第一篇：人教版數學不等式解讀

人教版數學不等式解讀

課程目標：不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容。建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的。在本模塊中，學生將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解決一些實際問題；能用二元一次不等式組表示平面區域，并嘗試解決一些簡單的二元線性規劃問題；認識基本不等式及其簡單應用；體會不等式、方程及函數之間的聯系。

一、知識結構

大綱教材中，一元二次不等式安排在集合之后、簡易邏輯之前，作為初中一元一次不等式的自然延伸和新高一的起步內容之一，而課標教材把一元二次不等式安排在模塊5，根據浙江省高中新課程實施意見，應在高二（上）學習；二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題從大綱教材解析幾何部分的一個單元移到模塊5；刪除一元高次、分式不等式，把絕對值不等式移到選修4－5，把不等式證明也移到選修4－

5、1－2（文）、2－2（理）。

二、教學要求──立足基礎、螺旋上升，促進主動學習、激勵自主發展

1．基本要求

（1）了解不等式（組）的實際背景。

（2）理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值。

（3）會用不等式（組）表示實際問題中的不等關系，能用不等式（組）研

究含有不等關系的實際問題。

（4）了解不等式一些基本的性質。

（5）了解從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，理解一元二次

不等式的概念。

（6）理解并掌握一元二次不等式、二次函數及一元二次方程之間的關系。

（7）理解并掌握解一元二次不等式的過程。

（8）會求一元二次不等式的解集。

（9）掌握求解一元二次不等式的程序框圖及隱含的算法思想。

（10）了解從實際情境中抽象出二元一次不等式（組）模型的過程。

（11）理解二元一次不等式（組）及其解集的概念。

（12）了解二元一次不等式的幾何意義，理解（區域）邊界的概念及其實、虛線的含義。

（13）會用二元一次不等式（組）表示平面區域。

（14）了解線性約束條件、目標函數、線性目標函數、線性規劃、可行域、可行解、最優解的概念。

（15）掌握簡單的二元線性規劃問題的解法。

（16）了解基本不等式的代數、幾何背景及其證明過程。

（17）理解算術平均數、幾何平均數的概念。

（18）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。

（19）通過基本不等式的實際應用，感受數學的應用價值。

2．發展要求

（1）理解并掌握不等式的基本性質。

（2）體會不等式的基本性質在不等式證明中所起的作用。

（3）一元二次不等式解法及應用。

（4）能把一些簡單的實際問題轉化成二元線性規劃問題并加以解決。

（5）掌握基本不等式應用及其使用的條件。

三、課標教材特點分析

1．教學內容

通過前后移動、左右拆分等動作試圖把體現和刻畫不等關系的意義、價

值、方法和思想的有關內容進行了一次整編，使得內容上 “形式的大拼盤”在不等關系和不等思想這個層次上得到“實質性的統一”。從多角度（實際背景、幾何意義、代數算理、不等思想等）體現課程標準基礎性、發展性、應用性和思想性的要求。

2．教學要求

（1）在解不等式方面，課標教材有二個特點：基本要求進一步降低、重視直觀合情推理。在大綱教材刪除指、對數不等式和根式不等式之后又刪除了一元高次不等式、分式不等式，絕對值不等式移到選修4－5（選修IB之一，不作高考要求）；在課標教材的例題中，解一元二次不等式前都是先研究相應的一元二次方程的根、二次函數的圖象，這是大綱教材所不及的。

（2）在不等式證明方面采取分步到位、螺旋上升的策略，但現階段浙

江省高考對不等式證明的要求是降低的。雖然在選修1－2（文）、2－2（理）的推理與證明中提出用綜合法與分析法是選修IA之一，作為浙江高考要求；但選修4－5中不等式選講中不等式證明的常用方法及柯西、排序、均值不等式及其應用，還介紹了數學歸納法與貝努利不等式，這些內容是選修IB之一，不作為浙江高考要求。另外，基本不等式只要求了解其代數、幾何背景及證明過程，應用上只要求用于求簡單的最值問題。

3．教學意義

數學是思維的體操，不等式作為大綱教材的一個重點和難點，在培養學

生演繹推理能力方面起到重要作用，但大綱教材在推理的技巧性和嚴密性上多層次人為的過度強調，在演繹推理難度上不斷提升，往往使得學生成為思維的機器，而不是思維的主人。課標教材強調合情推理和演繹推理并重，強調不等式的背景和實際應用，把不等式作為刻畫現實世界中不等關系的數學工具，作為描述優化問題的一種數學模型，而不是從數學到數學的純理論，使思維成為自然的可能，將使學生成為思維的主人。

練；強調學生體驗知識的形成過程，淡化一些技巧性的要求；強調

利用圖象的直觀性和合情推理，淡化純演繹推理。

3.1不等關系與不等式

這一節讓學生從大文化和實際背景認識不等關系的普遍性，如章頭圖及其說 明詩：“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”（這首蘇東坡的《題西林壁》的后二句大家更熟悉：不識廬山真面目，只緣身在此山中）；具體要求也和原教材有很大的不同，原教材作為研究不等式的理論基礎，先結出實數大小比較的基本原理，再歸結出五大定理和幾個推論，部分還結出了證明。而課標教材也先結出實數大小比較的基本原理，但把五大定理和幾個推論整理為不等式的八大性質，并只作一些簡要的說明，并強調這些關于不等式的事實和性質是解決不等式問題的依據，所以在教學中，我們不必在這些性質的證明中化過多的時間，而應該著眼于通過實際背景、幾何意義、具體例子來說明這些性質的合理性，對一些不等式的推斷作一些分析驗證；在此過程中更要重視學生的參與，師生在實際背景、幾何意義、具體例子的共同作用下接受合情推理及其結論，盡可能減少學習過程中被迫無奈的成分（包括教師作為成人已具有的，而學生未具備的文化背景和經驗）。另外，我個人認為引入不等關系和性質的實際背景、具體例子和性質本身都可以根據實際情況（當地學生情況和我省模塊1－4－5－2－3的現實）作一些必要的調整，如問題1的內容（點到平面的距離）、章頭圖的形式（人教A版用熔巖峰嶺圖、上海教材用城市道路和高樓圖）、八條性質的設置（如減對稱性，增倒數性質）。

3.2一元二次不等式及其解法

在大綱教材中，集合和邏輯聯結詞之后簡易邏輯和函數之前安排了借助二次 函數解決二次不等式有關問題，究其用意，一是讓使學生進一步完善二次函數這一中學里最重要的函數的認識結構，并在理解抽象的函數概念時有一個具體的函數模型；二是鞏固有關集合的基本概念；三是鞏固并熟悉使用“或”、“且”二個邏輯聯結詞，并為學習“簡易邏輯”打好基礎；四是為下一章研究某些函數的定義域、值域、單調性作準備。課標教材為了防止師生在學習集合和函數概念時，借助二次不等式對函數的定義域、值域、單調性等細小問題進行大量繁瑣的所謂重點訓練，而忽視對函數概念的本質的理解、忽視對函數性質的討論、忽視函數的實際應用，故課標教材采取了釜底抽薪的方法，把二次不等式放到必修5。但已經參與實驗的教師中，特別是在一些多次使用傳統教材的教師中，有許多人對此提出質疑，我認為這主要是受使用大綱教材（把二次不等式放在集合與函數之

間）的經驗和習慣性的影響。對此，我有二個建議：部分現階段一時難以適應的老教師，在盡可能實現課標教材設計意圖的情況下可以暫時沿用以往的辦法來處理；學生數學基本能力和思想（主要是本節內容學習過程中的蘊含的有關能力，如實際背景抽象出數學模型的能力、數形結合的能力、從直觀到理性和從特殊到一般的認識能力）較好的班級也可以暫時沿用以往的辦法來處理。但我們應努力改變這種情況。

人教A版先通過一個上網費用問題引入一元二次不等式的概念，讓學生了解 從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程，理解一元二次不等式的概念。然后借助具體二次函數的圖象研究二次函數的零點和一元二次方程根的關系，并觀察當一點P在二次函數圖象上移動（即點P的橫坐標x變化）時，其縱坐標y有什么變化？進而歸納出一般一元二次不等式的解法，最后讓學生自主完成求解一般一元二次不等式的過程的程序框圖。從實際背景到數學模型，從直觀感受到理性認識，從特殊到一般，這種處理符合學生的認知規律，有助于學生認清知識的形成過程，加深對知識的理解，更重要的是在此過程中學生能有體驗的感受，往往使學生領悟到數學的思想方法。故教學中要重體驗淡模式、重應用淡技巧、重背景控難度。總之，要重視理解并掌握解一元二次不等式的過程，突出數形結合的思想，理解二次函數、方程、不等式的關系，達到求一元二次不等式的解集的基本要求即可，相關內容在選修4－5中將進一步討論。

3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規劃問題

不等關系在日常生活、現實生產、科學實驗中大量存在，如上網時間費用、剎車距離與車速關系、資源利用、人力調配、生產安排等問題。不等式是用來刻畫不等關系的優化工具，二元一次不等式（組）刻畫區域的準確性和可活動性使之成為解決二元線性規劃問題的有效工具。本節安排了線性規劃及其實習作業內容，教學中要立足于實際問題是數學問題的源泉，解決實際問題是數學研究的主要目的之一；同時，由于浙江省先安排上模塊5，后上模塊2，故高一教學時應作適當調整，一種是把整節切割到直線方程之后，另一種是適當補充直線方程有關內容（如傾斜角、斜率等），我傾向選擇后一種方案（主要基于二點理由：傾斜角、斜率比較直觀，三角函數已學），主要理由是遵循教材設計意圖（不等關系）；另外，多元條件極值是有一定難度的，教學中不應再過多展開，要讓學生通過自主研究理解掌握基本解法即可，如可讓學生自主探究完成二元一次不等式表示的平面區域（象探究一元二次不等式的解法一樣，經歷觀察、嘗試、思考等探究的過程）；最后，要幫助學生實現從實際問題中抽象出二元一次不等式（組），這是本節的難點。

3.4基本不等式：ab?a?b

首先，我們應明確，本節的重點是應用數形結合的思想理解基本不等式，從 不同角度探索它的證明過程（證明意識的培養），難點是利用之求最大（小）值，一般不等式證明不是本節的重點和難點，選修1－2（文）、2－2（理）、4－5中將會繼續研究；其次，基本不等式只限于二元；第三，教學中應突出用基本不等式解決簡單問題，特別是實際問題（如周長、面積、造價等）的最大（小）值；第四，不要有意設置一些特殊問題去強調所謂“一正、二定、三相等”。

第二篇：人教數學數學選修不等式選講簡介

人教數學（A版）培訓手冊之三十九──“不等式選講”簡介

人教A版普通高中數學課程標準實驗教科書（選修4-5）《不等式選講》是根據教育部制訂的《普通高中數學課程標準(實驗)》(以下簡稱課程標準)的選修4系列第5專題“不等式選講”的要求編寫的。根據課程標準，本專題介紹一些重要的不等式和它們的證明、數學歸納法和它的簡單應用

一、內容與要求1．回顧和復習不等式的基本性質和基本不等式。

2．理解絕對值的幾何意義，并能利用絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：（1）∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；（2）∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；（3）會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－c∣＋∣x－b∣≥a。3．認識柯西不等式的幾種不同形式。理解它們的幾何意義。（1）證明柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|α·β|。（2）證明：（a+b）(c+d)≥(ac+bd)。（3）證

明：

≥。4．用22222參數配方法討論柯西不等式的一般情況：5．用向量遞歸方法討論排序不等式。6．了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸納法證明一些簡單問題。7．會用數學歸納法證明貝努利不等式：(1＋x)＞1＋nx（x＞-1,n為正整數）。了解當n為實數時貝努利不等式也成立。

8．會用上述不等式證明一些簡單問題。能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值。9．通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法。

二、內容安排 本專題內容分成四講，結構如下圖所n

示：

本專題的內容是在初中階段掌握了不等式的基本概念，學會了一元一次不等式、一元一次不等式組的解法，多數學生在學習高中必修課五個模塊的基礎上展開的．作為一個選修專題，教科書在內容的呈現上保持了相對的完整性．第一講是“不等式和絕對值不等式”，它是本專題的最基本內容，也是其余三講的基礎．

本講的第一部分類比等式的基本性質，從“數與運算”的基本思想出發討論不等式的基本性質，這是關于不等式在運算方面的一些最基本法則．接著討論基本不等式，介紹了基本不等式的一個幾何解釋：“直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高”，并把基本不等式推廣到三個正數的算術—幾何平均不等式．對于一般形式的均值不等式，則只作簡單介紹，不給出證明．在此基礎上，介紹了它們在解決實際問題中的一些應用，如最基本的等周問題，簡單的極值問題等。第二部分討論了有關絕對值不等式的性質及絕對值不等式的解法．絕對值是與實數有關的一個基本而重要的概念，討論關于絕對值的不等式具有重要的意義．

絕對值三角不等式是一個基本的結論，教科書首先引導學生借助于實數在數軸上的表示和絕對值的幾何意義，引導學生從數的運算角度探究歸納出絕對值三角不等式，接著聯系向量形式的三角不等式，得到絕對值三角不等式的幾何解釋，最后用代數方法給出證明．這樣，數形結合，引導學生多角度認識這個不等式，逐步深化對它的理解．利用絕對值三角不等式可以解決形如的函數的極值問題，教科書安排了一個這樣的實際問題

對于解含有絕對值的不等式，教科書只討論了兩種特殊類型不等式的解法，而不是系統地對這個問題進行研究。教科書引導學生探討了形如解法，以及形如或或的不等式的的不等式的解法．學生通過這兩類含有絕對值的不等式能夠基本學到解含有絕對值的不等式的一般思想和方法。第二講是“證明不等式的基本方法”．對于不等式的深入討論必須首先掌握一些基本的方法，所以本講內容也是本專題的一個基礎內容。本講通過一些比較簡單的問題，介紹了證明不等式的幾種常用而基本的方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法． 比較法是證明不等式的最基本的方法，比較法可以分為兩種，一種是相減比較法，它的依據是：

另一種是相除比較法，是把不等式兩邊相除，轉化為比較所得商式與1的大小關系，它的依據是：當b＞0

時，在比較法的兩種方法中，相減比較法又是最基本而重要的一種方法。在證明不等式的過程中，根據對于不等式的條件和結論不同探索方向作分類，證明方法又可以分為分析法和綜合法。在證明不等式時，可以從已知條件出發逐步推出結論的方法是綜合法；尋找結論成立的充分條件，從而證明不等式的方法就是分析法．證明不等式的方法還可以分為直接證法和間接證法，反證法是一種間接證法．它從不等式結論的反面出發，即假設要證明的結論不成立，經過正確的推理，得出矛盾結果，從而說明假設錯誤，而要證的原不等式結論成立

在證明不等式的過程中，有時通過對不等式的某些部分作適當的放大或縮小達到證明的目的，這就是所謂的放縮法． 教科書對以上方法都結合實例加以介紹。本講內容對進一步

討論不等式提供了思想方法的基礎． 本講的教學內容中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數學教學中的內容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”．本講介紹兩個基本的不等式：柯西不等式和排序不等式，以及它們的簡單應用． 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用．教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數極值中的應用。在介紹了二維形式的柯西不等式的基礎上，教科書引導學生在平面直角坐標系中，根據兩點間的距離公式以及三角形的邊長關系，從幾何意義上發現二維形式的三角不等式。接著借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式。在一般形式的柯西不等式的基礎上，教科書安排了一個探究欄目，讓學生通過探究得出一般形式的三角不等式。排序不等式也

是基本而重要的不等式，一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式

．有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明。教科書在討論排

序不等式時，展示了一個“探究——猜想——證明——應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數學活動，初步認識排序不等式的數學意義、證明方法和簡單應用。

柯西不等式、三角不等式和排序不等式也是數學課程標準正式引入到高中數學教學中。第四講是“數學歸納法證明不等式”．本講介紹了數學歸納法及其在證明不等式中的應用．對于某些不等式，必須借助于數學歸納法證明，所以在不等式選講的專題中安排這個內容是很有必要的。教科書首先結合具體例子，提出尋找一種用有限步驟處理無限多個對象的方法的問題．然后，類比多米諾骨牌游戲，引入用數學歸納法證明命題的方法，并分析了數學歸納法的基本結構和用它證明命題時應注意的問題（兩個步驟缺一不可）．接著舉例說明數學歸納法在證明不等式中的應用，特別地，證明了貝努利不等式。本專題的教學重點：不等式基本性質、基本不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用； 教學難點：三個正數的算術-幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式；

本專題教學約需18課時，具體分配如下（僅供參考）第一講 不等式和絕對值不等式

一、不等式約３課時

二、絕對值不等式約２課時第二講 證明不等式的基本方法

一、比較法約1課時

二、綜合法與分析法約2課時

三、反證法與放縮法約1課時

第三講 柯西不等式與排序不等式一、二維形式的柯西不等式約1課時二、一般形式的柯西不等式約1課時

三、排序不等式約2課時

第四講 數學歸納法證明不等式

一、數學歸納法約2課時

二、用數學歸納法證明不等式約2課時

學習總結報告約1課時

三、編寫中考慮的幾個問題

根據課程標準，本專題應該強調不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深學生對這些不等式的數學本質的理解，提高學生的邏輯思維能力和分析解決問題的能力，我們在教科書的編寫中努力去實現課程標準的思想。

(一)重視展現不等式的幾何背景，力求讓學生對重要不等式有直觀理解

數量關系和空間形式是數學研究的兩個重要方面，不等式則是從數量關系的角度來刻畫現實世界的。我們一般借助于代數方法證明不等式。代數證明要經過一系列的變形，人們常常不能很直接地看出其中的數量關系。而借助于幾何的方法，把不等式中的有關量適當地用圖形中的幾何量表示出來，則往往能很好地指明不等關系，使學生從幾何背景的角度，直觀地，從而也是直接地理解不等式。本專題中的重要不等式都有明顯的幾何背景，教科書注意呈現不等式的幾何背景，幫助學生理解不等式的幾何本質。如對于是借助于面積關系，絕對值三角不等式是借助于向量和三角形中的邊長關系，柯西不等式是借助于向量運算，排序不等式是借助于三角形的面積。這樣，逐漸引導學生在面對一個數學問題時能從幾何角度去思考問題，找到解決問題的途徑

(二)重視數學思想方法的教學

數學思想是對于數學知識（數學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理、方法等）的理性的、本質的、高度抽象和概括的認識，帶有普遍的指導意義，蘊涵于運用數學方法分析、處理和解決數學問題的過程之中。數學方法是研究或解決數學問題并使之達到目的的手段、方式、途徑或程序。數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深對于具體數學知識的理解和掌握。本專題的內容包涵了豐富的數學思想方法，如應用重要不等式解決實際問題中體現出來的優化思想，在重要不等式的呈現過程中的數形結合思想，在解不等式中體現的轉化的思想，函數思想，以及證明不等式的比較法、綜合與分析法、放縮法、反證法、數學歸納法，在證明柯西不等式中的配方法等，對于這些數學思想和方法，教科書都及時作歸納和總結，使學生能夠結合具體的問題加以理解和體會。

(三)重視引導學習方式和教學方式的改進

在目前的中學數學教學實踐仍存在一些問題，就學生的學習而言，比較突出的就是被動的接受式的學習，教師偏重于灌輸式的教學，啟發式的教學原則做得不夠。學生的問題意識不強，發現問題的能力不強，獨立地解決問題的能力也不強。針對這種情況，教科書重視引導學生提出問題，教科書設置了許多探究欄目，鼓勵學生主動探究，引導學生通過類比提出問題及其解決方法，對于數學結論進行特殊化、作推廣。例如，在講述了基本不等式以后，教科書就提出了一個思考問題：“對于三個正數會有怎樣的不等式成立呢？”在證明了關于三個正數的均值不等式以后，又直接給出了一般的均值不等式；在證明了二維和三維的柯西不等式以后，就設置了一個探究性問題“對比二維形式三維形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式嗎？”；再如“一般形式的三角不等式應該是怎樣的？如何應用一般形式的柯西不等式證明它？請同學自己探究。”等等，這樣的探究性問題在教科書中處處可見。

(四)注意發展數學應用意識

重要不等式在許多實際問題中可以得到應用，在實際工作中常常能起到節約能源，降低成本，提高效率，加快速度等作用。在本專題中，教科書注意體現數學在實際工作中的廣泛應用，編寫了一些體現數學應用的例、習題。如經典的等周問題、盒子體積問題、施工隊臨時生活區選點問題、關于面積和體積的最值問題。通過這些簡單的應用問題，使學生體會數學在實踐中的作用。

四、對教學的幾個建議

(一)注意把握教學要求

無論是不等式還是數學歸納法，都已經發展成為內容非常豐富的初等數學分支，也出版了一些專門的論著，老師們對于這些內容一般都有豐富的教學經驗，很容易把這些內容作一

些拓展和補充。所以，在這個專題的教學中，要特別注意把握好教學要求，不要隨意提高教學要求，而應該按照數學課程標準的要求來控制教學的深廣度。課程標準對于本專題的幾個教學內容都明確的教學要求，如：對于解含有絕對值的不等式，只要求能解幾種特殊類型的不等式，不要求學生會解各種類型的含有絕對值的不等式。對于數學歸納法在證明不等式的要求也只要求會證明一些簡單問題。只要求通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法，會利用所學的不等式證明一些簡單不等式，等等。

另外，在不等式和數學歸納法的許多問題中，常常需要一些技巧性比較強的恒等變形，在本專題的教學中則要控制這方面的教學要求，不要使教學陷于過于形式化和復雜的恒等變形的技巧之中，教學中不要補充一些代數恒等變形過于復雜或過于技巧化的問題和習題，以免沖淡對于基本思想方法的理解，也不要引入一些過于專業和形式化、抽象化的數學符號語言，對于數學歸納法的理解，不必要求學生對于方法的理解水平提高到專業數學工作者才需要的數學理論高度，而只需要通過一些學生容易理解的數學問題中加深對于方法的理解和掌握。對于大多數的學生來說，要重視通過比較簡單的問題讓學生認識、理解和掌握這部分的基本數學思想和方法。

當然，對于部分確有余力的學生，仍可以適當對于教學內容作一些拓展，如可以介紹一般的均值不等式的證明及其應用，以使學生對于這一重要不等式有一個比較完整的了解。

(二)要抓住教學重點

無論對于基本不等式、柯西不等式、排序不等式，還是解含有絕對值的不等式，不等式證明的方法，或數學歸納法的教學，都要抓住教學重點，抓住基本思想基本方法的教學，力求以簡馭繁。對于幾個重要不等式，最基本的是二元(二維)的情況，核心的思想也是在二元(二維)的不等式中得到直接的體現；對于不等式的證明的最基本的方法是比較法；解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式；讓學生能對數學歸納法思想真正理解和掌握，就能使學生靈活地加以應用。這樣，學生就能掌握本專題最基本也是最重要的知識。

第三篇：數學：9.3一元一次不等式組教案(人教新課標七年級下)范文

9.3一元一次不等式組

教學目標：1.學生通過生活實例，了解一元一次不等式組的意義和一元一次不等式組的解集的概念。

2.學生能利用數軸熟練的確定一元一次不等式組的解集，培養學生的觀察能力，分析能力。

3.掌握由兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集的四種情況。

4.學生通過對一元一次不等式組的學習，認識到事物間的相依關系。

教學重點：根據一元一次不等式組的四種情況，說出一元一次不等式組的解集。教學難點：利用數軸確定一元一次不等式組的解集。教學過程： 一.創設情境：

1.你能列出解決這個問題的式子嗎？

（小黑板）某學校初一（）班準備一次秋季外出考察活動，該班級共有學生40人。學校根據預算要求該班這次活動的總經費不能超過2400元；旅游公司按成本計算這次活動總經費不能低于2000元。如果考慮雙方的要求，學生所付的經費應該在哪一范圍之內？

學生列式:設每人所付的經費為x元 40x≤2400 40x≥2000

?40x?2400 同時滿足兩個條件，列成不等式組 ?

?40x?2000給出定義：由幾個含有同一個未知數的一次不等式組成的不等式組叫做一元一次不等式組。

2．（小黑板）判別下列不等式組中哪些是一元一次不等式組，并說明為什么？

?x?0?x??3?x?2（1）?（2）?（3）? x?3?0y?3x?4????2x?3?54x?1?0???3x?1?4?(4)?(5)?2(6)?3x?2?1

??x?3?0?x?y?1?x?9?0?二.嘗試探究：

1.問題：怎樣確定不等式組的解集呢？ ?40x?2400?x?60 比如：?的解集怎樣確定呢？?這個式子就是不?40x?2000?x?50等式組的解集嗎？

2.利用數軸來確定不等式組的解集

?x?3?x?3?x?3?x?3 例：（1）?（2）?（3）?（4）?

?x??1?x??1?x?-1?x??1 本題教師和學生共同完成

鞏固練習：（書四題，學生練習，學生板演，小組互相檢查，教師巡視指導）

小組討論：當a>b時，如何確定下列不等式組的解集？

?x?a?x?a?x?a?x?a（！）?（2）?（3）?（4）?

?x?b?x?b?x?b?x?b 課后思考：當a

三.歸納小結：

1.本節課我們認識了什么是一元一次不等式組及其解集，并學會了利用數軸來確定不等式組的解集。（利用例題中四個不等式組解集情況說明不等式組解集取法）

2.一元一次不等式組和二元一次方程組類似，也有不同的地方。兩者都是由兩個或幾個一次式組成，但不等式組是同一個字母，方程組中有兩個字母。3.具體求不等式組解集的方法，下節課我們接著學習。

四.布置作業：

練習冊B冊習題9.3

同步練習

第四篇：數學常用不等式

一：一些重要恒等式

1：

2：

3：

4：

5：三角中的等式（在大學中很有用）

6:歐拉等式二重要不等式 1:絕對值不等式

(e是自然對數的底，i是虛根單位）

(別看簡單，常用)

2：伯努利不等式

(xi符號相同且大于-1)

特例 :3：柯西不等式

當且僅當x=0時等號成立

4:

5：

6:切比雪夫不等式

若，則

若，則三：常見的放縮(均用數學歸納法證)

1：

2：

3： 4：

5：

6：對數不等式（重要）

7：8:均值不等式我不說了（絕對的重點）

9：四：一些重要極限重要的等價量(書上有，但這些重要極限需熟背如流)

第五篇：七年級數學下冊_第九章《不等式與不等式繃》綜合測試題_人教新課標版

joe 有一個很，他是一個警察局里的美術家，一些人看見了罪犯然后告訴joe，他們告訴joe罪犯都長什么樣。然后joe畫下罪犯的圖片，然后警察就會把照片放在報紙上或者在電視上找到罪犯。他想要畫好任何一張關于罪犯的照片，但這個工作有些困難。許多人并不總是意見一致，所以他們可能描述同一個人是十分困難的。同樣，他們總是不能很好的記住罪犯“這個罪犯中等身材，并且十分年輕。他有很長的棕色的直頭發和大大的眼睛”一個女士說，但另一些女士說:他很高又很瘦，他有一頭卷發。他大概有三十歲了。在結尾，真正的罪犯是個很矮和很胖的老男人，并且他又黑色的短頭發

用心愛心 專心1