第一篇：2.1《正余弦定理的應用》教案 北師大版必修5

正弦定理、余弦定理的應用

（一）教學目標：

1會在各種應用問題中，抽象或構造出三角形，標出已知量、未知量，確定解三角形的方法；

2搞清利用解斜三角形可解決的各類應用問題的基本圖形和基本等量關系；

3理解各種應用問題中的有關名詞、術語，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4通過解三角形的應用的學習，提高解決實際問題的能力 教學重點：實際問題向數學問題的轉化及解斜三角形的方法 教學難點：實際問題向數學問題轉化思路的確定 教學過程： 一．復習回顧： 1．正弦定理：abc???2R sinAsinBsinC222b2?c2?a22．余弦定理：a?b?c?2bccosA,?cosA?

2bcc2?a2?b2 b?c?a?2cacosB,?cosB?2ca222a2?b2?c2 c?a?b?2abcosC，?cosC?

2ab2223．解三角形的知識在測量、航海、幾何、物理學等方面都有非常廣泛的應用，如果我們抽去每個應用題中與生產生活實際所聯系的外殼，就暴露出解三角形問題的本質，這就要提高分析問題和解決問題的能力及化實際問題為抽象的數學問題的能力下面，我們將舉例來說明解斜三角形在實際中的一些應用

二、講解范例：

例1：如圖，為了測量河對岸A,B兩點間的距離，在河岸這邊取點C,D，測得?ADC?850，?BDC?600，?ACD?47?，?BCD?47?，CD?100m，設A，B，C，D在同一平面內，求AB之間的距離（精確到1m）

例2:某漁船在航行中不幸遇險，發出求救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°、距離A為10海里的C處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以9海里／ｈ的速度向某小島B靠攏，我海軍艦艇立即以21海里／ｈ的速度前去營救，試問艦艇應按照怎樣的航向前進?并求出靠近漁船所用的時間

例3:如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側，求四邊形OPDC面積的最大值

三．隨堂練習

1．已知A,B兩地的距離為10km,B,C兩地的距離為20km，現測得?ABC?120，則A,C兩地的距離為（）

A.10km B.103km C.105km D.107km

四．小結

通過本節學習，要求大家在了解解斜三角形知識在實際中的應用的同時，掌握由實際問題向數學問題的轉化，并提高解三角形問題及實際應用題的能力

第二篇：正、余弦定理及其應用

龍源期刊網 http://.cn

正、余弦定理及其應用

作者：夏志輝

來源：《數學金刊·高考版》2013年第10期

正、余弦定理及其應用是高中數學的一個重要內容，是高考必考知識點之一，也是解三角形的重要工具，常常會結合三角函數或平面向量的知識來考查其運用.重點難點

在高考中，本部分知識所考查的有關試題大多為容易題.在客觀題中，突出考查正、余弦定理及其推論所涉及的運算；在解答題中，通常聯系三角恒等變形、三角形內角和定理、三角形面積公式等知識進行綜合考查，常見的有證明、判斷、求值（求解斜三角形中的基本元素：角、面積等）及解決實際問題等題型.重點：①正確理解正、余弦定理的概念，了解正、余弦定理之間的內在聯系，掌握公式的一些常用變形；②判斷三角形的形狀；③解斜三角形；④運用正、余弦定理解決一些實際問題以及與其他知識相互滲透的綜合問題.難點：①解三角形時解的情況的討論；②正、余弦定理與三角恒等變換等知識相互聯系的綜合問題.

第三篇：北師大版高中數學必修5余弦定理

北師大版高中數學必修

52.1.2《余弦定理》教學設計

一、教學目標

認知目標：引導學生發現余弦定理，掌握余弦定理的證明，會運用余弦定解三角形中的兩類

基本問題。

能力目標：創設情境，構筑問題串，在引導學生發現并探究余弦定理過程中,培養學生觀察、類比、聯想、遷移、歸納等能力；在證明定理過程中，體會向量的思想方法；在解決實際問題過程中，逐步培養學生的創新意識和實踐能力。

情感目標：通過自主探究、合作交流，使學生體會到“發現”和“創造”的樂趣，培養學生

學習數學興趣和熱愛科學、勇于創新的精神。

二、教學重難點

重點：探究和證明余弦定理；初步掌握余弦定理的應用。

難點：探究余弦定理，利用向量法證明余弦定理。

三、學情分析和教法設計：

本節課的重點和難點是余弦定理的發現和證明，教學中，我采取“情境—問題”教學法,從情境中提出數學問題,以“問題”為主線組織教學,從特殊到一般，引導學生在解決問題串的過程中，既歸納出余弦定理，又完成了用幾何法對余弦定理的證明，以分散難點；用向量證明余弦定理時，我首先引導學生利用向量證明勾股定，讓學生體會向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，然后鼓勵學生證明余弦定理，最后通過二組例題加深學生對余弦定理的理解，體會余弦定理的實際應用。

四、教學過程

環節一 【創設情境】

1、復習引入

讓學生回答正弦定理的內容和能用這個定理解決哪些類型的問題。

2、情景引入

浙江杭州淳安千島湖(圖片來自于http://image.baidu.com)，A、B、C三島位置如圖所示，根據圖中所給的數據，你能求出A、B兩島之間的距離嗎？

啟發學生積極思考，嘗試轉化為直角三角形,利用已學知識解決問題解決問題。在三角形ABC中，作AD⊥BC，交BC延長線于D，由∠ACB=120o，則∠ACD=60o，在RtΔADC中，∠CAD=30o，AC=6則CD=3,AD=3.在RtΔADB中,由勾股定理得:

AB2=AD2+BD2，AB2=67.96AB≈8.24km

答：島嶼A與島嶼B的距離為8.24 km

探究2:若把上面這個問題變為：

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為鈍角）求 c.在探究1的解法基礎上，把具體數字用字母替換，結合三角函數知識，不難得出 c2= a2+b2－2abcosC．

探究3:若把上面這個問題變為：

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為銳角）求 c.如右圖，當∠C為銳角時，作AD⊥BC于D，BD把△ABC分成兩個直角三角形： A 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△ADC中，AD=AC·sinC=bsinC，DC=AC·cosC=bcosC．

容易求得：c2=a2+b2－2abcosC．

探究4: :若把上面這個問題變為： C

B

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為直角）求 c.結合前面的探究，你有新的發現嗎？

222此時，△ABC為直角三角形，由勾股定理得c=a+b;也可以寫成c2=a2+b2－2abcos900

環節三【總結規律，發現新知】

探究1：總結規律。

結合前面的探究，我們容易發現，在△ABC中，無論∠C是銳角、直角還是鈍角，都有

c2=a2+b2－2abcosC

同理可以得到a2=b2+c2－2bccosA．

b2=c2+a2－2accosB．

這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余

弦的積的兩倍。

探究2：余弦定理的證明：

余弦定理是三角學中一個重要的定理，上一環節中的探究2—探究4是該定理的一種傳統的方法——幾何證法，歷史上有很多人對余弦定理的證明方法進行研究，建議同學們登陸，在百度文庫中查閱有關三角學的歷史，了解余弦定理證明的一些經典方法，如愛因斯坦的證法、坐標法、用物理的方法以及張景中的《繞來繞去的向量法》和《仁者無敵面積法》等等。其中向量法是最簡潔、最明了的方法之一。

問題①:用向量的方法能證明勾股定理嗎?

222在△ABC中已知∠A=900，BC=a，AB=c,CA=b, 求證：a=b+c B ????????????????證明：如右圖，在△ABC中，設AC?b,AB?c,CB?a.???????????????由向量的減法運算法則可得，AB?AC?CB,即c?b?a

???????????A

222 等式兩邊平方得，c?b?2c?b?a，??????2202222由向量的運算性質得c?b?2c?b?Cos90?a即c?b?a

所以a2=b2+c

2問題②:如何用向量的方法證明余弦定理？

0把問題①的證明中Cos90換為CosA即可。

教師點評：利用向量來證明勾股定理,讓學生體會向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，激發學生興趣，在此基礎上，可以很簡單的證明余弦定理，讓學生切身體會到向量作為一種工具在證明一些數學問題中的作用。

探究3：余弦定理的分析

問題①：在△ABC中，當∠C=90°時，有c2=a2+b2．若a，b邊的長度不變，變換∠C的大小時，c2與a2+b2有什么大小關系呢？請同學們思考。

首先，可借助于多媒體動畫演示，讓學生直觀感受，a，b邊的長度不變時，∠C越小，AB的長度越短，∠C越大，AB的長度越長

222其后，引導學生，由余弦定理分析： c=a+b－2abcosC。

當∠C=90°時，cosC=0，則有c2=a2+b2，這是勾股定理，它是余弦定理的特例。當∠C為銳角時，cosC>0，則有c2

2當∠C為鈍角時，cosC<0，則有c2＞a2+b2

問題②余弦定理作用？

從以上的公式中解出cosA,cosB,cosC,則可以得到余弦定理的另外一種形式： b2?c2?a2

cosA?2bca2?c2?b2cosB?2aca2?b2?c2cosC?2ab

即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；

知三求一已知三角形的三條邊，求角。

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，可求另一邊；（方程的思想）環節四【及時練習，鞏固提高】

下面，請同學們根據余弦定理的這兩種應用，來解決以下例題。O例1①在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120,求c.②在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個內角的大小及其

面積。Q 環節五【應用拓展，提高能力】

例2：如圖所示，有兩條直線AB和CD相交成800角，交點是O，甲、乙兩人同是從點O分別沿OA，OC方向出發，速度分別是4km/h、4.5km/h，B O P 3小時后兩個相距多遠（結果精確到0.1km）? 分析：經過3時，甲到達點P，OP=4?3=12（12km）乙到達點Q，OQ=4.5?3=13.5(km).問題轉化為在△OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,∠POQ=800,求PQ的長。

例3 下圖是公元前約400 ┅的圖形（可登陸http://math.100xuexi.com 查閱詳細資料），試計算圖中線

段BD的長度及∠DAB的大小.1B A 環節六 【課堂反思總結】 通過以上的研究過程，同學們主要學到了那些知識和方法？你對此

有何體會？（先由學生回答總結，教師適時的補充完善）

1、余弦定理的發現從直角三角形入手，分別討論了銳角三角形和鈍角的三角形情況，體現了由特殊到一般的認識過程，運用了分類討

論的數學思想； D C2、用向量證明了余弦定理，體現了數學知識的應用以及數形結合數

學思想的應用；

3、余弦定理表述了三角形的邊與對角的關系，勾股定理是它的一種特例。用這個定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內角的兩類問題。環節七 【布置課后作業】

1、若三角形ABC的三條邊長分別為a?2，b?3，c?4，則2bccosA?2cacosB?2abcosC?。

2、在△ABC中,若a＝7,b＝8,cosC?13,則最大內角的余弦值為 143、已知△ABC中，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。

4、p52教材習題2-1第6,7題。

五、教學反思

1、余弦定理是解三角形的重要依據。本節內容安排兩節課適宜。第一節，余弦定理的引出、證明和簡單應用；第二節復習定理內容，加強定理的應用。

2、當已知兩邊及一邊對角需要求第三邊時，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問題，此時應注意解的不唯一性。但是這個問題在本節課講給學生，學生不易理解，可以放在第二課時處理。

3、本節課的重點首先是定理的發現和證明，教學中，我采取“情境—問題”教學模式,沿著“設置情境—提出問題—解決問題—總結規律---應用規律”這條主線,從情境中提出數學問題,以“問題”為主線組織教學,形成以提出問題與解決問題攜手并進的“情境—問題”學習鏈,目的使學生真正成為提出問題和解決問題的主體,成為知識的“發現者”和“創造者”,使教學過程成為學生主動獲取知識,發展能力,體驗數學的過程.5、合理的應用多媒體教學，起到畫龍點睛。

6、在實際的教學中，發現學生對于所學的知識（例如向量）不能很好的應用，學生的數學思想（如分類討論、數形結合）也不能靈活的應用，這在以后的教學中還應該加強。

第四篇：高中數學 1.2《余弦定理》教案 北師大版必修5

江蘇省邳州市第二中學高二數學 1.2《余弦定理（2）》教案

【三維目標】：

一、知識與技能

1.學會利用余弦定理解決有關平幾問題及判斷三角形的形狀，掌握轉化與化歸的數學思想； 2.能熟練地運用余弦定理解斜三角形；

二、過程與方法

通過對余弦定理的運用，培養學生解三角形的能力及運算的靈活性

三、情感、態度與價值觀

培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力； 【教學重點與難點】：

重點：利用余弦定理判斷三角形的形狀以及進行三角恒等變形； 難點：利用余弦定理判斷三角形的形狀以及進行三角恒等變形 【學法與教學用具】：

1.學法：

2.教學用具：多媒體、實物投影儀.【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1.余弦定理的內容？

2.如何利用余弦定理判斷銳角、直角、鈍角？ 2.利用余弦定理可解決哪幾類斜三角形的問題？

二、研探新知，質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1（教材P在?ABC中，AM是BC邊上的中線，求證：AM?16例6）

12(AB2?AC2)?BC2 2例2（教材P15例5）在?ABC中，已知sinA?2sinBcosC，試判斷三角形的形狀

a2?b2sin(A?B)例3 在?ABC中，證明： ?sinCc2例4 已知三角形一個內角為60，周長為20，面積為103，求三角形的三邊長。

例5三角形有一個角是60，夾這個角的兩邊之比是8：5，內切圓的面積是12?，求這個三角形的面積。

四、鞏固深化，反饋矯正

?????????1．在?ABC中，設CB?a,AC?b，且|a|?2,|b|?3,a?b??3，則AB?_____

ab0?2.在?ABC中，已知?C?60，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，則的值等于b?cc?a???00________

五、歸納整理，整體認識

讓學生總結本節課所學的內容及方法（1）知識總結：（2）方法總結：

六、承上啟下，留下懸念 1．書面作業

七、板書設計（略）

八、課后記：

第五篇：高中數學《余弦定理》教案1 蘇教版必修5

1.2余弦定理 第1課時

知識網絡

三角形中的向量關系→余弦定理 學習要求

1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會向量的工具性；

3． 能初步運用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動】

自學評價

1．余弦定理：

(1)a2?b2?c2?2bc?cosA，______________________，______________________.(2)變形：cosA?

b

2?c

2?a

2，2bc

___________________，___________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

（１）_______________________________；（２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在?ABC中，（1）已知b?3，c?1，A?600，求a；（2）已知a?4，b?5，c?6，求A（精確到0.10）． 【解】

點評: 利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）已知三邊，求三個

用心愛心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角．

【例2】A,B兩地之間隔著一個水塘，聽課隨筆

擇另一點C，測CA?182m,CB?126m,?ACB?630，求A,B兩地之間的距離確到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理證明：在?ABCC為銳角時，a2?b2?c2；當Ca2?b2?c2

．

【證】

點評:余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓練一

１．在△ＡＢＣ中，求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，２．若三條線段的長為５，６，７，則用這

三條線段（）Ａ．能組成直角三角形 Ｂ．能組成銳角三角形 Ｃ．能組成鈍角三角形

專心

Ｄ．不能組成三角形

３．在△ＡＢＣ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠Ｃ的大小．

４．兩游艇自某地同時出發，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問：經過４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠？

【選修延伸】

【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2

?23x?2?0的兩根，2cos?A?B??1。

（1）求角C的度數；

（2）求AB的長；（3）求△ABC的面積。【解】

用心愛心

【例5】在△ABC中，角A、B、C聽課隨筆

分別為a，b，c，證明： a

2?b2

?A?B?。

c

2?

sinsinC

追蹤訓練二

1．在△ABC中，已知b?2，c?1，B=450則a?（）A2B

6?2C

6?2

6?22

D2

2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31則A=（）

A?2???

B

3C6D

43．在△ABC中，若b?10，c?15，C=?

6則此三角形有解。

4、△ABC中，若a2

?c2

?bc?b2，則A=_______.專心

【師生互動】

用心愛心 專心3