第一篇：高二數學教學設計與反思必修5余弦定理

愚者用肉體監視心靈，智者用心靈監視肉體。

高二數學教學設計與反思必修5余弦定理

一、教學內容與內容解析：

人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修

（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課《余弦定理》

通過利用向量的數量積方法推導余弦定理 正確理解其結構特征和表現形式

解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題 初步體會余弦定理解決“邊、邊、角” 體會方程思想 激發學生探究數學 應用數學的潛能

二、教學目標與目標解析：

掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法

并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；利用向量的數量積推出余弦定理及其推論 并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題；培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數、余弦定理、向量的數量積等知識間的關系 來理解事物之間的普遍聯系與辯證統一

三、教學問題診斷分析：

余弦定理是關于三角形的邊角關系的結論 利用向量數量積推導余弦定理是教學中的一個難點 學生不容易想到和理解起來困難因此 應注意加強前后知識的聯系

重視與內容密切相關的數學思想方法的教學

并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行具體示范、引導 總體上學生應用數學知識的意識不強 創造力較弱

看待與分析問題不深入 知識的系統性不完善

使得學生在余弦定理推導方法的探求上有一定的難度 在發掘出余弦定理的結構特征、表現形式的數學美時

能夠激發學生熱愛數學的思想感情；從具體問題中抽象出數學的本質 應用方程的思想去審視

解決問題是學生學習的一大難點

四、教學支持條件分析：

“余弦定理”是人教版《普通高中課程標準實驗教科書·必修

（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一單元第二課

是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一 也是初中“勾股定理”內容的直接延拓

它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用

是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具 因此具有廣泛的應用價值

本節課是“正弦定理、余弦定理”教學的第二節課 其主要任務是引入并證明余弦定理 在課型上屬于“定理教學課” 本課之前

學生已經學習了三角函數、向量基 用向量方法探求余弦定理 學生已有一定的學習基礎和學習興趣 做好“余弦定理”的教學 不僅能復習鞏固舊知識 使學生掌握新的有用的知識 體會聯系、發展等辯證觀點

而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力 以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力

五、教學過程設計： 教 學 過 程

Ⅰ課題導入

如圖1．1-4 在ABC中 設BC=a AC=b AB=c 已知a b和C 求邊c C b a

A c B

(圖1．1-4)Ⅱ.講授新課 [探索研究]

聯系已經學過知識和方法 可用什么途徑來解決這個問題？ 用正弦定理試求 發現因A、B均未知 所以較難求邊c 由于涉及邊長問題

從而可以考慮用向量來研究這個問題

A

C B(圖1．1-5)如圖1．1-5 設

那么

則

從而 同理可證

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍 即

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量 可以求出第四個量 能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理 又可得到以下推論： ；；

[理解定理]

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系 余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系 如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中 C= 則 這時

由此可知余弦定理是勾股定理推廣 勾股定理是余弦定理特例

[例題分析] 例1．在ABC中 已知

求b及A ⑴解：∵

=cos

==∴ 求可以利用余弦定理 也可以利用正弦定理： ⑵解法一： cos ∴

解法二：∵sin 又∵＞＜ ∴＜ 即＜＜∴

評述：解法二應注意確定A的取值范圍

例2．在ABC中 已知

解三角形（見課本第8頁例4 可由學生通過閱讀進行理解）解：由余弦定理的推論得：

cos ；

cos ；

Ⅲ.課堂練習：第8頁練習第1（1）、2（1）題

[補充練習]在ABC中 若 求角A

Ⅳ.課時小結

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規律 勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角 求第三邊

課后反思

附表：（板書設計）

六、目標檢測設計：

正弦定理是否能解決已知兩邊和夾角求其它邊角的問題嗎？ 預測結果: 不能

因為任一等號兩邊都有兩個未知量

所以正弦定理不能解決已知兩邊和夾角求其它第三邊的問題

七、反思預期效果：

1.本課從解三角形的問題出發 提出解題需要 引發認知沖突

激起學生的求知欲望

調動了學生的學習積極性；2.在定理證明的教學中

引導學生從平面幾何、向量知識、坐標法等方面進行分析討論 引導學生用向量知識推導出公式 之后又對知識進行了歸納比較 發現特征 便于學生識記

同時指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形 提高了學生的思維層次

但是由于學生對向量知識的遺忘 所以在推導余弦定理時

學生理解起來相對比較困難；3.教學目標能基本完成 學生能做到獨立完成課后習題 但在公式的應用上還欠缺靈活性 涉及的三角函數求值還需加強

第二篇：《余弦定理》教學反思

本節課是高中數學教材北師大版必修5第二章《解三角形》余弦定理的第一課時內容，《課程標準》和教材把解三角形這部分內容安排在必修5，位置相對靠后，在此前學生已經學習了三角函數、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯系密切的內容，使得這部分知識的處理有了比較多的工具，某些內容處理的更加簡潔。學數學的最終目的是應用數學，可是比較突出的是，學生應用數學的意識不強，創造能力弱，往往不能把實際問題抽象成數學問題，不能把所學的知識應用到實際問題中去，盡管對一些常見數學問題解法的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發現問題、解決問題的思維方法了解不夠，針對這些情況，教學中要重視從實際問題出發，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問題。

余弦定理是關于任意三角形邊角之間的另一定理，是解決有關三角形問題與實際問題（如測量等）的重要定理，它將三角形的邊角有機的結合起來，實現了邊與角的互化，從而使三角和幾何有機的結合起來，為求與三角形有關的問題提供了理論依據。

教科書直接從三角形三邊的向量出發，將向量等式轉化為數量關系，得到余弦定理，言簡意賅，簡潔明快，但給人感覺似乎跳躍較大，不夠自然，因此在創設問題情境中加了一個鋪墊，即讓學生想用向量方法證明勾股定理，再由特殊到一般，將直角三角形推廣為任意三角形，余弦定理水到渠成，并與勾股定理統一起來，這一嘗試是想回答：一個結論源自何處，是怎樣想到的。正弦定理和余弦定理源于向量的加減法運算，其實向量的加減法的三角法則和平行四四邊形法則從形上揭示了三角形的邊角關系，而正弦定理與余弦定理是從數量關系上揭示了三角形的邊角關系，向量的數量積則打通了三角形邊角的數形聯系，因此用向量方法證明正、余弦定理比較簡潔，在證明余弦定理時，讓學生自主探究，尋找新的證法，拓展思維，打通余弦定理與正弦定理、向量、解析幾何、平面幾何的聯系，在比較各種證法后體會到向量證法的優美簡潔，使知識交融、方法熟練、能力提升。

數學教學的主要目標是激發學生的潛能，教會學生思考，讓學生變得聰明，學會數學的發現問題，具有創新品質，具備數學文化素養是題中之義，想一想，成人工作以后，有多少人會再用到余弦定理，但圍繞余弦定理學生學到的發現方法、思維方式、探究創造與數學精神則會受用不盡。數學教學活動首先應圍繞培養學生興趣、激發原動力，讓學生想學數學這門課，同時指導學生掌握數學學習的一般方法，具備終身學習的基礎。教師要不斷提出好的數學問題，還要教會學生提出問題，培養學生發現問題的意識和方法，并逐步將發現問題的意識變成直覺和習慣，在本節課中，通過余弦定理的發現過程，培養學生觀察、類比、發現、推理的能力，學生在教師引導下，自主思考、探究、小組合作相互交流啟發、思維碰撞，尋找不同的證明方法，既培養了學生學習數學的興趣，同時掌握了學習概念、定理的基本方法，增強了學生的問題意識。其次，掌握正確的學習方法，沒有正確的學習方法，興趣不可能持久，概念、定理、公式、法則的學習方法是學習數學的主要方法，學習的過程就是知其然，知其所以然、舉一反三的過程，學習余弦定理的過程正是指導學生掌握學習數學的良好學習方法的范例，引導學生發現余弦定理的來龍去脈，掌握余弦定理證明方法，理解余弦定理與其他知識的密切聯系，應用余弦定理解決其他問題。在余弦定理教學中，尋求一題多解，探究證明余弦定理的多種方法，指導一題多變，改變余弦定理的形式，如已知兩邊夾角求第三邊的公式、已知三邊求角的余弦值的公式，啟發學生一題多想，引導學生思考余弦定理與正弦定理的聯系，與勾股定理的聯系、與向量的聯系、與三角知識的聯系以及與其他知識方法的聯系，通過不斷改變方法、改變形式、改變思維方式，夯實了數學基礎，打通了知識聯系，掌握了數學的基本方法，豐富了數學基本活動經驗，激發了數學創造思維和潛能。

教學中也會有很多遺憾，有許多的漏洞，在創設情境，引導學生發現推導方法、鼓勵學生質疑提問、猜想等方面有很多遺憾，比如：如何引入向量，解釋的不夠。最后，希望各位同仁批評指正。

第三篇：余弦定理教學設計

教學設計

一、內容及其解析

1.內容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是繼正弦定理教學之后又一關于三角形的邊角關系準確量化的一個重要定理。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的結果，就是“在任意三角形中大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等，則這兩個三角形全等”。同時學生在初中階段能解決直角三角形中一些邊角之間的定量關系。在高中階段，學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握任意三角形中邊角之間的定量關系，從而進一步運用它們解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，使學生能更深地體會數學來源于生活，數學服務于生活。

二、目標及其解析

目標：

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。解析：

1、在發現和證明余弦定理中，通過聯想、類比、轉化等思想方法比較證明余弦定理的不同 方法，從而培養學生的發散思維。

2、能用余弦定理解決生活中的實際問題，可以培養學生學習數學的興趣，使學生進一步認識到數學是有用的。

三、教學問題診斷分析

1、通過前一節正弦定理的學習，學生已能解決這樣兩類解三角形的問題：

①已知三角形的任意兩個角與邊，求其他兩邊和另一角；②已知三角形的任意兩個角與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進而計算出其他的邊和角。

而在已知三角形兩邊和它們的夾角，計算出另一邊和另兩個角的問題上，學生產生了認知沖突，這就迫切需要他們掌握三角形邊角關系的另一種定量關系。所以，教學的重點應放在余弦定理的發現和證明上。

2、在以往的教學中存在學生認知比較單一，對余弦定理的證明方法思考也比較單一，而

本節的教學難點就在于余弦定理的證明。如何啟發、引導學生經過聯想、類比、轉化多角度地對余弦定理進行證明，從而突破這一難點。

3、學習了正弦定理和余弦定理，學生在解三角形中，如何適當地選擇定理以達到更有效地解題，也是本節內容應該關注的問題，特別是求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理時，教學中應注意讓學生能理解兩種方法的利弊之處，從而更有效地解題。

四、教學支持條件分析

為了將學生從繁瑣的計算中解脫出來，將精力放在對定理的證明和運用上，所以本節中復雜的計算借助計算器來完成。當使用計算器時，約定當計算器所得的三角函數值是準確數時用等號，當取其近似值時，相應的運算采用約等號。但一般的代數運算結果按通常的運算規則，是近似值時用約等號。

五、教學過程

（一）教學基本流程

教學過程：

一、創設情境，引入課題

問題1：在△ABC中，∠C = 90°，則用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。【設計意圖】：引導學生從最簡單入手，從而通過添加輔助線構造直角三角形。師生活動：引導學生從特殊入手，用已有的初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題，從而尋找出這些量之間存在的某種定量關系。

學生1：在△ABC中，如圖4，過C作CD⊥AB，垂足為D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2AD?BD

= a?b?2abcos?1?cos?2?2absin?1?sin?2=a?b?2abcos(?1??2)?a?b?2abcosC

A

D圖

4學生2：如圖5，過A作AD⊥BC，垂足為D。

A

圖

5則：c?AD?BD

2?b?CD?(a?CD)?a?b?2a?CD?a?b?2abcosC

學生3：如圖5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

類似地可以證明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【設計意圖】：首先肯定學生成果，進一步的追問以上思路是否完整，可以使學生的思維更加嚴密。

師生活動：得出了余弦定理，教師還應引導學生聯想、類比、轉化，思考是否還有其他方法證明余弦定理。

教師：在前面學習正弦定理的證明過程種，我們用向量法比較簡便地證明了正弦定理，那么在余弦定理的證明中，你會有什么想法？

【設計意圖】：通過類比、聯想，讓學生的思維水平得到進一步鍛煉和提高，體驗到成功的樂趣。

學生4：如圖6，????????????記AB?c,CB?a,CA?b????????????則c?AB?CB?CA?a?b???2

2?（c）?（a?b）

?2?2??

?a?b?2a?b?2?2?2??

即c?a?b?2a?b?cosC?c?a?b?2abcosC

A

圖6

【設計意圖】：由向量又聯想到坐標，引導學生從直角坐標中用解析法證明定理。

學生7：如圖7，建立直角坐標系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），則 c?AB

?(acosC?b)?(asinC)

?a?b?2abcosC

【設計意圖】：通過以上平面幾何知識、向量法、解析法引導學生體會證明余弦定理，更好地讓學生主動投入到整個數學學習的過程中，培養學生發散思維能力，拓展學生思維空

間的深度和廣度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2?b?c?2bccosA,b?a?c?2accosB,c?a?b?2abcosC

余弦定理推論： cosA?

b?c?a

2bc，cosB?

a?c?b

2ac

222，cosC?

a?b?c

2ab

222

解決類型：（1）已知三角形的三邊，可求出三角；

（2）已知三角形的任意兩邊與兩邊的夾角，可求出另外一邊和兩角。

三、例題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【設計意圖】：讓學生理解余弦定理及推論解決兩類最基本問題，既①已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；②已知三角形三邊，求三內角。

四、目標檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小結

本節課的主要內容是余弦定理的證明，從平面幾何、向量、坐標等各個不同的方面進行探究，得出的余弦定理無論在什么形狀的三角形中都成立，勾股定理也只不過是它的特例。所以它很“完美”，從式子上又可以看出其具“簡捷、和諧、對稱”的美，其變式即推論也很協調。

【設計意圖】：在學生探究數學美，欣賞美的過程中，體會數學造化之神奇，學生可以

興趣盎然地掌握公式特征、結構及其他變式。

學案

1．2 余弦定理

班級學號

一、學習目標

1、使學生掌握余弦定理及推論，并會初步運用余弦定理及推論解三角形。

2、通過對三角形邊角關系的探究，能證明余弦定理，了解從三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途徑證明余弦定理。

二、例題與問題

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求邊c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目標檢測

1、若三角形的三邊為2，4，23，那么這個三角形的形狀為（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三邊為3、4、6，那么此三角形有（）

A．三個銳角 B．兩個銳角，一個直角 C．兩個銳角，一個鈍角 D．以上都不對 3．在△ABC中，若其三邊的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，則三個內角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作業

一、基礎題(A組)

1.在△ABC中，若acosA?bcosB，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC?3:2:4，那么cosC?（）

A.4B.3C.?

D.?

3.在△ABC中，已知a?2，b?3，C=120°，則sinA的值為（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a?5，則此三角形的最大邊長為。5.△ABC中，如果a?6，b?63，A=30°，邊c?。

二、鞏固題(B組)

6.在△ABC中，化簡bcosC?ccosB?（）

b?c

a?c

a?b

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三邊長分別為a、b、a?ab?b，則三角形的最大內角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x?7x?6?0的根，則另一邊長為（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，則∠B的大小是。

三、提高題(C組

tanB

?2a?cc

10.在△ABC中，a,b,c分別是角A、B、C的對邊，且tanCa?b?c?，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2a?c

11.在△ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b?

??，a?c?4，求a的值；

第四篇：余弦定理教學設計

1.1《正弦定理與余弦定理》教案（新人教版必修5）（原創）

余弦定理

一、教材依據：人民教育出版社（A版）數學必修5第一章 第二節

二、設計思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”內容的直接延拓，是解三角形這一章知識的一個重要定理，揭示了任意三角形邊角之間的關系，是解三角形的重要工具，余弦定理與平面幾何知識、向量、三角形有著密切的聯系。因此，做好“余弦定理”的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。

2、學情分析：這節課是在學生已經學習了正弦定理及有關知識的基礎上，轉入對余弦定理的學習，此時學生已經熟悉了探索新知識的數學教學過程，具備了一定的分析能力。

3、設計理念：由于余弦定理有較強的實踐性，所以在設計本節課時，創設了一些數學情景，讓學生從已有的幾何知識出發，自己去分析、探索和證明。激發學生濃厚的學習興趣，提高學生的創新思維能力。

4、教學指導思想：根據當前學生的學習實際和本節課的內容特點，我采用的是“問題教學法”，精心設計教學內容，提出探究性問

找到解決問題的方法。

三、教學目標：

1、知識與技能：

理解并掌握余弦定理的內容，會用向量法證明余弦定理，能用余弦定理解決一些簡單的三角度量問題

2．過程與方法：

通過實例，體會余弦定理的內容，經歷并體驗使用余弦定理求解三角形的過程與方法，發展用數學工具解答現實生活問題的能力。

3．情感、態度與價值觀：

探索利用直觀圖形理解抽象概念，體會“數形結合”的思想。通過余弦定理的應用，感受余弦定理在解決現實生活問題中的意義。

四、教學重點：

通過對三角形邊角關系的探索，證明余弦定理及其推論，并能應用它們解三角形及求解有關問題。

五、教學難點：余弦定理的靈活應用

六、教學流程：

(一)創設情境，課題導入：

1、復習：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以讓學生板練）

2、若將條件C=450改成c=8如何解三角形？

設計意圖：把研究余弦定理的問題和平面幾何中三角形全等判定的方法建立聯系，溝通新舊知識的聯系，引導學生體會量化

師生活動：用數學符號來表達“已知三角形的兩邊及其夾角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出課題：余弦定理

（二）設置問題，知識探究

1、探究：我們可以先研究計算第三邊長度的問題，那么我們又從那些角度研究這個問題能得到一個關系式或計算公式呢？ 設計意圖：期望能引導學生從各個不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

師生活動：從某一個角度探索并得出余弦定理

2、①考慮用向量的數量積：如圖 A

C

??????設CB?a,CA?b,AB?c,那么，c?a?b?2???????2?2?c?c?c?(a?b)(a?b)?a?b?2abcosCB 即cab222?a?b?2abcosC,引導學生證明22222

?b?c?2bccosA?c?a?2cacosB2②還 引導學生運用此法來進行證明

3、余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的（可以讓學生自己總結，教師補充完整）

（三）典型例題剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教師分析、點撥并板書證明過程

總結：已知三角形的兩邊和它們的夾角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三邊，再由正弦定理求其余各角。變式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是關于三角形三邊和一個角的一個關系式，把這個關系式作某些變形，是否可以解決其他類型的解三角形問題？

設計意圖：（1）引入余弦定理的推論（2）對一個數學式子作某種變形，從而得到解決其他類型的數學問題，這是一種基本的研究問題的方法。

師生活動：對余弦定理作某些變形，研究變形后所得關系式的應用。因此應把重點引導到余弦定理的推論上去，即討論已知三邊求角的問題。

引入余弦定理的推論：cosA=cosB=a?c?b2ac222b?c?a2bc2222 , , cosC=

a?b?c2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三邊，求三角。

（2）、若A為直角，則cosA=0，從而b2+c2=a2

若A為銳角，則 cosA>0, 從而b2+c2>a2

若A為鈍角，則 cosA﹤0, 從而b2+c2﹤a2

6?2,求A、B、C例2:已知在?ABC中,a?23,b?22,c?

先讓學生自己分析、思索，老師進行引導、啟發和補充，最后師生一起求解。

總結：對于已知三角形的三邊求三角這種類型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出兩角，再用三角形內角和定理求出第三角。（可以先讓學生歸納總結，老師補充）變式引申：在△ABC中，a:b:c=2:讓學生板練，師生共同評判

3、三角形形狀的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,試確定此三角形的形狀。

（教師引導學生分析、思考，運用多種方法求解）

求解思路：判斷三角形的形狀可有兩種思路，一是利用邊之間的關系來判定，在運算過程中，盡可能地把角的關系化為邊的關系；二是利用角之間的關系來判定，將邊化成角。

變式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判斷△ABC的形狀。

讓學生板練，發現問題進行糾正。

（四）課堂檢測反饋：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,則a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,則△ABC的最大角的度數為（）A 1200 B 900 C 600 D 1500

3、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,則A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：2

4、在不等邊△ABC中，a是最大的邊，若a2

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，則△ABC的形狀是（）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D非鈍角三角形

（五）課時小結：

（學生自己歸納、補充，培養學生的口頭表達能力和歸納概括能力，教師總結）

運用多種方法推導出余弦定理，并靈活運用余弦定理解決解三角形的兩種類型及判斷三角形的形狀問題。

（六）課后作業：課本第10頁A組3（2）、4（2）；B組第2題

（七）教學反思：

本堂課的設計，立足于所創設的情境，注重提出問題，引導學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題的過程，學生成為余弦定理的“發現者”和“創造者”，切身感受到了創造的苦和樂，知識目標、能力目標、情感目標均得到了較好的落實。

第五篇：高二數學教學設計與反思的要求

高二數學教學設計與反思的要求

課題：選修1-1第二章 第一節 橢圓的定義及方程（第一課時）教學設計.設計者：王艷坤

思想方法：運用類比方法研究橢圓圖形和方程，用實驗的方法進行教學，用數形結合方法研究橢圓的性質.教學目標：

1．通過本節課課前及課堂上復習圓的定義和研究方法的類比研究過程，使學生探索、理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程求法.2．能夠完成由實驗到數學的抽象過程，復習和鞏固求曲線軌跡方程的基本方法.3．能夠理解數形結合的基本思想，理解橢圓軌跡和方程之間的關系，進一步提高學生解析能力.教學重點：

1．橢圓的定義和橢圓的標準方程的求法.2．數形結合的基本思想，理解解析法，橢圓曲線和方程之間的相互關系.教學難點：

1．數形結合的基本思想.2．建立適當的坐標系，求橢圓標準方程.教學關鍵：創設直觀情境，運用好類比思想以及數學結合思想.教學方式：體驗式探索.教學手段：實驗，多媒體演示.學生特點：本節課的教學對象為普通高中文科學生，數學基礎很弱.教學過程 1．創設情境

實驗：把一個小重物系在繩子的一端，然后握住繩子的另一端，把重物旋轉起來，觀察重物運行到軌跡.學生完成：討論結果、進行總結.在平面內，動點所形成到軌跡是一個圓.在空間內，動點所形成的軌跡是一個球.2．復習數學思想

圓是平面幾何圖形，在歐式幾何中已有系統的研究，人們在已知定點（即圓心），定長（即半徑）條件下，研究了周長和半徑的關系由此得到了圓周率，還有面積、體積和其它的許多性質。想一想，在圓的軌跡形成的過程中，滿足什么樣的條件才能形成圓？

學生回答：到圓心距離等于半徑.復習總結圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡.老師在黑板上按照條件做出圓的軌跡來，接下來，讓同學把剛才的實驗轉移到練習本上，在練習本地畫出由條件“到定點的距離等與定長的點”限制下的圖形——圓，讓學生慢慢地體會概念的由來，對概念有更深刻印象.怎樣更加精確研究這個動點呢？因為需要精確的原因，就需要數據的支持，怎么樣用數來表示圖形呢？這個轉化可是數學史上一個非常重要的思想——數學結合思想.在直角坐標系下，把動點Ｐ引入二元數x，ｙ來限定表述Ｐ(x，y)，顯然我們可以用x，ｙ二元數來分析這個圖形上的每一個點.這樣我們就需要建立直角坐標系，建立直角坐標系后，任意的動點Ｐ就有了坐標（x，y），動點不論在任何位置都可以用點的坐標表示出來.從上面一系列的分析來看，在直角坐標系下，圖形要經過點的坐標轉化變成用兩個變數x，y表示的式子（即方程）；反過來方程的數量關系，完全可以反映圖形的一切性質上，這就是數與形的結合，又稱為數形結合的數學思想.把圓的定義滿足的幾何條件OP=r轉換成代數方程，得x2?y2?r，化簡得圓心在原點的圓的標準方程：x2+y2= r2。

數轉化????OP=r?代數轉化????圓心在原點的圓?形x2+y2= r2

數形轉化代數轉化圓心在原點的圓?????OP=r?????x2+y2= r2

x2?y2?r?代數轉化????

代數轉化x2?y2?r?????

當把圓圖形不變圓心平移至C（a，b）時，我們可以用兩種方法來求圓的方程，一種是：把幾何條件PC=r直譯成代數方程(x?a)2?(y?b)2?r，化簡方程得（x-a）2+（y-b）2= r2；另一種方法是：由方程x2+y2= r2按向量（a，b）進行平移，同樣可以得到圓的方程（x-a）2+（y-b）2= r2.（一題多解是轉化的載體）

數形轉化???（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2??平移轉化???（x-a）2+（y-b）2= r2 x2+y2= r2??下面我們要就利用數形結合的數學思想來研究其它曲線的性質，這一節課我們類比圓的研究方法來研究橢圓的方程和性質.（數學思想的教學，由實驗抽象出數學形式，定性研究）

3．新課類比學習橢圓定義

在學習圓錐曲線的時候，我們首先學習的是橢圓的方程和幾何性質，那么我們類比圓的定義和性質來研究，首先來做一個實驗.實驗過程由老師與學生的共同參與活動：在上面實驗研究的基礎上，啟發學生開放思想，大膽把條件進行變換，如果把一個定點分離成兩個定點，會變成怎樣一種情形？問題就變成“到這兩個定點的距離和等與定長的點的軌跡”是什么？讓學生自己也動手來做一做實驗，找一找動點的位置，說一說動點的軌跡是什么圖形.經過探索這個點運動的軌跡，得到初步的印象，有了一定的實驗結果，再由老師和學生共同梳理不同的實驗結果下的結論，然后老師再把實驗轉移到黑板上，和同學們共同完成對動點軌跡的探尋。根據條件由兩個定點和定長的線段共同限制下畫出橢圓的圖形，再由這些實驗帶來的信息，共同協商確定橢圓的定義.板演畫圖過程：首先出示一條確定長度的短繩，充分展示是短繩的長度是確定的，也稱之為定長.在黑板上取兩個定點，注意到定點的取法有三種，我們分三種情況進行討論，第一種情況，繩長大于兩個定點之間的距離；第二種情況，繩長等于兩個定點之間的距離；第三種情況，繩長小于兩個定點之間的距離.第一種情況，兩個定點的距離小于繩子的長度，把繩的兩個端點分別放在兩個定點上，拉直在繩子改變形狀，繩子的長度不會該變，使點在移動的過程中始終保持到兩個定點的距離和不變，下面我們在黑板所在的平面內找動點的位置以及運動形成的軌跡.哪個同學對這個問題很感興趣？愿意幫助老師找到滿足條件的點呢？好！讓學生們進行探討，然后請愿意表現的同學到黑板前面來，找出這些動點，用這些動點連接成一條曲線，觀察這個圖形，我們創造的這個圖形為橢圓.接下來第二種情況，再取繩長等于兩個定點之間的距離，找幾個學生到黑板上畫這樣的動點，使動點到兩個定點的距離和等于繩長，經過試驗、尋點、思考后學生認為這些動點構成了一條以兩個定點為端點的一條線段，即動點的軌跡是以定點為線段端點的一條線段.第三種情況，繩長小于兩個定點之間的距離時，找不到滿足條件的點，畫不出圖形.在這三種情形中，有兩種情形動點的軌跡是圖形，其中一個是橢圓，另一個是線段，第三種情況不表示任何圖形.在這些感性的認識基礎上，我們進行歸納、總結，得出準確可靠的結論，給出橢圓的嚴密定義：

平面內與兩定點F1，F2的距離的和等于常數（大于F1F2）的點的軌跡（或集合）叫做橢圓。F1，F2叫做橢圓的焦點；F1F2叫做橢圓的焦距.接下來我們在焦點不變的情況下，把定長變大或變小，再由同學親自動手畫一些其他的橢圓，以加深對橢圓的感性認識。學生實際操作的過程熱情很高，氣氛非常好，聽講時，精力非常集中，緊緊盯著黑板，這說明教學效果很好.有了畫圖形的實際操作經驗，再讓學生認真回味剛才畫圖的過程，從感性上體會橢圓、從理性上領悟橢圓的定義以及定長的變化對圖形形狀的影響，學生會從我們實驗的條件變更當中得出新結論，總結出：當定點距離不變時，定長越長時，圖形越接近于圓形，橢圓越鼓；定長越短時，圖形越接近于一條直線，橢圓越扁平。條件再度變更：在定長不變，改變兩個焦點的位置的情況下再來畫一組橢圓，體會條件變化對圖形的影響.黑板上這樣一個幾何圖形，是一條曲線圍成的封閉圖形，是我們不太熟悉的橢圓，在我們生活當中是比較常見的，當我們拿手電筒去照射垂直于光線的一個平面的時候，我們發現光斑所形成的是一個圓，當我們把平面變動或者是把手電筒移動使光線與平面呈一定角度時，所形成到光斑就是一個橢圓；在自然界一些天體的運行軌跡也是橢圓。由此可見，對橢圓的研究是源于人們對自然界的探索.4．運用數形結合求橢圓的方程

接下來我們要精確地研究橢圓的性質，再引導學生來思考怎樣來研究這樣一個新的圖形的性質：我們如果要精確地得到它的各種性質，當然是離不開數的精確描述.聯想天體的運動軌跡是橢圓，再聯想到科學家的對天體研究以及軌道預測和精確定位，這些都離不開一種精確的計算方法，這就是對“數”的計算，而我們得到的橢圓圖形，圖形和數是否有聯系呢？當然有，類比圓的研究方法，建立直角坐標系，用數與形結合思想的最好范例——解析法來研究幾何圖形，也就是把動點用數來表示，滿足的幾何條件轉化為方程表示.好，這樣我們就把數和形又一次地聯系起來.通過上面到方法我們知道，首先要建立直角坐標系，在建立直角坐標系時，我們按照使數據盡量小，使方程盡量簡單的原則，把兩個坐標軸分別建立在橢圓到對稱軸上.設兩個焦點之間距離是2c，定長為2a，然后，設橢圓上任意一點P的坐標（x，y），把P（x，y）到兩個定點F1(-c，0)，F2（c，0）的距離和等于定長2a的幾何條件轉化成代數方程，使圖形與方程之間建立聯系，我們就可以從方程的形式上，來研究得到橢圓的一些相應的性質.推導橢圓標準方程

推導方程：（以下方程推導過程由學生完成）

①建系：以F1和F2所在直線為x軸，線段F1 F2的中點為原點建立直角坐標系；

②設點：設M（x，y）是橢圓上任意一點，設F1F2=2c，則F1（-c，0），F2（c，0）；

③列式：由PF1+PF2=2a得

2?x?c?2?y2??x?c?2?y22?2a；

④化簡：移項平方后得?x?c??y2??x?c??y2?4a2?4a整理得，a2?cx?a?x?c?2?y2，?x?c?2?y2，兩邊平方后整理得，a2?c2x2?a2y2?a2a2?c2，由橢圓的定義知，2a＞2c，即a＞c，∴a2＞c2令a2?c2?b2，其中b＞0，代入上式，得b2x2?a2y2?a2b2，x2y2兩邊同時除以ab，得：2?2?1（a＞b＞0）.ab22????x2y2從上述推導過程可知，這個橢圓是所有以方程2?2?1（a＞b＞0）的解

ab為坐標的點組成的.這就是說，如果M（x0，y0）是橢圓上的點，那么（x0，x2y2y0）一定是這個方程的解；反過來，如果（x0，y0）是方程2?2?1（a＞b

ab＞0）的解，那么以它為坐標的點一定在這個橢圓上，這樣，我們就說方程x2y2??1（a＞b＞0）是這個橢圓的方程.a2b2這個方程叫做橢圓的標準方程，它的坐標軸為對稱軸，它表示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1（－c，0）、F2（c，0），其中b2＝ a2－c2.根據題目條件，直譯為關于動點的幾何關系，再利用解析幾何有關公式（兩點距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡.即把這種關系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程了.5．練習： 動點P（x,y）到兩定點A（－3，0）和B（3，0）的距離的比等于2 ?即|PA|?2?，求動點P的軌跡方程？ |PB|解：∵PA?(x?3)2?y2,|PB|?(x?3)2?y2，(x?3)2?y2|PA|?2?(x?3)2?y2?4(x?3)2?4y2，代入?2 得|PB|(x?3)2?y2化簡得（x－5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4為半徑的圓.6．小結：

這節課我們利用了重要的數學思想方法——數學結合，研究了橢圓的定義及其標準方程，主要學習了這幾個方面的問題：

（1）橢圓的定義；（2）橢圓的標準方程推導；

（3）通過這一節課的學習掌握解析幾何的基本思想和研究方法。7．作業：

（1）P42，練習A第1，2，3，4題.（2）預習第二節橢圓標準方程

8．反思預期效果（目標能否實現，提問、活動的針對性、有效性，預期效果等）

利用了重要的數學思想方法——數學結合，研究了橢圓的定義及其標準方程，同時也有動手動腦的實踐活動，教學預期效果較好，課堂氣氛很活躍，學生也愿意到前面參加演示活動，也自己動手動腦想了一些畫圖方法，學生學習興趣很高，在思考怎樣畫圖時也對原理進行了探究，教學目標順利實現。