第一篇：主要計算和證明

主要計算和證明

計算

一級：

1．計算行列式（化上三角，遞推公式）

2．求矩陣的逆（公式法，初等變換法）

3．求矩陣（向量組）的秩

4．求解非齊次線性方程組Ax?b：

（1）線性方程組的有解判定（包括：有沒有解，有解時有多少解），（2）線性方程組解的通解（若有無窮多解時，要用導出組的基礎解系給出通解）.5．求最大無關組，把其余向量用最大無關組線性表示

6．矩陣可對角化的判定，求可逆矩陣P將A對角化

7．對實對稱矩陣A，求正交矩陣Q，使得QTAQ?Q?1AQ??（對角形）

2（包括：對實二次型f?xTAx，求正交變換x?Qy，使得f??1y12????nyn）

二級：（通過定義、定理可直接計算）

1．排列的逆序數，奇偶性

2．用克萊姆法則求解方程組的解

3．用行列式按行按列展開計算

4．矩陣加法、乘法、數乘運算

5．求方陣的伴隨矩陣

6．用矩陣的轉置、方陣的行列式、伴隨矩陣和逆矩陣的性質進行計算

7．矩陣分塊的加、數乘、乘、求逆等運算

8．矩陣化行最簡形

9．解矩陣方程AX?B

10．帶有參數的齊次、非齊次線性方程組的討論

11．判別?可由向量組?1,?2,?,?s線性表出

12．判別向量組?1,?2,?,?s線性相關性

13．求齊次線性方程組的基礎解系及相關的運算

14．解的結構定理相關的運算

19．求向量的內積

20．求向量的長度

21．求向量的夾角

22．規范正交化

23．正交矩陣的判定

24．求特征值、特征向量

26．求二次型的矩陣、矩陣的二次型

27．求二次型的秩

29．正定二次型的判定

證明

一級：

1．線性無關的證明

2．AB?0 的問題轉化為Ax?0 的問題

二級：（通過定義、定理可直接證明）

1．行列式關系式證明

2．用矩陣的轉置、方陣的行列式、伴隨矩陣和逆矩陣的性質進行證明

3．向量的線性相關性方面的證明題

4．向量組的等價判定

5．極大線性無關組

6．向量組的秩的證明

7．基礎解系與R(A)，n關系的證明

8．解的結構相關問題的證明

10．特征值、特征向量的證明題

11．用標準形證明

有規律的計算和證明

計算：

1．規范正交化

證明：

1．線性無關的證明

矩陣的行最簡形可解決：

1．求矩陣的秩

2．矩陣的逆

3．方程組求解（判斷有解無解）

4．求向量組的最大無關組，把其余向量用最大無關組線性表示

注意：

??

1．行列式不要寫成矩陣：???

??；行列式計算不要這樣寫：

???

?

2．矩陣不要寫成行列式：； 矩陣初等變換不要這樣寫：????

~???????????~ ??????

第二篇：極限的計算、證明

極限的論證計算，其一般方法可歸納如下

1、直接用定義???N,???等?證明極限

?0例、試證明limn??1n

證：要使?0??，只須n?，故 ?

11??n?N???0，?N??，有?1?0?? ?????n1n12、適當放大，然后用定義或定理求極限或證明極限

an

?0，a?0例、證明：limn??n!

證：已知a?0是一個常數

??正整數k，使得a?k aaa?0???????，n? n!n!k!k?1?nk!nk!?nanaka?aakk?1

?ak?1???1，當n?N時，有 ????0,?N??k!?????

an?0?? n!

3、用兩邊夾定理在判定極限存在的同時求出極限

例、求limn???3?5?2n?1 2?4?6?2n解：1?3?5??2n?1?3?5?7??2n?1?14?6??2n?12?4?6??2n?1?????? 2?4?6?2n2?4?6?2n?22n3?5?2n?12n1?3?5?2n?14n

?1?3?5??2n?1??1??? ? ?2?4?6?2n?4n??2

兩邊開2n次方：

1?1?3?5?2n?11211

????1

2?4?6?2n4n22n

1?3?5?2n?1?1

2?4?6?2n由兩邊夾：limn??

4、利用等價性原理把求一般極限的問題化為無窮小量的極限問

題

例、設Sn?l?0?n???，p?0為常數，求證：Sn?l?n???

p

p

證：0?Sn?l?Sn?l?0，得 Sn?l?n???記 Sn?l??n，其中 ?n?0?n???

??n

再記Sn?l??n?l??1?l

?

p

p

?

??l?1??n?，其中?n??n?0?n??? ?l?

則有Sn?l?1??n?p。若取定自然數K?p，則當?n?1時?1??n???1??n?p??1??n?

K

K

l?1??n??l?1??n?p?Sn?l?1??n?

p

K

p

p

p

K

由兩邊夾得證。

5、通過分子有理化或分子分母同時有理化將表達式變形使之易

求極限

例、求極限limsin?n2?1

n??

??

sinn???n2?1?n?解：limsin?n2?1?lim

n??

n??

????

??1?sin?n?1?n? ?lim??1?sin?limn??

n

??

n

?2

?n?1?n?

n??

?06、換變量后利用復合函數求極限法則求極限例、求極限lim

x?0

?1?x?

x

1K

?1，其中K是自然數

解：令 y??1?x??1

當x?1時，有 1?x??1?x??1?x，所以x?0?y?0利用復合函數求極限法則可得lim

x?0

1K

1K

?1?x?

x

1K

?1

?lim

y?0

y

1?yK?1

?lim

y?0

y

Ky?

K?K?1?y2???yK?K7、進行恒等變形化成已知極限進行計算

xx?2

例、lim

1?cosx2sin2??sin?x?0x2?limx?0x2

?lim1x?02?????1 ?x?2?2??

8、用等價無窮小量進行變量替換后求極限例、求極限lim

1?cosx

x?0

1?cos

x2

解：1?cosx～12x2，1?cosx2～12???x?

?2??

?x?0?

lim1?cosx

x

x?01?cosx?limx?01?x?2?4 22???2??

9、利用存在性定理確定極限的存在性并求極限例、x1xn

n?1?

x?，n?1,2,?，x1?a?0 n2

證明：limn??

xn存在，并求此極限。證明：xn?0x1n?1?

x?xn?21?xn

?2 n2xnx1x

2?x2

nn?1?xnn?x?2?xn?2x?0，xn?1?xn

nn

且 xn?2，?limn??

xn存在令 l?limxn，有 l?1?ln??

l2，l2?2，l?2

10、利用海涅定理解決極限問題

例、試證明函數f?x??sin1x

當x?0時極限不存在證：取x1n?，yn?

2n?2n?

?0 ?n??? ?

?02

而 f?xn??1，f?yn??0，得證

11、把求極限問題化為導數問題計算例、求極限lim

?1?x?

1K

?1

x?0x，其中K是自然數

1解：lim

?1?x?K

?1

???x?0

x

??1

?xK?'1?x?1?K ?

12、利用洛必達法則求極限

例、lim?tgx?2x??

x??

?0解：令A?lim?tgx?2x??

x??

?0lnA?lnlim?tgx?2x???limln?tgx?2x??

x??

? 2

?0x?2

?0

?lim?2x???lntgx?limlntgx

sec2xx??

?2

?0x?2

?0

2x???1

?lim

x??

?0

?22x???2

tgx

?lim?1??2x???2

14???2?x???x????2?0?2??sinxcosx??2lim??0x??2?0sin?????2?x?

?

所以lim?tgx?2x??

?A?e0?1 x??

?013、把求極限的表達式化為積分和的形式，用定積分進行計算

例、設Sn?

1n?1?1n?2???1

2n，求limn??Sn解：S111

n11n?n?1?n?2???2n???，lim

S11n?i?1n1?in???01?x

?ln2 n14、利用第一積分中值定理處理定積分的極限問題

例、求lim

xn

n???

01?xdx解：由第一積分中值定理

?1

xn1

01?xdx?

1??n

?

n0

xdx?

11???，?0??n?1? nn?1

所以lim

xn

n???

01?xdx?0

15、利用收斂級數的必要條件求極限

例、求xn

limn??n!

解：已知指數函數的冪級數展開式x

??

xn

e?!

對于一切x?R收斂n?0n而收斂級數的一般項趨于0，故得lim

xn

n??n!

?0

16、用帶有皮亞諾余項的泰勒展開式求函數或序列的極限

例、lim??x?x2ln?1??

x??

???

1?x????

解：x?x2

ln???1?1?x???x?x2??1??1???1???0??1??1o??1?

2??x2?x??x2???????x??

2x2

原式?

1、利用柯西收斂準則處理極限問題

例、用Cauchy收斂準則證明xn?1???證:取?0??0,?N?0,任取n?N,p?n,有

xn?p?xn?x2n?xn?

??2n?12n?3

?

1135

?

無極限.2n?1

1nn1

?????.4n?14n?14n4

故由Cauchy收斂準則知,?xn?為發散數列.

第三篇：平行四邊形的證明與計算

中考專題：平行四邊形的證明與計算

1.如圖，?ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長AE、CF分別交CD、AB于M、N．

（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的長．

號考 線

2.如圖，已知BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求證：BE=CF．

題級 班答 要 不

內3.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，且AE=CF，求證：DE=BF．

線 封封 密

名 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知點E在AB上，點F在CD上，且AE=CF．求證：DE=BF．

姓

5.如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC，求證：BE=AF．

密 校 學

6.如圖，已知點A、C在EF上，AD∥BC，DE∥BF，AE=CF．

（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）直接寫出圖中所有相等的線段（AE=CF除外）．

7.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，BC=30cm，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

8.如圖，ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點，若∠ABF=∠CDE=90°．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的長．

9.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線與BE的延長線相交于點F，連接CF．（1）求證：四邊形CDAF為平行四邊形；（2）若∠BAC=90°，AC=AF，且AE=2，求線段BF的長．

10.如圖，將?ABCD沿CE折疊，使點D落在BC邊上的F處，點E在AB上．（1）求證：四邊形ABFE為平行四邊形；（2）若AB=4，BC=6，求四邊形ABFE周長．

11.如圖，延長?ABCD的邊AB到點E，使BE=BC，延長CD到點F，使DF=DA，連結AF，CE，求證：四邊形AECF

是平行四邊形．

12.如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點，延長BC至點F，使得CF=

BC，連結CD、DE、EF．

（1）求證：四邊形CDEF是平行四邊形．

（2）若四邊形CDEF的面積為8，則△ABC的面積為 16 ．

13.如圖，在△ABC中，D、E是AB、AC中點，AG為BC邊上的中線，DE、AG相交于點O，求證：AG與DE互相平分．

14.如圖，已知AD為△ABC的中線，點E為AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：CF=2AE；（2）若S△ABE=2cm2，求四邊形ADCF的面積．

15.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，且AE=CF．求證：BE∥DF．

16.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E，F分別是OB，OD的中點，試說明四邊形AECF是平行四邊形．

17.如圖，平行四邊形ABCD中，點O是AC與BD的交點，過點O的直線與BA，DC的延長線分別交于點E，F．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）連接EC，AF，求證：四邊形AECF是平行四邊形．

18.如圖Rt△ACB中，已知∠BAC=30°，BC=2，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE． EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；（2）求四邊形ADFE的周長．

19.（2016春?云夢縣期末）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CE∥AB，DE交AC于點F，若FA=FC．（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（2）若AE⊥EC，EF=EC=1，求四邊形ADCE的面積．

20.如圖，在?ABCD中，點E、F在對角線BD的延長線上，且ED=FB，連結AE、EC、CF，AF．（1）求證：AE=CF．（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．

21.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，過點B作AC的平行線交∠CAB的平分線于點D，過點D作AB的平行線交

AC于點E，交BC于點F，連接BE，交AD于點G．（1）求證：四邊形ABDE是菱形；（2）若BD=14，cos∠GBH=，求GH的長．

22.如圖，茬四邊形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中點，AC平分∠BCD，且AC⊥AB，接DE，交AC于F．（1）求證：AD=CE；

（2）若∠B=60°，試確定四邊形ABED是什么特殊四邊形？請說明理由．

第四篇：簡單幾何的證明與計算

簡單幾何的證明與計算

A組題：

1、如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE＝BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE．

（1）求證：AB＝DF；

（2）若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．

2、如圖，小明家在A處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB是A到l的小路.現新修一條路AC到公路l.小明測量出∠ACD=30o，∠ABD=45o，BC=50m.請你幫小明計算他家到公路l的距離AD的長度（精確到0.1m；2?1.414?1.732）.3、如圖，分別以Rt?ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊?ACD，等邊?ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連結DF．

⑴試說明AC＝EF；

⑵求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

B組題：

1、如圖1，在⊙O中，點C為劣弧AB的中點，連接AC并

延長至D，使CA=CD，連接DB并延長交⊙O于點E，連接AE.（1）求證：AE是⊙O的直徑；

（2）如圖2，連接CE，⊙O的半徑為5，AC長為4，求陰影部分面

積之和.(保留?與根號)

圖1圖

22、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

3、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。將△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合．

(1)點C是否在以AB為直徑的圓上?請說明理由;

(2)當AB=4時，求此梯形的面積．

C組題：

1、如圖，已知拋物線y=x2?4x?3與x 軸交于兩點A、B，其頂點為C．

(1)對于任意實數m，點M（m，-2）是否在該拋物線上?請說明理由；

(2)求證:△ABC是等腰直角三角形；

(3)已知點D在x軸上，那么在拋物線上是否存在點P，使得以B、C、D、P

為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明

理由．

2、如圖，拋物線y?x2?bx?c的頂點為D（﹣1，﹣4），與y軸交于點C

（0，﹣3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；

（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F為頂點的的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

第五篇：四邊形證明及計算提高練習

特殊四邊形證明及計算提高練習

平行四邊形

1．（2012?威海）（1）如圖①，?ABCD的對角線AC，BD交于點O，直線EF過點O，分別交AD，BC于點E，F．

求證：AE=CF．

（2）如圖②，將?ABCD（紙片）沿過對角線交點O的直線EF折疊，點A落在點A1處，點B落在點B1處，設FB1交CD于點G，A1B1分別交CD，DE于點H，I． 求證：EI=FG．

2．（2007?黑龍江）在△ABC中，AB=AC，點P為△ABC所在平面內一點，過點P分別作PE∥AC交AB于點E，PF∥AB交BC于點D，交AC于點F．若點P在BC邊上（如圖1），此時PD=0，可得結論：PD+PE+PF=AB．

請直接應用上述信息解決下列問題：

當點P分別在△ABC內（如圖2），△ABC外（如圖3）時，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數量關系，請寫出你的猜想，不需要證明．

3．（2006?泰安）如圖，矩形ABCD的對角線交于點O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F，連接AF，CE．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若∠BAD的平分線與FC的延長線交于點G，則△ACG是等腰三角形嗎？并說明理由．

4．如圖，以△ABC三邊為邊在BC同側作三個等邊△ABD、△BCE、△ACF．請回答下列問題：

（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形．

菱形

5．（2010?盤錦）如圖，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC上的一點，以AD為邊作等邊△ADE，過點C作CF∥DE交AB于點F．

（1）若點D是BC邊的中點（如圖①），求證：EF=CD；

（2）在（1）的條件下直接寫出△AEF和△ABC的面積比；

（3）若點D是BC邊上的任意一點（除B、C外如圖②），那么（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

6．（2009?龍巖）在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發，沿A?B?C向終點C運動，連接DM交AC于點N．

（1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN：

①求證：△ABN≌△ADN；

②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求點M到AD的距離及tanα的值．

（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．

7．（2001?河北）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．點M從點A以每秒1個單位長的速度沿著AD邊向點D移動；設點M移動的時間為t秒（0≤t≤10）．

（1）點N為BC邊上任意一點，在點M移動過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說明理由；

（2）點N從點B（與點M出發的時刻相同）以每秒2個單位長的速度沿著BC邊向點C移動，在什么時刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；

矩形

8．（2002?無錫）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分別是AB、CD的中點．

（1）在邊AD上取一點M，使點A關于BM的對稱點C恰好落在EF上．設BM與EF相交于點N，求證：四邊形ANGM是菱形；

（2）設P是AD上一點，∠PFB=3∠FBC，求線段AP的長．

9．在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC的延長線于點F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG．

（1）如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；

（2）如圖2，若∠ABC=90°，M是EF的中點，求∠BDM的度數；

（3）如圖3，若∠ABC=120°，請直接寫出∠BDG的度數．

10．如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點O．

（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；

（2）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R．四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積．

11．（2005?淮安）已知：平行四邊形ABCD的對角線交點為O，點E、F分別在邊AB、CD上，分別沿DE、BF折疊四邊形ABCD，A、C兩點恰好都落在O點處，且四邊形DEBF為菱形（如圖）．

（1）求證：四邊形ABCD是矩形；

（2）在四邊形ABCD中，求的值．

12．如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點．

（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；

（2）請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；

（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由．

13．如圖：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1．

（1）判斷△BEC的形狀，并說明理由？

（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷；

（3）求四邊形EFPH的面積．

正方形

14．（2012?黑龍江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若點D在線段BC上，以AD為邊長作正方形ADEF，如圖1，易證：∠AFC=∠ACB+∠DAC；

（1）若點D在BC延長線上，其他條件不變，寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC的關系，并結合圖2給出證明；

（2）若點D在CB延長線上，其他條件不變，直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC的關系式．

15．（2012?常德）已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點，一動點P從B開始，沿射線BC運動，連接DP，作CN⊥DP于點M，且交直線AB于點N，連接OP，ON．（當P在線段BC上時，如圖1：當P在BC的延長線上時，如圖2）

（1）請從圖1，圖2中任選一圖證明下面結論：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；

（2）設AB=4，BP=x，試確定以O、P、B、N為頂點的四邊形的面積y與x的函數關系．

16．（2011?阜新）如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點．

（1）如圖1，當點P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數量關系和位置關系，不用說明理由；

（2）如圖2，當點P在線段OC上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；

（3）如圖3，當點P在AC的延長線上時，請你在圖3中畫出相應的圖形（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由．

17．如圖，四邊形ABCD是正方形，點P是BC上任意一點，DE⊥AP于點E，BF⊥AP于點F，CH⊥DE于點H，BF的延長線交CH于點G．

（1）求證：AF﹣BF=EF；

（2）四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；

（3）若AB=2，BP=1，求四邊形EFGH的面積．

18．如圖，在正方形ABCD中，點M在邊AB上，點N在邊AD的延長線上，且BM=DN．點E為MN的中點，DE的延長線與AC相交于點F．試猜想線段DF與線段AC的關系，并證你的猜想．

19．以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形．他們分別是正方形ABDI，BCFE，ACHG，試探究：

（1）如圖中四邊形ADEG是什么四邊形？并說明理由．

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是矩形？

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEG是正方形？