第一篇：初中二次函數講解。全面解析。知識點總結

初中二次函數講解

定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y=ax2+bx+c

（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。）

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

x是自變量，y是x的函數

二次函數的三種表達式

①一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

②頂點式[拋物線的頂點(h，k)]：y=a(x-h)2+k

③交點式[僅限于與x軸有交點 A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線]：y=a(x-x?)(x-x?)

以上3種形式可進行如下轉化：

①一般式和頂點式的關系

對于二次函數y=ax2+bx+c，其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即

h=-b/2a=(x1+x2)/2

k=(4ac-b2)/4a

②一般式和交點式的關系

x1,x2=[-b±√(b2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x =-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。【因為由它的對稱抽決定即，—b/2a】

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數【二次函數與一元二次方程的關系】

Δ= b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

_______

Δ= b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=-b±√b2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax2+c(a≠0)

7.定義域：R

值域：（對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）

奇偶性：偶函數 【關于點對稱的函數是奇函數，關于一條軸對稱的是偶函數】周期性：無

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b2)/4a）；

⑷Δ=b2-4ac,Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：

（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，圖象與x軸交于一點：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，圖象與x軸無交點；

②y=a(x-h)2+t[配方式]

此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b2)/4a）；

二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax2+bx+c，當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax2+bx+c=0

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函數y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式

y=ax2

y=a(x-h)2

y=a(x-h)2+k

y=ax2+bx+c

頂點坐標

(0，0)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a，sqrt[4ac-b2]/4a)

對 稱 軸

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動h個單位得到，當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)2+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2+k的圖象；

因此，研究拋物線 y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x ≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥-b/2a時，y隨x的增大而減小．

4．拋物線y=ax2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x?, x?是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標）

當△=0．圖象與x軸只有一個交點；

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．

5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．

6．用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

y=ax2+bx+c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．

第二篇：初中九年級二次函數知識點總結

初中九年級二次函數知識點總結

總結就是把一個時間段取得的成績、存在的問題及得到的經驗和教訓進行一次全面系統的總結的書面材料，它能使我們及時找出錯誤并改正，讓我們一起認真地寫一份總結吧。那么總結應該包括什么內容呢？以下是小編收集整理的初中九年級二次函數知識點總結，希望能夠幫助到大家。

教學目標：

(1)能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。

(2)注重學生參與，聯系實際，豐富學生的感性認識，培養學生的良好的學習習慣

教學重點：能夠根據實際問題，熟練地列出二次函數關系式，并求出函數的自變量的取值范圍。

教學難點：求出函數的自變量的取值范圍。

教學過程：

一、問題引新

1.設矩形花圃的垂直于墻(墻長18)的一邊AB的長為_m，先取_的一些值，算出矩形的另一邊BC的長，進而得出矩形的面積ym2.試將計算結果填寫在下表的空格中，AB長_(m)1 2 3 4 5 6 7 8 9

BC長(m)12

面積y(m2)48

2._的值是否可以任意取?有限定范圍嗎?

3.我們發現，當AB的長(_)確定后，矩形的面積(y)也隨之確定，y是_的函數，試寫出這個函數的關系式，教師可提出問題，(1)當AB=_m時，BC長等于多少m?(2)面積y等于多少? y=_(20-2_)

二、提出問題，解決問題

1、引導學生看書第二頁問題一、二

2、觀察概括

y=6_2 d= n /2(n-3)y= 20(1-_)2

以上函數關系式有什么共同特點?(都是含有二次項)

3、二次函數定義：形如y=a_2+b_+c(a、b、、c是常數，a≠0)的函數叫做_的二次函數，a叫做二次函數的系數，b叫做一次項的系數，c叫作常數項.4、課堂練習

(1)(口答)下列函數中，哪些是二次函數?

(1)y=5_+1(2)y=4_2-1

(3)y=2_3-3_2(4)y=5_4-3_+1

(2).P3練習第1，2題。

五、小結敘述二次函數的定義.

第二課時：26.1二次函數(2)

教學目標：

1、使學生會用描點法畫出y=a_2的圖象，理解拋物線的有關概念。

2、使學生經歷、探索二次函數y=a_2圖象性質的過程，培養學生觀察、思考、歸納的良好思維習慣。

教學重點：使學生理解拋物線的有關概念，會用描點法畫出二次函數y=a_2的圖象

教學難點：用描點法畫出二次函數y=a_2的圖象以及探索二次函數性質。

I.定義與定義表達式

一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關系：y=a_^2+b_+c

(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

II.二次函數的三種表達式

一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數，a≠0)

頂點式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]

交點式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點A(_?，0)和B(_?，0)的拋物線]

注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函數的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數y=_^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線_=-b/2a。

對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)

2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時，P在_軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;

當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與_軸交點個數

Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與_軸有2個交點。

Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。

Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。

_的取值是虛數(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

V.二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數(以下稱函數)y=a_^2+b_+c，當y=0時，二次函數為關于_的一元二次方程(以下稱方程)，即a_^2+b_+c=0

此時，函數圖像與_軸有無交點即方程有無實數根。函數與_軸交點的橫坐標即為方程的根。

當h>0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.當h>0,k>0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

當h>0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;

因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而減小;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而增大;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而減小.4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);

(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與_軸交于兩點A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|_?-_?|

當△=0.圖象與_軸只有一個交點;

當△<0.圖象與_軸沒有交點.當a>0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數時，都有y<0.5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，則當_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.6.用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知_、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

y=a_^2+b_+c(a≠0).(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.

一、基本概念

1.方程、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組)

2.分類：

二、解方程的依據—等式性質

1.a=b←→a+c=b+c

2.a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1.一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→

系數化成1→解。

2.元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加減法

四、一元二次方程

1.定義及一般形式：

2.解法：⑴直接開平方法(注意特征)

⑵配方法(注意步驟—推倒求根公式)

⑶公式法：

⑷因式分解法(特征：左邊=0)

3.根的判別式：

4.根與系數頂的關系：

逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。

5.常用等式：

五、可化為一元二次方程的方程

1.分式方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②換元法(如，)

⑷驗根及方法

2.無理方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法(注意技巧！)②換元法(例，)⑷驗根及方法

3.簡單的二元二次方程組

由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

六、列方程(組)解應用題

一概述

列方程(組)解應用題是中學數學聯系實際的'一個重要方面。其具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什么。

⑵設元(未知數)。①直接未知數②間接未知數(往往二者兼用)。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

⑷尋找相等關系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出)，列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。

⑸解方程及檢驗。

⑹答案。

綜上所述，列方程(組)解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題(設元、列方程)，在由數學問題的解決而導致實際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。

二常用的相等關系

1.行程問題(勻速運動)

基本關系：s=vt

⑴相遇問題(同時出發)：

+ =;

⑵追及問題(同時出發)：

若甲出發t小時后，乙才出發，而后在B處追上甲，則

⑶水中航行：;

2.配料問題：溶質=溶液_濃度

溶液=溶質+溶劑

3.增長率問題：

4.工程問題：基本關系：工作量=工作效率_工作時間(常把工作量看著單位“1”)。

5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

計算方法

1.樣本平均數：

2.樣本方差：

3.樣本標準差：

相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。

內容提要

一、直線、相交線、平行線

1.線段、射線、直線三者的區別與聯系

從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點個數”、“基本性質”等方面加以分析。

2.線段的中點及表示

3.直線、線段的基本性質(用“線段的基本性質”論證“三角形兩邊之和大于第三邊”)

4.兩點間的距離(三個距離：點-點;點-線;線-線)

5.角(平角、周角、直角、銳角、鈍角)

6.互為余角、互為補角及表示方法

7.角的平分線及其表示

8.垂線及基本性質(利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”)

9.對頂角及性質

10.平行線及判定與性質(互逆)(二者的區別與聯系)

11.常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行(傳遞性);②同垂直于一條直線的兩條直線平行。

12.定義、命題、命題的組成13.公理、定理

14.逆命題

二、三角形

分類：

⑴按邊分;

⑵按角分

1.定義(包括內、外角)

2.三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三角形中，3.三角形的主要線段

討論：①定義②__線的交點—三角形的_心③性質

①高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)的判定與性質

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法

6.三角形的面積

⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。

7.重要輔助線

⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線

8.證明方法

⑴直接證法：綜合法、分析法

⑵間接證法—反證法：①反設②歸謬③結論

⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等

⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法

⑸證線段和差關系：延結法、截余法

⑹證面積關系：將面積表示出來

三、四邊形

分類表：

1.一般性質(角)

⑴內角和：360°

⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。

推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。

推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。

⑶外角和：360°

2.特殊四邊形

⑴研究它們的一般方法:

⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定

⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形

菱形

⑷對角線的紐帶作用：

3.對稱圖形

⑴軸對稱(定義及性質);⑵中心對稱(定義及性質)

4.有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2

②三角形、梯形的中位線定理

③平行線間的距離處處相等。(如，找下圖中面積相等的三角形)

5.重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常“平移一腰”、“平移對角線”、“作高”、“連結頂點和對腰中點并延長與底邊相交”轉化為三角形。

6.作圖：任意等分線段。

第三篇：初中九年級二次函數知識點總結

二次函數

I.定義與定義表達式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系： y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大.）則稱y為x的二次函數。二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

II.二次函數的三種表達式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P（h，k）]

交點式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]III.二次函數的圖像 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x =-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P，坐標為 P [-b/2a，(4ac-b^2)/4a ]。當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。（即左同右異）

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數 Δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。Δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。

V.二次函數與一元二次方程 特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2+bx+c=0 此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。補充 畫拋物線時，應先列表，再描點，最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。說明：(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y＝a(x-h)^2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax^2+k的頂點在y軸上；當k＝0時，拋物線a(x-h^)2的頂點在x軸上；當h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點在原點

第四篇：初中函數知識點總結

千承培訓學校

函數知識點總結(掌握函數的定義、性質和圖像)

（一）平面直角坐標系

1、定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系

2、各個象限內點的特征: 第一象限：（+，+）點P（x,y），則x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）點P（x,y），則x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）點P（x,y），則x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）點P（x,y），則x＞0,y＜0；

3、坐標軸上點的坐標特征：

x軸上的點，縱坐標為零；y軸上的點，橫坐標為零；原點的坐標為（0 , 0）。兩坐標軸的點不屬于任何象限。

4、點的對稱特征：已知點P(m,n), 關于x軸的對稱點坐標是(m,-n), 橫坐標相同，縱坐標反號 關于y軸的對稱點坐標是(-m,n)縱坐標相同，橫坐標反號 關于原點的對稱點坐標是(-m,-n)橫，縱坐標都反號

5、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：平行于x軸的直線上的任意兩點：縱坐標相等；平行于y軸的直線上的任意兩點：橫坐標相等。

6、各象限角平分線上的點的坐標特征：

第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標相等。

第二、四象限角平分線上的點橫、縱坐標互為相反數。

7、點P（x,y）的幾何意義： 點P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點P（x,y）到y軸的距離為 |x|。點P（x,y）到坐標原點的距離為

8、兩點之間的距離：

X軸上兩點為A(x1,0)、B(x2,0)|AB|?|x2?x1|

x2?y2 Y軸上兩點為C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

?|y2?y1|

(x2?x1)2?(y2?y1)

29、中點坐標公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M為AB的中點

則：M=(x2?x1y?y1 , 2)2210、點的平移特征： 在平面直角坐標系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應點（x-a，y）； 將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a，y）； 將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y＋b）； 將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y－b）。

注意：對一個圖形進行平移，這個圖形上所有點的坐標都要發生相應的變化；反過來，從圖形上點的坐標的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移。

（二）函數的基本知識： 基本概念

1、變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量。

常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量。

2、函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數。*判斷A是否為B的函數，只要看B取值確定的時候，A是否有唯一確定的值與之對應

3、定義域：一般的，一個函數的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數的定義域。

4、確定函數定義域的方法：

（1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數；

（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；

（3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；

（4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；

（5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

5、函數的圖像 一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．

6、函數解析式：用含有表示自變量的字母的代數式表示因變量的式子叫做解析式。

7、描點法畫函數圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；

第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；

第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。

8、函數的表示方法

列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。

解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。

（三）正比例函數和一次函數

1、正比例函數及性質

一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.注：正比例函數一般形式 y=kx(k不為零)① k不為零 ② x指數為1 ③ b取零 當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，?直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．(1)解析式：y=kx（k是常數，k≠0）(2)必過點：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，?圖像經過二、四象限(4)增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

2、一次函數及性質

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函數是一種特殊的一次函數.注：一次函數一般形式 y=kx+b(k不為零)① k不為零 ②x指數為1 ③ b取任意實數

一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（-

b，0）兩點的一條直線，我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k?0)（2）必過點：（0，b）和（-

b，0）k（3）走向： k>0，圖象經過第一、三象限；k<0，圖象經過第二、四象限 b>0，圖象經過第一、二象限；b<0，圖象經過第三、四象限

?k?0?k?0直線經過第一、二、三象限 ??直線經過第一、三、四象限 ???b?0?b?0?k?0?k?0?直線經過第一、二、四象限 ??直線經過第二、三、四象限 ?b?0b?0??注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k決定著直線的變化趨勢

① k>0 直線從左向右是向上的 ② k<0 直線從左向右是向下的

2、b決定著直線與y軸的交點位置

① b>0 直線與y軸的正半軸相交 ② b<0 直線與y軸的負半軸相交

（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.3、一次函數y=kx＋b的圖象的畫法.根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函數的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標軸的交點：（0，b），.即橫坐標或縱坐標為0的點.注：對于y＝kx+b 而言，圖象共有以下四種情況：

1、k>0，b>0

2、k>0，b<0

3、k<0，b<0

4、k<0，b>0

4、直線y=kx＋b(k≠0)與坐標軸的交點．

(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；

(2)直線y=kx＋b與x軸交點坐標為

5、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟：

與 y軸交點坐標為(0，b)．

（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；

（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；

（3）解方程得出未知系數的值；

（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式.6、兩條直線交點坐標的求法：

方法：聯立方程組求x、y 例題：已知兩直線y＝x+6 與y＝2x-4交于點P，求P點的坐標？

7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系（1）兩條直線平行：k1=k2且b1?b2（2）兩直線相交：k1?k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作

.特別地，軸記作直線

8、正比例函數與一次函數圖象之間的關系

一次函數y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.9、一元一次方程與一次函數的關系

任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函數的值為0時，求相應的自變量的值.從圖象上看，相當于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫坐標的值.10、一次函數與一元一次不等式的關系

任何一個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數值大（小）于0時，求自變量的取值范圍.11、一次函數與二元一次方程組

（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標的點組成的圖象與一次函數y=?acx?的bb圖象相同.（2）二元一次方程組??a1x?b1y?c1ac的解可以看作是兩個一次函數y=?1x?1和

b1b1?a2x?b2y?c2y=?a2cx?2的圖象交點.b2b212、函數應用問題（理論應用 實際應用）

（1）利用圖象解題 通過函數圖象獲取信息，并利用所獲取的信息解決簡單的實際問題.（2）經營決策問題 函數建模的關鍵是將實際問題數學化，從而解決最佳方案，最佳策略等問題.建立一次函數模型解決實際問題，就是要從實際問題中抽象出兩個變量，再尋求出兩個變量之間的關系，構建函數模型，從而利用數學知題.(四)反比例函數

一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y＝k／x(k為常數，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數。

取值范圍： ① k ≠ 0;②在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實數;③函數 y 的取值范圍也是任意非零實數。反比例函數的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線

反比例函數圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（K≠0）。

反比例函數的性質：

1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內,y隨x的增大而增大。

2.k>0時，函數在x<0和 x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0和x>0上同為增函數。

定義域為x≠0；值域為y≠0。

3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。

4.在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1＝S2=|K| 5.反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸

y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。

6.若設正比例函數y=mx與反比例函數y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A B兩點關于原點對稱。

7.設在平面內有反比例函數y=k/x和一次函數y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2 +4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

8.反比例函數y=k/x的漸近線：x軸與y軸。

9.反比例函數關于正比例函數y=x,y=-x軸對稱,并且關于原點中心對稱.(第5點的同義不同表述)

10.反比例上一點m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k|

11.k值相等的反比例函數重合，k值不相等的反比例函數永不相交。

12.|k|越大，反比例函數的圖象離坐標軸的距離越遠。

（五）二次函數

二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般式(已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.)

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；

頂點式(已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.)

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點坐標為（-m，k）或（h,k）對稱軸為x=-m或x=h，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式；

交點式(已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式)

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線] ；

拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點 頂點

拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b^2-4ac=0時，P在x軸上。開口

二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。決定對稱軸位置的因素

一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。（左同右異）

c的大小決定拋物線當①時，∴拋物線,與與

軸交點的位置.與

軸有且只有一個交點（0，）： ,與

軸交于負半軸.，拋物線經過原點;②軸交于正半軸；③直線與拋物線的交點（1）（2）與(,軸與拋物線軸平行的直線).得交點為(0,).與拋物線

有且只有一個交點（3）拋物線與軸的交點 二次函數程根的判別式判定：

①有兩個交點

拋物線與軸相交；

拋物線與軸相切； 的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的 ②有一個交點（頂點在軸上）③沒有交點

拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是個實數根.（5）一次函數的圖像與二次函數的圖像的交的兩點，由方程組

①方程組有兩組不同的解時一個交點；③方程組無解時的解的數目來確定： 與與

有兩個交點;②方程組只有一組解時沒有交點.與

只有（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線，由于、是方程

與軸兩交點為的兩個根，故

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第五篇：(最新)初中函數知識點總結

函數知識點總結(掌握函數的定義、性質和圖像)

（一）平面直角坐標系

1、點P（x,y）到坐標原點的距離為

3、兩點之間的距離：A、B

AB|=

3、中點坐標公式：已知A、B

M為AB的中點

則：M=(,)

（二）正比例函數和一次函數

1、正比例函數及性質

當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．

(1)

解析式：y=kx（k是常數，k≠0）

(2)

必過點：（0，0）、（1，k）

(3)

走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限

(4)

增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小

(5)

傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

2、一次函數及性質

一次函數y=kx+b的圖象是經過（0，b）和（-，0）兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k0)

（2）必過點：（0，b）和（-，0）

（3）走向：

k>0，圖象經過第一、三象限；k<0，圖象經過第二、四象限

b>0，圖象經過第一、二象限；b<0，圖象經過第三、四象限

直線經過第一、二、三象限

直線經過第一、三、四象限

直線經過第一、二、四象限

直線經過第二、三、四象限

注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k決定著直線的變化趨勢

①

k>0

直線從左向右是向上的②

k<0

直線從左向右是向下的2、b決定著直線與y軸的交點位置

①

b>0

直線與y軸的正半軸相交

②

b<0

直線與y軸的負半軸相交

（4）增減性：

k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移：

當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.3、一次函數y=kx＋b的圖象.1、對于y＝kx+b

而言，圖象共有以下四種情況：

1、k>0，b>02、k>0，b<03、k<0，b<04、k<0，b>02、直線y=kx＋b(k≠0)與坐標軸的交點．

(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點都是(0，0)；

(2)直線y=kx＋b與x軸交點坐標為與

y軸交點坐標為(0，b)．

（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式.3、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關系

（1）兩條直線平行：k=1k2且b1b2

（2）兩直線相交：k1k2

（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2

平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線

(三)反比例函數的性質：

1.當k>0時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內,y隨x的增大而增大。

2.k>0時，函數在x<0和

x>0上同為減函數；k<0時，函數在x<0和x>0上同為增函數。

定義域為x≠0；值域為y≠0。

3.因為在y=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。

4.在一個反比例函數圖象上任取兩點P，Q，過點P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1＝S2=|K|

5.反比例函數的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱軸

y=x

y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標原點。

6.若設正比例函數y=mx與反比例函數y=n/x交于A、B兩點（m、n同號），那么A

B兩點關于原點對稱。

7.設在平面內有反比例函數y=k/x和一次函數y=mx+n，要使它們有公共交點，則n2

+4k·m≥（不小于）0。

（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

8.反比例函數關于正比例函數y=x,y=-x軸對稱,并且關于原點中心對稱.(第5點的同義不同表述)

9.反比例上一點m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點）的面積為|k|

10.k值相等的反比例函數重合，k值不相等的反比例函數永不相交。

11.|k|越大，反比例函數的圖象離坐標軸的距離越遠。

（五）二次函數

1.y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；

拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點

1.頂點

拋物線有一個頂點P，坐標為P

（-b/2a，4ac-b^2/4a)，當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=

b^2-4ac=0時，P在x軸上。

2.開口

二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

3.決定對稱軸位置的因素

一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。（左同右異）

c的大小決定拋物線與軸交點的位置.當時，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：

①，拋物線經過原點;

②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.4.直線與拋物線的交點

（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點

二次函數的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個交點拋物線與軸相交；

②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；

③沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數根.（5）一次函數的圖像與二次函數的圖像的交點，由方程組的解的數目來確定：

①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;

②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故