時常犯漏寫因數a的錯誤，在教學設計中安排了“恒等變形”與“方程同解變形”的內容讓學生辨別，從弄清概念著手，杜絕錯誤．

第二篇：公式法教學設計

第二章

一元二次方程

３．公式法

一、教學目標

知識技能：在教師的指導下，學生能夠正確的導出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養學生的數學建模意識和合情推理能力。

數學思考：能夠根據方程的系數，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養學生觀察和總結的能力.問題解決：通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學生的綜合運算能力。

情感態度：通過在探求公式過程中同學間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進一步發展學生合作交流的意識和能力

二、教學重難點

重點：引導學生自主的探索，正確地導出一元二次方程的求根公式； 難點：正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學生的綜合運算能力；

三、教學方法

學生探索教師引導

四、教具準備

活頁測試卷

五、教學過程

1、情境創設

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同學在練習本上運算,可找兩位同學上黑板演算 ②由學生總結用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數:2

x2?73x??0 22 1 配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?7x?(7)2?49?3?0

24162即:(x?7)2?25?0

416725(x?)2?416兩邊開平方取“±” 得：

x?75 ??4475 ?442x? 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1 第二題： 3x2+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數:3

x2?2x?1?0

配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?2x?(1)2?1?3?0

3392即:(x?1)2?25?0

318125(x?)2??318∵?25?0

18∴原方程無解

（1）進一步夯實用配方法解方程的一班步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數范圍內都有解。

（3）教師還可以根據上節課作業情況，選學生出錯多的題目糾錯、練習.2、探索新知

（1）推導公式

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學生在演算紙上自主推導、并針對自己推導過程中的困難問題在小組內自由研討。最后由師生共同歸納、總結，得出求根公式.2 解：兩邊都除以一次項系數:a

問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

bbbc2x2?bcx??0 aax?2ax?(2a)?24a2?a?0即:

b2b2?4ac(x?)??0a4a2b2b2?4ac(x?)?a4a2 問：現在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0

24a2 學生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解

學生能否自主推導出來并不重要，重要的是由學生親身經歷公式的推導過程，只有經歷了這一過程，他們才能發現問題、汲取教訓、總結經驗，形成自己的認識.在集體交流的時候，才能有感而發。

學生的主要問題通常出現在這樣的幾個地方：（1）

中?b2?c運算的符號出現錯誤和通分出現錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方（3）兩邊開平方，忽略取“±”。

大部分學生需要在教師的幫助下，才能完善公式的推導。（2）公式應用

１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）

(1)2x2+3=7x

（2）x2-7x=18

（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 學生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷是否有根

問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，那種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題

例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×

3=25>0 ∴

?b?b?4acx?2a7?257?5??2?242

寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？

（剩下的題目教師根據時間情況選擇使用，個別學生上黑板做題，其他同學在座位上練習）

3、隨堂練習

課本65頁，隨堂練習第1題、第2題

4、課堂小結

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程應注意的問題是什么？

3、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言。

鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。

5、布置作業

課本第66頁，習題2.6

第1、2、3題 5

第三篇：公式法教學設計

第二章

一元二次方程

３．公式法

杜寨初級中學 九年級

一、學生知識狀況分析 學生的知識技能基礎：學生通過前幾節課的學習，認識了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已經能夠熟練地將一元二次方程化成它們的一般形式；在上一節課的基礎上，大部分學生能夠利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分認知較慢、運算不扎實的同學不能夠熟練使用配方法解一元二次方程.學生活動經驗基礎：學生已經具備利用配方法解一元二次方程的經驗；學生通過《規律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函數的圖像》中一次函數增減性的總結等章節的學習，已經逐漸形成對于一些規律性的問題，用公式加以歸納總結的數學建模意識，并且已經具備本節課所需要的推理技能和邏輯思維能力.二、教學任務分析

公式法實際上是配方法的一般化和程式化，然后再利用總結出來的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯實上節課的配方法，在此基礎上再進行一般規律性的探求——推導求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。其中，引導學生自主的探索，正確地導出一元二次方程的求根公式是本節課的重點、難點之一；正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學生的綜合運算能力是本節課的另一個重點和難點。為此，本節課的教學目標是： ①在教師的指導下，學生能夠正確的導出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養學生的數學建模意識和合情推理能力。

②能夠根據方程的系數，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養學生觀察和總結的能力.③通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學生的綜合運算能力。④通過在探求公式過程中同學間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進一步發展學生合作交流的意識和能力

三、教學過程分析

本課時分為以下五個教學環節：第一環節：回憶鞏固；第二環節：公式的推導；第三環節：看一看、練一練，鞏固新知；第四環節：收獲與感悟；第五環節：布置作業。

第一環節；回憶鞏固 活動內容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同學在練習本上運算,可找兩位同學上黑板演算 ②由學生總結用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數:2 x2?7x?3?0 1 配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?7x?(7)2?49?3?0

24162即:(x?7)2?25?0

416725(x?)2?416兩邊開平方取“±” 得：

x?75 ?44x?75 ??44 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1

2第二題： 3x+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數:3 x2?2x?1?0

332 配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?2x?(1)2?1?3?0

3392即:(x?1)2?25?0

318125

(x?)2??318∵?25?0

18∴原方程無解 活動目的：（1）進一步夯實用配方法解方程的一班步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數范圍內都有解。

（3）教師還可以根據上節課作業情況，選學生出錯多的題目糾錯、練習.活動的實際效果：

通過對舊知識的回顧，學生再次經歷了配方法解方程的全過程，由于是舊知識，學生容易做出正確答案，并獲得成功的喜悅，調動了學生的學習熱情，喚醒學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。

第二環節 公式的推導 活動內容：

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學生在演算紙上自主推導、并針對自己推導過程中預見的問題在小范圍內自由研討。最后由師生共同歸納、總結，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數:a x2?bx?c?0

aa 2 問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

bb2b2cx?x?()?2??0a2a4aa2即: b2b2?4ac

(x?)?a4a2 b2b2?4ac(x?)??0a4a2 問：現在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0 24a2 學生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解 活動目的：

學生能否自主推導出來并不重要，重要的是由學生親身經歷公式的推導過程，只有經歷了這一過程，他們才能發現問題、汲取教訓、總結經驗，形成自己的認識.在集體交流的時候，才能有感而發。活動的實際效果：

學生的主要問題通常出現在這樣的幾個地方：（1）

中?b2?c運算的符號出現錯誤和通分出現錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方

（3）兩邊開平方，忽略取“±”。

大部分學生需要在教師的幫助下，才能完善公式的推導。第三環節：練一練，鞏固新知 活動內容：

１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）

22(1)2x+3=7x（2）x-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 學生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷是否有根

問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，那種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題 例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴?b?b?4ac

2x?2a7?257?5??2?24寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？

（剩下的題目教師根據時間情況選擇使用，個別學生上黑板做題，其他同學在座位上練習）

３、課本隨堂練習2.一個直角三角形三邊的長為三個連續的偶數，求這個三角形的三條邊長。

活動目的：通過讓學生或口述交流或上黑板解方程，公示學生的思維過程，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度。活動實際效果：教師引導學生分析，學生口答、板書，筆答，對比，評價，總結．大部分學生能夠正確、熟練的用公式法解方程。

出現的問題

1、對于（1）（2）（5）小題，有個別學生因為沒有化成一般形式，從而把a,b,c的符號弄錯了；、學生比較容易得出當a,c異號時，方程一定有解。第四環節：收獲與感悟 活動內容： 提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程應注意的問題是什么？

3、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言。活動目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。

活動實際效果：學生通過回顧本節課的學習，感受到公式推導的全過程，發展了邏輯思維能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的過程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的沒有根，通過解方程，進一步提高了學生的運算能力。第五環節：布置作業 用公式法解下列方程（教師可根據實際情況選用）2x2-4x-1=0 5x+2=3x2

(x-2)(3x-5)=0 2x2+7x=4 x2-22x+2=0 列方程解應用題

1、已知長方形城門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么,門的高和寬各是多少? ２、一張桌子長4米,寬2米,臺布的面積是桌面面積的2倍,鋪在桌子上時,各邊下垂的長度相同,求臺布的長和寬

３、某商場銷售一批襯衫,平均每天可以售出20件,沒見盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施,如果每件降價1元,商場每天可以多銷售2件,（１）若商場平均每天要盈利１２００元，每件襯衫要降價多少元？

（２）選作題（供學有余力的學生選作）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？

四、教學反思

1、要創造性的使用教材

教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整。本節課教師就根據學生實際情況，調整了配方時的個別過程，使之與后續知識學習相一致，添加了例題和練習題。

2、要為學生的終身學習奠基

這節課不能夠僅僅讓學生背公式、套公式解方程，而應讓學生初步建立對一些規律性的問題加以歸納、總結的數學建模意識，親身體會公式推導的全過程，提高學生推理技能和邏輯思維能力；進一步發展學生合作交流的意識和能力．幫助學生形成積極主動的求知態度.5

第四篇：公式法教學設計

平方差公式教學設計

【教學分析】

本節課主要是探究平方差公式并運用公式進行整式的乘法運算。在前面的學習中，學生已經學習了有理數運算、整式的加減及整式乘法等知識，掌握了多項式乘法的法則，也經歷過對冪的乘法、多項式乘法的推導過程，有一定的邏輯思維，能夠有條理的分析問題。學生在本節經歷從特殊到一般、從具體到抽象的推導過程，得到平方差公式，在提高學生觀察、探究、發現、歸納的思維能力同時領會數學思想方法。平方差公式的學習，為以后的因式分解、分式的化簡、解一元二次方程、函數等內容的學習奠定了基礎，同時也為學習完全平方公式提供了探究方法。

【教學目標】

1.了解平方差公式的及幾何意義；理解平方差公式的結構特征，并能運用平方差公式進行運算。

2.在探究平方差公式的過程中，體驗從“特殊到一般”的研究數學問題的方法；通過對平方差公式的幾何意義的了解，體會代數與幾何的內在統一。【教學重難點】

1.重點：理解平方差公式的結構特征，并能運用平方差公式進行正確運算。

2.難點：在具體應用中找準平方差公式中“a”和“b”, 理解公式中字母的廣泛含義.【教學策略及方法分析】

針對本節課的教學重點—平方差公式的結構特征及運用公式正確運算，我在教學中從學生剛剛學過的多項式乘法入手，通過學生的自主探究與合作學習，參與平方差公式的推導過程；從而掌握公式的特征，并能夠緊緊抓住特征，利用公式正確計算。

針對本節課的教學難點—正確理解公式中字母的廣泛含義，教學中，學生可以通過觀察，對比，練習，發現公式中的“a，b”不僅可以是數字，也可以是多項式，從而體會整體的數學思想在學習中的運用。【教學過程】

一．創設情境,導入新課。

1.出示情景：（租地問題）有人向他人租了一塊邊長為a的正方形地，第二年地的主人提出把地的一條邊增長10米，相鄰另一邊縮短10米。這樣租合算嗎？

2.學生思考：關鍵在計算變化后地的面積與原來的正方形面積比較大小。3.學生結合圖形得出算式：（a+3）（a-3）

如何計算結果？請同學們用多項式乘法法則進行計算。

二、自主探究，得出結論。

1．觀察算式和結果，看看有發現什么規律？（a+3）（a-3）=a2-9

2．再用多項式乘法法則計算下列多項式的積，你發現的規律還成立嗎？(x+1)(x-1)=___________;(m+2)(m-2)=__________;(2x+1)(2x-1)=_______ 3.根據以下問題提示，試著把你發現的規律說出來。

（1）式子的左邊具有什么共同特點？（2）它們的結果有什么特征？

※用文字語言表示所發現的規律：

※可以用字母表示為：

三、合作交流，驗證公式.對于結論：(a+b)(a-b)=a2-b2 你能計算驗證上面你猜想的結論嗎？ 方法一：計算（a+b）（a-b）

方法二：結合課本圖14.2-1說說邊長為a的正方形一邊增加b，相鄰一邊減少b，得到的長方形面積與原正方形面積的關系用等式可表示為：

.學生自主選擇方法驗證公式，教師巡視指導，有意識引導學生選擇不同的方法。展示交流中，要求學生說出公式的合理性，進一步分析公式結構特征。

三、變式練習，運用公式。例1 運用平方差公式計算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).(3)(b+2a)(2a－b);思考：你是如何運用平方差公式解決以上的問題？

在確定把哪個式子看成公式中“a”和“b”,應注意什么問題？ 要求學生板演解題過程，對比課本例題規范解題步驟和格式。

例2：八年級一班要訂購一批校服，老師說：“我們班有98名學生，每套校服102元，誰能幫老師算一算，一共要準備多少錢？這個問題你會用我們今天學習的知識解決了嗎？ 誰能以最快的速度計算出結果？說說你的算法。例3.計算：

（y+3）(y-3)-(y-2)(y-4)學生板演。

教師追問：計算（y+3）(y-3)與計算(y-2)(y-4)方法一樣嗎？說出你的理由。教師強調：只有符合平方差公式結構特征的多項式乘法才可以運用公式簡化計算，不能亂用公式。

4、變式練習。

1、下列各式的計算對不對？如果不對，應該怎樣修改？

（1）（x+4）(x-4)=x2-4

(2)(-2m-3)(2m-3)=4m2-9 學生回答，辨析平方差公式的結構特征：相同的項看成“a”，互為相反數的項成“b”.2、運用平方差公式計算。

（1）(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(2a-3)(3)1003×997

（4）（3x+4）(3x-4)-(2x+3)(3x-2)學生板演，暴露問題，相互糾錯，熟練運用，掌握公式。3.拓展訓練：

(x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)引發思考，巧算激趣。

四、回顧反思，小結延伸.1、學生自主小結：這節課有哪些收獲？

2、教師結合板書系統回顧：

①平方差公式：

用式子表示：

②運用平方差公式時，應注意以下幾個問題：

(1)公式左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項

，另一項

；(2)公式右邊是

項的平方減去

項的平方；(3)公式中的a和b可以是數，也可以是單項式或多項式； 3.質疑：以下的計算可以用平方差公式計算嗎？（x+2）(x+2)（a+b）(a+b)【作業設計】

一、達標測試.1、下列運算正確的是：（）

A、（x+2）(x－2)=x2－2 B、(x+3y)(x－3y)=x2－3y2 C、(x+y)2=x2+y2

D、(-3a－2)(3a－2)=4－9a2

2、在下列多項式的乘法中，不能用平方差公式的是：（）

A、(2a+b)(2a－b)

B、(2a+b)(b－2a)

C、(2a+b)(-2a－b)

D、(2a－b)(-2a－b)

3、(x+2)(x－2)(x2+4)的計算結果是：（）

A、x2+16

B、x4－16

C、x4－1

D、16－x4

4、（－2x－3y）（）=4x2－9y2

二、綜合應用.用平方差公式計算：

1）(3x+2)(3x-2)

2）（b+2a）（2a-b）3）（-x+2y）（-x-2y）

4）（-m+n）(m+n）5)(-0.3x+y)(y+0.3x)

6）(-3a-2)(3a-2)

三、拓展探究.1.計算

（1）（x+y）（x-y）（x2+y2）（3）(m+n+p)(m+n-p)2.若x2－y2=12，且x+y=6，求x和y的值。

第五篇：22.2公式法教學設計

22.2.2用公式法解 一元二次方程的教學設計

（數學九年級人教版本上冊）

一、學生知識水平分析

學生知識技能基礎：學生通過前幾節課的學習，認識了一元二次方程的概念，一般形式，并且能熟練地將一元二次方程化為一般形式，準確確定各項及各項系數，會用用配方法解一元二次方程。但對二次項系數不是1,一次項系數不是偶數的一元二次方程用配方法解有一定的困難。

二、教學任務分析

公式法實際上是配方法的一般化和程序化，然后再利用總結出來的公式更加便利地求解一元二次方程。復習配方法，師生協作正確推出一元二次方程的求根公式，并在探索過程中培養學生的數學建模意識和合理推理能力。利用一般形式準確確定方程系數，利用判別式判斷方程根的情況，這樣培養學生觀察和總結的能力。通過正確，熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學生的綜合運算能力。從思想方法上來說，學生對分類討論、歸納總結的數學思想已經有所接觸。所以可以通過讓學生動手、動腦來培養學生探索精神和觀察、分析、歸納的能力，以及邏輯思維能力、推理論證能力。

1、教學目標 知識和技能：

（1）、感悟一元二次方程的根的判別式的產生的過程；

（2）、能運用根的判別式，判別方程根的情況和進行有關的推理論證；

（3）、會運用根的判別式求一元二次方程中字母系數的取值范圍； 過程和方法：

（1）、培養學生的探索、創新精神；

（2）、培養學生的邏輯思維能力以及推理論證能力。情感態度價值觀：

（1）、向學生滲透分類的數學思想和數學的簡潔美；（2）、加深師生間的交流，增進師生的情感；（3）、培養學生的協作精神。

2、教學重點：會用公式法解一元二次方程

3、教學難點：探究一元二次方程求根公式的推導過程 突破措施：運用由特殊到一般的研究方法，先用配方法解數字系數的一元二次方程，再用配方法解一般形式的一元二次方程，并且通過小組互助合作交流的方式，讓學生自主探索推導公式。

三、教學流程分析

本著“以學生發展為本”的教育理念，同時也為了使學生都能積極地參與到課堂教學中，發揮學生的主觀能動性，本節課主要采用了引導發現、講練結合的教學方法，按照“實踐——認識——實踐”的認知規律設計，以增加學生參與教學過程的機會和體驗獲取知識過程的時間，從而有效地調動了學生學習數學的積極性。具體如下： 第一環節；復習鞏固

活動內容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 ②由學生總結用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數:2 x2?7x?3?0 配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?7x?(7)2?49?3?0

24162即:(x?7)2?25?0

416725(x?)2?416兩邊開平方取“±” 得：

x?75 ??4475 ?442x? 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1 第二題： 3x2+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數:3 x2?2x?1?0

配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?2x?(1)2?1?3?0

3392即:(x?1)2?25?0

318125(x?)2??318∵?25?0

∴原方程無解

活動目的：

（1）進一步夯實用配方法解方程的一般步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數范圍內都有解。

（3）利用時間評講上節課作業情況，選學生出錯多的題目糾錯、練習.活動的實際效果：

通過對舊知識的回顧，學生再次經歷了配方法解方程的全過程，由于是舊知識，學生容易做出正確答案，并獲得成功的喜悅，調動了學生的學習熱情，喚醒學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。第二環節 公式的推導過程

活動內容：

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)由師生共同歸納、總結，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數:a x2?bx?caa?0

問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

bb2b2cx?x?()?2??0a2a4aa2即:

b2b2?4ac(x?)??0a4a2b2b2?4ac(x?)?a4a2 問：現在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0

24a2 學生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解 活動目的：

由學生親身經歷公式的推導過程，只有經歷了這一過程，他們才能發現問題、汲取教訓、總結經驗，形成自己的認識.在集體交流的時候，才能有感而發。

活動的實際效果：

學生的主要問題通常出現在這樣的幾個地方：（1）

中?b2?c運算的符號出現錯誤和通分出現錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方（3）兩邊開平方，忽略取“±”。第三環節：練一練，學以致用，鞏固新知 活動內容：

１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）

(1)2x2+3=7x（2）x2-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0 學生迅速演算或口算出b-4ac,從而判斷是否有根

問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，那種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題

例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3

2判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0

∴

?b?b?4acx?2a7?257?5??2?242

寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？ ３、課本隨堂練習.活動目的：通過讓學生或口述交流或上黑板解方程，公示學生的思維過程，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度。

活動實際效果：教師引導學生分析，學生口答、板書，筆答，對比，評價，總結．大部分學生能夠正確、熟練的用公式法解方程。出現的問題

1、對于（1）（2）（5）小題，有個別學生因為沒有化成一般形式，從而把a,b,c的符號弄錯了；、學生比較容易得出當a,c異號時，方程一定有解。第四環節：談談你的收獲與體會

活動內容：

提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程應注意的問題是什么？

3、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言。

活動目的：鼓勵學生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。

活動實際效果：學生通過回顧本節課的學習，感受到公式推導的全過程，發展了邏輯思維能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的過程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的沒有根，通過解方程，進一步提高了學生的運算能力。第五環節：課外作業

用公式法解下列方程 P42第5題（1）、（3）、（5）