第一篇：談初中數學校本教材的開發

一、把握數學的生活性——“使教學有生活味”

《數學課程標準》中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息做出恰當的選擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創造價值”。這說明數學來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。現代數學論認為：數學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發學生學習數學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用學到的數學知識去解決實際生活中的數學問題。

二、把握數學的美育性——“使教學有韻味”

數學家克萊因認為：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切。”美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數學就具有上述美的特點。

簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而且經常是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。

數學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空間。抽象的數學不正展示它的魅力嗎？

數學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協調，平穩的感覺，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

中學數學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發現數學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。

三、把握校本教材的可讀性-------“使教學有拓展性”

陶行知先生早就說過：“在現狀下，把學習的基本自由還給學生。”，經過我們反復的思考和研究，同時邀請專家親臨指點，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設計理念就是要“把學習的基本自由還給學生”，所有的過程基本上都是以學生的活動展開的，真正實現“自主、合作、探究”的學習方式的變革，本課程共分為六個章節，分別是：《古老的數學》，《好玩的數學》，《有用的數學》，《智慧的數學》，《先進的數學》和《美麗的數學》。

在《古老的數學》一章中，并不是把數學史作為一門研究數學的起源、發展過程和規律的學科，而是根據現代心理學發現的一個體現數學史的認知功能的“遺傳法則”。從數學一次又一次的飛躍中尋找數學發現的故事，用故事的形式讓學生了解這些數學知識產生的背景、體會數學家們為尋找這些知識的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學生從本質上更好的理解自己所學的知識；

另一方面也可以以此作為人生觀與價值觀教育的教材，讓學生體會“只有付出努力才會獲得成功的人生道理”，“為實現理想而不懈追求的數學精神”。

在《好玩的數學》一章中，利用心理學中“興趣是學習最好的老師”的規律，以一系列數學游戲為載體，讓學生感受到數學并不是“枯燥”的代名詞，真正的數學其實可以是樂趣無窮的，以此來激發學生的學習興趣，并以這種興趣作為他以后學習數學的動力和源泉。這樣一方面可以讓學生主動意識到自己愛玩的游戲原來與數學緊密相連，從而為學生學好數學培養內在驅動力；

另一方面，也可以在學生玩游戲的過程中幫助學生鞏固看似乏味的知識，讓學生的學科知識在游戲中得到鍛煉和提升。

在《有用的數學》一章中，根據《數學課程標準》：義務教育階段的數學課程要求“人人學有價值的數學”，設計了很多貼近學生、符合實際、利用學生現有知識能夠解決的生活實例。這樣做可以使學生深刻的感受到生活中處處存在著數學，數學來源于生活。這些在生活中經常碰到的數學問題需要我們去探究，學生通過對這些數學問題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數學，知道學習和學好數學是很有用的，從而進一步培養學生學習數學的興趣、增強學生學好數學的內在驅動力。

在《智慧的數學》一章中，通過穿插一些有趣的數學小故事,以改變人們認為科學研究枯燥無味的看法。本章內容主要包括有趣的數學問題、經典的數學問題、奇怪的數學問題。通過對“有趣的數學問題”的研究，使學生對數學中的存在的智慧產生強烈的好奇與追求，從而激發學生天生的求知欲；

通過對“經典的數學問題”的研究使學生掌握一些基本的數學方法，學會用數學的方法解決問題；

通過對“奇怪的數學問題”的研究，幫助學生開闊眼界，增長知識、鍛煉和培養學生的創新思維。

在《先進的數學》一章中，主要學習和研究數學軟件“幾何畫板”的使用方法。通過對幾何畫板軟件的學習，可以激發學生的學習興趣，拓寬學生的知識面，改變學生“數學枯燥論”和“數學無用論”的觀點；

可以開發學生的學習潛能，培養學生的學習習慣，改變學生的學習方式，從而實現提高學生數學素養的目的；

另外，通過對幾何畫板軟件的學習，可為學生學習其他計算機軟件打下了一個結實的基礎，從而提高學生的電腦素養，為學生終身發展和可持續發展做出數學教育上的貢獻。

在《美麗的數學》一章中，展示給大家的是數學的美麗無所不在，數學的符號、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法……都是很美麗的。這些“數學之美”都需要我們能夠和我們的學生一起去尋找、去發現、去挖掘、去欣賞，使美麗的數學成為學生快樂學習的源泉。數學的美麗使我們深刻感受到數學的教育不應該僅僅是作為對數學學科的教學，更應該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學生的心靈，讓學生的人格更健全，心靈更美好。

開發校本課程要有高度的責任感、使命感和強烈的事業心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業來做，要付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程才能在這個過程中感受成功的喜悅與幸福。

開發校本課程，首先要有一個追求（對我們國家的教育事業無比熱愛，功利心不能太強，不要一說到數學研究就問這件事情對我職稱評審有沒有用，對我評骨干教師有沒有用……），要確定一個核心思想（即開發的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內外各類資源，要不斷地進行課程資源的積累和課程特色的培育；

校本課程的規劃要根據學生的課程需要來制訂；

要選擇貼近時代特點、社會發展與學生實際的課程內容，要變革教學方式和學習方式，充分發揮師生的獨立性、自主性和創造性，引導學生在身心愉悅的環境中實踐和研究。

校本課程的開發和建設是一個漫長的道路，需要我們時時刻刻做一個有心人，心中時時刻刻裝著為學生的終身發展和可持續發展考慮，裝著為我們數學教學向數學教育轉變服務的理想和追求。

第二篇：初中數學校本教材(完整版)

初中數學校本教材

———— 《生活與數學》序言

一、把握數學的生活性——“使教學有生活味”

《數學課程標準》中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息做出恰當的選擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創造價值”。這說明數學來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。現代數學論認為：數學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發學生學習數學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用學到的數學知識去解決實際生活中的數學問題。

二、把握數學的美育性——“使教學有韻味”

數學家克萊因認為：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切?！?美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數學就具有上述美的特點。

簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而且經常是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。

數學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空間。抽象的數學不正展示它的魅力嗎？

數學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協調，平穩的感覺，像圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

中學數學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發現數學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。

三、把握校本教材的可讀性-------“使教學有拓展性”

陶行知先生早就說過：“在現狀下，把學習的基本自由還給學生?！?，經過我們反復的思考和研究，同時邀請專家親臨指點，最終我們確定本課程的基本框架，本課程的設計理念就是要“把學習的基本自由還給學生”，所有的過程基本上都是以學生的活動展開的，真正實現“自主、合作、探究”的學習方式的變革，本課程共分為六個章節，分別是：《古老的數學》，《好玩的數學》，《有用的數學》，《智慧的數學》，《先進的數學》和《美麗的數學》。

在《古老的數學》一章中，并不是把數學史作為一門研究數學的起源、發展過程和規律的學科，而是根據現代心理學發現的一個體現數學史的認知功能的“遺傳法則”。從數學一次又一次的飛躍中尋找數學發現的故事，用故事的形式讓學生了解這些數學知識產生的背景、體會數學家們為尋找這些知識的付出的艱辛。這樣一方面可以讓學生從本質上更好的理解自己所學的知識；另一方面也可以以此作為人生觀與價值觀教育的教材，讓學生體會“只有付出努力才會獲得成功的人生道理”，“為實現理想而不懈追求的數學精神”。

在《好玩的數學》一章中，利用心理學中“興趣是學習最好的老師”的規律，以一系列數學游戲為載體，讓學生感受到數學并不是“枯燥”的代名詞，真正的數學其實可以是樂趣無窮的，以此來激發學生的學習興趣，并以這種興趣作為他以后學習數學的動力和源泉。這樣一方面可以讓學生主動意識到自己愛玩的游戲原來與數學緊密相連，從而為學生學好數學培養內在驅動力；另一方面，也可以在學生玩游戲的過程中幫助學生鞏固看似乏味的知識，讓學生的學科知識在游戲中得到鍛煉和提升。

在《有用的數學》一章中，根據《數學課程標準》：義務教育階段的數學課程要求“人人學有價值的數學”，設計了很多貼近學生、符合實際、利用學生現有知識能夠解決的生活實例。這樣做可以使學生深刻的感受到生活中處處存在著數學，數學來源于生活。這些在生活中經常碰到的數學問題需要我們去探究，學生通過對這些數學問題的解決，能夠更具體更深刻的理解什么是數學，知道學習和學好數學是很有用的，從而進一步培養學生學習數學的興趣、增強學生學好數學的內在驅動力。

在《智慧的數學》一章中，通過穿插一些有趣的數學小故事,以改變人們認為科學研究枯燥無味的看法。本章內容主要包括有趣的數學問題、經 典的數學問題、奇怪的數學問題。通過對“有趣的數學問題”的研究，使學生對數學中的存在的智慧產生強烈的好奇與追求，從而激發學生天生的求知欲；通過對“經典的數學問題”的研究使學生掌握一些基本的數學方法，學會用數學的方法解決問題；通過對“奇怪的數學問題”的研究，幫助學生開闊眼界，增長知識、鍛煉和培養學生的創新思維。

在《先進的數學》一章中，主要學習和研究數學軟件“幾何畫板”的使用方法。通過對幾何畫板軟件的學習，可以激發學生的學習興趣，拓寬學生的知識面，改變學生“數學枯燥論”和“數學無用論”的觀點；可以開發學生的學習潛能，培養學生的學習習慣，改變學生的學習方式，從而實現提高學生數學素養的目的；另外，通過對幾何畫板軟件的學習，可為學生學習其他計算機軟件打下了一個結實的基礎，從而提高學生的電腦素養，為學生終身發展和可持續發展做出數學教育上的貢獻。

在《美麗的數學》一章中，展示給大家的是數學的美麗無所不在，數學的符號、公式、算法、圖形、表格、方程、解題思路、解題方法??都是很美麗的。這些“數學之美”都需要我們能夠和我們的學生一起去尋找、去發現、去挖掘、去欣賞，使美麗的數學成為學生快樂學習的源泉。數學的美麗使我們深刻感受到數學的教育不應該僅僅是作為對數學學科的教學，更應該把它作為一種審美教育的載體，用它來感染和啟迪學生的心靈，讓學生的人格更健全，心靈更美好。

開發校本課程要有高度的責任感、使命感和強烈的事業心，決不能僅僅憑著自己的興趣，更重要的是要把它作為自己的事業來做，要付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程，只有付出艱辛的努力、經歷痛苦的歷程才能在這個過程中感受成功的喜悅與幸福。

開發校本課程，首先要有一個追求（對我們國家的教育事業無比熱愛，功利心不能太強，不要一說到數學研究就問這件事情對我職稱評審有沒有用，對我評骨干教師有沒有用??），要確定一個核心思想（即開發的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校內外各類資源，要不斷地進行課程資源的積累和課程特色的培育；校本課程的規劃要根據學生的課程需要來制訂；要選擇貼近時代特點、社會發展與學生實際的課程內容，要變革教學方式和學習方式，充分發揮師生的獨立性、自主性和創造性，引導學生在身心愉悅的環境中實踐和研究。

校本課程的開發和建設是一個漫長的道路，需要我們時時刻刻做一個有心人，心中時時刻刻裝著為學生的終身發展和可持續發展考慮，裝著為我們數學教學向數學教育轉變服務的理想和追求。

編者按

2011年8月

第一章

興趣數學

第一節

七橋問題（一筆畫問題）

18世紀時，歐洲有一個風景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的左岸B、右岸C各有兩座橋相連結，河中兩支流間的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結。當時哥尼斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發點？大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個問題。

七橋問題引起了著名數學家歐拉（1707—1783）的關注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線 只畫一次不準重復），并且最后返回起點？

歐拉經過研究得出的結論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結論是如何產生呢？

如果我們從某點出發，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結。如果畫筆經過一個n次，那 么就有2n條線與該點相連結。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數條線相連。

如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數條線相連的點。

綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數條線相連。

圖2中的A點與5條線相連結，B、C、D各點各與3條線相連結，圖中有4個與奇數條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。

歐拉定理 ：

如果一個圖是連通的并且奇頂點的個數等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

一筆畫：

■⒈凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

■⒉凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

■⒊其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)

練習：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試試看。（不走重復線路）圖例1

圖例2

圖例3

圖例4

第二節

四色問題

人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區或區域通過不同的顏色區分開來，就未必是一個簡單的問題了。

這個地圖著色問題，是一個著名的數學難題。大家不妨用一張中國政區圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區別開來。所以，很早的時候就有數學家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了。”這就是“四色問題”這個名稱的由來。

四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色?！庇脭祵W語言表示，即“將平面任意地細分為不相重迭的區域，每一個區域總可以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字?！保ㄉ嫌覉D）。

這里所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

數學史上正式提出“四色問題”的時間是在1852年。當時倫敦的大學的一名學生法朗西斯向他的老師、著名數學家、倫敦大學數學教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，求助于其它數學家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數學界的一個“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國數學會通告》正式宣布了一件震撼全球數學界的消息：美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問題”這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉化為2000個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足1200個小時，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題，轟動了世界。

這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。

第三節

麥比烏斯帶

數學上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？

對于這樣一個看來十分簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。后來，德國的數學家麥比烏斯對此發生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結果。

有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。

一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向對接成一個圓圈兒，他驚喜地發現，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。

麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。

圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面。” 麥比烏斯圈就這樣被發現了。

做幾個簡單的實驗，就會發現“麥比烏斯圈”有許多讓我們感到驚奇而有趣的結果。弄好一個圈,粘好,繞一圈后可以發現,另一個面的入口被堵住了,原理就是這樣啊.實驗一

如果在裁好的一張紙條正中間畫一條線，粘成“麥比烏斯圈”，再沿線剪開，把這個圈一分為二，照理應得到兩個圈兒，奇怪的是，剪開后竟是一個大圈兒。實驗二

如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“麥比烏斯圈”，用剪刀沿畫線剪開，剪刀繞兩個圈竟然又回到原出發點，猜一猜，剪開后的結果是什么，是一個大圈？還是三個圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動手做這個實驗就知道了。你就會驚奇地發現，紙帶不一分為二，一大一小的相扣環。

有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起。我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含于兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身并不打結罷了。

奇妙之處有三：

一、麥比烏斯環只存在一個面。

二、如果沿著麥比烏斯環的中間剪開，將會形成一個比原來的麥比烏斯環空間大一倍的、具有正反兩個面的環（在本文中將之編號為：環0），而不是形成兩個麥比烏斯環或兩個其它形式的環。

三、如果再沿著環0的中間剪開，將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，且這兩個環是相互套在一起的（在本文中將之編號為：環1和環2），從此以后再沿著環1和環2以及因沿著環1和環2中間剪開所生成的所有環的中間剪開，都將會形成兩個與環0空間一樣的、具有正反兩個面的環，永無止境……且所生成的所有的環都將套在一起，永遠無法分開、永遠也不可能與其它的環不發生聯系而獨立存在。

數學中有一個重要分支叫拓撲學，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，麥比烏斯圈變成了拓撲學中最有趣的單側面問題之一。

麥比烏斯圈的概念被廣泛地應用到了建筑，藝術，工業生產中。運 用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。

一、1979年，美國著名輪胎公司百路馳創造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。

二、針式打印機靠打印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設計成麥比烏斯圈。

三、在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強版”的云霄飛車——它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。

四、麥比烏斯圈循環往復的幾何特征，蘊含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標志設計。微處理器廠商Power Architecture的商標就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標志也是由麥比烏斯圈變化而來。

垃圾回收標志

Power Architecture 標志

第四節

分割圖形

分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強觀察能力的一種有趣的游戲。我們先來看一個簡單的分割圖形的題目──分割正方形。在正方形內用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。

用4條線段還可以把一個正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動腦筋想想，在動腦的同時還要動手畫一畫

其實，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。

練習：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應該怎樣分？

第五節

數學故事

（1）奇特的墓志銘

在大數學家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾 何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個定理。

在數學家魯道夫的墓碑上，則鐫刻著圓周率π的35位 數值。這個數值被叫做?！濒數婪驍怠?。它是魯道夫畢生心血 的結晶。

大數學家高斯曾經表示，在他去世以后，希望人們在他 的墓碑上刻上一個正17邊形。因為他是在完成了正17邊形 的尺規作圖后，才決定獻身于數學研究的……

不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數學家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數學題： “過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年時期。又過了生命 的 1／ 7他才結婚?；楹?5年有了一個孩子，孩子活到他 父親一半的年紀便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結束了塵世生涯。過路人，你知道丟 番圖的年紀嗎？” 丟番圖的年紀究竟有多大呢？

設他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀，只要解出這個方程就行了。

這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰 就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻身的事業。

在丟番圖之前，古希臘數學家習慣用幾何的觀點看待 遇到的所有數學問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個大代數學家，喜歡用代數的方法來解決問題?，F代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方 程，發明了許多巧妙的方法，被西方數學家譽為這門數學 分支的開山鼻祖。

丟番圖也是古希臘最后一個大數學家。遺憾的是，關 于他的生平。后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。

（2）希臘十字架問題

圖上那只巨大的復活節彩蛋上有一個希臘十字架，從它引發出許多切割問題，下面是其中的三個。

(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個正方形;

有無限多種辦法把一個希臘十字架分成四塊，再把它們拼成一個正方形，下圖給出了其中的一個解法。奇妙的是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結果，分成的四塊東西總是能拼出一個正方形。

(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個矩形，要求其 長是寬的兩倍。

第二章

最完美的數

完美數又稱為完全數,最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒發現的,他們注意到: 數6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一個具有同樣性質的數是28, 28=1+2+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數為完美數.歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了: 若2n-1是素數,則數 2n-1[2n-1](1)是完全數.兩千年后,歐拉證明每個偶完全數都具有這種形式.這就在完全數與梅森數(形式為2n?1的素數)之間建立了緊密的聯系,到1999

年6月1日為止,共發現了38個梅森素數,這就是說已發現了38個完全數.1：完全數是非常奇特的數,它們有一些特殊性質,例如每個完全數都是三角形數,即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它們(6除外)的各位數字相加,直到變成一位數,那么這個一位數一定是1;它們都是連續奇數的立方和(6除外), 22(23-1)=28=13+33 2(2-1)=496=1+3+5+7

2(2-1)=8128=1+3+5+7+9+11+13+1

5....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每個完全數的所有因子(包括自身)的倒數和等于1,比如: 67

3453

31/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全數都是以6或8結尾的,如果以8結尾,那么就肯定是以28結尾.注意以上談到的完全數都是偶完全數,至今仍然不知道有沒有奇完全數,如果真的存在奇完全數.第三章

有理數的巧算

有理數運算是中學數學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號的使用

在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．

例1 計算：

分析 中學數學中，由于負數的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數與負數的性質符號．因此進行有理數運算時，一定要正確運用有理數的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．

注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數變成分數，把帶分數變成假分數，這樣便于計算．

例2 計算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接計算很麻煩，根據運算規則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數巧算中的常用技巧．

例3 在數1，2，3，?，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？

分析與解 因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2個奇數，即有999個奇數，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小于1．

現考慮在自然數n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

這啟發我們將1，2，3，?，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則添加符號，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非負數是1．

說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．

2．用字母表示數

我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

這是一個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．

例4 計算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 計算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 計算：

分析與解 直接計算繁．仔細觀察，發現分母中涉及到三個連續整數：12 345，12 346，12 347．可設字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變為n2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 計算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，?每一個數都是前一個數的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=??

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 計算：

分析 在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

這個公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本題就是一個例子．

通過以上例題可以看到，用字母表示數給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化．

例9計算：

我們用一個字母表示它以簡化計算．

． 觀察算式找規律

例10 某班20名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析與解 若直接把20個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90上下，所以可取90為基準數，大于90的數取“正”，小于90的數取“負”，考察這20個數與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95．

例11 計算1+3+5+7+?+1997+1999的值．

分析 觀察發現：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+?+1997+1999． ①

再將S各項倒過來寫為 S=1999+1997+1995+?+3+1． ②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(1000個2000)

=2000×1000．

從而有 S=1000 000．

說明 一般地，一列數，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=?=1999-1997，都等于2)，那么，這列數的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．

例13 計算 1+5+52+53+?+599+5100的值．

分析 觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．

解 設

S=1+5+52+?+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+?+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，說明 如果一列數，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．

例14 計算：

分析 一般情況下，分數計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式

來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．

解 由于

所以

說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現一些可以相消的相反數的項，這種方法在有理數巧算中很常用．

練習

1．計算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+?+244；

2．某小組20名同學的數學測驗成績如下，試計算他們的平均分．

81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第四章 歸納與發現

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．

例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，?這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

分析與解 我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有的點數．

第一層有點數：1；

第二層有點數：1×6； 第三層有點數：2×6； 第四層有點數：3×6；

??

第n層有點數：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數為

例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？

(2)這n個圓共有多少個交點？

分析與解(1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域有多少個？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因為S1=2，所以

Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．

下面對

因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發現

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，?? an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個式子相加

注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．

(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3．

(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．

這時滿足條件的三角形總數為：1＋2＋3=6．

通過上面這些特例不難發現，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

例4 設1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n 33 =2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設x＞0，試比較代數式x3和x2+x+2的值的大?。?/p>

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路．為此，設x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2．

那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣(1)當x=2時，x3=x2+x+2；(2)當0＜x＜2時，因為

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當x＞2時，因為

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答． 練習七

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？

然后做出證明.)

3．求適合x5=656356768的整數x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的數學（儲蓄、保險與納稅）

儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數學問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增強理財的自我保護意識和處理簡單財務問題的數學能力．

1．儲蓄

銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內的利息對本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經×存期)．

如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 設年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．

以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金．相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復利法，即利息再生利息．目前我國銀行存款多數實行的是單利法．不過規定存款的年限越長利率也越高．例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22．1所示．

用復利法計算本利和，如果設本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,?，sn，則

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，??，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？

解 按表22．1的利率計算．

(1)連續存五個1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一個2年期，再連續存三個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先連續存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一個3年期，再轉存一個2年期，則5年后的本利和為

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一個3年期，然后再連續存二個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一個5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規定的年利率已經充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．

2．保險

保險是現代社會必不可少的一種生活、生命和財產保護的金融事業．例如，火災保險就是由于火災所引起損失的保險，人壽保險是由于人身意外傷害或養老的保險，等等．下面舉兩個簡單的實例．

例3 假設一個小城鎮過去10年中，發生火災情況如表22．2所示．

試問：(1)設想平均每年在1000家中燒掉幾家？

(2)如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費保險公司才不虧本？

解(1)因為

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．

(2)投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費．

例4 財產保險是常見的保險．假定A種財產保險是每投保1000元財產，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續保需重新交費．B種財產保險是按儲蓄方式，每1000元財產保險交儲蓄金25元，保險一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費．今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年．試問兄弟二人誰投的保險更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)

解 哥哥投保8萬元A種財產保險，需交保險費

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8萬元B種財產保險，按每1000元交25元保險儲蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保險更合算些．

3．納稅

納稅是每個公民的義務，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家規定納稅外，個人勞務增收也應納稅．現行勞務報酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務報酬不超過1000元的(包括1000元)，預扣率為3％，全額計稅．

(2)每次取得勞務報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

(3)每次取得勞務報酬4000元以上的，減除20％的費用后，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

每次取得勞務報酬超過20000元的(暫略)．

由(1)，(2)，(3)的規定，我們如果設個人每次勞務報酬為x元，y為相應的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關于勞務報酬納稅的分段函數：

例5 小王和小張兩人一次共取得勞務報酬10000元，已知小王的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務報酬多少元？

解 根據勞務報酬所得稅計算方法(見函數①)，從已知條件分析可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

由①得y=10000-x，將之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

則 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小張收入3000元．

例6 如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是

其中y(x)表示稿費為x元應繳納的稅額．

那么若小紅的爸爸取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到6216元，問這筆稿費是多少元？

解 設這筆稿費為x元，由于x＞4000，所以，根據相應的納稅規定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化簡、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 這筆稿費是7000元．

練習八

1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉存下一年，共續存10年；

(2)先連續存三個3年期，9年后將本利和轉存1年期，合計共存10年；

(3)連續存二個5年期．

2．李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問這種債券的年利率是多少？

3．王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這筆稿費是多少元？

4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？

第六章

中外著名數學家

1、韋達（1540-1603），法國數學家。

年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發現了方程根與分數的關系，韋達在歐洲被尊稱為“代數學之父”。1579年，韋達出版《應用于三角形的數學定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法國數學家、物理學家和哲學家．

16歲的時候就發現了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻．19歲時，發明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機．他對連續不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對微積分學的建立起到了積極的作用．帕斯卡對數學的最大貢獻是創立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應用了算術三角形（即二項式定理系數表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數規律以及這個三角形的構造及其許多有趣的性質。帕斯卡在物理學方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉人書》對法國散文的發展產生了重要的影響。

3、在數學史上，很難再找到如此年輕而如此有創見的數學家。他就是出生在法國的伽羅華（1811——1832）

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關于《五次方程代數解法》這個世界數學難題的論文，最先提出了近代數學的一個基本概念

——“群”?？墒沁@篇論文被法國科學院一位目空一切的數學家丟失了。次年，他又寫了幾篇數學論文送交法國科學院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡述，寄往法國科學，他去信尖銳地提醒權威們：“第一，不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學生，”而“預先決定我對這個問題無能為力?！痹谶@封咄咄逼人的書信面前，有兩位數學家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候?！痹跊Q斗前夜，他給友人寫了著名的“科學遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的?！?/p>

他的預言成為現實，那是在三十八年他的六十頁厚的論文終于出版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基 人。

4、劉 徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產．

《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創造性的

貢獻．他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表示無理數的立方根．在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術”，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作．

《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．

5、賈 憲

賈憲，中國古代北宋時期杰出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數導）均已失傳。

他的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性，這個方法的提出要比歐洲數學家霍納的結論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。早年在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的《數書九章》?！稊禃耪隆啡珪?8卷，81題，分為九大類。其最重要的數學成就----“大衍總數術”（一次同余組解法）與“正負開方術"(高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法?！疤煸g”與現代代數中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某“，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步數學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》

后序）。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）?！端阈g啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）．

9、祖沖之

祖沖之（公元429～500年）祖籍是現今河北省淶源縣，他是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關于圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數都是π的漸近分數。

10、祖 暅

祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式?，F行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀可謂祖暅對世界杰出的貢獻。

11、楊輝

楊輝，中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多。

第三篇：初中數學興趣小組校本教材

初中數學校本教材

———— 《校本課程》序言

一、把握數學的生活性——“使教學有生活味”

《數學課程標準》中指出：“數學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規律，并對現代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當的選擇和判斷，進而解決問題，直接為社會創造價值”。這說明數學來源于社會，同時也反作用于社會，社會生活與數學關系密切，它已經滲透到生活的每個方面，我們的衣食住行都離不開它。

現代數學論認為：數學源于生活，又運用于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發學生學習數學的求知欲，幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用學到的數學知識去解決實際生活中的數學問題。

二、把握數學的美育性——“使教學有韻味”

數學家克萊因認為：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作。音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予以上的一切?！?美作為現實的事物和現象，物質產品和精神產品、藝術作品等屬性總和，具有：勻稱性、比例性、和諧性、色彩變幻、鮮明性和新穎性。作為精神產品的數學就具有上述美的特點。

簡練、精確是數學的美。數學的基本定理說法簡約，卻又涵蓋真理，讓人閱讀簡便卻又印象深刻。數學語言是如此慎重的、有意的而且經常是精心設計的，憑借數學語言的嚴密性和簡潔性，我們就可以表達和研究數學思想，這種簡潔性有助于思維的效率。

數學很講究它的邏輯美。數學的應用是被人們廣泛認同的，可學習數學還能訓練人的邏輯思維能力。尤其是幾何的證明講究前因后果，每一步都要前后呼應，抽象的數學也顯示它模糊的美。抽象給我們想象的余地，讓我們思維海闊天空，給學生留有了思索和創新的空間。抽象的數學不正展示它的魅力嗎？

數學上有很多知識是和對稱有關的。對稱給人協調，平穩的感覺，象圓，正方體等，它們的形式是如此的勻稱優美。正是由于幾何圖形中有這些點對稱、線對稱、面對稱，才構成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來豐富的自然美，多彩的生活美。

中學數學的美育性，除了上述一些方面，還有其它美妙的地方，只要我們用心挖掘和捕捉，就會發現數學蘊涵著如此豐富的美的因素，教師要善于挖掘美的素材，在學生感受美的同時既提高教學質量，又使教學韻味深厚。

第一章

興趣數學

第一節七橋問題（一筆畫問題）

18世紀時，歐洲有一個風景秀麗的小城哥尼斯堡，那里有七座橋。如圖1所示：河中的小島A與河的 左岸B、右岸C各有兩座橋相連結，河中兩支流間 的陸地D與A、B、C各有一座橋相連結。當時哥尼 斯堡的居民中流傳著一道難題：一個人怎樣才能一次 走遍七座橋，每座橋只走過一次，最后回到出發點？ 大家都試圖找出問題的答案，但是誰也解決不了這個 問題。

七橋問題引起了著名數學家歐拉（1707—1783）的關注。他把具體七橋布局化歸為圖所示的簡單圖形，于是，七橋問題就變成一個一筆畫問題：怎樣才能從A、B、C、D中的某一點出發，一筆畫出這個簡單圖形（即筆不離開紙，而且a、b、c、d、e、f、g各條線 只畫一次不準重復），并且最后返回起點？

歐拉經過研究得出的結論是：圖是不能一筆畫出的圖形。這就是說，七橋問題是無解的。這個結論是如何產生呢？ 如果我們從某點出發，一筆畫出了某個圖形，到某一點終止，那么除起點和終點外，畫筆每經過一個點一次，總有畫進該點的一條線和畫出該點的一條線，因此就有兩條線與該點相連結。如果畫筆經過一個n次，那么就有2n條線與該點相連結。因此，這個圖形中除起點與終點外的各點，都與偶數條線相連。

如果起點和終點重合，那么這個點也與偶數條線相連；如果起點和終點是不同的兩個點，那么這兩個點部是與奇數條線相連的點。

綜上所述，一筆畫出的圖形中的各點或者都是與偶數條線相連的點，或者其中只有兩個點與奇數條線相連。

圖2中的A點與5條線相連結，B、C、D各點各與3條線相連結，圖中有4個與奇數條線相連的點，所以不論是否要求起點與終點重合，都不能一筆畫出這個圖形。

歐拉定理 ：

如果一個圖是連通的并且奇頂點的個數等于0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

練習：你能筆尖不離紙，一筆畫出下面的每個圖形嗎？試試看。（不走重復線路）圖例1

圖例2

圖例3

圖例4

2四色問題

人人都熟悉地圖，可是繪制一張普通的政區圖，至少需要幾種顏色，才能把相鄰的政區或區域通過不同的顏色區分開來，就未必是一個簡單的問題了。

這個地圖著色問題，是一個著名的數學難題。大家不妨用一張中國政區圖來試一試，無論從哪里開始著色，至少都要用上四種顏色，才能把所有省份都區別開來。所以，很早的時候就有數學家猜想：“任何地圖的著色，只需四種顏色就足夠了?！边@就是“四色問題”這個名稱的由來。

四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色問題的內容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能 使具有共同邊界的國家著上不同的顏色?！庇脭祵W語言表示，即“將平面任意地細分為不相重迭的區域，每一個區域總可 以用1，2，3，4這四個數字之一來標記，而不會使相鄰 的兩個區域得到相同的數字?！保ㄓ覉D）

這里所指的相鄰區域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇于一點或有限多點，就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。

數學史上正式提出“四色問題”的時間是在1852年。當時倫敦的大學的一名學生法朗西斯向他的老師、著名數學家、倫敦大學數學教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，求助于其它數學家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數學界的一個“懸案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美國數學會通告》正式宣布了一件震撼全球數學界的消息：美國伊利諾斯大學的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問題”這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉化為2000個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足1200個小時，作了100億判斷，最后成功地證明了四色問題,轟動了世界。

這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。2 麥比烏斯帶

每一張紙均有兩個面和封閉曲線狀的棱(edge)，如果有一張紙它有一條棱而且只有一個面，使得一只螞蟻能夠不越過棱就可從紙上的任何一點到達其他任何一點，這有可能嗎?事實上是可能的只要把一條紙帶半扭轉，再把兩頭貼上就行了。這是德國數學家麥比烏斯(M?bius.A.F 1790-1868)在1858年發現的，自此以後那種帶就以他的名字命名，稱為麥比烏斯帶。有了這種玩具使得一支數學的分支拓樸學得以蓬勃發展。

3分割圖形

分割圖形是使我們的頭腦靈活，增強觀察能力的一種有趣的游戲。

我們先來看一個簡單的分割圖形的題目──分割正方形。在正方形內用4條線段作“井”字形分割，可以把正方形分 成大小相等的9塊，這種圖形我們常稱為九宮格。

用4條線段還可以把一個正方形分成10塊，只是和九宮格不同的是，每塊的大小不一定都相等。那么，怎樣才能用4條線段把正方形分成10塊呢？請你先動腦筋想想，在動腦的同時還要動手畫一畫 其實，正方形是不難分割成10塊的，下面就是其中兩種分割方法。

練習：想一想，用4條線段能將正方形分成11塊嗎？應該怎樣分？

5數學故事

（1）奇特的墓志銘

在大數學家阿基米德的墓碑上，鐫刻著一個有趣的幾 何圖形：一個圓球鑲嵌在一個圓柱內。相傳，它是阿基米 德生前最為欣賞的一個定理。

在數學家魯道夫的墓碑上，則鐫刻著圓周率π的35位 數值。這個數值被叫做?！濒數婪驍怠?。它是魯道夫畢生心血 的結晶。

大數學家高斯曾經表示，在他去世以后，希望人們在他 的墓碑上刻上一個正17邊形。因為他是在完成了正17邊形 的尺規作圖后，才決定獻身于數學研究的……

不過，最奇特的墓志銘，卻是屬于古希臘數學家丟番 圖的。他的墓碑上刻著一道謎語般的數學題： “過路人，這座石墓里安葬著丟番圖。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年時期。又過了生命 的 1／ 7他才結婚?；楹?5年有了一個孩子，孩子活到他 父親一半的年紀便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的悲 哀中又活了4年，也結束了塵世生涯。過路人，你知道丟 番圖的年紀嗎？” 丟番圖的年紀究竟有多大呢？

設他活了X歲，依題意可列出方程。這樣，要知道丟番圖的年紀，只要解出這個方程就行了。這段墓志銘寫得太妙了。誰想知道丟番圖的年紀，誰 就得解一個一元一次方程；而這又正好提醒前來瞻仰的人 們，不要忘記了丟番圖獻身的事業。

在丟番圖之前，古希臘數學家習慣用幾何的觀點看待 遇到的所有數學問題，而丟番圖則不然，他是古希臘第一 個大代數學家，喜歡用代數的方法來解決問題?，F代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項、，方程兩邊乘以同一因子等等，丟番圖都已知道了。他尤其擅長解答不定方 程，發明了許多巧妙的方法，被西方數學家譽為這門數學 分支的開山鼻祖。

丟番圖也是古希臘最后一個大數學家。遺憾的是，關 于他的生平。后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時。幸虧有了這段奇特的墓志銘，才知 道他曾享有84歲的高齡。

（2）希臘十字架問題

圖上那只巨大的復活節彩蛋上有一個希臘十字架，從它引發出許多切割問題，下面是其中的三個。(a)將十字架圖形分成四塊，用它們拼成一個正方形;

有無限多種辦法把一個希臘十字架分成四塊，再把它們 拼成一個正方形，下圖給出了其中的一個解法。奇妙的 是，任何兩條切割直線，只要與圖上的直線分別平行，也可取得同樣的結果，分成的四塊東西總是能拼出一個 正方形。

(b)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個菱形;(c)將十字架圖形分成三塊，用它們拼成一個矩形，要求其 長是寬的兩倍。

第二章

最完美的數

完美數又稱為完全數,最初是由畢達哥拉斯(Pythagoras)的信徒發現的,他們注意到: 數6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3，下一個具有同樣性質的數是28, 28=1+2+4+7+14 接著是496和8128.他們稱這類數為完美數.歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了: 若2n-1是素數,則數 2n-1[2n-1](1)是完全數.兩千年后,歐拉證明每個偶完全數都具有這種形式.這就在完全數與梅森數(形式為

2n?1的素數)之間建立了緊密的聯系,到1999年6月1日為止,共發現了38個梅森素數,這就是說已發現了38個完全數.1：完全數是非常奇特的數,它們有一些特殊性質,例如每個完全數都是三角形數,即都能寫成n(n+1)/2.6=1+2+3=3*4/2 28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2 496=1+2+3+4+...+31=31*32/2....2(2-1)=1+2+3+...+(2-1)=(2-1)2/2 n-1n

n

n

n2：把它們(6除外)的各位數字相加,直到變成一位數,那么這個一位數一定是1;它們都是連續奇數的立方和(6除外)，22(23-1)=28=13+33 24(25-1)=496=13+33+53+73

26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+1

53....2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每個完全數的所有因子(包括自身)的倒數和等于1,比如: 1/2+1/3+1/6=1 1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1....4：完全數都是以6或8結尾的,如果以8結尾,那么就肯定是以28結尾.注意以上談到的完全數都是偶完全數,至今仍然不知道有沒有奇完全數,如果真的存在奇完全數.第三章

有理數的巧算

有理數運算是中學數學中一切運算的基礎．它要求同學們在理解有理數的有關概念、法則的基礎上，能根據法則、公式等正確、迅速地進行運算．不僅如此，還要善于根據題目條件，將推理與計算相結合，靈活巧妙地選擇合理的簡捷的算法解決問題，從而提高運算能力，發展思維的敏捷性與靈活性．

1．括號的使用

在代數運算中，可以根據運算法則和運算律，去掉或者添上括號，以此來改變運算的次序，使復雜的問題變得較簡單．

例1 計算：

分析 中學數學中，由于負數的引入，符號“+”與“-”具有了雙重涵義，它既是表示加法與減法的運算符號，也是表示正數與負數的性質符號．因此進行有理數運算時，一定要正確運用有理數的運算法則，尤其是要注意去括號時符號的變化．

注意 在本例中的乘除運算中，常常把小數變成分數，把帶分數變成假分數，這樣便于計算．

例2 計算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接計算很麻煩，根據運算規則，添加括號改變運算次序，可使計算簡單．本題可將第一、第四項和第二、第三項分別結合起來計算．

解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

=211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789

=1000×(211+789)

=1 000 000．

說明 加括號的一般思想方法是“分組求和”，它是有理數巧算中的常用技巧． 例3 在數1，2，3，?，1998前添符號“+”和“-”，并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？

分析與解 因為若干個整數和的奇偶性，只與奇數的個數有關，所以在1，2，3，?，1998之前任意添加符號“+”或“-”，不會改變和的奇偶性．在1，2，3，?，1998中有1998÷2個奇數，即有999個奇數，所以任意添加符號“+”或“-”之后，所得的代數和總為奇數，故最小非負數不小于1．

現考慮在自然數n，n+1，n+2，n+3之間添加符號“+”或“-”，顯然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

這啟發我們將1，2，3，?，1998每連續四個數分為一組，再按上述規則添加符號，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+?+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1． 所以，所求最小非負數是1．

說明 本例中，添括號是為了造出一系列的“零”，這種方法可使計算大大簡化．

2．用字母表示數

我們先來計算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4 =1002-22．

這是一個對具體數的運算，若用字母a代換100，用字母b代換2，上述運算過程變為(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

于是我們得到了一個重要的計算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①

這個公式叫平方差公式，以后應用這個公式計算時，不必重復公式的證明過程，可直接利用該公式計算．

例4 計算 3001×2999的值．

解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．

例5 計算 103×97×10 009的值．

解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

例6 計算：

分析與解 直接計算繁．仔細觀察，發現分母中涉及到三個連續整數：12 345，12 346，12 347．可設字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母變為n2-(n-1)(n+1)．應用平方差公式化簡得 n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

例7 計算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

分析 式子中2，22，24，?每一個數都是前一個數的平方，若在(2+1)前面有一個(2-1)，就可以連續遞進地運用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=??

=(232-1)(232+1)=264-1．

例8 計算：

分析 在前面的例題中，應用過公式(a+b)(a-b)=a2-b2．

這個公式也可以反著使用，即 a2-b2=(a+b)(a-b)．

本題就是一個例子．

通過以上例題可以看到，用字母表示數給我們的計算帶來很大的益處．下面再看一個例題，從中可以看到用字母表示一個式子，也可使計算簡化．

例9計算：

我們用一個字母表示它以簡化計算．

1． 觀察算式找規律

例10 某班20名學生的數學期末考試成績如下，請計算他們的總分與平均分．

87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

分析與解 若直接把20個數加起來，顯然運算量較大，粗略地估計一下，這些數均在90上下，所以可取90為基準數，大于90的數取“正”，小于90的數取“負”，考察這20個數與90的差，這樣會大大簡化運算．所以總分為

90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

+2+5+(-2)

=1800-1=1799，平均分為 90+(-1)÷20=89.95．

例11 計算1+3+5+7+?+1997+1999的值．

分析 觀察發現：首先算式中，從第二項開始，后項減前項的差都等于2；其次算式中首末兩項之和與距首末兩項等距離的兩項之和都等于2000，于是可有如下解法．

解 用字母S表示所求算式，即 S=1+3+5+?+1997+1999． ①

再將S各項倒過來寫為 S=1999+1997+1995+?+3+1． ②

將①，②兩式左右分別相加，得

2S=(1+1999)+(3+1997)+?+(1997+3)+(1999+1)

=2000+2000+?+2000+2000(1000個2000)

=2000×1000．

從而有 S=1000 000．

說明 一般地，一列數，如果從第二項開始，后項減前項的差都相等(本題3-1=5-3=7-5=?=1999-1997，都等于2)，那么，這列數的求和問題，都可以用上例中的“倒寫相加”的方法解決．

例13 計算 1+5+52+53+?+599+5100的值．

分析 觀察發現，上式從第二項起，每一項都是它前面一項的5倍．如果將和式各項都乘以5，所得新和式中除個別項外，其余與原和式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．

解 設

S=1+5+52+?+599+5100，①

所以

5S=5+52+53+?+5100+5101． ②

②—①得 4S=5101-1，說明 如果一列數，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．

例14 計算：

分析 一般情況下，分數計算是先通分．本題通分計算將很繁，所以我們不但不通分，反而利用如下一個關系式

來把每一項拆成兩項之差，然后再計算，這種方法叫做拆項法．

解 由于

所以

說明 本例使用拆項法的目的是使總和中出現一些可以相消的相反數的項，這種方法在有理數巧算中很常用．

練習

1．計算下列各式的值：

(1)-1+3-5+7-9+11-?-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+?+99+100；

(3)1991×1999-1990×2000；

(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

(6)1+4+7+?+244；

2．某小組20名同學的數學測驗成績如下，試計算他們的平均分．

81，90，76，72，77，83，73，85，92，91，86，78，74，85． 84，75，63，76，97，80，第四章 歸納與發現

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重要手段．這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從簡單的特殊情況的觀察入手，取得一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命題的思考方法．下面舉幾個例題，以見一般．

例1 如圖2-99，有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點(相鄰兩邊公用一個點)；第三層每邊有三個點，?這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

分析與解 我們來觀察點陣中各層點數的規律，然后歸納出點陣共有的點數．

第一層有點數：1；

第二層有點數：1×6；

第三層有點數：2×6； 第四層有點數：3×6；

??

第n層有點數：(n-1)×6.因此，這個點陣的第n層有點(n-1)×6個．n層共有點數為

例2 在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域？

(2)這n個圓共有多少個交點？

分析與解(1)在圖2-100中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個(取這n個特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區域有多少個？為此，我們列出表18．1．

由表18．1易知

S2-S1=2，S3-S2＝3，S4-S3＝4，S5-S4＝5，??

由此，不難推測

Sn-Sn-1＝n．

把上面(n-1)個等式左、右兩邊分別相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋?＋n，因為S1=2，所以

面對Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正確性略作說明．

下

因為Sn-1為n-1個圓把平面劃分的區域數，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發現的方法來解決．為此，可列出表18．2．

由表18．2容易發現

a1＝1，a2-a1＝1，a3-a2＝2，a4-a3＝3，a5-a4＝4，?? an-1-an-2＝n-2，an-an-1＝n-1．

n個式子相加

注意 請讀者說明an=an-1＋(n-1)的正確性．

例3 設a，b，c表示三角形三邊的長，它們都是自然數，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然數)，試問這樣的三角形有多少個？

分析與解 我們先來研究一些特殊情況：

(1)設b=n=1，這時b=1，因為a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，?．若c=1，則得到一個三邊都為1的等邊三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三邊c，這時不可能由a，b，c構成三角形，可見，當b=n=1時，滿足條件的三角形只有一個．

(2)設b=n=2，類似地可以列舉各種情況如表18．3．

這時滿足條件的三角形總數為：1+2=3．

(3)設b=n=3，類似地可得表18．4．

這時滿足條件的三角形總數為：1＋2＋3=6．

通過上面這些特例不難發現，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

這個猜想是正確的．因為當b=n時，a可取n個值(1，2，3，?，n)，對應于a的每個值，不妨設a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k個(n，n＋1，n＋2，?，n＋k-1)．所以，當b=n時，滿足條件的三角形總數為：

例4 設1×2×3×?×n縮寫為n！(稱作n的階乘)，試化簡：1！×1＋2！×2＋3！×3＋?＋n！×n.分析與解 先觀察特殊情況：

(1)當n=1時，原式=1=(1＋1)！-1；

(2)當n=2時，原式=5=(2＋1)！-1；

(3)當n=3時，原式=23=(3＋1)！-1；

(4)當n=4時，原式=119=(4＋1)！-1．

由此做出一般歸納猜想：原式=(n+1)！-1.下面我們證明這個猜想的正確性．

1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+?+n！×n)

=1！×2＋2！×2＋3！×3+?+n！×n

=2！+2！×2＋3！×3＋?+n！×n

=2！×3+3！×3+?＋n！×n

=3！+3！×3+?+n！×n＝?

=n！+n！×n=(n＋1)！，所以原式=(n+1)！-1.例5 設x＞0，試比較代數式x3和x2+x+2的值的大?。?/p>

分析與解 本題直接觀察，不好做出歸納猜想，因此可設x等于某些特殊值，代入兩式中做試驗比較，或許能啟發我們發現解題思路．為此，設x=0，顯然有

x3＜x2+x+2．①

設x=10，則有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

設x=100，則有x3＞x2+x+2．

觀察、比較①，②兩式的條件和結論，可以發現：當x值較小時，x3＜x2+x+2；當x值較大時，x3＞x2+x+2．

那么自然會想到：當x=？時，x3=x2+x+2呢？如果這個方程得解，則它很可能就是本題得解的“臨界點”．為此，設x3=x2＋x＋2，則

x3-x2-x-2＝0，(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，(x-2)(x2+x+1)=0．

因為x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．這樣

(1)當x=2時，x3=x2+x+2；

(2)當0＜x＜2時，因為

x-2＜0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2＋x+2)＜0，即

x3-(x2＋x+2)＜0，所以 x3＜x2＋x＋2.(3)當x＞2時，因為

x-2＞0，x2+x+2＞0，所以(x-2)(x2+x+2)＞0，即

x3-(x2＋x＋2)＞0，所以 x3＞x2＋x＋2．

綜合歸納(1)，(2)，(3)，就得到本題的解答． 練習七

1．試證明例7中：

2．平面上有n條直線，其中沒有兩條直線互相平行(即每兩條直線都相交)，也沒有三條或三條以上的直線通過同一點．試求：

(1)這n條直線共有多少個交點？

(2)這n條直線把平面分割為多少塊區域？

然后做出證明.)

3．求適合x5=656356768的整數x．

(提示：顯然x不易直接求出，但可注意其取值范圍：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的數學（儲蓄、保險與納稅）

儲蓄、保險、納稅是最常見的有關理財方面的數學問題，幾乎人人都會遇到，因此，我們在這一講舉例介紹有關這方面的知識，以增強理財的自我保護意識和處理簡單財務問題的數學能力．

1．儲蓄

銀行對存款人付給利息，這叫儲蓄．存入的錢叫本金．一定存期(年、月或日)內的利息對本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，本利和=本金×(1+利率經×存期)．

如果用p，r，n，i，s分別表示本金、利率、存期、利息與本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

例1 設年利率為0.0171，某人存入銀行2000元，3年后得到利息多少元？本利和為多少元？

解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

答 某人得到利息102.6元，本利和為2102.6元．

以上計算利息的方法叫單利法，單利法的特點是無論存款多少年，利息都不加入本金．相對地，如果存款年限較長，約定在每年的某月把利息加入本金，這就是復利法，即利息再生利息．目前我國銀行存款多數實行的是單利法．不過規定存款的年限越長利率也越高．例如，1998年3月我國銀行公布的定期儲蓄人民幣的年利率如表22．1所示．

用復利法計算本利和，如果設本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分別是s1，s2,?，sn，則

s1=p(1+r)，s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，??，sn=p(1+r)n．

例2 小李有20000元，想存入銀行儲蓄5年，可有幾種儲蓄方案，哪種方案獲利最多？

解 按表22．1的利率計算．

(1)連續存五個1年期，則5年期滿的本利和為

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

(2)先存一個2年期，再連續存三個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

(3)先連續存二個2年期，再存一個1年期，則5年后本利和為 20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

(4)先存一個3年期，再轉存一個2年期，則5年后的本利和為

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

(5)先存一個3年期，然后再連續存二個1年期，則5年后本利和為

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

(6)存一個5年期，則到期后本利和為

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

顯然，第六種方案，獲利最多，可見國家所規定的年利率已經充分考慮了你可能選擇的存款方案，利率是合理的．

2．保險

保險是現代社會必不可少的一種生活、生命和財產保護的金融事業．例如，火災保險就是由于火災所引起損失的保險，人壽保險是由于人身意外傷害或養老的保險，等等．下面舉兩個簡單的實例．

例3 假設一個小城鎮過去10年中，發生火災情況如表22．2所示．

試問：(1)設想平均每年在1000家中燒掉幾家？

(2)如果保戶投保30萬元的火災保險，最低限度要交多少保險費保險公司才不虧本？

解(1)因為

1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

11÷4096≈0.0026．

(2)300000×0.0026=780(元)．

答(1)每年在1000家中，大約燒掉2.6家．

(2)投保30萬元的保險費，至少需交780元的保險費．

例4 財產保險是常見的保險．假定A種財產保險是每投保1000元財產，要交3元保險費，保險期為1年，期滿后不退保險費，續保需重新交費．B種財產保險是按儲蓄方式，每1000元財產保險交儲蓄金25元，保險一年．期滿后不論是否得到賠款均全額退還儲蓄金，以利息作為保險費．今有兄弟二人，哥哥投保8萬元A種保險一年，弟弟投保8萬元B種保險一年．試問兄弟二人誰投的保險更合算些？(假定定期存款1年期利率為5.22％)

解 哥哥投保8萬元A種財產保險，需交保險費

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

弟弟投保8萬元B種財產保險，按每1000元交25元保險儲蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，而2000元一年的利息為

2000×0.0522=104.4(元)．

兄弟二人相比較，弟弟少花了保險費約

240-104.4=135.60(元)．

因此，弟弟投的保險更合算些．

3．納稅

納稅是每個公民的義務，對于每個工作人員來說，除了工資部分按國家規定納稅外，個人勞務增收也應納稅．現行勞務報酬納稅辦法有三種：

(1)每次取得勞務報酬不超過1000元的(包括1000元)，預扣率為3％，全額計稅．

(2)每次取得勞務報酬1000元以上、4000元以下，減除費用800元后的余額，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

(3)每次取得勞務報酬4000元以上的，減除20％的費用后，依照20％的比例稅率，計算應納稅額．

每次取得勞務報酬超過20000元的(暫略)．

由(1)，(2)，(3)的規定，我們如果設個人每次勞務報酬為x元，y為相應的納稅金額(元)，那么，我們可以寫出關于勞務報酬納稅的分段函數：

例5 小王和小張兩人一次共取得勞務報酬10000元，已知小王的報酬是小張的2倍多，兩人共繳納個人所得稅1560元，問小王和小張各得勞務報酬多少元？

解 根據勞務報酬所得稅計算方法(見函數①)，從已知條件分析可知小王的收入超過4000元，而小張的收入在1000～4000之間，如果設小王的收入為x元，小張的收入為y元，則有方程組：

由①得y=10000-x，將之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，化簡、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，所以

0.04x=280，x=7000(元)．

則 y=10000-7000=3000(元)．

所以

答 小王收入7000元，小張收入3000元．

例6 如果對寫文章、出版圖書所獲稿費的納稅計算方法是

其中y(x)表示稿費為x元應繳納的稅額．

那么若小紅的爸爸取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到6216元，問這筆稿費是多少元？

解 設這筆稿費為x元，由于x＞4000，所以，根據相應的納稅規定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，化簡、整理得

0.112x=x-6216，所以 0.888x=6216，所以 x=7000(元)．

答 這筆稿費是7000元．

練習八

1．按下列三種方法，將100元存入銀行，10年后的本利和各是多少？(設1年期、3年期、5年期的年利率分別為5.22％，6.21％，6.66％保持不變)

(1)定期1年，每存滿1年，將本利和自動轉存下一年，共續存10年；

(2)先連續存三個3年期，9年后將本利和轉存1年期，合計共存10年；

(3)連續存二個5年期．

2．李光購買了25000元某公司5年期的債券，5年后得到本利和為40000元，問這種債券的年利率是多少？

3．王芳取得一筆稿費，繳納個人所得稅后，得到2580元，問這筆稿費是多少元？

4．把本金5000元存入銀行，年利率為0.0522，幾年后本利和為6566元(單利法)？

第六章

中外著名數學家

1、韋達（1540-1603），法國數學家。

年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會議員，在西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的多種有理變換，發現了方程根與分數的關系，韋達在歐洲被尊稱為“代數學之父”。1579年，韋達出版《應用于三角形的數學定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法國數學家、物理學家和哲學家．

16歲的時候就發現了著名的“帕斯卡定理”，即“圓錐曲線內接六邊形的三組對邊的交點共線”，對射影幾何學作出了重要貢獻．19歲時，發明了一種能做加法和減法運算的計算器，這是世界上第一臺機械式的計算機．他對連續不可分量、微分三角形、面積和重心等問題的深入研究，對微積分學的建立起到了積極的作用．帕斯卡對數學的最大貢獻是創立概率論，為了解決概率論和組合分析方面的問題，帕斯卡廣泛應用了算術三角形（即二項式定理系數表，西方稱帕斯卡三角，我國稱賈憲三角或楊輝三角），并深入研究了二項展開式的系數規律以及這個三角形的構造及其許多有趣的性質。帕斯卡在物理學方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想錄》和《致鄉人書》對法國散文的發展產生了重要的影響。

3、在數學史上，很難再找到如此年輕而如此有創見的數學家。他就是出生在法國的伽羅華（1811——1832）

伽羅華才華橫溢，思維敏捷，十七歲時就寫了一篇關于《五次方程代數解法》這個世界數學難題的論文，最先提出了近代數學的一個基本概念——“群”?？墒沁@篇論文被法國科學院一位目空一切的數學家丟失了。次年，他又寫了幾篇數學論文送交法國科學院，不料主審人因車禍去世，論文也不知所蹤。再過兩年，他被近把自己的研究再次寫成簡述，寄往法國科學，他去信尖銳地提醒權威們：“第一，不要因為我叫伽羅化，第二，不要因為我是大學生，”而“預先決定我對這個問題無能為力?！痹谶@封咄咄逼人的書信面前，有兩位數學家不得不宣讀了他的研究簡述，但隨即又以“完全不能理解”予以否定，其實，他們并沒有讀懂伽羅華的論文。

伽羅華二十一歲那年死于決斗。臨死前他對守在旁邊的弟弟說：“不要忘了我，因為命運不讓我活到祖國知道我的名字的時候?！痹跊Q斗前夜，他給友人寫了著名的“科學遺囑”，其中充滿自信地說：“我一行中不只一次敢于提出我沒有把握的命題，我期待著將來總會有人認識到：解開這個謎對雅可比和高斯是有好處的。”

他的預言成為現實，那是在三十八年他的六十頁厚的論文終于出版的時候，從此，他被認為“群論”的奠基 人。

4、劉 徽

劉徽（生于公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，在世界數學史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產．

《九章算術》約成書于東漢之初，共有246個問題的解法．在許多方面：如解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等，都屬于世界先進之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對此均作了補充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創造性的貢獻．他是世界上最早提出十進小數概念的人，并用十進小數來表示無理數的立方根．在代數方面，他正確地提出了正負數的概念及其加減運算的法則；改進了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術”，即將圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長的方法．他利用割圓術科學地求出了圓周率π=3.14的結果．劉徽在割圓術中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作．

《海島算經》一書中，劉徽精心選編了九個測量問題，這些題目的創造性、復雜性和富有代表性，都在當時為西方所矚目．

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．

劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富．

5、賈 憲

賈憲，中國古代北宋時期杰出的數學家。曾撰寫的《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：數導）均已失傳。

他的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和增乘開方法，增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的混合除法，其原理和程序均與此相仿，增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷、又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性，這個方法的提出要比歐洲數學家霍納的結論早七百多年。

6、秦九韶

秦九韶（約1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江蘇，浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，（今廣東梅縣），不久死于任所。他與李冶，楊輝，朱世杰并稱宋元數學四大家。早年在杭州“訪習于太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的《數書九章》?！稊禃耪隆啡珪?8卷，81題，分為九大類。其最重要的數學成就----“大衍總數術”（一次同余組解法）與“正負開方術“(高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

7、李冶

李冶(1192----1279)，原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回鄉。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的是說明用天元術列方程的方法?！疤煸g”與現代代數中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某“，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一步數學著作《益古演段》（1259）也是講解天元術的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數學名家周游湖海二十余年”，“踵門而學者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）?！端阈g啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展?！端脑耔b》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創造有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）．

9、祖沖之

祖沖之（公元429～500年）祖籍是現今河北省淶源縣，他是南北朝時代的一位杰出科學家。他不僅是一位數學家，同時還通曉天文歷法、機械制造、音樂等領域，并且是一位天文學家。

祖沖之在數學方面的主要成就是關于圓周率的計算，他算出的圓周率為3.1415926<π<3.1415927，這一結果的重要意義在于指出誤差的范圍，是當時世界最杰出的成就。祖沖之確定了兩個形式的π值，約率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，這兩個數都是π的漸近分數。

10、祖 暅

祖暅，祖沖之之子，同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式?，F行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世紀可謂祖暅對世界杰出的貢獻。

11、楊輝

楊輝，中國南宋時期杰出的數學家和數學教育家。在13世紀中葉活動于蘇杭一帶，其著作甚多。

他著名的數學書共五種二十一卷。著有《詳解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通變本末》三卷（1274年）、《田畝比類乘除算法》二卷（1275年）、《續古摘奇算法》二卷（1275年）。

楊輝的數學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，他對籌算乘除捷算法進行總結和發展，有的還編成了歌決，如九歸口決。

他在《續古摘奇算法》中介紹了各種形式的”縱橫圖“及有關的構造方法，同時”垛積術“是楊輝繼沈括”隙積術“后，關于高階等差級數的研究。楊輝在”纂類“中，將《九章算術》246個題目按解題方法由淺入深的順序，重新分為乘除、分率、合率、互換、二衰分、疊積、盈不足、方程、勾股等九類。

他非常重視數學教育的普及和發展，在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的”習算綱目“是中國數學教育史上的重要文獻。

12、趙 爽

趙爽，三國時期東吳的數學家。曾注《周髀算經》，他所作的《周髀算經注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字，并附有云幅插圖（已失傳），這篇注文簡練地總結了東漢時期勾股算術的重要成果，最早給出并證明了有關勾股弦三邊及其和、差關系的二十多個命題，他的證明主要是依據幾何圖形面積的換算關系。

趙爽還在《勾股圓方圖注》中推導出二次方程(其中a>0,A>0)的求根公式

在《日高圖注》中利用幾何圖形面積關系，給出了”重差術"的證明。（漢代天文學家測量太陽高、遠的方法稱為重差術）。

13、華羅庚

華羅庚，中國現代數學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。1985年6月12日在日本東京逝世。華羅庚1924年初中畢業之后，在上海中華職業學校學習不到一年，因家貧輟學，他刻苦自修數學，1930年在《科學》上發表了關于代數方程式解法的文章，受到專家重視，被邀到清華大學工作，開始了數論的研究，1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯合大學教授。1946年應蘇聯普林斯頓高等研究所邀請任研究員，并在普林斯頓大學執教。1948年始，他為伊利諾伊大學教授。

1924年金壇中學初中畢業，后刻苦自學。1930年后在清華大學任教。1936年赴英國劍橋大學訪問、學習。1938年回國后任西南聯合大學教授。1946年赴美國，任普林斯頓數學研究所研究員、普林斯頓大學和伊利諾斯大學教授，1950年回國。歷任清華大學教授，中國科學院數學研究所、應用數學研究所所長、名譽所長，中國數學學會理事長、名譽理事長，全國數學競賽委員會主任，美國國家科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科學院物理學數學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術大學數學系主任、副校長，中國科協副主席，國務院學位委員會委員等職。曾任一至六屆全國人大常務委員，六屆全國政協副主席。曾被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學位。主要從事解析數論、矩陣幾何學、典型群、自守函數論、多復變函數論、偏微分方程、高維數值積 分等領域的研究與教授工作并取得突出成就。40年代，解決了高斯完整三角和的估計這 一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結果在數論中有著廣泛的應用）；對Ｇ.Ｈ.哈代與Ｊ.Ｅ.李特爾伍德關于華林問題及Ｅ.賴特關于塔里問題的結果作了重大的改進，至 今仍是最佳紀錄。代數方面，證明了歷史長久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規子體一定包含在它的中心之中這個結果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉 當-布饒爾-華定理。其專著《堆壘素數論》系統地總結、發展與改進了哈代與李特爾伍 德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發表40余年來其主要結果仍居世界領先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經典數論著作之 一。其專著《多個復變典型域上的調和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式。這項工作在調和分析、復分析、微分方程等研究中有著廣泛深入的影響，曾獲中國自然科學獎一等 獎。倡導應用數學與計算機的研制，曾出版《統籌方法平話》、《優選學》等多部著作 并在中國推廣應用。與王元教授合作在近代數論方法應用研究方面獲重要成果，被稱為 “華-王方法”。在發展數學教育和科學普及方面做出了重要貢獻。發表研究論文200多篇，并有專著和科普性著作數十種。

14、陳景潤

數學家，中國科學院院士。1933 年5月22日生于福建福州。1953年畢業于廈門大學 數學系。1957年進入中國科學院數學研究所并在華羅庚教授指導下從事數論方面的研究。歷任中國科學院數學研究所研究員、所學術委員會委員兼貴陽民族學院、河南大學、青島大學、華中工學院、福建師范大學等校教授，國家科委數學學科組成員，《數學季刊》主編等職。主要從事解析數論方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得國 際領先的成果。這一成果國際上譽為“陳氏定理”，受到廣泛引用。這項工作，使之與王 元教授、潘承洞教授共同獲得1978年國家自然科學獎一等獎。其后對上述定理又作了改進，并于1979年初完成論文《算術級數中的最小素數》，將最小素數從原有的80推進到 16，受到國際數學界好評。對組合數學與現代經濟管理、科學實驗、尖端技術、人類生活密切關系等問題也作了研究。發表研究論文70余篇，并有《數學趣味談》、《組合 數學》等著作。

15、我們的希望是在21世紀看見中國成為數學大國?！薄愂∩?/p>

2004年12月3日，國際數學大師、中科院外籍院士陳省身，在天津病逝．享年93歲．陳省身，1911年10月26日生于浙江嘉興．少年時就喜愛數學，覺得數學既有趣又較容易，并且喜歡獨立思考，自

第四篇：校本教材開發交流稿

中等職業學校專業課校本教材開發與實踐

交 流 稿

四川省綿陽職技術學校 唐云

目錄：

一、開發校本教材的起源

二、校本教材開發與校本研修的關系

三、校本教材的基本特征

四、校本教材的構成要件

五、校本教材開發條件

六、校本教材實例

七、小組討論與校本教材編寫

八、小組校本教材展示

九、小組校本教材評價

正文：

前言：（形成討論氛圍）

討論：你所在學校對校本教材的理解及學校校本教材的開發情況。

一、我的校本教材開發的起源

（一）“教書”與“專業教學”的區別

（討論：中職學?！皩I教學”與傳統意義上的“教書”有什么區別）“教師”職業，人們習慣稱為“教書”，可見，傳統意義上的教學是由“書”牽著走的，可以看出“書”對教學的重要性。

用傳主統的教學觀看待中職學校的“專業教學”，也離不開“教書”這個概念，目前中職學校絕大多數的專業老師，也是按照“教書”這個概念在完成一本本教材的內容，但我認為，中職學校的專業教學應該以本專業在相應的崗位上的技能要求，去尋找必要的理論，然后將這些必要的理論整理出來，編寫出圖文聲光并茂的校本教材。

也就是說，傳統意義上的教學多以“書”練“技”，而中職專業教學更多的需要以“技”尋“書”，這就有了編定校本教材的必要性。

（二）中職學校教材的發展（電子專業、汽修專業教材）討論：你所教專業課程教材使用情況（審定教材還是自己編教材）展示：中職電子專業《電子技術基礎》先后用過的教材。現行教材存在的問題：

1、多人編寫，內容一致性差；

2、與本校實訓設備、器材不配套；

3、內容與形式上與中職生的學習能力存在差距；

3、參加高教出版與科技出版社電子專業教材研討會的體會

所有與會人員都提到教材需要改編，所有人對如何改編找不到文向，人們一致傾向于以項目教學形式，理實結合的一體化教學教材。

后來出了一些樣本，但是“項目”性不強，總體感覺只是將以往的“章節”改為了“項目”。

（四）企業培訓教材的特點

討論：你讀過哪些企業的培訓教材，它們有什么特點。企業培訓教材，針對性很強，技能具體，例如：長虹空調培訓教材

如長虹廠的空調培訓教材，針對某個型號，安裝調試，檢查，圖文并排，很具體，按照教材的指導，學習者完全可以在短時間內完成安一個項目的技能。

而類似的中職學校電子專教材，從物質的三態變化講到空調，很厚一本，整本讀完，也只知道“原理”，尚無法動手操作，背離了中職教學重在動手這個初衷。

原因簡析：中職教材一直由老師編寫，有“大綱”約束，脫不了傳統教材的理念，而企業培訓教材多同行業專業內專業人士編寫，重在實用與動手，對于理論，編者很了解需要多少。

（五）工科專業“項目教學”、“理實一體化教學”對教材的要求

討論：你對“理實一體化教學”、“項目教學”的理解，實際工作的開展情況

項目教學環節：

傳統工科教學橫式：理論（實驗）—技能—項目； 項目教學：項目—技能的要求—必要的理論（實驗）；

理實一體化教學過程：

過程式教學：理論—實驗—考試

理實一體化教學：技能需求——理論——小組討論—實驗—小組總結—再理論——再小組討論——再實驗—再小組總結??達到技能要求。

要注意的誤區：抓技能放棄了理論，然而工科專業的很多技能需要深入的理論支撐。

（六）教學科研考察中的感受

因學本人參與我校省級科研課題《整體解決中職學生學習困難研究》的研究，走訪了許多中職學校，大家有一個共識：現在的“書”需要改編。

例如：《汽車電氣原理與維修》一書，在第一章節中，大約花了近40頁講汽車蓄電池的化學原理，結整學生如何在實際中去識別“+”“-”極還搞不清楚。

（七）2008.5.12的震撼

2008年的四川大地震，讓我感覺到，一個中職專業老師，有必要使自己成為專業人員，總結出真正能讓學生學得懂的理論，讓學生最終在“理實一體”中掌握一門專業技能，這是讓我這么多年來，潛心開展校本研修、編寫校本教材的動力之一。

二、校本教材開發與校本研修的關系 討論：你所在學校的開展哪些方式的校本研修

（一）涪城教研對校本研修的指導

感謝涪城進校修，市教科所等領導對我我們學校研修工作的指導與支持，給了我們方向，給了我們力量。

（二）校本研修的目的：根據專業技能的要求，提高專業老師能力、改革課程設置、改革教學方法、編寫校本教材，最終讓學生掌握必要的現理，達到相應的技能，真正“學有所得”！

（三）校本教材編寫與校本研修的本質關系：從屬關系！校本教材的開發屬于校本研修的一個組成部分。

（四）從我校“汽修專業校本研修”實例看校本研修與校本教材編寫的關系：

四川省綿陽職業技術學校 汽修專業教研實例

（涪城區政府主辦，國家級重點中職學校）

2012年春伊始，試點班級：2012級汽修專業班。第一階段：2012年秋 課程設置研究

（一）市場調研：

企業對中職汽修專業學生能力需求調研；

中職汽修專業辦學狀況調查；往屆畢業生現從業情況設查； 汽車高職院校課程設置與培養目標調查； 綿陽市場汽車銷售維修現狀調查。

（二）分析與研究：

汽車銷售與維修行業發現狀與人材需求分析 中職學生汽修行業從業率低的原因分析 中職與高職汽車專業學生就業結構分析 中職汽修專業教學現狀分析

（三）研究形式：

走訪、請教、討論、參觀、教學班實踐等。

（四）研究成果： 形成第一階段新的課程設置

（特點：以技能項目為目標，分階段集中形展專業課教學）

（五）提出的問題：

中職工科專業班額過大嚴重影響專業技能教學，建議20至25人每班； 中職工科專業“理實一體化教學”需2名專業老師同時授課； 中職工科專業學制過短，不能滿足技能訓練的要求； 中職工科專業同一時段開設科目過多影響專業教學。

中職工科專業需教總結教學內容，編寫適合自身情況的“校本教材”。第二階段：2013年春至2013年秋 汽修專業“理實一體化教學”形成研究

（一）研究內容：

對“理實一體化”教學的理解 “理實一體化”教學環境的形成 “理實一體化”教學課堂內容的形成 “理實一體化”教學環節的形成 教師在“理實一體化”教學中的主導作用 設備在“理實一體化”教學中的必要作用 “理實一體化”教學在 汽修12.1班的實踐 “理實一體化”教學的影響因素分析 “理實一體化”研究反饋

（二）研究成果：

在我校汽修專業形成了以技能需求為目標、以技能分類為項目的 “理實一體化”教學模式。

（三）提出的問題：

“書”引導“教”還是“教”引導“書”

第三階段：2014年春至2014年秋

提高汽修專業“理實一體化”教學質量與課程設置調整的研究（此項正在研究中）

（一）研究內容

教師技能對教學效果的影響研究； 提高教師技能的途徑研究；

學校管理制度對教師專業技能提高的影響研究； “理實一體化”教學的應用研究； 汽修專業文化教材與教學現狀研究； 汽修專業文化課提高方法；

汽修專業專業課程教材與教學現狀研究； 汽修專業專業課教學質量提高方法研究；

（二）力求獲得的成果 采用校本教材，提高教學效果；

應用“理實一體化”項目教學，有效提高教學效果； 應用“倒置教學法”改變傳統教學過程；

“一屏四畫”投影法解決演示觀看問題，提高演示實訓效果；

（三）提出的問題

如何實現專業教師主動提高專業技能 如何有效提高實訓設備的利用率

第四階段：2015年春2015年秋 汽修專業校本教材編寫（計劃寫的校本教材）《汽車電工基礎》 《汽車電工技能》 《汽車傳感器原理檢測》 《汽車電氣原理與維修》

《電噴發動機電氣故障分析與維修》

小結：校本研修最終目的：提高中職教學效果！

需要解決的主要問題：老師技能的提高；教學模式的改變；教材的改變。

需要解決的輔助問題：教學管理制度的改變；教學設備與環境的改變；學校德育工作的改變。

三、校本教材的基本特征 討論：你認為校本教材具有哪些特征？

（一）校本教材的類型：

識讀性校本教材，如《模擬電子技術基礎》（展示）；

教學指導性校本教材，如《汽車電氣原理維修》（展示）；

（二）校本教材的特征：

1、強烈的技能針對性：

選材先取本專業最直接且最必要的內容，特別是專業基礎課程，編者本專業最終的知識需求相當了解，才能編出專業指性很強的專業校本教材。（展示：技能針對性強的校本教材樣本）

2、精練：

編寫語言需精練，防止半天說不到點子上的現象。（展示：語言簡練的校本教材樣本）

3、與本校的實訓設備匹配：

如電子專業的所用的示波器，品牌不一，面板結構不一，校本材需要與之配套，讓學生容易將與論課本與實訓結合起來。（展示）

（三）校本教材的實質：

你如何教懂了學生，就把它總結出來，歸納起來，做出適合本校情況的講義資料，就是“校本教材”。

四、校本教材的構成要件 討論：你理解教材由哪些項目構成

傳統意義上的教材以文本為主，逐步發展到有圖，有的也配合一些光盤（動畫或視頻）

校本教材的構成要件：文本；圖片；動畫；視頻。

五、校本教材開發條件

討論：你認為開發校本教材需要具備的條件？

（一）傳統教材編寫的問題：

多人編寫，難于做成“項目”教學與“理實一體化”教學。

（二）校本教材開發的主觀條件

1、首先是老師對中職專業與專業教學的熱愛，有沒有股熱愛談不上寫點什么。

2、其次是負責專業教學（特別是專業基礎）課的老師，要對本專業的非常了解，真正是一個專業人士，并且能在行業中，社會上應用本專業，否則，老師也不知道學了那些有什么用，只能按照別人編的“書”去完成“教學任務”，而不是針對一門“專業”進行教學，老師就成了教書先生了。

比如汽修專業的老師，書上畫著圖，寫著字，老師看一會，就能站上講臺去講，但是看到實物，老師就懵，這樣的課，談不上專業課，這就需要真正搞專業的老師編出能引領這些老師的適用教材，也就是校本教材。

當前中職老師基本成了“百科教師”，一些學校安排語文老師上電子線路，歷史老師上汽車維修??這些課程老師是專業性很強的課程，這樣安排老師，不知道是誰在勿悠誰。

一堂專業課，要是不知道這堂課的過去是什么，未來是什么，那么，專業課就上成了文化課，這個時候，很需要適合當前情況的校本教材。

3、三是老師本身所具備的綜合能力：如文本的編寫能力；圖片的處理能力；視頻的編輯能力；動畫的制作能力等。

4、四是老師需要的吃苦耐勞的精神

教學中實用的東西往往又是不長錢的。這個時候，老師需要的就是“吃苦耐”，我們經常用這四個字教育學生，但真正自己“吃苦耐勞”地去做些有用的事情，卻又是很難的事情。

（三）校本教材開發的客觀條件

1、學校管理的重視與促進； 例如：我校高度重視校本教材的開發，如經濟上獎勵；榮譽上傾斜等。

2、學校設施設備件：

如電子專業，需要做個實驗，學校什么也沒有，那也不好搞。

（四）現行管理制度對校本教材開發的影響

學校來講，諸多管理人員是普教過來的，管理模式與方式走的是普教模式，對專業教學中專業教師自己編講義教材不夠重視；

就大政而言，講義教材涉汲“大綱”的、審定等問題，比如我們現在搞的“校本教材”，各方面也在口頭上支持，但說到底可能還屬于“非法教材”，這對老師們參與這個事情的積極性影響也很大。

六、校本教材實例

《模擬電子技術“理實一體化”校本教材》

圖文識讀性校本教材，目前用于應用電子班、佳仕焊機班等班級教學，效果很好；

《汽車概論》圖文識讀性校本教材，用于多界汽修專業教學，效果很好； 《汽車電氣原理與維修》教學指導性校本教材，用于汽修專業教學，效果很好；

《汽車電工基礎》圖文識讀性校本教材，用于汽修專業教學。

七、校本教材編實訓

方案：結本本人所在學校與本人所承擔的專業教學，選取一個項目，做出一個校本教材編寫方案。

（一）情況分板（專業與教學環境）

（二）項目選材

（三）文本提綱

（四）圖片設計

（五）動畫設計

（六）視頻錄制

八、小組校本教材展示 邀請學員展示自己的設計

九、小組校本教材評價

邀請其他成員對展示的設計作品作評價。

——完——

第五篇：《陶藝》校本教材開發方案

《陶藝》校本課程實施方案

我校陶藝教學由2006年冬季創辦至今已有將近五個年頭了，在這五年中我們有過彷徨、有過疑惑，也有過思索和探討，也學習過兄弟學校的成功經驗。但如何能拿來在我們臨池中學進行生根發芽，并開花結果，我們一直在不斷的追求和探索中。我們不斷的問自己，我們為什么要開展陶藝、我們如何來開展陶藝、我們將來想怎么樣開展陶藝。下面我就這三個方面來詳細描述一下我校陶藝校本教學的發展思路。

一、我們為什么要搞陶藝

（一）校園文化建設的需要

校園文化是學校所具有特定的精神環境和文化氣氛，它從表象看包括校園建筑設計、校園景觀、綠化美化、宣傳櫥窗等這種物化形態的內容，但它更是一種以學生為主體，以課外文化活動為主要內容，以校園為主要空間，以校園精神為主要特征的一種群體文化。是一種動態中的校園文化。也是學校內涵和深度的一種體現。健康的校園文化，可以陶冶學生的情操、啟迪學生心智，促進學生的全面發展。而陶藝無疑是校園文化建設的最好切入點之一。陶藝由于它本身所具有的文化內涵和藝術魅力，使他成為我們選擇的一個重要原因。

（二）陶藝本身的價值使然。

陶藝是我國的一門傳統藝術，它的產生是人類進化過程中具有劃時代意義的偉大創造，標志著人類文明和文化的進步。中國的陶瓷藝

術有著悠久的歷史和深厚的文化底蘊，它曾長期影響著世界陶瓷的發展，在世界文明史上占有重要地位。

在美國、德國、加拿大、日本及至我國的臺灣，“陶藝”早就走進了大、中、小學課堂，而且開展得有聲有色。實踐證明，陶藝教育的價值很高，它為發展學生個性，開發潛能，提高審美能力、實踐能力和創新能力開辟了無限的空間。

（三）是提高學生綜合素質的需要

隨著新基礎的深入開展，“新基礎教育”形成的教學共通價值觀的核心理念是：培養能在當代社會中實現主動、健康發展的一代新人。而主動健康的一代新人必定是素質全面發展的人，因而，一所學校的好壞不僅僅停留在升學率的多少，一個學生的好壞也不僅僅是分數的高低，學生的素質是多方面的。學校的育人觀也是全面的。陶藝恰恰在提高學生素質方面具有無比的優勢。蘇霍姆林斯基說：“學生的才智反映在他的手指尖上”。也就是說，只有讓孩子在操作中動手、動腦，多種感官參與活動，才能使他們的智慧和能力得到最大限度的發展。在中學開設陶藝課程，是加強素質教育的最佳選題。它以其感人的形式，豐富的內容，打動學生的心靈，接近學生的生活，為學生提供了表達自我和發揮想象力的空間，使學生獲得快樂和滿足，這對學生身心健康的發展，創造能力和創新精神的培養有著巨大的積極作用。

（四）是學校特色發展的要求

建設特色學校是深入實施素質教育的需要，素質教育是當今教育改革的主旋律和辦學的歸宿。“合格+特長”已成為眾多學校實施素質

教育的切入點?！昂细瘛本褪桥囵B學生德、智、體、美、勞諸方面的基本素質；“特色”就是在培養學生基本素質的基礎上，充分發揮每一個學生的個性素質特長。同時建設特色學校也是學校生存和發展的需要，是學校品牌建設需要，是學校戰略發展新的增長點。學校特色發展，是學校以先進的教育思想作指導，根據學校的發展歷史與傳統、師資水平、辦學條件、環境等因素，選擇某一或幾個優勢方面的工作進行積累和拓展，逐步形成學校的顯著亮點，促進學校和諧健康發展。

二、我們如何來開展陶藝

在學校領導高度重視和鼓勵鞭策下，在新課程理論的指導下，我校于2006年起，著手進行《陶藝》教學的嘗試。從2008學起，我校逐步開設六—八年級陶藝課程，并開始把《陶藝》作為校本課程來開發。逐步編寫了教材。在教材的內容方面，遵循新課程標準，符合學校的實際情況，選擇貼近學生生活的內容，與社會發展、科技進步相融合，與人文精神相融合，逐漸向綜合方面發展，使陶藝校本課程富有時代感。教材的編寫還體現了對學生的個性潛能充分挖掘，為學生的創新精神、實踐能力打下基礎，促進學生的個性全面和諧的發展。在開發的過程中我們實施了以下策略。

（一）構建民主、開放的課程開發組織。

建立一支民主、開放的組織機構是保證校本課程開發渠道順暢的重要因素。從2006年起，我校專門成立了課程開發組。一線教師進行陶藝教學方面的探究和實踐，搜集適合學生發展的課例形式，定期匯總教研。做到邊實施，邊開發，邊挖掘，邊總結的同步進行的有效方法，在實踐過程中動態生成課程。我們先后三次改編寫了教材，并逐步生成了適合我校師生的教材。同時為保證組織機構民主、順暢運行，學校強調三個意識，即校長要有協調意識，分管領導要有服務意識，實驗教師要有精品意識，為課程開發的順利實施提供有力的保障。

（二）創設良好的外部開發環境。

為推進陶藝教學，學校做了大量的工作。配齊、開設了高標準的陶藝教室、作品陳列柜，設置了專門燒制陶器的窯爐。但由于近兩年學校陶藝教室的搬遷，陳列室、窯爐、等一些設施暫時不能到位，但在新校的規劃建設上，陶藝專用教室，及一些配套設施將得到更全面的配置。

（三）科學合理課時課程安排

陶藝校本重在普及，使學生在陶藝教學的大文化背景下受到教育。學校全校一至六年級全部開展陶藝課。在現有的條件下讓盡量多的學生參與陶藝教學體驗，做到“人人動手，個個玩陶”。每學期每人有8次陶藝教學，每次2課時，課時安排還和美術課教學相結合。陶藝教學和美術教學中的手工、泥塑、面塑、雕塑、繪畫等教學的整合，開發陶藝校本課程，構建大綜合的陶藝教學特色之路。

（四）陶藝校本教材的編寫

我校陶藝校本教材的研究和開發是建立在老師上實驗課，開展個案研究的基礎上。隨著陶藝課程的研究與推進，老師積累了大量的案例，厚積薄發，在專業刊物的指引下，編寫了名為《陶藝》的陶藝校本教材。教材在實施過程中不斷地檢驗和完善，使之更加科學合理。確立課程總目標 ：

1．通過本課程的學習，了解陶藝發展史、陶藝技法，從經驗中探索、把握基本陶藝造型語言。

2．通過作品設計與制作，樹立創新意識，尋求，加強空間造型能力。3．通過制陶實踐過程，主動探索嘗試表達新穎的設計途徑與方法。4．通過本課程的學習，初步體會陶藝是人類內心情感表達的一種語言，為日后進一步體驗陶藝作鋪墊。

（1）根據學生的年齡特點，制定了課程年級目標。低年級：

1．以培養學生喜歡玩泥巴為主，不急于要求學生塑造出作品，在游戲中體驗泥巴的硬、軟、干、濕等不同性質并自由自在地進行變形，以提高其興趣及信心。

2．鼓勵學生多嘗試各種技法、探求陶土的可塑性。如揉、搓、切、打、挖、刮、堆等技法，通過游戲讓學生自己探究。

3．能夠捏塑出各種簡單的幾何形體，如長條、球體、立方體、泥板等，并進行簡單的圖案刻畫。中年級：

1．嘗試運用各種輔助材料進行陶土的造型創作，如木棒、牙簽、竹筷、鐵絲等。

2．能夠把握雕塑造型的立體感，感受陶土潛在的美感特性，并能與他人分工合作完成作品。

3．嘗試運用各種技法制作平面的或立體的作品來表達自己的想法，提高其造型能力。

4．逐步養成收藏自己喜愛的作品并拍攝照片，作簡單的介紹，養成樂于與人共賞的習慣。高年級：

1．喜歡欣賞中外優秀的陶藝作品，能與他人交流自己的感受，發現其意義并能對作品的形式、內容、風格特點、創作背景等方面進行自主探究，有自己的心得。

2．培養學生有計劃性的工作能力，在實際創作之前，能根據構想草圖，預想必須使用的材料、工具和技法，以及制作步驟，有順序地進行創作。能注意到特體量感與動勢的表現，并逐步接觸拉坯，學習簡單的釉色法。

（二）教材編寫的原則：要求教材要適合12歲以上年齡段的學生。遵循以“玩”為主宗旨，以感受陶藝，享受玩泥的快樂為主線，以人文性的語言貫穿整個教材。本教材突出“兩個易”：

1、陶藝技巧和知識學生易接受，要與中學生的經驗和生活相適應。

2、學生的材料容易搜集，如課余練習黃泥和橡皮泥均可成為陶泥的代用品。

（三）在教材的編寫過程中注重與多學科的整合，是突出了“六個結合”：音樂與陶藝的融合，語文文學與陶藝的融合，歷史與陶藝的融合，生活與陶藝的融合，民間藝術與陶藝的融合。陶藝和綜合實踐相融合。例如：音樂與陶藝，由音樂欣賞到樂器的觸摸了解再到我做的樂器，學生聽覺、視覺、手覺、感知、了解、創造。一堂校本涉及多個認知領域。又比如歷史與陶藝的融合，有一課叫《我做的兵馬俑》，我先讓學生網上了解有關兵馬俑的資料，讓學生進行描述，想象。最 6

后假設自己是考古工作者，請他復原當年的兵馬俑原貌。學生對這樣的課非常感興趣。其作品呈現出來的創造性常常讓我們感到驚奇。

（四）過程性評價在三冊教材中得以體現。低年級是“快樂的陶藝學期”，中年級是“發展的陶藝學期”，高年級是“收獲的陶藝學期”，每冊對學生的要求都在不斷地更新。在過程性評價中，我們遵循評價的趣味性，激勵性，可操作性原則，有學生自評，生生互評，還加入了家長的評價。使每個學生在學期結束后能夠了解自己的學習情況，有所收獲，使課程開發與教學改革一體化。

三、探索陶藝校本的進一步發展之路

雖然我校陶藝校本以積累了一些經驗，但總覺得還有這樣那樣的不足，尤其是教師在持續深入開展的過程中常常感到心有余而力不足，因而迫切需要明確校本進一步發展目標，制定是陶藝發展的近三年規劃，尋找到一條更好的發展之路。我們將增加和完善以下措施。

（一）開展以課題研究為支撐的理論培訓。

校本課程的開發與實施關鍵在教師。加強培訓，提高教師開發新課程的熱情與能力是當務之急。為此，我校準備進行以課題研究為支撐，通過校本科研、校本教研加強培訓。要求老師業余進行課程目標、課程實施、課程常識、課程探究等基本理論的自學，并尋找機會向陶藝家請教有關陶藝專業知識，使我校的課程開發既有課程理論方面的支持，也有專業知識上的引領。老師在課程開發的過程中，做到有課題，從實際教學出發，解決實際問題，寫出相關的論文與案例。老師科研意識的形成，提高了校本課程開發的質量。

（二）進一步完善課外興趣小組的建設，校本重在普及，沒有數量就沒有質量，校本的開展能讓更多的具有陶藝天賦的學生被發現從而有進一步發展的空間。1）、課外陶藝興趣小組 就能滿足部分學生進一步學習探索的需求，學校要更好的組織陶藝興趣小組，讓一部分學生有更多的機會玩陶。課外興趣小組人員和時間，以各年級喜愛陶藝的學生組成，限全校20-30名學生。每周二、下午第三節課。興趣小組重在提高，學生制作出一件件充滿藝術氣息，富有生活氣息的精美作品就是成果。

（三）方法和措施： a.檔案記錄：興趣小組每人都有檔案，記錄其學習陶藝的心得感受、個人看法的文字資料和他們的陶藝作品圖片數據庫，注重收集學生的個體成長資料。b.作品宣傳：每人作品用數碼相機采集，文字用電腦存盤。發布于學校網頁上，以提高學生的學習興趣和學校的社會知名度。c.陶藝活動：可以讓學生成立陶藝公司，開展作品收藏、饋贈親友、精品拍賣等藝術活動。以提高學生陶藝制作的興趣，使學生體驗成功的樂趣，豐富學校的文化生活。

（四）加強陶藝教學的橫向聯系，走出去，請進來。以區域研討，觀摩課，外出參觀等方式進行教學交流，拓寬思路，從而達到提高教師教學質量。

（五）成立教師陶吧，讓每一個教師體驗制陶的樂趣。在陶吧里親手制作自己喜愛的作品。營造全校師生玩陶氛圍。

（六）設立陶藝教室家長和學生開放日，陶藝教室家長和學生開放日可以在陶藝實驗中得到體現。陶藝課程的實施效果

1．陶藝課程的有效實施，進一步豐富完善了學校的課程體系。在多年的探索與實踐中，學校充分挖掘課程資源，通過邊實踐邊開發的策略過程，不斷提高課程開發的能力和水平。陶藝課程的成功開發，有利于學校課程管理和決策的民主化及課程資源的優置化，提高了學校的辦學質量，逐步成為了學校的品牌課程，凸現了學校的辦學特色。2．陶藝課程的有效實施，滿足學生自我發展的需求。激發學生對陶藝的學習興趣、發展感知能力和三維形象思維能力、培養創造精神和解決問題問題的能力。總之陶藝課程著眼于發展學生的興趣、需要和特長，關注學生的個性發展。學生在玩泥巴中培養了審美情趣，享受到了成功和快樂，真正落實了“為每個學生一生的幸福和發展奠基”的辦學理念。結語：藝無止境，所以從事藝術的人是快樂的。從事藝術教育的人是幸福的，因為你的付出使他人得到快樂。陶藝教學是快樂的。

臨池鎮初級中學美術教研組

2010年3月