第一篇：2014年數學高考專題--用構造局部不等式法證明不等式[模版]

2014年數學高考專題--用構造局部不等式法證明不等式

有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的局部不等式，逐一證明后，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。

例1.若a，b?R，a?b?2，求證：a?1?*2b?1?2

分析：由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當a?b?1，即2a?1?3時，等號才能成立，所以可構造局部不等式。證明：2a?1?332a?1?3·(2a?1)·3?·?(a?2)3323

(b?2)3

(a?2)?(b?2)?2 33同理，2b?1?∴a?1?

2b?1?

222x12x2xnxn?1??…???x1?x2 例2.設x1，x2，…，xn是n個正數，求證：x2x3xnx1

?…?xn。

證明：題中這些正數的對稱性，只有當x1?x2?…?xn時，等號才成立，構造局部不等式如下：

222x12x2xnxn?1?x2?2x1，?x3?2x2，…，?xn?2xn?1，?x1?2xn。x2x3xnx1

將上述n個同向不等式相加，并整理得：

222x12x2xnxn?1??…???x1?x2?…?xn。x2x3xnx1

例3.已知a1，a2，…，an均為正數，且a1?a2?…?an?1，求證：

22a12a2an1??…??。a1?a2a2?a3an?a12

a12a?a2?1?a1，證明：因a1，a2，…，an均為正數，故a1?a24

22a2a2?a3ana?a1??a2，…，?n?an。a2?a34an?a14

又∵a1?a2a2?a3a?a111??…?n?(a1?a2?…?an)?，44422

∴把以上各個同向不等式相加，整理得：

22a12a2an1??…???a1?a2?…?an?1 a1?a2a2?a3an?a12

22a12a2an1故??…??。a1?a2a2?a3an?a12

例4.設a，b，c?R，且abc?1，求證：*3111。???333a(b?c)b(c?a)c(a?b)2證明：由a，b，c在條件中的對稱性知，只有當a?b?c?1時，才有可能達到最小值31b?c1，此時剛好3??。所以，可構造如下局部不等式。2a(b?c)4bc2

∵1b?c11，??2?33a(b?c)4bc4abca

1a?c11，??2?b3(a?c)4ac4b3acb

1a?b11，??2?c3(a?b)4ab4c3abc

111??a3(b?c)b3(c?a)c3(a?b)1111b?ca?ca?b?(??)?(??)abc4bcacab∴

?

1111313(??)?? 2abc2abc2

a2b2c2

???1。例5.設a，b，c?R，且a?b?c?2，求證：b?cc?aa?b*

a2b?c?證明：由a，b，c在條件中的對稱性知，只有，才可能達到最小值1，此時剛。所以，可構造如下局部不等式。b?c4

a2b?c?。所以，可構造如下局部不等式。b?c4

a2b?cb2c?ac2a?b∵??a，??b，??c b?c4c?a4a?b4a2b2c21∴???(a?b?c)?a?b?c b?cc?aa?b2

a2b2c2

即???1 b?cc?aa?b

第二篇：用構造局部不等式法證明不等式

用構造局部不等式法證明不等式

有些不等式的證明，若從整體上考慮難以下手，可構造若干個結構完全相同的局部不等式，逐一證明后，再利用同向不等式相加的性質，即可得證。

例1.若a，求證：212 a??b?1?23，b?R，ab??2分析：由a，b在已知條件中的對稱性可知，只有當a，即2時，等號a?1?3??b1才能成立，所以可構造局部不等式。

證明：2 a?1?·(2a?1)·3?·?(a?2)*3332a?1?33323同理，2b?1?3(b?2)33333∴2 a?1??2b1?(a?2)?(b?2)?23

2222xxxx2n?1n?…????x，x，…，x例2.設x是n個正數，求證：1? 1x212nxxx2x3n1?…?xn。

證明：題中這些正數的對稱性，只有當x時，等號才成立，構造局部?x?…?x12n不等式如下：

2222xxxx12n?1n。?x?2x，?x?2x，…，?x?2x，?x?2x2132nn?11nxxxx23n1將上述n個同向不等式相加，并整理得：

2222xx1x2n?1xn??…???xx??…?x。12nxxxx23n1，a，…，a???…a?1例3.已知a均為正數，且aa，求證： 12n12n222aaa112n??…??。

a?a?aa?a12a23n122aaa11?2??a，a，…，a證明：因a均為正數，故，112na?a41222a2a2?a3ana?a1??a2，…，?n?an。

a2?a34an?a14又∵a?aa?aa?a111223n1??…??(a?a?…?a)?12n，44422∴把以上各個同向不等式相加，整理得：

222aaa112n ??…???a?a?…?a?112na?aa?aa?a21223n1222aaa112n故??…??。a?a?aa?a12a23n12例4.設a，且a，求證：，b，c?Rbc?1（第36屆IMO）

*3111。???333a(b?c)b(ca?)c(a?b)2證明：由a，b，c在條件中的對稱性知，只有當a時，才有可能達到最小值?b?c?131b?c1，此時剛好3??。所以，可構造如下局部不等式。2bc2a(b?c)4∵1bc?11??2?，33bcabc(?)44abca1ac?11??2?，33acbac(?)44bacb1ab?11??2?，33abcab(?)44cabc111∴??333a(b?c)b(c?a)c(a?b)

1111b?ca?ca?b?(??)?(??)abc4bcacab1111313?(??)?3? 2abc2abc2

222abc???1，b，c?R例5.設a，且a，求證：。?b?c?2b?cc?aa?b*證明：由a，b，c在條件中的對稱性知，只有當a?b?c?時，才可能達到最小值1，23a2b?c?此時剛好。所以，可構造如下局部不等式。b?c4222ab?cbc?aca?b∵ ??a，??b，??cb?c4c?a4a?b4222abc1∴ ???(a?b?c)?a?b?cb?cc?aa?b2222abc即 ???1b?cc?aa?b

第三篇：巧用構造法證明不等式

巧用構造法證明不等式

構造法是指在解決數學問題的過程中，為了完成由條件向結論的轉化，通過構造輔助元素，架起一座溝通條件和結論的橋梁，從而使問題得到解決。不等式證明是高中數學的一個難點問題，若能巧用構造方法，可以使一些問題化難為易.本文擬用構造法巧證一些不等式問題，僅供參考.一、構造函數證明不等式

若能根據題中條件的特征，巧妙地構造函數，利用函數的圖象和性質來證明不等式.例1（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設x?1,y?1，證明 111x?y????xy，xyxy

（Ⅱ）1?a?b?c，證明

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.解：∵x?1，y?1，所以要證明原不等式成立，則只需證

xy(x?y)?1?y?x?(xy)

2成立.令f(x)?y?x?(xy)2?[xy(x?y)?1]?(y2?y)x2?(1?y2)x?y?1 當y?1時，則f(x)?0，即xy(x?y)?1?y?x?(xy)2，所以

111x?y????xy xyxy

111?(,1).函數當y?1時，二次函數f(x)的圖象開口向上，對稱軸x??22y2

f(x)在[1,??)上單調遞增，所以

f(x)?f(1)?y2?y?1?y2?y?1?0

所以

111x?y????xy xyxy

綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）證明略.二、構造方程證明不等式

由解不等式的經驗知，不等式的解的區間的端點就是相應方程的解，所以可以利用方程與不等式的內在聯系，構造方程來證明不等式.例2 設實數a,b,c滿足

?a2?bc?8a?7?0?2 2?b?c?bc?6a?6?0

求證：1?a?9.?bc?a2?8a?7證明：由已知得?，故可構造關于x的方程：

?b?c??(a?1)

x2?(a?1)x?a2?8a?7?0

所以??[?(a?1)]2?4(a2?8a?7)?0，即a2?10a?9?0，所以1?a?9.三、構造三角形證明不等式

若能根據不等式的特征，構造出與不等式相同的幾何背景的三角形，通過三角形的性質和幾何特征來證明不等式.例3設a,b,c為正實數，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c)證明：由于a2?ab?b2?

下圖所示.Aa2?b2?2abcos1200，構造三角形ABC，如 ? D B

使AC?b,BC?a,?ACB?1200，則AB?a2?ab?b2.作?ACB的角平分線交AB于D.令?ADC??，則ADbBDaa?，.??sin600sin?sin600sin(1800??)sin?

33ba(a?b)

所以AB?，BD?.由此可得AB?AD?DB?.sin?sin?sin?

∵0?????1，所以AB?，所以0?si?n3(a?b)，即

2a2?ab?b2?

同理：b2?bc?c2?(a?b)①.23(c?b)② 2

(c?a)③ 2c2?ca?a2?

由①②③得a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c).四、構造幾何體證明不等式

若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內在的關系，可通過構造幾何體來證明不等式.例4 已知a,b,c均為正數，且a2?b2?c2?1.證明：

?a2??b2??c2?3?(a?b?c)

證明：由a2?b2?c2?1，可發現此式與長方體的對角線長的公式有一定聯

系.故可構造長方體，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1?1.A

c 1A1 D

1而AB1?b2?c2??a2.在?AB1C1中，有AB1?B1C1?AC1，即

?a2?a?1①

同理有

?b2?b?1②

?c2?c?1③

由①②③得?a2??b2??c2?3?(a?b?c).用構造法證明不等式是一種非常重要的解題方法.運用此方法的關鍵在于“構造”，可以根據所要證明的不等式的結構特征，合理運用類比、聯想等方法，構造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。

第四篇：構造法證明不等式

構造法證明不等式

由于證明不等式沒有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強，使得不等式證明成為中學數學的難點之一.下面通過數例介紹構造法在證明不等式中的應用.一、構造一次函數法證明不等式

有些不等式可以和一次函數建立直接聯系，通過構造一次函數式，利用一次函數的有關特性，完成不等式的證明.例1設0≤a、b、c≤2，求證：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.證明：視a為自變量，構造一次函數

=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，由0≤a≤2，知表示一條線段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.二、構造二次函數法證明不等式

對一些不等式證明的題目，若能巧妙構造一元二次函數，利用二次函數的有關特性，可以簡潔地完成不等式證明.例2實數a、b、c滿足(a+c)(a+b+c)<0，求證：(b-c)>4a(a+b+c).證明：由已知得a=0時，b≠c，否則與(a+c)(a+b+c)<0矛盾，故a=0時，(b-c)>4a(a+b+c)成立.當a≠0時，構造二次函數=ax+(b-c)x+(a+b+c)，則有

=a+b+c，=2(a+c)，而·=2(a+c)(a+b+c)<0，∴存在m，當-1

第五篇：構造法證明不等式5

構造法證明不等式（2）

（以下的構造方法要求過高，即使不會也可以，如果沒有時

間就不用看了）

在學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，多種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發，構造一個與不等式相關的數學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。

一、構造向量證明不等式（不會也可以）

例1：證明x?2(9?x2)?9，并指出等號成立的條件。

證明：不等式左邊可看成坐標表示，將左邊看成向量a=(與 x 和與?x2兩兩乘積的和，從而聯想到數量積的,)與b=(x, 9?x2)的數量積，7x?2(9?x2)?()2?(2)2x2?(9?x2)?9又a?b?|a|?|b|，所以

x9?x

2當且僅當b??a,(??0)時等號成立，故由 ?解得：x=,λ=1，即 x =時，等號成立。

2（1－y)例2：求證：1?(x?y?3)2?(2x?y?6)2? 6

證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a?(1?y,x?y?3,2x?y?6)模的平方，又a?b?|a|?|b|，為使a?b 為常數，根據待定系數法又可構造b?(1,2,?1)。于是|a|·|b|=(1?y)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)26

a·b＝（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）?1 所以(1?y)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2?1 2（1－y)即1?(x?y?3)2?(2x?y?6)2? 6

x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?1?x)2?(1?y)2?2

二、構造復數證明不等式（這種方法不作要求，如果有興趣了解一下就可以了）22例

3、求證：x?y?

證明：從不等式左邊的結構特點容易聯想到復數的模，將左邊看成復數Z1=x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－

y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1?z2?z3?z4可得：

x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?

2注：此題也可構造向量來證明。

三、構造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?a2?ac?c2，當且僅當

111??時取等號。bac

證明：從三個根式的結構特點容易聯想到余弦定理，于是可構造如

下圖形，使OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1），則∠AOC＝120°，AB=圖（1）a2?ab?b2，BC=b2?bc?c2,AC=a2?ac?c

2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC，∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2 當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有

111absin60??bcsin60??acsin120?22

2ab+bc=ac 故當且僅當，即111??時取等號。bac

四、構造橢圓證明不等式

例5：求證：?

證明：42 ?4?9x2?2x?334?9x2的結構特點，使我們聯想到橢圓方程及數形結合思想。

x2y2??12于是令 y?4?9x(y?0)，則其圖象是橢圓的上半部分，49設y-2x=m，于是只需證?42,?m?3

3因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截距，由圖（2）可知：

當直線 y = 2 x＋m 過點（24，0）時，m有最小值為m=?； 33

當直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。

由 ?y?2x?m2 2得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 ?22?9x?y?4

令△= 4（52－9m2）=0 得：m?22或m?（去）33

即m的最大值為424，故??m?，即??4?9x2?2x? 33333

五、構造方程證明不等式

例6：設 a1、a2、…an 為任意正數，證明對任意正整數n不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。

當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝?1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數n均成立

六、構造數列證明不等式

例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >n

2n n-12圖（2）1?2n證明：不等式左邊為 2－1=從而聯想到等比數列的求和公式，1?2

n-111n?1n-1n-2n-12=n于是左邊=1+2+2+…+ 2 =[(1+2)+(2+2)+ …(2+1)≥·n·22 222n－1例8：設任意實數a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1，求證：112?? 1?a21?b21?ab

證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | < 1）各項和公式S＝

a1，1?q

則：11?=（1 + a2 + a4 + …）+（1 + b2 + b4 + …）221?a1?b

=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ …

≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … = 2 1?ab

七、構造函數證明不等式

例9：已知 | a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－

1證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。

因而可構造函數 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數，f(a)在（－1,1）上為單調函數 而 f(-1)=－b－c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此題還可由題設構造不等式：（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構造對偶式證明不等式

例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+11)…(1+)>43n?2

證明：設an =(1+1)(1+112583n?43n?1)…(1+)= … 43n?21473n?53n?2

3693n?33n47103n?23n?1…，cn = … 2583n?43n?13693n?33n構造對偶式：bn =

?1?

∴an> 11113?1??1?，即an > bn，an > cn，∴an，1?> an bn cn 3n?23n?13n?23n11)>，即：(1+1)(1+)…(1+43n?2