第一篇：高中數(shù)學(xué) 《余弦定理》教案1 蘇教版必修5（模版）

第 3 課時(shí)：§1.2余弦定理（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

2.能夠運(yùn)用余弦定理理解解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題

3.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等多處知識間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.二、過程與方法

利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

2.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：向量方法證明余弦定理.【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.【授課類型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.正弦定理的內(nèi)容？

2.由正弦定理可解決哪幾類斜三角形的問題？

二、研探新知

1．余弦定理的向量證明：

方法1：如圖，在?ABC中，AB、BC、CA的長分別為c、a、b．∵AC?AB?BC，?????????

∴AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?????????????????????2?2AB?BC?BC?????????

2B?AB???2?2|AB|?|BC|cos(1800?B)+BC222?????????2?c2?2accosB?a2 即b?c?a?2accosB；

同理可證：a?b?c?2bccosA，c?a?b?2abcosC． 222222

方法2：建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)．所以

a2?(ccosA?b)2?(csinA)2?c2cos2A?c2sin2A?2bccosA?b2?b2?c2?2bccosA，同理可證

1b2?c2?a2?2accosB，c2?a2?b2?2abcosC

注意：此法的優(yōu)點(diǎn)在于不必對A是銳角、直角、鈍角進(jìn)行分類討論．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

b2?c2?a

2a?b?c?2bccosA?cosA? 2bc222

c2?a2?b2

b?c?a?2accosB?cosB? 2ca222

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosC?cosC? 2ab222

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

語言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。用符號語言表示：a2?b2?c2?2bccosA，?等；

2.理解定理

注意：（1）熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等

（2）余弦定理的應(yīng)用：①已知三邊，求三個(gè)角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

（3）當(dāng)夾角為90?時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

（4）變形：cosA?cosB?cosC? 2bc2ac2ac

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P在?ABC中，（1）已知b?3,c?1,A?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，14例1）

求A

7，8的三角形中，求最大角與最小角的和 例2 邊長為5，例3 在?ABC中，最大角A為最小角C的2倍，且三邊a、b、c為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求a、b、c的值

例4 在?ABC中，a、b是方程x?23x?2?0的兩根，又2cos(A?B)?1，求：（1）角C的度數(shù)；（2）求AB的長；（3）?ABC的面積

四、鞏固深化，反饋矯正

1．在?ABC中，sinA:sinB:sinC?3:5:7，那么這個(gè)三角形的最大角是_____

22.在?ABC中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，則A?______

在?ABC中，S?a2?b2?c2

3.4，則角C的度數(shù)是______

4.在?ABC中，已知a?7,b?8,cosC?1

314，則最大角的余弦值是______

5.已知銳角三角形的邊長分別是1、3、a，則a的取值范圍是_______

6.用余弦定理證明：在?ABC中，當(dāng)C為銳角時(shí)，a2?b2?c2；當(dāng)C為鈍角時(shí)，a2?b2?c2．

五、歸納整理，整體認(rèn)識

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

六、承上啟下，留下懸念

1．書面作業(yè)

七、板書設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

第二篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案1 蘇教版必修5

1.2余弦定理 第1課時(shí)

知識網(wǎng)絡(luò)

三角形中的向量關(guān)系→余弦定理 學(xué)習(xí)要求

1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會向量的工具性；

3． 能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評價(jià)

1．余弦定理：

(1)a2?b2?c2?2bc?cosA，______________________，______________________.(2)變形：cosA?

b

2?c

2?a

2，2bc

___________________，___________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：

（１）_______________________________；（２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在?ABC中，（1）已知b?3，c?1，A?600，求a；（2）已知a?4，b?5，c?6，求A（精確到0.10）． 【解】

點(diǎn)評: 利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）已知三邊，求三個(gè)

用心愛心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．

【例2】A,B兩地之間隔著一個(gè)水塘，聽課隨筆

擇另一點(diǎn)C，測CA?182m,CB?126m,?ACB?630，求A,B兩地之間的距離確到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理證明：在?ABCC為銳角時(shí)，a2?b2?c2；當(dāng)Ca2?b2?c2

．

【證】

點(diǎn)評:余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓(xùn)練一

１．在△ＡＢＣ中，求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，２．若三條線段的長為５，６，７，則用這

三條線段（）Ａ．能組成直角三角形 Ｂ．能組成銳角三角形 Ｃ．能組成鈍角三角形

專心

Ｄ．不能組成三角形

３．在△ＡＢＣ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠Ｃ的大小．

４．兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問：經(jīng)過４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠(yuǎn)？

【選修延伸】

【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2

?23x?2?0的兩根，2cos?A?B??1。

（1）求角C的度數(shù)；

（2）求AB的長；（3）求△ABC的面積。【解】

用心愛心

【例5】在△ABC中，角A、B、C聽課隨筆

分別為a，b，c，證明： a

2?b2

?A?B?。

c

2?

sinsinC

追蹤訓(xùn)練二

1．在△ABC中，已知b?2，c?1，B=450則a?（）A2B

6?2C

6?2

6?22

D2

2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31則A=（）

A?2???

B

3C6D

43．在△ABC中，若b?10，c?15，C=?

6則此三角形有解。

4、△ABC中，若a2

?c2

?bc?b2，則A=_______.專心

【師生互動(dòng)】

用心愛心 專心3

第三篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》素材1 蘇教版必修5

1.1～1.2正弦定理、余弦定理要點(diǎn)解讀

一、正弦定理

1．正弦定理及其證明

abc． ??sinAsinBsinC

課本利用三角形中的正弦函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積兩種方法證明了正弦定理，同學(xué)們可以思考一下有沒有別的方法呢？答案是肯定的．證明如下：

當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)（如圖所示），過點(diǎn)A作單位向量i垂直于AB，因?yàn)????????????????????????????????AC?AB?BC，所以·iAC?·i(AB?BC)?·iAB?·iBC，bcos(90°?A)?0?acos(90°?B)，在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

ab． ?sinAsinB

當(dāng)△ABC為鈍角或直角三角形時(shí)也可類似證明．

2．正弦定理常見變形公式 即bsinA?asinB，得

bsinAcsinAcsinBasinBasinCbsinC，b?，c?； ???sinBsinCsinCsinAsinAsinB

（2）a:b:c?sinA:sinB:sinC；

（3）a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC（R為△ABC外接圓的半徑）；（1）a?

（4）sinA?（5）abc，sinB?，sinC?； 2R2R2Ra?b?cabc． ???sinA?sinB?sinCsinAsinBsinC

注：這些常見的變形公式應(yīng)熟練掌握，在具體解題時(shí)，可根據(jù)不同的題設(shè)條件選擇不同的變形公式．

3．正弦定理的運(yùn)用

利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和另一角；

②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角．

二、余弦定理

1．余弦定理及表達(dá)式

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．

a2?b2?c22?b2?c2?a22?bcco；s Acao；s Bc2?a2?b22?acbo．s C注：余弦定理反映了a，b，c，A，B，C元素間的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)，揭示了任意三角形的邊、角關(guān)系．

2．余弦定理的另一種表達(dá)形式

b2?c2?coAs?2bc

c2?a2?coBs?2aca2； b2；

用心愛心專心

a2?b2?c2

coC； s?2ab

注：若已知三邊求角時(shí)，應(yīng)用余弦定理的此表達(dá)形式簡單易行．

3．余弦定理的運(yùn)用

利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)解三角形的問題：

（1）已知三邊，求三個(gè)角；

（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．

注：這兩類問題在有解時(shí)都只有一個(gè)解．

4．勾股定理和余弦定理的區(qū)別與聯(lián)系

勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系．由余弦定理及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．因此，勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情況，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣．

用心愛心專心

第四篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案2 蘇教版必修5

第2課時(shí)余弦定理

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識網(wǎng)絡(luò)

余弦定理?航運(yùn)問題中的應(yīng)用

?

?判斷三角形的形狀

學(xué)習(xí)要求

1．能把一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；

2．余弦定理的教學(xué)要達(dá)到“記熟公式”和“運(yùn)算正確”這兩個(gè)目標(biāo)；

3．初步利用定理判斷三角形的形狀。【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評價(jià)

1．余弦定理：

(1)_______________________，_______________________，_______________________.(2)變形：____________________，_____________________，_____________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類解斜三角形的問題：（１）_______________________________；（２）______________________________． 【精典范例】

【例1】在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流，一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)江北岸B碼頭，????

設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東150，并與A碼頭相距1.2km．該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少（角度

精確到0.10，速度精確到0.1km/h）？

【解】

用心愛心 聽課隨筆

【例2】在?ABC中，已知

sinA?2sinBcosC，試判斷該三角形的形狀． 【解】

【例3】如圖，AM是?ABC中BC

中線，求證：

AM?

．

【證明】

追蹤訓(xùn)練一

1.在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（Ａ．Ｂ．?2 Ｃ．?1 Ｄ．?13

2.如圖，長７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯腳與壁基相距１．５ｍ，梯頂在沿著壁向上

專心

６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精確到０.１°）．

3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，試證明此三角形為銳角三角形．

【選修延伸】

3【例4】在△ABC中，設(shè)

a?b3?c3

a?b?c

?c2，且sinAsinB?34，請判斷三角形的形狀。

【解】

用心愛心聽課隨筆

專心

第五篇：2014年高中數(shù)學(xué) 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理 教材分析

三維目標(biāo)

知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。

過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

教學(xué)建議

課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個(gè)問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對過去的知識有了新的認(rèn)識，同時(shí)使新知識建立在已有知識的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識結(jié)構(gòu)．設(shè)置這樣的問題，是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡潔，通過向量知識給予證明,引起學(xué)生對向量知識的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡便之處.教科書就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力．

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn),在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、求證目的 啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系,在應(yīng)用向量知識的同時(shí),注意使學(xué)生體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系.導(dǎo)入一

提問1：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正弦定理，解決了有關(guān)三角形的兩類問題：已知兩角和任意一邊；②已知兩邊和其中一邊的對角.三角形中還有怎樣的問題沒有解決？

已知兩邊和夾角；已知三邊.首先分析最特殊的三角形——直角.如圖1.已知兩邊a,b及夾角?C?90，能否求第三邊？

勾股定理c2?a2?b

2提問2：在斜三角形中邊和角有怎樣的關(guān)系？

在△ABC中，當(dāng)?C?90時(shí)，有c2?a2?b2．

實(shí)驗(yàn)：若a,b邊的長短不變，?C的大小變化,c2與a2?b2有怎樣的大小關(guān)系呢？

如圖2，若?C?90時(shí)，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變短，即c2?a2?b2.如圖3，若?C?90時(shí)，由于b邊與a邊的長度不變，所以c邊的長度變長，即c2?a2?b2.當(dāng)?C?90時(shí)，c2?a2?b2，那么c2與a2?b2到底相差多少呢？與怎樣的角有關(guān)呢？顯然應(yīng)與∠C的大小有關(guān).圖1 圖2 圖

3導(dǎo)入新課二

師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用,在體會向量應(yīng)用的同時(shí),解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對角這兩類解三角形問題.當(dāng)時(shí)對于已知兩邊夾角求第三邊問題未能解決,下面我們來看如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識來研究這一問題

在△ABC中,設(shè)BC=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來表示

A

師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示,DB可利用AB-AD轉(zhuǎn)化為AD,進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解

解：過C作CD⊥AB,垂足為D,則在Rt△CDB中,根據(jù)勾股定理可得

A2=CD2+BD

∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD

又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD

∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·COs

A

∴a2=b2+c2-2abcosA

.類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcos

C

另外,當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論,當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.