第一篇：6.示范教案(3.4.1 基本不等式 的證明)

a?b

23.4 基本不等式：ab?

3.4.1 基本不等式ab?a?b的證明

從容說(shuō)課

在前兩節(jié)課的研究當(dāng)中，學(xué)生已掌握了一些簡(jiǎn)單的不等式及其應(yīng)用，并能用不等式及不等式組抽象出實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，掌握了不等式的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)與證明，研究了一元二次不等式及其解法，學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題.本節(jié)課的研究是前三大節(jié)學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展.另外，為基本不等式的應(yīng)用墊定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，所以說(shuō)，本節(jié)課是起到了承上啟下的作用.本節(jié)課是通過(guò)讓學(xué)生觀察第２４屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)圖案中隱含的相等關(guān)系與不等關(guān)系而引入的.通過(guò)分析得出基本不等式：ab?a?b

2，然后

從三種角度對(duì)基本不等式展開(kāi)證明及對(duì)基本不等式展開(kāi)一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用,進(jìn)而更深一層次地從理性角度建立不等觀念.教師應(yīng)作好點(diǎn)撥，利用幾何背景，數(shù)形結(jié)合做好歸納總結(jié)、邏輯分析，并鼓勵(lì)學(xué)生從理性角度去分析探索過(guò)程，進(jìn)而更深層次理解基本不等式，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法獲得過(guò)程的探索，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用觀察、類比、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.

教學(xué)重點(diǎn) 1.創(chuàng)設(shè)代數(shù)與幾何背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

2.從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程；

3.從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路.

教學(xué)難點(diǎn) 1.對(duì)基本不等式從不同角度的探索證明；

2.通過(guò)基本不等式的證明過(guò)程體會(huì)分析法的證明思路.

教具準(zhǔn)備 多媒體及課件

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.創(chuàng)設(shè)用代數(shù)與幾何兩方面背景，用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式；

2.嘗試讓學(xué)生從不同角度探索基本不等式的證明過(guò)程；

3.從基本不等式的證明過(guò)程進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路，即由條件到結(jié)論，或由結(jié)論到條件.

二、過(guò)程與方法

1.采用探究法，按照聯(lián)想、思考、合作交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

2.教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用；

3.將探索過(guò)程設(shè)計(jì)為較典型的具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生去積極思考，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過(guò)具體問(wèn)題的解決，讓學(xué)生去感受、體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣；

2.學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究思考，廣泛參與，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，主動(dòng)、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量；

3.通過(guò)對(duì)富有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的解決，激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，同時(shí)去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美，從而激發(fā)學(xué)

生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

探究：上圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客，你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？

（教師用投影儀給出第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，并介紹此會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客.通過(guò)直觀情景導(dǎo)入有利于吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情） 推進(jìn)新課

師 同學(xué)們能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？如何找？（沉靜片刻）

生 應(yīng)該先從此圖案中抽象出幾何圖形.

師 此圖案中隱含什么樣的幾何圖形呢？哪位同學(xué)能在黑板上畫出這個(gè)幾何圖形？（請(qǐng)兩位同學(xué)在黑板上畫.教師根據(jù)兩位同學(xué)的板演作點(diǎn)評(píng)）

（其中四個(gè)直角三角形沒(méi)有畫全等，不形象、直觀.此時(shí)教師用投影片給出隱含的規(guī)范的幾何圖形）

師 同學(xué)們觀察得很細(xì)致，抽象出的幾何圖形比較準(zhǔn)確.這說(shuō)明，我們只要在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步刻苦努力，發(fā)奮圖強(qiáng)，也能作出和數(shù)學(xué)家趙爽一樣的成績(jī).

（此時(shí)，每一位同學(xué)看上去都精神飽滿，信心百倍，全神貫注地投入到本節(jié)課的學(xué)習(xí)中來(lái)）［過(guò)程引導(dǎo)］

師 設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a、b，那么，四個(gè)直角三角形的面積之和與正方形的面積有什么關(guān)系呢？

生 顯然正方形的面積大于四個(gè)直角三角形的面積之和. 師 一定嗎？

（大家齊聲：不一定，有可能相等）

師 同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)去進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，從而說(shuō)明我們剛才直覺(jué)思維的合理性？生 每個(gè)直角三角形的面積為

2ab，四個(gè)直角三角形的面積之和為2ab.正方形的邊長(zhǎng)為

a?b，所以正方形的面積為a2+b2，則a2+b2≥2ab.

師 這位同學(xué)回答得很好，表達(dá)很全面、準(zhǔn)確，但請(qǐng)大家思考一下，他對(duì)a+b≥2ab證明了嗎？

生 沒(méi)有，他仍是由我們剛才的直觀所得，只是用字母表達(dá)一下而已. 師 回答得很好.

（有的同學(xué)感到迷惑不解）

師 這樣的敘述不能代替證明.這是同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)經(jīng)常會(huì)犯的錯(cuò)誤.實(shí)質(zhì)上，對(duì)文字性語(yǔ)言敘述證明題來(lái)說(shuō)，他只是寫出了已知、求證，并未給出證明.（有的同學(xué)竊竊私語(yǔ)，確實(shí)是這樣，并沒(méi)有給出證明）

2師 請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考，該如何證明此不等式，即a+b≥2ab.

生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一個(gè)完全平方數(shù)，它是非負(fù)數(shù)，即(a-b)≥0，所以可得a+b≥2ab.

師 同學(xué)們思考一下，這位同學(xué)的證明是否正確？ 生 正確.

［教師精講］

師 這位同學(xué)的證明思路很好.今后，我們把這種證明不等式的思想方法形象地稱之為“比較法”，它和根據(jù)實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小是否一樣.

生 實(shí)質(zhì)一樣，只是設(shè)問(wèn)的形式不同而已.一個(gè)是比較大小，一個(gè)是讓我們?nèi)プC明. 師 這位同學(xué)回答得很好，思維很深刻.此處的比較法是用差和0作比較.在我們的數(shù)學(xué)研究當(dāng)中，還有另一種“比較法”.

（教師此處的設(shè)問(wèn)是針對(duì)學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)而言） 生 作商，用商和“1”比較大小.

師 對(duì).那么我們?cè)谟龅竭@類問(wèn)題時(shí)，何時(shí)采用作差，何時(shí)采用作商呢？這個(gè)問(wèn)題讓同學(xué)們課后去思考，在解決問(wèn)題中自然會(huì)遇到.

（此處設(shè)置疑問(wèn)，意在激發(fā)學(xué)生課后去自主探究問(wèn)題，把探究的思維空間切實(shí)留給學(xué)生） ［合作探究］

師 請(qǐng)同學(xué)們?cè)僮屑?xì)觀察一下，等號(hào)何時(shí)取到.

生 當(dāng)四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合時(shí)，即面積相等時(shí)取等號(hào).（學(xué)生的思維仍建立在感性思維基礎(chǔ)之上，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥）

師 從不等式a+b≥2ab的證明過(guò)程能否去說(shuō)明. 生 當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)2=0，即a=b時(shí)，取等號(hào).

師 這位同學(xué)回答得很好.請(qǐng)同學(xué)們看一下，剛才兩位同學(xué)分別從幾何圖形與不等式兩個(gè)角度分析等號(hào)成立的條件是否一致.

（大家齊聲）一致.

（此處意在強(qiáng)化學(xué)生的直覺(jué)思維與理性思維要合并使用.就此問(wèn)題來(lái)講，意在強(qiáng)化學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用）

師 這是一個(gè)很重要的不等式.對(duì)數(shù)學(xué)中重要的結(jié)論，我們應(yīng)仔細(xì)觀察、思考，才能挖掘出它的內(nèi)涵與外延.只有這樣，我們用它來(lái)解決問(wèn)題時(shí)才能得心應(yīng)手，也不會(huì)出錯(cuò).

2（同學(xué)們的思維再一次高度集中，似乎能從不等式a+b≥2ab中得出什么.此時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)點(diǎn)撥、指引）

師 當(dāng)a＞0,b＞0時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b. 生 完全可以.

師 為什么？

生 因?yàn)椴坏仁街械腶、b∈R.

師 這個(gè)不等式就是我們這節(jié)課要推導(dǎo)的基本不等式.它很重要，在數(shù)學(xué)的研究中有很多應(yīng)用，我們常把

a?b

2叫做正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，把a(bǔ)b叫做正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)，即

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).（此處意在引起學(xué)生的重視，從不同的角度去理解）

師 請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下，能否利用不等式及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出這個(gè)不等式呢？（此時(shí)，同學(xué)們信心十足，都說(shuō)能.教師利用投影片展示推導(dǎo)過(guò)程的填空形式） 要證：

a?b

2?

ab，①

只要證a+b≥2ab，②

要證②，只要證：a+b

-2ab≥0，③ 要證③，只要證：(a?

b)?0,④

顯然④是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，④中的等號(hào)成立，這樣就又一次得到了基本不等式.（此處以填空的形式,突出體現(xiàn)了分析法證明的關(guān)鍵步驟，意在把思維的時(shí)空切實(shí)留給學(xué)生，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上去體會(huì)分析法的證明思路，加大了證明基本不等式的探究力度）［合作探究］

老師用投影儀給出下列問(wèn)題.

如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC=a,BC=b.過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DD′，連結(jié)AD、BD.你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？

（本節(jié)課開(kāi)展到這里，學(xué)生從基本不等式的證明過(guò)程中已體會(huì)到證明不等式的常用方法，對(duì)基本不等式也已經(jīng)很熟悉，這就具備了探究這個(gè)問(wèn)題的知識(shí)與情感基礎(chǔ)） ［合作探究］

師 同學(xué)們能找出圖中與a、b有關(guān)的線段嗎？ 生 可證△ACD ∽△BCD,所以可得CD?生 由射影定理也可得CD?

ab.

a?b

2ab.

師 這兩位同學(xué)回答得都很好，那ab與分別又有什么幾何意義呢？

a?b2

生ab表示半弦長(zhǎng)，表示半徑長(zhǎng).

師 半徑和半弦又有什么關(guān)系呢？ 生 由半徑大于半弦可得

a?b2

?ab.

師 這位同學(xué)回答得是否很嚴(yán)密？

生 當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即當(dāng)a=b時(shí)可取等號(hào)，所以也可得出基本不等式ab?(a＞0,b＞0). 課堂小結(jié)

師 本節(jié)課我們研究了哪些問(wèn)題？有什么收獲？

生 我們通過(guò)觀察分析第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)得出了不等式a+b≥2ab.

生 由a2+b2≥2ab,當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，以a、b分別代替a、b，得到了基本不等式

ab?

a?b

2a?b2

(a＞0,b＞0).進(jìn)而用不等式的性質(zhì)，由結(jié)論到條件，證明了基本不等式.

生 在圓這個(gè)幾何圖形中我們也能得到基本不等式.

（此處，創(chuàng)造讓學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)的機(jī)會(huì)，目的是培養(yǎng)學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)能力，也有利于課外學(xué)生歸納、總結(jié)等學(xué)習(xí)方法、能力的提高）

師 大家剛才總結(jié)得都很好，本節(jié)課我們從實(shí)際情景中抽象出基本不等式.并采用數(shù)形結(jié)合的思想，賦予基本不等式幾何直觀，讓大家進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a＞0，b＞0，及當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.在對(duì)不等式的證明過(guò)程中，體會(huì)到一些證明不等式常用的思路、方法.以后，同學(xué)們要注意數(shù)形結(jié)合的思想在解題中的靈活運(yùn)用. 布置作業(yè)

活動(dòng)與探究：已知a、b都是正數(shù)，試探索

21a?1b,ab ,a?b

2,a?b2

22的大小關(guān)系，并

證明你的結(jié)論. 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表達(dá)式的大小關(guān)系，再由不等式及實(shí)數(shù)的性質(zhì)證明.

（方法二）創(chuàng)設(shè)幾何直觀情景.設(shè)AC=a,BC=b，用a、b表示線段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的長(zhǎng)度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得.

第二篇：3.4.1 基本不等式的證明[模版]

a＋b§3.4 基本不等式ab≤a≥0，b≥0)

23．4.1 基本不等式的證明

一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

111．已知a>0，b>0＋ab的最小值是________． ab

2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是________．

112ba①a2＋b2>2ab②a＋b≥ab③＋>④≥2 ababab

1213．已知m＝a＋(a>2)，n＝2x－2(x<0)，則m、n之間的大小關(guān)系是________． a－

24．設(shè)0

①logab＋logba≥2②logab＋logba≥－2

③logab＋logba≤－2④logab＋logba>2

255．若lg x＋lg y＝1，則的最小值為_(kāi)_______． xy

6．已知a，b∈(0，＋∞)，則下列不等式中恒成立的是________．

111①a＋b≥22②(a＋b)??a＋b≥4 ab

a2＋b22ab③2ab④ab a＋bab

bccaab7．設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證：＋≥a＋b＋c.abc

2x＋y

28．已知x>y>0，xy＝1，求證：22.x－y

二、能力提升

19．若a<1，則a＋______(填“大”或“小”)值，為_(kāi)_________． a－

1x10．若對(duì)任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍為_(kāi)_______． x＋3x＋1

1111．設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則＋________． xy

12．已知a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，且abc＝1.111求證：＋<＋abc

三、探究與拓展

1613．已知a>b>0，求證：a2＋16.b?a－b?

答案

1．4 2.④ 3.m>n 4.③ 5.26．①②③

bccaab7．證明 ∵a、b、c都是正數(shù)，也都是正數(shù)． abcbccacaabbcab∴≥2c，≥2a，＋≥2b，abbcac

bccaab?三式相加得2??abc?≥2(a＋b＋c)，bccaab即＋≥a＋b＋c.abc

8．證明 ∵xy＝1，x2＋y2?x－y?2＋2xy?x－y?2＋2∴＝x－yx－yx－y

2＝(x－y)＋≥?x－y? x－yx－y

＝22.2??x－y＝x－y當(dāng)且僅當(dāng)?，??xy＝1

時(shí)取等號(hào)． －2

1，＋∞? 11.1 9．大 －1 10.??5?

1112．證明 ≥＝2c，abab

11＝2a，bcbc

11≥＝2b，caac

111∴2??a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，111即＋≥a＋b＋c.abc∵a，b，c為不等正實(shí)數(shù)，111∴a＋b＋c＋.abc

13．證明 方法一 ∵a>b>0，∴a－b>0.1616∴a2＋[(a－b)＋b]2＋ b?a－b?b?a－b?

16≥[2?a－b?b]2＋ b?a－b?

16＝4(a－b)b＋ b?a－b?

4≥4×2?a－b?b×＝16.b?a－b?

4取“＝”時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)：a－b＝b>0且(a－b)b＝，b?a－b?

即當(dāng)a＝2且b＝2時(shí)“＝”成立．

方法二 ∵a>b>0，a2a∴a－b>0，b(a－b)≤??2＝4，當(dāng)且a＝2b時(shí)取等號(hào)，2??x＝即???y＝6＋22

161664∴a2＋a2＋a2＋ aab?a－b?

≥264＝16.當(dāng)a＝2，b＝2時(shí)，等號(hào)成立．

第三篇：3.4.1 基本不等式的證明

鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)設(shè)計(jì)

3.4.1 基本不等式的證明（1）

江蘇省靖江高級(jí)中學(xué)楊喜霞

教學(xué)目標(biāo)：

一、知識(shí)與技能

1．探索并了解基本不等式的證明過(guò)程，體會(huì)證明不等式的基本思想方法；

2．會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題；

3．學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握 定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；

4．理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾 何解釋．

二、過(guò)程與方法

1.通過(guò)實(shí)例探究抽象基本不等式；

2.本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍．要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)．變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后實(shí)際問(wèn)題的研究奠定基礎(chǔ)．兩個(gè)定理的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì)．

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

2．培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋，豐富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力．

教學(xué)重點(diǎn)：

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過(guò)程． 教學(xué)難點(diǎn)：

理解基本不等式 等號(hào)成立條件及 “當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵．

教學(xué)方法：

先讓學(xué)生觀察常見(jiàn)的圖形，通過(guò)面積的直觀比較抽象出基本不等式；從生活中實(shí)際問(wèn)題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；定理的證明要留給學(xué)

生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過(guò)類比得到答案．

教學(xué)過(guò)程：

一、問(wèn)題情景

a?

b

2a?b2.?的幾何背景： 21.提問(wèn)：

如圖是在北京召開(kāi)的第24界國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客．你能在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系）．

二、學(xué)生活動(dòng)

問(wèn)題1 我們把“風(fēng)車”造型抽象成上圖．在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為a、b，那么正方形的邊長(zhǎng)為多少？面積為多少呢？

a2?b2.問(wèn)題2 那4個(gè)直角三角形的面積和呢？

生答 2ab.問(wèn)題3 好，根據(jù)觀察4個(gè)直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個(gè)不等式，a2?b2?2ab.什么時(shí)候這兩部分面積相等呢？

生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即x?y時(shí)，正方形EFGH變成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有a2?b2?2ab.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) a、b，我們有a2?b2?2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，等號(hào)成立．

問(wèn)題4：你能給出它的證明嗎？(學(xué)生嘗試證明后口答,老師板書)

證明：a2?b2?2ab?(a?b)2,當(dāng)a?b時(shí)，(a?b)2?0,當(dāng)a?b時(shí),(a?b)2?0,所以a2?b2?2ab

注意強(qiáng)調(diào)：當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí), a2?b2?2ab

注意：（1）等號(hào)成立的條件，“當(dāng)且僅當(dāng)”指充要條件；

（2）公式中的字母和既可以是具體的數(shù)字，也可以是比較復(fù)雜的變量式，因此應(yīng)用范圍比較廣泛．

問(wèn)題5：將a降次為a,b降次為b,則由這個(gè)不等式可以得出什么結(jié)論？

2．基本不等式：對(duì)任意正數(shù)a、b，有

立．（學(xué)生討論回答證明方法）

證法1：a?

b11?

?2?2??2?

0當(dāng)且僅當(dāng)222a?b?當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)等號(hào)成2． ?a?b時(shí)，取“?”

a?

b，只要證?a?

b，只要證0?a?b，a?b只要證0?

2?成立，當(dāng)且

2證法2

?

?a?b時(shí)，取“=”號(hào)．

證法3：對(duì)于正數(shù)a,b

有2?0，?a?b?

?0?a?b??

說(shuō)明： 把a(bǔ)?b?2a?

ba,b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，上述2

不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

注意：（1）基本不等式成立的條件是：a?0,b?0；

（2）不等式證明的三種方法：比較法（證法1）、分析法（證法2）、綜合法（證法3）；

（3）a?b?ab的幾何解釋：（如圖1）以a?b為直徑作圓，在直徑AB上

2取一點(diǎn)C，過(guò)C作弦DD??AB，則CD2?CA?CB?ab，從而CD?ab，而半a?b?CD?ab

徑2

a?bB ?幾何意義是：“半徑不小于半弦”；

（圖1）

（4）當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)，取“?”的含義：一方面是當(dāng)a?b時(shí)取等號(hào)，即 a?b

??a?ba?b?a?b； ；另一方面是僅當(dāng)a?

b時(shí)取等號(hào)，即?22

（5）如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“?”）；

（6）如果把a(bǔ)?b看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，ab看作是正數(shù)a、b的2等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)．

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

1．例題．

ba1例1設(shè)a,b為正數(shù)，證明下列不等式成立：（1）??2；（2）a??2.aba

baba證明（1）∵a,b為正數(shù)，∴,也為正數(shù)，由基本不等式得???2abab∴原不等式成立．

（2）∵a,立．

例2已知a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca.證明 ∵a,b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，∴a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca，11均為正數(shù)，由基本不等式得a???2，∴原不等式成a

a以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca．

例3已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證(ab?cd)(ac?bd)?4abcd.證明 由a,b,c,d都是正數(shù)，得：

∴ab?cdac?bd??

0，??0，22(ab?cd)(ac?bd)?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd.42．練習(xí)．

（1）已知x,y都是正數(shù)，求證：(x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y3；

（2）已知a,b,c都是正數(shù)，求證：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc；

（3）思考題：若x?0，求x?

五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1的最大值.x

1．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念；

2．基本不等式及其應(yīng)用條件；

3．不等式證明的三種常用方法．

小結(jié) 正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．

六、課外作業(yè)

課后練習(xí)第2題、第3題；習(xí)題3.4第1題、第2題、第3題．

第四篇：3.4.1 基本不等式的證明教學(xué)設(shè)計(jì)

鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_教學(xué)設(shè)計(jì)

3.4.1 基本不等式的證明

南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 季人杰

教學(xué)目標(biāo)：

1．探索并了解基本不等式的證明；

2．體會(huì)證明不等式的基本思想方法；

3．能應(yīng)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的不等式證明問(wèn)題．

教學(xué)重點(diǎn)：

基本不等式的證明．

教學(xué)難點(diǎn)：

基本不等式的證明．

教學(xué)過(guò)程：

一、問(wèn)題情境，導(dǎo)入新課

口述：有一個(gè)珠寶商人，很多人到他那里買的東西回家一稱發(fā)現(xiàn)分量都有問(wèn)題，于是向工商局投訴，工商局派人去調(diào)查，商人承認(rèn)他用的天平左右的桿長(zhǎng)有問(wèn)題，向人們提出一個(gè)調(diào)解方案，放左邊稱變重對(duì)人們不公平，放右邊稱變輕商人要虧本，那么用兩次稱重的平均值作為物品的實(shí)際重量，如果你是購(gòu)買者，你接受他的方案嗎？

問(wèn)題1 你能不能把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題？

珠寶放左邊稱砝碼顯示重量為a，放右邊稱砝碼顯示重量為b，假設(shè)天平的左杠桿長(zhǎng)為l1，右杠桿長(zhǎng)l2，那么這個(gè)珠寶的實(shí)際重量是多少？（會(huì)算嗎？用什么原理來(lái)算？你認(rèn)為珠寶商的方案合理嗎，那也就是

問(wèn)題2 a?bab 哪個(gè)大？）2a?bab 哪個(gè)大？（你估計(jì)一下哪個(gè)大？）（如果回答取值代，2那么可以追問(wèn)取一正一負(fù)行嗎？如果回答作差，可以追問(wèn)你估計(jì)一下哪個(gè)大？）

二、學(xué)生活動(dòng)

a?b?a?0,b?0)呢？

2請(qǐng)2個(gè)同學(xué)上黑板（巡視，有不同的解法讓他上黑板寫一下）． 問(wèn)題

3如何證明

證法一（比較法）

：a?b1

12?2?

=2?0，222

?a?b時(shí)，取“=”．

證法二：要證

?a?b，2

只要證

a?，b

只要證

0?a?b，只要證

0?2)

因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，所以

時(shí)，取“＝”．

證法三：對(duì)于正數(shù)a,b，有)，?0?a?b成立，?即a?b2

?a?b?0，?a?b?

? a?b? 2

先讓學(xué)生談一談證的對(duì)不對(duì)，他這個(gè)證明方法有什么特點(diǎn)？

點(diǎn)評(píng)：回顧我們上面的證明過(guò)程，我們來(lái)看一下各種證法的特點(diǎn)：

證法一是比較法，比較法常用的就是作差將差值與零去比較；

證法二是分析法，分析法的特點(diǎn)是盯住我們要的目標(biāo)，尋找結(jié)論成立的條件； 證法三是綜合法，它們都是證明不等式的基本方法．

（看來(lái)珠寶商還是多賺錢的，只有a＝b時(shí)才是一個(gè)守法的商人啊．）

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

定理：如果a,b是實(shí)數(shù)且(a?0,b?0)，那么

取“＝”）．

問(wèn)題：對(duì)于這個(gè)定理你怎么認(rèn)識(shí)它？（結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)啊？成立的條件是什么？什么叫當(dāng)且僅當(dāng)啊？）（上式中a?b稱為a,b

a,b的幾何平均數(shù)，兩個(gè)正2a?b?ab（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)

2數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于等于它們的幾何平均數(shù)，有的時(shí)候我們也把這個(gè)定理寫成．要用這個(gè)定理首先兩個(gè)數(shù)必須都是非負(fù)數(shù)． a?b?2ab）

當(dāng)a?b時(shí)，取“＝”，并且只有當(dāng)a?b時(shí)，取“＝”，我們把這種等號(hào)成立的情況稱之為當(dāng)且僅當(dāng)．

四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1 設(shè)a,b是正數(shù)，證明下列不等式成立：

ba1（1）??2（2）a??2 aba

（3）a2?b2?2ab

（先讓學(xué)生點(diǎn)評(píng)，對(duì)不對(duì)，關(guān)注格式與條件，他用什么方法來(lái)證明的？還有什么別的思路？）

點(diǎn)評(píng)：我們證明不等式通常有比較法，分析法，現(xiàn)在有了這個(gè)定理，也可以應(yīng)用它來(lái)證明

什么時(shí)候取等號(hào)？

師：我們現(xiàn)在已經(jīng)對(duì)這個(gè)不等式有了一定的認(rèn)識(shí)了，你能不能從圖形的角度來(lái)認(rèn)識(shí)一下它呢？

有線段AB長(zhǎng)為a，線段BC長(zhǎng)為b，你能找到

講完了可以讓另一個(gè)學(xué)生再解釋一下）

a?

b

2B

1,(x?0)，求此函數(shù)的最小值． x例2（1）已知函數(shù)y?x?點(diǎn)評(píng)：什么是最小值，最小值就是大于等于一個(gè)數(shù)，你說(shuō)大于等于2，那也大于等于1嘛，我能說(shuō)最小值就是1嗎？

（2）已知函數(shù)y?x?

（3）已知函數(shù)y?2x?

1,(x?0)，求此函數(shù)的最大值； x1,(x??1)，求此函數(shù)的最小值． x?

1五、回顧小結(jié)

回顧本節(jié)課，你對(duì)基本不等式有哪些認(rèn)識(shí)？

第五篇：3.4.1 基本不等式的證明教學(xué)點(diǎn)評(píng)

鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_評(píng)課

《3.4.1 基本不等式的證明》評(píng)課

南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 仇炳生

本節(jié)課的主要目標(biāo)是探索并證明基本不等式

a?b?ab(a?0,b?0).在探2索基本不等式的過(guò)程中，執(zhí)教老師依據(jù)教材給出的問(wèn)題，改編為核查一個(gè)珠寶商是否違法的故事，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)生動(dòng)有趣的問(wèn)題情景．在運(yùn)用科學(xué)推理揭露不法珠寶商違法事實(shí)時(shí)，由尋找“判斷珠寶商是否違法的依據(jù)”，提出兩個(gè)問(wèn)題：“如何計(jì)算珠寶的真實(shí)重量？”及“比較

a?b（珠寶商提供的珠寶重量）與ab（珠2寶的真實(shí)重量）的大小？”．通過(guò)實(shí)例展示基本不等式探索過(guò)程的教學(xué)設(shè)計(jì)，既使探索過(guò)程中思維活動(dòng)十分流暢，也表現(xiàn)出數(shù)學(xué)發(fā)展的趣味性．

在證明基本不等式的過(guò)程中，由于基本不等式的證明方法比較多且難度不大，執(zhí)教老師放手讓學(xué)生自我研究證明方法．從學(xué)生在黑板上的板書中，反映出學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣比較好．除條件a?0,b?0在證法中沒(méi)有交代以外，證明過(guò)程書寫是比較規(guī)范的．必修教材中關(guān)于不等式證明的內(nèi)容比較少，執(zhí)教老師在學(xué)生證明的基礎(chǔ)上，對(duì)比較法和分析法作簡(jiǎn)要的說(shuō)明，是十分必要的．在教學(xué)中，教師指出分析法的基本思路是“執(zhí)果索因”，即瞄準(zhǔn)結(jié)論，尋找結(jié)論成立的（充分）條件，同時(shí)還通過(guò)分析法的書寫模式，強(qiáng)化基本思路．謹(jǐn)防學(xué)生認(rèn)為分析法就是“從結(jié)論倒推”的錯(cuò)誤．比較法在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)曾經(jīng)接觸過(guò)，比較法實(shí)際上也可以看作是分析法的特例，即要證A?B，只要證A?B?0.（或者將對(duì)命題A?B的證明，化歸為對(duì)它的等價(jià)命題A?B?0的證明）．比較法研究不等關(guān)系的優(yōu)越性在于，它有利于對(duì)未知不等關(guān)系的探索和證明．

形（幾何圖形）和數(shù)（數(shù)量關(guān)系）是中學(xué)數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象，它們是同一事物的兩種不同的表現(xiàn)形式．形和數(shù)各具特點(diǎn)，又互相支撐．一般地，形——生動(dòng)、形象、整體性好，數(shù)——嚴(yán)謹(jǐn)、精確、邏輯性強(qiáng)．形與數(shù)結(jié)合有利于開(kāi)拓思

a?b?ab(a?0,b?0).啟發(fā)學(xué)生探索基2a?b本不等式的幾何形式的關(guān)鍵在于，給定線段a，b，如何構(gòu)造線段和ab．由

2維能力．基本不等式的代數(shù)形式為于學(xué)生初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒(méi)有射影定理，對(duì)于一般學(xué)生探索基本不等式的幾何形式有一定的難度．基本不等式的幾何解釋不是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，是否作為本節(jié)課的鳳凰高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考書配套教學(xué)軟件_評(píng)課

教學(xué)內(nèi)容可視學(xué)生的具體情況確定．

在理解和運(yùn)用基本不等式的階段中，執(zhí)教老師重視定理教學(xué)的常規(guī)方式，首先要求學(xué)生分析不等式的特征，不等式成立的條件以及對(duì)定理中關(guān)鍵詞語(yǔ)的理解，然后再進(jìn)行練習(xí)．這是很好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，應(yīng)該予以肯定．關(guān)于運(yùn)用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題，可以作為下節(jié)課的主要內(nèi)容重點(diǎn)進(jìn)行處理．

縱觀本節(jié)課，教學(xué)設(shè)計(jì)合理，學(xué)生的參與度高．但在教學(xué)中，也有一些不足之處：對(duì)練習(xí)中學(xué)生的錯(cuò)誤不僅及時(shí)指出，還應(yīng)該及時(shí)給出正確的解答；對(duì)一些語(yǔ)病沒(méi)能及時(shí)校正，如將“開(kāi)方”說(shuō)成“開(kāi)根號(hào)”，將“

a?b”說(shuō)成“分式”等． 2