第一篇：2014屆高考數學一輪：選修4-5-2不等式的證明

一、選擇題

1．ab≥0是|a－b|＝|a|－|b|的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．不充分也不必要條件

答案：B

112．若實數x、y滿足＝1，則x2＋2y2有()x2y

2A．最大值3＋2B．最小值3＋2

C．最大值6D．最小值6

答案：B

3．若a，b，c∈R，且滿足|a－c|＜b，給出下列結論

①a＋b＞c；②b＋c＞a；③a＋c＞b；④|a|＋|b|＞|c|.其中錯誤的個數()

A．1B．2

C．3D．

4答案：A

ab4．已知a＞0，b＞0，m＝n＝a＋b，p＝a＋b，則m，n，p的大小順序是()ba

A．m≥n＞pB．m＞n≥p

C．n＞m＞pD．n≥m＞p

答案：A

1115．設a、b、c∈R＋，則三個數a＋，b＋c＋()bca

A．都大于2B．都小于

2C．至少有一個不大于2D．至少有一個不小于2

答案：D

a＋b16．若a＞b＞1，Plga·lgb，Q＝＋lgb)，R＝lg?2?2，則()

A．R＜P＜QB．P＜Q＜R

C．Q＜P＜RD．P＜R＜Q

答案：B

二、填空題

7．設兩個不相等的正數a、b滿足a3－b3＝a2－b2，則a＋b的取值范圍是__________．

答案：??38．用max{x，y，z}表示x，y，z三個實數中的最大數，對于任意實數a，b，設max{|a|，|a＋b＋1|，|a－b＋1|}＝M，則M的最小值是__________．

1答案：

29．設m＞n，n∈N＋，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，則a與b的大小關系為__________．

答案：a≥b

三、解答題

10．已知a＞b＞c＞0，求證：a＋3

3a－b?b－c?c并指出等號成立的條件)

3證明：因為a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，b－c＞0，所以a＝(a－b)＋(b－c)＋c≥3a－b?b－c?c，當且僅當a－b＝b－c＝c時，等號成立，所以a3

3a－b?b－c?c

3a－b?b－c?c

3a－b?b－c?c

3a－b?b－c?c ＝6，3≥3a－b?b－c?c＋≥233a－b?b－c?c3當且僅當3a－b?b－c?c＝

故可求得a＝3，b＝2，c＝1時等號成立．

11．已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，當x∈[－1,1]時，恒有|f(x)|≤1.(1)求證：|b|≤1；

(2)f(0)＝－1，f(1)＝1，求f(x)的表達式．

解析：(1)證明：∵f(1)＝a＋b＋c，f(－1)＝a－b＋c，1∴b＝[f(1)－f(－1)]． 2

∵當x∈[－1,1]時，|f(x)|≤1.∴|f(1)|≤1，|f(－1)|≤1.11∴|b|＝|f(1)－f(－1)|≤[|f(1)|＋|f(－1)|]≤1.22

(2)由f(0)＝－1，f(1)＝1，得c＝－1，b＝2－a.∴f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.∵當x∈[－1,1]時，|f(x)|≤1.∴|f(－1)|≤1，即|2a－3|≤1，解得1≤a≤2.a－211∴－[－1,1]． 2a2a

依題意，得

?f?a－2?＝?a?a－22＋2－a??a－2－1?≤1，??2a???2a?2a?

整理，得?a－2?2??4a＋1?≤1.a－2?2a－2?2又a＞0≥0＋1≥1.4a4a

a－2?2∴＝0，即a＝2，4a

從而b＝0，故f(x)＝2x2－1.212．設正有理數x3的一個近似值，令y＝1＋1＋x

(1)若x＞3，求證：y＜；

(2)求證：y比x3.33＋x－3x1x2證明：(1)y－3＝1＋3＝，1＋x1＋x1＋x

∵x＞3，∴x－3＞0，而1－3＜0，∴y＜3.?1－x－3(2)∵|y－3|－|x－3|＝?－|x3| ?1＋x?

＝|x－3|?3－1??3－2－x1?＝|x－3|? ?1＋x??1＋x?

∵x＞03－2＜0，|x3|＞0，∴|y－－|x－＜0，即|y－3|＜|x－3|，∴y比x3.

第二篇：XX屆高考數學知識點不等式證明——比較法復習教案

XX屆高考數學知識點不等式證明——比

較法復習教案

本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址

www.5y

kj.co

m【§5.3不等式證明——比較法】班級姓名學號

例1．a、b、c≥0，求證a3+b3+c3≥3abc.例2．a、b、c是△ABc的三邊，求證a2+b2+c2<2.例3．已知m、n∈N，求證：.例4．若x∈（0，1）,a>0且a≠1，求證：|loga|>loga|.【備用題】

x,y,z∈R，A、B、c是△ABc三內角，求證：x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosc

【基礎訓練】

．設m=，則m、N的大小關系是

（）

A．m>N

B．m=N

c．m

D．不確定

2．設正數a、b、c、d滿足a+d=b－c，且|a－d|<|b－c|，則ad和bc的大小關系是

（）

A．ad=bc

B．ad

c．ad>bc

D．不確定

3．已知a,b∈R+，則與的大小關系是

（）

A．x>y

B．x≥y

c．x≤y

D．不確定

4．設a,b∈R+，且a+b=2，則的最小值是_________________.5．對任意銳角θ，都有，恒成立，則的最大值是_________________.6．若a>b>c>1，P=，是P與Q中的較小者是____________.【拓展練習】

用比較法證明下列不等式

．x,y∈R，x≠y，求證：x4+y4>x3y+xy3.2．x∈R，求證：1+2x2≥2x3+x2.3．x∈R，x≠－1，求證：.4．b>a>0，求證：.5．x,y,z∈R，求證：x2+y2+xy+7z2≥2xz+5yz.6．x>0,n∈N，求證：xn+x－n≥xn－1+x1－n.7．a>0,b>0,m、n∈N，m>n，求證：2≥（am－n+bm－n）.8．a、b、c∈R+，求證：≥2.9

．

a>b>c>0,a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.0．a、b∈R+，①求證：之間

②問這二個數哪一個更接近于.www.5y

kj.co

m

求

證

：

第三篇：數學選修4-5學案 §2.1.3不等式的證明

§2.1.3不等式的的證明(3)學案姓名☆學習目標： 1.理解并掌握反證法、換元法與放縮法;

2.?知識情景：

1.不等式證明的基本方法：10.比差法與比商法(兩正數時)．

20.綜合法和分析法．

30.反證法、換元法、放縮法

2.綜合法：從①已知條件、②不等式的性質、③基本不等式等出發,通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導法.用綜合法證明不等式的邏輯關系：A?B1?B2???Bn?B 3.分析法：從要證的結論出發, 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執索.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關系： 結(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

?新知建構：

1.反證法：利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：

第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結論；

第二步作出與所證不等式相反的假定；

第三步從條件和假定出發，應用證確的推理方法，推出矛盾結果；

第四步斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定不正確，于是原證不等式成立.例1已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0.2.換元法：一般由代數式的整體換元、三角換元，換元時要注意等價性.常用的換元有三角換元有： 1．已知x?y?a，可設，； 022

220．已知x2?y2?1，可設，0?r?1)； 22xy30．已知a2?b2?1，可設，.例2 設實數x,y滿足x2?(y?1)2?1，當x?y?c?0時，c的取值范圍是（）A.1,??)B.(??1]C.1,??)D.(??1] 例3 已知x2?y2?

1，求證：?y?ax?

3.放縮法：“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小

由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.a2?1?a，n(n?1)?n，0?a111 ?2?n(n?1)nn(n?1)?bm?0a?a?m

bb?m

④利用基本不等式，如：lg3?lg5?(⑤利用函數的單調性)2???lg4；

⑥利用函數的有界性：如：sinx≤1?x?R?；

⑦絕對值不等式：a?b≤a?

b≤a?b；

???

2n?k?N,k?

1?，*?2?k?N,k?1? * ⑨應用貝努利不等式：(1?x)?1?nx?n(n?1)2x???xn?1?nx.1?2

例4當 n > 2 時，求證：logn(n?1)?log(n?1)n

例5求證：1??

1111?????3.11?21?2?31?2?3???n

例6 若a, b, c, d?R+，求證：1?

abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

§2.1.3不等式的證明(3)練習姓名

11、設二次函數f(x)?x2?px?q，求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于.212、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

43、已知a?b?0，求證：a?（n?N且n?1）.4、若x, y > 0，且x + y >2，則

1?y1?x和中至少有一個小于2。xy5、已知 1≤x2?y2≤2，求證：≤x2?xy?y2≤3

26、設f(x)?x2?x?13，x?a?1，求證：f(x)?f(a)?2?a?1?；

7、求證：?1?

8、求證

x?11? x2?x?13a?b1?a?b?a1?a?b1?b.9、設n為大于1的自然數，求證

11111??????.n?1n?2n?32n210、若n是自然數，求證

1111??????2.122232n

231111?1?2?????2?2?(n≥2)

11、求證：?2n?12nn12、求證：2?1??n?N? *

第四篇：數學選修4-5學案 §2.1.2不等式的證明

§2.1.2不等式的證明(2)綜合法與分析法學案姓名☆學習目標： 1.理解并掌握綜合法與分析法;

2.?知識情景：

1.基本不等式：

10.如果a,b?R, 那么a?b?2ab.當且僅當a?b時, 等號成立.a?b?20.如果a,b?R,那么?.當且僅當a?b時, 等號成立.22

230.如果a,b,c?R,那么?a?b?c

3?, 當且僅當a?b?c時, 等號成立.a?b2?2.均值不等式：如果a,b?R,那么

2aba?b

???常用推論：10.a2?0;a?0;a?

20.3.1a?2(a?0);abab??baca?2(ab?0);?bc?0(a,b,c?R?).3.不等式證明的基本方法：10.作差法與作商法(兩正數時)．20.綜合法和分析法．3.反證法、換元法、放縮法 0

☆案例學習：

綜合法：從①已知條件、②不等式的性質、③基本不等式等出發,通過邏輯推理, 推導出所要證明的結論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導法.用綜合法證明不等式的邏輯關系：A?B1?B2???Bn?B 例1 已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

例2 已知a1,a2,?,an?R?,且a1a2?an?1,求證:(1?a1)(1?a2)?(1?an)?2n

分析法：從要證的結論出發, 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執索的思考和證明方法.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關系： 結(步步尋求不等式已

論成立的充分條件)知

例3求證 ?

a2b2?b2c2?c2a

2例4已知a,b,c?0,求證:?abc

a?b?c

例5 證明：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2.§2.1.2不等式的證明(2)練習姓名

1、已知x?0,y?0,x?y,求證

2、已知a?b?0, 求證a?b?a?.?1?12233333、已知a?0,b?0.求證：（1）(a?b)(a?b)?4.（2）(a?b)(a?b)(a?b)?8ab.1x?1y?4x?y.4、已知a,b,c,d都是正數。求證：

（1）

a?b?c?d2?ab?cd;（2）a?b?c?d4?abcd.5、已知a,b,c都是互不相等的正數，求證(a?b?c)(ab?bc?ca)?9abc.a,b,c是互不相等的正數，且abc?1.求證:(1?a?b)(1?b?c)(1?c?a)?27．已知a，b，m都是正數，并且a?b.分別用綜合法與分析法求證:a?m

b?m?a

b.．

8設a?0,b?0，分別用綜合法與分析法求證: a3?b3?a2b?ab2.9（1）已知a,b是正常數,a?b,x,y?(0,??),求證：a

件；（2）利用（1）的結論求函數f(x)?2?

值．

9(a?b)2,指出等號成立的條 ??xyx?y2b2x1?2x(x?(0,1))的最小值，指出取最小值時x的 2

第五篇：XX屆高考數學第一輪不等式的證明專項復習教案_1

XX屆高考數學第一輪不等式的證明專項

復習教案

本資料為woRD文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址

6.3不等式的證明

（二）●知識梳理

.用綜合法證明不等式：利用不等式的性質和已證明過的不等式以及函數的單調性導出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因導果”.2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調性證明不等式.5.構造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數形結合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法.●點擊雙基

.（XX年春季北京，8）若不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，則實數a的取值范圍是

A.［－2，）

B.（－2，）

c.［－3，）

D.（－3，）

解析：當n為正偶數時，a＜2－，2－為增函數，∴a＜2－=.當n為正奇數時，－a＜2+，a＞－2－.而－2－為增函數，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）.答案：A

2.（XX年南京市質檢題）若＜＜0，則下列結論不正確的是

A.a2＜b2

B.ab＜b2

c.+＞2

D.|a|+|b|＞|a+b|

解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正確.答案：A

3.分析法是從要證的不等式出發，尋求使它成立的 A.充分條件

B.必要條件

c.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案：A

4.（理）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，則am與bm的大小關系是____________.解析：若d=0或q=1，則am=bm.若d≠0，畫出an=a1+（n－1）d與bn=b1?qn－1的圖象，易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），則an+1與bn+1的大小關系是____________.解析：an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1

5.若a＞b＞c，則+_______.（填“＞”“=”“＜”）

解析：a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］

≥2?2=4.∴+≥＞.答案：＞

●典例剖析

【例1】設實數x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.求證：loga（ax＋ay）＜loga2＋.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時應消去x、y.證明：∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2＝2.∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.∴loga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.評述：本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證ax＋ay≥2?a即可．

【例2】已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求證：

（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質，解決問題.證明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1，∴要證原不等式成立，即證［（a+b+c）+a］?［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］?［（a+b+c）－b］?［（a+b+c）－c］.也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］?［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2＞0，（b+c）+（c+a）≥2＞0，（c+a）+（a+b）≥2＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：－1＜.證法一：要證－1＜，即證a＜（+1）n.令a－1=t＞0，則a=t+1.也就是證t+1＜（1+）n.∵（1+）n=1+c

+…+c（）n＞1+t，即－1＜成立.證法二：設a=xn，x＞1.于是只要證＞x－1，即證＞n.聯想到等比數列前n項和1+x+…+xn－1=，①

倒序xn－1+xn－2+…+1=.②

①+②得2?=（1+xn－1）+（x+xn－2）+…+（xn－1+1）

＞2+2+…+2＞2n.∴＞n.思考討論

本不等式是與自然數有關的命題，用數學歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關訓練

夯實基礎

.已知a、b是不相等的正數，x=，y=，則x、y的關系是

A.x＞y

B.y＞x

c.x＞y

D.不能確定

解析：∵x2=（+）2=（a+b+2），y2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B

2.對實數a和x而言，不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3成立的充要條件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）

=x3－5ax2+13a2x－9a3

=（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）2+5a2］＞0.∵當x≠2a≠0時，有（x－2a）2+5a2＞0.由題意故只需x－a＞0即x＞a，以上過程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求證：＜a.證明：要證＜a，只需證b2－ac＜3a2，即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a－b）（2a+b）＞0，即證（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）?（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.證法一：（綜合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2＝0.展開得ab+bc+ca=－，∴ab+bc+ca≤0.證法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，亦即證［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應各步均可逆，∴原不等式成立.證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培養能力

5.設a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求證：－＜c＜0.證明：∵a2+b2+c2=1，∴（a+b）2－2ab+c2=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c2－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x2+（c－1）x+c2－c=0的兩個根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則

6.已知=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實數根.證明：由=1，∴b=.∴b2=（+c）2=+2ac+2c2=4ac+（－c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實數根.7.設a、b、c均為實數，求證：++≥++.證明：∵a、b、c均為實數，∴（＋）≥≥，當a=b時等號成立；

（＋）≥≥，當b=c時等號成立；

（＋）≥≥．

三個不等式相加即得++≥++，當且僅當a=b=c時等號成立.探究創新

8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求證：a、b、c、d中至少有一個是負數.證明：假設a、b、c、d都是非負數，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd＞1矛盾.所以假設不成立，即a、b、c、d中至少有一個負數.●思悟小結

.綜合法就是“由因導果”，從已知不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結論.2.分析法就是“執果索因”，從所證不等式出發，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結合在證明不等式中經常遇到.4.構造函數利用單調性證不等式或構造方程利用“Δ≥0”證不等式，充分體現相關知識間的聯系.●教師下載中心

教學點睛

.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應學生習慣的思維規律.有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現兩頭往中間靠以達到證題目的.2.由于高考試題不會出現單一的不等式的證明題，常常與函數、數列、三角、方程綜合在一起，所以在教學中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數的單調性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數學歸納法等.拓展題例

【例1】已知a、b為正數，求證：

（1）若+1＞，則對于任何大于1的正數x，恒有ax+＞b成立；

（2）若對于任何大于1的正數x，恒有ax+＞b成立，則+1＞.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.∵+1＞b（b＞0），∴（+1）2＞b2.（2）∵ax+＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，［ax+］min＞b，而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，當且僅當a（x－1）=，即x=1+＞1時取等號.故［ax+］min=（+1）2.則（+1）2＞b，即+1＞b.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】求證：≤+.剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=（x≥0）的單調性.證明：令f（x）=（x≥0），易證f（x）在［0，+∞）上單調遞增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=≤.思考討論

.本題用分析法直接去證可以嗎?2.本題當|a+b|=0時，不等式成立；

當|a+b|≠0時，原不等式即為≤.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!