第一篇：專題：等式約束條件下不等式的范圍問題

專題：等式約束條件下不等式的范圍問題

1.求解等式約束條件下不等式的范圍問

題，關(guān)鍵在于對等式條件的應(yīng)用。主要分為三類方法：

? 代入消元法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或

對勾函數(shù)等的值域問題。? 三角換元法：引入三角函數(shù)新

元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值5.域問題。

? 均值不等式：綜合應(yīng)用等式和待

求式，轉(zhuǎn)化為均值不等式的問題。

6.典型題例——等式條件下不等式的范圍問題：

1.設(shè)a，b?Rb2

7.?，且a2

?2

?1，求y?a?b2的最大值。

8.2.設(shè)x?0，y?0，且(x?1)(y?1)?4，求x?y的最小值。

9.3.（06重慶理科）若設(shè)a，b，c?R?且

a(a?b?c)?bc?4?2，則

2a?b?c的最小值為？

A.3?1B.?

1C.2?2D.2?2 4.（07重慶）若a是1?2b與1?2b的等

學(xué)林家教

八年家教經(jīng)驗、一流的專職老師授課先上課，滿意輔導(dǎo)質(zhì)量再收費1

比中項，則

2ab

a?2b的最大值為？

A.22

15B.4 C.55D.22

已知a?0，b?0，且

1a?3

b

?1，則a?2b的最小值為？

A.7?26B.23 C.7?2D.14

設(shè)a，b?R，且a2?2b2

?6則a?b的最小值為？

已知設(shè)x?0，y?0，且

2x?3

y

?2，則xy的最小值是？ 已知設(shè)x?0，y?0，且

xy?4x?y?12，則xy的最小值是？

已

知

3a2?2b2?5，試求

y?(2a2?1)(b2?2)的最大值。

一個月單科成績提高10-15分三個月幫助改善學(xué)習(xí)方法、提高學(xué)習(xí)效率***（黃老師）

第二篇：從等式約束的最小化問題說起

從等式約束的最小化問題說起：

上面問題的拉格朗日表達(dá)式為：

也就是前面的最小化問題可以寫為：

minxmaxyL(x,y)。它對應(yīng)的對偶問題為：

maxy minxL(x,y)。下面是用來求解此對偶問題的對偶上升迭代方法：

這個方法在滿足一些比較強(qiáng)的假設(shè)下可以證明收斂。

為了弱化對偶上升方法的強(qiáng)假設(shè)性，一些研究者在上世紀(jì)60年代提出使用擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式（augmented Lagrangian）代替原來的拉格朗日表達(dá)式：

其中ρ>0。對應(yīng)上面的對偶上升方法，得到下面的乘子法（method of multipliers）：

注意，乘子法里把第二個式子里的αk改成了擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式中引入的ρ。這不是一個隨意行為，而是有理論依據(jù)的。利用L(x,y)可以導(dǎo)出上面最小化問題對應(yīng)的原始和對偶可行性條件分別為（?L?y=0，?L?x=0）：

既然xk+1 最小化 Lρ(x,yk)，有：

上面最后一個等式就是利用了yk+1=yk+ρ(Axk+1?b)。從上面可知，這種yk+1的取法使得(xk+1,yk+1)滿足對偶可行條件?L?x=0。而原始可行條件在迭代過程中逐漸成立。

乘子法弱化了對偶上升法的收斂條件，但由于在x-minimization步引入了二次項而導(dǎo)致無法把x分開進(jìn)行求解（詳見[1])。而接下來要講的Alternating Direction Method of Multipliers(ADMM)就是期望結(jié)合乘子法的弱條件的收斂性以及對偶上升法的可分解求解性。ADMM求解以下形式的最小化問題：

其對應(yīng)的擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式為：

ADMM包括以下迭代步驟：

ADMM其實和乘子法很像，只是乘子法里把x和z放一塊求解，而ADMM是分開求解，類似迭代一步的Gauss-Seidel方法。其中(3.4)中的推導(dǎo)類似于乘子法，只是使用了zk+1最小化Lρ(xk+1,z,yk)：

其中用到了z對應(yīng)的對偶可行性式子：

?L?z=?g(z)+BTy=0

定義新變量u=1ρy，那么(3.2-3.4)中的迭代可以變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

在真正求解時通常會使用所謂的over-relaxation方法，也即在z和u中使用下面的表達(dá)式代替其中的Axk+1：

αkAxk+1?(1?αk)(Bzk?c)，其中αk為relaxation因子。有實驗表明αk∈[1.5,1.8]可以改進(jìn)收斂性([2])。

下面讓我們看看ADMM怎么被用來求解大型的機(jī)器學(xué)習(xí)模型。所謂的大型，要不就是樣本數(shù)太多，或者樣本的維數(shù)太高。下面我們只考慮第一種情況，關(guān)于第二種情況感興趣的讀者可以參見最后的參考文獻(xiàn)[1, 2]。樣本數(shù)太多無法一次全部導(dǎo)入內(nèi)存，常見的處理方式是使用分布式系統(tǒng)，把樣本分塊，使得每塊樣本能導(dǎo)入到一臺機(jī)器的內(nèi)存中。當(dāng)然，我們要的是一個最終模型，它的訓(xùn)練過程利用了所有的樣本數(shù)據(jù)。常見的機(jī)器學(xué)習(xí)模型如下： minimize x∑Jj=1fj(x)+g(x)，其中x為模型參數(shù)，fj(x)對應(yīng)第j個樣本的損失函數(shù)，而g(x)為懲罰系數(shù)，如g(x)=||x||1。

假設(shè)把J個樣本分成N份，每份可以導(dǎo)入內(nèi)存。此時我們把上面的問題重寫為下面的形式：

除了把目標(biāo)函數(shù)分成N塊，還額外加了N個等式約束，使得利用每塊樣本計算出來的模型參數(shù)xi都相等。那么，ADMM中的求解步驟(3.2)-(3.4)變?yōu)椋?/p>

例如求解L1懲罰的LR模型，其迭代步驟如下（u=1ρy，g(z)=λ||z||1）：

其中xˉ?1N∑Nixi，yˉ的定義類似。在分布式情況下，為了計算方便通常會把u的更新步驟挪在最前面，這樣u和x的更新可以放在一塊：

ADMM的框架確實很牛逼，把一個大問題分成可分布式同時求解的多個小問題。理論上，ADMM的框架可以解決大部分實際中的大尺度問題。我自己全部實現(xiàn)了一遍這個框架，主要用于求解LR問題，下面說說我碰到的一些問題： 1.收斂不夠快，往往需要迭代幾十步。整體速度主要依賴于xi更新時所使用的優(yōu)化方法，個人建議使用liblinear里算法，但是不能直接拿來就用，需要做一些調(diào)整。2.停止準(zhǔn)則和ρ的選?。和Ｖ箿?zhǔn)則主要考量的是xi和z之間的差異和它們本身的變動情況，但這些值又受ρ的取值的影響。它們之間如何權(quán)衡并無定法。個人建議使用模型在測試集上的效果來確定是否停止迭代。

3.不適合MapReduce框架實現(xiàn)：需要保證對數(shù)據(jù)的分割自始至終都一致；用MPI實現(xiàn)的話相對于其他算法又未必有什么優(yōu)勢（如L-BFGS、OwLQN等）。

4.relaxation步驟要謹(jǐn)慎：α的取值依賴于具體的問題，很多時候的確可以加快收斂速度，但對有些問題甚至可能帶來不收斂的后果。用的時候不論是用x-> z-> u的更新步驟，還是用u-> x-> z的更新步驟，在u步使用的x_hat要和在z步使用的相同（使用舊的z），而不是使用z步剛更新的z重算。

5.warm start 和子問題求解逐漸精確的策略可以降低xi更新時的耗時，但也使得算法更加復(fù)雜，需要設(shè)定的參數(shù)也增加了。

我們使用ADMM算法對CSR優(yōu)化問題進(jìn)行求解，我們考慮CSR的優(yōu)化問題PCSR的等價形式：

min(1/2)Ax?y2??x1?lRn?x?2?

(3-1-1)其中l(wèi)S是集合S的指示函數(shù)，即，如果x?S，ls(x)?0；如果x?S，ls(x)??。現(xiàn)在，我們將ADMM用到下面的等式中，12Ax?y2

(3-1-2)2f2(x)??x1?lRn?x??

(3-1-3)f1(x)?G?I

(3-1-4)由ADMM算法第3步，我們可以得到：

xk?1?B?1w

(3-1-5)在公式中有：

ADMM的第4步可以簡單寫成：

uk?1?argmin(1/2)u?vku22B?ATA??I

(3-1-6)

w?ATy??(uk?dk)

?(?/u)u1?lRn?u??(3-1-7)

(3-1-8)其中，vk?xk?1?dk。去除l?n項，（3-1-8）的解將是著名的軟閾值：

?

uk?1?soft(vk,?/?)

(3-1-9)

?一個簡單的推理的結(jié)論，ANC項l?n映射到第一象限，所以

uk?1?max{0,soft(vk,?/?)}

(3-1-10)在這里最大值是分支意義上的最大值。SUnSAL算法如下：

算法1：SUnSAL算法：

1.設(shè)k?0,選擇??0,u0,d02.重復(fù)3.w?ATy??(uk?dk)4.xk?1?B?1w5.vk?xk?1?dk 6.uk?1?max{0,soft(vk,?/?)}

7.dk?1?dk??xk?1?uk?1?8.k?k?19.直到滿足停止準(zhǔn)則目標(biāo)函數(shù)（3-1-1）是正定的，凸的，下半連續(xù)，強(qiáng)制性。所以，它具有一個極小非空集。（3-1-2）和（3-1-3）中的函數(shù)f1和f2是封閉的，并且G?I很明顯是列滿秩，所以，定理1可以保證SUnSAL收斂。

對于計算復(fù)雜性，我們應(yīng)指出的是，在高光譜應(yīng)用中矩陣的秩不再是頻帶的數(shù)量，通常是幾百次。所以B?1很容易預(yù)計算。每次算法的復(fù)雜度都是?(n2)，這對應(yīng)著矩陣向量的乘積。

第三篇：幸福等式

幸福等式

幸福=n+1=生活。

幸福無處不在——有一個老太太，她的大兒子做了洗染店老板，小兒子做了雨傘店老板。老太太卻天天為他們憂慮：雨天，擔(dān)心洗染店衣服晾不干；晴天，生怕雨傘店雨傘賣不出??

摘不到的星星，總是最閃亮的；得不到的東西，總是最寶貴的。其實，老太太是幸福的，雨天，小兒子生意興隆；晴天，大兒子顧客盈門。這不就是一種令人滿足、向往的生活嗎？

我們總是羨慕別人的幸福生活，便忽視了自己身邊的幸?！?/p>

學(xué)習(xí)=幸福

學(xué)習(xí)是幸福的，因為我們在汲取只是養(yǎng)分?；蛟S有人覺得學(xué)習(xí)苦悶不堪，但人生就是一個不斷學(xué)習(xí)的過程。我們就像是一個方程式，而學(xué)習(xí)就是未知數(shù)“x”。“學(xué)到老，活到老”，我們不知道“x”是多少，也不知道要多久才能解開它?？赡苁俏覀儾欢忾_它，可能是我們不想解開它。我們永遠(yuǎn)也離不開它，因為，學(xué)習(xí)給予我們養(yǎng)分，讓我們浸泡在無限幸福之中。

助人=幸福

助人是幸福的，因為我們在奉獻(xiàn)愛心。助人有時候會“吃虧”，甚至惹來不必要的麻煩。但是，“吃小虧，賺大便宜”。助人不僅僅是付出，更是一種收獲?！百浫嗣倒?，手有余香”。當(dāng)我們付出的越多，內(nèi)心就越幸福。

知足=幸福

知足是幸福的，因為你擁有的一切都是彌足珍貴的。永遠(yuǎn)不要羨慕別人的生活，即使那個人看起來快樂富足。幸福，如人飲水，冷暖自知。所謂“知足者常樂”，懂得滿足自己的生活，也是一種幸福。

生活=學(xué)習(xí)+助人+??=幸福

生活與幸福本就是一個等式，生活源于點點幸福，幸福源于種種生活。只要用心呼吸，身旁的空氣也充滿幸福的味道。

旗峰中學(xué)初二:夢之彗星

第四篇：等式教案

等式及其性質(zhì)

【教學(xué)內(nèi)容】

教科書第77頁例

1、例2。【教學(xué)目標(biāo)】

1認(rèn)識等式，說出等式的意義。

2知道等量并會從實際情境中找出等量。3理解和掌握等式的基本性質(zhì)。4 能對等式的性質(zhì)進(jìn)行簡單應(yīng)用?！窘虒W(xué)重、難點】 1理解等式的意義。

2能從實際情境中找出等量并寫出等式。3 理解等式的基本性質(zhì)及簡單應(yīng)用?！窘叹邷?zhǔn)備】 課件。

【教學(xué)過程】

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入 課件出示：

1、用含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系。

2、用含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系書寫要求填空。學(xué)生獨立完成后匯報結(jié)果。

師：通過剛才的練習(xí)，同學(xué)們都能含字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，提問：生活中有沒有相等的數(shù)量關(guān)系呢？

二、引入新課：

（一）等式的意義 師：讓我們來看看云嶺小學(xué)組織五年級同學(xué)們清明節(jié)掃墓活動。課件出示主題圖。師：你都知道了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：五年級共有55名學(xué)生，中巴車上有17人，大巴車上有38人。分析數(shù)量關(guān)系，建立模型

師：要表示中巴車上的人數(shù)，可以怎樣表示？ 生：可以用17表示。（師板書17人）

師：還能用其他的方式表示中巴車上的人數(shù)嗎？ 同桌議一議。

生：我們還可以用（55-38）人表示中巴車上的人數(shù)。師板書：（55-38）人。

師：同學(xué)們真會動腦筋，用總?cè)藬?shù)-大巴車上的人數(shù)=中巴車上的人數(shù)。

師：請觀察，（指板書）現(xiàn)在我們用了哪些方法可以表示“中巴車上的人數(shù)”？ 同桌交流。抽生匯報。

生：中巴車上的人數(shù)可以用17人表示，還可以用（55-38）人表示。師：那它們的大小怎樣？ 生：大小相等。師小結(jié)：一個量可以直接表示出來，也可以通過另外的量間接表示出來，這里的17人和（55-38）人都表示的是中巴車上的人數(shù)。

師：數(shù)學(xué)上把表示等量的數(shù)或式子可以用等號連接起來。在17和（55-38）之間加上等號。（板書：添等號）提問：還能找出哪些等量關(guān)系？

學(xué)生交流，抽學(xué)生說。（55=17+38，38=55-17等）

師：用字母a表示中巴車上的人數(shù)，用b表示大巴車上的人數(shù)，又可寫出哪些等量關(guān)系呢？

生：抽學(xué)生說，師：寫出等量關(guān)系。板書：表示相等關(guān)系的式子是等式。

試一試，在實際生活情景中，找出等式。出示課件 生：交流找出等式 并板書出來。提問：你知道什么是等式了嗎？ 生：知道

哪我們來看看是否掌握了呢？

出示題，判斷下列哪些是等式？（題中表示不等關(guān)系的式子叫什么呢？不等式）

（二）等式有什么性質(zhì)呢？

同學(xué)們知道天平稱嗎？ 課件出示：天平，認(rèn)識天平及天平原理。師：天平平衡，說明什么？ 生：說明左右兩邊的質(zhì)量相同。

師：所以，可以用等式表示它們的關(guān)系。（板書：a=b）探索性質(zhì)1：

師：根據(jù)這幅圖，你能寫一個怎樣的等式？ 生：2a=b。

課件出示：天平的左邊增加1個100g的物體，天平失去平衡。師：天平現(xiàn)在還是平衡的嗎？ 生：不是。

師：現(xiàn)在你能找到等量關(guān)系嗎？ 生：不能找到。

師：怎樣才能讓天平重新平衡呢？你能想出哪些方法？ 小組討論，請學(xué)生說一說想法。

生1：可以在天平的右邊也放100g的東西，天平可能重新平衡。觀察天平你能寫出一個等式嗎？（能，2a+100=b+100）師：你發(fā)現(xiàn)了等式兩邊有什么變化？ 生：都加100，仍是等式。

師：現(xiàn)在兩邊同時減100，天平平衡嗎？ 生：發(fā)現(xiàn)天平仍然平衡。

師：你又能寫出一個等式嗎？（生：能，2a+100-100=b+100-100）師：觀察三個等式你發(fā)現(xiàn)等式有什么性質(zhì)？ 課件：出示等式性質(zhì)1 探索性質(zhì)2：

師：右邊增加b后，天平平衡嗎？ 生：不平衡（右邊質(zhì)量是原來的2倍。）師：怎樣才能使天平平衡呢？

生：左邊也放原來的2倍，天平就平衡。生：右邊增加后的質(zhì)量是原來的2倍。

師：變化前和變化后，天平都處于平衡狀態(tài)，所以可以把這兩組算式用等號連接起來。

教師板書：教師板書：2a×2=b×2 師：你能得到什么結(jié)論呢？

生：如果天平兩邊的質(zhì)量同時擴(kuò)大2倍，天平依然平衡。

師：如果同時擴(kuò)大5倍、10倍、15倍呢？天平也平衡嗎？猜一猜。生：肯定也平衡。

師：你們的猜測是正確的，只要兩邊同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)，天平仍然平衡。（課件出示）

師：剛才的實驗是“兩邊同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)”，這讓我想到了，假如兩邊同時縮小相同的倍數(shù)，天平也會平衡嗎？

課件出示：兩邊同時縮小相同的倍數(shù)，天平也平衡。師：你發(fā)現(xiàn)等式又有什么性質(zhì)呢？

生1：在等式的兩邊同時乘或同時除以一個相同的數(shù)，等式依然成立。師：在同時乘或除以一個數(shù)時，有沒有需要注意的地方？ 生2：除以的這個數(shù)不能為0。

師：你提醒得很好。今天，我們通過大量的實驗，得到了這個非常重要的結(jié)論，它將為我們后面“方程”的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。指導(dǎo)學(xué)生勾出書上第78頁的結(jié)論，齊讀。師：這個結(jié)論就是“等式的性質(zhì)”。（板書）

三、鞏固應(yīng)用

課件出示：等式性質(zhì)簡單應(yīng)用

學(xué)生完成，抽學(xué)生說一說。課堂活動，根據(jù)時間情況安排。

四、課堂小結(jié)：你有什么收獲或質(zhì)疑？

1、等式意義

2、等式基本性質(zhì)。

第五篇：等式的性質(zhì)

等式的性質(zhì)

教學(xué)

內(nèi) 容 課本P3～4頁例

3、例4及相應(yīng)的試一試、練一練，練習(xí)一第4～6題。

三維目標(biāo) 1.讓學(xué)生在具體的情境中初步理解“等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式”的性質(zhì)解簡單的方程。

2.讓學(xué)生在觀察、分析、概括、歸納和交流的過程中，進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感受方程的思想方法，發(fā)展初步的抽象思維能力。培養(yǎng)學(xué)生的能力。

3.讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和探索的過程中，進(jìn)一步培養(yǎng)主動與他人合作交流、自覺檢驗等習(xí)慣，獲得一些成功的體驗。教學(xué)重點 理解并掌握等式的性質(zhì)，解簡單的方程。教學(xué)難點 用方程表示數(shù)量關(guān)系。教學(xué)資源 天平、掛圖、小黑板 學(xué) 程 設(shè) 計 導(dǎo) 航

一、揭示課題，認(rèn)定目標(biāo)。（2分鐘）

1.判斷下列各題，哪些是等式？哪些是方程？ 9-X=4 20+30=50 3+X>8 y-17=43 在教師組織下，學(xué)生討論交流回答問題 學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的內(nèi)容及目標(biāo)。

二、自主學(xué)習(xí)，建構(gòu)模型。（15分鐘）

1.學(xué)習(xí)例3 出示圖，學(xué)生根據(jù)圖獨立填空。

2.提問：比較兩邊的算式，你有什么發(fā)現(xiàn)，在小組里說說，全班交流。

3.教學(xué)例4

學(xué)生自學(xué)，不懂的問題和同組同學(xué)交流，能解決的就小組內(nèi)交流。

全班交流：例4中還有什么不懂的地方提出來，能由學(xué)生解決的就由學(xué)生解決，學(xué)生解決不了的教師解決。

學(xué)生獨立完成后集體訂正，重點幫助有困難的學(xué)生，針對學(xué)生出錯的地方及時分析錯誤原因，幫助他們弄懂。

三、組織練習(xí)，完善認(rèn)知.（12分鐘）

1.完成“試一試” 學(xué)生獨立解答（一人板演）2.獨立完成“練一練”第1題 學(xué)生獨立完成填空

3.“練一練”的第2題

學(xué)生獨立解答，并選擇兩題（加法方程與減法方程各一個）和同桌相互說說檢驗過程，反饋計算情況。

四、當(dāng)堂檢測，評價反思（10分鐘）1.完成練習(xí)一第4題。

學(xué)生完成填空后同桌交流。

2.做練習(xí)一第5題。要求選擇加法方程與減法方程各一個，自己說說檢驗過程。3.完成練習(xí)一第6題。

先獨立思考，學(xué)生回答，并說說自己的想法?！景鍓K一】

1.提問：什么是方程？ 2.談話：上節(jié)課我們已經(jīng)認(rèn)識了什么是方程，這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)與等適合方程有關(guān)的知識。3.揭示課題：等式的性質(zhì)?！景鍓K二】

1.根據(jù)學(xué)生的回答，板書：

20=20

20＋10=20＋10 X=50

X＋20=50＋20

50＋a=50＋a 50＋a－a=50＋a－a X＋20=70

X＋20－20=70－20

2.引導(dǎo)學(xué)生說出：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式。這是等式的性質(zhì)。3.提問：你能根據(jù)圖中的意思列出方程嗎？怎樣求出方程中X的值呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生正確解答）教師小結(jié)

一是方法：根據(jù)等式的性質(zhì)把含有未知數(shù)的這邊化簡成就含有一個未知數(shù)。

二是檢驗：把計算的結(jié)果代到原式，看左右兩邊是否相等。三強(qiáng)調(diào)書寫的格式。（要寫解）

小結(jié)：求方程中未知數(shù)值的過程，叫做解方程。

【板塊三】

1.教師巡視，關(guān)注書寫過程。

2.請學(xué)生說說填寫的依據(jù)后提問：為什么“+25”與“-18”？加減號允許寫錯嗎？可以填其他數(shù)嗎？ 【板塊四】

1.教師多關(guān)注學(xué)困生的作業(yè)情況。

2.總結(jié)全課。

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你又什么收獲嗎？誰來說一說？

等式的性質(zhì)教學(xué)反思

今天教學(xué)《方程》中的“等式的性質(zhì)

（二）”。昨天已經(jīng)利用休息時間研讀了教師參考書，對教案進(jìn)行了二次備課，也理清了教學(xué)程序。由于在講解“等式的性質(zhì)

（一）”時，給學(xué)生觀察討論匯報的時間不夠，造成在解方程時出現(xiàn)一些意想不到的錯誤，所以決定：今天在教學(xué)例5時，給學(xué)生多一點時間去交流。

1、復(fù)習(xí)部分：

提問：“前面我們認(rèn)識了等式與方程的意義，知道了等式的性質(zhì)，學(xué)會了利用等式的性質(zhì)解方程。誰還記得等式的性質(zhì)是什么？” 可能是因為后面坐著聽課的老師，學(xué)生有點緊張，只敢在下面小聲地說。便找了平時比較好的學(xué)生說，不完整的地方由其他學(xué)生補(bǔ)充，同時出示性質(zhì)。

反思：一直以來，任教我班的是工作十多年的教師，平時教學(xué)成效也比較好，被聽課的機(jī)會比較少，平時我和班主任對學(xué)生要求比較嚴(yán)格，學(xué)生較一些班級學(xué)生，語數(shù)課堂上比較規(guī)矩，膽小。這樣，學(xué)生對有教師聽課表現(xiàn)出緊張的情緒是可想而知的。同時，教師的情緒也比較平淡，沒有給學(xué)生創(chuàng)設(shè)輕松愉快自然的氛圍，使得前半部分的課堂有點沉悶，敢于大膽發(fā)言的學(xué)生也比較少。由此可知：教師進(jìn)入課堂就要立刻調(diào)動自己的情緒，使學(xué)生有輕松活潑的感覺，學(xué)生才會調(diào)動自己的情緒，將注意力集中到教師所傳授的知識上，忘記身后聽課的教師，大膽地發(fā)表自己的想法。課堂也才會有活力。

2、導(dǎo)入部分：

提問：“如果等式的兩邊同時乘或除以同一個數(shù)，除以時這個數(shù)不為0，所得的結(jié)果還是等式嗎？”

學(xué)生有說能，有說不能，要求學(xué)生猜測。效果不理想，有學(xué)生受預(yù)習(xí)的影響，寫出一個方程，然后在解方程；有一個學(xué)生寫了：“3×9＝27，3×9÷9＝27÷9”通過比較發(fā)現(xiàn)，等式仍然成立。

反思：從學(xué)生的反應(yīng)來看，這種提出問題讓學(xué)生先猜測的教學(xué)方法，因為平時訓(xùn)練的少，教師突然放手，學(xué)生不知所措，不知道如何去思考。由此可以看出，教師在教學(xué)中還存在包辦現(xiàn)象，學(xué)生還習(xí)慣于在老師的引導(dǎo)下去掌握新知，鞏固新知，然后學(xué)會解題。即學(xué)生的創(chuàng)新能力的培養(yǎng)還不夠，需要加強(qiáng)。

3、新授部分：

分別出示例5的天平圖，讓學(xué)生看著圖去列等式，四幅圖出示完畢后，讓學(xué)生觀察等式，討論交流“有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生有點摸不著頭腦。感覺學(xué)生打愣，立刻引導(dǎo)：“仔細(xì)觀察第一幅圖和第二幅圖，是怎樣變化的？”由天平圖的變化引導(dǎo)到等式的變化，再用文字?jǐn)⑹觯骸暗仁絻蛇呁瑫r乘2，所得的結(jié)果仍然是等式?！崩^續(xù)引導(dǎo)：“如果等式兩邊同時乘

5、乘

7、乘10等等，所得結(jié)果還是等式嗎？”學(xué)生認(rèn)同，提問：“該怎樣說就可以包括所有乘數(shù)？”學(xué)生總結(jié)出：“等式兩邊同時乘同一個數(shù)，所得的結(jié)果仍然是等式?！苯Y(jié)合三、四幅圖，讓學(xué)生自己觀察，說一說，總結(jié)出“等式兩邊同時除以同一個數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式?！币髮删湓捄铣梢痪湓挘處熢诤诎迳蠈懗觥Ｌ釂枺骸坝行枰a(bǔ)充的嗎？”學(xué)生提出：“加上‘這也是等式的性質(zhì)’”。教師加上。繼續(xù)問：“還有需要補(bǔ)充的嗎？”片刻有學(xué)生說：“這個數(shù)應(yīng)該不能為0?！薄盀槭裁?？”“比如x×0＝0，就不可以?！庇袑W(xué)生抗議：“x可以和0相乘?！苯處熣f明：“x可以和0相乘，等于0。”寫出x×0＝0，提問：“根據(jù)等式的性質(zhì)，怎樣使左邊只剩下x？”學(xué)生回答：“等式兩邊同時除以0?！备鶕?jù)學(xué)生的回答寫出：“x×0÷0＝0÷0”，提問：“看著這個等式有想法嗎？”終于有學(xué)生提出：“不可以這樣寫，因為0不能做除數(shù)?！蓖暾仁降男再|(zhì)

（二），板書課題。

反思：在例5教學(xué)時，應(yīng)該在出現(xiàn)前兩幅圖和等式后，讓學(xué)生結(jié)合圖觀察，由天平的變化再引導(dǎo)到等式的變化。教師在教學(xué)時，分別出示圖，讓學(xué)生列出所有等式后再觀察發(fā)現(xiàn)，對學(xué)生來說，有點難度。學(xué)生不知道從哪兒下手，哪兩個等式是相關(guān)聯(lián)的。從這里可以反映出，我們班學(xué)生的觀察分析能力有待培養(yǎng)，加強(qiáng)。同時也提醒教師在設(shè)計問題時要從本班學(xué)生的實際情況出發(fā)，要有層次，有坡度，使學(xué)生的思考有方向，有目標(biāo)，一步一個臺階，最終達(dá)到預(yù)期的效果。課堂上教師在發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)愣神時，及時將問題簡單清晰化是明智的。

例5的教學(xué)中，沒有掛圖和多媒體，只靠教師在小黑板上畫出的簡單的天平圖來引導(dǎo)觀察，顯得不合適。首先耽誤了時間，其次，由于四幅圖沒法按照書上那樣的順序排列，造成學(xué)生觀察時的無目的性。由此可以看出，掛圖或多媒體在教學(xué)中起著一定的作用，可以使學(xué)生的觀察清晰，有條理，有層次。自然也能節(jié)約時間，提高課堂效率。

4、鞏固部分：

練習(xí)二第1題：“先說說下列方程怎樣解，再解方程?！币髮W(xué)生只說不解。在指名說：“2.1x=8.4”時，被指的是一位平時接受比較慢、成績偏下的學(xué)生。學(xué)生吞吞吐吐半天說出：“2.1x÷x＝8.4÷2.1”。學(xué)生噓聲一片，教師將算式抄在黑板上，讓學(xué)生觀察評議。學(xué)生異口同聲地說：“錯的?！闭垖W(xué)生找出錯在什么地方。學(xué)生指出，等式兩邊同時除以的不是同一個數(shù)。教師指出，解方程時，方程兩邊同時除以的數(shù)應(yīng)該是同一個數(shù)，一個具體的數(shù)，而不是未知數(shù)。

反思：這個現(xiàn)象在含加法的方程中也出現(xiàn)過，如：75＋x=150,有學(xué)生寫：75＋x-x=150—75，x=75。分析原因在于：教學(xué)中的例題，多數(shù)是X在運算符號的前面，然后根據(jù)等式的性質(zhì)使左邊只剩下X時，都是左邊加幾，等式兩邊就同時減幾，學(xué)生形成思維定勢，只看左邊運算符號后面的數(shù)，說明學(xué)生對等式的性質(zhì)的理解不透徹，解方程時是“照葫蘆畫瓢”，并沒有真正掌握解方程的方法，學(xué)生靈活運用的能力薄弱。

解決方法：當(dāng)學(xué)生看到75＋X不知所措時，請學(xué)生結(jié)合加法交換律，將75＋X想成X＋75＝150，再按照解方程的步驟進(jìn)行計算。同樣，2.1X可以根據(jù)乘法交換律看作X×2.1＝8.4后再解方程，對這個別學(xué)生來說，是一個比較好的辦法。

5、作業(yè)反饋：

今天的課堂作業(yè)是完成練一練的第2題，練習(xí)二的第1、3題。由于時間有限，要求學(xué)生課后完成。從作業(yè)完成情況來看，除個別計算錯誤外，沒有出現(xiàn)過程中的問題。但是，由于學(xué)生練習(xí)時，教師不在身邊，不能保證所有學(xué)生是獨立完成的。所以，不能說，今天的效果是很好的。只有通過下次課堂上完成補(bǔ)充習(xí)題才能看出學(xué)生是否都掌握了解方程的方法