第一篇：【彈無虛發】2013高考數學秒殺必備：數列和不等式證明的交叉論文
高考中數列和不等式證明的交叉
數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數列是高中數學中一個重要的內容，在高等數學也有很重要的地位，不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容，它可以體現數學思維中的很多方法，當兩者結合在一起的時候，問題會變得非常的靈活。所以在復習時，我們在分別復習好兩類知識的同時，一定要注意它們的相互滲透和交叉，培養靈活的思維能力。
數列和證明不等式的交叉，是這兩大塊知識的主要交叉點，它在數列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的證明，它所涉及的問題往往是靈活的應用了數列和不等式的知識，把這兩者完美的結合在了一起。
例1設?an?和?bn?分別是等差數列和等比數列，且a1?b1?0，a2?b2?0，若a1?a2，試比較an和bn的大小。
分析：這兩個通項大小的比較，它們的未知量比較多，比容易直接完成。因通過它們的項數n把他們組合在一起。設?an?的公差為d，?bn?的公比為q。顯然q?0，因為a2?b2?0，所以有，a1?d?a1q，即a1?q?1??d。
an?bn?a1??n?1?d?a1qn?1?a1?a1?n?1??q?1??a1qn?1。又因為a1?a2，所以
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an?bn。綜上所述，當n?N，且n?2時，an?bn。在證明過程，對等比數列求和公式的逆用，是本題證明的一個轉折點，它避免了一些不必要的分類討論，時問題得以簡化。
例2已知遞增的等比數列?an?前三項之積為512，且這三項分別減去1，3，9后成等差數列，求證：1?2?3???n?1。123n
分析：要想證明這個不等式，首先要求出左邊的和式。根據題意，?an?是等比數列，所以左邊的和式可以利用錯位相減法來求和。先確定這個等比數列。由
23a1a3?a2?512，所以a2?8。再設等比數列?an?的公比為q。可得，a1a2a3?a
2??則根據條件可得：?8?1???8q?9??2?8?3?，解得，q?2或q?1（舍去）。所以??
?a1?4??q?2Sn?，因此，an?2n?
1。令
1?2?3???n=1?2?3???n----------①，則123n2223242n?1
1S?1?2?3???n--------------②，n2222由①-②得，1S?1?1?1???1?n，即，n2223242n?12n?2
n=1?1?n?1 Sn?1?1?1???1?2222222例3在某兩個正數x，y之間，若插入一個數a，使x，a，y成等差數列；若另插入兩個數b，c，使x，b，c，y成等比數列，求證：?a?1?2??b?1??c?1? 分析：不等式左邊有字母a，右邊有不同字母b、c，要比較兩邊的大小，必須尋
x?y
c?3xy2。，b?3x2y，33m?nn??0，b?m2n，c?mn2，為計算方便，我們再令m??0，則a?，c三者之間的聯系，b、找a、利用數列的關系可得：a?
?m3?n3?2
那么，?a?1???b?1??c?1????1??m2n?1mn2?1=
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=???m2?n2?m?n??0，得?a?1?2??b?1??c?1?。??
例4設an?0，且an?an?an?1，求證：對一切自然數n，都有an?。
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an?1?an??0，即0?an?1。又因為an?1?an?1?an?，則有，1?
1?1?1，所以1?1?1?1。
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在上式中取n?1,2,?,n?1，得n?1個不等式，把它們相加得，1?1?n?1，n1
于是，1?n?1?1?n?1?1?n，因此，an?1。在此題的證明過程中，我們巧
n1
妙的利用了數列求和的累加法，時問題的解決有一種全新的感覺。本題由于和自
然數有關，也可以利用數學歸納法來證明。
例5 設a?2，給定數列?xn?，其中x1?a，且滿足xn?1
2xn
。?
n
求證：xn?2且
xn?1
?1。n
分析：這是1984年的高考題，當時難倒了絕大部分的學生，大家覺得無從著手。它給定的是數列，求證的是不等式，而且都是和通項有關，所以我們可以考慮求出數列的通項再來觀察。因為
?xn??xn?1?xn?1
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n?1
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又因為????1?，?1?
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?1。n
1。例6求證：1?3?5?2n?1?
分析：這是一道不等式的證明題，若我們總是在不等式的圈子里轉悠，問題不能圓滿的解決。跳出這個圈子，我們不難發現這是一個自然數有關的命題，那么，解決它的方法不外乎兩種，一是利用數學歸納法；二是構造數列。我們來構造一
?2n?2?2??3n?1??an?1?1352n?1個數列?an?。令an????= ?3n?1，則???22n?1?3n?4?n?
12n?28n?20n?4?1。=所以，an?1?an，從而有，an?an?1?an?2???a1?1。12n3?28n2?19n?4
因此原不等式得證。
例7設?an?是正項的等比數列，Sn是其前n項的和.證明：
lgSn?lgSn?2
?lgSn?1。
分析：這是在數列情景下的不等式證明，所以要交叉使用數列的性質和不等式的證明技巧。要證不等式等價于Sn?Sn?2?Sn?1，因為an?0，所以Sn?1?Sn?0。
由等比數列的定義可得：
aaa2a3
????n?1?n?2。12nn?1
再用等比定理得：
Sn?2?Sn?1an?2a2?a3???an?1Sn?1?a1Sn?1，因此????
n?1nn?112?nnn
有：Sn?Sn?2?Sn?1。
2例8 數列?an?和?bn?都是正項數列，對任意的自然數都有an，bn，an?1成等差數
22列，bn，an?1，bn?1成等比數列。
(1)問：?bn?是不是等差數列？為什么？
222(2)求證：對任意的自然數p和q（p?q），bp≥?b2b?qp?qp。
分析：對于第(1)題，我們不難證明它一定是等差數列。問題(2)的證明方法很多，我們可以直接利用等差數列的通項公式，通過作差比較來完成。但是若我們仔細
222
分析題意，觀察bp ?q，bp?q，bp的特點，我們不難發現它們三者之間有等量關系：
22bp?q?bp?q?2bp，所以bp?q?bp?q
?bp?q?bp?q?2
?2b2。此題充分體現了數列≥
p
和不等式知識的交叉運用。
例9數列?an?中，前n項之和為Sn?an2?bn，其中a和b為常數，且a?0，a?b?1，n?N。
(1)求數列?an?的通項公式an；并證明an?1?an?1。(2)若cn?loganan?1，試判斷數列?cn?中任意兩項的大小。
分析：此題的已知條件，前n項之和為Sn?an2?bn 告訴我們，數列?an?是一個等差數列，要證明an?1?an?1成立，只要證明該數列是一個遞增的數列，且a1?1即可。(1)由Sn?an2?bn可知，a1?S1?a?b?1，an?Sn?Sn?1?2an?a?b，所以an?1?an?2a?0，即數列?an?是一個單調遞增的數列，那么
an?1?an?a1?1。
(2)
由
(1)
可
知，=數
列
?cn?
各項都為正。則≤
cn?1logan?1an?2
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logan?1an?2?logan?1an
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?1，所以cn?1?cn.2例10 已知數列?an?中，對一切自然數n，都有an??0,1?且an?an ?1?2an?1?an?0。
求證：(1)an?1?1an；
(2)若Sn表示數列?an?的前n項之和，則Sn?2a1。
2分析：從題目的結構可以看出，條件an?an?1?2an?1?an?0是解決問題的關鍵，2必須從中找出an?1和an 的關系。(1)由已知an?an?1?2an?1?an?0，可得
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2an?12
0?1?a??，又因為，所以有，a?0,1n?1?1,因此an?2an?1，即n2
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an?1?1an。
1a，即a?1a，于是有，(2)由結論(1)可知，an?1an?1?12an?2???n n?11n?11
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11Sn?a1?a2???an?a1?a1???n?1a1?a1??2??1????
??2a1，即Sn?2a1。???
從上面的一系列問題中，我們可以看出，數列和不等式證明是緊密相連互相滲透的，在復習中我們一定要注意它們的聯系，在知識的交叉點上思考分析，達到知識的融會貫通，培養分析問題和解決問題的能力。
第二篇：高中數學 高考中數列和不等式證明的交叉論文
高考中數列和不等式證明的交叉
數列和不等式是高考的兩大熱點也是難點，數列是高中數學中一個重要的內容，在高等數學也有很重要的地位，不等式是高中數學培養學生思維能力的一個突出的內容，它可以體現數學思維中的很多方法，當兩者結合在一起的時候，問題會變得非常的靈活。所以在復習時，我們在分別復習好兩類知識的同時，一定要注意它們的相互滲透和交叉，培養靈活的思維能力。
數列和證明不等式的交叉，是這兩大塊知識的主要交叉點，它在數列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的證明，它所涉及的問題往往是靈活的應用了數列和不等式的知識，把這兩者完美的結合在了一起。
例1設?an?和?bn?分別是等差數列和等比數列，且a1?b1?0，a2?b2?0，若a1?a2，試比較an和bn的大小。
分析：這兩個通項大小的比較，它們的未知量比較多，比容易直接完成。因通過它們的項數n把他們組合在一起。設?an?的公差為d，?bn?的公比為q。顯然q?0，因為a2?b2?0，所以有，a1?d?a1q，即a1?q?1??d。an?bn?a1??n?1?d?a1qn?1?a1?a1?n?1??q?1??a1qn?1。又因為a1?a2，所以
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例2已知遞增的等比數列?an?前三項之積為512，且這三項分別減去1，3，9后成等差數列，求證：1?2?3???n?1。a1a2a3an
分析：要想證明這個不等式，首先要求出左邊的和式。根據題意，?an?是等比數列，2所以左邊的和式可以利用錯位相減法來求和。先確定這個等比數列。由a1a3?a2可
得，a1a2a3?a2?512，所以a2?8。再設等比數列?an?的公比為q。則根據條件可
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得：?8?1???8q?9??2?8?3?，解得，q?2或q?1（舍去）。所以?，因此，q2???q?2123n
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1?1?1???1?n1?1?n?
1= Sn?
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例3在某兩個正數x，y之間，若插入一個數a，使x，a，y成等差數列；若另插入兩個數b，c，使x，b，c，y成等比數列，求證：?a?1?2??b?1??c?1?
分析：不等式左邊有字母a，右邊有不同字母b、c，要比較兩邊的大小，必須尋找
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是，1?n?1?1?n?1?1?n，因此，an?1。在此題的證明過程中，我們巧妙的nana1
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分析：這是一道不等式的證明題，若我們總是在不等式的圈子里轉悠，問題不能圓滿的解決。跳出這個圈子，我們不難發現這是一個自然數有關的命題，那么，解決它的方法不外乎兩種，一是利用數學歸納法；二是構造數列。我們來構造一個數列
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因此原不等式得證。
lgSn?lgSn?2
?lgSn?1。
分析：這是在數列情景下的不等式證明，所以要交叉使用數列的性質和不等式的證
例7設?an?是正項的等比數列，Sn是其前n項的和.證明：
明技巧。要證不等式等價于Sn?Sn?2?Sn?1，因為an?0，所以Sn?1?Sn?0。
由等比數列的定義可得：
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再用等比定理得：
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例8 數列?an?和?bn?都是正項數列，對任意的自然數都有an，bn，an?1成等差數列，22，an?1，bnbn?1成等比數列。
(1)問：?bn?是不是等差數列？為什么？
222(2)求證：對任意的自然數p和q（p?q），bp?q?bp?q≥2bp。
分析：對于第(1)題，我們不難證明它一定是等差數列。問題(2)的證明方法很多，我們可以直接利用等差數列的通項公式，通過作差比較來完成。但是若我們仔細分
222
析題意，觀察bp，bb?qp?qp的特點，我們不難發現它們三者之間有等量關系：
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例9數列?an?中，前n項之和為Sn?an2?bn，其中a和b為常數，且a?0，a?b?1，n?N。
(1)求數列?an?的通項公式an；并證明an?1?an?1。(2)若cn?loganan?1，試判斷數列?cn?中任意兩項的大小。
分析：此題的已知條件，前n項之和為Sn?an2?bn 告訴我們，數列?an?是一個等差數列，要證明an?1?an?1成立，只要證明該數列是一個遞增的數列，且a1?1即可。(1)由Sn?an2?bn可知，a1?S1?a?b?1，an?Sn?Sn?1?2an?a?b，所以an?1?an?2a?0，即數列?an?是一個單調遞增的數列，那么an?1?an?a1?1。
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求證：(1)an?1?1an；
(2)若Sn表示數列?an?的前n項之和，則Sn?2a1。
分析：從題目的結構可以看出，條件an?an?1?2an?1?an?0是解決問題的關鍵，必2須從中找出an?1和an 的關系。(1)由已知an?an可得an??1?2an?1?an?0，2an?1
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從上面的一系列問題中，我們可以看出，數列和不等式證明是緊密相連互相滲透的，在復習中我們一定要注意它們的聯系，在知識的交叉點上思考分析，達到知識的融會貫通，培養分析問題和解決問題的能力。
第三篇：用數學歸納法證明數列不等式
【例1】（2012全國大綱卷理22）函數f(x)?x2?2x?3，定義數列?xn?如下：x1?2，xn?1是過兩點P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.（1）證明:2?xn?xn?1?3；（2）求數列?xn?的通項公式.【證】（1）證：直線PQn的方程為y?5?f(xn)?5(x?4)，即y?5?(xn?2)(x?4)，xn?44x?35令y?0，解得xn?1?4?.?nxn?2xn?2下用數學歸納法證明2?xn?3：
① 當n?1時，x1?2，所以2?x1?3.② 假設當n?k時結論成立，即2?xk?3，則當n?k?1時，由xk?1?4?11555?xk?1?3，故?xk?1?4?，得4?，即42?23?2xk?2*2?xk?1?3.由①②知，對一切n?N都有2?xn?3.4xn?3?xn2?2xn?3(3?xn)(xn?1)從而xn?1?xn??xn???0，故xn?1?xn.xn?2xn?2xn?2綜上，2?xn?xn?1?3.4x?3x?35(xn?1)（2）解：由（1）知，xn?1?n，則 xn?1?3?n ①，xn?1?1? ②，xn?2xn?2xn?
2①?②，得
?x?3?11xn?1?31xn?3???，故數列?n是首項為，公比為的等比數列.?53xn?1?15xn?1x?1?n?n?19?5n?1?1xn?31?1?*
因此，(n?N).?????，解得：xn?n?13?5?1xn?13?5?【例2】已知函數f(x)?ln(2?x)?ax在開區間(0，1)內是增函數．
(Ⅰ)求實數a的取值范圍；
(Ⅱ)若數列?an?滿a1?(0,1),an?1?ln(2?an)?an(n?N*)，證明：0?an?an?1?1．(Ⅰ)解：f?(x)??1?a，由于f(x)在(0，1)內是增函數，2?x1?a?0在x∈∴ f?(x)?0，即 ?(0，1)時恒成立． 2?x1∴ a?? 恒成立，x?2而
－2＜x－2＜－1，11??，x?2211?1，即 ??2x?2∴
a?1即為所求． ∴ ?1?(Ⅱ)證明：① 當n=1時，由題設知a1∈(0，1)． ② 假設當n=k時，不等式成立，即ak∈(0，1)，則 當n=k+1時，由(Ⅰ)知，f(x)=ln(2－x)+x在(0，1)上是增函數
∴0?f(0)?ln(2?0)?0?ak?1?ln(2?ak)?ak?f(ak)?f(1)?ln(2?1)?1?1，即ak+1∈(0，1)，故n=k+1時命題成立.根據① ② 知0＜an＜1，n∈N*． 又 ∵ an?1?an?ln(2?an)?ln(2?1)?0，∴ 0?an?an?1?1．
【例3】已知函數f(x)?x?sinx,數列{an}滿足：0?a1?1,an?1?f(an),n?1,2,3,證明：，13an.6證明：(Ⅰ)先用數學歸納法證明0?an?1,n?1,2,3,?(Ⅰ)0?an?1?an?1；(Ⅱ)an?1?① 當n=1時，由已知，結論成立.② 假設當n=k時結論成立，即0?ak?1，因為0?x?1時，f?(x)?1?cosx?0，所以f(x)在(0，1)上是增函數，又f(x)在[0，1]上連續，從而f(0)?f(ak)?f(1)，即0?ak?1?1?sin1?1，故當n=k+1時，結論成立.由①②可知，0?an?1對一切正整數都成立.又因為0?an?1時，an?1?an?an?sinan?an??sinan?0，所以an?1?an，綜上所述0?an?1?an?1.(Ⅱ)設函數g(x)?sinx?x?13x,0?x?1，6由(Ⅰ)可知，當0?x?1時，sinx?x.x2x2x2x22x??2sin???2()??0, 從而g?(x)?cosx?1?22222所以g(x)在（0，1）上是增函數.又g(0)?0，所以當0?x?1時，g(x)>0成立.13于是g(an)?0，即sinan?an?an?0，613故an?1?an．
【例4】已知函數f(x)?x?ln?1?x?,數列?an?滿足0?a1?1, an?1?f?an?;數列?bn?滿足b1?11,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證: 22（Ⅰ）0?an?1?an?1;
an2;（Ⅱ）an?1?22,則當n≥2時,bn?an?n!.(n!?n?(n?1)?（Ⅲ）若a1?2*解:(Ⅰ)先用數學歸納法證明0?an?1,n?N.（1）當n=1時,由已知得結論成立;
?2?1)（2）假設當n=k時,結論成立,即0?ak?1.則當n=k+1時,因為0
————①bn?1bn?2b12 an2aaaaa,知:n?1?n, 所以n=2?3由(Ⅱ)an?1?2a1a1a2an2因為a1?anaa?12an?122an?1 , 22, n≥2, 0?an?1?an?1.2a1a2an?1a1n2?a121?a1 所以 an?.222222 由①② 兩式可知: bn?an?n!.【例5】 設函數f(x)與數列?an?滿足以下關系： ① a1??，其中?是方程f(x)?x的實根； ② an?1?f(an)； 1).③ f(x)的導數f?(x)?(0，(Ⅰ)求證：an??； (Ⅱ)判斷an與an?1的大小關系，并證明你的結論.(Ⅰ)證：① 當n?1時，a1??，不等式成立.② 假設當n?k時不等式成立，即ak??，則n?k?1時，∵f?(x)?0，則f(x)遞增.∴ak?1?f(ak)?f(?)??，即n?k?1時不等式也成立.由①、②知，an??對一切n?N都成立.(Ⅱ)解：an?1?an?f(an)?an，設F(x)?f(x)?x，則F?(x)?f?(x)?1?0，∴F(x)遞減，而an??，∴F(an)?F(?)?f(?)???0，即f(an)?an?0，亦即an?1?an?0，*∴an?1?an.【例6】（2005江西）已知數列{an}的各項都是正數,且滿足: 1an(4?an),n?N.2（1）證明an?an?1?2,n?N;a0?1,an?1?（2）求數列{an}的通項公式an.解：（1）方法一 用數學歸納法證明： 13a0(4?a0)?,∴a0?a1?2，命題正確.222°假設n=k時有ak?1?ak?2.1則n?k?1時,ak?ak?1?ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak) 221?2(ak?1?ak)?(ak?1?ak)(ak?1?ak) 21?(ak?1?ak)(4?ak?1?ak).2而ak?1?ak?0.4?ak?1?ak?0,?ak?ak?1?0.112又ak?1?ak(4?ak)?[4?(ak?2)]?2.22∴n?k?1時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有an?an?1?2.1°當n=1時，a0?1,a1?方法二：用數學歸納法證明： 1°當n=1時，a0?1,a1? 2°假設n=k時有ak?令f(x)?13a0(4?a0)?,∴0?a0?a1?2； 22?ak?2成立，1x(4?x)，f(x)在[0，2]上單調遞增，所以由假設 2111有：f(ak?1)?f(ak)?f(2),即ak?1(4?ak?1)?ak(4?ak)??2?(4?2)，222也即當n=k+1時 ak?ak?1?2成立，所以由1°、2°知，對一切n?N,有ak?ak?1? 2（2）下面來求數列的通項：an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 222(an?1?2)??(an?2)2 1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,則bn??bn??(?b)???()b????()bn?1n?2n?1222222，2又bn=－1，所以bn??()12n?11n,即an?2?bn?2?()2?1 【拓展題】 【例】、數列?an?滿足an?12a?3an??，且a1?1.（1）當??1時，求數列?an?的?nan?12通項公式； （2）若不等式an?1?an對一切n?N恒成立，求?的取值范圍； （3）當?3???1時，證明： *1111?????1?n.1?a11?a21?an2解：（1）當??1時，an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1)???an?2n?1.(an?1)2???1*（2）an?1?an?①，要使an?1?an對一切n?N恒成立，an?1(a1?1)2???1??3至少需使a2?a1???0成立????3.a1?12下面先用數歸法證明：當???3時，an?1(略)，再由①知an?1?an恒成立.所以??[?3,??)為所求.（3）當?3???1時，由(2)知an?1，則由 2a(a?1)?(an?1)???1??1an?1?nn?2an?1??2an?1 an?1an?1?an?1?1?2(an?1)?22(an?1?1)???2n(a1?1)?2n?111?0?an?1?2n??n，1?an21111111從而??????2???n?1?n，等號當且僅當n?11?a11?a21?an2222時成立.（2009安徽理21）首項為正數的數列?an?滿足an?1?為奇數，則對一切n?2,an都是奇數；（2）若對一切n?N都有an?1?an，求a1的取值范圍.略解：（1）已知a1是奇數，假設ak?2m?1是奇數，其中m為正整數，*12(an?3),n?N*.（1）證明：若a14ak2?3?m(m?1)?1是奇數.（因為m(m?1)是偶數）則由遞推關系得ak?1?4*根據數學歸納法，對任何n?N，an都是奇數.1（2）（方法一）由an?1?an?(an?1)(an?3)知，an?1?an當且僅當an?1或an?3.41?332?3?1；若ak?3，則ak?1??3.另一方面，若0?ak?1,則0?ak?1?44根據數學歸納法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N*;a1?3?an?3,?n?N*.綜合所述，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.*a12?3?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3.（方法二）由a2?4an2?3an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1), an?1?an???，因為a1?0,an?1?4444所以所有的an均大于0，因此an?1?an與an?an?1同號.根據數學歸納法，?n?N，an?1?an與a2?a1同號.*因此，對一切n?N都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.* 數列和式不等式的證明策略 羅紅波洪湖二中高三 （九）班周二第三節（11月13日） 數列和式不等式的證明經常在試卷壓軸題中出現，在思維能力和方法上要求很高，難度很大，往往讓人束手無策，其實，這類不等式的證明，是有一定的規律的，利用S1 n? a1?q 來證明也能事半功倍，下面用幾個例子來簡述數列和式不等式的證明 S1 n? a1?q 常用策略。 一、基礎演練： 1、等比數列{an}，公比為q，則{an}的前n項和Sn為（） ?na1(q?1A．?) ?an a?1(1?q)1(1?qn)a? 1?q(q?1)B.na1C.1?qD.11?q2、正項等比數列{an}，公比為q，0?q?1，{an}的前n項和Sn，以下說法正確的是（）A．S1n? a11?qB.S?a11?qC.Saa nn?1?qD.Sn?11?q3、正項數列{a}，{a的前n項和Sa nn}n，要證明S1n?1?q，其中0?q?1，可以去證明（）A． an?1?qB.an?1a?qC.an?1?qD.a n?1a?q nnanan 二、典例精講： 例 1、等比數列{a1 n}，a1?1,q?2，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?2 變式 1、正項等比數列{an}，{a1n}的前n項和Sn，a1?1,Sn?2恒成立，求證：0?q? 2例 2、已知數列{an}，an?1 2n ?1，{an}的前n項和S5n，求證：Sn?2(Sn?3?) aann變式 2、數列{n?1n}，a?3?23?2n?1，a1?1，{a3 n?1n}的前n項和Sn，求證：Sn? n 2例 3、（09四川理22）數列{an}的前n項和Sn，對任意正整數n，都有a4?an n?5Sn?1成立，記bn?1?a(n?N?).n (1)求數列{bn}的通項公式； (2)記c? n?b2n?b2n?1(n?N)，{c3 n}的前n項和Tn，求證：Tn? 2變式 3、已知a1n? ?2，求證Sn?(?1)a1?(?1)2a2????????(?1)nan?1 (?2)n? 3三、小結 四、課后作業： 1、等比數列{a1 n}，a1?2,q? 3，{an}的前n項和Sn，求證：Sn?3 2、已知數列{an}，an? 14n?2，{an}的前n項和Sn，求證：S2 n ?3 數列、極限、數學歸納法·用數學歸納法證明不等式·教案 證明：（1）當n=1時，左=2，右=2，則等式成立．（2）假設n=k時（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+…+2k=k（k+1）． 當n=k+1時，2+4+6+…+2k+（k+1） 所以n=k+1時，等式也成立． 根據（1）（2）可知，對于任意自然數n，原等式都能成立． 生甲：證明過程正確． 生乙：證明方法不是數學歸納法，因為第二步證明時，沒有應用歸納假設． 師：從形式上看此種證明方法是數學歸納法，但實質在要證明n=k+1正確時，未用到歸納假設，直接采用等差數列求和公式，違背了數學歸納法的本質特點遞推性，所以不能稱之為數學歸納法．因此告誡我們在運用數學歸納法證明時，不能機械套用兩個步驟，在證明n=k+1命題成立時，一定要利用歸納假設． （課堂上講評作業，指出學生作業中不妥之處，有利于鞏固舊知識，為新知識的學習掃清障礙，使學生引以為戒，所謂溫故而知新） （二）講授新課 師：在明確數學歸納法本質的基礎上，我們來共同研究它在不等式證明中的應用．（板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗證n=2時的情況． （板書）證：（1）當n=2時，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立． （在這里，一定要強調之所以左邊＞右邊，關鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）第四篇：數列不等式的證明
第五篇：數列、極限、數學歸納法·用數學歸納法證明不等式
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